Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educación Matemática.

Funciones de dos variables Una función f :  2   se representa a menudo mediante el símbolo: z  f x , y  (esta mezcla de notación z y f es común). Esta gráfica es una superficie en  3 : sobre cada punto x , y  del plano xy dibujamos un punto x , y , z  a altura z  f x, y  El conjunto obtenido al dibujar las imágenes de todos los puntos x , y  de U es la gráfica de f.

Definición: Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales un y sólo un número real z. Una función de dos variables, z = f(x, y), es el

modelo matemático que nos dice cuál es el valor de la variable Z para cada posible valor de las variables X e Y

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama Rango, recorrido o contradominio. Una función de dos variables se denota usualmente con z  f x , y  ; Las variables x , y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas x , y , z  en donde x , y  está en el dominio de f y z  f x , y  Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional. En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales x , y , z  . Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano xy , y puesto que cada par ordenado x , y  del dominio de f corresponde a solo un valor de z , ninguna recta perpendicular al plano xy , puede intersectar a la gráfica de f en más de un punto. Las siguientes son graficas de algunos ejemplos de funci0ones de dos variables.

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Curvas de nivel

Es posible hacer una representación completa de una función z  f x , y  en tres dimensiones. Sin embargo, muy a menudo, se recurre a representar este tipo de funciones mediante sus curvas de nivel, porque son sencillas de interpretar y mucho más fáciles de representar. Definición: La curva de nivel c de una función z  f x , y  está formada por el conjunto de puntos x , y  en el plano, tales que f x , y   c

Una curva de nivel presentada aisladamente no proporciona mucha información sobre la función de la que procede. Lo interesante es presentar un conjunto de curvas de nivel para valores equidistantes de c. Por ejemplo, eligiendo c = 0, 1, 2, ..., eligiendo c = 0,−0, 2,−0, 4, ... Los valores concretos que elijamos para c dependerán de la función que queramos estudiar. Por ejemplo, la mayor o menor proximidad de las curvas de nivel nos proporcionara información sobre la mayor o menor pendiente de la función. Las curvas de nivel constituyen el recurso habitualmente utilizado en los mapas topográficos para representar la altitud en función de la longitud y de la latitud. Las curvas de nivel se obtienen cortando la gráfica con planos horizontales situados a distintas alturas. En la siguiente figura se muestra una gráfica (cortada con dos planos horizontales a distintas alturas.

Ecuación de las curvas de nivel

Un plano horizontal tiene por ecuación: z  c con c constante La intersección de la gráfica de f con el plano horizontal son por tanto los puntos x , y , z  tales que z  f x , y   c . Para entender como es la gráfica de f , sin embargo, lo que nos interesa es la proyección de este conjunto sobre el plano x , y  Es decir, el conjunto formado por todos los puntos x , y  del plano en los que f toma el valor c .

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Definición. La curva de nivel c de la función z = f(x; y) es el conjunto de puntos x , y  del plano que cumplen f x , y   c

Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c . Iremos viendo algunas propiedades de las curvas (en general conjuntos) de nivel que los hacen interesantes en sí mismos. Además, las curvas de nivel pueden servir, para ayudarnos a visualizar la gráfica de una función z  2   . Porque, el c-conjunto de nivel es la proyección en el plano xy de la intersección de la gráfica de f con el plano horizontal z  c

Ejemplo: Dada la función z  f x , y   x 2  y 2 , ¿cuáles son sus curvas de nivel? Se trata de estudiar los conjuntos: zc   x, y   / x 2  y 2  c Y como puede verse en el gráfico, son circunferencias centradas en el origen, de radio c

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En este ejemplo, si subimos cada curva de nivel a la correspondiente altura c se obtiene esta Figura:

Grafica elaborada por un programa matemático trazando las curvas de nivel sobre el solido

Derivadas parciales

Cuando trabajamos con una función de varias variables, nos encontramos con gran frecuencia en la necesidad de calcularle sus derivadas como tenemos más variables, a estas derivadas las llamamos: derivadas parciales. Las más sencillas son las derivadas parciales de primer orden, que se notan de cualquiera de las siguientes formas:

f x x , y ;

f ; f x ; de x

manera análoga para la variable y. estas derivadas parciales se definen a continuación:

Definición:  La derivada parcial de primer orden de la función z  f x , y  con respecto a x se 

define como: f x x , y  

f f x  h, y   f x , y   lim h  0 x h

De manera análoga, la derivada parcial de primer orden de la función z  f x , y  con

    respecto a y se define como: f y x , y   f  lim f x, y  h  f x , y y

h 0

h

Procedimiento para la obtención de las derivadas parciales de primer orden: Cuando queremos obtener la derivada parcial de primer orden de una función con respecto a x, lo que tenemos que hacer es, simplemente, derivar la función como si la única variable fuera x, considerando y como una constante. De manera análoga procederíamos para la obtención de la derivada parcial de primer orden con respecto a y. De este modo, la obtención de derivadas parciales es algo muy sencillo: aplicamos las reglas habituales de la

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derivación, teniendo cuidado de considerar la variable que no nos interesa como una constante. Ejemplo: Consideramos nuevamente la función z  f x , y   x 2  y 2 Sus derivadas parciales de primer orden son las siguientes: Ejercicios 1.

f f  2x y  2y x y

Calcular las derivadas parciales para las siguientes funciones: 1. f x , y   x 2  y 2  2 x  4 3. f x , y   xe y  y 2 e x  13 x  4

2. f x , y   3x 2  4 x  y 2  y 4. f x , y   x 2 ln x  e x y 3  2 x ln y

5.

f x , y  

x2  2 y3 xy

6.

f x , y   x  y  3xy

7.

f x , y   sen x 2  e x cos y 3

8.

f x , y   ln x  e x tan

9. g x , y   9  x 2  y 2

10. hx , y   xy  3 x 2 y 2

11. hx , y   e

12.

13. g x , y  

x2  y 2

y  x2 1  x2

15. t x , y   y e x

 y 2

f x , y   ln x  y  e x y

14. mx , y   3  x 3  y 2  xy

y

16.



f x , y   x 2  y 2



2

Derivadas de orden superior.

Único que tenemos que dejar claro es el orden en el que derivamos, y con respecto a qué variable derivamos. En particular, las derivadas parciales de segundo orden son útiles a la hora de calcular máximos y mínimos relativos. En principio, tendríamos cuatro derivadas parciales de segundo orden a saber: f xx x , y ;

2 f   f  ; f xx    2 x x  x 

f xy x , y ;

2 f   f  ; f xy    yx y  x 

f yy x , y ;

f yx x , y ;

2 f   f  ; f yy    2 y y  y 

2 f   f  ; f yx    xy x  y 

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Nota: Conviene destacar que, cuando trabajamos con funciones suaves, da lo mismo que derivemos primero con respecto a x y luego con respecto a y, o al revés, ya que las dos derivadas mixtas coinciden: 2 f 2 f ó, f xy  f yx  yx xy

Teorema de Clairaut Suponga que f está definida en un disco D que contiene el punto a ,b  . Si tanto la función f xy como f yx son continuas en D entonces f xy a ,b   f yx a ,b  Ejercicios 2.

Calcular las derivadas parciales de segundo orden para las funciones del ejercicio 1. Indicando en cuales de ellas se cumple f xy  f yx

Referencias:  

Stewart, J. (2010). Cálculo de varias variables. “Trascedentes Tempranas”. Tomo II Sexta edición. Edamsa Impresiones S.A. de C. V. Iztapalapa, México, D. F. Leithold, L. (1998). El cálculo. Traducción de la séptima edición en inglés de: THE CALCULUS 7. ISBN 0-673-46913-1. Printed in Mexico. Grupo Mexicano MAPASA, S.A. DE C.V.

Referencias de apoyo y complementarias:  Apóstol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1.



Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1.. En particular los capítulos III y IV.