Teorema del Muestreo

Dr. Luis Javier Morales Mendoza Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG

Índice 1.1. Introducción 1.2. Conversión analógico-digital y digital-analógico 1.3. Proceso de muestreo 1.4. Teorema del muestreo 1.5. Alteración de la tasa de muestreo 1.6. Tarea

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

2

1

Introducción 1.1. Introducción Las técnicas de señales digitales proporciona un método alternativo para procesar una señal analógica de interés práctico tales como la voz, señales biológicas, sísmicas, del sonar y de los distintos tipos de comunicaciones son. Para realizar esto, es necesario antes que nada de una interfaz entre la señal analógica y el procesador digital y viceversa. Estas interfaces son el convertidor Analógico-Digital (ADC) y el convertidor Digital-Analógico (DAC) como se muestra en la Figura 1.1.

Señal Analógica

Procesador Digital

ADC

DAC

Señal Analógica

Figura 1.1: Diagrama a bloques de un sistema digital Dr. Luis Javier Morales Mendoza

3

Introducción El procesador digital de señales puede ser un gran ordenador digital programable (p. e. una PC) o un pequeño microprocesador embebido (p. e. un DSP, FPGA, PIC) para realizar las operaciones deseadas sobre la señal de entrada.

Figura 1.2: DSP de la compañía Altera y uno de la Familia TMS320 de Texas Instruments Dr. Luis Javier Morales Mendoza

4

2

Conversión AD y DA 1.2. Conversión Analógico-Digital y Digital-Analógico Para procesar señales analógicas por medios digitales es necesario convertirlas a formato digital, esto es, transformarlas en una secuencia de números de precisión finita. Este procedimiento se denomina conversión analógico-digital (ADC). Conceptualmente, se puede ver que la ADC posee un proceso de tres pasos los cuales son: 1. Muestreo. Esta es la conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal en tiempo continuo en instantes de tiempo discreto. Así xa(t) es la entrada al muestreador, la salida es xa(nT) ≡ x(n), donde T se denomina el intervalo de muestreo. Dr. Luis Javier Morales Mendoza

5

Conversión AD y DA 2. Cuantificación. Esta es la conversión de una señal en tiempo discreto con valores continuos a una señal en tiempo discreto con valores discretos (señal digital). El valor de cada muestra de la señal se representa mediante un valor seleccionado de un conjunto finito de valores posibles. La diferencia entre la muestra sin cuantificar x(n) y la salida cuantificada xq(n) se denomina error de cuantificación. 3. Codificación. En el proceso de codificación, cada valor discreto xq(n) se representa mediante una secuencia binaria de b bits. xq(n)

x(n)

xa(t) Muestreador

Cuantificador

1001… Codificador

Figura 1.3: Diagrama a Bloques de un ADC Dr. Luis Javier Morales Mendoza

6

3

Conversión AD y DA ADC tipo flash (en paralelo). Consiste en una serie de comparadores arreglados en paralelo que comparan a la señal con una referencia para cada nivel. El resultado de las comparaciones ingresa a un circuito lógico que “cuenta” los comparadores activados.

Figura 1.4: ADC Flash Dr. Luis Javier Morales Mendoza

7

Conversión AD y DA ADC de simple rampa. Este tipo de convertidor utiliza un integrador con un condensador que se carga a pendiente constante hasta alcanzar la tensión a convertir, instante en el que cesa la integración. El tiempo requerido es proporcional a la tensión de entrada, y puede medirse con un contador digital.

Figura 1.5: ADC Simple Rampa Dr. Luis Javier Morales Mendoza

8

4

Conversión AD y DA ADC de doble rampa. Este esquema permite independizarse de la precisión de la frecuencia del reloj, la resistencia y el condensador. La conversión se hace en dos etapas, la primera se realiza la integración de la tensión de entrada durante un tiempo fijo, y en la segunda se produce la descarga con pendiente fija, durante un tiempo que depende de la cantidad de carga acumulada.

Figura 1.6: ADC doble rampa Dr. Luis Javier Morales Mendoza

9

Conversión AD y DA DAC de escalera. Esta configuración permite un rango amplio de valores de las resistencias. En la actualidad, este tipo de circuito es superado por las redes de escalera del tipo R-2R

Figura 1.7: DAC de escalera Dr. Luis Javier Morales Mendoza

10

5

Conversión AD y DA DAC de escalera R-2R. La propiedad de esta configuración es que cualquiera que sea el número de secciones en la red, la resistencia vista por el operacional es R.

Figura 1.8: DAC escalera R-2R Dr. Luis Javier Morales Mendoza

11

Conversión AD y DA Existen otros circuitos convertidores analógico-digital y digital-analógico que poseen circuitería mucho más compleja para mejorar que las vistas atrás. Por ejemplo, los ADC usan DAC dentro de su propia circuiteria. Algunos ejemplos son: de aproximaciones sucesivas, balance continuo y de rampa discreta

Figura 1.9: aproximaciones sucesivas

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

12

6

Conversión AD y DA Algunos parámetros de interés para los DAC son: La resolución, exactitud, el error de escala, error de offset, monotonía, Tiempo de establecimiento, slew-rate, sobrepico y glith, derivadas con la temperatura y con el envejecimiento entre otros parámetros. Para los ADC son: Rechazo al ruido, resolución, error de cuantización, error de histéresis, error de offset, error de cero, y error de escala.

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

13

Muestreo de Señales 5.3. Muestreo de señales analógicas Existen muchas maneras de muestrear una señal, la más común es el muestreo periódico o uniforme. Este proceso se describe mediante la relación

x(n ) = xa (nT )

–∞ < n < +∞

(1.1)

donde x(n) es la señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal analógica xa(t) cada T segundos. Este proceso se ilustra en la Figura 1.10. El intervalo de tiempo T entre dos muestras sucesivas se denomina periodo de muestreo o intervalo de muestreo, y su reciproco (1/T = Fs) se llama velocidad de muestreo (muestras por segundo) o frecuencia de muestreo (Hertz). Dr. Luis Javier Morales Mendoza

14

7

Muestreo de Señales x(n) = xa(nt)

xa(t) Fs = 1/T Muestreador

xa(t)

xa(t) x(n) = xa(nt)

x(n)

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9

T 2T … 5T …

n

9T … t = nT

Figura 1.10: Muestreo periódico de una señal analógica Dr. Luis Javier Morales Mendoza

15

Muestreo de Señales El muestreo periódico establece una relación entre las variables t de tiempo continuo y n de tiempo discreto. De hecho, estas variables se relacionan linealmente a través del periodo de muestreo T o equivalentemente, a través de la velocidad de muestreo como

t = nT =

n T

(1.2)

Como consecuencia de (1.2), existe una relación entre la variable frecuencia F de las señales analógicas y la variables frecuencia f de las en tiempo discreto. Para establecer dicha relación si se considera una señal analógica de la forma

xa (t ) = A cos(2πFt + θ ) Dr. Luis Javier Morales Mendoza

(1.3) 16

8

Muestreo de Señales que, cuando se muestrea periódicamente a una velocidad de Fs = 1 /T muestras por segundo, da lugar a

xa (nT ) ≡ x(n ) = A cos(2πnFT + θ ) ⎛ 2πnF ⎞ x(n ) = A cos⎜⎜ + θ ⎟⎟ ⎝ Fs ⎠

(1.4)

Si una señal en tiempo discreto es expresada como

x(n ) = A cos(2πnf + θ )

(1.5)

entonces, al comparar la relación (1.4) con la (1.5), se observa que las variables de frecuencia F y f están linealmente relacionadas como Dr. Luis Javier Morales Mendoza

17

Muestreo de Señales f =

F Fs

(1.6)

Si ω = 2πf y Ω = 2πF, entonces, la (1.6) queda como

ω = ΩT

(1.7)

La relación dada en (1.6) justifica el nombre de frecuencia normalizada o relativa, que se usa a veces para describir a la variable f. Como se ve en (1.6), se puede usar a f para determinar a la frecuencia F solo si la frecuencia de muestreo Fs es conocida. El rango de la variable de frecuencia F ó Ω para senoides en tiempo continuo es (1.8) –∞ < Ω < +∞ –∞ < F < +∞ Dr. Luis Javier Morales Mendoza

18

9

Muestreo de Señales Sin embargo, la situación es diferente para senoides en tiempo discreto, las cuales establecen que –π < ω < π

–½ < F < ½

(1.9)

Sustituyendo (1.6) y (1.7) en (1.9) se encuentra que la frecuencia de la senoide en tiempo continuo cuando se muestreo a una velocidad Fs = 1/T debe encontrarse en el rango

−

1 F F 1 =− s ≤F ≤ s = 2T 2 2 2T

(1.10)

o equivalentemente

−

π T

= −πFs ≤ Ω ≤ πFs =

π

(1.11)

T

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

19

Muestreo de Señales Ejemplo 1. considere la siguiente señal analógica

xa (t ) = 3 cos(100πt ) a)

Si la señal se muestrea a una velocidad de Fs = 200Hz ¿cuál es la señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?. b) Si la velocidad de muestreo cambia a Fs = 75Hz. Sol. Aplicando la (1.4) se tiene a)

⎛ 100π ⎞ ⎛π ⎞ x(n ) = 3 cos⎜ n ⎟ = 3 cos⎜ n ⎟ ⎝ 200 ⎠ ⎝2 ⎠

b)

⎛ 100π ⎞ ⎛ 4π ⎞ x(n ) = 3 cos⎜ n ⎟ = 3 cos⎜ n⎟ ⎝ 75 ⎠ ⎝ 3 ⎠ Dr. Luis Javier Morales Mendoza

20

10

Muestreo de Señales

Figura 1.11: Muestreo de la señal xa(t) Dr. Luis Javier Morales Mendoza

21

Teorema del Muestreo 5.4. Teorema de Muestreo Dada una señal analógica cualesquiera, ¿cómo se debe elegir el periodo de muestreo T? ó ¿cual es velocidad de muestres Fs? Para contestar esta pregunta es necesario cierta información sobre la característica de la señal que va a ser muestreada. En particular, se debe tener cierta información general sobre el contenido de frecuencia de la señal. Generalmente, dicha información se encuentra disponible, por ejemplo se sabe que la frecuencia mayor en señales de voz ronda los 3KHz o en las señales de televisión tiene componentes de frecuencia importante hasta los 5MHz. La información contenida en dichas señales se encuentra en la amplitud, frecuencia y fase de las distintas componentes de frecuencia, pero antes de obtener dichas señales no se conoce sus características con detalle. Dr. Luis Javier Morales Mendoza

22

11

Teorema del Muestreo De hecho, el propósito del procesado de señal es normalmente la extracción de dichas características. Sin embargo, si se conoce la máxima frecuencia de una determinada clase de señal, se puede especificar la velocidad de muestreo necesaria para convertir las señales analógicas en señales digitales. Si se supone que cualquier señal analógica se puede representar como una suma de senoides de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es decir N

xa (t ) = ∑ Ai cos(2πFi t + θ i )

(1.12)

i =1

donde N indica el número de componentes de frecuencia. Todas las señales, como las de voz ó video se prestan a dicha representación en cualquier intervalo de tiempo pequeño. Dr. Luis Javier Morales Mendoza

23

Teorema del Muestreo Normalmente, las amplitudes, fases y frecuencias varían lentamente de un intervalo de tiempo al siguiente. Si se supone que la frecuencia de una determinada señal no excede una frecuencia máxima conocida Fmax. Por ejemplo, si Fmax = 3KHz, para señales de voz y Fmax = 5MHz para señales de video, se puede ver que la máxima frecuencia puede variar ligeramente, y para asegurar que Fmax no sobrepase determinado valor, la señal analógica es pasada a través de un filtro que atenúe fuertemente las componentes de frecuencia por encima de Fmax. En la práctica, este filtrado se realiza antes del muestreo. Se sabe que la frecuencia más alta de una señal analógica que puede reconstruirse sin ambigüedad cuando la señal se muestrea a una velocidad de Fs = 1/T es Fs/2. Cualquier frecuencia por encima de Fs/2 o por debajo de – Fs/2 produce muestras que son idénticas a las correspondientes a las frecuencias dentro del intervalo – Fs/2 ≤ – F ≤ Fs/2. Dr. Luis Javier Morales Mendoza

24

12

Teorema del Muestreo Para evitar las ambigüedades, que resultan del aliasing, se debe seleccionar una velocidad de muestreo lo suficientemente alta, esto es, se debe escoger a Fs/2 mayor que a Fmax. Por lo tanto para evitar el problema de aliasing, se selecciona a Fs como (1.13)

Fs > 2Fmax

Teorema: Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax = B y la señal se muestrea a una velocidad Fs > 2Fmax, entonces xa(t) se puede recuperar totalmente de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:

g (t ) =

sin (2πBt ) 2πBt

(1.14)

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

25

Teorema del Muestreo Así, xa(t) se puede expresar como

xa (t ) =

∞

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎟⎟ g ⎜⎜ t − ⎟⎟ ⎝ s ⎠ ⎝ Fs ⎠

∑ x ⎜⎜ F

n = −∞

a

(1.15)

donde xa(n/Fs) = xa(nT) = x(n). Cuando el muestreo de xa(t) se realiza a la tasa mínima de muestreo Fs =2B, la formula de reconstrucción (1.15) se transforma en

xa (t ) =

⎛ n ⎞ sin 2πB(t − n 2 B ) x ∑ a ⎜⎝ 2 B ⎟⎠ 2πB(t − n 2 B ) n = −∞ ∞

(1.16)

La tasa de muestreo dada por FN = 2B = 2Fmax, se denomina tasa de Nyquist. La Figura 1.12 ilustra el proceso de un DAC ideal que usa esta función de interpolación. Dr. Luis Javier Morales Mendoza

26

13

Teorema del Muestreo

g (t ) =

sin 2πB(t − n 2 B ) 2πB(t − n 2 B )

Figura 1.12: Conversión analógico a digital ideal Dr. Luis Javier Morales Mendoza

27

Teorema del Muestreo Como puede observarse tanto en la (1.15) como en la (1.16), la reconstrucción de xa(t) a partir de la secuencia x(n) es un proceso complicado que supone la suma ponderada de la función de interpolación g(t) y sus versiones correspondientemente desplazadas en el tiempo g(t - nT) con –∞ < n < ∞, donde los coeficientes de ponderación son las muestras de x(n). Dada la complejidad y el infinito número de muestras que se requiere en (1.15) y (1.16), éstas formulas de reconstrucción, son puramente de interés teórico. Ejemplo 2. Considere la siguiente señal analógica

xa (t ) = 3 cos 50πt + 10 sin 300πt − cos100πt ¿Cual es la tasa de Nyquist para esta señal? Dr. Luis Javier Morales Mendoza

28

14

Teorema del Muestreo Sol. Las frecuencias presentes en la señal son:

F1 = 25Hz

F2 = 150 Hz

F3 = 50 Hz

Por lo tanto, la frecuencia máxima contenida en la señal es 150Hz, y de acuerdo a (1.13) la tasa de Nyquist es

FN = 2Fmax

⇒

FN = 300 Hz

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

29

Teorema del Muestreo Ejemplo 3. Considere la siguiente señal analógica

xa (t ) = 3 cos 2000πt + 5 sin 6000πt + 10 cos12000πt a) ¿Cual es la tasa de Nyquist para esta señal? b) suponga ahora que se muestrea esta señal a una velocidad de Fs = 5000 muestras por segundo ¿Cuál es la señal en tiempo discreto que se obtiene tras el muestreo? Sol.

F1 = 1KHz

F2 = 3KHz

F3 = 6 KHz

Por lo tanto ⇒

FN = 12 KHz Dr. Luis Javier Morales Mendoza

30

15

Teorema del Muestreo b) Dado que se ha elegido a Fs = 5KHz, la máxima frecuencia que puede ser representada sin ambigüedad mediante las muestras es

Fs = 2.5KHz 2 usando la (1.2) se obtiene

xa (t ) = 3 cos 2π ( 15 )n + 5 sin 2π ( 53 )n + 10 cos 2π ( 65 )n

= 3 cos 2π ( 15 )n + 5 sin 2π (1 − 52 )n + 10 cos 2π (1 + 15 )n

= 3 cos 2π ( 15 )n + 5 sin 2π (− 52 )n + 10 cos 2π ( 15 )n

= 13 cos 2π ( 15 )n − 5 sin 2π ( 52 )n

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

31

Tarea 1. Investigue en forma detallada cada uno de los convertidores analógicodigital que se presentaron en esta lectura, cubriendo el análisis del circuito, aplicaciones, ventajas y desventajas que presenta cada uno, entre otros datos de interés. 2. Realice la programación de un DAC y ADC en Matlab aplicando los métodos de conversión descritos en esta lectura. 3. Investigue cual es el estado del arte de los convertidores analógicosdigitales y digitales-analógicos en cuestión de diseño electrónico, en programación de algunos sistemas embebidos (PIC, FPGA, DSP), velocidad, etc.

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

32

16

Tarea 4. Se tiene las siguientes señales analógicas

xa (t ) = 3 cos 600πt + 2 cos1800πt xa (t ) = 5 Re{exp( j 200πt )}+ 7 Im{exp( j 400πt )} xa (t ) = 3 Re{exp( j 200πt )}Im{exp(− j100πt )} Encuentre: a) La frecuencia máxima b) La tasa de Nyquist c) Si la frecuencia de muestreo cambia a Fs = 500 muestras por segundo ¿Cuál es la señal en tiempo discreto que se obtiene tras el muestreo? Dr. Luis Javier Morales Mendoza

33

17