EL MODELO DE PORTAFOLIO DE TOBIN DE LA DEMANDA DE DINERO Richard Roca1 [email protected] El trabajo clásico que dio lugar a este enfoque es el que escribiera el Premio Nobel James Tobin (1958) en el que aplicó la teoría de portafolio desarrollada por otro Premio Nobel Harry Markowitz. (1952). El trabajo de Tobin se concentra en el motivo especulativo de la demanda de dinero. Considera una cartera de activos financieros en la que el dinero es una reserva de valor segura pero que no otorga rendimientos mientras que los otros activos, como los bonos de largo plazo, las acciones si brindan rendimientos pero para ello se debe arriesgar pues la rentabilidad puede tomar diferentes valores. Tobin formula un marco optimizador en el cual la demanda de dinero sale de las decisiones de maximizar una función de utilidad en la que los individuos están afectados no solo por la rentabilidad esperada sino también por el riesgo de la cartera modificando la teoría de demanda especulativa de dinero de Keynes. En Keynes, por el motivo especulativo, salvo que la tasa de interés sea igual a su nivel crítico cada individuo no diversificaría, su riqueza lo tiene en forma de dinero o de bonos. Si la rentabilidad esperada de los bonos es mayor que la rentabilidad esperada de dinero solo se tendrá bonos, por el motivo especulativo. Tobin desarrollo un modelo de demanda especulativa de dinero que evita la no diversificación de la cartera a nivel individual. Consideremos distintos activos financieros con diferentes niveles de riesgo y rendimiento. El agente debe elegir la mejor combinación de activos dados su riqueza, preferencias y la tasa de interés de mercado. A los agentes les interesa no solo los rendimientos de cada activo sino también el riesgo de la rentabilidad de cada activo. Se supone que: Los agentes son adversos al riesgo y además dicha adversidad al riesgo es creciente. El rendimiento esperado de un activo = Valor esperado de los rendimientos: E(R) .

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Profesor de Economía de las Universidades Católica del Perú y Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Correo: [email protected] . Página Web: http://economia.unmsm.edu.pe/prof/rroca

Richard Roca Modelo de Portafolio de Tobin de la Demanda de Dinero El grado de riesgo es la dispersión de estos rendimientos medido por la varianza (σ2) y la desviación estándar (σ ). No hay inflación Para simplificar se consideran dos activos financieros: dinero y bonos El Dinero: (M) Rendimiento esperado: cero riesgo nulo: (seguro) Los Bonos: (B) Rendimiento puede ser mayor a cero en promedio Riesgoso. Tobin uso el análisis de media-varianza diseñada por Markowitz (1952) El problema es elegir un portafolio que de la mejor combinación de riesgo y rendimiento. max U ( µ , σ ) +

−-

µ: La Rentabilidad esperada del portafolio σ : el Riesgo de la Cartera Supongamos el caso de una persona que puede tener dos activos: dinero: M bonos: B Supongamos que el dinero no rinde intereses su rentabilidad (Rm): Rm = 0

La rentabilidad esperado del dinero:

E ( Rm) = 0 El riesgo del dinero:

σ m2 = E[ Rm − E ( Rm)]2 σ m2 = 0 2

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La rentabilidad de tener bonos perpetuos (Rb), depende del rendimiento corriente, (i), y de la ganancia de capital, (g), (aumento del precio del bono en el mercado): Rb =

Q ∆Pb + Pb Pb

llamando g a la ganancia de capital: Rb = i + g

Donde: Q: cupón del bono por periodo i: es la tasa de interés corriente o de cupón. Pb: Precio actual del bono Pb’: precio futuro esperado del bono.

La rentabilidad esperada de tener bonos: E ( Rb) = E (i ) + E ( g )

Como se conoce el valor del cupón (Q) y suponiendo que la media de g es cero E ( Rb) = E (i ) E ( Rb) = i

La varianza de la perdida de capital será constante:

σ g2 = E[ g − E ( g )]2 σ g2 = E[ g 2 ] La rentabilidad efectiva del portafolio (R) dependerá de la fracción del portafolio que este en forma de bonos (a) y de la fracción que este en dinero (1-a): R = aRb + (1 − a) Rm R = a(i + g ) + (1 − a)(0) R = a (i + g )

La rentabilidad esperada del portafolio (µ ):

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Richard Roca Modelo de Portafolio de Tobin de la Demanda de Dinero E ( R) = aE ( Rb) + (1 − a) E ( Rm)

µ = aE (i + g ) + (1 − a)(0) µ = a[i + E ( g )] (1)

µ = ai

La cual es la ecuación de la línea OD del tercer cuadrante que muestra una relación directa entre rentabilidad esperada del portafolio (µ ) y la fracción del portafolio que esta en forma de bonos (a) dada una tasa de interés (i). La varianza de los retornos del portafolio (σ2 )

σ 2 = E[ R − E ( R)]2 σ 2 = E[a (i + g ) − ai]2 σ 2 = E[ag ] 2 σ 2 = a 2 E[ g 2 ] σ 2 = a 2σ g2 de donde la desviación estándar de la rentabilidad del portafolio (σ ) depende de la fracción de la cartera mantenida en forma de bonos (a) y de la desviación estándar de la pérdida de capital (σg ) en forma directa: (2)

σ = aσ g

La cual se grafica mediante la línea OB en el cuarto cuadrante. Combinando las ecuaciones (1) y (2) se tendría: (3)

µ=

i

σg

σ

La cual se representa en el primer cuadrante mediante la línea recta OA y muestra las combinaciones posibles de rentabilidad y riesgo para el individuo. Eligiendo un valor de "a" en el tercer cuadrante se tendrá una determinada combinación de riesgo y rentabilidad en el primer cuadrante, por ejemplo el punto H en el tercer cuadrante implica que el 40% del portafolio estará compuesto de bonos (a = 0.4) o sea,

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que el 60% restante de la riqueza será mantenido en forma de riqueza, el punto H del primer cuadrante implica una combinación de riesgo y rentabilidad señalado por el punto H del primer cuadrante. Si el agente desea mantener el 60% de su riqueza en forma de bonos (a = 0.6), o sea que el 40% de su riqueza será mantenido en forma de dinero, en el tercer cuadrante se tiene el punto F lo que implica que se tendrá la combinación de riesgo y riqueza señalado por el punto F en el primer cuadrante. Si toda la riqueza se mantuviera en forma de bonos se tendrá el punto A en el tercer cuadrante (a = 1) lo que implica la combinación de riesgo y rentabilidad indicado por el punto A del primer cuadrante. Haciendo lo mismo para diferentes valores de "a" en el tercer cuadrante se construye la línea de oportunidades OA del primer cuadrante.

Gráfico 1: La línea de oportunidades de inversión

µ OD OA

a

σ

1

1 OB

a

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Richard Roca Modelo de Portafolio de Tobin de la Demanda de Dinero

Las preferencias del inversionista

Se supone que el inversionista se siente mejor si tiene una mayor rentabilidad esperada pero le desagrada que la rentabilidad de la cartera sea más volátil o que la dispersión de la rentabilidad sea mayor. max U ( µ , σ ) +

−-

Cuya gráfica se muestra mediante un mapa de curvas de indiferencia, con pendiente positiva en el primer cuadrante, porque se considera que la rentabilidad esperada es un bien mientras que el riesgo es un mal. Además, se supone que la aversión es creciente lo que hace que las curvas de indiferencia, en plano σ,µ, sean convexas hacia abajo como se muestra en el gráfico 2. Las curvas de indiferencia que dan mayor utilidad son las que se ubican mas hacia la izquierda y hacia arriba.

Gráfico 2: Curvas de indiferencia con aversión creciente al riesgo

µ

U3 U2 U1

σ

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Richard Roca Modelo de Portafolio de Tobin de la Demanda de Dinero

El gráfico 3 muestra que la mejor combinación de riesgo y rendimiento de la cartera es la que señala el punto H pues es la combinación de riesgo y rendimiento factible que da el mayor bienestar al agente. Esto indica que, en este caso, al agente le conviene un valor de "a" de 0.4 lo que indica que la demanda de dinero óptima será equivalente al 60% de la riqueza.

Gráfico 3: Elección de cartera óptima

µ

U1

OD

OA

µ*

a

H

σ

1

σ* a*

Md /Ω 1 OB a

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Richard Roca Modelo de Portafolio de Tobin de la Demanda de Dinero ESTÁTICA COMPARATIVA

Si aumenta la tasa de interés la rentabilidad de tener bonos es mayor para cada nivel de riesgo lo que desplaza la curva OD hacia la linea OD’ como se muestra en el gráfico 4 lo que provoca una rotación en sentido anti-horario en de la recta OA hacia OA’ del primer cuadrante siendo J la nueva combinación óptima de riesgo y rentabilidad, elevándose la participación óptima de los bonos (a) lo que implica que al inversionista le convendrá reducir su tenencia de dinero.

Gráfico 4: Efectos de una elevación de la tasa de interés

µ

U2

OD´

U1

OA´

J K

OD

OA

H a

σ

1

a1 a2

1

OB

a

Este resultado supone que el efecto sustitución, que más bien debería llamarse efecto compensación pues entre un bien y un mal no hay sustitución sino compensación, supera al efecto riqueza que contrarrestaría al efecto anterior, ello asegura que una elevación de la tasa de interés reduce la demanda óptima de dinero en este modelo. Este modelo explica porque los agentes tienen dinero y activos inciertos al mismo tiempo (cartera)

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Richard Roca Modelo de Portafolio de Tobin de la Demanda de Dinero CRITICAS

Tobin no llega a explicar porque el dinero se mantiene como reserva de valor. El dinero es también un activo riesgoso: inflación incierta. Existen bonos indexados a corto plazo mayor rentabilidad menor riesgo luego el dinero desaparecería según el modelo pero la gente no deja de demandar ni en altas inflaciones.

Bibliografía:

Tobin, J. (1958) Liquidity preference as behavior toward risk. R.E.S. Feb. 65-86.

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