En un mercado hay dos consumidores con las siguientes funciones de utilidad:

U 1 ( x1 , y1 ) = 2 ln( x1 + 1) + y1 U 2 ( x 2 , y 2 ) = a ln( x 2 + 1) + y 2 con a > 2, donde x i , i =1, 2, es la cantidad del bien x consumida por el individuo i, yi es la cantidad de renta que le queda al consumidor i para comprar otros bienes y mi es la dotación inicial de renta de cada individuo. El bien x es producido por un monopolista cuyos costes de producción son C(x) = x, siendo x = x1 + x2 .

(i) Defina las nociones de disposición total (o máxima) a pagar y disposición marginal a pagar por el bien x. Muestre que el consumidor 2 tiene una disposición total a pagar y una disposición marginal a pagar por el bien x mayor que el consumidor 1 para todo x.

Disposición máxima a pagar del consumidor i (i = 1,2), Ri ( xi ) : lo máximo que estaría dispuesto a pagar el consumidor por xi unidades del bien. Estará pagando lo máximo si justo queda indiferente entre consumir xi unidades pagando Ri ( xi ) y no consumir el bien, dedicando su dotación de renta, mi , al consumo del resto de los bienes. Es decir: U i ( xi , mi − Ri ( xi )) = U i (0, mi ) . El consumidor i (i = 1,2) debe quedar indiferente y, por tanto, se debe cumplir con igualdad la anterior condición. Si por el


i ( x )) > U (0, m ) entonces el consumidor estaría dispuesto a contrario U i ( xi , mi − R i i i
i ( x ) y si U ( x , m − R
i ( x )) < U (0, m ) entonces pagar una cantidad mayor que R i i i i i i i
i ( x ) sería mayor que su disposición máxima a pagar. Con utilidad cuasi-lineal: R i U i ( xi , m − Ri ( xi )) = U i (0, mi ) ui ( xi ) + mi − Ri ( xi ) = ui (0) + mi Ri ( xi ) = ui ( xi ) Por tanto, cuando la función de utilidad es cuasi-lineal: ui ( xi ) → Disposición máxima a pagar del consumidor i por xi u1 ( x1 ) = 2 ln( x1 + 1) u2 ( x2 ) = a ln( x2 + 1)

1

Disposición marginal a pagar del consumidor i (i = 1,2): es el cambio en la disposición máxima a pagar ante una variación infinitesimal en la cantidad consumida. ui' ( xi ) → Disposición marginal a pagar del consumidor i por xi

u1' ( x1 ) =

2 x1 + 1

u2' ( x2 ) =

a x2 + 1

Muestre que el consumidor 2 tiene una disposición total a pagar y una disposición marginal a pagar por el bien x mayor que el consumidor 1 para todo x. u2 ( x) = a ln( x + 1) > 2 ln( x + 1) = u1 ( x) ∀x u2' ( x) =

a 2 > = u1' ( x) ∀x ( x + 1) ( x + 1) *

*

*

*

(ii) Obtenga las combinaciones precio-cantidad (r1 , x1 ) y (r2 , x2 ) que maximizan los beneficios del monopolista y el valor de estos cuando puede practicar la discriminación *

*

de precios de primer grado o discriminación perfecta. Muestre que x1 y x 2 son socialmente eficientes.

Definición Bajo discriminación de precios de primer grado el vendedor cobra un precio diferente por cada unidad del bien igual a la disposición máxima a pagar por esa unidad.

Contexto Requiere información plena sobre las preferencias de los consumidores y no existencia de ningún tipo de arbitraje. En particular, el monopolista es capaz de identificar al consumidor cuando va a comprar el bien. El monopolista deseará ofrecer al consumidor i, i = 1, 2, una combinación (lote) precio-producción (ri* , xi* ) que le reporte los mayores beneficios. El monopolista le

(ri* , xi* ) planteará al consumidor i, i = 1, 2, una elección “todo o nada”: . El (0, 0) consumidor i, i = 1, 2, o paga ri* por xi* unidades o se queda sin el bien.

2

Problema de maximización de beneficios, restricciones y resolución El problema de maximización del monopolista es: max r1 + r2 − c.( x1 + x2 )

r1 , x1 , r2 , x2

s.a

u1 ( x1 ) - r1 ≥ 0 u2 ( x2 ) - r2 ≥ 0

Las restricciones de participación nos dicen que el consumidor i (i = 1,2) obtiene un excedente no negativo si adquiere el bien (es decir, está deseando participar). Maximización de beneficios ⇒

r1 = u1 ( x1 ) r2 = u2 ( x2 )

Por tanto, el problema nos queda: max u1 ( x1 ) + u2 ( x2 ) − c.( x1 + x2 ) x1 , x2

∂Π  = u1' ( x1 ) − c = 0  ∂x1  ' * ' *  → u1 ( x1 ) = u2 ( x2 ) = c  ∂Π = u2' ( x2 ) − c = 0  ∂x2  (Nótese

que

se

cumplen

las

condiciones

de

segundo

orden

dado

que

∂ 2Π = ui'' ( xi ) < 0, i = 1, 2. ) 2 ∂xi Es decir, u1' ( x1* ) =

2 = 1 = c → x1* = 1 x +1

u2' ( x2* ) =

a = 1 = c → x2* = a − 1 x +1

* 1

* 2

Dados estos niveles de producción las tarifas serán: r1* = u1 ( x1* ) = 2 ln( x1* + 1) = 2 ln 2 r2* = u2 ( x2* ) = a ln( x2* + 1) = a ln a y los beneficios

π * = u1 ( x1* ) + u2 ( x2* ) − c( x1* + x2* ) = 2 ln 2 + a ln a − a

3

*

*

Muestre que x1 y x 2 son socialmente eficientes. Consideramos el problema de obtener una asignación eficiente en el sentido de Pareto cuando en la economía hay dos consumidores que tienen funciones de utilidad cuasilineal, ui ( xi ) + yi , y una dotación de renta de mi , i = 1, 2. Vamos a maximizar la utilidad de un agente (por ejemplo el consumidor 1) manteniendo constante la utilidad del otro (por ejemplo, el 2), dada una restricción de recursos (suponemos que el coste marginal es constante e igual a c).

max u1 ( x1 ) + y1

x1 , y1 , x2 , y2

s.a u2 ( x2 ) + y2 = u 2 y1 + y2 = m1 + m2 − c.( x1 + x2 ) Despejando y2 de la segunda restricción y sustituyendo en la primera, despejando entonces y1 y sustituyendo en la función objetivo, el problema queda: max u1 ( x1 ) + u2 ( x2 ) − c.( x1 + x2 ) + m1 + m2 − u 2 x1 , x2

Desde las condiciones de primer orden obtenemos:

u1' ( x1e ) − c = 0   ' e ' e  → u1 ( x1 ) = u2 ( x2 ) = c → Condición de eficiencia u2 ' ( x2e ) − c = 0  Por tanto, el monopolista ofrece las cantidades eficientes: x1* = x1e y x2* = x2e .

(iii) Obtenga las combinaciones precio-cantidad ( r˜1 , x˜1 ) y ( r˜2 , x˜ 2 ) correspondientes a la discriminación de precios de segundo grado. (Nota: explique detalladamente cada tipo de discriminación de precios. Es decir, contexto en el que se desarrolla cada tipo de discriminación, la información que tiene el monopolista, el problema de maximización, las restricciones, demostración de cuáles son efectivas…..).

Definición Bajo discriminación de precios de segundo grado los precios difieren dependiendo del número de unidades del bien que se compren (o de la calidad del producto) pero no de unos consumidores a otros.

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Contexto Nos situamos en un contexto en el que el monopolista conoce las preferencias (conoce la distribución de preferencias) de los consumidores, pero no es capaz de identificar al consumidor cuando va a comprar el bien. Se ve obligado a establecer una única lista de precios y dejar que sean los consumidores los que se auto-clasifiquen o autoseleccionen. En este sentido se dice que es un tipo de discriminación indirecta. Los consumidores se enfrentan a la misma lista de precios pero éstos dependen de las cantidades (o de la calidad del producto) que se compren.

Restricciones de participación y de autoselección. Interpretación El objetivo será diseñar de manera óptima la lista de precios de modo que cada consumidor elija la combinación precio-cantidad diseñada para él.

(r1 , x1 )

Consumidor 1

(r2 , x2 ) (0, 0)

Consumidor 2

Restricciones del monopolista - Restricciones de participación (o racionalidad individual) u1 ( x1 ) − r1 ≥ 0 (1) u2 ( x2 ) − r2 ≥ 0 (2) Estas restricciones garantizan que cada consumidor desea comprar el bien. Cada consumidor obtiene al menos tanta utilidad consumiendo el bien como no consumiendo. O dicho de otro modo, cada consumidor obtiene un excedente no negativo comprando el bien.

- Restricciones de autoselección (o compatibilidad de incentivos) u1 ( x1 ) − r1 ≥ u1 ( x2 ) − r2 (3) u2 ( x2 ) − r2 ≥ u2 ( x1 ) − r1 (4)

Estas restricciones garantizan que cada consumidor prefiere la combinación preciocantidad diseñada para él a la combinación precio-cantidad diseñada para el otro consumidor. Dicho de otra forma, estas restricciones previenen el arbitraje personal:

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cada consumidor obtiene un excedente por lo menos tan alto eligiendo el lote diseñado para él como eligiendo el lote diseñado para el otro consumidor.

Demostración de qué restricciones se cumplen con igualdad

Vamos a agrupar las restricciones de acuerdo con el consumidor.

r ≤ u ( x ) (1) y (3) →  1 1 1 r1 ≤ u1 ( x1 ) − u1 ( x2 ) + r2

(1)' (2)'

r ≤ u2 ( x2 ) (2) y (4) →  2  r2 ≤ u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) + r1

(3)' (4)'

El monopolista desea maximizar beneficios y, por tanto, desea elegir r1 y r2 lo más alto que se pueda. Por tanto, sólo una de las dos primeras desigualdades y sólo una de las dos segundas serán efectivas (se cumplirán con igualdad). El supuesto de que el consumidor 2 es el consumidor de demanda alta y el consumidor 1 el consumidor de demanda baja (es decir, se cumple: u2 ( x) > u1 ( x) ∀x y u2' ( x) > u1' ( x) ∀x ) es suficiente para determinar las restricciones que son efectivas.

1) Demostración de que (4)’ se cumple con igualdad y (3)’ con desigualdad

estricta Supongamos por el contrario que (3)’ se cumple con igualdad y por tanto que r2 = u2 ( x2 ). Entonces (4)' → r2 ≤ r2 − u2 ( x1 ) + r1 → r1 ≥ u2 ( x1 ). Como el consumidor 2 es el de demanda alta u2 ( x) > u1 ( x) ∀x entonces r1 ≥ u2 ( x1 ) > u1 ( x1 ). Es decir, r1 > u1 ( x1 ) y por tanto no se cumpliría la restricción (1)’ lo que supone una contradicción. (No es compatible que se cumpla con igualdad la restricción de participación del consumidor de demanda alta con que el consumidor de demanda baja compre el bien). En conclusión, (3)’ no es efectiva y (4)’ si lo es: r2 = u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) + r1 (5)

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2) Demostración de que (1)’ se cumple con igualdad y (2)’ con desigualdad estricta Supongamos por el contrario que (2)’ se cumple con igualdad y por tanto que r1 = u1 ( x1 ) − u1 ( x2 ) + r2 . Sustituyendo r2 desde la condición (5) obtenemos: r1 = u1 ( x1 ) − u1 ( x2 ) + u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) + r1    = r2

Esto implica u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) = u1 ( x2 ) − u1 ( x1 )

∫

x2

∫

x2

x1

x1

x2

u2' (t )dt = ∫ u1' (t )dt x1

[u2' (t ) − u1' (t )]dt = 0

Pero esto viola el supuesto de que el consumidor 2 es el consumidor de demanda alta, u2' ( x) > u1' ( x) ∀x. Por tanto, (2)’ no es efectiva y si lo es (1)’: r1 = u1 ( x1 ) (6)

Interpretación Al consumidor de demanda baja, ya que no tiene incentivos a realizar arbitraje, se le cobrará su disposición máxima a pagar. Al consumidor de demanda alta, que tiene incentivos a realizar arbitraje personal (y hacerse pasar por un consumidor de demanda baja), se le cobrará el precio máximo que le induzca a elegir el lote destinado a él (justo la cantidad de dinero tal que el consumidor de demanda alta queda indiferente entre su lote y el destinado al consumidor de demanda baja).

Demostración intuitiva Vamos a ver de otra forma por qué al consumidor de demanda alta hay que dejarle con algo de excedente. Consideremos la restricción de autoselección del consumidor de demanda alta: u2 ( x2 ) − r2 ≥ u2 ( x1 ) − r1 (4) Hay que notar que, compatible con que el consumidor de demanda baja compre el bien, el lado derecho de esta restricción es positivo. Es decir, si eligiéramos el valor máximo para r1 la condición (4) nos quedaría:

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u2 ( x2 ) − r2 ≥ u2 ( x1 ) − u1 ( x1 ) > 0 ya que el consumidor 2 es el consumidor de demanda alta. (Lo que implica que la restricción de participación del consumidor 2 no se puede satisfacer con igualdad). Pero dado que le tiene que dejar con excedente positivo al consumidor de demanda alta, le dejará con el mínimo excedente posible, dejando al consumidor 2 indiferente entre elegir el lote diseñado para él y el lote diseñado para el consumidor 1. Es decir, (reordenando la restricción (5)): u2 ( x2 ) − r2 = u2 ( x1 ) − u1 ( x1 ) > 0 ya que como el consumidor de demanda baja no tiene incentivos a realizar arbitraje (obtendría un excedente negativo) el monopolista le cobra su disposición máxima a pagar r1 = u1 ( x1 ).

(iv) Planteamiento y resolución del problema de maximización de beneficios max r1 + r2 − c.( x1 + x2 )

max r1 + r2 − c.( x1 + x2 )

r1 , x1 , r2 , x2

s.a

u1 ( x1 ) - r1 ≥ 0 (1) u2 ( x2 ) - r2 ≥ 0 (2)

r1 , x1 , r2 , x2

⇒ s.a

r1 = u1 ( x1 ) (6) r2 = u2 ( x2 ) − [u2 ( x1 ) − r1 ] (5)

u1 ( x1 ) - r1 ≥ u1 ( x2 ) - r2 (3) u2 ( x2 ) - r2 ≥ u2 ( x1 ) - r1 (4)

El problema quedaría: Π ( x1 , x2 )   max u1 ( x1 ) + u2 ( x2 ) − [u2 ( x1 ) − u1 ( x1 )] − c.( x1 + x2 ) x1 , x2

∂Π = u1' ( xɶ1 ) − c − [u2' ( xɶ1 ) − u1' ( xɶ1 )] = 0 ∂x1 →

2 a 2 −1 − [ − ] = 0 → 2 − xɶ1 − 1 − a + 2 = 0 → xɶ1 = 3 − a (7) xɶ1 + 1 xɶ1 + 1 xɶ1 + 1

∂Π = u2' ( xɶ2 ) − c = 0 (8) ∂x2

Las tarifas vendrán dadas por: rɶ1 = u1 ( xɶ1 ) = 2 ln( xɶ1 + 1) = 2 ln(4 − a ) rɶ2 = u2 ( xɶ2 ) − [u2 ( xɶ1 ) − u1 ( xɶ1 )] = a ln a − [a ln(4 − a ) − 2 ln(4 − a )]

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¿Para qué valores de a decide el monopolista servir el bien a ambos consumidores? El monopolista decidirá ofrecer el bien a ambos consumidores siempre que obtenga mayores beneficios que ofreciendo el bien exclusivamente al consumidor de demanda alta. Es decir, ofrecerá el bien a ambos consumidores si se cumple: Π (0, x2* ) ≤ Π ( xɶ1 , xɶ2 )

u2 ( x2* ) − cx2* ≤ u1 ( xɶ1 ) − cxɶ1 + u2 ( x2* ) − [u2 ( xɶ1 ) − u1 ( xɶ1 )] − cx2*

   rɶ1

rɶ2

[u2 ( xɶ1 ) − u1 ( xɶ1 )] ≤ u1 ( xɶ1 ) − cxɶ1 Si esta condición no se cumple el monopolista decidiría ofrecer el bien exclusivamente al consumidor de demanda alta. Otra forma de verlo consiste en considerar el beneficio marginal de x1. Si fuera negativo para todo nivel de x1

∂Π ( x1 ) = u1' ( x1 ) − c − [u2' ( x1 ) − u1' ( x1 )] < 0 ∀x1    ∂x1 >0

>0

entonces el monopolista decidiría no ofrecer nada al consumidor de demanda baja, ya que para todo nivel de x1 reducir la cantidad ofrecida al consumidor de demanda baja elevaría el beneficio. ∂Π = u1' ( x1 ) − c − [u2' ( x1 ) − u1' ( x1 )] = ∂x1 =

3 − a − x1 a 2 2 4−a −1 − [ − −1 = ]= x1 + 1 x1 + 1 x1 + 1 x1 + 1 x1 + 1

Si a ≥ 3 entonces

∂Π < 0 ∀x1 y el monopolista decidiría no ofrecer el bien al ∂x1

consumidor de demanda baja. Cuando a < 3 al monopolista le interesaría ofrecer al consumidor de demanda baja la primera unidad infinitesimal ya que: ∂Π ( x1 = 0) = 3 − a > 0 ∂x1 En este caso la cantidad ofrecida al consumidor de demanda baja es tal que el beneficio marginal del monopolista se hace 0 (solución interior) y de la CPO obtenemos: xɶ1 = 3 − a que será estrictamente positiva siempre que a < 3 .

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