El grupo de Fermat, Pascal y Descartes Ma Isabel Barba Ma Ant`onia Binimelis Cristina Varon 21 de gener de 2011

Introducci´ on El desarrollo de las matem´aticas, a diferencia de otros a´mbitos como la literatura, la arquitectura o el arte, no ha sido nada equilibrado a lo largo de los tiempos. Todos conocemos la situaci´on que viv´ıa el conocimiento matem´atico durante el medievo a partir del siglo V d.C. Distinguimos altibajos durante dicha ´epoca. Ahora bien, tambi´en conocemos el final de la historia y sabemos que, afortunadamente, las matem´aticas consiguieron evolucionar gracias a diferentes autores a´rabes y a distinguidos matem´aticos europeos como Luca Paccioli, Fibonacci o Ramon Llull. Pero no s´olo las matem´aticas sufrieron un cambio en su dinamismo. En general, todo el conocimiento experiment´o una gran evoluci´on durante los siglos XVII-XVIII. Recordemos que, durante el medievo, la ciencia apenas tuvo actividad. Era la ´epoca denominada Oscura. Con la llegada de los musulmanes en el siglo VII d.C., la sociedad pudo conocer otras culturas del resto del mundo, ignoradas por Europa. Ya en el S.X d.C. encontramos los primeros resultados matem´aticos y durante los siguientes siglos, ´estos no hacen m´as que crecer. El conocimiento volvi´o a resurgir. A partir del S.XII d.C. la sociedad ya disfruta de universidades y de un nuevo compa˜ nero: la burgues´ıa. Fen´omenos que no hacen m´as que favorecer la transmisi´on de culturas y conocimientos. Y ya en los siglos XIII y XIV d.C. distinguidos matem´aticos destacan entre el pueblo con sus nuevos descubrimientos. Pero no s´olo las matem´aticas cambian. Otros hechos destacados tienen lugar en el conocimiento, sobre todo en astronom´ıa: la Tierra, y con ella el hombre, dejan de ser el centro del Universo. Cop´ernico, Kepler, Galileo... asientan las bases de una nueva manera de ver el mundo. Los pr´oximos a˜ nos prometen ser revolucionarios. Nace una nueva era: el Renacimiento. En efecto, en los siglos XVI-XVII d.C tiene lugar la llamada Revoluci´on cient´ıfica basada en un cambio de mentalidad de la sociedad del momento. No se trata de un hecho en concreto, sino de varias acciones que tienen lugar al mismo tiempo y que conllevan a modificar los esquemas establecidos. Las verdades consideradas hasta entonces se cuestionan y surgen diversas dudas que ponen en evidencia la sabidur´ıa del momento: • Se empieza a desconfiar de la intuici´on. • Crece el valor de la observaci´on y de la demostraci´on emp´ırica. 1

• Se elaboran m´etodos que dan paso a la inducci´on para olvidar la deducci´on. • Se pretende conocer con exactitud los fen´omenos de la naturaleza y para ello intentan matematizar las leyes que los rigen. • Se empiezan a independizar las ramas de la ciencia. Una nueva pregunta domina en el panorama: ¿C´omo ocurren las cosas? Varios personajes se reun´ıan para dar respuestas, incluso las mujeres. Fue en Par´ıs donde la Revoluci´on, conocida con el nombre de Ilustraci´on, tuvo su base. Gracias a ese deseo de la b´ usqueda de la verdad, las matem´aticas se ven fuertemente necesarias. Se recuperan textos antiguos y se procede a estudiar m´as a fondo este a´rea. Destacan los matem´aticos franceses: Fermat, Descartes y Pascal quienes de una u otra manera, influyeron, y mucho, en la geometr´ıa anal´ıtica y probabilidad conocidas hoy en d´ıa.

Matem´ aticos franceses Gracias a matem´aticos como Pierre de Fermat o Ren´e Descartes, hoy en d´ıa conocemos la geometr´ıa analt´ıca. Ellos dos, en el siglo XVII d.C., se interesaron en aplicar los m´etodos del ´algebra renacentista en la soluci´on de los problemas de geometr´ıa. Fueron ellos los encargados de determinar las coordenadas (conocidas hoy como coordenadas cartesianas) y de representar ecuaciones algebraicas gr´aficamente (y viceversa: escribir la forma algebraica de una representaci´on gr´afica). Ambos fueron rivales, y en m´as de una ocasi´on, demostraron los mismos resultados. Sin embargo, los m´eritos son para Descartes ya que Fermat apenas publicaba obras que demostraran su haza˜ na. Ren´e Descartes (1596) fue una persona que trat´o la l´ogica, la ´etica, la metaf´ısica, la historia y la literatura. Sin embargo, m´as tarde, se dedic´o a trabajar independientemente en el a´lgebra y geometr´ıa, que se convirtieron en sus materias favoritas debido a la certidumbre de sus pruebas.

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A Descartes le inquietaban los m´etodos que segu´ıan los griegos para llegar a sus conclusiones ya que ´estos no ten´ıan un sistema de ataque as´ı que ´el se propuso corregir estas demostraciones utilizando l´ıneas y figuras tridimensionales en una gr´afica compuesta por un una l´ınea horizontal (eje X) y una l´ınea vertical (eje Y). Empez´o a combinar el a´lgebra y la geometr´ıa, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matem´atica llamada geometr´ıa anal´ıtica. La geometr´ıa anal´ıtica es aquella parte de las matem´aticas que estudia los objetos geom´etricos por medio del ´algebra. I.e aquella rama que permite que l´ıneas rectas, las curvas y las figuras geom´etricas se puedan expresar mediante ejes de coordenadas. ¿En qu´e destaca Descartes? En los conceptos de coordenadas (donde Fermat tambi´en tuvo su aportaci´on) y de representaci´on de ecuaciones algebraicas de forma curva plana ya que se le considera el creador de esta geometr´ıa. De hecho, fue el primer matem´atico que intent´o clasificar las curvas seg´ un el tipo de ecuaciones que las producen. Contribuy´o tambi´en a la elaboraci´on de la teor´ıa de las ecuaciones. Debido a la definici´on de matem´atica anal´ıtica, tenemos que los dos problemas base de este a´rea ser´an: • Dada la descripci´on geom´etrica, i.e el dibujo sobre las coordenadas de un conjunto de puntos, encontrar la ecuaci´on algebraica que cumplen dichos puntos. • La cuesti´on inversa: dada la ecuaci´on algebraica f (x, y) = 0, determinar el lugar geom´etrico de los puntos que cumplen la ecuaci´on.

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Todos hemos o´ıdo el t´ermino coordenadas cartesianas. Sin embargo, es curioso saber que por un par de a˜ nos de diferencia, nuestras coordenadas podr´ıan haberse llamado coordenadas fermatianas ya que Descartes public´o su trabajo sobre geometr´ıa en 1637 bajo el t´ıtulo de Discurso del M´etodo, pero Fermat, a pesar de mostrar un an´alisis m´as sistem´atico, no public´o su obra en vida. Fue en 1679 (despu´es de su muerte) con el t´ıtulo Introducci´on a los Lugares Planos y S´olidos cuando sali´o a la luz su trabajo. De ah´ı el nombre de geometr´ıa cartesiana. Sin embargo, podemos decir que ambos son precursores de la geometr´ıa anal´ıtica. Para Descartes, las coordenadas de un punto eran un par de n´ umeros que med´ıan las distancias de dicho punto a dos rectas perpendiculares entre s´ı: llamadas eje X y eje Y, o bien, eje de absisas y eje de ordenadas. Seg´ un nuestro matem´atico, el punto de intersecci´on de las dos rectas centrales (los ejes X e Y ) constituye el punto cuyas coordenadas son x = 0, y = 0. A este punto se le llama origen y es el punto referencia de todo el espacio. As´ı, todo punto situado a la derecha del eje Y contendr´a su coordenada x positiva, y viceversa, y todo punto dibujado en la zona superior del eje X tendr´a coordenada y positiva, y viceversa. Para hallar las coordenadas de cualquier punto combinamos estas cuatro normas.

De esta manera, en la figura 1, observamos que el punto A est´a a a 1 unidad del eje vertical Y y a 4 unidades del horizontal X. Las coordenadas del punto A son, por tanto, 1 y 4, y el punto queda fijado dando las expresiones x = 1, y = 4. Por otro lado, el punto B tiene por coordenadas x = 5, y = 0. El hecho de determinar coordenadas positivas y negativas constituye la primera diferencia que encontramos entre la geometr´ıa anal´ıtica de Descartes y Fermat y la geometr´ıa que ya exist´ıa (cuyos or´ıgenes se remontan a los griegos gracias a Apolonio), que u ´nicamente 4

conten´ıa magnitudes positivas. Adem´as, los griegos no dibujaban el eje de coordenadas a priori como lo hac´ıa Descartes, sino a posteriori con el objetivo de estudiar las propiedades de una curva dada. La utilizaci´on de las u ´ltimas letras del alfabeto x, y, z, t... para determinar cantidades desconocidas es original de Descartes as´ı como emplear las primeras letras del abecedario a, b, c... para los ´ tambi´en invent´o el m´etodo de los exponentes, datos conocidos. El x2 , para indicar las potencias de los n´ umeros. Formul´o la regla conocida como la ley cartesiana de los signos para descifrar el n´ umero de ra´ıces negativas y positivas de cualquier ecuaci´on algebraica. Finalmente, determin´o que el primer elemento geom´etrico en el punto (.). La obra de Descartes La Geometr´ıa constituye un ensayo de su Discurso del M´etodo formado por tres libros. En cada libro, aparecen diferentes conceptos y trabajos sobre la geometr´ıa anal´ıtica. En su primer libro, Libro primero, Descartes trata los problemas que se pueden resolver s´olo con c´ırculos y lineas rectas. En su segundo libro, Libro segundo o De la naturaleza de las l´ıneas curvas, aborda los problemas de las ecuaciones de grado superior y, sobre todo, las propiedades de tangentes y normales, para poderlas aplicar a los problemas de la luz. En su Libro Tercero Descartes muestra que una ecuaci´on puede tener tantas ra´ıces como dimensiones tiene el grado, ofrece su famosa regla de los signos y aborda los problemas de 3er grado: la trisecci´on del ´angulo y la duplicaci´on del cubo se˜ nalando que a ellos puede reducirse cualquier otro problema de 3er grado. La intenci´on de ambos, Descartes y Fermat, fue aplicar los m´etodos algebraicos a la soluci´on de los problemas en geometr´ıa. No obstante, Fermat, a pesar de no ser un matem´atico profesional, como Descartes, es quiz´a m´as conocido por sus trabajos como su Peque˜ no teorema de Fermat, los llamados N´ umeros de Fermat o sus N´ umeros amigos (sobre los cuales Descartes tambi´en trabajaba). Es decir, ´el es m´as conocido por su aportaci´on en la teor´ıa de n´ umeros, en especial por el u ´ltimo Teorema de Fermat sobre el cual investigaron muchos matem´aticos durante 350 a˜ nos.

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Fermat dej´o sin demostrar muchas proposiciones, pero nunca se ha demostrado que se equivocara en algo. De hecho, matem´aticos posteriores han podido demostrar casi todas las proposiciones que ´ ´el no prob´o, excepto el Ultimo Teorema de Fermat, que no se ha resuelto hasta el a˜ no 1995. El enunciado de este teorema estaba escrito en un margen de un libro titulado la Aritm´etica de Diofanto de Alejandr´ıa, traducido al lat´ın por Bachet y publicado en 1621: Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostraci´on realmente admirable, pero el margen del libro es muy peque˜ no para ponerla. Este enigma es una abstracci´on del teorema de Pit´agoras. El enunciado en notaci´on moderna es el siguiente: Si n es un n´ umero entero mayor que 2, entonces no existen n´ umeros naturales a > 0, b > 0 y c, tales que que cumpla la siguiente igualdad: an + bn = cn La nota de Fermat fue descubierta por su hijo Clemente Samuel, quien public´o este libro con las anotaciones de su padre, en el a˜ no 1670. En una de sus p´aginas, donde Fermat escribi´o este resultado, termina diciendo: Lo lamento, pero este margen es insuficiente para dar los detalles de demostraci´on. No se sabe si realmente Fermat hall´o la demostraci´on o s´olo dijo que la hab´ıa hallado, ya que no dej´o rastro de ella para que otros matem´aticos pudieran verificarla. Durante a˜ nos, muchos matem´aticos intentaron encontrar una prueba para este teorema. Tanto era la obsesi´on, que Euler pidi´o a un amigo que registrara la casa de Fermat para buscar la demostraci´on. Gracias a que muchos matem´aticos la buscaban, se 6

desarroll´o la teor´ıa algebraica de n´ umeros en el siglo XIX y la demostraci´on del teorema de modularidad en el siglo XX. El primer matem´atico que avanz´o en la demostraci´on fue el propio Fermat, que demostr´o el caso n = 4 usando la t´ecnica del descenso infinito, una variante del principio de inducci´on. En 1735, Euler demostr´o el caso para n = 3, aunque en 1770 se encontr´o una falacia en esta demostraci´on. Esto se pudo corregir y encontrar un m´etodo m´as simple, gracias a resultados anteriores de Euler. La persona que dio el siguiente paso en la demostraci´on, fue la matem´atica Sophie Germain quien propuso el siguiente enunciado: Si p y 2p + 1 son primos, se tiene que la expresi´on del teorema de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y o z es divisible por p. Por tanto, podemos hacer dos casos: • Caso 1: ninguno de los x, y, z es divisible por p. • Caso 2: solo uno de los x, y, z es divisible por p. Sophie Germain prob´o el caso 1 para todo p menor que 100, y Legendre para p menor que 197. En 1825, Dirichlet y Legendre generalizaron la demostraci´on de Euler y as´ı pudieron demostrar el caso n = 5. En 1839, Lam´e demostr´o el caso n = 7. Se lleg´o a ofrecer un premio en met´alico para el primero que diera con la demostraci´on exacta de ´este. No fue hasta el a˜ no 1994, cuando Andrew John Wiles lo consigui´o con la colaboraci´on del matem´atico Richard Taylor. Wiles cuenta que empez´o a investigar el famoso teorema cuando solo ten´ıa 10 a˜ nos. Estaba mirando un libro de matem´aticas en un biblioteca p´ ublica y le caus´o curiosidad este gran desaf´ıo. Dec´ıa que era un problema hermoso y adem´as el enunciado era f´acil de entender. Cuando Wiles obtuvo la demostraci´on, dio una conferencia para explicarla que dur´o dos d´ıas ya que la prueba era muy larga. Se piensa que Wiles no encontr´o la misma demostraci´on que hab´ıa hecho Fermat, ya que en aquella ´epoca no exist´ıan las herramientas que utiliz´o Wiles (aparecieron mucho despu´es de la muerte de Fermat). As´ı se demostr´o que Fermat ten´ıa raz´on. Otro de los resultados que obtuvo Fermat fue uno relacionado con los n´ umeros primos, es decir, los n´ umeros que solo se pueden dividir por uno y por si mismos. 7

El problema era c´omo averiguar si un n´ umero era primo o no. Lo que hac´ıan hasta el momento era ir dividiendo el n´ umero por los primos m´as peque˜ nos, es decir, aplicaban el m´etodo de las divisiones. Pero esto supon´ıa una gran dificultad a la hora de tener que hacer tantas operaciones, por tanto, Fermat intent´o encontrar una soluci´on a este problema m´as sencilla. Despu´es de estudiarlo, lleg´o a la conclusi´on de que: n

Nn = 22 + 1 As´ı, obtuvo lo que llamamos los n´ umeros de Fermat. Busc´o los primeros n´ umeros utilizando esta f´ormula y vio que eran primos, por tanto, supuso que todos los n´ umeros que daba esta f´ormula ser´ıan primos. Pero estaba equivocado ya que en 1739, Euler demostr´o que para n = 5 el n´ umero de Fermat ten´ıa un divisor: • N0 = 3 1

• N1 = 22 + 1 = 5 2

• N2 = 22 + 1 = 17 3

• N3 = 22 + 1 = 257 4

• N4 = 22 + 1 = 65531 5

• N5 = 22 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417 Otro de los resultados fue el llamado Peque˜ no teorema de Fermat, que lo enunci´o en el a˜ no 1636, en una carta, cosa era de costumbre. Adem´as, no incluy´o la demostraci´on porque pens´o que ser´ıa demasiado larga. Este teorema est´a referido a la divisibilidad de n´ umeros. Afirma que, si se eleva un n´ umero a a la p-´essima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un n´ umero primo. El inter´es de este teorema est´a en su aplicaci´on al problema de primalidad y sobretodo en criptograf´ıa. ap ≡ a(modp) Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma: Si p es un n´ umero primo, entonces, para cada n´ umero natural a coprimo con p , ap−1 ≡ 1(modp). Vamos a explicar el ejemplo que da Fermat:

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1. Cogemos las potencias de 3: 3,9,27,81,243,729,.. 2. El n´ umero primo 13 divide a una de las potencias menos una unidad, en este caso a 27, ya que 27 − 1 = 26, y 13 es divisor de 26. Por tanto: 27 − 1 = 26 = 33 − 1 3. Entonces, 3(exponente) a de ser dividor de 13 menos una unidad, es decir, 12. 4. Fermat afirma que el n´ umero 31 2 − 1 es divisible por 13. Una de las cosas que tambi´en estudi´o Fermat fueron los n´ umeros amigos: Dos n´ umeros son amigos si son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a. Un ejemplo de n´ umeros amigos son el 220 y el 284, veamos por qu´e: • Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284. • Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220. • Los n´ umeros amigos son aquellos en los que la suma de los divisores de uno es el otro. 220 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 284 = 1+2+4+71+142 = 220 Fermat obtuvo una f´ormula para calcular n´ umeros amigos: Para cualquier n´ umero n mayor que 1, calculamos: n−1 p=3·2 −1 n p=3·2 −1 p = 9 · 22n−1 − 1 Estos tres n´ umeros son primos, y si los operamos de la siguiente manera, obtendremos dos n´ umeros amigos siguientes: 9

2n · p · q

2n · r

En 1636, Fermat dijo que 17296 y 18416 eran n´ umeros amigos. A˜ nos despu´es, en 1638, Descartes, como gran competidor suyo, envi´o una carta a Mersenne cont´andole que hab´ıa encontrado la tercera parejita de numeros amigos, 9363584 y 9437056. Fermat tambi´en estudi´o los n´ umeros perfectos. Un n´ umero perfecto es igual a la suma de sus divisores exceptuando ´el mismo. Por ejemplo, son n´ umeros perfectos lo siguientes: 6 = 1+2+3 26 = 1+2+4+7+14 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248 8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 Lo que quer´ıa Fermat era encontrar una regla que permitiera hallar n´ umeros perfectos, y que tambien sirviera para ver si un n´ umero era o no perfecto. En algunos n´ umeros, la suma de sus divisores es un m´ ultiplo del n´ umero. Estos n´ umeros son denominados perfectos por m´ ultiplos. El problema de encontrar estos n´ umeros fue propuesto por Mersenne en una carta a Descartes. Fermat descubri´o el 2o ejemplo de no perfecto por m´ ultiplos, el 672. Descartes contest´o a Mersenne dici´endole que hab´ıa encontrado otro n´ umero, el 1.476.304.896. Fermat descubri´o, al igual que Descartes, la regla de la alternancia de los signos de los coeficientes de una ecuaci´on, es decir, una ecuaci´on tiene igual n´ umero de raices positivas como el n´ umero de cambios de signo que haya entre los coeficientes, y igual n´ umero de raices negativas como n´ umero de permanencias de signo. Adem´as, demostr´o que toda ecuaci´on de cuarto grado es la intersecci´on de una par´abola con una circunferencia. Hemos visto de nuevo la intervenci´on de Descartes en los mismos temas en los que trabajaba Fermat. Parece que el pensamiento de Descartes era bastante racional. De hecho, conservamos su frase: No hay nada repartido de modo m´as equitativo que la raz´on: todo el mundo est´a convencido de tener suficiente. Sin embargo, fueron tres sue˜ nos que tuvo, y que ´el interpret´o como mensajes del cielo, los que le hicieron dedicarse a la filosof´ıa. Seg´ un Descartes, estaba determinado que ´el se dedicara a dicha a´rea. As´ı que desde 1620 hasta 1628 viaj´o por Europa dedic´andose a las relaciones sociales y al estudio. En estos a˜ nos, nuestro matem´atico 10

se relacion´o con la mayor´ıa de cient´ıficos de la ´epoca, se ejercit´o en su m´etodo, se liber´o de los prejuicios, acumul´o experiencias y elabor´o m´ ultiples trabajos como la ley de refracci´on de los rayos luminosos. Tambi´en en esta ´epoca redact´o las Reglas para la direcci´on del esp´ıritu, una obra inacabada que expone lo esencial de su m´etodo. En 1628 se centr´o en su ´area filos´ofica y empez´o a redactar un peque˜ no tratado de metaf´ısica sobre el alma y Dios que conten´ıa las ideas fundamentales de lo que ser´ıan posteriormente las Meditaciones metaf´ısicas. En 1629 detuvo su trabajo para redactar Tratado del mundo y de la luz que acabar´ıa en 1633 y que conten´ıa su f´ısica m´as mec´anica. Sin embargo, Descartes conoci´o la historia de Galileo: su condena por defender el geocentrismo. As´ı que prefiri´o no publicar su obra por miedo a las represalias que la Iglesia pudiera tomar en su contra. Aunque ´el sosten´ıa que las batallas entre ciencia y religi´on eran simplemente malentendidos y que en alg´ un momento el pueblo podr´a entender su obra. Mientras tanto, con el objetivo de divulgar su doctrina, public´o res´ umenes de su f´ısica, precedidos por un prefacio, el famoso Discurso del m´etodo, seguido de La Di´optrica, los Meteoros y La Geometr´ıa, que s´olo eran ensayos de este m´etodo (1637). Debido al ´exito de estas grandes obras, Descartes se dedic´o plenamente a la filosof´ıa publicando obras como Las Meditaciones metaf´ısicas (1641), Principios de la filosof´ıa (1644) y Las pasiones del alma (1649) m´as conocida como Tratado de las pasiones que constituy´o la u ´ltima obra publicada en vida del autor y supervisada por ´el. De hecho, Descartes es considerado como el iniciador de la filosof´ıa racionalista moderna, rompiendo definitivamente con la escol´astica, y como uno de los personajes m´as importantes en la revoluci´on cient´ıfica. Durante sus viajes en los a˜ nos 1644, 1647 y 1648, Descartes conoci´o a Pascal pero desafortunadamente, su relaci´on no fue del todo buena. No compartieron ning´ un trabajo ya que, m´as bien, podr´ıamos que decir que prefer´ıan trabajar por separado. En esos momentos, Pascal estaba haciendo experimentos sobre la presi´on atmosf´erica. En el a˜ no 1647, prob´o que el vacio exist´ıa. Cuando Descartes se enter´o de esto, le hizo una visita para discutir sobre este tema ya que Descartes cre´ıa que el vac´ıo no exist´ıa. Despu´es de su visita, Descartes escribi´o una carta a Huygens diciendo: ... tiene demasiado vac´ıo en su cabeza. 11

Un a˜ no despu´es, Pascal observ´o que la presi´on de la atm´osfera decrec´ıa con la altura y as´ı dedujo que exist´ıa un vac´ıo arriba de la atm´osfera. Descartes, escribi´o a su amigo Carcavi y le dijo que: Fui yo quien hace dos a˜ nos le aconsej´e hacerlo, pues aunque yo mismo no lo he llevado a cabo, no ten´ıa duda de su ´exito ... Ese mismo a˜ no, Pascal escribi´o un libro, Nuevos Experimentos Concernientes al Vac´ıo, cosa que hizo que tuviera disputas con otros cient´ıficos que tampoco cre´ıan en el vac´ıo. Pero Pascal s´ı cont´o con la colaboraci´on de Fermat para resolver un problema que le plantearon: c´omo repartir el dinero de una apuesta si ´esta se ve interrumpida antes de que acabe. La correspondencia que Pascal mantiene con Fermat no s´olo ayuda a resolver el enigma, sino que tambi´en provoca el nacimiento de la esperanza matem´atica. Al igual que Fermat, Pascal tambi´en es conocido por su Tri´angulo de Pascal o por sus aportaciones en f´ısica con estudios sobre la presi´on, como la invenci´on de la jeringuilla o la presa hidr´aulica.

Pascal fue un ni˜ no prodigio que tuvo el privilegio de escuchar asambleas de los mejores matem´aticos y cient´ıficos de Europa como Descartes y Desargues.

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A Pascal le interes´o mucho el trabajo de Desargues sobre secciones c´onicas, hasta tal punto que escribi´o Essai pour les coniques, su primer trabajo matem´atico. La pena fue que el trabajo se perdi´o y hoy en d´ıa solo disponemos de un fragmento de una copia. En su trabajo est´a escrito el teorema de Pascal que establece que si un hex´agono arbitrario se encuentra inscrito en alguna secci´on c´onica, y se extienden los pares opuestos de lados hasta que se cruzan, los tres puntos en los que interseccionan se encontrar´an ubicados sobre una l´ınea recta, denominada la l´ınea de Pascal de esta configuraci´on. Con la imagen siguiente, este teorema queda un poco mas claro.

Los puntos blancos son los v´ertices del hex´agono y la l´ınea blanca, es la l´ınea de Pascal. Cuando Descartes se enter´o de que un ni˜ no de 16 a˜ nos hab´ıa anunciado y demostrado el teorema anterior se sinti´o un poco disgustado y coment´o: No veo extra˜ no que haya ofrecido demostraciones sobre c´onicas m´as apropiadas que las de los antiguos, pero se pueden proponer otros temas relacionados con este asunto que raramente se le ocurrir´ıan a un chico de diecis´eis a˜ nos. En 1642, Pascal invent´o la primera m´aquina sumadora de la historia: la Pascalina. La cre´o para ayudar a su padre en los c´alculos que tenia que realizar en su trabajo ya que le permit´ıa sumar y restar. Veamos c´omo era.

Sin embargo, no tuvo gran ´exito, ya que era muy cara y s´olo se la pod´ıan permitir las familiar ricas de la ´epoca. 13

En 1654 Pascal public´o Trait´e du triangle arithm´etique, donde describe las propiedades y aplicaciones del tri´angulo de Pascal.

Expliquemos un poco c´omo funciona. Inicialmente, escribimos un 1 centrado en la parte superior de la pir´amide, despu´es escribimos 1 en las casillas situadas en sentido diagonal descendente de ambos lados. A continuaci´on, sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente, es decir, 1+1 da 2. Como vemos en la imagen en la tercera fila, tenemos en la casilla central un 2, ya que la suma de los dos n´ umeros de arriba suman 2, y as´ı sucesivamente. El tri´angulo de Pascal nos sirve para hacer c´alculos de combinatoria:

Podemos ver que si queremos calcular   n p se mira la intersecci´on de la fila n con la columna p, y el resultado que obtenemos es la soluci´on de la expresi´on anterior. Gracias a el triangulo obtenemos diferentes propiedades como: 

n 0



 = 14

n n

 =1

(que podemos ver en la imagen siguiente un ejemplo con el color amarillo). 

n n−p



 =

n p



(que podemos ver en la imagen siguiente un ejemplo con el color rojo (se demuestra por inducci´on)). 

n p

 =0

si p > n

(que podemos ver un ejemplo con el color c´ıan, que no tiene valores, es decir que es 0). 

n p



 +

n p+1



 =

n+1 p+1



(que podemos ver un ejemplo con el color magenta).

Tambi´en se demostraron otros resultados de combinatoria gracias al Triangulo de Pascal. En 1654, Gombaud le plantea a Pascal el problema de dividir el dinero de una apuesta hecha por dos jugadores si el juego de azar se ha interrumpido antes de que uno de ellos ganara y se tiene que repartir el dinero de forma equitativa, teniendo en cuenta la probabilidad que tiene cada uno de ganar el juego. Esto hace que Pascal mantenga correspondencia con Fermat para resolver el enigma, donde nace el concepto de esperanza matem´atica. Los dos matem´aticos fueron los grandes creadores de la Teor´ıa de la Probabilidad gracias a la correspondencia que mantuvieron. La primera carta se la envi´o Pascal a Fermat y conten´ıa el enunciado del problema que antes hemos mencionado. A lo largo de las cartas 15

entre ambos autores, se puede observar una cierta admiraci´on de Pascal hacia Fermat por su manera de plantear el problema y de dar una soluci´on. A pesar de eso, Pascal ofrece un m´etodo m´as corto que el que hab´ıa propuesto Fermat para calcular la ganancia de cada jugador. En las cartas, Pascal presenta su primer teorema de probabilidad: Si uno resta la diferencia de los cubos de dos n´ umeros consecutivos, el resultado es seis veces todos los n´ umeros contenidos en la ra´ız de la menor. Y demuestra el teorema pidi´endole a su gran amigo Fermat que revise el resultado. Se dieron cuenta que hab´ıan formulado y demostrado teoremas que eran pr´acticamente id´enticos, esto hizo que decidieran colaborar en sus investigaciones sobre probabilidad. Pascal, en la u ´ltima carta que escribi´o a Fermat, le dice que uno de los teoremas que Fermat public´o con su nombre, era el mismo que Pascal hab´ıa formulado en una de las cartas. Con esto, Fermat respondi´o: Su m´etodo, no tiene nada en com´ un con el m´ıo, y puede llegar f´acilmente a las mismas conclusiones. Ahora reanudamos nuestra armon´ıa. Pero Pascal se sinti´o ofendido y las cartas cesaron entre ellos, aunque ya hab´ıan dado soluci´on al problema planteado en la primera carta. Gracias al trabajo de estos dos grandes autores, Leibniz desarrollar´ıa el c´alculo infinitesimal. Al cabo de unos a˜ nos, Pascal formul´o la hoy llamada Apuesta de Pascal. Es una discusi´on sobre la creencia en la existencia de Dios, suponiendo que la existencia de Dios es una cuesti´on de azar. Una frase de Pascal sobre el tema fue La raz´on es que, a´ un cuando la probabilidad de la existencia de Dios fuera extremadamente peque˜ na, tal peque˜ nez ser´ıa compensada por la gran ganancia que se obtendr´ıa, o sea, la gloria eterna. Hay cuatro posibilidades, puedes creer en Dios, y si existe ir´as al cielo; puedes creer en Dios, y si no existe entonces no ganas nada; puedes no creer en Dios y si no existe tampoco ganas nada; y finalmente puedes no creer en Dios y si existe, luego no ir´as al cielo. Y escribi´o la tabla siguiente:

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Creer en Dios(Creer) No creer en Dios(¬Creer)

Dios existe(Dios) +∞(CIELO) −∞(INFIERNO)

Dios no existe(¬ Dios) -N(NADA) +N(NADA)

A partir de 1654, Pascal abandon´o casi todos sus trabajos en el campo de las matem´aticas y se centr´o en el campo religioso. En honor a sus contribuciones cient´ıficas se otorg´o el nombre Pascal a la unidad de medida de la presi´on. En el mundo literario, Pascal es reconocido como uno de los autores m´as importantes del periodo cl´asico franc´es, y hoy en d´ıa se le considera uno de los m´as grandes maestros de la prosa francesa. El contenido de su obra literaria se caracteriza por su fuerte oposici´on al racionalismo de Ren´e Descartes y su simult´anea afirmaci´on de que la filosof´ıa opuesta, el empirismo, es tambi´en insuficiente para alcanzar las verdades u ´ltimas.

Conclusi´ on Despu´es de muchos a˜ nos en los que las matem´aticas carecieron de actividad, se empez´o a estudiar sobre esta materia y as´ı fue surgiendo un inter´es por investigar y crear nuevos descubrimientos y resultados. En el siglo XVI d.C., debido al cambio de mentalidad que present´o la sociedad, temas que hasta el momento habian estado apartados cobraron importancia. La gente se empieza a preguntar el porqu´e de las cosas, intentan demostrar cosas, y no solo se basan en la intuici´on para afirmar resultados. El origen de esta situaci´on fue en Francia, por eso, damos importancia a matem´aticos franceses como Fermat, Descartes o Pascal. Gracias a ellos, entre otros, resurge el inter´es por las matem´aticas, ya que son ellos que estudian m´as a fondo este a´rea. No eran precisamente compa˜ neros, y este hecho provocaba retos para ver qui´en encontraba primero la soluci´on. Fen´omeno que promov´ıa el estudio matem´atico. Tanto Fermat como Descartes hicieron muchos avances en el a´rea de la geometr´ıa anal´ıtica. Se puede decir que fueron los fundadores. Los dos eran aficionados, no matem´aticos formados, as´ı que si se hubieran dedicado plenamente a las matem´aticas no sabemos que otros tantos resultados encontrar´ıamos hoy en d´ıa. Y Fermat y Pascal desarrollaron la teor´ıa de la probabilidad dando lugar a la conocida esperanza matem´atica. Fermat es m´as conocido por el u ´ltimo Teorema de Fermat. La b´ usqueda de una demostraci´on estimul´o el desarrollo de la teor´ıa algebraica de n´ umeros en el siglo XIX y la demostraci´on del teorema 17

de la modularidad en el siglo XX. En 1995, cuando Wiles hizo la demostraci´on se abri´o una nueva v´ıa, pr´acticamente una nueva a´rea: la de la modularidad. Gracias a Descartes, hoy en d´ıa estudiamos la geometr´ıa anal´ıtica y usamos coordenadas para situar los puntos en el espacio. Y la invenci´on de la Pascalina ha provocado que hoy en d´ıa tengamos calculadoras, un instrumento indispensable para poder hacer c´alculos matem´aticos en cualquier aula.

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