El modelo probabilístico rectangular-triangular. Aplicación a la tasación de fincas rústicas

El modelo probabilístico rectangular-triangular. Aplicación a la tasación de fincas rústicas Herrerías Pleguezuelo, Rafael < [email protected] > Herrerías Velasco, José Manuel< [email protected] > Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Universidad de Granada

RESUMEN En el presente trabajo se estudia, en primer lugar, una distribución de probabilidad bivariante resultante de la mezcla de las distribuciones continuas univariantes rectangular y triangular. En segundo lugar, a través de su análisis se concluye que sus componentes se comportan como variables aleatorias independientes lo que permite disponer de un modelo probabilístico, muy apropiado para la tasación de fincas rústicas mediante el método de valoración comparativo denominado como método de las dos betas, en el caso de que, como es usual, se dispongan de pocos datos para realizar comparaciones y simultáneamente se disponga de un indicador bidimensional para la calidad de la finca tal que sus componentes unidimensionales no estén relacionadas. En tercer lugar, se aplica el modelo probabilístico bivariante a un caso práctico de la literatura especializada de tasación de fincas rústicas, encontrándose la misma dificultad de cálculo que en los modelos univariantes, si las variables aleatorias son estocásticamente independientes.

Palabras claves: distribución rectangular; distribución triangular; distribución bivariante; valoración; método de las dos funciones de distribución.

XVII Jornadas ASEPUMA – V Encuentro Internacional Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:204

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Rafael Herrerías Pleguezuelo , José Manuel Herrerías Velasco

ABSTRACT The present study first, focuses on a bivariate probability distribution resulting from the mixture of univariate continuous distributions rectangular and triangular. Secondly, through its analysis it is concluded that the components behave as independent random variables which provides a probabilistic model suitable for the valuation of a farm using the comparative method of the two betas distributions, in the case that, as usual, few data are available for comparison and simultaneously have a bidimensional indicator for the quality of the property that its unidimensional components are not related. Third, the bivariate probabilistic model is applied to a study case of the literature of farm valuation, if random variables are stochastically independent this procedure has the same difficulty of calculation that univariate models.

Keywords: rectangular distribution; triangular distribution; bivariate distribution; valuation; method of the two distribution functions.

Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C02; Q11

Área temática: Estadística Aplicada a los Métodos Cuantitativos.

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El modelo probabilístico rectangular-triangular. Aplicación a la tasación de fincas rústicas

1. INTRODUCCIÓN Es sobradamente conocido la importancia de las distribuciones continuas univariantes, cuya función de densidad es una figura geométrica: cuadrado, rectángulo, triángulo, trapecio, parábola, etc… en el desarrollo de los métodos de valoración de la Economía Agraria, conocidos como método de las dos betas o método de las dos funciones de distribución, véase entre otros Lozano (1996), Romero (1997), Herrerías et al. (2001), García (2007) y Caballer (2008). Está claro que desde un punto de vista matemático-estadístico, estos modelos deben extenderse al campo bivariante en primer lugar y al multivariante posteriormente. El objetivo principal de este trabajo es doble, por una parte, estudiar la distribución de probabilidad bivariante rectangular-triangular desde un punto de vista probabilístico y por otra, extender el método de valoración de las dos betas, introducido por Ballestero (1971) y (1973), al caso bivariante. Utilizándose la mencionada distribución de probabilidad rectangular-triangular, denominada de esta forma por su representación gráfica (como las similares univariantes: rectangular, triangular, trapezoidal, etc…) , véase figura 1, que sirve como modelo para ilustrar la sencillez de su aplicación práctica.

h

Figura 1: Representación gráfica modelo bivariante rectangular-triangular

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En su aplicación al método de valoración de las dos betas se utiliza la metodología PERT, debido a la insuficiencia e incluso no existencia de datos que sirvan de testigos referentes, por ello se supone que de una variable X se conocen, o pueden estimarse, sus valores mínimo (a1) y máximo (b1), mientras que de otra variable Y se conocen, o pueden estimarse, sus valores mínimo (a2), máximo (b2) y más probable ó modal (m). En otras palabras, se consideran en los ejes cartesianos X e Y los valores necesarios para determinar una distribución rectangular o distribución uniforme U(a1,b1) y otra triangular T(a2,m,b2), que generan en el espacio una superficie similar en su forma a una tienda de campaña, que en el caso de una distribución triangular simétrica será de tipo canadiense, véase figura 1. Con mayor precisión, se trata de la superficie de dos de las caras rectangulares de un prisma triangular apoyado en su tercera cara rectangular. En esta misma línea de trabajo debe destacarse, por un lado, una fundamentación teórica del método de valoración de las dos betas que puede verse en Palacios et al. (2000) y, por otro lado, respecto al tema de índices de calidad multidimensionales es aconsejable consultar García et al. (2000) y (2002), Herrerías (2002) y Franco y Vivo (2006). Como aportaciones adicionales de este trabajo, cabe señalar las siguientes: 1. Abre una línea de investigación para el estudio de otras distribuciones de probabilidad bivariantes, que puedan usarse como modelos probabilísticos en el método de valoración de las dos betas extendido. 2. Constituye un primer paso en la extensión del método de valoración de las dos betas al caso multivariante. Para conseguir los objetivos señalados, el presente trabajo se organiza en diferentes puntos o secciones: En la sección 2 se presenta la distribución de probabilidad bivariante rectangular-triangular, en primer lugar, se obtiene su función de densidad mediante consideraciones geométricas y posteriormente se determinan sus características estocásticas: vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas, así como se comprueba que las componentes del vector aleatorio son independientes. En la sección 3 se obtiene la función de distribución del vector aleatorio rectangular-triangular, que es clave en el método de valoración de las dos betas. XVII Jornadas ASEPUMA – V Encuentro Internacional Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:204

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En la sección 4 se resume la filosofía del método de valoración de las dos betas para el caso univariante y se extiende para el caso bivariante, ilustrándose su aplicación con un caso práctico de la literatura especializada.

2. DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD Para obtener la expresión de la función de densidad en el punto (x,y) se halla la ecuación de la superficie de la figura 1, que puede determinarse fácilmente mediante las ecuaciones de sus dos caras, ya que son planos que pasan por tres puntos, dos de ellos situados en la base del prisma y el tercero en un vértice del mismo. Utilizándose su cota, h, como constante normalizadora para la distribución continua bivariante resultante. Proyectando la superficie de la rectangular-triangular en el plano Z = 0. Se denotan por Ti (i = 1,2) los diferentes rectángulos que conforman los recorridos de (X ,Y) y por pi (i = 1,2,…,6) los vértices del prisma (entre paréntesis sus coordenadas).

Se determinan los dos planos que conforman las dos caras rectangulares de la rectangular-triangular, a partir de la ecuación del plano que pasa por tres puntos. El plano que pasa por los puntos A, B y E, se obtiene a través de la ecuación:

Π ( p1 , p 5 , p 2 ) ≡

x

y

z

1

a1 a1

a2 m

0 h

1 =0 1

b1

a2

0

1

⇒

Π (p1 , p 5 , p 2 ) ≡ −h (a 1 − b1 ) y + [a 1 (m − a 2 ) + b1 (a 2 − m)] z + a 2 h (a 1 − b1 ) = 0 Teniendo en cuenta que a 1 ≠ b1 , puede dividirse por (a1-b1) y resulta: XVII Jornadas ASEPUMA – V Encuentro Internacional Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:204

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(a 2 − y ) h + ( m − a 2 )z = 0

z=

⇒

y − a2 h m − a2

si (x ,y) ∈ T1

(1)

El otro plano que pasa por los puntos C, D y E tiene por ecuación:

Π (p 3 , p 5 , p 4 ) ≡

x

y

z

1

b1

b2

0

1

a1

m

h

1

a1

b2

0

1

=0

⇒

Π (p 3 , p 5 , p 4 ) ≡ −h (b1 − a 1 ) y + [b1 (m − b 2 ) + a 1 (b 2 − m)] z + b 2 h (b1 − a 1 ) = 0 Al igual que antes puede dividirse por (b1-a1): ( b 2 − y ) h + ( m − b 2 )z = 0

⇒

z=

b2 − y h b2 − m

si (x ,y) ∈ T2

(2)

De (1) y (2) se obtiene la función de densidad, especificando el valor de h. El procedimiento más sencillo que puede usarse para determinar h como constante normalizadora es el geométrico. Imponiendo la condición de que el volumen de la rectangular-triangular sea la unidad, se obtiene la siguiente expresión: h=

2 ( b1 − a 1 )( b 2 − a 2 )

(3)

En efecto, como el volumen de un prisma triangular es: V = A BT h P , con A BT : área de la base triangular y h P : altura del prisma triangular. El volumen de la

1 rectangular-triangular es : V = A BR h , donde A BR : área de la cara rectangular ABCD 2 y h: altura del triangulo ADE. Para que este sea la unidad, se tiene verificar que:

1=

1 ( b1 − a 1 )( b 2 − a 2 )h 2

⇒

h=

2 ( b1 − a 1 )( b 2 − a 2 )

Por lo cual la expresión de la función de densidad de la distribución Rectangular-Triangular es la siguiente:

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2 ⎧ y − a2 ⎪ m − a (b − a )(b − a ) si ( x , y) ∈ T1 2 2 2 1 1 ⎪ ⎪⎪ 2 z ( x , y) = ⎨ b 2 − y si ( x, y) ∈ T2 ⎪ b 2 − m (b 2 − a 2 )(b1 − a1 ) ⎪ ⎪ ⎪⎩ 0 en otro caso

(4)

O lo que es lo mismo: 2( y − a 2 ) ⎧ ⎪ (b − a )(b − a )(m − a ) si a1 ≤ x ≤ b1 ∧ a 2 ≤ y ≤ m 2 1 1 2 ⎪ 2 ⎪⎪ 2(b 2 − y) z ( x , y) = ⎨ si a1 ≤ x ≤ b1 ∧ m ≤ y < b 2 ⎪ (b 2 − a 2 )(b1 − a1 )(b 2 − m) ⎪ ⎪ 0 en otro caso ⎩⎪

(5)

El resultado de independencia de las variables se obtiene observando que se puede expresar la función de densidad conjunta, dada en (5), como el producto de las marginales, esto es, z( x , y) = z1 ( x )z 2 ( y) , donde z1 ( x ) es la función de densidad de una distribución rectangular o uniforme, U(a1,b1) y z 2 ( y) es la función de densidad de una triangular T(a2,m,b2), Herrerías y Palacios (2007). Las características estocásticas relevantes de la variable aleatoria bidimensional (X,Y) son su vector de medias, μ, y su matriz de varianzas-covarianzas, Σ, que responden a las expresiones siguientes: ⎛ ( b1 − a 1 ) 2 ⎛ a 1 + b1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ 12 2 ⎟ y Σ= ⎜ μ=⎜ a + m + b ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 0 ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠ ⎝

3.

FUNCIÓN

DE

⎞ ⎟ ⎟ ( b 2 − a 2 ) 2 − ( m − a 2 )( b 2 − m ) ⎟ ⎟ 18 ⎠

DISTRIBUCIÓN

0

DEL

MODELO

RECTANGULAR-TRIANGULAR En el cálculo de la función de distribución hay que distinguir dos casos: 1.

Si (x0 , y0) ∈ T1 , se tiene que: XVII Jornadas ASEPUMA – V Encuentro Internacional Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:204

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F( x 0 , y 0 ) = ∫

y0 x 0 a2

∫a

1

z1dxdy = ∫

y0 x 0 a2

∫a

h

1

y − a2 dxdy = m − a2

h (x 0 - a1 )( y 0 − a 2 ) 2 = 2 m − a2

2.

(6)

Si (x0 , y0) ∈ T2 , se tiene que:

F( x 0 , y 0 ) = ∫ =∫

x0 a1

m

∫a

2

h

x0 a1

m

∫a

2

z1dydx + ∫

x0 a1

y0

∫m

z 2 dydx =

x y y − a2 b −y dydx + ∫ 0 ∫ 0 h 2 dydx = a1 m m − a2 b2 − m

(7)

h h ( x 0 − a1 )(b 2 − y 0 ) 2 = (x 0 − a1 )(b 2 − a 2 ) − 2 2 b2 − m Por tanto, la función de distribución del modelo probabilístico rectangulartriangular es:

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0 si x < a 1 ∧ y < a 2 ⎧ ⎪ ⎪ a 1 < x < b1 (x − a 1 )( y − a 2 ) 2 ⎪ si ⎪ (b − a )(b − a )(m − a ) a2 < y < m 1 1 2 2 2 ⎪ F( x , y) = ⎨ ⎪ x − a1 ⎛ a < x < b1 ⎞ (b 2 − y) 2 ⎜ ⎟⎟ si 1 − 1 ⎪ ⎜ m < y < b2 ⎪ b1 − a 1 ⎝ (b 2 − a 2 )(b 2 − m) ⎠ ⎪ ⎪ 1 si x > b1 ∧ y > b 2 ⎩

(8)

4. EL MÉTODO DE VALORACIÓN DE LAS DOS BETAS Como es sobradamente conocido, el primer trabajo en el que se habla del método de las dos distribuciones Beta y de su aplicación a la valoración de tierras es el artículo de Ballestero (1971). En el mismo, pág. 226, el autor afirma: “Es frecuente que las estadísticas de transacciones indiquen un precio mínimo, un precio máximo y un precio normal (moda de la distribución de precios)... Las mismas razones que aconsejan el uso de la distribución Beta en el cálculo de tiempos medios de las actividades de un PERT, aconsejan también el uso de dicha distribución en el problema que nos ocupa”, y a continuación presenta una aplicación de este método de valoración a la concentración parcelaria. El “Método de las dos Betas” fue formalmente presentado por Ballestero (1973), como mejora del método sintético de valoración que, como se sabe, está basado simplemente en la proporcionalidad entre el precio de la parcela y el valor de un índice de calidad de la misma. Como mejora de este método sintético en la literatura americana y europea también se había usado el análisis de regresión, relacionando ciertas variables explicativas (variables exógenas) con el precio de mercado (variable endógena) estimándose una función lineal a partir de los datos empíricos disponibles. Ballestero (1973) dentro de la línea de los métodos de valoración sintéticos describe el método de las dos Betas en la forma siguiente: “La variable valor de mercado de un bien obedecerá estadísticamente a la función de distribución F. Por su parte, el índice, parámetro o variable explicativa obedecerá

estadísticamente a una función de distribución G.

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Suponemos que las funciones F y G tienen forma de campana o similar, entonces el método de las dos Betas establece una relación entre ambas variables”. Para ello, es preciso adoptar la siguiente hipótesis: Si el índice, Ii, de un activo, Ai, es mayor que el índice, Ij, de otro activo, Aj, el valor de mercado correspondiente al primer activo, Vi, será también mayor que el valor de mercado correspondiente al segundo, Vj. Es decir, existe una relación directamente proporcional entre el índice de calidad del activo y su valor de mercado. A partir de esta premisa, supuesto conocida la función de distribución, F, del valor de mercado y la función de distribución, G, del índice, el valor de mercado, Vk, correspondiente al índice Ik se establece mediante la igualdad de las dos funciones de distribución: F(Vk ) = G (I k )

(9)

Luego el valor de mercado Vk del activo Ak , será:

Vk = F −1 [G (I k )] = Φ(I k )

(10)

La dificultad del método está en conocer la forma de la función Φ , es decir, la forma que adopten F y G va a determinar la dificultad que supone encontrar Φ . Por el contrario, la mayor ventaja de este método de valoración frente a otros métodos de valoración: sintéticos, analíticos, econométricos, etc… ,una clarísima exposición de todos estos métodos de valoración puede verse en Caballer (2008), es su aplicabilidad cuando los datos disponibles son muy escasos e incluso inexistentes, en tal caso, puede disponerse de las estimaciones subjetivas de un experto sobre los valores mínimos, máximos y más probables de las características de los activos a valorar, así como los valores pesimista, optimista y modal del valor de mercado. Con esta mínima información, el método de valoración de las dos betas puede utilizarse. Su economía de uso puede apreciarse en las tasaciones masivas de fincas, véase Lozano (1996), derivadas de una concentración parcelaria o de una expropiación, véase Ballestero (1971). 4.1. Extensión al caso bivariante

En este apartado se introduce una extensión del método de valoración de las dos betas al caso bidimensional. XVII Jornadas ASEPUMA – V Encuentro Internacional Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:204

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En muchas ocasiones un tasador profesional necesita determinar el valor de un activo mediante un índice de calidad bidimensional o multidimensional; cuyas componentes son a su vez un índice de calidad unidimensional de dicho activo. Para ello, asumimos el mismo principio básico de valoración utilizado anteriormente, el activo con mayor índice de calidad tiene mayor valor de mercado, donde el orden entre dos vectores se determina por el ordenamiento entre las componentes de ambos vectores. En este contexto y supuesto que los dos índices son de similar importancia para el valor de mercado, el principio básico de valoración se puede establecer como sigue: Sean j y k dos activos, con (i 1 j , i 2 j ) y (i1k , i 2 k ) los valores de sus índices de calidad y sean vj y vk sus respectivos valores de mercado. Entonces, si i1 j 2 + i 2 j 2 <

i1k 2 + i 2 k 2 se tiene que vj < vk.

Análogamente al caso unidimensional, el método de las dos betas se basa en la igualdad entre sus respectivas funciones de distribución, F para el valor de mercado y G para el índice de calidad bidimensional. Por lo que la valoración de un activo con un índice de calidad I = (i1d , i 2d ) por el método de valoración de las dos betas es: F( v d ) = G (i 1d , i 2d ) entonces v d = φ (i1d , i 2 d )

(11)

donde φ = F −1 o G Hay que tener en cuenta que gran parte de las características de calidad de una finca rural y de otros activos se pueden reducir a dos componentes principales: la ubicación y la calidad intrínseca de la finca o activo. La calidad intrínseca, a veces, se puede medir por la rentabilidad de la propiedad, por su producción, por el alquiler, por la renta, etc. Además, estas dos componentes: producción y localización, por lo general no tienen ninguna relación o esta es muy baja, por lo tanto, es necesario utilizar como modelo distribuciones bidimensiones cuyas variables no presenten correlación. Por lo anteriormente expuesto, se ha elegido la distribución rectangulartriangular como distribución bivariante de componentes independientes y de función de densidad (5) muy sencilla, frente a otras muchas distribuciones bivariantes que responden a expresiones más complejas y/o sus componentes presentan una alta XVII Jornadas ASEPUMA – V Encuentro Internacional Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:204

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correlación ya que, debido a ello, no serían modelos probabilísticos adecuados para el caso práctico de valoración seleccionado. 4.2. Caso Práctico

En este trabajo se utiliza la distribución de probabilidad estudiada en los apartados anteriores como modelo probabilístico para un indicador bidimensional de calidad para fincas rústicas. El trabajo que se toma como referente es el de Alonso y Lozano (1985), parcialmente reproducido en el texto de Alonso e Iruretagoyena (1990), en el que se realiza la valoración de una finca de Valladolid atendiendo a un único índice de calidad, la producción de la finca. Tomando de partida los datos contenidos en el mencionado artículo de Alonso y Lozano (1985). Se pretende determinar el valor de mercado (€ / hectárea) para una finca cuya producción es de 2.100 kg de cebada por hectárea y que se encuentra a una distancia de 24 Km. de Valladolid. Los datos originales para la variable valor de mercado son: VALOR DE MERCADO (€/ hectárea) a = 1.502,53 b = 2.704,55 m = 1.803,04 Tabla 1: Elaboración propia, a partir de los datos utilizados por Alonso y Lozano (1985) Estos autores suponen que la distribución de la variable valor de mercado es triangular, luego su función de distribución es la siguiente: 0 ⎧ ⎪ ⎪ 2 ( x − 1.502,53) 2 ⎪ (x − a ) = ⎪ (b − a )(m − a ) 361.215,55 ⎪ F( x ) = ⎨ ⎪ (2.704,55 − x ) 2 (b − x ) 2 = 1− ⎪1 − 1.083.646,65 ⎪ (b − a )(b − m) ⎪ ⎪ 1 ⎩

si x ≤ 1.502,53 si 1.502,53 ≤ x ≤ 1.803,04

(12) si 1.803,04 ≤ x ≤ 2.704,55 si x ≥ 2.704,55

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Como la distribución de probabilidad que se va a utilizar es bidimensional, se deben de tomar dos índices de calidad en la valoración de la finca, para ello, además de tomar como índice, al igual que en el citado ejemplo, la producción de la finca; se va a tomar un segundo índice de calidad, la proximidad a Valladolid, que claramente no están relacionados uno con el otro y puede presuponerse que su comportamiento es independiente. Se considera la proximidad en vez de la distancia para que se cumpla la hipótesis de relación directamente proporcional entre el índice y el valor de mercado. Esto hace suponer que el precio de la finca aumenta cuando la distancia a Valladolid es menor o lo que es lo mismo cuando su proximidad es mayor, algo que resulta obvio. Este índice de proximidad puede obtenerse fácilmente como el complementario de la distancia a un valor superior a la mayor distancia presentada por las fincas testigo, en este caso puede tomarse el valor 70. En la siguiente tabla aparecen los valores para cada uno de los índices empleados: INDICE PROXIMIDAD A VALLADOLID

INDICE PRODUCCIÓN

I1 =70 – d (Km.)

I2 (kg de cebada / hectárea)

Mínimo

a1 = 70 – 65 = 5

a2 = 1.800

Máximo

b1 = 70 – 10 = 60

b2 = 4.000

Moda

m = 2.000

Tabla 2: Elaboración propia, a partir de los datos utilizados por Alonso y Lozano (1985) Lo primero que se realiza con la información de la finca que se quiere valorar es determinar el complementario de la distancia para obtener la proximidad a Valladolid, 70 – 24 = 46, entonces se determina que el valor del índice bivariante es: (x0, y0) = (46 , 2.100)

(13)

Se va a aplicar la distribución rectangular-triangular, esto es, se supone que el índice de proximidad sigue una distribución rectangular y que el índice de producción sigue una distribución triangular. Para determinar en qué región se encuentran los datos de la finca a valorar, hay que tener en cuenta que: XVII Jornadas ASEPUMA – V Encuentro Internacional Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:204

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x0 ∈ (5 , 60 )

e

y0 = 2.100 es mayor que m = 2.000

Entonces (13) se encuentra en la región T2 A partir de (8) y teniendo en cuenta los valores de la tabla 2 se calcula la función de distribución en el punto (13), que está en la región T2, y el resultado es 0,133843. La aplicación del método de las dos betas lleva a utilizar la expresión (9) por ello, se compara este resultado de la distribución conjunta con el valor de la función de distribución del valor de mercado en la moda, que es 0,2500065 ≈ 1/4. Al ser menor, hay que despejar de la primera rama de la función de distribución del valor de mercado, obteniéndose: ( x − 1.502,53) 2 = 0,133843 luego x = 1.722,41 € /hectárea 361.215,55 Si se compara el valor obtenido con los que se obtienen usando un solo índice de calidad, véase tabla 3, utilizando la misma distribución de probabilidad (12) como modelo del valor de mercado y los mismos valores de la tabla 2 para cada uno de los índices de calidad considerados, se deduce lo siguiente: 1. Los valores de mercado obtenidos cuando se considera como índice de calidad la producción son ligeramente mayores que el determinado con la distribución bivariante. 2. El valor de mercado obtenido cuando se considera como índice de calidad la proximidad a Valladolid es más alto que el determinado con la distribución bivariante. El punto 1 se justifica probabilísticamente mediante la conocida propiedad de las funciones de distribución bivariantes:

⎧ F ( x, y) ≤ F ( x,+∞) = F( x ) ∀ ( x, y) ∈ R (X, Y) se tiene que ⎨ ⎩F ( x, y) ≤ F (+∞, y) = F( y) El punto 2 además de justificarse como el anterior, pone en evidencia la significación del poder explicativo del índice de calidad utilizado. Método de valoración

Método de las dos Betas

Índice de calidad

Proximidad a Valladolid

Distribución Uniforme

Distribución Triangular

2.179,35 € /hectárea

-

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Producción cebada

1.724,47 € /hectárea

1.757,20 € /hectárea

Tabla 3: Elaboración propia, a partir de los datos utilizados por Alonso y Lozano (1985)

Por todo lo anteriormente expuesto, de momento, no se puede concluir que el valor de mercado 1.722,41 € /hectárea sea mejor o peor que los otros tres valores ya que no se dispone de información sobre si se actúa como comprador o vendedor y, más aún, se desconoce también si se llevó a cabo o no la transacción y el valor final acordado, que serviría para clarificar que estimación está más próxima a la realidad.

CONCLUSIONES En este trabajo, en primer lugar, se ha presentado y estudiado una distribución de probabilidad bivariante que sirve, en una etapa posterior, como modelo para un índice de calidad bidimensional de componentes no relacionadas. En segundo lugar, se ha extendido formalmente el método de valoración de las dos betas al caso bidimensional. Esto constituye un comienzo para abordar en su generalidad los índices multivariantes. En tercer lugar, se ha tratado un caso práctico de la literatura especializada mediante el método de valoración de las dos betas extendido, constatándose que es tan sencillo de utilizar como en el caso unidimensional. El valor de mercado obtenido por el método extendido es ligeramente distinto al determinado por el método unidimensional si se considera como índice de calidad solamente la producción de la finca.

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