EL LENGUAJE ALGEBRAICO, UNA ALTERNATIVA PARA LA MODELACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

POR:

CLAUDIA PATRICIA MARÍN CASTRILLÓN JULIO CÉSAR CARDONA GIRALDO

Monografía para optar al titulo de Licenciado(a) en Matemáticas y Física

Asesor Fabián Brand Orozco Especialista en Enseñanza de las Matemáticas

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE LAS CIENCIAS Y LAS ARTES MEDELLÍN 2007

1

AGRADECIMIENTOS

A nuestro asesor, el Licenciado Fabián Brand Orozco, por confiar en nosotros, por su paciencia y compañía durante todo nuestro proceso de la práctica pedagógica y por sus valiosos aportes que

nos ayudaron a llevar a feliz termino esta

monografía.

A la Institución Educativa Normal Superior de Envigado, por abrirnos sus puertas para ejercitarnos en nuestra labor docente y por facilitarnos en los momentos en que fue posible, los medios para alcanzar nuestros propósitos.

A todas aquellas personas que contribuyeron al logro de nuestros objetivos con su colaboración y apoyo.

2

CONTENIDO

pág.

INTRODUCCIÓN

6

1. DISEÑO TEÓRICO

9

1.1 ANTECEDENTES

9

1.2 PROBLEMA

13

1.3 OBJETO DE ESTUDIO

13

1.4 CAMPO DE ACCIÓN

13

1.5 JUSTIFICACIÓN

14

1.6 OBJETIVO

17

2. MARCO TEÓRICO

18

2.1 ¿QUÉ ES COMPETENCIA?

19

2.2 LA DEFINICIÓN DE PROBLEMA

21

2.3 LA MODELACIÓN

26

3

2.4 SOBRE EL PENSAMIENTO VARIACIONAL

27

2.4.1 Características del razonamiento algebraico

30

3. DISEÑO METODOLÓGICO

32

4. PROPUESTA

39

5. CONCLUSIONES

50

BIBLIOGRAFICA

51

ANEXOS

53

4

RESUMEN

Una de las falencias observadas en el área de Matemáticas, en los grados octavo y noveno, de la Institución Educativa Normal Superior de Envigado, durante nuestra práctica profesional docente, es la dificultad que presentan los estudiantes para modelar

problemas donde se debe hacer uso de las expresiones

algebraicas. Estas observaciones están soportadas en los resultados que se tienen de las Pruebas Saber, en los cuales se comprueba el mal desempeño que han tenido los estudiantes en el tópico del álgebra, el cual tiene que ver con el pensamiento variacional. Con esta propuesta se pretende que los estudiantes se familiaricen y se ejerciten en la habilidad para modelar y resolver problemas con expresiones algebraicas.

Después de verificar que el problema existe, se procedió a consultar documentación en lo posible publicada por el Ministerio de Educación Nacional (MEN), respecto a lo que según ellos se debe enseñar en el aula de clase, particularmente lo que tiene que ver con las operaciones básicas entre expresiones algebraicas; además, ¿qué se entiende por modelación

problema y por

de problemas?, aspectos fundamentales para la construcción del

material final, que consiste en un cuadernillo

con una serie de problemas,

producto de una compilación, adaptación, creación y clasificación de acuerdo a su nivel de complejidad o nivel de logro, fundamentada en la bibliografía consultada.

5

INTRODUCCIÓN

Con la velocidad que avanza la sociedad en la actualidad, se nota que todo conocimiento está sujeto a ser adquirido de un modo rápido y eficaz, de tal manera que si una persona desea ser competente debe procurar adquirir los conocimientos en un tiempo relativamente corto, pero sin que esto implique adquirir los conocimientos a medias. Ahora, como la educación es parte fundamental de la sociedad, debemos ser concientes que ella misma está sujeta a todos estos cambios,

esta interdependencia implica un gran reto para el

docente, en el sentido que debe buscar alternativas en el aula de clase donde se formen estudiantes competentes para la vida. Es en esta situación donde cabe la pregunta, ¿qué es lo que necesita el estudiante para desenvolverse en la vida diaria?, y más aún, ¿cómo hacer para “garantizar” que lo enseñado en el aula contribuya al desarrollo de competencias en el estudiante?. No debemos

ser

ajenos a la realidad y ser conscientes de que una gran cantidad de los contenidos que se intenta transmitir a los estudiantes en el aula de clase, son fácilmente olvidados por ellos en un tiempo relativamente corto, esto en el caso en que alcancen a comprender el tema.

Remitiéndonos a un caso más particular como es el tema de operaciones básicas entre expresiones algebraicas, “en el aula de clase se observa que los estudiantes reconocen en éstas solo procedimientos algorítmicos que poco o nada tienen que ver con su contexto”1, razón por la cual cuando se enfrentan a problemas, que para ser resueltos requieren ser modelados a través de expresiones algebraicas, 1

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Propuesta de programa curricular octavo grado educación

básica secundaria. Bogotá: ICFES, 1990. p76.

6

presentan dificultades que evidencian las pocas competencias desarrolladas en su proceso. Es aquí donde se ve la necesidad de retomar la pregunta hecha anteriormente ¿cómo hacer para “garantizar” que lo enseñado en el aula contribuya al desarrollo de competencias en el estudiante? De acuerdo al MEN2 para dar cuenta de la competencia de un estudiante se ve como necesario que el estudiante al enfrentarse a un problema, logre matematizarlo, modelando a partir de las diferentes relaciones que establezca entre los conceptos que le subyacen. Por este motivo con este trabajo se busca mejorar en el estudiante la habilidad de modelar y resolver problemas que a la vez favorezcan el desarrollo del pensamiento variacional, partiendo de problemas dentro de contextos hipotéticos (Suposición de una cosa posible o imposible para sacar de ella una consecuencia), que le servirán al estudiante para ejercitarse en el

uso de las operaciones básicas entre expresiones algebraicas. Según los

Lineamientos de Matemáticas, es importante relacionar los contenidos del aprendizaje con la experiencia cotidiana y con los saberes que circulan en la escuela, entre estos desde luego, las disciplinas científicas.

Los resultados de las Pruebas Saber recién realizadas a los grados tercero, quinto, séptimo y noveno y los resultados de las pruebas ICFES (Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior) para el grado undécimo, han marcado una gran diferencia entre lo que las instituciones enseñan y lo que las pruebas preguntan. Estas pruebas tienen como propósito determinar niveles de logro en las competencias matemáticas de los estudiantes en la educación básica.

2

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Evaluar para transformar aportes de las pruebas saber al trabajo en el aula de clase. Santa fe de Bogota: ICFES, 2003

7

En este sentido se busca la posibilidad de que los estudiantes se familiaricen y se ejerciten en la habilidad

de modelar y resolver problemas con

algebraicas.

8

expresiones

1. DISEÑO TEÓRICO

1.1 ANTECEDENTES

En estudios muy recientes sobre educación se ha podido evidenciar que desarrollar en el estudiante el pensamiento variacional repercute favorablemente en el mejoramiento de la Educación Colombiana, ya en el año 1996, en el proceso de construcción y renovación

de los Lineamientos Curriculares se propone el

inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros importantes para alcanzar en la educación formal. “Esta clase de pensamiento tiene como propósito central en la educación básica y media, contribuir al desarrollo del pensamiento matemático a partir del trabajo con situaciones problemas provenientes de contexto sociocultural, de otras ciencias o de las mismas matemáticas”3.

En los estudios

sobre el pensamiento variacional se han podido identificar

algunos de los núcleos conceptuales matemáticos en los que esta involucrada la variación,

en

estos

núcleos

conceptuales

se

encuentra

el

álgebra

(particularmente las operaciones entre expresiones algebraicas) en su sentido simbólico liberada de su significación geométrica, particularmente la noción y significado de la variable es determinante en este campo.

En el transcurso de nuestra práctica profesional nos hemos observado que existe una gran dificultad estudiantil para relacionar las operaciones básicas entre 3

CASTIBLANCO, Ana Celia et al. Pensamiento Variacional y Tecnologías Computacionales. Bogota: Enlace Editores Ltda, 2004. p. 13-14

9

expresiones algebraicas con la resolución de

problemas dentro de contextos

matemáticos, se evidencia que éstos se aprenden de manera memorística, sin dar ningún sentido de lo que aprenden, y así, a la hora de dar una explicación respecto a lo que esto significa o representa se encuentran con una gran dificultad. Esto posiblemente sea porque: “el álgebra concebida como la aritmética generalizada, utiliza esquemas simbólicos en los cuales los caracteres son letras pero a las síntesis de las propiedades de la aritmética no se le ha dado un tratamiento adecuado, la forma de presentación de los contenidos, siempre ha sido la misma. Las estrategias en la enseñanza son pobres y carentes de creatividad. A su vez, son memorísticas y en ellas no se presenta la construcción ni la aplicación de los conceptos”4.

En trabajos anteriores sobre factorización se presenta la geometría como una herramienta que puede ayudar en la construcción del álgebra y su interpretación, nosotros en el desarrollo de este trabajo pretendemos que el estudiante a partir de la resolución de problemas vea las aplicaciones que tiene el álgebra dentro de contextos hipotéticos, desde una perspectiva geométrica, haciendo provecho de las habilidades que se pueden despertar en el estudiante con la estimulación del pensamiento variacional en su proceso de aprendizaje.

Con respecto a la enseñanza de los productos notables y la factorización se encuentran trabajos que buscan que los estudiantes aprendan las operaciones básicas entre expresiones algebraicas,

a través del razonamiento visual y

geométrico; en estos trabajos utilizan como herramienta materiales concretos para favorecer los proceso de significación de los conocimientos matemáticos, como son las conocidas “regletas algebraicas”, que buscan representar la factorización de los polinomios así como también la representación geométrica de los productos notables. Los autores de estos trabajos, le dan valor a lo realizado, 4

GARCÍA, Gloria y CAMARGO Leonor. Errores en el álgebra. En: Revista educación y cultura. N.40. C.E.I.D. Fecode. Mayo 1996.

10

pues afirman que el razonamiento visual y geométrico trae a la enseñanza aportes significativos como por ejemplo5  “Proporcionan un equilibrio entre el razonamiento visual y el geométrico, con el razonamiento analítico.  Fomentan la interdisciplinariedad entre las áreas del conocimiento y establece una mejor relación entre las matemáticas y la geometría.  Reconstruye

el

álgebra,

a

partir

de

situaciones

concretas

y

conmensurables”.

Seguramente, cuando los autores de estos trabajos se propusieron investigar en este campo fue porque

se dieron cuenta que

“el análisis de los distintos

procedimientos utilizados para resolver ecuaciones muestra la necesidad de recurrir siempre a otros tipos de lenguaje: natural, aritmético, o geométrico. El lenguaje aritmético fue utilizado por Diofanto y los hindúes y constituye, además el fundamento de la regla de la falsa posición, que fue aplicada por los matemáticos chinos, hindúes y árabes. El lenguaje geométrico fue utilizado por los griegos y alKhayyam, mientras algunas nociones protomatemáticas de análisis fueron aplicadas por al-Tusi. En todos estos casos, el nivel de desarrollo del lenguaje algebraico era muy escaso, entonces era necesario recurrir a otros lenguajes (natural, aritmético, geométrico o analítico) para obtener solución del problema, a partir de la interpretación de los procedimientos efectuados”6. En la actualidad nada de esto ha cambiado, por tanto se ve cada día más la necesidad de buscar mecanismos para que los estudiantes sean capaces de interpretar los significados que tienen los procesos algebraicos relacionados con las operaciones básicas entre expresiones algebraicas. 5

RAMÍREZ SALAZAR Juan Manuel; JARAMILLO HERNÁNDEZ francisco Javier y MENDOZA SOTO Alcides. La Geometría: Estrategia para el Aprendizaje de la factorización. Medellín, 1998. p. 10. Trabajo de grado. Universidad de Antioquia. 6 MALISANI Elsa. Los Obstáculos Epistemológicos en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico Visión Histórica. En: Revista IRICE del instituto rosario de investigaciones en ciencias de la educación. No 13. 1999. p. 16.

11

Otro trabajo que se encontrado está relacionado con la enseñanza del álgebra, y es la tesis titulada: “Enseñanza y Aprendizaje del Concepto de Variable en el Contexto de la Educación de Adultos” en este trabajo se muestra cómo muchas veces en la escuela se empieza a enseñar operaciones algebraicas con el “manejo de letras” sin antes enseñarle al estudiante que las letras son una generalización de los números y así el uso de ellas se hace útil para representar cantidades desconocidas y para expresar algunas propiedades numéricas. Este trabajo sustenta que “las causas en las dificultades del álgebra son de variada índole, una de ellas son los métodos y estrategias empleados por los docentes en la iniciación del álgebra, al respecto Vasco afirma: Durante la educación secundaria, la llamada álgebra elemental se presenta abandonando su relación con los problemas y fenómenos que hicieron de ella un instrumento poderoso y hermoso para el pensamiento humano, además se ocultan los grandes esfuerzos intelectuales y los refinamientos teóricos que lograron terminar en una obra tan simple”7.

Las experiencias o trabajos antes mencionados son los que dan pie a seguir investigando sobre nuevos aportes que puedan generar espacios en el aula de clase para que las operaciones básicas entre expresiones algebraicas sean entendidas no como un procedimiento memorístico, si no, crear estrategias que permitan al estudiante el análisis de problemas dentro de contextos hipotéticos o reales,

que puedan ser solucionados mediante la aplicación de dichas

operaciones.

7

VILLA OCHOA Jhony Alexander y TABARES MARTINEZ Guillermo León. Enseñanza y Aprendizaje del Concepto de Variable en el Contexto de la Educación de Adultos. Medellín. 2000. p. 73. Trabajo de grado. Universidad de Antioquia.

12

1.2 PROBLEMA

Los estudiantes del grado noveno de la Institución Educativa Normal Superior de Envigado presentan dificultades para resolver problemas del contexto matemático, que involucran el uso de operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división) entre expresiones algebraicas.

1.3 OBJETO DE ESTUDIO

La enseñanza y el aprendizaje de operaciones con expresiones algebraicas, en los grados octavo y noveno, cuyo propósito sea la modelación de problemas.

1.4 CAMPO DE ACCIÓN

Elaboración

de

una

propuesta

metodológica

que

permita

desarrollar

competencias en el estudiante, especialmente la modelación, haciendo uso de las operaciones básicas entre expresiones algebraicas.

13

1.5 JUSTIFICACIÓN

La educación atraviesa por un notable deterioro en el rendimiento académico de sus estudiantes, siendo esto más notable en el tópico del álgebra, para decir esto nos apoyamos en dos aspectos fundamentales en primer lugar el seguimiento que se pudo realizar a los estudiantes de los grados octavo y noveno de la Institución Educativa Normal Superior de Envigado durante la práctica profesional; en segundo lugar, los resultados que arrojaron las Pruebas Saber a nivel nacional, las cuales indican que:

Para grado 9° un preocupante grupo del 23.99% de evaluados no alcanza a ubicarse en el nivel más bajo (C). Un 43.3% están en ese nivel (C) que son quienes logran resolver problemas de rutina, pueden modelar situaciones aritméticas y justificar estrategias y procedimientos usando ejemplos. En el nivel D se ubicaron el 19.68% de los jóvenes, los cuales pueden proponer diferentes estrategias para la solución de un problema. Sólo el 13.01% alcanza el mayor nivel (E) nivel que exige la capacidad de resolver problemas complejos, construir argumentos, generalizar, predecir y justificar razonamientos y conclusiones. Para ser más específicos, en lo que tiene que ver con los estudiantes de la Institución Educativa Normal Superior de Envigado, se puede observar que el tópico que corresponde al álgebra es donde los estudiantes presentan más bajo rendimiento (ver anexo A).

Con la observación realizada en la práctica docente se pudo comprobar que los estudiantes en muchas ocasiones dominan los algoritmos algebraicos como son: adición, sustracción, multiplicación y división entre expresiones algebraicas, pero cuando se les plantea un problema, donde el primer paso a seguir es modelar

14

dicho problema por medio de las expresiones algebraicas, el estudiante no es capaz de realizarlo, se desanima en el primer intento por querer resolver el problema de forma inmediata. Desde este punto de vista vemos este trabajo como una herramienta, que bien utilizada se puede convertir en un soporte para que los estudiantes se vayan formando en el proceso de modelar problemas de contextos hipotéticos o reales, a través del uso de las expresiones algebraicas.

La situación antes descrita, motiva la realización de una propuesta cuya intención fundamental es realizar un estudio que permite a través de la indagación bibliográfica diseñar una herramienta, que llamaremos en adelante “cuadernillo”, que sirva a los estudiantes para un mejor desempeño en el que hacer académico y además oriente a los docentes frente a las nuevas formas de enseñanza de los contenidos matemáticos que se acomodan a las pretensiones del Ministerio de Educación Nacional.

Cuando los docentes quieren llevar al aula problemas que requieran del uso de las expresiones algebraicas para ser resueltos, uno de los primeros inconvenientes con que se encuentran es que en los textos cotidianos utilizan las expresiones algebraicas de una manera muy mecánica, las pocos problemas que requieren del uso de las operaciones algebraicas se encuentran en la parte llamada ejercicios misceláneos los cuales tienen un grado de dificultad muy avanzado, impidiendo esto que el estudiante pueda llevar un proceso en su formación, desde este punto de vista el cuadernillo propuesto en el trabajo tendrá un componente importante que permite seguir un proceso donde el estudiante se enfrente con problemas simples y complejos, material que hace falta en los textos que cotidianamente se ofertan en el comercio y que estamos brindando con el cuadernillo.

Los aportes que se hagan en favor de la educación nunca estarán de más, por tal motivo, nos sentiremos complacidos al saber que este aporte sirve para que los

15

estudiantes no vean el trabajo con expresiones algebraicas como un simple proceso mecánico, y además, sepan enfrentarse a problemas que involucran esta temática.

16

1.6 OBJETIVO

Diseñar y proponer un cuadernillo que sirva al docente en el aula de clases como herramienta de apoyo para orientar el trabajo del estudiante, promoviendo en él la modelación y la resolución de problemas en contextos hipotéticos, en los cuales sea necesario

hacer uso de las

expresiones algebraicas y sus operaciones

básicas.

1.7 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Observar el proceso de enseñanza aprendizaje del tema operaciones entre expresiones algebraicas de los estudiantes del grado octavo.

Indagar

las dificultades que tienen los estudiantes del grado octavo y

noveno para resolver problemas con expresiones algebraicas.

Consultar qué evalúa el ICFES en las Pruebas Saber del grado noveno y cuál es el objetivo de estas pruebas.

Recolectar e

idear

problemas que requieran el uso de expresiones

algebraicas para su modelación y resolución.

17

2. MARCO TEÓRICO

La ley 115 de 1994 nos habla en el Art. 22 sobre los objetivos específicos de la educación básica en el ciclo de secundaria. Algunos de los objetivos aquí expresados y que consideramos están relacionados directamente con el área de matemáticas son:

El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los sistemas numéricos, geométricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos, de operaciones y relaciones, así como para su utilización en la interpretación y solución de los problemas de la ciencia de la tecnología y los de la vida cotidiana.

La comprensión de la dimensión práctica de los conocimientos teóricos, así como la dimensión teórica del conocimiento práctico y la capacidad para utilizarla en la solución de problemas.

De acuerdo a los Lineamientos Curriculares de Matemáticas, la actividad relacionada con la resolución de problemas ha sido considerada como un elemento importante en el desarrollo de las matemáticas y en el estudio del conocimiento matemático. En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas van ganando confianza en el uso de las matemáticas, van desarrollando una mente inquisitiva y perseverante, van aumentando su capacidad de comunicarse matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de pensamiento de más alto nivel.

18

Es por esto que el planteamiento y la resolución de problemas hace parte de los tres aspectos que consideran los estándares de matemáticas siempre deben estar presentes en la educación, además, del razonamiento matemático y la comunicación matemática. Estos tres aspectos: comunicación, razonamiento y resolución de problemas que hacen parte de las competencias específicas que define el Instituto Colombiano para el fomento de la educación superior – ICFESen las evaluaciones que lleva a cabo (Pruebas Saber), con el fin de establecer la calidad de lo que se enseña y se aprende en las matemáticas escolares.

2.1 ¿QUÉ SE ENTIENDE POR COMPETENCIAS?

Según el ICFES el concepto de competencia alude al saber hacer de un sujeto frente a una tarea particular, destacando que ese saber hacer es posible gracias a las operaciones que realiza el sujeto a propósito de un reto particular. Actualmente, se pone el énfasis en comprender las actuaciones de los sujetos a través de la identificación de los elementos que se integran para lograr con éxito una tarea. Esto conduce a estudiar lo relacionado con las estrategias cognitivas y procedimentales que pone en juego un sujeto al momento de resolver un problema o al enfrentarse a la lectura de un texto que le permitirá ampliar su conocimiento.

Competencias específicas8

8

INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR. Pruebas saber

2005

Marco

de

interpretación

de

resultados.

Disponible

en

http://menweb.mineducacion.gov.co:8080/saber/Marco_interpretacion_resultados_2005.pdf 13 de marzo de 2007

19

Comunicativa: Está referida a la capacidad del estudiante para expresar ideas, interpretar, representar, usar diferentes tipos de lenguaje, describir relaciones. Relacionar materiales físicos y diagramas con ideas matemáticas. Modelar usando lenguaje escrito, oral, concreto, pictórico, gráfico y algebraico. Manipular proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas, utilizar variables y construir argumentaciones orales y escritas.

Razonamiento: Relacionado con el dar cuenta del cómo y del porqué de los caminos que se siguen para llegar a conclusiones. Justificar estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones problema. Formular hipótesis, hacer conjeturas, explorar ejemplos y contraejemplos, probar y estructurar argumentos. Generalizar propiedades y relaciones, identificar patrones y expresarlos matemáticamente.

Solución de problemas: está ligada a formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la matemática. Traducir la realidad a una estructura matemática. Desarrollar y aplicar diferentes estrategias y justificar la elección de métodos e instrumentos para la solución del problema. Justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de una respuesta obtenida. Verificar e interpretar resultados a la luz del problema original y generalizar soluciones y estrategias para dar solución a nuevas situaciones problema. De acuerdo a Miguel Ángel Maldonado9

para la elaboración de las pruebas

aplicadas en marzo de 2000, el ICFES determinó que los estudiantes de básica secundaria deben estar en disposición de: Interpretar, argumentar y proponer

9

MALDONADO GARCÍA, Miguel. Las competencias una opción de vida. Colombia: Ecoe ediciones, 2003.

p. 10 y 65.

20

sobre biología, química, física, matemáticas, lenguaje, filosofía, historia, geografía e idioma extranjero.

A continuación se presenta un resumen sobre que se entiende según el MEN por: interpretar, argumentar y proponer desde las competencias:

La competencia interpretativa: consiste en un conjunto de habilidades, conocimientos y actitudes dirigidas a la fundamentación en la comprensión de la información, buscando determinar su sentido y significación a partir del análisis de textos, gráficas, expresiones musicales, esquemas, teatro, gestos y expresiones orales.

La competencia argumentativa: consiste en un conjunto de habilidades, conocimientos y actitudes dirigidas a la explicación de determinados procesos, proposiciones, tesis, planteamientos, procedimientos, teorías, sucesos, anécdotas, mitos, fenómenos naturales y sociales.

La competencia propositiva: consiste en un conjunto de habilidades, conocimientos

y

actitudes

dirigidas

a

proponer

hipótesis

para

explicar

determinados hechos, construir soluciones a los problemas, deducir las consecuencias de un determinado procedimiento, elaborar unos determinados productos.

2.2 LA DEFINICIÓN DE PROBLEMA Como dice Juan Ignacio Pozo10 existen una gran variedad de definiciones, pero la definición más clásica con la cual parecen estar de acuerdo la mayoría de los 10

POZO, Juan et al. La solución de problemas. Madrid: Aula XXI Santillana, 1994. p 17-19.

21

autores es “Un problema es una situación que un individuo o un grupo quiere o necesita resolver y para la cual no dispone de un camino rápido y directo que le lleve a la solución” ( LESTER) .

El MEN en los Lineamientos Curriculares se apoya en las propuestas de Polya y Alan Schoenfeld para la enseñanza de la resolución de problemas de matemáticas. Los Lineamientos consideran los trabajos sobre resolución de problemas desde dos perspectivas: Una es la solución de problemas como una interacción con situaciones problemáticas con fines pedagógicos. Otra es la capacidad de resolución de problemas como objetivo general del área de matemáticas. Según los lineamientos curriculares Polya considera que “Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”. Polya plantea cuatro fases para resolver un problema: Entender el problema, configurar un plan, ejecutar un plan y mirar hacia atrás. Por otro lado “Garrett define un problema como una situación o conflicto para la que no tenemos respuesta inmediata, ni algoritmo, ni heurístico. Incluso ni siquiera sabemos qué información necesitamos para intentar conseguir una respuesta. El problema se sitúa más allá de lo que nosotros entendemos del mundo”

11

De acuerdo con estos dos autores (Garrett y Polya) encontramos dos clasificaciones de problemas12: Según la tarea a realizar y según su solución.

11

www.monografias.com/trabajos30/aprendizaje-significativo/aprendizaje-significativo.shtml - 40k Julio 29 de 2007 12 es.geocities.com/humor_matematicas/PROBLEMAS/problemas_clasificacion.htm - 23k Julio 29 de 2007

22

Según la tarea por realizar: problemas por resolver y problemas por demostrar (Polya). El propósito de un "problema por resolver" es descubrir cierto objeto, la incógnita del problema. Los "problemas por resolver" pueden ser teóricos o prácticos, abstractos o concretos; son problemas serios o simples acertijos. Sus principales elementos son: la incógnita, los datos y la condición. El propósito de un "problema por demostrar", también llamado teorema, consiste en mostrar de modo concluyente la exactitud o falsedad de una afirmación claramente enunciada. Sus elementos principales son la hipótesis y la conclusión del teorema que hay que demostrar o refutar. Los "problemas por resolver" tienen mayor importancia en las Matemáticas Elementales; los "problemas por demostrar" son más importantes en las Superiores. Según su solución: El Señor Garrett establece dos tipos de problemas: Problemas cerrados: Son aquellas situaciones, preguntas o dudas que sólo tiene una respuesta o más de una, pero igualmente correctas. Quien se enfrenta a este tipo de problemas garantizará la respuesta correcta aplicando un método algorítmico preestablecido. Problemas abiertos: Son aquellas situaciones para la cual el sujeto no tiene una solución clara y no posee ningún algoritmo que le permita obtenerla. La pregunta que surge ahora es ¿cuál es la diferencia entonces entre ejercicio y problema? La diferencia es que una situación o tarea es un ejercicio en la medida en que la persona que se enfrente a ella disponga de mecanismos que lo lleven de forma más inmediata a la solución, el problema por el contrario no dispone de procedimientos automáticos. Por tanto “es posible que una misma situación se

23

constituya un problema para una persona mientras que para otra ese problema no existe, bien porque carece de interés por la situación, bien porque posee los mecanismos para resolverla sin inversión de recurso cognitivos y puede reducirla a un mero ejercicio.”13 .Si un problema se soluciona repetidamente acaba por convertirse en un ejercicio.

El ICFES en los problemas que plantea a los estudiantes en las pruebas de estado, pretende que las situaciones sean de diverso tipo, aunque generalmente se reconoce el uso solamente de problemas de tipo texto en los cuales sólo se exige una modelación de un concepto y el estudiante trata de aplicar únicamente conocimientos, ignorando lo nuevo que le puede aportar a la situación cuando la está desarrollando. “Al respecto, Santos Trigo (1996) plantea que " cuando los problemas se establecen en contextos específicos como los que se encuentran en los libros de texto, parece que el conocimiento específico de la materia relacionada juega un papel determinante, sin embargo, cuando el problema es no familiar, la presencia de estrategias generales se hace más notable en el proceso de solución””14.

Juan Ignacio Pozo señala que la eficiencia en la solución de un problema no depende de la disposición de estrategias o habilidades generales y transferibles, válidas para cualquiera, sino más bien de los conocimientos específicos, útiles para solucionar ese problema. Se entiende entonces que además de la habilidad de razonamiento que se posee para enfrentarse a un problema es necesario tener conocimiento del contexto en el cual se presenta el problema. No es lo mismo para un abogado resolver un problema de derecho que para un matemático.

13

14

POZO, Juan Ignacio et al. La solución de problemas. Madrid: Aula XXI Santillana, 1994. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. prueba – Resultados pruebas saber 2005.Disponible en:

http://www.mineducacion.gov.co/prueba/1723/article-99083.html mayo 21 de 2006

24

La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia, lo que permite en el estudiante la fijación de lo aprendido y la apropiación de nuevos conocimientos, en otras palabras un aprendizaje significativo.

Según Ausubel el aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información “se conecta” con un concepto relevante (“subsunsor”) pre-existente en la estructura cognitiva, esto implica que, las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un punto de “anclaje” a las primeras.

La educación matemática se plantea de acuerdo al ICFES que en el contexto escolar el estudiante debe acercarse al quehacer del matemático, el estudiante debe construir conocimiento significativamente alrededor de los conceptos que han configurado la matemática, y debe generar formas de interpretación y de construcción de situaciones desde los avances de la matemática. En este sentido, es indispensable pensar que los conceptos matemáticos están conectados con la actividad mental de los estudiantes.

Considerando las definiciones

de: problema y

diferencia entre ejercicio y

problema anteriormente mencionadas, y la necesidad de tener clara una definición que identifique los problemas que se plantearán en el cuadernillo, se entenderá por problema

dentro de un contexto escolar y matemático: “Situación que

entraña una duda, cuya respuesta, desconocida pero habitual, puede ser

25

hallada. El problema debe ser comprensible para poder ser encarado de forma inteligente y debe además, ofrecer motivos para querer resolverlo”15.

Cuando la práctica nos proporcione una solución directa y eficaz para la solución de un problema, escolar o personal, acabaremos aplicando esa solución de modo rutinario, con lo que la tarea simplemente servirá para ejercitar habilidades ya adquiridas.

2.3 LA MODELACIÓN

En términos del MEN, en cuanto a lo que nos compete, podemos decir que los Lineamientos Curriculares de Matemáticas consideran la modelación o la construcción de modelos como el proceso completo que conduce desde la situación problemática real original hasta un modelo matemático. Los Lineamientos hacen mención a Teffers y Gaffree16 quienes proponen algunas actividades para transferir la situación problemática real a un problema matemático:

Identificar las matemáticas específicas en un contexto general. Esquematizar Formular y visualizar un problema en diferentes formas Descubrir relaciones Reconocer aspectos isomorfos en diferentes problemas

15

16

PALACIO, A et al. Interdisciplina para armar. Argentina: Magisterio del río de la Plata, 1998. p.13

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Lineamientos curriculares de matemáticas. Santa fe de

Bogotá: 1998. p.98

26

Transferir un problema de la vida real a un problema matemático Transferir un problema del mundo real a un modelo matemático conocido.

Una vez que el problema ha sido transferido a un problema más o menos matemático, este problema puede ser atacado y tratado con herramientas matemáticas, para lo cual se pueden realizar actividades como las siguientes:

Representar una relación en una fórmula Probar o demostrar regularidades Refinar y ajustar modelos Combinar e integrar modelos Formular un concepto matemático nuevo Generalizar

La generalización se puede ver como el nivel más alto de la modelación

Podemos decir entonces, de acuerdo a los lineamientos curriculares de matemáticas, que toda representación simbólica matemática es un modelo cuando se conoce con sentido.

2.4 SOBRE EL PENSAMIENTO VARIACIONAL

El enfoque de la formulación y resolución de problemas se preocupa no solamente por el conocimiento matemático que estructura el estudiante, sino por todos los procesos que intervienen en la construcción del pensamiento matemático.

Los estándares son criterios claros y públicos que permiten conocer qué es lo que deben aprender los estudiantes. Son el punto de referencia de lo que un estudiante puede estar en capacidad de saber y saber hacer, en determinada área y en determinado nivel.

27

Los estándares están organizados en cinco tipos de pensamiento matemático: Pensamiento numérico y sistemas numéricos; Pensamiento espacial y sistemas geométricos; Pensamiento métrico y sistemas de medidas; Pensamiento espacial y sistemas geométricos; Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

y

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Interpretando al MEN17 El pensamiento variacional tiene que ver con el tratamiento matemático de la variación y el cambio. El estudio del álgebra escolar al lado de los procesos de variación permite ver que este tipo de pensamiento involucra los otros tipos de pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico y estadístico. Esto al menos por dos razones: de un lado, su estudio como parte de un proceso de búsqueda de una versión cada vez más general y abstracta del conocimiento implica el reconocimiento de estructuras invariantes en medio de la variación y cambio; y de otro lado todos ellos ofrecen herramientas para modelar situaciones a través de las funciones como resultado de la cuantificación de la variación. Sin embargo, según el MEN18 las dificultades en la resolución de problemas que exigen comprender la variación y la función, observadas en estudiantes que finalizan la educación básica, permiten cuestionar la eficiencia de la organización curricular actual del álgebra.

Con base en las observaciones realizadas a los estudiantes de octavo y noveno grado se puede afirmar que el estudiante presenta dificultades para solucionar problemas con expresiones algebraicas, debido a las interpretaciones que le dan a 17

Documento sobre los lineamientos curriculares de matemáticas y los estándares básicos de matemáticas tomado de la pagina de Internet : http://www.mineducacion.gov.co/estandares/ 18

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Evaluar para transformar aportes de las pruebas saber al

trabajo de aula. Bogotá: ICFES, 2003.p.59

28

las letras, pues si no tiene claro que significado tienen éstas dentro del contexto en las cuales se hace referencia, se les dificultará modelar el problema y por tanto solucionarlo. De acuerdo al MEN19

algunos estudios dan cuenta de seis interpretaciones

distintas realizadas por los estudiantes:

Letra Evaluada: A la letra se le asigna un valor numérico específico desde el inicio del proceso.

Letra Ignorado o no usada: Cuando al plantear una situación en la cual se incluye una representación gráfica de un segmento de longitud m, el estudiante toma la medida del segmento y realiza operaciones con tal número.

Letra como Objeto: La letra es considerada como un nombre para un objeto.

Letra como incógnita: La letra es vista como un número desconocido pero específico.

Letra como número generalizado: La letra se ve como representante de un conjunto de valores más que como un valor específico y se le reconoce las propiedades del conjunto al cual pertenecen los valores representados.

Letra como variable: La letra representa un rango de valores que varían dependiendo funcionalmente de otros.

19

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Evaluar para transformar aportes de las pruebas saber al

trabajo de aula. Bogotá: ICFES, 2003.p.32

29

Estas diferentes interpretaciones pueden estar causadas porque al estudiante se le enseña el manejo algorítmico de las diferentes operaciones algebraicas sin sentido, es decir, el estudiante llega a manejar muchas veces los algoritmos sin entender su significado, es por esto que se le dificulta la resolución de problemas.

La enseñanza del algebra y especialmente la enseñanza de las operaciones básicas entre expresiones algebraicas que es lo que compete en este trabajo debe ser relacionada dentro de un contexto y desde el momento en que se empiezan a enseñar los temas, los cuales no deben desligarse de los contenidos matemáticos ni de los demás saberes que circulan en la escuela. Características del razonamiento algebraico20

Patrones y regularidades:

Los patrones y regularidades existen y aparecen de manera natural en las matemáticas y en otras áreas del saber. Estos pueden ser reconocidos ampliados y generalizados mediante la construcción de situaciones que involucren procesos de variación y cambio. Es decir, un mismo patrón se puede encontrar en formas diferentes, tales como: Situaciones físicas, geométricas, aleatorias y numéricas. Esto informa que hay una estrecha relación con cada uno de los otros pensamientos que los maestros necesitan integrar para que haya un mejor aprendizaje de las matemáticas

Procesos de generalización

20

Documento sobre los lineamientos curriculares de matemáticas y los estándares básicos de matemáticas tomado de la pagina de Internet : http://www.mineducacion.gov.co/estandares/

30

Se puede ser más eficaz, al expresar las generalizaciones de patrones y relaciones usando símbolos que conduzcan a originar

procesos de

generalización. Todo este trabajo permite poner de manifiesto diferentes procesos matemáticos tales como el razonamiento, la comunicación y la resolución de problemas. La expresión de la generalidad forma la raíz básica del álgebra porque ésta les da significado a los símbolos que después hay que manipular... . (Mason, 1999, p 106)

Representaciones

El nivel de las representaciones ayuda en diferentes contextos propios de los tipos de pensamiento. Una

representación gráfica, se conecta con las

potencialidades conceptualizadoras de la visualización y se relaciona con la geometría; la representación en forma de tabla, pone de manifiesto los aspectos numéricos y cuantitativos; las expresiones simbólicas, se relacionan con el pensamiento variacional, mientras que la representación verbal se relaciona con la capacidad lingüística de las personas y es básica para trabajar las competencias comunicativa, interpretativa, argumentativa y propositiva.

Por tanto, cuando el estudiante comprende los símbolos algebraicos les es más fácil interpretar y modelar problemas.

31

3. DISEÑO METODOLÓGICO

Esta investigación para lograr el objeto de estudio es de tipo exploratorio, pues no encontramos búsquedas ni experiencias previas al respecto. Por ello este trabajo espera servir de apoyo a experiencias posteriores que cualifiquen el proceso acá iniciado, interviniendo en aula con este cuadernillo y u otros que se elaboren permitiendo intervenir con mayor acierto y eficiencia en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Esta investigación surge a partir: 1. de la necesidad de mostrar a los estudiantes la aplicación que tienen las operaciones básicas entre expresiones algebraicas en un contexto matemático, específicamente en la geometría, 2. de las debilidades que se detectan en la práctica profesional, al observar que a los estudiantes de los grados octavo y noveno de la Institución Educativa Normal Superior de Envigado se les dificultaba

modelar problemas del contexto matemático donde se

involucraban operaciones entre expresiones algebraicas.

Consideramos que uno de los objetivos de la práctica profesional, además de ejercitar la labor docente, es detectar problemáticas

de enseñanza-aprendizaje

dentro del aula, donde a su vez, se busquen alternativas que contrarresten estas problemáticas y sirvan tanto al estudiante en su proceso individual de asimilación de conceptos matemáticos, como al docente para intervenir en el aula de clase de una forma más significativa, como lo plantea el Ministerio de Educación en los Lineamientos y Estándares Curriculares de matemáticas. Con este fin, se diseña un cuadernillo donde se plantean problemas dentro de contextos hipotéticos, para que el estudiante se enfrente a situaciones diferentes a las que comúnmente se

32

trabajan en el aula de clase y dejen de ver las expresiones algebraicas como un simple proceso algorítmico sin sentido.

Para llevar a cabo el diseño del cuadernillo se inició observando a los estudiantes de los grados octavo y noveno, específicamente un grupo por grado, de la Institución Educativa Normal Superior de Envigado correspondientes a los grados asignados

para

nuestra

práctica

profesional.

Con

estas

observaciones

pretendíamos conocer cuál era el proceso de aprendizaje de los estudiantes en el tema “operaciones básicas entre expresiones algebraicas”. El resultado final de estas observaciones, sería identificar si las dificultades que presentan los estudiantes a la hora de resolver un problema radican en la realización de los algoritmos o en la interpretación y modelación del mismo.

Cabe de anotar que la experiencia se hizo en estos grados, pues es en octavo grado donde se inicia y desarrolla el tema de operaciones básicas entre expresiones algebraicas, y por lo tanto permite conocer cómo se está enseñando y cómo están aprendiendo los estudiantes esta temática.

La observación en

noveno nos permite saber que dificultades presentan los estudiantes a la hora de resolver un problema donde se involucra el uso de expresiones algebraicas además. de cómo ha sido la fijación de lo aprendido y la apropiación de los conceptos que allí se involucran.

Estas observaciones se desarrollaron en tres momentos:

Observación Antes: El proceso de enseñanza aprendizaje de los estudiantes de octavo que apenas se están apropiando de las nociones básicas de las operaciones algebraicas, para ver como interpretan las letras.

33

Observación Durante: consiste en observar como es el aprendizaje de las operaciones básicas entre expresiones algebraicas por parte de los estudiantes y cuales son las fortalezas y debilidades que ellos presentan en este tema.

Observación Después: Busca determinar las dificultades que tienen los estudiantes del grado octavo y noveno para modelar y resolver problemas que involucren el uso de expresiones algebraicas.

Después de las observaciones anteriormente descritas se procedió a realizar una encuesta a 30 estudiantes de noveno grado de la Institución Educativa Normal Superior de Envigado cuyos objetivos son:

Determinar si los estudiantes que ya han visto el tema, operaciones básicas entre expresiones algebraicas, encuentran alguna relación de este tema con la geometría.

Conocer cómo enseña y evalúa el profesor el tema operaciones básicas entre expresiones algebraicas.

34

DISEÑO DEL CUENTIONARIO

ENCUESTA

UTILIZACIÓN

DE

LAS

OPERACIONES

ENTRE

EXPRESIONES

ALGEBRAICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DENTRO DE UN CONTEXTO MATEMÁTICO Y COTIDIANO.

Estudiantes de Licenciatura en Matemáticas y física de la Universidad de Antioquia están haciendo un estudio para determinar que tan útil han visto los estudiantes el tema de las operaciones entre expresiones algebraicas, durante su aprendizaje y posterior a este, en la resolución de problemas. La sinceridad de tu respuesta es muy valiosa. Gracias por tu colaboración.

Marca con una X la opción que más se acomoda a tu realidad y/o completa el espacio en los casos que lo requiera.

1. Edad____

2. Sexo: F___

M____

3. Consideras que la memoria juega un papel importante para aprender a realizar operaciones entre expresiones algebraicas.

Siempre ____ Casi siempre___ Algunas veces___ Casi Nunca___ Nunca ___

4. La mejor manera de aprender a operar con expresiones algebraicas es:

35

_____Memorizar la definición de cada operación _____Hacer muchos ejercicios _____Resolver problemas que involucren el uso de operaciones entre expresiones algebraicas Otra___¿cuál?__________________________________________________ _______ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________

5. En el proceso de enseñanza de las operaciones entre expresiones algebraicas

tu profesor trae a colación problemas donde se involucren

dichas operaciones?

Siempre ____ Casi siempre___ Algunas veces___ Casi Nunca___ Nunca___ Ejemplifica:

6. Encuentras

en las expresiones algebraicas

alguna relación con la

geometría?

Si ____

No____(si tu respuesta es negativa continua con la pregunta

numero 8) Ejemplifica: 7. La siguiente expresión algebraica “X” geométricamente que significado tiene?

______________________________________________________________

36

_______

8. Algunas vez te has encontrado con problemas cotidianos que para ser resueltos se debe recurrir a las operaciones algebraicas?

Siempre ____ Casi siempre___ Algunas veces___ Casi Nunca___ Nunca___ Ejemplifica:

9 .El contenido de las pruebas escritas propuestas por tu profesor sobre operaciones entre expresiones algebraicas es:

___Meramente ejercicios ___Plantea problemas que deben ser resueltos aplicando las operaciones ___Tiene teoría y ejercicios

Otro___¿Cuál?_________________________________________________ _______ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

Después de analizados los resultados de la encuesta (ver anexo B) se hizo una recolección de problemas con expresiones algebraicas, éste sería sólo el primer paso, pues desde ahí se comenzaría a adaptar, clasificar y procesar esta información, para empezar a darle forma al cuadernillo que es el objetivo final de la propuesta.

En el desarrollo de esta investigación se tuvo en cuenta los resultados de las pruebas saber aplicadas a los estudiantes de grado noveno, pues en ella hay un gran contenido algebraico que parte de lo real para el estudiante, es decir preguntas donde lo que se pretende no es que el estudiante resuelva un algoritmo

37

algebraico, si no que modele situaciones del contexto matemático a un lenguaje algebraico. El análisis de estas pruebas fueron determinantes para encaminar la clasificación y adaptación de los problemas recolectados, pues cuando se analizaron los resultados arrojados por las pruebas saber se pudo observar que en la parte algebraica es donde más falencias tienen los estudiantes.

Para que el producto final (cuadernillo) estuviera acorde con los requerimientos que propone el MEN, se realizó una indagación bibliográfica a los diferentes textos, cuadernillos, documentos,

paginas Web publicadas por el MEN y el

ICFES, que permitieron tener una visión clara de qué es lo que en la actualidad proponen los estándares curriculares y que evalúa el ICFES en las pruebas saber a los estudiantes en el área de matemáticas, con el fin de que el trabajo realizado tenga a futuro

beneficios en el proceso de enseñanza

operaciones básicas entre expresiones algebraicas.

38

aprendizaje de las

4. PROPUESTA METODOLOGÍCA

La propuesta está fundamentada en el diseño de un cuadernillo ( Ver anexo C) con una serie de problemas hipotéticos, planteados especialmente para que los estudiantes

se ejerciten en la habilidad de

modelar y resolver

problemas,

haciendo uso de las operaciones básicas entre expresiones algebraicas, con el fin de que haya una fijación y apropiación de lo aprendido que a la vez permita desarrollar en el estudiante el pensamiento variacional, pues, según los Lineamientos Curriculares de matemáticas “proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros para alcanzar en la educación básica,

presupone

superar

la

enseñanza

de

contenidos

matemáticos

fragmentados para ubicarse en el dominio de un campo conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas”21.

Teniendo en cuenta que los procesos de compresión y formación de competencias matemáticas son procesos complejos y se suceden en largos periodos de tiempo; y de otro lado, que los procesos de aprendizaje y desarrollo son desiguales de un estudiante a otro de acuerdo al MEN22. El cuadernillo estará diseñado con tres niveles de complejidad o niveles de logro:

21

MINISTERIO

DE

EDUCACIÓN

NACIONAL.

Lineamientos

Curriculares.

Matemáticas, áreas obligatorias y fundamentales. Santa fe de Bogotá: MEN. 1998. p. 72 22

Ministerio nacional de educación, Pág. 4

39

 Primer nivel: se ubican los problemas que se pueden resolver directamente con los datos que aparecen en el enunciado, que se dan ordenados y toda la información necesaria es explícita.  Segundo nivel: se ubican los problemas que requieren de un mayor análisis para extraer los datos, de modo tal que el estudiante

se vea

obligado a traducir el enunciado del problema de un lenguaje natural a un lenguaje algebraico, permitiéndole establecer relaciones para proceder luego a la modelación y posterior solución del mismo.  Tercer nivel: se ubican los problemas con un mayor nivel de complejidad, que involucran varias operaciones algebraicas para su solución, además en este tipo de problemas el estudiante podrá encontrar diversos caminos de solución, facilitando de este modo un mayor análisis de la situación. El enunciado no contiene todos los datos necesarios.

Para identificar cada uno de estos niveles en cada uno de los problemas propuestos en el cuadernillo se utilizaran tres estrellas que significan los tres niveles pero solo aparecerá coloreado el número de estrellas de acuerdo al nivel en el que se considera esta el problema, ejemplo:

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Este diseño de actividades fue pensado de esta manera porque según los estándares, los procesos de aprendizaje se desarrollan gradual e integradamente,

40

a partir de niveles de complejidad creciente y un claro ejemplo de que así lo ve el MEN son las pruebas saber, las cuales ofrecen unos grados de complejidad en las situaciones problemas propuestas.

A continuación se presentan los niveles de complejidad establecidos por el ICFES para el grado noveno en las Pruebas Saber, privilegiando la información sobre el nivel de competencia que exigen y estableciendo la relación con el tópico al cual se le han asociado.

NIVEL C: Relaciones directas en problemas no rutinarios simples. En este nivel se ubican los estudiantes que son capaces de resolver problemas no rutinarios simples. El estudiante no requiere resolver submetas para resolver el problema e igualmente solo necesita estrategias que involucran un tópico del conocimiento matemático, aunque requiere relacionar varios conceptos del mismo tópico. En estos problemas el estudiante debe establecer distintas relaciones entre las variables o conceptos involucrados en la pregunta, que son propuestas en las distintas opciones de respuestas. Además, estos problemas implican distintas traducciones del lenguaje natural a simbólico, simbólico a natural, de lenguaje natural a gráfico y viceversa. Para la resolución de estos problemas el estudiante pone en juego un conocimiento matemático nocional.

NIVEL D: relaciones no directas en problemas no rutinarios simples. En este nivel se ubican los estudiantes que son capaces de resolver problemas no-rutinarios. El estudiante a diferencia de los niveles anteriores requiere establecer subtemas y utilizar estrategias que involucren distintos tópicos del conocimiento matemático, además le exige al estudiante el establecimiento de más de una regularidad o patrón.

41

Para la resolución de los problemas el estudiante pone en juego no solo un conocimiento matemático nocional si no que requiere de mayor acercamiento a la conceptualización.

NIVEL E: relaciones no directas en problemas no rutinarios complejos. En este nivel se ubican los estudiantes que son capaces de resolver problemas no rutinarios complejos. El estudiante debe descubrir en el enunciado relaciones no explicitas que le posibiliten establecer una estrategia para encontrar la solución. Requiere establecer submetas y utilizar estrategias utilizando distintos tópicos del conocimiento matemático. Para la resolución de estos problemas el estudiante pone en juego un conocimiento matemático que da cuenta de un mayor nivel de conceptualización logrado.

Los tres niveles de dificultad sobre los cuales se soporta esta propuesta buscan estar de acuerdo con la definición de problema en la cual esta sustentado el trabajo “por problema debe entenderse una situación que entraña una duda cuya respuesta, desconocida pero habitual, puede hallarse. El problema debe ser comprensible, para poder ser encarado de forma inteligente y debe además ofrecer motivos para querer resolverlo”23 . Si combinamos esta definición y lo dicho por el MEN respecto a que los estudiantes aprenden a ritmos diferentes, podemos ver claramente que aquello que para un

estudiante va a ser un

problema para otro no lo será, es decir si coloco a un estudiante a resolver un problema de un conocimiento especifico donde éste

posee muy vagas nociones

del tema para él esto no será un problema pues “un problema no comprendido,

23

PALACIO, A et al. Interdisciplina para armar. Argentina: Magisterio del río de la Plata,

1998. p.13

42

que por lo tanto no puede ser abordado y cuya solución no es deseada por la persona, no es un problema para ese individuo” 24.

Si colocamos a un estudiante que tiene muy buenas capacidades matemáticas a resolver el mismo problema esto no será un problema para el estudiante, sino un ejercicio

“.... consistente en la aplicación de rutinas sobreaprendidas y

automatizadas, sin que el estudiante sepa discernir el sentido de lo que esta haciendo y, por consiguiente, sin que pueda trasladarlo o generalizarlo de modo autónomo a situaciones nuevas, sean cotidianas o escolares”25 ; Por este motivo el cuadernillo busca que cada estudiante de acuerdo con sus capacidades se pueda ubicar en el respectivo nivel de conocimiento en el cual se encuentre. Interpretando al señor Juan Ignacio Pozo La diferencia entre ejercicio y problema se puede concebir como algo relativo al contexto de la tarea y al estudiante que se enfrenta a ella.

Los niveles de complejidad que se proponen en este cuadernillo fueron pensados de modo que favorezca el nivel de aprendizaje individual de cada estudiante, es decir, cada estudiante puede elegir el nivel de dificultad que desee, además las situaciones problemas planteadas también se prestan para que el estudiante cuando haya superado uno de los niveles, este en capacidad de pasar al nivel siguiente, claro esta que en este proceso, la labor del docente tendrá mucha importancia, pues esta es una propuesta dirigida a los estudiantes, pero que debe estar acompañada de la orientación del docente, quien estará encargado; de acuerdo con el proceso que ha venido siguiendo con el grupo, de decidir cual es el momento mas pertinente para aplicar la propuesta.

24 25

Ibib POZO, Juan Ignacio et al. La solución de problemas. Madrid: Aula XXI Santillana, 1994, p.16

43

A continuación presentamos un ejemplo de cómo traducir un problema escrito en lenguaje natural a un lenguaje algebraico y dos situaciones problemas donde se evidencian los tres niveles de dificultad mencionados anteriormente.

Ejemplo

Cuatro Hermanos tienen 45 dólares. Si el dinero del primero se aumenta en dos dólares, el tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de dólares. ¿Encontrar una expresión algebraica que represente la situación?.

Solución.

El primer paso para este problema es definir las variables Sea X igual a la cantidad de dinero que tiene el primer hermano Sea Y igual a la cantidad de dinero que tiene el segundo hermano Sea z igual a la cantidad de dinero que tiene el tercer hermano Sea w igual a la cantidad de dinero que tiene el cuarto hermano

Después de definir las variables se procede a traducir el problema

Lenguaje Natural

Lenguaje algebraico

Los cuatro hermanos tienen 45 dólares

X + Y +Z +W = 45

Si al dinero del primero se le agregan

X+2

dos dólares Si al segundo se le restan dos dólares

Y-2

El del tercero se duplica

2.Z

44

Y el del cuarto se divide por dos

W /2

Todos tendrán la misma cantidad

X + 2 = Y- 2 = 2.Z = W/2

Problema No. 1

La cancha de fútbol de un colegio tienen las siguientes dimensiones: a metros de largo y b metros de ancho.

a. ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro y el área de la cancha?

a

b Solución El perímetro es la longitud del contorno que delimita una figura. Si la figura es un polígono el perímetro es igual a la suma de sus longitudes (medidas de los lados). La cancha es rectangular por lo tanto su perímetro es: b + b + a + a, es decir, 2.b +2.a

Teniendo en cuenta que la cancha es rectangular y que el área de un rectángulo es el producto de la base por la altura, en este caso el largo a por el ancho b el área de la cancha es a.b. Se puede observar que el enunciado del problema ofrece los datos necesarios para dar solución, el estudiante solo debe aplicar nociones básicas de geometría

45

(tener claro que es un área y que es un perímetro). Por tal motivo este tipo de problema hace parte del primer nivel b. Si el área de la cancha es 100m2 y su largo es 4 veces su ancho ¿cuál es el perímetro de la cancha?

Solución Si el área de la cancha es 100 m2 esto quiere decir que a.b es igual a 100m2, por otro lado el largo es igual a 4 veces su ancho, esta dos situaciones se pueden expresar algebraicamente como a.b = 100 m 2 b = 4a Si sustituimos en la primera expresión b por 4a, se obtiene que a.4a = 100m2 y si despejamos a obtenemos que. a.4a = 100mt2 4a2 = 100mt2 a = 5mt

Después de tener la longitud del ancho a de la cancha, y sabiendo que el largo b es cuatro veces su ancho se puede inferir que el largo de la cancha es.

b= 4a o sea que b = 4 .(5mt) Luego b = 20mt

Conocidos el largo y el ancho de la cancha se puede decir que el perímetro es:

Perímetro de la cancha= b+b+a+a = 2b + 2a = 2.(20mt)+ 2. (5mt) = 50 metros.

46

Se puede observar que para solucionar este problema el estudiante además de los datos que le proporciona el problema, debe sacar deducciones, tener un conocimiento nocional de solución de ecuaciones simples entre otros y diseñar estrategias que le permitan obtener la solución.

Por lo tanto este tipo de

situaciones problemas se clasifica como problemas de tercer nivel.

Problema 2: Si la escuadra de Jorge mide a centímetros en su cateto más largo y b centímetros en su cateto más corto. Responde:

a. ¿Cuál es la expresión que representa el área de la superficie encerrada por la escuadra de Jorge?

b. ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro de la superficie encerrada por la misma escuadra?

Solución pregunta a

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de su base por la altura correspondiente

b

a

47

Por estar hablando de un triángulo rectángulo, ambos catetos se cortan de forma perpendicular entre si, es decir, en este caso uno de los catetos va a ser la base del triángulo y el otro será su altura. De acuerdo a esto el área del triángulo es:

Área triángulo= (base . altura) / 2 Área triángulo = (a.b) / 2

El enunciado del problema ofrece los datos necesarios para su solución el estudiante

debe tener conocimientos previos de cuales son las partes de un

triángulo rectángulos y áreas de los triángulos. Primer Nivel

Solución pregunta b En esta pregunta el problema se reduce a hallar la expresión algebraica que representa la longitud de la hipotenusa para así poder tener las medidas de los tres lados del triángulo.

¿Cómo hallar la

expresión que representa la longitud de la hipotenusa?

Conocidas las longitudes de los catetos y aplicando el Teorema de Pitágoras se realiza el siguiente procedimiento: H2 = c12 + c22 como sabemos que c1= a

y

c2 = b entonces

H2 = a2 + b2 H = √ a2 + b2

Después de tener la longitud de la hipotenusa se puede expresar el perímetro de la superficie encerrada por la escuadra como: Perímetro de la escuadra= a + b + √ a2 + b2

48

Este problema no tiene explícitos todos los datos, el estudiante debe idearse la manera de encontrar la longitud del lado del triángulo que no se conoce, además debe tener claridad a qué tipo de triángulo se refiere el problema cuando habla de catetos. Este tipo de preguntas es de segundo nivel, los datos están implícitos por lo cual el estudiante debe hacer inferencias para llegar a su solución.

49

CONCLUSIONES

1) Los problemas que se plantean en las pruebas saber con expresiones algebraicas solo exigen la modelación de un concepto y el estudiante trata de aplicar únicamente conocimientos ignorando lo nuevo que le puede aportar a la situación cuando la está desarrollando.

2) Los problemas propuestos en el cuadernillo están enfocados a: 

Ejercitar en el estudiante la habilidad de modelar y resolver problemas algebraicos.



Favorecer en el estudiante la fijación de lo aprendido y la apropiación de nuevos contenidos



Desarrollar y evaluar en los estudiantes niveles de logro o competencia.

50

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Variacional

y

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Pruebas

saber

2005

Marco

de

interpretación

de

resultados.

http://menweb.mineducacion.gov.co:8080/saber/Marco_interpretacion_resultados_ 2005.pdf 13 de marzo de2007

MEN

prueba

–

Resultados

pruebas

saber

2005

http://www.mineducacion.gov.co/prueba/1723/article-99083.html mayo 21 de 2006

http: // www.mineducacion.gov.co/estandares/

52

ANEXO A

Evaluación SABER Resultados Matemáticas 2002-2003 ANTIOQUIA - ENVIGADO ESC NORM SUPERIOR DE ENVIGADO - JORNADA COMPLETA - PÚBLICO - URBANA Niveles de competencia Porcentaje de estudiantes por niveles de logro GRADO 9° ENTIDAD ESC NORM SUPERIOR DE ENVIGADO ENVIGADO ANTIOQUIA NACIONAL ESPERADO

N Alum 119 2.159 58.905 345.075

A

Nivel C 10,08% 12,37% 25,88% 26,55% 5,00%

89,92% 87,63% 74,12% 73,45% 95,00%

Nivel D 41,18% 53,82% 33,13% 32,53% 75,00%

Nivel E 7,56% 22,56% 10,07% 8,76% 55,00%

Nivel F 0,84% 4,08% 1,77% 1,27% 35,00%

48,74% 33,81% 40,99% 40,92% 20,00%

Nivel D 33,61% 31,26% 23,06% 23,78% 20,00%

Nivel E 6,72% 18,48% 8,30% 7,48% 20,00%

Nivel F 0,84% 4,08% 1,77% 1,27% 35,00%

Perdida de estudiantes entre niveles GRADO 9° ENTIDAD ESC NORM SUPERIOR DE ENVIGADO ENVIGADO ANTIOQUIA NACIONAL ESPERADO

N Alum 119 2.159 58.905 345.075

A

Nivel C 10,08% 12,37% 25,88% 26,55% 5,00%

Promedio y desviación estándar GRADO 9° ENTIDAD ESC NORM SUPERIOR DE ENVIGADO ENVIGADO ANTIOQUIA NACIONAL

N Alum 132 2.492 69.628 357.315

Desviación Estándar 5,06 6,48 6,04 6,15

Promedio 59,45 61,44 58,26 57,23

Desempeño relativo por grupos de preguntas o tópicos GRADO 9° Aritmética A: Alto

Algebra B: Bajo

Geometría y medición A: Alto

53

Estadística y probabilidad A: Alto

ANEXO B

ANALISÌS DE LA ENCUESTA REALIZADA A LOS

ESTUDIANTES DEL

GRADO NOVENO DE LA INSTITUCION NORMAL SUPERIOR DE ENVIGADO.

A continuación se presentan los resultados arrojados en la encuesta de las preguntas que consideramos nos permitieron lograr el objetivo propuesto de la misma.

POBLACIÓN: Estudiantes del grado noveno de la Institución Normal Superior de Envigado.

MUESTRA: 30 Estudiantes entre los 14 y 15 años de edad. SEXO: Femenino: 27 Estudiantes Masculino: 3 Estudiantes

4. A la pregunta ¿Cuál es la mejor manera de aprender a operar con expresiones algebraicas? Respondieron: Memorizar cada operación

14

Número de estudiantes

12 Hacer muchos ejercicios 10 8

4

Resolver problemas que involucren el uso de las operaciones entre expresiones algebraicas

2

Memorizar y hacer ejercicios

6

0 1

54

memorizar y resolver problemas

De acuerdo a este grafico un alto número de estudiantes considera que la mejor manera de aprender las operaciones con expresiones algebraicas es haciendo muchos ejercicios, pero otro gran número considera que es resolviendo problemas que involucren el uso de estas operaciones lo que nos permite deducir que los estudiantes ven en los problemas una buena opción para aprender

5.A la pregunta ¿En el proceso de enseñanza de las operaciones entre expresiones algebraicas

tu profesor trae a colación problemas donde se

involucren dichas operaciones? Respondieron:

16

Número de estudiantes

14 12 Siempre 10

Casi Siempre

8

Algunas Veces Casi Nunca

6

Nunca 4 2 0 1

De acuerdo a este grafico la mayoría de los estudiantes coinciden en que el profesor hace uso de los problemas para enseñar el tema.

6. A la pregunta ¿Encuentras en las operaciones entre expresiones algebraicas alguna relación con la geometría? Respondieron:

55

Número de estudiantes

25

20

15 Sí No

10

5

0 1

El 70% de los encuestados, no le encuentra relación alguna a las operaciones algebraicas con la geometría, mientras que un 30% de los encuestados si ve en las operaciones algebraicas alguna relación. Lo que nos indica una contradicción con las respuestas anteriores. 7. A la pregunta ¿La siguiente expresión algebraica “X “geométricamente que significado tiene? Respondieron:

18

Número de estudiantes

16 14 12 Valor desconocido

10

No responden 8

Número o medida

6 4 2 0 1

56

Un 64.2% de los encuestados que respondieron SI en la pregunta anterior concuerda en que “X” representa un valor desconocido que debemos encontrar. Mientras que para un 35.7% la “X” representa un número o una medida, se puede observar que a pesar de que en la pregunta anterior el 30% de la muestra dice encontrarle alguna relación a las operaciones algebraicas y la geometría, al momento de justificar carecen de argumentos.

8. A la pregunta ¿Algunas vez te has encontrado con problemas cotidianos que para ser resueltos se debe recurrir a las operaciones algebraicas? Respondieron:

14

Número de estudiantes

12 10

Siempre Casi siempre

8

Algunas veces 6

Casi nunca

4

Nunca

2 0 1

El 3.3% de los encuestados encuentra siempre con problemas cotidianos que deben ser resueltos mediante expresiones algebraicas; el 3.3% respondió casi siempre, el 40% algunas veces se encuentra con este tipo de problemas, el 20% casi nunca y el 33.3% nunca. Se puede observar que un porcentaje muy pequeño de la población se encuentra siempre con este tipo de problemas, mientras que las demás opciones se encuentran un poco equilibradas.

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9 .El contenido de las pruebas escritas

propuestas por tu profesor

sobre

operaciones entre expresiones algebraicas es:

Meramente ejercicios

Número de estudiantes

25

20

15

Plantea problemas que deben ser resueltos aplicando las operaciones

10

Tiene teoria y ejercicios

5 Otro 0 1

Para el 6.6% de los encuestados las pruebas propuestas por el profesor se basa en meros ejercicios. Para el 23.3% las pruebas se basan en problemas que deben ser resueltos aplicando las operaciones. Para el 66.6% la prueba se basa en teoría y ejercicios.

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PRESENTAC IÓN El presente cuadernillo ofrece una serie de problemas hipotéticos que involucran el uso de expresiones algebraicas y sus operaciones básicas. El manejo de estos problemas depende de los intereses académicos. Con este cuadernillo se busca ejercitar al estudiante en la habilidad de modelar y resolver problemas que le permita interpretar los significados algebraicos, desarrollar y evaluar en los estudiantes niveles de logro o competencias y la fijación de las operaciones básicas entre expresiones algebraicas. Los problemas aquí propuestos pueden servir como punto de partida para el inicio y desarrollo de otras temáticas como son: distancia entre dos puntos, productos notables, factorización y el uso de fracciones. Cada problema presenta unos niveles de logro o de complejidad: Nivel 1. En estas actividades los problemas con nivel de dificultad uno, se entenderán como aquellos donde todos los datos se le dan al estudiante y en los cuales el estudiante sólo debe interpretar y aplicar a la situación dada. Teniendo en cuenta que el estudiante deben saber las fórmulas básicas para hallar áreas y perímetros. Nivel 2 Los problemas de nivel de dificultad dos se entenderán como aquellos problemas donde el estudiante además de interpretar, debe extraer datos que no se dan directamente en el gráfico o enunciado. Debe hallar áreas independientes y luego sumarlas. En este tipo de problemas el estudiante debe aplicar el concepto de diferencia entre segmentos y debe realizar suma y producto de polinomios. También aquellos problemas donde se involucran el concepto de volumen, ya que esto obliga al estudiante a hacerse una representación mas estructurada de lo que implica pasar de modelar algebraicamente un área (figura plana) a modelar un volumen (figura espacial). Nivel 3 En los problemas con nivel de dificultad tres, el estudiante se deberá enfrentar a problemas donde deberá realizar, por un lado un tratamiento algebraico (modelar la situación descrita) para después particularizar la situación a la parte numérica, es decir, pasar de lo general a lo particular. También se deberá enfrentar a problemas donde no se le darán gráficos al estudiante, si no que él deberá de acuerdo a la lectura que realice interpretar y modelar la situación descrita, tener un conocimiento nocional de solución de ecuaciones simples, diseñar estrategias que le permitan obtener la solución, entre otras. Estos niveles permiten al profesor identificar las posibles dificultades que tiene el estudiante cuando se enfrenta a los diferentes tipos de problema, así mismo, favorece la

59

intervención que deba hacerse sobre el proceso especifico o de nivel para lograr fijar el conocimiento en el estudiante y la posibilidad de apropiarse de otros.

60

Los problemas de esta actividad buscan que el estudiante le encuentre significado al concepto de diferencia entre dos segmentos, además, que dadas dos distancias expresadas como variables el estudiantes sea capaz de modelar matemáticamente esta situación mediante una expresión algebraica, ya que los estudiantes muestran una gran dificultad para resolver ejercicios donde se les pide por ejemplo, hallar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, entre otras cosas porque cuando se les plantea la ecuación d

( y2

y1 )2

significado de

( y2

y1 ) 2 o ( x2

( x2

x1 )2 , el estudiante no sabe interpretar gráficamente el x1 ) 2 en el plano cartesiano.

1. Observa cuidadosamente la siguiente figura e identifica una expresión que represente la medida del lado b en términos de los lados z y a.

a

b

z

2. Dos autos están realizando una carrera, donde la distancia desde el punto de partida a la meta es X. Si el auto A ha recorrido una distancia n desde el punto de partida y el auto B a recorrido una distancia m desde el punto de partida. (Ver figura).

Meta

A

B

Salida

m n

61

a. ¿Cuál es la expresión que representa la distancia entre los dos autos?

b. ¿Qué expresión representa la distancia que le falta recorrer al auto A para llegar a la meta?

3. Una hormiga desea desplazarse desde el punto A hasta el punto B, donde se encuentra una deliciosa torta, para hacer este recorrido cuenta con dos alternativas, la primera desplazarse a través de una tubería y la segunda bajar las escaleras (Ver figura). ¿Cuál es el camino mas corto para la hormiga llegar a la torta? Justifica tu respuesta.

A

X

B Y

62

Con los problemas que se plantean en esta actividad y en la cual se asume que los estudiantes ya son capaz de hallar áreas y perímetros, se pretende que los estudiantes se enfrenten a problemas donde las dimensiones estarán dadas como variables, para que el estudiante modele las áreas y los perímetros mediante expresiones algebraicas, además se pretende que en algunos problemas de esta misma actividad el estudiante deba particularizar los resultados de los problemas a valores numéricos, con el fin que comprendan el significado de la variable como una generalización del número.

1. Los estudiantes de séptimo grado alquilaron un salón de recepciones para hacer un baile. El salón de recepciones es cuadrado pero después de acomodar las mesas y las sillas ha quedado un espacio cuadrado más pequeño para la pista de baile, como se muestra a continuación.

Pista de baile

X-10

X

a. ¿Cuál es la expresión que representa el área de la pista de baile?

63

b. ¿Cuáles son las expresiones que representan el perímetro y el área del salón de recepciones?

c. Representa mediante una expresión algebraica el área utilizada para ubicar las mesas con sus respectivas sillas. d. Si área del salón es de 64m2 ¿Cual es el área de la pista de baile?

e. ¿Cuál área es mayor, la ocupada por las mesas y las sillas o la pista de baile?

f. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del área ocupada por las sillas?

64

En esta actividad los estudiantes se pueden encontrar con problemas donde los datos no se dan directamente, si no que se habla de conceptos geométricos como cuadrados, rectángulos, volúmenes entre otros, que le pueden servir para extraer información que le permita modelar el problema, por ejemplo es muy común que al decirle al estudiante que se tiene un cuadrado de lado x, él no sea capaz de inferir que los demás lados del cuadrado también miden x. Estos problemas buscan que el estudiante adquiera agilidad para inferir datos que no están dados de forma directa en el enunciado del problema. Por otro lado busca que el estudiante exprese de manera algebraica diferencias entre segmentos. 1. Un comerciante desea expandir su negocio ampliando el área de su local, como se muestra en la figura. 2X

2X-3

X-1

ÁREA ORIGINAL

ÁREA ADJUNTA

a. Encuentre una expresión algebraica para el área del nuevo local.

b. Encuentre una expresión para el perímetro del nuevo local.

c. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área adjunta al local?

d. Si el local tiene una altura uniforme “Y”. ¿Cual es la expresión algebraica que representa el volumen de local?

65

2. La siguiente figura representa una habitación cuadrada de lado a. dentro de esta hay un espacio para un closet y otro espacio cuadrado para un baño.

a

m

a. La expresión algebraica que representa el área del closet es:

b. Si el área de la habitación es 25m2 y el área del baño es 4m2, el área del closet es:

c. La expresión algebraica que representa el perímetro de la habitación es:

d. La expresión algebraica que representa el perímetro del closet es:

66

Con los problemas que se plantean en esta actividad y en la cual se asume que los estudiantes ya son capaces de hallar áreas y perímetros numéricos, se pretende que los estudiantes se enfrenten a problemas donde las dimensiones estarán dadas como variables, para que el estudiante modele las áreas y los perímetros mediante expresiones algebraicas, además se pretende que en algunos problemas de esta misma actividad el estudiante deba particularizar los resultados de los problemas a valores numéricos, con el fin de que entiendan el significado de la variable como una generalización del número. En las siguientes figuras se muestran dos terrenos, los cuales una firma de ingenieros esta considerando comprar para construir una urbanización que cuenta con la siguiente distribución: La zona verde esta pensada para ubicar las viviendas con sus respectivos parqueaderos y espacios para que las personas se desplazasen, el resto del terreno es para construir locales comerciales y juegos infantiles. Terreno 1

Terreno 2 2X

32 m

32 m

50 m

50m

2X

De acuerdo con la información anterior responde:

a. ¿Cuál es el área para construir los locales comerciales y los juegos infantiles en el terreno 1?

b. ¿Cuál de los dos terrenos tiene mayor área para construir los locales comerciales y los juegos infantiles? Expresa su diferencia mediante una expresión algebraica.

67

c. Si la firma de ingenieros decide comprar el terreno con mayor área ¿cuál terreno debe comprar?

d. ¿Cuál de los dos terrenos tiene mayor perímetro? Representa ambos perímetros mediante una expresión algebraica. e. Si el área del terreno 1 es 5000m2 ¿Cuál es el área del terreno 2?

68

Para el desarrollo de esta actividad el estudiante debe tener una muy buena capacidad para analizar los problemas que aquí se plantean, de los enunciados se deben extraer datos que no se dan directamente, obligando a los estudiantes a pensar en estrategias que le ayuden a la solución del problema. 1. Juan diseñó una cometa que esta formada por un cuadrado y dos triángulos congruentes (trapecio isósceles) con el diseño que muestra la figura1. Figura1

------2X-3------

-------------------------------------------------2X+1------------------------------------------------

a. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la parte de la cometa que tiene forma de cuadrado?

b. Juan decide adornar su cometa colocando una cinta verde en la parte inferior de los alerones. ¿La longitud de cinta que gasto Juan en centímetros fue?

c. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de cada uno de los alerones de la cometa de Juan?

d. ¿Cuál es la expresión que representa el área de la cometa de Juan?

e. Juan para diseñar su cometa utilizó inicialmente un pedazo de tela rectangular como se muestra en la figura 2. De acuerdo a esto ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la cantidad de tela que sobro después de haber hecho la cometa?

69

Figura 2.

2X - 3

-------------------------------------------------2X+1-----------------------------------------------2. A partir del cuadrado de lado x preguntas:

de la siguiente gráfica responde las siguientes

X de la parte sombreada?

a. ¿Cuál es la expresión algebraica que mejor representa el Perímetro de la parte sombreada? b. ¿Cuál es la expresión algebraica que mejor representa el área de la parte sin sombrear?

3. La figura muestra tres terrenos cuadrados de lado A de igual superficie y se siembra de tomate la parte sombreada de cada terreno. Si se utiliza el mismo tipo de alambre para cercar los terrenos responde: Terreno 1

Terreno 2

70

Terreno 3

a. ¿Cuál de los terrenos requiere mas alambre para ser cercado?

b. Escribe una expresión algebraica que represente la cantidad de alambre necesario para cercar cada uno de los terrenos.

c. Represente para cada uno de los terrenos una expresión algebraica que exprese el área sembrada de tomates.

d. ¿Cuál de los terrenos tiene mayor área sin sembrado de tomates?

71

Con esta actividad se pretende que al igual que en las actividades anteriores el estudiante represente el problema mediante una expresión algebraica, pero obligándolo a hacerse una representación de lo que es una figura en tres dimensiones. Por otro lado se busca que el estudiante adquiera una apropiada distribución del espacio, es decir, que dado el caso que tuviera un cubo de arista X, él identifique cuantos de estos cubos se pueden acomodar en un cubo de arista 2X.

1. Un cubo de arista a, tiene como volumen a3. ¿Qué expresión algebraica se obtiene al calcular el volumen de un cubo cuya arista es a – x?

___ a____

a-x

2. Una empresa transportadora tiene a su disposición un container y desea transportar de Medellín a Santa Marta unos guacales. Si la empresa busca que no se desperdicie espacio en el container ¿cuantos guacales deben empacar en él?

4a Guacal

Container

a

-----b------- a

2a _________ 3b ___________

72

En los problemas que se plantean en esta actividad los estudiantes se deberán enfrentar a algo que es nuevo para ellos, representar áreas mediante expresiones algebraicas donde se involucra el uso de las operaciones con fracciones (adición, sustracción, multiplicación, división), es muy común que al preguntarle a un estudiante cuanto es 2X+ 2X él sea capaz de dar el resultado; el problema se da cuando se le pregunta cual es el resultado obtenido al sumar por ejemplo 3X/2 + 3X/4. Estos problemas buscan enfrentar al estudiante a este tipo de situaciones y que lo obligan a retomar temas vistos en los cursos anteriores. 1. En un terreno rectangular de medidas: x+3 metros de ancho por x+4 metros de largo de un parque se van a instalar juegos infantiles. Cada uno ocupará un área triangular con las medidas de la figura 1. El área de cada juego ya incluye espacio para que los niños se desplacen alrededor de ellos. Figura 1. X+1

2

a. b.

¿Cuál es el área del parque? ¿Cuántos juegos del tamaño descrito caben en el parque y qué parte del área de él sobra después de haber instalado los juegos? Exprésalos en función de X.

2. Si el perímetro del rectángulo de la figura 2 es 31 metros, ¿Cuál es la ecuación que me permite encontrar la altura x? Figura 2

X

12 m

73

a. ¿Cual expresión algebraica representa al área del rectángulo?

b. ¿Cual expresión algebraica representa el perímetro del rectángulo?

3. La cancha de fútbol de un colegio tiene las siguientes dimensiones: X + 2 de largo y el ancho es 1/2 de su largo. ¿Cuál es la expresión que mejor representa el área de la cancha?

4. Martín y José deciden apostar una carrera cuya distancia a recorrer es el largo de la cancha del problema anterior, Cuando José esta a dos 2/3 de distancia de la meta, Martín esta a 1/2 de distancia de la meta. ¿Cuál expresión me representa la distancia que hay entre Martín y José?

74

El sistema de piscinas de una unidad residencial esta distribuido de modo tal que la piscina de los niños queda aledaña a la piscina de los adultos la cual es cuadrada, y alrededor hay unos corredores de ancho 2 metros como se observa en la gráfica.

2m

a PISCINA DE ADULTOS

X+18 PISCINA DE NIÑOS

X

De acuerdo a la información anterior escribe una expresión para:

a. El perímetro de la piscina de adultos

b. El área del fondo de la piscina de adultos

c. El perímetro de la piscina de niños

d. El área del fondo de la piscina de niños

75

e. El área del corredor sombreado f. Si la profundidad de la piscina para adultos es “y” metros y la profundidad de la piscina para niños es 1/5 de la profundidad de la piscina para adultos, ¿Cuál es el volumen de ambas piscinas?

g. ¿Cuál es el área real de ambas piscina?

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Un barco realiza un viaje alrededor del mundo; parte del punto A pasando secuencialmente por B, C, D, E hasta regresar a A. La tabla muestra las distancias recorridas entre cada punto. DE A B C D E

HASTA B C D E A

DISTANCIA (Km) 2000 X 6X 3500 1120

a. Si el recorrido total del barco es de 10000Km, ¿Cuál es la expresión que permite calcular el valor de la distancia X?

b. La distancia recorrida por el barco de C a D es:

77

El piso de la bodega de un barco esta formada por un cuadrado y dos triángulos isósceles, como muestra la figura. En los triángulos se almacena alimento para el viaje.

X

2X

X

De acuerdo a esta información responde:

a. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del piso donde se almacenan los alimentos?

b. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área total del piso de la bodega?

c. Si el área del cuadrado es 100 m2 entonces ¿cuál es el área total donde se almacenan los alimentos?

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1. Cada una de las siguientes figuras esta conformada por cinco rectángulos de iguales dimensiones. Con base en esto responde las siguientes preguntas

¿Cuáles de estas tres figuras tienen el mismo perímetro? ¿Cuáles tienen la misma área? Justifica las respuestas.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

2. En la siguiente figura aparecen dos baldosas y un patrón de distribución de ellas.

a. De acuerdo con la figura cual es el ancho de la baldosa tipo B.

b. Encuentre el polinomio que corresponde al área del patrón de distribución. Tipo A

Tipo B

2X 2Y Y

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c. Alicia desea organizar el piso de su sala con el patrón de distribución mostrado en el numeral anterior. Si la sala mide de ancho 40Y m por 80X m. ¿Cuántas baldosas de cada tipo necesita Alicia?

80

EL TANGRAM El tangram se jugaba en la antigua China y era considerado como un juego para niños y mujeres. También se ha encontrado libros sobre el tangram que fueron publicados en 1830, así como juegos de tangram hechos de arcilla fabricados en 1890. Algunos dicen que el tangram tiene sus orígenes en las representaciones teatrales que se hacían en la antigua china. Generalmente se hacían con títeres, y lo que el público veía era la sombra de los títeres reflejada en una pantalla, los detalles de los títeres se perdían y sólo quedaba la silueta de la figura. Los chinos lograban así, representar objetos inanimados pero también animales o personas en movimiento. El tangram esta constituido por siete piezas obtenidas de un cuadrado. ACTIVIDAD DE INICIO Realiza tu propio tangram Materiales: Una hoja de papel cuadriculado. Un cuadrito de fommy de 10cm x 10cm, un bisturí. Procedimiento: En la hoja de papel cuadriculado recorta un cuadrado de 20 cuadritos por 20 cuadritos. Luego traza los segmentos de recta como los muestra la figura. Recórtalos y luego con base en estas medidas trázalos en la hoja de fommy, así obtendrás un tangram en fommy.

Con las siete fichas del Tangram forma un cuadrado luego, moviendo solo dos piezas construye un rectángulo, y partiendo del rectángulo y moviendo solo una pieza, forme un triángulo. (Mover las piezas no significa quitarlas, el rectángulo y el triángulo deben estar formados con las siete piezas al igual que el cuadrado).

Responde:

81

a. ¿Cuál de las figuras formadas: el cuadrado, el rectángulo y el triángulo tiene mayor área?

b. ¿Cuál de las figuras posee mayor perímetro? Resuelve el siguiente problema Los planos de un centro comercial están diseñados de manera similar a la distribución de un tangram, rodeado por una calle uniforme de ancho X, como se muestra en la figura. El área de cada local ya incluye los espacios para que las personas se desplacen alrededor de ellos. X

Parqueadero zona 4 Zona verde

Restaurante

a

1 3

2

1. Con base a la información anterior representa mediante un polinomio el área total de la calle que rodea el centro comercial.

2. En el centro comercial se planea realizar una fiesta por lo cual los organizadores deciden acordonarlo desde la acera de frente, con el fin de que haya mas capacidad para los invitados. ¿Qué expresión algebraica representa la cantidad de cinta necesaria para acordonar el lugar?

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3. Debido a la demanda de usuarios, los propietarios del centro comercial deciden construir en toda la zona verde tres locales más de igual tamaño. ¿Cuál es la expresión que representa el área de cada uno de los nuevos locales?

4. ¿Cuál es la expresión algebraica que me representa el área total ocupada por los locales 1, 2, 3 y 4 dentro del centro comercial?

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En las actividades que se han trabajado hasta el momento a los estudiantes se le dan las figuras geométricas para que él halle la expresión algebraica que mejor represente su área o el volumen, en ésta actividad y en la actividad número 14 se busca que el estudiante grafique la figura que se propone en el enunciado y luego la modele para hallar la expresión algebraica que representa el problema. Con esto se puede verificar la competencia interpretativa que tienen los estudiantes. 1. Traduce al lenguaje algebraico, y responde la pregunta teniendo en cuenta la información dada:

a) La base y la altura de un triángulo difieren entre sí en 50cm, siendo la altura mayor. Si la altura mide p unidades, ¿Cuál expresión representa la medida la base del triángulo? ¿cuál es su área?

b) En un bus hay el doble de hombres que de mujeres. Si “Y” es el número de mujeres, ¿exprese en términos de “Y” el número de hombres? ¿Cuántas personas hay en el bus?

c) La base de un rectángulo es la octava parte de la medida de la altura. Si la altura mide h unidades, ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del rectángulo.

d) La cantidad de cubos de lado X centímetros que pueden empacarse en una caja cúbica de lado X metros es:

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1. En una aldea se tiene un pozo y para medir el nivel del agua los aldeanos utilizan una vara de longitud x (la longitud de la vara es igual a la profundidad del pozo). Un día los aldeanos encontraron que el nivel del agua estaba a ¾ de la longitud de la vara, según esta información, ¿Cuál es la expresión que me representa lo que le falta al pozo para llenarse en términos de la medida de la vara?

2. Si el pozo tiene base rectangular cuyo ancho es ¼ X y su largo es tres unidades mayor que su ancho, ¿Cuál es la expresión que mejor me representa el volumen del agua contenida en el pozo en el momento que se midió el nivel del agua?

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