T.7: TRIGONOMETRÍA 7.1 Medidas de ángulos. El radián. Ángulo reducido. Las unidades más comunes que se utilizan para medir los ángulos son el grado sexagesimal y el radián: 

Grado sexageximal: es cada una de las 360 partes iguales en las que se divide la circunferencia. Cada grado se divide en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos.



Radián: Si se toma una circunferencia, de radio r, y se lleva esa longitud r sobre un arco de la misma, el ángulo central determinado por el arco y sus radios extremos mide un radián. Se simboliza por rad. Ejemplo 1:

Pasa a radianes 45o

360o ----------- 2π rad 45o ----------- x rad

Ejemplo 2:

Pasa a grados

360o ----------- 2π rad x

-----------

Es posible y deseable para muchas situaciones disponer de una definición que permita la existencia de ángulos con amplitudes superiores a 360o o incluso con amplitudes negativas. 

Ángulo reducido: A todo ángulo se le puede asociar un ángulo positivo entre 0o y 360o. Ejemplo 1: Calcula el ángulo reducido asociado a 1000o Ejemplo 2: Calcula el ángulo reducido asociado a -210o



Ejercicio 1: Calcula el ángulo reducido de 1315o y -1005o, y exprésalo en grados y radianes.

7.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Las razones trigonométricas son expresiones matemáticas que relacionan medidas de ángulos y de distancias. Sea el triángulo rectángulo:



El seno del ángulo agudo

es la razón entre las longitudes del cateto opuesto al mismo y la

hipotenusa: 

El coseno del ángulo agudo

es la razón entre las longitudes del cateto contiguo al mismo y la

hipotenusa: 

La tangente del ángulo agudo cateto contiguo al mismo:

es la razón entre las longitudes del cateto opuesto al mismo y del

Estas relaciones definen un número cuyo valor no depende del triángulo elegido para calcularlo, sino solo de los ángulos, ya que las relaciones entre los lados serán proporcionales según el Teorema de Tales:

Se denominan razones trigonométricas inversas a:    

Ejercicio 2: Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos: a) b)

7.3 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Se denomina circunferencia goniométrica a aquella que tiene como radio la unidad, y está centrada en los ejes de coordenadas cartesianos. 

Razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante - El seno del ángulo α coincide con el valor de la ordenada del punto A: - El coseno del ángulo α es el valor de la abscisa del punto A: - La tangente del ángulo α es el resultado de dividir la ordenada del punto A entre su abscisa, o también, es el valor de la ordenada del punto A´´:



Signo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Teniendo en cuenta el signo de las coordenadas de un punto en los distintos cuadrantes, se puede determinar de forma inmediata el signo de las razones trigonométricas de un ángulo si se sabe en qué cuadrante se encuentra su ángulo reducido correspondiente.



Valor de las razones trigonométricas



Ejercicio 3: Indica los valores de las razones trigonométricas de: 0o, 90o, 180o, 270o.



Ejercicio 4: Indica el signo de las razones trigonométricas de:

120o, -70o, 256o, 750o.

7.4 Reducción al primer cuadrante de las razones trigonométricas. Reducir una razón trigonométrica de un ángulo al primer cuadrante es encontrar otra razón trigonométrica con el mismo valor que la dada, pero que esté referida a un ángulo del primer cuadrante. 

Ángulos suplementarios (

) ó ó ó

Ejemplos: 

Ángulos que se diferencian en 180o (

) ó ó ó

Ejemplos: 

Ángulos que suman 360o (

) ó ó ó

Ejemplos: 

Ángulos negativos (

)

Igual que los que suman 360o Ejemplos: 

Ángulos complementarios (

) ó ó ó

Ejemplos: 

Ejercicio 5: Expresa las siguientes razones trigonométricas en función de otra del 1er cuadrante:

7.5 Relaciones entre las razones trigonométricas. Las siguientes relaciones se utilizan para calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo conociendo solo una de ellas, y a qué cuadrante pertenece: 

Como los triángulos OA´A´´ y OA´´A son semejantes, por el teorema de Tales:



Relación fundamental de la trigonometría: Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OA´A´´



+

Si se dividen los dos miembros de la ecuación fundamental por +



+

se obtiene:

+

Si se dividen los dos miembros de la ecuación fundamental por

se obtiene:

+

Ejemplo: Sabiendo que α es un ángulo del primer segundo cuadrantes calcula el valor de las demás razones trigonométricas de α. Como:

+

→

+

, y que el

,

→

Y como está en el segundo cuadrante → Como:



→

Ejercicio 6: Calcula todas las razones trigonométricas en cada caso, y una vez halladas calcula α: a)

si α Є

d)

b)

si α Є

e)

c)

si α Є si α Є

si α Є

7.6 Razones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos. 











Ejemplo: Calcula siendo

, sabiendo que .

+

, siendo

, y que 168,46 240

,



Ejercicio 7: Calcula

, sabiendo que

, siendo

, siendo

, y que

.

7.7 Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad. 









 Ejemplo: Sabiendo que el

, calcula

+ →



Ejercicio 8: Sabiendo que el

, calcula

7.8 Transformación de productos en sumas.    Ejemplo: Convierte

en una suma de razones trigonométricas. →



Ejercicio 9: Convierte



Ejercicio 10: Resuelve

en una suma de razones trigonométricas.

a)

f)

k)

b)

g)

l)

c)

h)

m)

d)

i)

e)

j)

7.9 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas. 

Ecuaciones trigonométricas Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la incógnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas.

Estas ecuaciones cuentan habitualmente con infinitas soluciones: -

Hay que tener en cuenta qué ángulos en diferentes cuadrantes tendrán la misma razón trigonométrica.

- Hay que tener en cuenta que los ángulos al añadirle vueltas completas tienen la misma razón trigonométrica. Ejemplo: Resuelve la ecuación Ejemplo: Resuelve la ecuación Ejemplo: Resuelve la ecuación →

→

→ 

Ejercicio 11: Resuelve

a)

c)

f)

i)

b)

d)

g)

j)

h)

e) 7.10 

Teoremas del seno y del coseno. Teorema del seno ya que

y que

y tomando otra altura lo haríamos de manera similar con A y B; y con A y C. 

Teorema del coseno

y de manera análoga lo haríamos con cada lado del triángulo. 7.11

Resolución de un triángulo.

Para poder determinar los 6 elementos de un triángulo, es suficiente con conocer 3 de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado.

*



Área del triángulo Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, el área del triángulo se puede obtener mediante la siguiente expresión:

Ejercicio: Resuelve el siguiente triángulo rectángulo y calcula su área:





Ejercicio 12: Resuelve los siguientes triángulos y calcula sus áreas: a)

d)

b)

e)

c)

f)

Ejercicio 13: Desde un punto del suelo se ve la copa de un pino bajo un ángulo de

. Si nos alejamos

2,5 m hacia otro punto del suelo, alineado con el anterior y con el pie del pino, vemos la copa bajo un ángulo de

. Calcula la altura del pino.



Ejercicio 14: Calcula la altura de los edificios de la figura:



Ejercicio 15: Dos coches con velocidades constantes respectivamente de 90 y 80 km por hora, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de

. ¿Qué distancia habrá entre ellos cuando lleven

15 minutos de viaje? 

Ejercicio 16: Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan entre sí 75 km. Las visuales desde A y B hasta el avión forman con la horizontal ángulos de

y

de amplitud, respectivamente. Calcula

la altura a la que vuela el avión y las distancias a las que se encuentra de A y B, suponiendo que el avión y las ciudades están sobre el mismo plano vertical. 

Ejercicio 17: Calcula la distancia entre los puntos A y B:



Ejercicio 18: Calcula el ángulo de tiro del jugador que está situado en el punto B del campo:



Ejercicio 19: Un hombre observa una antena de radio bajo un ángulo de elevación de de

. Si se aleja 45 metros, el nuevo ángulo de elevación será

. Halla la altura de la antena.