Demostración del teorema del seno: Por definición de las razones trigonométricas, h= a senB, luego b senA = a senB de donde se obtiene: a=b sen A sen B C se obtiene de la misma manera que las otras, pero considerando otra de las alturas. De tal modo que siempre se cumple: a= b= c sen A sen B sen C Estas tres igualdades relacionan 6 datos y nos ayudan a resolver el triángulo. Se demuestra que son igualdades de la siguiente manera: A vale 60.07° a vale 8cm B vale 68.79° b vale 8.60cm C vale 51.13° c vale 7.18cm De tal modo que si divido: a=
8 = 8 = 10.307
sen A sen 50.90° 0.7761 b=
10 = 10 = 10.307
sen B sen 75.96° 0.970 c=
8.24 = 8.24 = 10.307
sen C sen 53.13° 0.8 Como podemos observar, nos da el mismo resultado en los tres casos, y es así como demostramos que se cumple esta igualdad. Ejemplo: problema resuelto Tenemos un triángulo en el cual conocemos: A: 30°; B: 100°; c: 5cm. Y debemos calcular las medidas restantes. Como A + B + C = 180°, C = 180 − 30 −100 = 50° Para el cálculo de las longitudes utilizamos el teorema del seno: 1
a=
c
sen A sen C a = c senA = 5 sen30° = 2.5 = 3.26 sen C sen 50° 0.76 y b se calcula igual: b=
c
sen B sen C b = c senB = 5 sen100° = 4.92 = 6.42 sen C sen 50° 0.76 De tal modo que ya tenemos todos los datos. Problemas propuestos: • Resolver un triángulo que mida : a = 4.5 cm B = 30° C = 78° Solución: A = 72° b = 27.75 cm c = 4.63 cm • Un carpintero quiere construir una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m otro 1.5m y el ángulo opuesto al primero debe ser de 40°. Halla el resto de las medidas para que el carpintero pueda construirlo. Solución: A = 112.97° B = 40° C = 27.03° a = 3m b = 2m 2