 Enseñanza de los maravillosos números fraccionarios Reflexiones y recomendaciones para abordar el concepto de fracción y la enseñanza de los fraccionarios en la primaria. Autor: Tommy Davila U. Asesora pedagógica Fucai en proyectos de la Fundación Promigas

Una de las dificultades de aprendizaje más comunes en la primaria se da en la construcción del concepto de fracción y entre las causas está la manera de abordar su enseñanza. En este artículo queremos presentar a los docentes, algunas consideraciones sobre la enseñanza de los maravillosos números fraccionarios, o como muchos llaman “números de medir”; en dónde y por qué se originaron; y cómo abordar su enseñanza en la primaria, para superar los obstáculos en su aprendizaje. Origen de los fraccionarios Así como los números naturales, los números fraccionarios, tienen su origen en las primeras civilizaciones, Babilónica y Egipcia, donde el modo de vida era fundamentalmente agrícola y surgen por necesidad de medir las diferentes magnitudes, longitud, y área de los terrenos, tiempo, volumen. Esto conlleva a crear los números fraccionarios como herramienta para expresar los resultados de las mediciones y poder operar con ellas. El paso del número natural al número racional (incluido los fraccionarios) implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir, o en las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes El profesor Carlo Federici llamaba a los números naturales “cardinales propietivos”, porque nos dan la propiedad del conjunto que se llama “numerosidad” o “cardinalidad”.

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A los números fraccionarios que muchos, entre ellos el Matemático Eduardo Vasco Uribe, llaman “números de medir”, Federici llamaba los “cardinales relativos”, porque nos dan las relaciones multiplicativas entre cantidades de las distintas magnitudes, como entre longitudes, áreas, pesos, masas. Importancia de la enseñanza de los números fraccionarios en primaria Las fracciones son importantes en el currículo de primaria por razones culturales y formativas. Culturales, ya que las fracciones están presentes en las operaciones y actividades cotidianas en el comercio, la industria, los bancos y la administración pública. Como ejemplos tenemos: “medio kilo de..., tres cuartos de hora, la ropa se encuentra a mitad de precio.” Y formativa, porque el aprendizaje de estas permite un mejor acceso a los futuros conocimientos que se obtendrán al continuar con los estudios en diversos campos del saber que involucran al concepto de fracción. Al respecto Eduardo Vasco en la ponencia “Problemas y retos de la educación por competencias en las matemáticas de 5º grado” incluida en el libro Los fraccionarios en primaria: retos, experiencias didácticas y alianzas para aprender matemáticas con sentido, opina que: “Los números de medir van a aparecer por todas partes en la técnica, la tecnología, las facturas de la energía y los demás servicios públicos, la subida del sueldo o del arriendo, el descuento en el almacén, el producto per cápita, la reforma tributaria, las encuestas electorales, la elección de los congresistas, y hasta la corrupción y los desfalcos. Si nuestros estudiantes no saben manejar eficientemente los sistemas simbólicos operatorios con los racionales, menos los van a poder utilizar con otros sistemas numéricos más refinados. Más aún, si no los saben manejar con los números racionales, nunca van a poder comprender ni la importancia ni la belleza de la extensión de los números racionales a los reales y a los complejos. Tendrían que aprendérselos de pura memoria y por puro autoritarismo.” (pg. 44) Cómo abordar la enseñanza de las fracciones en primaria Hasta hace un tiempo, las fracciones se enseñaban, en la perspectiva de relación parte - todo y con cantidades continuas: fracción de una pizza, un chocolate, una torta…. Se trabajaba la unidad continua y se representaba (una 2

barra de chocolate entera) dividida en partes iguales (congruentes) Se usaban hojas cuadriculadas para que estas dos características se mantuvieran: “un único todo, dividido en partes iguales”. Después, se seguía con las fracciones propias e impropias, los números mixtos, las fracciones equivalente y las operaciones. Sin embargo a pesar que esta secuencia se desarrollaba desde cuarto de primaria hasta séptimo grado, los estudiantes llegaban a octavo sin la competencia requerida para el manejo de los números fraccionarios, lo que evidenciaba la ausencia de un aprendizaje significativo. Esta dificultad detectada en la enseñanza- aprendizaje de las fracciones condujo investigar sobre su enseñanza-aprendizaje. Algunas de estas investigaciones concluyen que es necesario enseñar las fracciones desde diversas situaciones, contextose interpretaciones, como: partidor (relación parte-todo), cociente, operador, razón y medidas¸ y desde distintas representaciones. Al respecto los estándares de competencias para el área de Matemáticas del MENesperan que los estudiantes al terminar quinto grado interpreten las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición, relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones. Otro obstáculo detectado para el aprendizaje de las fracciones se da cuando la enseñanza se orienta de manera perceptiva por medio de gráficas, o por medio de representaciones simbólicas, algoritmos o recetas, que el estudiante aprende mecánicamente y pronto olvida. En estos tipos de enseñanza se reemplaza las acciones mentales de los niños y las niñas por las representaciones gráficas y los problemas verbalizados. Al respecto, Piaget (1985) al hablar sobre la Didáctica de la Matemática expresa que: “El matemático no acostumbrado a la psicología puede temer en todo ejercicio concreto un obstáculo para la abstracción, mientras que el psicólogo está habituado a distinguir cuidadosamente la abstracción a partir de los objetos (origen de la experiencia física, extraño a la matemática) y la abstracción a partir de las acciones, origen de la deducción y de la abstracción matemática […] Tampoco hay que confundir lo concreto […] con las presentaciones intuitivas en el sentido de figurativas, ya que las operaciones nacen de las acciones y no de configuraciones perceptivas o imaginadas. (1985: 58, En: Vilma Pruzzo de Di Pego, 2012:)” En la mayoría de los casos, estas consideraciones no son tenidas en cuenta, con lo que se enfrenta al niño en las configuraciones perceptivas, sustrayéndolo de la acción que le permitiría construcciones operativas. Un ejemplo es cuando 3

a partir de un rectángulo y un triángulo dibujados por separado se le pregunta al niño “¿Qué parte es el triángulo del rectángulo? La parte (triangular) no tiene que estar “metida” en el todo, ni es indispensable que estén señaladas las líneas que ayudan a visualizar cuántos triángulos de los blancos cubren el rectángulo. Por lo tanto, se pide al niño que imagine “desplazamientos” y “rotaciones” de una figura externa en otra. Esta situación no tiene presente la observación de Piaget de que la visualización no ayuda a la construcción de la noción, la cual depende de la acción que luego se interioriza en operación. Por lo tanto este problema no se debería presentar a través de imágenes sino que se debería construir a partir de la acción de superponer un triángulo recortado sobre la superficie del cuadrado. El “ejercicio operatorio” le permitiría interiorizar la acción con lo que luego podría operar con desplazamientos de figuras. Pero el desconocimiento de estos fundamentos pedagógicos de la enseñanza hace que las docentes enseñen usando directamente esos gráficos. En consecuencia, acogiéndonos al planteamiento de Piaget el aprendizaje de las fracciones se debe orientar a partir de la acción sobre los objetos para que permita interiorizar la acción y de esta manera, posteriormente, se podrá operar en las diferentes situaciones. Por otra parte la complejidad del concepto de fracción, conlleva abordarlo desde los inicios de la primaria y permitir la construcción progresiva de este, cada vez hacia mayores niveles de complejidad. Llinares y Sánchez, afirman por la complejidad del concepto de fracción no conviene abordarlo desde la enseñanza en forma simultánea, , por lo que plantean la siguiente secuenciación de contenidos, donde Las primeras actividades deben estar dirigidas únicamente a que:    

los niños puedan identificar la unidad; realicen divisiones congruentes; cuenten el número de partes en que se divide el todo, y descubran que el número de divisiones no da el número de partes, ni por lo tanto la fracción. Los niños tienen dificultades inicialmente en relación a este aspecto (LLinares y Sánchez, 1997:99).

Según Vasco: Para la competencia en el manejo de los números de medir en la vida real hay que trabajarle mucho a la medición, a las magnitudes, a las cantidades de cada magnitud, a las unidades, a los instrumentos y técnicas de 4

medir. A eso lo llamamos en los lineamientos “el pensamiento métrico”. El pensamiento matemático que llamamos “pensamiento numérico” tiene que ver con los números de contar de 1º a 7º; pero de 4º a 9º hay que trabajar conjuntamente el pensamiento numérico, el espacial y el métrico, porque esos son los que se necesitan para el uso flexible y eficaz de las matemáticas en la solución de los problemas de la vida real. Algunos datos de los problemas pueden aparecer en números de contar o en números de medir, pero los resultados van a aparecer casi siempre en números de medir. (En: Arteta y Escudero, 2012: 44) Al respecto, los estándares de primero a tercero, dados por el Ministerio de Educación Nacional, esperan que los niños al terminar tercero: describan situaciones de medición utilizando fracciones comunes. Comprensiones que los estudiantes requieren para construir el concepto de fracción Reconceptualizar el concepto de unidad que se trabaja en los números naturales, donde la unidad siempre es una unidad simple, un todo continuo, mientras que en los números fraccionarios la unidad puede ser un todo compuesto por otras unidades. Esto se logra trabajando el todo continuo (un rectángulo o una pizza) y el todo discreto (un conjunto de dulces o de flores). Dividir el todo (la unidad continua o discreta) en partes exactamente iguales, ya que en el lenguaje cotidiano muchas veces utilizan términos propios del lenguaje matemático de las fracciones, sin embrago estos no guardan una relación estrecha, por eso cuando dice: “me comí media manzana”, no quiere decir que necesariamente se haya realizado una partición exacta en dos partes iguales. Contar el número de partes en que se divide el todo. Identificar que el número de divisiones del todo no da el número de partes, ni por lo tanto la fracción. Identificar que si se divide el todo (unidad) en partes iguales, al unir las partes forman el todo, es decir el todo se conserva aunque sea dividido en partes. Lo anterior se recomienda comenzar a trabajarlo desde preescolar. Comenzar en 1° a trabajar, en situaciones de medición, la necesidad de fraccionar la unidad de medida en partes iguales. 5

Establecer la relación cuantitativa (en este caso multiplicativa) entre la cantidad de magnitud de la unidad y la cantidad de magnitud de la parte, ya que generalmente, se hace énfasis en la partición y el conteo, centrándose en el número de partes que representa el numerador y el denominador. Basar la partición en la medida de la magnitud ya que la basan en procesos visuales que privilegian la congruencia geométrica entre las partes, lo que dificulta las relaciones cuantitativas entre áreas con diferentes formas. Interpretar la fracción como una relación entre dos cantidades o magnitudes, ya que generalmente se interpreta como dos cantidades separadas por una raya; como una consecuencia de esto identifican que ¼ e mayor que ½ ya que 4 es mayor que 2 o al sumar suman numerador con numerador y denominador con denominador Permitir a partir de 3°el realizar relaciones de equivalencia, orden y operaciones a partir de la acción sobre los objetos que le permita al estudiante interiorizar la acción con lo que posteriormente podría operar en las diferentes situaciones de manera gráfica y simbólica. Al respecto los estándares esperan que un estudiante de tercero: reconozca y genere equivalencias entre expresiones numéricas y describa cómo cambian los símbolos aunque el valor siga igual. Usar material concreto para recrear situaciones problemas usando la fracción como: medida, partidor (relación parte-todo), cociente, operador y razón. Al respecto los estándares espera que al terminar 5°los estudiantes interpreten las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición, relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones. Haciendo uso de la relación de equivalencia identificar representar las fracciones decimales y los porcentajes. Al respecto los estándares esperan que los estudiantes de 5°utilicen la notación decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relacionar estas dos notaciones con la de los porcentajes. Presentar situaciones que conlleven la interpretación de las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición, relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones.

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Sobre los diferentes significado de las fracciones La fracción como relación multiplicativa parte-todo (un todo continuo o discreto), se interpreta como un número que expresa la relación cuantitativa entre una cierta cantidad de magnitud tomada como unidad (todo) y otra cantidad de magnitud tomada como parte. La fracción que vincula la parte con el todo, va encaminada a responder la pregunta ¿qué parte es? Constituye la interpretación más intuitiva y natural para los niños y además es la base para comprender las demás interpretaciones y además es un camino natural o intuitivo, para la conceptualización de algunas propiedades (como la que conduce a la denominación “fracción propia” e “impropia”), algunas relaciones (como la de equivalencia), y algunas operaciones (como la suma y la resta. La fracción como cociente indicado, es el resultado de repartir equitativamente uno o varios objetos entre un número de personas o partes. En este caso la fracción aparece en un contexto de reparto. Aquí la fracción da respuesta a la pregunta ¿cuánto le corresponde a cada uno? La fracción como cociente lleva al concepto de número decimal y está relacionada con otras interpretaciones de las fracciones como la recta numérica o las razones. La fracción como medida: aparece cuando se desea medir una determinada magnitud, en la cual la unidad no está contenida un número entero de veces en la magnitud que se quiere medir. La conceptualización de la fracción como medida permite al estudiante ser capaz de identificar que una fracción a/b es a veces 1/b y que la fracción como medida lleva, en forma natural o intuitiva, a la multiplicación de un natural por una fracción de la forma 1/b y a resolver con mayor habilidad sumas y restas de fracciones y relacionarlos con otras representaciones como lo son los números decimales. La fracción como razón: se utiliza para indicar una comparación entre dos cantidades de una misma magnitud o de magnitudes diferentes. En este caso se comparan dos totalidades. La pregunta importante en este caso es: ¿en qué relación están? Se comprueba que la fracción como razón lleva intuitivamente a la relación de proporcionalidad y al concepto de probabilidad de un evento y de porcentaje. La fracción como operador: Bajo esta interpretación, las fracciones se vinculan con el papel de transformaciones, es decir, “algo que actúa sobre una situación (una parte, un grupo o un número) y la modifica. Así, la fracción n/a se puede 7

interpretar como una composición de dos operadores: uno que amplifica (xn) y uno que reduce (1/a); Se identifica que las fracciones propias son reductoras y las impropias amplificadoras. También que La fracción que vincula, como operador la parte con el todo, va encaminada a responder la pregunta ¿qué cantidad es? , ¿cuánto es? Conclusión El maestro, como uno de los agentes responsables del proceso de enseñanzaaprendizaje, está comprometido a tener conocimientos disciplinares y metodológicos acerca de las fracciones. Es necesario superar la enseñanza mecánica de las fracciones por el contrario y abordarla desde diversos contextos significativos (juegos o situaciones de su entorno e interés), tal como lo proponen los Lineamientos Curriculares, Matemáticas (MEN, 1998), de manera que impliquen a los niños una adecuada experiencia con las diferentes interpretaciones, que les permita comprender los distintos significados, sus relaciones y operaciones, y de esta manera progresen en la construcción del concepto. A través del análisis y las soluciones de tales situaciones, realizando en un inicio acciones sobre los objetos, los estudiantes irán construyendo intuitivamente, además, de los diferentes significados de las fracciones, las relaciones y operaciones existentes entre ellos, y sus propios procesos de solución. A los procedimientos algorítmicos se debe llegar como síntesis o generalizaciones de los procesos personales de los estudiantes, de ahí la importancia que se debe dar a los procesos que los niños utilizan para solucionar las situaciones planteadas, encauzándolos para que al final del camino se puedan comprender las reglas del cálculo algorítmico como síntesis o generalización de los procesos utilizados. Referencias bibliograficas

Ministerio de Educación Nacional. competencias. Bogotá: Magisterio. Ministerio de Educación Nacional. Matemáticas. Bogotá: Magisterio.

(2006). (1998).

Estándares Lineamientos

básicos

de

Curriculares:

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Judith Arteta Vargas ; Rafael Escudero Trujillo … [et al.]. “Los fraccionarios en primaria: retos, experiencias didácticas y alianzas para aprender matemáticas con sentido” / ed.,– Barranquilla: Editorial Universidad del Norte, 2012: Vilma Pruzzo de Di Pego, “Las fracciones: ¿problema de aprendizaje o problemas de la enseñanza?”, documento, en la Revista Pilquen, Sección Psicopedagogía. 2012 , Año XIV, Nº 8, Llinares, S., (2003). Didáctica de las Matemáticas para Primaria. Madrid: Pearson Educación S.A. Piaget, Jean. “Psicología de la Primera Infancia” en Katz, Psicología y Pedagogía. Buenos Aires: Sudamericana-Planeta. 1985. Acevedo, Myriam. (2003). Los Procesos en la propuesta de estándares básicos de calidad. En: Quinto Encuentro Colombiano de Matemática Educativa. Memorias. Memorias. Bogotá. Ed. Gaia. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (1998). Ávila, A., y Mancera, E. (1989). La fracción: una expresión difícil de interpretar. En Pedagogía. Revista de la Universidad Pedagógica Nacional, 6. Vergnaud, Gerard (1990). "La teoría de los campos conceptuales. EN: Lecturas de didáctica de las matemáticas, escuela francesa. Compilación de Ernesto Sánchez y Gonzalo Zubieta. 1993. Barrantes, Hugo. (2011), “La teoría conceptual de Gérard Vergnaud”. Recuperado Noviembre 18 de 2011 de: www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/maestria/pena_2006.pdf

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