´ meros Primos El Teorema de los Nu Fernando Chamizo Junio 2010

1.

Formulaci´ on

El teorema de los n´ umeros primos es quiz´a el resultado m´as emblem´atico de la teor´ıa anal´ıtica de n´ umeros apareciendo con frecuencia en textos de divulgaci´on cient´ıfica. Se enuncia habitualmente como x (1) π(x) ∼ log x donde π(x) = #{p primo ≤ x} y f ∼ g significa l´ımx→+∞ f (x)/g(x) = 1. Al revisar algunas tablas es f´ acil percatarse de que x/ log x no es num´ericamente una buena aproximaci´on de π(x) aunque el error relativo tienda a cero. De hecho se conoce que a la larga π(x) − x/ log x ≥ x/ log2 x por tanto el error relativo no decae m´as r´apido que 1/ log x que es comparable al inverso del n´ umero de cifras. Otra forma de enunciar el teorema m´as complicada pero m´ as natural desde el punto de vista hist´ orico, computacional y te´orico es Z x dt (2) π(x) ∼ li(x) donde li(x) = . log t 2 Es equivalente a (1) porque x/ log x ∼ li(x) aplicando la regla de L’Hˆopital. Las tablas muestran que la aproximaci´ on es sorprendentemente buena en este caso y adem´as se conoce que π(x) − li(x) toma valores negativos y positivos para x arbitrariamente grandes, por tanto no muestra el sesgo positivo de la aproximaci´ on anterior. Teniendo en cuenta que li(x+)−li(x) = / log ξ con ξ ∈ [x, x+], el teorema de los n´ umeros primos sugiere que la probabilidad de que un n´ umero de tama˜ no N sea primo es 1/ log N . Sin embargo hay que tomar con precauci´on est´a idea probabil´ıstica sobre todo cuando se combina con hip´otesis de independencia pues aplicada sin cuidado conduce a conclusiones equivocadas.

2.

Notas hist´ oricas

Gauss fue el primero en notar que li(x) aproxima a π(x) pero no escribi´o ning´ un resultado te´orico a este respecto. P.L. Chebyshev realiz´o a mediados del siglo XIX los primeros grandes 1

avances (v´ease [7]) mediante ingeniosos
argumentos con n´ umeros combinatorios. Por ejemplo, despu´es de simplificar est´ a claro que 2n es divisible por el producto de los primos entre n + 1 n y 2n y es de esperar que no tenga much´ısimos factores m´as. Sus razonamientos le permitieron deducir, entre otras cosas, (3)

C1

x x ≤ π(x) ≤ C2 log x log x

para x ≥ C3

con constantes C1 , C2 y C3 expl´ıcitas. Con ello logr´o demostrar el postulado de Bertrand (para todo n > 3 existe un primo entre n y 2n) que era uno de sus objetivos. El punto de inflexi´ on vino en 1859 con la famosa memoria de Riemann, su u ´nico trabajo en teor´ıa de n´ umeros ([3] contiene una traducci´on al ingl´es). En ella se da un esquema de la prueba del teorema de los n´ umeros primos pero hay lagunas fundamentales que se tardaron 40 a˜ nos en cubrir y la llamada Hip´otesis de Riemann todav´ıa sigue sin resolver. Incluso sin constituir una prueba del teorema, la memoria de Riemann es un trabajo important´ısimo que introduce la funci´ on ζ, una funci´ on meromorfa ligada desde entonces a la distribuci´on de los primos. En 1896 J. Hadamard y C. de la Vall´ee Poussin demostraron independientemente el teorema de los n´ umeros primos siguiendo el esquema de la memoria de Riemann. Un punto fundamental fue la no anulaci´ on de la funci´ on ζ en cierta regi´on. Hay una relaci´ on en los dos sentidos entre la acotaci´on del error π(x)−li(x) y la distribuci´ on de los ceros de ζ estudiada por m´etodos de variable compleja, por ello fue una gran sorpresa que en 1948 P. Erd˝ os y A. Selberg encontraran una prueba elemental (pero no sencilla) del teorema de los n´ umeros primos. Su inter´es te´orico no es comparable al de la prueba cl´asica porque da menos informaci´ on acerca del error. Por cierto, la mejor acotaci´on para el orden del error est´a lejos de ser elemental y se debe a N.M. Korobov e I.M. Vinogradov. No ha habido ning´ un avance en este sentido desde 1958.

3.

La funci´ on ζ de Riemann Definimos en primer lugar la funci´ on ζ de Riemann 1 en 1 como

(4)

∞ X 1 ζ(s) = . ns n=1

Es una funci´ on holomorfaPen esta regi´on porque la serie converge uniformemente sobre compactos (est´ a acotada por n−α con α > 1). 1

En ingl´es la letra ζ se escribe zeta y se pronuncia ["zi:t@]. Seg´ un el diccionario de la RAE en castellano deber´ıamos decir dseda pero casi toda la comunidad cient´ıfica dice zeta. El caso es similar a µ y ν que seg´ un el diccionario son mi y ni.

2

A partir de la f´ ormula (1 − x)−1 = 1 + x + x2 + . . . para |x| < 1 y el teorema fundamental de la aritm´etica (factorizaci´ on u ´nica en primos) se deduce Y
−1 (5) ζ(s) = 1 − p−s p

donde p recorre los primos. Tal f´ ormula fue probada por Euler en 1737 y su inter´es radica en que a la derecha tenemos una expresi´on que depende de simples n´ umeros naturales y a la izquierda otra que depende de la misteriosa sucesi´on de primos. La derivada logar´ıtmica de (5) y de nuevo el desarrollo de Taylor de (1 − x)−1 dan lugar a la f´ormula ∞

(6)

ζ 0 (s) X Λ(n) − = ζ(s) ns n=1

donde Λ(n) es la funci´ on llamada s´ımbolo de von Mangoldt, que vale log p si n = pk , k ∈ Z+ y cero en otro caso. En cierto modo para demostrar el teorema de los n´ umeros primos se busca “despejar” π(x) en funci´on de ζ(s) a partir de (5). Curiosamente este esquema requiere extender la funci´on ζ m´as alla del semiplano 1 donde (4) no es v´alida. Est´a claro que l´ımx→1+ ζ(x) = ∞ por tanto hay una singularidad en s = 1. No es dif´ıcil probar sumando por partes que para 1 Z ∞
1 (7) ζ(s) − =1+s [t] − t t−s−1 dt s−1 1 pero la integral converge si 0 y define una funci´on holomorfa en esta regi´on. Integrando por partes sucesivas veces se demuestra que ζ(s) − 1/(s − 1) se extiende a una funci´on entera (holomorfa en todo C).

4. 4.1.

El esquema de la prueba cl´ asica Una f´ ormula anal´ıtica para ψ

Aunque en principio deseamos obtener π(x) a partir de (5) y es posible proceder de este modo, resulta t´ecnicamente m´ as c´ omodo obtener la funci´on introducida por Chebyshev X (8) ψ(x) = Λ(n) n≤x


P a partir de (6). No es dif´ıcil probar π(x) = 2≤n≤x Λ(n)/ log n + O x1/2 . De aqu´ı si Λ(n) es 1 en promedio se tiene el teorema de los n´ umeros primos, m´as precisamente sumando por partes Z x
ψ(x) − x ψ(t) − t 1/2 (9) π(x) − li(x) = + dt + O x . log x t log2 t 2 3

Todo lo que hay que probar es entonces ψ(x) ∼ x.

(10)

La manera m´ as r´ apida de expresar ψ(x) en t´erminos de (6) pasa por aproximar la integral Z 1 as (11) I(a) = ds 2πi (c±iR) s mediante el teorema de los residuos, donde (c ± iR) indica el segmento 1 se considera la regi´on R1 = { 1 empleando (6) Z ∞ 1 xs ζ 0 (s) X (x/n)s (13) ψ(x) = F (s) ds + Error donde F (s) = − = Λ(n) 2πi (c±iR) sζ(s) s n=1

con l´ımR→∞ Error = 0 para x > 1 no entero. Esta u ´ltima condici´on es para huir del caso I(1) que no hemos calculado. Como ψ(x) − ψ(x − δ) ≤ log x si δ ≤ 1, siempre podemos suponer por ejemplo que x es semientero (2x impar) para probar (10). En esa situaci´on algunas
cotas b´asicas para la funci´ on ζ (v´ease [1]) permiten deducir que Error = O(xR−1 log2 (Rx) .

4.2.

La relaci´ on con los ceros

Con (13) ya hemos despejado ψ(x) en t´erminos de ζ y ahora tenemos que aproximar la integral. Aplicamos de nuevo el teorema de los residuos en la regi´on R1 . La funci´on F tiene polos en s = 1, s = 0 y en s = z donde ζ(z) = 0. Los residuos son (14)

Res(F, 1) = x,

Res(F, 0) = −

ζ 0 (0) ζ(0)

y

Res(F, z) = −k

xz z

con k = k(z) la multiplicidad de z. Este c´alculo se reduce a emplear ζ(s) ∼ (s − 1)−1 si s → 1 y ζ(s) ∼ K(s − z)k si s → z. Eligiendo R tal que =z 6= ±R se deduce (15)

ψ(x) = x −

X xz ζ 0 (0) − + Error ζ(0) z |=z|