El Método de Gauss.

Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones.  2 x + 5 y + z = 23   3x − 2 y + 2 z = 8  2x + 2 y = 10 

(1.1)

Una manera de resolver este problema consiste en aplicar el método de reducción por sumas y restas. Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones convenientemente multiplicadas por números, con el fin de eliminar la mayor cantidad posible de variables en cada ecuación para que la resolución se simplifique. Por ejemplo, si multiplicamos por 3 la primera ecuación, y por 2 la segunda:  6 x + 15 y + 3z = 69   6 x − 4 y + 4 z = 16  2x + 2 y = 10 

y ahora restando la segunda de la primera −

6 x + 15 y + 3z = 69 6 x − 4 y + 4 z = 16 19 y − z = 53

obtenemos una ecuación que no depende de x y que puede sustituir a la primera o a la segunda. Si la sustituimos por la segunda  2 x + 5 y + z = 23  19 y − z = 53   2x + 2 y = 10 

Hemos eliminado la variable x de una ecuación. A esto se lo llama Método de Gauss, y consiste en efectuar combinaciones lineales convenientes entre las ecuaciones del sistema. Si queremos simplificar la escritura, podemos trabajar solo con los coeficientes, arreglados ordenadamente en una matriz, en la que cada fila (línea horizontal) representa los coeficientes de una ecuación y cada columna (línea vertical) representa los coeficientes que acompañan a la variable

1

correspondiente o al término independiente. La matriz de coeficientes del sistema, tal como está escrito en (1.1), es  2 5 1 23     3 −2 2 8   2 2 0 10   

(1.2)

Si llamamos f1 a la primera ecuación y f 2 a la segunda ecuación el proceso anteriormente descripto equivale a aceptar una nueva ecuación f 2* en lugar de f 2 , donde f 2* = 3 f1 − 2 f 2 . La operación puede escribirse en términos de las matrices de coeficientes. f1  2 5 1 23    f 2  3 −2 2 8  f3  2 2 0 10 

 2 5 1 23  f1   *  0 19 −1 53  f 2 = 3 f1 − 2 f 2  2 2 0 10  f   3

El proceso puede continuarse hasta que en cada ecuación, quede una cantidad mínima de incógnitas. Algunos autores utilizan la reducción de Gauss para triangular la matriz de coeficientes, de tal manera que queden todos elementos nulos debajo de la diagonal principal, marcada en rojo en el esquema.  a11 a12 a13     0 a22 a23   0 0 a  33  

Por ejemplo, aplicando nuevamente el método, podemos generar un cero en el último lugar de la primera columna. Para esto cambiamos f3 por f3* , donde f3* = f1 − f3 . f1  2 5 1 23    f 2*  0 19 −1 53  f3  2 2 0 10 

 2 5 1 23  f1   *  0 19 −1 53  f 2  0 3 1 13  f * = f − f 1 3   3

Para terminar de triangular la matriz, reemplazamos f3* por f3** , siendo f3** = 19 f3* − 3 f 2* . f1  2 5 1 23    f 2*  0 19 −1 53  f 3*  0 3 1 13 

 2 5 1 23  f1   *  0 19 −1 53  f 2  0 0 22 88  f ** = 19 f * − 3 f * 3 2   3

2

Nótese que una vez que el sistema ha sido triangulado, su resolución se simplifica considerablemente. Si leemos la última matriz. f1 :

2x + 5 y +

z = 23

f 2* : f 3** :

19 y −

z = 53 22 z = 88

Como en este caso la última ecuación tiene una sola incógnita, resulta cómodo aplicar lo que se conoce como sustitución hacia atrás. Este procedimiento consiste en resolver la ecuación más sencilla de un sistema en función de una variable, para luego reemplazar esa variable en el resto de las ecuaciones del sistema, con lo cuál esas ecuaciones quedan con una incógnita menos. En nuestro ejemplo, dividiendo f3** por 22, podemos concluir directamente que z vale 4. Si sustituimos z en las primeras dos ecuaciones el sistema queda reducido a  2 x + 5 y + 4 = 23  19 y − 4 = 53   z= 4 

→

 2x + 5 y  19 y   

= 19 = 57 z= 4

Dividiendo la segunda por 19, obtenemos que y vale 3. Reemplazando y en la primera ecuación el sistema queda  2 x + 15  y   

= 19 = 3 z= 4

→

 2x    

=4 y

=3 z=4

Finalmente dividiendo por 2, deducimos que x vale 2. El sistema está resuelto  x    

=2 y

=3 z=4

El Algoritmo de Gauss-Jordan.

El método de Gauss que hemos presentado fue mecanizado por su discípulo Camile Jordan. El Algoritmo de Gauss-Jordan es un caso particular del método de Gauss. Para exponer la aplicación de Gauss-Jordan partimos de la matriz de coeficientes tal como figura en (1.2). 3

1) Elegimos un pivot, debe ser un elemento no nulo de la matriz de coeficientes, no es de ninguna utilidad que sea un término independiente, si es posible, es conveniente elegir un 1 ya que se simplifican los cálculos, de la misma manera conviene que sea positivo. Elegimos por lo tanto el tercer elemento de la primera fila.  2 5 1 23     3 −2 2 8   2 2 0 10   

El elemento elegido (en rojo) es el pivot. Decimos que un elemento está alineado con el pivote si está en su misma fila o en su misma columna. 2) A continuación copiamos la fila del pivot  2 5 1 23    ? ? ? ?  ? ? ? ?   

3)Si en la matriz original, algún elemento de la fila del pivot tenía un cero, podemos copiar intacta la columna de ese elemento. De la misma forma, si algún elemento de la columna del pivot tenía un cero, podemos copiar intacta la fila de ese elemento. Cabe reiterar que estamos refiriéndonos a la matriz original, aquella sobre la cuál elegimos el pivot. En nuestro ejemplo, el único elemento nulo alineado con el pivot es el cero que está en la tercera fila. Aplicando la regla que hemos descrito podemos copiar la tercera fila.  2 5 1 23    ? ? ? ?   2 2 0 10   

4) Se completa la columna del pívot con ceros  2 5 1 23    ? ? 0 ?   2 2 0 10   

5) Los restantes elementos se calculan de la siguiente manera: Se considera un rectángulo que tiene como vértices opuestos al pivot y al elemento que, en la matriz original, se encuentra en la posición del elemento que se quiere calcular. Por ejemplo, si queremos calcular el elemento de la fila 2 columna 1, formamos el rectángulo eligiendo los vértices como se indica.

4

 2 5 1 23    ? ? 0 ?  →  2 2 0 10   

 2 5 1 23     3 −2 2 8   2 2 0 10   

Luego obtenemos la incógnita multiplicando los vértices principales (el pivot y el vértice opuesto), restándole el producto de los otros dos vértices y dividiendo el resultado por el pivot. Esto es 1.3 − 2.2 1

Repitiendo este procedimiento para las restantes incógnitas, calculamos los elementos que nos faltaban. 2 5 1 23   5 1 23    2  1.3 − 2.2 1.(−2) − 5.2 0 1.8 − 23.2  =  −1 −12 0 −38      1 1 1 2 0 10    2 2 2 0 10  

Efectuado un paso de Gauss-Jordan, hemos cambiado nuestra matriz original por una nueva matriz de coeficientes que tiene una columna con todos sus elementos nulos excepto uno. Se dice que la matriz está pivoteada con respecto a ese elemento. Para continuar el proceso debemos elegir un nuevo pivot, que debe cumplir con la condición adicional de que no puede estar alineado con ningún otro pivot. En este caso, elegimos el 1 que está en la segunda fila. 5 1 23  2    −1 −12 0 −38  2 2 0 10  

Aplicando las mismas reglas que en el paso anterior, copiamos la fila del pivot y copiamos aquellas líneas correspondientes a elementos nulos alineados con el pivot. ? 1 ?  ?    −1 −12 0 −38  ? ? 0 ?  

Completamos con ceros la columna del pivot

5

? 1 ?  0    −1 −12 0 −38   ? 0 ?  0

Solamente nos quedan cuatro elementos a determinar. Utilizando la regla del rectángulo calculamos ( −1).5 − 2.(−12) (−1).23 − 2.(−38)   1 0   0 −19 1 −53  − −1 1     −12 0 −38  −1  =  −1 −12 0 −38   (−1).2 − (−12).2 (−1).10 − (−38).2   0 −22 0 −66   0  0 −1 −1  

La matriz a la que hemos llegado, solamente tiene una columna sin pivotear. Considerando que no podemos elegir elementos alineados con los pivots preexistentes, la única posibilidad que tenemos es pivotear sobre el -22 de la tercera fila.  0 −19 1 −53     −1 −12 0 −38   0 −22 0 −66   

Nuevamente, copiamos la fila del pivot. También podemos copiar la primera columna y la tercera, dado que contienen un cero alineado con el pivot. Además completamos la columna del pívot con ceros 0 1 ?  0    −1 0 0 ?   0 −22 0 −66   

Únicamente debemos calcular dos elementos. (−22).(−53) − (−66).(−19)   0 1 0  −22 0 1 4    0  −1 0 0 (−22).(−38) − (−66).(−12)  =  −1 0 0 −2      −22    0 −22 0 −66  −66  0 −22 0     

En la matriz que hemos obtenido no quedan elementos que puedan tomarse como pivots. Por lo tanto el procedimiento termina, dejándonos con una matriz que expresa al sistema en forma reducida. 6

0 1 4  0    −1 0 0 −2   0 −22 0 −66   

El sistema de ecuaciones puede leerse directamente de la matriz.    -x  − 22 y 

z=

4

= −2

(1.3)

= −66

A continuación ofrecemos un cuadro que resume como realizar un paso de pivot, o sea una instancia del algoritmo de Gauss-Jordan.

1) Se elige un pivot, conviene que sea un 1; no podrá ser 0, ni término independiente (en el caso de una matriz ampliada); conviene que sea positivo; conviene el que más ceros acumule considerando su fila y su columna. 2) Se copia la fila del pivot. 3) Si había un cero en la fila del pivot, se copia la columna correspondiente. 4) Si había un cero en la columna del pivot, se copia la fila correspondiente. 5) Se completa la columna del pivot con ceros. 6) Para cambiar los demás elementos se procede de la siguiente forma: se considera un rectángulo que tenga el elemento que se desea cambiar en un vértice y el pivot en el vértice opuesto y se resuelve la siguiente operación: elemento x pivot - producto de los otros vertices pivot

7

Clasificación de los sistemas de ecuaciones. Retomemos el sistema casi resuelto, tal como está en (1.3). Es claro que resolviendo cada una de las tres ecuaciones llegamos a un único valor para cada variable. Esto significa que existe una única terna, { x, y, z} = {2,3, 4} , que tiene la propiedad de que permite que las tres ecuaciones del sistema se satisfagan simultáneamente. Cuando esto sucede se dice que el sistema tiene solución única. En general, los sistemas de ecuaciones se clasifican en sistemas que tienen solución y sistemas que no tienen solución. Si el sistema tiene solución se dice que es compatible. Si además la solución es única se dice que es compatible determinado. Si la solución no es única se dice que es compatible indeterminado. Por último, si el sistema no tiene solución se dice que es incompatible. Resumimos esta clasificación en el siguiente cuadro:

Cantidad de soluciones Ninguna Una Muchas

Tipo de sistema Incompatible Compatible determinado Compatible indeterminado

8

Ejercicios 1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss. 

x+ y− z= 2

a)  3x − 2 y − 6 z = −1  2 x + 4 y + 3 z = 39 



3 y + 2 z = 13

 

x + 2 y + 3z = 19



x+ y− z= 4

b)  2 x − 3 y + z = 6

c)  3x − y + 2 z = −7  −x + 3y 

= 3

 −3 x + y − 2 z = −2 6 x + y + 6 z = 15  2 x + 3 y + 3z = 14 

d) 



e) 

x + 9 y + 11z = 3

x + 3 y + 5z = 1  −2 x + 2 y − 2 z = 2 

f)

 3 x + 9 y − 2 z = −2  x + 5y + 7z = 7   −2 x + 2 y + 8 z = 8 

2) Resolver los sistemas del ejercicio 1, aplicando el algoritmo de Gauss-Jordan.

Respuestas

1)

a) { x, y, z} = {1, 7,3} b) { x, y, z} = {2,1,5}

9

c) { x, y, z} = {0,1, −3} d) { x, y, z} = {1,3,1} e) El sistema es incompatible f) { x, y, z} = {0, 0,1}

10