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ENTREGA 2

Dieléctricos Elaborado por Cliffor Castrillo, Ariel Hernández Muñoz, Rafael López Sánchez y Armando Ortez Ramos, Universidad Nacional Autónoma de Managua.

Vector de desplazamiento eléctrico Se admite según la idea de Maxwell que en los medios aisladores las cargas eléctricas no pueden moverse libremente, aunque sí pueden desplazarse elásticamente a partir de su posición de equilibrio en mayor o menor grado según la naturaleza del aislador; por efecto de la fuerza eléctrica a este fenómeno se lo denomina “Desplazamiento Eléctrico”

El vector D=ε0 E+P se llama vector de desplazamiento eléctrico o, simplemente, vector desplazamiento. Tiene la misma unidad que PC/m2 la de densidad superficial de carga. Resulta ∇ . D = ρ, que es una forma muy sencilla de la ley de Gauss, válida con independencia de si el medio es material e es el vacío. En este caso, como en el vacío no hay moléculas polarizadas ni no polarizadas, la polarización P vale cero.

El vector de desplazamiento también puede inscribirse como:

D (r) = εE (r)

Condiciones de frontera para E Y D Regla: En la frontera entre dos materiales dieléctricos diferentes, la dirección del campo eléctrico se quiebra. En la frontera entre dos materiales dieléctricos la componente tangencial de la intensidad del campo eléctrico E y la componente normal de la densidad de flujo de desplazamiento D son continuas. Así, si en una superficie de discontinuidad no hay carga libre, la componente normal del Vector desplazamiento tiene el mismo valor de un lado que del otro. Se dice que se conserva.

Condiciones de frontera con materiales dieléctricos: Cuando se excitan diferentes materiales dieléctricos contiguos por medio de un CE, la intensidad del CE en su interior es diferente.

D = ε . E Donde ε es la permitibilidad del material en cuestión.

Primera condición

El vector desplazamiento tiene una relación íntima con la carga libre o carga de la placa y no con la carga inducida en el dieléctrico, es decir, l D l = q /A = σ la magnitud del vector desplazamiento es igual a la densidad de carga libre en la placa, de ahí que sus unidades sean las de C/m2.

ε1µ1σ1=0

28 |

→

Dn1

El vector de desplazamiento eléctrico se relaciona con el campo eléctrico de la siguiente forma:

El desplazamiento eléctrico describe la extensión a la cual el campo eléctrico ha sido alterado por la presencia del dieléctrico.

Segunda condición

ε2µ2σ2=0 y

Ex

4

Ax

Ey1

Ex2 Z

→

∆S ε µ σ =00 1 1 1

∆X → → ∆S1

y

→

Dn2

ε2 µ2 σ2=00

→

∆S

z

Dr → r,d, ϕ ρ

Figura 5

Condiciones de contorno para E y D: Condiciones de contorno para los componentes normales →

E2 Dn,2 E1 Dn,1

D2

Dt,2 Dt,1

En,2

→

D1

En,1

→

Et,2

E2

→

E1

Et,1

Figura 6

Si S es la superficie de separación de dos medios dieléctricos de constantes dieléctricas absolutas ε1 y ε2, y Dn,1, Dn.2 son los componentes del vector D normales a S y a ambos lados de ella, así como En,1, En.2 son las componentes del vector E normales a S y a ambos lados de ella, se cumplen las relaciones:

Dn,1 = Dn.2 ε1 En,1= ε2 En,2

Ay Ey2

Ex1

Figura 4

Ex3

x

Condiciones de contorno para las componentes tangenciales. Si S es x

la superficie de separación de dos medios dieléctricos de constantes dieléctricas absolutas ε1 y ε2, y Dt,1, Dt.2 son las componentes del vector D tangenciales a S y a ambos lados de ella, así como

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Dt,1, Dt.2 son las componentes del vector E tangenciales a S y a ambos lados de ella, se cumplen las relaciones:

Dt,1 Dt,2 = ε1 ε2

Et,1 = Et,2

Efecto sobre la capacidad de un capacitor Si se introduce un dieléctrico (vidrio, plástico, aceite mineral) entre las placas de un capacitor, la capacitancia de este nuevo condensador varía. Fue Faraday, quien utilizando un equipo sencillo, descubrió que la capacidad de un capacitor aumenta en un factor K a esta constante se le denomina constante dieléctrica. La presencia de un dieléctrico entre las placas cumple con las siguientes funciones:

mantener dos grandes láminas metálicas a distancia muy pequeña sin

C=

contacto alguno. • Consigue aumentar la diferencia de po-

tencial máxima que el capacitor es capaz

de resistir sin que salte una chispa entre

C=

Uperforación = 10KV/mn x 0,001mm = 0,1KV = 100V

pequeña entre las placas sin que exista contacto físico, b. Permite aumentar la diferencia de potencial entre las placas del capacitor, aumentando de este modo la capacidad de almacenar cargas y energía. c. Permite aumentar la capacitancia de un capacitor es mayor cuando posee un medio dieléctrico entre sus placas que cuando el medio entre las placas es el vacío.

mensiones dadas es varias veces mayor con un dieléctrico que separe sus láminas que si estas estuviesen en el vacío.

30 |

b)

S 0,1⋅0,01 ε 5 = =4,42⋅10−9 F=0,442nF 9 9 4⋅π⋅9⋅10 d 4⋅π⋅9⋅10 0,00110-3

las placas (ruptura dieléctrica).

La función de un dieléctrico sólido colocado entre las láminas es triple: • Resuelve el problema mecánico de

La tensión de perforación del dieléctrico la calculamos teniendo en cuenta la rigidez dieléctrica del mismo.

Uperforación = 10KV/mn x 0,001mm = 0,01KV = 10V

• La capacidad de un capacitor de di-

Los capacitores electrolíticos utilizan como dieléctrico una capa delgada de óxido no conductor entre una lámina metálica y una disolución conductora. Los condensadores electrolíticos de dimensiones relativamente pequeñas pueden tener una capacidad de 100 a 1000 [mF].

a)

S 0,1 ⋅ 0,01 ε 5 = =1,12⋅10−9 F= 4,42 nF 9 9 4 ⋅ π ⋅ 9 ⋅10 d 4 ⋅ π ⋅ 9 ⋅10 0,00110-3

a. Permite mantener una distancia muy

La mayor parte de los capacitores llevan entre sus placas conductoras una sustancia no conductora o dieléctrica. Un capacitor típico está formado por láminas metálicas enrolladas, separadas por papel impregnado en cera. El condensador resultante se envuelve en una funda de plástico. Su capacidad es de algunos microfaradios.

Solución:

Sea un condensador de placas planas y paralelas cuyas láminas hemos cargado con cargas +Q y –Q, iguales y opuestas. Si entre las placas se ha hecho el vacío y se mide una diferencia de potencial V0, su capacitancia y la energía que acumula serán

Q Co = v0

2 Uo = 1 Q 2 Co

Observa cómo al aumentar la distancia entre placas conseguimos condensadores de mayor tensión de perforación, pero a costa de reducir la capacidad del mismo.

2. Una esfera de dieléctrico de 5 cm de diámetro y permitividad relativa 4, rodeada de aire, tiene en su centro una carga esférica de 10μC de radio despreciable. Hallar el campo eléctrico, la polarización y el desplazamiento en un punto que dista 2 cm del centro y en dos puntos inmediatamente próximos a la superficie que limita al dieléctrico, pero uno interior a ella y el otro exterior.

Solución

La unidad de la capacidad eléctrica se mide en Farad (se abrevia F).

Anexos

Problemas. 1. Se desea fabricar un condensador con dieléctrico de porcelana con una constante dieléctrica relativa de 6 y una rigidez dieléctrica de 10Kv/mm. Las dimensiones de las placas son de 100mm de largo por 10mm de ancho. Calcular la capacidad y tensión de perforación del condensador en los siguientes casos: a. Separación de las armaduras de 0,001mm. a. Separación de las armaduras de 0,01mm.

2 cm

5 cm ε=4

Figura 7

Como el dieléctrico es isótropo y la carga es positiva, el campo eléctrico, la polarización y el desplazamiento tienen la dirección del radio y sentido hacia fuera de la esfera.

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placas del capacitor. Determine la capacitancia del sistema

Solución: En la figura 8 se muestran los campos en el aire y en el dieléctrico

P= ε0 χ Ε= (8,8542 . 10-12) (3) (5,6172. 107)=

En un punto interior de la frontera las fórmulas son las mismas que las anteriores con R=5 cm y el campo también tiene la dirección del radio, es decir, perpendicular a la frontera:

Como en el exterior χ=1 -1 = 0, la polarización es nula en todos los puntos.

P = (8,8542 . 10-12) (3) (8,9875. 106) C = 238,73 µ C P = 238,73 . 10-6 m2 m2 E = (4)(8,8542 . 10-12)(8,9875. 106) E= 318,30 C2 = 3187,30 µ C2 m m

Utilizaremos las condiciones de contorno para hallarlo. Como en la frontera no hay carga distinta de la de polarización, si ahora el medio 1 es la esfera y el 2 el exterior, se tiene, en general

E2n =

32 |

El desplazamiento en los puntos exteriores de la frontera es:

κe

→ E0

Figura 8

En ausencia de un dieléctrico el campo está dado por:

E0 =

Debido a la simetría, en el exterior de la esfera el campo sigue teniendo la dirección del radio y sentido hacia fuera.

3. Una lámina no conductora de espesor t, área A y constante dieléctrica κe

es insertada entre el espacio de las placas de un capacitor plano con espaciamiento d, carga +Q y área A, como se muestra en la figura 8. La lámina no necesariamente está en el medio entre las

Q ε

Cuando está presente el dieléctrico el campo dieléctrico se expresa en la forma . La diferencia de potencial se determina integrando el campo eléctrico a lo largo de la trayectoria recta (Tabla 1).

Experimento de Faraday en dieléctricos Se tienen dos condensadores –geométricamente idénticos–, uno con aire (~vacío) entre las placas y otro con un dieléctrico entre ellas (figura 9).

D2= ε0 E2 =(8,8542. 10-12)(35,95. 106)=318,30 . 106

1 q k q εr1 ε k q E1n = r1 0 2 = 0 2 = 4πε2 R2 εr2 R εr2 εr2 ε1 R

Es decir, el campo es el mismo que si solo existiera el medio 2: el medio 1 sólo modifica el campo en puntos de él mismo. También, como εr2 = 1

A

→ ED

E2n = εr1 E1n = (4) (8,9875. 106) = 35,95 . 106 N/C= 35,95 M N/C

N 9 -6 = 8,9875 M N/C E = 8,9875 . 10 10 . 10 = 8,9875 . 106 C 4 (5.10-2)2

Como el campo eléctrico del interior de la frontera no tiene componente tangencial, que es continua, tampoco la tiene el campo del exterior de la frontera, por lo que ese campo es normal a la frontera, es decir, tiene también la dirección del radio.

a

= 1,49207 . 10-3 C2 = 1,49207 mC/m2 m D= ε Ε= εr ε0 Ε= (4) (8,8542.10-12) (5,9172)= C 2 = 1,9894 . 10-3 m2 = 1,9894 mC/m

→ E0

t

9 -6 k q 1 q = = ε0 2 = 8,9875 . 10 10 . 10 2 4πε R r R 4 (2.10-2)2 N = 5,6172 . 107 = 56,172 MN/C C χ = εr −1 = 4−1 = 3

E=

C C = 318,20 µ 2 2 m m

Se comparan las dos capacidades. La relación entre ellas es una cte. k = C / C0, i. k es independiente de la geometría; es decir no depende de la forma del condensador ii. k depende sólo del material iii. k > 1 ¿Cómo afecta el dieléctrico a E? El campo neto E entre las placas es menor que cuando no hay dieléctrico. Como los campos se superponen linealmente, podemos escribir: