EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO • TEOREMA DE ROLLE.− Sea f continua sobre [a, b] , a < b , y diferenciable sobre < a, b > tal que f (a)= 0, f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en < a, b > que satisface f '(c)= 0 Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente este teorema. Según las condiciones dadas, la grafica de f no debe tener esquinas (o vértices) dentro de < a , b > y que para x = a y para x = b la grafica de f toca al Eje x. Así, es factible tener la figura siguiente. En el caso de la primera figura existen hasta tres valores para tal c . Note que en esta figura f no es diferenciable en a , pero este hecho no afecta al teorema pues a " < a , b > . • PRUEBA DEL TEOREMA DE ROLLE : • Si f(x) = 0 " x " < a , b> [constante], entonces cualquier c " < a , b > es válido pues f `(c) = 0 para todo c " < a , b >. • Si f(xo) > 0 para algún xo "< a , b >, alcanza su MÁXIMO en algún punto c " [a , b]: f(c) = máx. ( f(x) / x " [a , b] , pero como f(c) " f(xo) > 0 y f(a) = f(b) = 0 entonces c " a y c " b; así, c " < a , b >. Y como f satisface en < a , b > entonces f ` (c) = 0. • Si f (xo) < 0 para algún xo " < a , b >, f alcanza su MINIMO en algún punto " " [a , b]: f(c) " f(xo) < 0 ! c " b ! c " < a , b >; y como f satisface en entonces: f `(c) = 0 (RECTA TANGENTE HORIZONTAL) entonces • NOTA.− En el teorema de Rolle, la condición de continuidad de f en [a , b] es obviamente muy importante, pues asegura que la grafica de f no tenga saltos bruscos dentro de [a , b]. Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente tocan al EJE X en ambos extremos de [a , b] y veremos las condiciones para que existan puntos " " < a , b > donde las rectas tangentes sean paralelas al segmento RS que tiene como pendiente: • TEOREMA DEL VALOR MEDIO T.V.M (TEOREMA DE LAGRANGE).− Sea f una función y a < b. Sí se cumplen ambas: f es continua sobre [a , b] , y f es diferenciable sobre < a , b > , entonces existe " " < a , b > tal que f ` (c) [ó tal que: f(b) − f(a) = f ` (c) − ( b − a ) , c " < a , b >]. • PRUEBA.− Aplicamos el Teorema de Rolle a la función g definida por Pues vemos que g es continua sobre [a , b] y diferenciable sobre el intervalo abierto < a , b > , y además 1

que g(a) = 0 = g(b). Entonces dicho teorema nos asegura que existe " " < a , b > tal que g `(c) = 0 , es decir lo que implica que: f(b) − f(a) = f `(c).(b − a) • PROBLEMA.− Aplicar, si es posible, el Teorema del Valor Medio a: • a = −2 , b = 2 f(a) = f(−2) = 0 f(b) = f(2) = 0 f continua en [−2, 2] f diferenciable en <−2 , 2> Entonces el Teorema de Rolle implica que existe C " <−2,2> tal que: f '(c) = 0 Y como f ` (x) = 2x = 0 para x = 0 solamente , entonces c = 0. Además c = 0 se encuentra en el intervalo <−2,2> • f(x) 0 x2 + 2x , x " [0,3], a = 0 , b = 3 , f(a) = a , f(b) = f(3) = 15 , f es continua en [0,3] y diferenciable en < 0,3 > , entonces el T.V.M. asegura que existe c " < 0,3 > tal que Como f ` (x) = 2x + 2 = 5 entonces x = 3/2 = c " <0,3>. • f(x) = cos x , x " [0, /2] , a = 0 , b = /2 , f(a) = 1 , f(b) = 0 , f es continua en [0, /2] y diferenciable en < 0 , /2 >, entonces el Teorema del Valor Medio asegura la existencia de algún c " <0, /2 > tal que: es decir, C = 0 arcsen (2/) " < 0 , /2 > • Demostrar que sen x " x , x " [0, >. Aplicaremos el teorema del Valor Medio (T.V.M) a la función f(x) = sen x − x , para x " [0 , b] ,para cualquier b " R+ tal que: f(0) = 0 ,,,,, f(b) = sen b − b. Como f es continua y diferenciable en R, entonces por el T.V.M, existe c " < 0,b > tal que : .............(*) Pero, f ` (c) = cos c −1 " 0 , pues −1 " cos x " 1 ," x " R, y en particular para x = c : de la relación (*) : ! (sen b − b) / b " 0 ! sen b − b " 0 2

! sen b " b , " b > 0 , así como también para b = 0 , " sen x " x , " x " 0 . • TEOREMA DE L' HOSPITAL: Estas reglas nos serán de mucha utilidad cuando nos encontremos con funciones f y g tales que: sea de la forma: Por ejemplo, sí f(x) = x − tanx y g(x) = x − sen x , entonces = y donde el ultimo limite, hasta donde nos es posible, es muy complicado el tratar de evaluarlo. Precisamente, las REGLAS DE L'HOSPITAL nos indicaran que en este caso, cuando se tiene la forma indeterminada 0/0, ó "/", se puede considerar el limite pero con las correspondientes derivadas: así obtenemos el valor del limite buscado: L = − 2. • TEOREMA (REGLA DE L' HOSPITAL PARA: 0/0).− Sean f y g diferenciables en < a , b >. Si se cumple que: g'(x) " 0 , " x " < a , b >. Si se cumple que: , entonces Por ejemplo, • TEOREMA.− Sean f y g diferenciables para x > M > 0, , entonces PRUEBA.− Sea F(z)= f(1/z), G(z) = g(1/z) , entonces si x! +" si y solo si t ! 0+ , y ; y puesto que aplicamos el 1er. Teorema al cociente F'(z)/G'(z): donde G'(z) " 0 , " z tal que 0 < z < 1/M [! x > M], El primer Teorema asegura que, como ! entonces y por lo tanto Existe el teorema análogo para cuando x ! − , y ambos teoremas se

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Generalizan al caso en que • TEOREMA (REGLA DE l' HOSPITAL PARA /).− Sean f y g diferenciables en < a , b > al cual pertenece " , si , y si existe , entonces : Este resultado tambien se cumple para cuando x ! c− , x ! c. Todas las demas formas indeterminadas : " − ", 0." , 1" , 00 , "0, se pueden reduciar a 0/0 ó "/" mediante transformaciones algebraicas, trigonometricas, logarítmicas o exponenciales y recien entonces poder aplicar la REGLA DE L'HOSPITAL. EJEMPLO: Calcular , Asi hemos llegado a la forma indeterminada " − " ; mediantes transformaciones trigonometricas: Cuando esto ocurre, el teorema asegura que existe por lo menos un punto c en el intervalo abierto < a , b> tal que en dicho punto la recta tangente a la gráfica es horizontal. PENDIENTE m = f ` (c) = 0 Esto Se presenta debido a que f no cumple con la condición de ser diferenciable en todo <−1,1> , pues falla en serlo en el punto x = 0

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