Enseñanza de las funciones trigonométricas

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ENSEÑANZA PARA LA COMPRENSIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CENTROS APRENDE DEL CIBERCOLEGIO UCN

TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE: MAGISTER EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

EDISSON ALEXANDER SANTOS GAMBOA

ASESORA FLOR MARÍA DEL SOCORRO JURADO HURTADO MAGISTER EN EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS MEDELLÍN 2016

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Tabla de Contenido Introducción .................................................................................................................................... 7 Capítulo I: Contexto de la propuesta de intervención ..................................................................... 9 1.1.

Planteamiento del problema y antecedentes ........................................................................ 9

1.1.1. Descripción de la realidad contextual .............................................................................. 9 1.1.2. Justificación .................................................................................................................... 11 1.2.

Objetivos ............................................................................................................................ 13

1.2.1. Objetivo general ............................................................................................................. 13 1.2.2. Objetivos específicos...................................................................................................... 14 1.3.

Antecedentes de la propuesta de intervención ................................................................... 14

1.3.1. Enseñanza de las funciones trigonométricas por medio de ambientes virtuales de aprendizaje ................................................................................................................................ 14 1.3.2. Enseñanza de las matemáticas y la educación rural ....................................................... 16 1.3.3. Enseñanza de las matemáticas mediante centros de interés ........................................... 17 Capítulo II: Marco referencial ...................................................................................................... 19 2.1.

Marco legal ........................................................................................................................ 19

2.2.

Aspectos históricos de la trigonometría ............................................................................. 20

2.3.

Marco disciplinar ............................................................................................................... 23

2.3.1. Aspectos conceptuales de la trigonometría .................................................................... 23 2.3.2. Representación trigonométrica ....................................................................................... 25 2.3.3. Análisis disciplinar de la estructura conceptual ............................................................. 25

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2.3.3.1.

2.4.

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Funciones trigonométricas .................................................................................. 25

2.3.3.1.1.

Funciones trigonométricas de un ángulo general ............................................ 27

2.3.3.1.2.

Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria ................................. 31

2.3.3.1.3.

Las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo .................................. 32

Marco teórico ..................................................................................................................... 33

2.4.1. Centros de interés ........................................................................................................... 34 2.4.2. Enseñanza para la comprensión ..................................................................................... 35 2.4.2.1.

Tópicos generativos............................................................................................. 37

2.4.2.2.

Metas de comprensión ......................................................................................... 37

2.4.2.3.

Desempeños de comprensión .............................................................................. 38

2.4.2.4.

Evaluación diagnóstica continua ......................................................................... 39

2.4.2.5.

Dimensiones y niveles de comprensión .............................................................. 39

Capítulo III: Diseño metodológico de la propuesta de intervención ............................................ 43 3.1.

Marco metodológico .......................................................................................................... 43

3.1.1. Paradigma de investigación sociocrítico ........................................................................ 43 3.1.2. Tipo de estudio investigación acción ............................................................................. 44 3.1.3. Instrumento de recolección y análisis de la información ............................................... 47 3.1.3.1.

Entrevista semiestructurada................................................................................. 47

3.1.3.2.

Encuesta .............................................................................................................. 47

3.1.3.3.

Cuestionarios ....................................................................................................... 48

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3.1.3.4.

Análisis documental ............................................................................................ 48

3.1.3.5.

Matriz de valoración............................................................................................ 48

3.1.4. Contexto y participantes ................................................................................................. 50 3.1.5. Método y etapas del proceso investigativo .................................................................... 50 Capítulo IV: Valoración de la propuesta de intervención ............................................................. 56 4.1.

Resultados y análisis de la propuesta ................................................................................. 56

4.1.1. Fase diagnóstica ............................................................................................................. 56 4.1.2. Fase de diseño e implementación ................................................................................... 68 4.2.3. Fase de valoración y análisis ........................................................................................... 68 Capítulo V: Conclusión de la propuesta de intervención.............................................................. 89 5.1.

Conclusiones y recomendaciones ...................................................................................... 89

Lista de referencia ......................................................................................................................... 91 Anexos .......................................................................................................................................... 94

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Tabla de Figuras Figura 1: Relaciones de representación ............................................................................................... 24 Figura 2: Representación de ángulo ..................................................................................................... 26 Figura 3: Ángulo en posición normal..................................................................................................... 27 Figura 4: Semejanza de triángulos rectángulos .................................................................................. 28 Figura 5: Ángulo cuadrantal ................................................................................................................... 30 Figura 6: Ángulo de referencia ............................................................................................................... 30 Figura 7: Circunferencia unitaria ............................................................................................................ 31 Figura 8: Triángulo rectángulo ............................................................................................................... 32 Figura 9: Investigación Acción ............................................................................................................... 45 Figura 10: Diagramas circulares de los intereses de 18 estudiantes de los Centros Aprende. .. 58

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Lista de Tablas Tabla 1: Aspectos históricos y epistemológicos de la trigonometría ............................................... 21 Tabla 2: Estructura de las funciones trigonométricas ........................................................................ 24 Tabla 3: Definición de las funciones trigonométricas ......................................................................... 28 Tabla 4: Signo de la función trigonométrica ......................................................................................... 31 Tabla 5: Dimensiones y niveles de comprensión ................................................................................ 40 Tabla 6: Relación de los aspectos teóricos.......................................................................................... 42 Tabla 7: Investigación Acción................................................................................................................. 46 Tabla 8: Criterios de desempeños generales ...................................................................................... 49 Tabla 9: Desarrollo de la unidad didáctica ........................................................................................... 52 Tabla 10: Diseño de la propuesta de enseñanza de las funciones trigonométricas ..................... 54 Tabla 11: Variables y valores asociados .............................................................................................. 57 Tabla 12: Comprensión de los conocimientos previos estudiante La Suiza ................................... 60 Tabla 13: Comprensión de los conocimientos previos estudiante El Salado ................................. 63 Tabla 14: Comprensión de los conocimientos previos estudiante Astilleros .................................. 66 Tabla 15: Comprensión de las funciones trigonométricas en el triángulo general La Suiza ........ 69 Tabla 16: Comprensión de las funciones trigonométricas en el triángulo general El Salado ...... 71 Tabla 17: Comprensión de las funciones trigonométricas en el triángulo general Astilleros ....... 74 Tabla 18: Comprensión de las funciones trigonométricas en la circunferencia La Suiza ............ 77 Tabla 19: Comprensión de las funciones trigonométricas en la circunferencia El Salado ........... 79 Tabla 20: Comprensión de las funciones trigonométricas en la circunferencia Astilleros ............ 81 Tabla 21: Comprensión de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo La Suiza ..... 83 Tabla 22: Comprensión de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo El Salado .... 85 Tabla 23: Comprensión de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo El Salado .... 88

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Introducción Alcanzar la calidad educativa en el sector rural, ha generado el diseño e implementación de programas con los que se pretende cambiar el modelo de enseñanza tradicional en este contexto, por otros que se ajusten a las características físicas, sociales y culturales, y que se articulen a proyectos de desarrollo para el mejoramiento de la calidad de vida de la comunidad rural. Actualmente, el Cibercolegio UCN (Fundación Universitaria Católica del Norte) ofrece educación virtual en zonas rurales de los corregimientos de Medellín, mediante un programa denominado Centros Aprende. Este programa está articulado con la propuesta curricular de la institución, que reconoce el contexto como un factor importante para la enseñanza y aprendizaje, pero según el reporte de excelencia 2015 del Cibercolegio UCN, la educación impartida a través de ambientes virtuales de aprendizaje en el medio rural no está alcanzando los niveles de competencia deseados que establecen las pruebas locales y nacionales. De esta circunstancia, ha surgido la necesidad de revisar la formación que reciben los estudiantes de los Centros Aprende en el área de matemáticas, y pensar en una propuesta de enseñanza que tenga en cuenta los conocimientos del contexto rural y los intereses de los estudiantes, con el fin de establecer una relación con los conocimientos matemáticos, para utilizarlos en su entorno y generar desarrollo en sus comunidades. Para diseñar esta propuesta de enseñanza, se hizo una búsqueda de antecedentes que permitió comprender el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas a través de centros de interés en Ambientes Virtuales de Aprendizaje (AVA), que posibilitaron un acercamiento a la enseñanza de las funciones trigonométricas, anclada a la educación virtual y en el contexto rural. Por otro lado, la propuesta de enseñanza tuvo presente los documentos legales que rige la educación en Colombia como; leyes, decretos, normas, Lineamientos Curriculares, Estándares

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Básicos de Competencias desde el contexto, nacional, regional e institucional. Además se hizo una breve descripción de los aspectos históricos y epistemológicos de la trigonometría en diferentes culturas, en el marco de las funciones trigonométricas estudiando las características que relacionan la trigonometría con las proporciones y las propiedades del círculo, sin dejar de hacer énfasis en los aspectos conceptuales del conocimiento matemático en cuestión. De acuerdo con la naturaleza de la propuesta de intervención, fue necesario hacer una revisión de los aspectos didácticos y pedagógicos que propiciaron al diseño de las actividades de intervención de la propuesta de enseñanza. En el aspecto didáctico, se hizo un acercamiento a los Centros de Interés. En el aspecto pedagógico, la planificación, desarrollo y evaluación se orientó desde la Enseñanza para la Compresión.

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Capítulo I: Contexto de la propuesta de intervención 1.1. Planteamiento del problema y antecedentes 1.1.1. Descripción de la realidad contextual Los Centros Aprende son un programa del Cibercolegio UCN, que brinda educación en básica secundaria y media por medio de ambientes virtuales de aprendizaje en las veredas El Salado y Astilleros del corregimiento de San Antonio de Prado, y la vereda La Suiza del Corregimiento de San Sebastián de Palmitas de la ciudad de Medellín, pertenecen al programa de cobertura educativa de la Secretaría de Educación que atiende a 68 estudiantes de las zonas rurales, que por dificultes económicas, tiempo, movilidad y otros factores, no pueden acceder a las instituciones presenciales ubicadas en las zonas urbanas de los corregimientos. El Cibercolegio UCN, viene prestando su servicio educativo en estas zonas rurales disminuyendo la brecha entre la educación rural y la educación urbana de la educación secundaria. La accesibilidad a la educación secundaria de los niños y niñas que terminaban la básica primaria en las escuelas presenciales ubicadas en cada una de las veredas, fue un tema de preocupación para los docentes de primaria, padres de familia y líderes de las veredas, debido a la inexistencia de una alternativa educativa para la continuidad del proceso educativo, pero con la propuesta Centros Aprende del Cibercolegio UCN, se pudo superar dicha necesidad. Superado este aspecto de accesibilidad, se ha evidenciado que los estudiantes no están alcanzado las competencias básicas en algunas áreas o asignaturas, específicamente en matemáticas, según lo demuestran las pruebas censales e institucionales que se aplican en los diferentes ciclos del proceso escolar, el desarrollo frecuente de planes de mejoramiento que los docentes deben elaborar e implementar y las investigaciones que se han desarrollado en los Centros

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Aprende, en torno a “la transformación de prácticas pedagógicas y educación articulada a la realidad de los contextos rurales”(Monsalve, Tobón, & Torres, 2014). Sin embargo, mejorar la calidad de la educación en las zonas rurales no es una dificultad únicamente del Cibercolegio UCN, sino también de los entes territoriales y del Ministerio de Educación Nacional, que adelantan programas con el objetivo de visibilizar las características y las necesidades de las poblaciones escolares en el sector rural, para diseñar y ejecutar estrategias que promuevan el desarrollo de competencias en los estudiantes para enfrentar las condiciones diversas de los entornos rurales. Alcanzar la calidad educativa en el sector rural, ha generado el diseño e implementación de programas con los que se pretende cambiar el modelo de enseñanza tradicional educativo rural, a uno que se ajuste y responda a las características físicas, sociales y culturales, además que se articule a proyectos de desarrollo para el mejoramiento de la calidad de vida de la comunidad rural. Programas tales como Todos Aprender, Escuela Nueva, Aceleración del Aprendizaje, Posprimaria, Telesecundaria y Educación Virtual han sido algunas de las alternativas. La propuesta curricular del Cibercolegio UCN, articula el plan de estudios con el contexto y las necesidades a nivel económico, cultural y social que tienen los habitantes del sector rural y urbano, para mejorar su calidad de vida, pero se ha considerado que la educación impartida a través de ambientes virtuales de aprendizaje en el sector rural, no está alcanzando los niveles de competencia deseados que establecen las pruebas censales. Por tal motivo, surge la necesidad de analizar la formación que reciben los estudiantes de los Centros Aprende del Cibercolegio UCN, específicamente en el área de matemáticas, con el propósito de adaptar y fortalecer los procesos de enseñanza y aprendizaje, hacia la adquisición de

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competencias en el área de matemáticas, que permitan alcanzar los niveles de desempeño propuestos por los Estándares Básicos de Competencias. Los aspectos anteriores, invitan a pensar en el diseño de una propuesta de enseñanza de los conceptos matemáticos, que parta de los conocimientos previos, tenga en cuenta el contexto rural y los intereses de los estudiantes, con el fin de desarrollar competencias matemáticas que se reflejen en el desarrollo de sus comunidades y respondan a las pruebas censales. En este sentido, cabe entonces preguntarse, ¿Cómo fortalecer en ambientes virtuales de aprendizaje el proceso de enseñanza del concepto de funciones trigonométricas en los Centros Aprende del Cibercolegio UCN, para el mejoramiento de las competencias matemáticas de los estudiantes del grado décimo? 1.1.2. Justificación Dado que la educación virtual es una nueva alternativa que ofrece a los colombianos la facilidad de elegir ¿cuándo? ¿dónde? y ¿de qué manera? terminar los estudios de la básica secundaria en ambientes virtuales de aprendizaje, se hace necesario investigar las estrategias de enseñanza que se implementan en la modalidad virtual, porque en Colombia son escasos los estudios en este modelo de enseñanza que se muestran a la comunidad académica, es decir, no hay suficientes informes sobre la forma o manera de ¿cómo aprenden los estudiantes?, ¿cómo socializan por medio de la virtualidad?, ¿cómo fortalecen los procesos de enseñanza de la matemática en la educación virtual?. Aunque la educación virtual en la básica y media ya se viene implementando en Colombia, son pocas las investigaciones que muestran resultados sobre aquellas experiencias que favorecen el aprendizaje de los estudiantes en dicha modalidad educativa. En el año 2007 la Sociedad Internacional para la Tecnología en Educación (ISTER) elaboró los Estándares Nacionales de Tecnologías de Información y Comunicación (TIC) para estudiantes;

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en ellos se describen las habilidades que durante los diferentes grados o niveles de educación el estudiante ha de desarrollar para ser competente en TIC, los cuales son: creatividad e innovación, comunicación y colaboración, investigación y manejo de la información, pensamiento crítico, solución de problemas y toma de decisiones, ciudadanía digital, funcionamiento y conceptos de las TIC. Similarmente, los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, evidencian algunas de las competencias en TIC, propuestas por la ISTER. Teniendo en cuenta las competencias digitales, matemáticas, investigativas y ciudadanas, se busca con esta propuesta de intervención, beneficiar a los estudiantes del Cibercolegio UCN del grado décimo, mediante la enseñanza de las funciones trigonométricas en los aspectos que se describen a continuación: a. La creatividad, ya que se pretende que los estudiantes apliquen el conocimiento en el contexto donde residen. b. El del trabajo colaborativo, para que con la ayuda de las diferentes herramientas de la web 2.0 los estudiantes se puedan relacionar, interactuar y comunicar. c. Manejo de la información, es sabido que en el internet se corren riesgos relacionados con información poco fiable, lo cual genera dispersión y pérdida de tiempo. d. Pensamiento crítico, este se fortalece al proponer al estudiante situaciones problemas, que lo inviten a plantear preguntas, diseñar actividades que den solución a un problema de manera creativa. e. Ciudadanía digital, en la medida que el estudiante desarrolle actividades grupales relacionadas con las TIC y las realice con una conducta legal y ética.

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La propuesta no solo favorece el aprendizaje de los estudiantes, también hace aportes al proceso de enseñanza de las matemáticas en la educación virtual, porque puede ser implementada en el estudio de otros conceptos, objetos matemáticos, y en otras áreas del conocimiento. Por otro lado, el tema de las funciones trigonométricas se aborda de distintas maneras en la enseñanza. Es frecuente que algunos profesores definan el concepto e ilustren con ejemplos, y luego propongan a sus estudiantes ejercicios, que a través de la repetición, aprendan la noción, esto es una enseñanza por objetivos, mientras que otros introducen el tema mediante una situación problema, de forma que las funciones trigonométricas surjan naturalmente de la manipulación de triángulos semejantes y como la necesidad de medir ángulos o distancias inaccesibles, pero la intensión de la propuesta es generar roles activos a los estudiantes en la construcción del concepto matemático en el proceso de enseñanza y aprendizaje. En este orden de ideas, la Enseñanza para Comprensión es un modelo pedagógico que se articula y es consecuente a las pretensiones de la propuesta de intervención, el cual cuenta con una serie de características que permite orientar y dilucidar el problema que se ha generado. Además tiene una relación con la estrategia de centros de interés, los cuales generan una dinámica ideal para integrar las matemáticas con las actividades labores, intereses, y motivaciones que se pueden evidenciar en el contexto rural. 1.2. Objetivos 1.2.1. Objetivo general Fortalecer en ambientes virtuales de aprendizaje el proceso de enseñanza del concepto de funciones trigonométricas en los Centros Aprende del Cibercolegio UCN a través de la Enseñanza para la Comprensión, para el mejoramiento de las competencias matemáticas de los estudiantes del grado décimo.

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1.2.2. Objetivos específicos 

Identificar los conocimientos previos sobre las funciones trigonométricas que se articulan y se relacionan a las realidades, actividades laborales, intereses, necesidades y motivaciones de los estudiantes en el contexto rural.



Generar un centro de interés desde el marco de la Enseñanza para la Comprensión para el proceso de enseñanza de las funciones trigonométricas en ambientes virtuales de aprendizaje.



Valorar el impacto que genera el centro de interés en el aprendizaje de los estudiantes del grado 10º de los Centros Aprende del Cibercolegio UCN en el desarrollo de competencias matemáticas en ambientes virtuales de aprendizaje. 1.3. Antecedentes de la propuesta de intervención

Mediante la lectura de diferentes textos que permiten comprender el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas a través de AVA, se han delimitado algunos antecedentes que se describirán a continuación, que posibilitan un acercamiento a la enseñanza de las funciones trigonométricas en el marco de la Enseñanza para la Comprensión, anclada a la educación virtual y en el contexto rural. 1.3.1. Enseñanza de las funciones trigonométricas por medio de ambientes virtuales de aprendizaje La investigación, aplicación de un modelo de clase b-learning , es decir , modalidad de estudio que combina el trabajo presencial y el trabajo en AVA, para el aprendizaje de las matemáticas de Lancheros (2014), tuvo como propósito “determinar un modelo de clase b-learning para incrementar el rendimiento del aprendizaje de matemáticas en estudiantes de ciclo V” de la Institución Educativa Nueva Colombia de la ciudad de Bogotá. Para alcanzar dicho objetivo empleó un diseño metodológico cuasi experimental, estableciendo la relación del rendimiento

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académico de algunos contenidos matemáticos, como el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas, entre dos grupos, uno control y otro experimental, en este último se aplicó el modelo de clase b-learning. El análisis realizado en la investigación mediante la prueba t de Student, ilustró que hay diferencias significativas en el proceso de aprendizaje de las matemáticas entre el grupo control y el grupo experimental, en donde se evidenció un incremento en el aprendizaje de los contenidos propuestos, debido a la implementación del modelo b-learning. En la propuesta de investigación de Valderrama (2013), que se desarrolló en el grado décimo de la Institución Educativa los Alpes, se aborda la construcción de las funciones trigonométricas haciendo un contraste entre la utilización y ausencia de las TIC, en dos grupos de estudiantes; en uno de ellos se aplicó la clase tradicional con las herramientas convencionales como el tablero, la tiza para el docente, y cuaderno y lápiz para el estudiante, sin uso de las TIC. En el otro, se utilizó la herramienta Learning Management System (LMS, sistema de gestión de aprendizaje en línea) por medio de la plataforma Moodle para llevar a cabo el proceso de enseñanza y aprendizaje. El desarrollo de la propuesta se realizó a través de una metodología de corte cualitativo denominada análisis didáctico, que cosiste en “un procedimiento cíclico donde el docente de matemáticas diseña, lleva a la práctica y evalúa las actividades de enseñanza, considerando un nivel local del currículo a partir de cuatro análisis: el contenido, la cognición, la instrucción y la actuación”(Valderrama, 2013, p. 3). El análisis permitió concluir que la combinación de las metodologías implementadas en ambos grupos generó ambientes de aprendizaje más completos donde las plataformas LMS son un componente fundamental para el proceso de enseñanza y aprendizaje de los conocimientos matemáticos.

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También en el año 2012, Urrea en su propuesta diseño de una estrategia didáctica para la enseñanza-aprendizaje de la trigonometría mediada por las nuevas tecnologías en el curso nivelatorio de matemáticas básicas de la Universidad Nacional de Colombia – sede Medellín, implementó una metodología de corte cualitativo que le permitió determinar la dinámica del pensamiento del sujeto relacionando sus experiencias y factores situacionales. Esto le permitió concluir que las TIC como las plataformas LMS son una alternativa complementaria a la enseñanza presencial, de tal manera que se pueda favorecer el aprendizaje significativo y el trabajo autónomo del estudiante. En conclusión, los antecedentes expuestos hasta el momento son propuestas de enseñanza que implementan las plataformas LMS como un recurso que permite generar una mejor dinámica en el proceso de enseñan y aprendizaje de las matemáticas. 1.3.2. Enseñanza de las matemáticas y la educación rural El programa fortalecimiento de la cobertura con calidad para el sector educativo rural del Proyecto de Educación Rural (PER), es una iniciativa del Ministerio de Educación Nacional (MEN) desde el 2006, que ha tenido el propósito de visibilizar las características y las necesidades de las poblaciones escolares en el sector rural, para diseñar estrategias de enseñanza que se adapten y se ajusten los currículos a las necesidades de los contextos educativos de los sectores rurales. En este sentido, algunos entes territoriales, como el caso de Rionegro han desarrollado investigaciones para determinar los aspectos que influyen en la enseñanza y aprendizaje en el área de las matemáticas. Las investigaciones afirman que el proceso de aprendizaje está permeado por muchos factores y elementos que se relacionan; si el docente los conoce, los comprende y actúa en el contexto de acuerdo con sus características, los estudiantes tendrán un acercamiento al

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aprendizaje más significativo y los docentes implementarían metodologías de enseñanza más efectivas (Robinson & Albornoz, 2014). 1.3.3. Enseñanza de las matemáticas mediante centros de interés Bardi (2015), realizó una entrevista al docente de Matemáticas Pablo Ferrari del Colegio María Claudia Falcone de escuelas medias de la Ciudad de Buenos Aires sobre sus prácticas disruptivas. “En sus prácticas aúlicas intervienen la literatura, el cine, los medios de comunicación masiva, los juegos lógico-matemáticos y el pensamiento lateral. Lleva las matemáticas a lo cotidiano, al arte y a diferentes áreas que la actual división segmentada de la enseñanza por disciplinas las considera ajenas”. Ferrari ha considerado que permite ver las matemáticas desde otro ángulo y no como una reina que se impone sin una fundamentación de sus utilidades, sino como una herramienta imprescindible para la vida, y que genera en los estudiantes el deseo de aprender las matemáticas para desarrollar competencias y trabajar en un campo de acción específico. También, ha argumentado que las matemáticas generalmente no se enseñan como herramienta para solucionar situaciones de la vida cotidiana, sino como un lenguaje abstracto que no establece una estrecha relación para interpretar las actividades de la realidad, causando en los estudiantes desmotivación para aprenderlas y utilizarlas. Por lo expuesto anteriormente, Ferrari realizó una propuesta de enseñanza a distintos cursos sobre “un trabajo práctico abierto” donde los estudiantes tenían que definir un tema de interés para establecer la relación con las matemática – “Tema de interés y la matemática, porque no es lo mismo la matemática y el tema de interés”. Esta propuesta permitió que los estudiantes realizaran trabajos espectaculares, donde algunos no tenían idea que las matemáticas podían ser tan prácticas

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para el estudio de su temática de interés, como, marihuana y matemáticas, deporte y matemáticas, música y matemáticas, artes plásticas y matemáticas, literatura y matemáticas, entre otras.

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Capítulo II: Marco referencial 2.1.Marco legal Los documentos legales que soportan la propuesta de intervención incluyen algunas normas, leyes, decretos y lineamientos fundamentales, los cuales se describen a continuación. La Ley General de Educación plantea la formación integral de seres humanos y para ello propone que parte de esta formación se lleve a cabo a través de todo el plan de estudio organizado por proyectos pedagógicos, es decir, mediante un trabajo interdisciplinar de las áreas o asignaturas que propone el currículo de la institución y no por medio de una “asignatura específica” (MEN, 1994). El Decreto 1290 de 2009 exige por parte del docente, retomar nuevas y buenas estrategias para la evaluación y lo invita a romper el paradigma, al salir de la zona de confort, mediante la construcción de actividades que permitan valorar el desempeño de los estudiantes durante todo el proceso, y a la vez el decreto le brinda autonomía a las instituciones educativas para establecer el reglamento de evaluación y promoción.(MEN, 2001) Desde los Lineamientos Curriculares el Ministerio de Educación Nacional establece que “es necesario relacionar los contenidos de aprendizaje con la experiencia cotidiana de los estudiantes, así como presentarlos y enseñarlos en un contexto de situaciones problemáticas y de intercambio de puntos de vista”.(MEN, 1998, p. 18) La propuesta de enseñanza también tiene como soporte, los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 2006), porque permite organizar la planificación atendiendo a los conocimientos matemáticos a desarrollar, mediante el estudio y desarrollo del pensamiento espacial y los sistemas geométricos, además de los procesos generales y las situaciones problemáticas que están relacionadas con el medio rural.

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2.2.Aspectos históricos de la trigonometría La aplicación de la trigonometría en ámbitos de la vida cotidiana y específicamente en el contexto rural donde residen los estudiantes de los Centros Aprende del Cibercolegio UCN, permite que potencialicen su pensamiento lógico matemático y además tiene incidencia en sus estructuras mentales, porque evidencia la utilidad del conocimiento matemático, interactuando en actividades propias de sus vivencias y experiencias cotidianas, esto hace que la compresión del contenido sea más significativo. La contextualización de las funciones trigonométricas manifestadas en la realidad de los estudiantes, revive análogamente el acontecimiento de cómo se originó el conocimiento matemático, y cuáles fueron los beneficios y las necesidades superadas en la época, además de permitir la comprensión de cómo ha sido su incidencia en la actualidad para el desarrollo de las culturas en los diferentes campos de conocimiento. Es evidente que la trigonometría se ha implementado desde sus orígenes para determinar medidas inaccesibles, por ejemplo, el diámetro de la tierra, la distancia de la tierra a la Luna o al Sol, el ancho del río Nilo en un punto específico de su afluente, la altura de las pirámides de Egipto, entre otras medidas, que no se pueden hallar de forma directa. No cabe duda que las estrategias implementadas para calcular esas medidas, actualmente, se siguen implementando como algoritmos o modelación para la construcción de herramientas tecnológicas tales como los radares, el Sistema de Posicionamiento Global (GPS), y otros sistemas que permiten obtener medidas de ángulos y longitudes que son determinantes para la localización de un sitio específico geográfico de la tierra. A continuación se describe una síntesis de los aspectos históricos y epistemológicos de la trigonometría Egipcia, Babilónica, Griega, India, Árabe y Europea, enfocada en las funciones

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trigonométricas desde su naturaleza proporcional y su evolución en la circunferencia. Por último, se aborda los aspectos conceptuales del conocimiento matemático en cuestión. Tabla 1: Aspectos históricos y epistemológicos de la trigonometría

Trigonometría Egipcia y Babilónica Registros y tiempo El papiro de Rhind

Precursores

1650 antes de Cristo (a. C.)

Egipcios

El papiro de Moscú 1890 a. C.

La tablilla Plimpton 1900 a. C.

Aspectos relevantes Cálculo de la razón entre la base horizontal de la pirámide y su altura, llamada seqt. En términos actuales se considera como la cotangente del ángulo de inclinación de las caras de las pirámides. La trigonométrica a través de la razón.

Egipcios

Babilonios

Quince Ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas.

Trigonometría Griega Tiempo

Precursores

624 – 547 a. C.

Tales de Mileto

310 – 230 a. C.

Aristarco de Samos

Aspectos relevantes Obtuvo varios resultados relacionados con los triángulos y sus ángulos, en esta época no se tenían referencia del ángulo como una magnitud. Dedujo que el Sol está entre 18 y 20 veces más lejos de Tierra que de la Luna utilizando propiedades de triángulos que equivalen a estimaciones trigonométricas. Determinó que 𝑠𝑒𝑛 3°(notación moderna) está entre

1 18

y

1

, lo que

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lleva a su estimación para la razón de las distancias a la Luna y al Sol

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276 -194 a. C.

Eratóstenes de Cirene

190 a 120 a. C.

Hiparco de Nicea

185–165 después de Cristo (d. C.)

Ptolomeo de Alejandría

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Calculó la longitud de la circunferencia de la tierra utilizando la trigonometría. Construyó las tablas de cuerdas para la resolución de triángulos, que fueron las antecesoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. Las relaciones entre los polígonos regulares y las cuerdas subtendidas por los ángulos en un círculo.

Trigonometría India Tiempo

Precursores

475- 450 d. C.

Aryabhata

598-660 d. C.

Brahmagupta

Aspectos relevantes Sistema trigonométrico basado en la función seno, entendida en términos modernos como la longitud del lado opuesto a un ángulo del triángulo rectángulo a la hipotenusa dada. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo, que en notación moderna llegó a la siguiente expresión: 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑅 = = = 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶

Trigonometría Árabe

940-998 d. C.

Abul Wefa

Sugirió el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas, desarrollando así la función seno y las demás funciones trigonométricas.

Trigonometría de Europa Occidental “De triagulis omnimodis quinque” en este realizó

libri una

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Johann Müller

1457d. C.

Georg Joachim

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exposición de los métodos de resolución de triángulos lo que enmarca una nueva percepción de ésta, ya que siempre se la estudio con base a arcos de circunferencia. “Opus Palatinum de triangulis” va más allá que su maestro Regiomontano al descartar el tratamiento de las funciones trigonométricas con base a un arco de circunferencia y en lugar de ello lo hace respecto a los lados de un triángulo rectángulo, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de como longitudes de ciertas líneas.

En este orden de ideas, se puede inferir que el desarrollo de la trigonometría, se originó en el estudio de la astronomía, luego pasó a trigonometría esférica o de las cuerdas y finalmente a la trigonometría plana. Este conocimiento que aportaron las diferentes culturas permitió solucionar las necesidades que se manifestaron en la época, y que en la actualidad son implementadas en la construcción de artefactos tecnológicos para facilitar el trabajo en diferentes campos laborales y por ende mejorar la calidad de vida de la humanidad. 2.3.Marco disciplinar 2.3.1. Aspectos conceptuales de la trigonometría La estructura conceptual de la trigonometría se caracteriza a partir de dos aspectos, enfocados a las razones trigonométricas y las funciones trigonométricas, que se presentan en la siguiente tabla.

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Tabla 2: Estructura de las funciones trigonométricas

Estructuras matemáticas Las funciones involucradas trigonométricas Relaciones conceptuales Las razones trigonométricas Ángulos y su clasificación Triángulo y su clasificación Circunferencia unitaria Números reales Identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas

Relaciones representación

Las razones trigonométricas

Razones y proporciones Teorema de Thales Ángulos y su clasificación Triángulo y su clasificación Teorema del seno Teorema del coseno Identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Razones trigonométricas inversas de Verbal: Enunciados que ilustra situaciones de la vida cotidiana. Un árbol tiene una longitud es de 3 m. Si el Sol en el oriente está a 30º arriba de la horizontal, ¿Qué longitud tiene la sobra del árbol? Gráfica: El sistema de representación gráfico cartesiano y el sistema de representación gráfico geométrico.

Figura 1: Relaciones de representación

Simbólica: Se identifica por el uso de símbolos para presentar los elementos y relaciones trigonométricas. 𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝛽 = 𝑏 Numérica: Permite expresar los valores numéricos de los ángulos y las longitudes de los lados en la resolución de triángulos y ecuaciones. 3𝑚 √3 3 𝑚 𝑇𝑎𝑛 30° = ⟹ = 𝑏 3 𝑏

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En la estructura conceptual de las funciones trigonométricas, se implementa la noción de las razones trigonométricas como relación conceptual en la construcción de las funciones trigonométricas desde los números reales, además de otros elementos como la circunferencia unitaria. En cuanto a la estructura conceptual de las razones trigonométricas, la relación conceptual más importante en su construcción es la proporcionalidad, además de otros elementos como ángulos y triángulo rectángulo. Entre ambas estructuras se puede inferir un carácter complementario por medio de sus relaciones conceptuales y de representación. 2.3.2. Representación trigonométrica En la enseñanza de la matemática, es importante tener en cuenta que el signo es la representación de algo. Por tal motivo, la enseñanza debe partir de las concepciones del estudiante, para vincular sus experiencias con el nuevo conocimiento, así el aprendizaje será natural y significativo. Además, el signo no solamente representa un objeto matemático, sino que permite comprender aspectos cognitivos como su significado y su significante, que repercuten en connotaciones sociales como son las actitudes, los valores y las emociones. Por lo tanto, el contexto del estudiante es un aspecto importante en la enseñanza y aprendizaje de la trigonometría y, más porque el desarrollo de la misma se generó a partir del contexto de la época. Por ende, los aspectos conceptuales de la trigonometría, son factores que se deben tener en cuenta para diseñar estrategias de enseñanza y aprendizaje sobre las funciones trigonométricas. 2.3.3. Análisis disciplinar de la estructura conceptual 2.3.3.1.Funciones trigonométricas Antes de abordar la temática de las funciones trigonométricas, conviene recordar el concepto relativo a ángulo.

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Definición de ángulo. Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. La posición inicial de la semirrecta se llama lado inicial del ángulo, la posición final de la semirrecta se llama lado terminal y el punto de rotación es el vértice. Los ángulos se denotan con letras griegas como 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜃… o con tres letras mayúsculas sobre el ángulo ( ∡𝐴𝑂𝐵), como lo ilustran los esquemas de la figura 2.

Figura 2: Representación de ángulo

Para formar el ángulo α se comienza con lado inicial en una posición fija. Después con el lado terminal en la misma posición que el inicial, se rota el terminal en un plano alrededor del vértice (O) hasta encontrar la posición final. Una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo; una rotación en el sentido de las manecillas del reloj, un ángulo negativo (figura 2). En un sistema de coordenadas cartesianas se dice que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen y el lado inicial está en el semieje positivo 𝑥. El ángulo se menciona con frecuencia en términos del cuadrante en el cual está el lado terminal (figura 3).

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Figura 3: Ángulo en posición normal

2.3.3.1.1. Funciones trigonométricas de un ángulo general A continuación se definen las funciones trigonométricas cuyos dominios son medida de ángulos en posición normal. Consideremos la figura 4, donde 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑦 𝑃’(𝑥’, 𝑦’) son dos puntos del lado final de un ángulo 𝜃. Sea 𝑂𝑃 = 𝑟 y 𝑂𝑃’ = 𝑟’. Se puede establecer que los triángulos rectángulos ⊿𝑂𝑃𝑄 y ⊿𝑂𝑃’𝑄’ son semejantes y que las longitudes de sus lados correspondiente son proporcionales, de donde se deduce las siguientes igualdades. 𝑦 𝑦’ 𝑥 𝑥’ = ; = 𝑟 𝑟’ 𝑟 𝑟’ Las razones

𝑦 𝑟

,

𝑥 𝑟

y

𝑦 𝑥

𝑦 𝑦’ = 𝑥 𝑥’

;

son únicas y sólo dependen del valor del 𝜃 y no de la elección o

de la posición de 𝑃. Por tanto, podemos establecer las siguientes correspondencias que resultan ser funciones y se conocen como funciones trigonométricas. 𝜃⟶

𝑦 𝑟

;

𝜃⟶

𝑥 𝑟

;

𝜃⟶

𝑦 𝑥

𝜃⟶

𝑟 𝑦

;

𝜃⟶

𝑟 𝑥

;

𝜃⟶

𝑥 𝑦

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Figura 4: Semejanza de triángulos rectángulos

Definiciones de las funciones trigonométricas. Sea 𝜃 es un ángulo en posición normal y 𝑃(𝑥, 𝑦) es cualquier punto sobre su lado final, diferente de (0,0), y 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , entonces las funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃 se definen de la siguiente manera. Tabla 3: Definición de las funciones trigonométricas

Nombre de la función

Abreviatura

seno del ángulo

𝑠𝑒𝑛 𝜃

coseno del ángulo

𝑐𝑜𝑠 𝜃

tangente del ángulo

𝑡𝑎𝑛 𝜃

cosecante del ángulo

𝑐𝑠𝑐 𝜃

secante del ángulo

sec 𝜃

cotangente del ángulo

𝑐𝑜𝑡 𝜃

Definición 𝑦 𝑟 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑟 𝑦 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑥 𝑟 𝑐𝑠𝑐 𝜃 = 𝑦 𝑟 𝑠𝑒𝑐 𝜃 = 𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝜃 = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

, 𝑥≠0 , 𝑦≠0 , 𝑥≠0 , 𝑦≠0

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Dominio y rango de las funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas serían indefinidas si los denominadores de sus razones valieran cero. Como 𝑃(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) entonces 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 nunca es cero. Por lo tanto, los dominios de las funciones seno y coseno consisten en todos los ángulos 𝜃. Sin embargo, 𝑡𝑎𝑛 𝜃 y 𝑠𝑒𝑐 𝜃 no están definidas si 𝑥 = 0, es decir si el lado terminal de 𝜃 está en el eje 𝑌.Así, los dominios de las funciones tangente y secante consisten en todos los ángulos, excepto los que tienen las medidas 90° + 180° ∙ 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ. Los dominios de las funciones cotangente y cosecante consisten en todos los ángulos, excepto los que tienen 𝑦 = 0, es decir, todos los ángulos excepto los que tienen sus lados terminales en el eje 𝑋. Son los que miden 180° ∙ 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ. Para determinar el rango de las funciones trigonométricas, sabemos que: |𝑦| = √𝑦 2 ≤ √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 y |𝑥| = √𝑥 2 ≤ √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 Dividimos |𝑦| y |𝑥| entre 𝑟 > 0 𝑦

Obtenemos | 𝑟 | ≤ 1 y

𝑥

|𝑟 | ≤ 1, por lo tanto:

|𝑠𝑒𝑛𝜃| ≤ 1; |𝑐𝑜𝑠𝜃| ≤ 1 ; |𝑐𝑠𝑐𝜃| ≥ 1 ; |𝑠𝑒𝑐𝜃| ≥ 1 ; 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑛𝜃: ℝ y 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑐𝑜𝑡𝜃: ℝ Son los rangos de todas las funciones trigonométricas. Un ángulo cuadrantal es ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con algún semieje coordenado (figura 5). Ángulo de referencia. Reducir ángulos al primer cuadrante, consiste en expresar una función trigonométrica de un ángulo 𝜃 mayor que 90°, en términos de una función trigonométrica de un ángulo agudo. Si 𝜃 es un ángulo en posición no cuadrantal, entonces el ángulo de referencia de 𝜃 denotado 𝜃𝑅 , es un ángulo agudo que forma el lado final con el eje 𝑋. La figura 6 muestra el

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ángulo de referencia 𝜃𝑅 , para un ángulo 𝜃 que no es cuadrantal, ubicado en el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrante.

Figura 5: Ángulo cuadrantal

Figura 6: Ángulo de referencia

El signo de las funciones trigonométricas para un ángulo, se determina según el cuadrante en el cual está ubicado el ángulo referencia. Si 𝑃(𝑥, 𝑦) es un punto sobre el lado final del ángulo, la distancia 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 siempre es positiva, por lo cual, los signos de las funciones trigonométricas del ángulo dependen de los signos de 𝑥 y 𝑦. Por ejemplo, para un ángulo en el primer cuadrante todas las funciones trigonométricas son positivas, 𝑥 > 0 y 𝑦 > 0 para cualquier punto (𝑥, 𝑦) ubicado en el cuadrante. En el siguiente cuadro se presenta los signos de las funciones trigonométricas para un ángulo ubicado en cualquier cuadrante.

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Tabla 4: Signo de la función trigonométrica

Función

𝒔𝒆𝒏𝜶

𝒄𝒐𝒔𝜶

𝒕𝒂𝒏𝜶

𝒄𝒔𝒄𝜶

𝒔𝒆𝒄𝜶

𝒄𝒐𝒕𝜶

+ + − −

+ − − +

+ − + −

+ + − −

+ − − +

+ − + −

Cuadrante I II III IV

2.3.3.1.2. Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria Sea 𝜃 un ángulo central en la circunferencia unitaria de figura 7. P(x, y) el punto de intersección del

lado

final

de 𝜃,

con

la

circunferencia.

𝑠𝑒𝑛θ =

Como

𝑂𝑃 = 𝑟 = 1,

entonces;

𝑦 𝑦 = 𝑟 1

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑥 𝑥 = 𝑟 1

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥

Figura 7: Circunferencia unitaria

En adelante, los puntos que pertenecen a la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 se llamarán puntos trigonométricos. Esta correspondencia es una función, ya que a cada ángulo central le corresponde uno y sólo un punto trigonométrico; es decir, 𝑓(𝜃) = 𝑃(𝑥, 𝑦). La función circular 𝑓 asocia 𝜃 con (𝑥, 𝑦)

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2.3.3.1.3. Las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Las razones trigonométricas se definen mediante un triángulo rectángulo, que se caracteriza por tener un ángulo de 90 grados y los otros dos ángulos interiores son agudos, o sea menores de 90 grados, ya que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180 grados.

Figura 8: Triángulo rectángulo

En el triángulo rectángulo de la figura 8, denotando por un ángulo agudo 𝜶 en el vértice A, respecto a este, 𝒂 es el cateto opuesto, 𝒃 es el cateto adyacente y 𝒄 es la hipotenusa. En el triángulo anteriormente descrito, se introducen seis razones fundamentales de la trigonometría, definidas así: 1. El seno del ángulo 𝜶, que se denota por 𝑠𝑒𝑛 𝜶 y se define como la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: 𝒔𝒆𝒏𝜶 =

𝒂 𝒄

2. El coseno del ángulo 𝜶, que se denota por 𝑐𝑜𝑠 𝜶 y se define como la razón entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: 𝒄𝒐𝒔𝜶 =

𝒃 𝒄

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3. La tangente del ángulo 𝜶, que se denota por 𝑡𝑎𝑛 𝜶 y se define como la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente : 𝒂 𝒃

𝒕𝒂𝒏𝜶 =

4. La cosecante del ángulo 𝜶, que se denota por 𝑐𝑠𝑐 𝜶 y se define como la razón entre la longitud de la hipotenusa y longitud del cateto opuesto: 𝒄𝒔𝒄𝜶 =

𝒄 𝒂

Hay que notar que las dos primeras razones cumplen las siguientes desigualdades: 0 < 𝑠𝑒𝑛 𝜶 < 1 y

0 < 𝑐𝑜𝑠 𝜶 < 1

Lo anterior se debe a que en cualquier triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. 5. La secante del ángulo 𝜶, que se denota por 𝑠𝑒𝑐 𝜶 y se define como la razón entre la longitud de la hipotenusa y longitud del cateto adyacente: 𝒔𝒆𝒄𝜶 =

𝒄 𝒃

6. La cotangente del ángulo 𝛂, que se denota por 𝑐𝑜𝑡 𝜶 y se define como la razón entre la longitud del cateto adyacente y la longitud del cateto opuesto: 𝒄𝒐𝒕𝜶 =

𝒃 𝒂

2.4.Marco teórico De acuerdo con la naturaleza de la propuesta de intervención, es necesario hacer una revisión de los aspectos pedagógicos y didácticos que propiciaran al diseño de las actividades de intervención de la propuesta de enseñanza. En el aspecto didáctico, se hará un acercamiento a los centros de

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interés, en el proceso de orientación en enseñanza y aprendizaje en la compresión de las funciones trigonométricas. En el aspecto pedagógico, la Enseñanza para la Comprensión tendrá sentido en la planificación y evaluación del tema de enseñanza, permitiendo evidenciar el desarrollo de competencias focales en el saber hacer del conocimiento matemático. Por último, se establecerá la relación entre estos aspectos teóricos enfatizando en sus semejanzas, diferencias y complementariedad. 2.4.1. Centros de interés Los centros de interés son una estrategia didáctica que proviene del modelo pedagógico Escuela Nueva, que considera el aprendizaje como un proceso activo, participativo y colaborativo entre los actores involucrados en la comprensión del conocimiento. En este modelo se considera al estudiante y su contexto como eje central en la relación del proceso de enseñanza y aprendizaje, porque asume una participación activa, motivada por sus intereses y necesidades que se generan de su propio contexto. En consecuencia, entendemos por centro de interés como “el eje en torno al cual gira toda la actividad de un grupo, construido a partir de las necesidades y motivaciones del mismo (Roás, 2000). Ovidio Decroly (1871-1932) precursor de los centros de interés, destaca unos principios Importantes. Entre los principios básicos del método Decroly sobresalen: los ideales educativos articulados a la realidades, intereses y capacidades del estudiante; la escuela como laboratorio de trabajo para la vida y por la vida, el juego y el taller como estrategias de clase, la observación como base del interés y aprendizaje, un ambiente escolar propicio

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para la curiosidad, una pedagogía de respeto por el niño y su personalidad y el principio de la libertad como un ideal rector (Tamayo, 2014, p. 14). En este sentido, Decroly (1927) en los centros de interés buscan básicamente que los estudiantes realicen las siguientes acciones: Observación, el estudiante establece contacto directo con los objetos y situaciones. Asociación, donde el estudiante relaciona el espacio, el tiempo, sus reacciones, la causa y efecto, entre otras. Expresión, donde el estudiante ejercita la lectoescritura, el razonamiento lógico, el cálculo, la actividad manual y artística, entre otras. En este orden de ideas, en esta propuesta de intervención, se conciben los centros de interés como espacios de trabajo e interacción fundamentados como unidades dinámicas en el hacer, que articulan contextos, aprendizajes, contenidos, áreas o disciplinas de conocimiento, alrededor de una temática estratégica definida por las expectativas, necesidades e intereses manifestados por los estudiantes. 2.4.2. Enseñanza para la comprensión Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, se han considerado la principal carta de navegación en la construcción de los planes de estudios de matemáticas en las instituciones educativas y también para el diseño de las pruebas censales que implementa el Sistema Nacional de Evaluación Estandarizada de la Educación (SNEE), para medir la calidad de la educación a nivel nacional, por entes territoriales, núcleos educativos e instituciones educativas. De los propósitos que establecen las instituciones de educación básica y media al terminar el calendario escolar, respecto a sus planes de trabajo, son lograr que los estudiantes comprendan los ejes temáticos seleccionados por los docentes, que permitan alcanzar las competencias básicas.

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Pero, más que la selección de los contenidos es pensar cómo estos se presentan a los estudiantes, es decir, es reflexionar el tema de enseñanza y aprendizaje de los conocimientos. Generalmente en algunos programas curriculares prima más la trasmisión del conocimiento que la compresión del conocimiento, como estrategia de enseñanza para desarrollo de los contenidos temáticos propuestos en los planes de trabajo, ignorando el aspecto más importante que es la adquisición de competencias básicas en los estudiantes, además de factores como el contexto, intereses y expectativas que tienen los estudiantes, que son considerados elementos primordiales en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Las consideraciones anteriores, que giran en torno a la enseñanza, miembros de la Escuela de Educación de Postgrado de Harvard durante el transcurso de seis años consolidaron un marco que identifica los aspectos centrales de la planeación y la Enseñanza para la Comprensión. La naturaleza del “marco conceptual de la Enseñanza para la Comprensión está fundado en la definición de la comprensión como desempeño creativo” (Stone, 1999, p. 123). En este sentido, para que la comprensión de un conocimiento pueda ser percibida por otros, debe trascender las fronteras del saber y establecerse en contextos dinámicos que exijan la aplicación y la integración de esos conocimientos, para afrontar desafíos que se presentan en la cotidianidad. Stone (1999) afirma que las personas reconocen la comprensión por medio del desempeño flexible: La comprensión se presenta cuando la gente puede pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que sabe. Por contraste, cuando el estudiante no puede ir más allá de la memorización y el pensamiento y acción rutinaria, esto indica falta de comprensión (p. 105). De acuerdo con lo anterior, Stone (1999) describe una característica de desempeño para compresión en el sentido que, los “estudiantes no alcanzan conocimientos sino que piensan a partir de ello y los articulan con otros contextos”. Por esto puede decirse que, para apreciar la

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comprensión en los estudiantes, es necesario que utilicen lo que saben cuando actúan en actividades de la cotidianidad, creando, innovando, o resolviendo situaciones problemas que se les proponen. En relación con lo anterior, la Enseñanza para la Comprensión es un modelo pedagógico educativo que utiliza las siguientes cuatro preguntas para guiar el proceso de enseñanza: 1. ¿Qué tópicos valen la pena comprenderse? 2. ¿Qué de estos tópicos es importante comprender? 3. ¿Cómo podemos promover la comprensión? 4. ¿Cómo podemos saber qué han comprendido los estudiantes? Para responder estos interrogantes, en el marco de la Enseñanza para la Compresión se constituyeron los siguientes elementos: tópicos generativos, metas de comprensión, desempeños de comprensión y evaluación diagnóstica continua. Estos establecen una relación biunívoca con las preguntas que guían el proceso de enseñanza formuladas anteriormente, y que se describirán a continuación. 2.4.2.1.Tópicos generativos Son ejes temáticos generadores de aprendizaje que se caracterizan por su “centralidad para el dominio o la disciplina, es accesible e interesante para los estudiantes , excita las pasiones intelectuales del docente y se conecta fácilmente con otros tópicos tanto dentro como fuera del dominio o disciplina particular”(Stone, 1999, p. 95). 2.4.2.2.Metas de comprensión Para Stone (1999), las metas de comprensión “afirman explícitamente lo que se espera que los estudiantes lleguen a comprender. Mientras que los tópicos generativos delimitan los planes de

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áreas, las metas definen de manera más específica las ideas, procesos, relaciones o preguntas que los estudiantes comprenderán” (p. 102). En consecuencia, para guiar el proceso de enseñanza, “las metas de comprensión son más útiles cuando están definidas de manera explícita y se exhiben públicamente, cuando están dispuestas en una estructura compleja que incluye submetas las cuales llevan a metas amplias, y están centradas en conceptos claves”(Stone, 1999, p. 105). 2.4.2.3.Desempeños de comprensión En el marco de la Enseñanza para Comprensión, es el elemento más determinante en el proceso de enseñanza, debido que, “centra la atención en lo que hacen los estudiantes que en lo que hacen los docentes”. Además el desempeño de comprensión se entiende como “la capacidad e inclinación a usar lo que uno sabe cuando actúa en el mundo”(Stone, 1999, p. 109). Estos desempeños según (Stone, 1999, p. 112) se establecen por un progreso de comprensión que se caracteriza por tres etapas: Etapa explorativa: Son las actividades que ayudan que los estudiantes vean conexiones entre los tópicos generativos y experiencias previas. Además proporciona al doncente información acerca de los estudiante sobre qué están interesados en aprender. Investigación guiada: Involucra a los estudiantes en la utilización de ideas o modalidades de investigación que el docente considera centrales para la comprensión de metas identificadas. Proyecto Final de Síntesis Los proyectos finales de sintesis: Son proyectos y exposiciones que muchos docentes asignan como tareas finales para completar una unidad curricular.

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2.4.2.4.Evaluación diagnóstica continua Las evaluaciones continuas se basan en criterios públicos vinculados con metas de comprensión, que son hechas por los estudiantes y los docentes por igual y configuran la planificación y a la vez estiman el progreso de los estudiantes (Stone, 1999, p. 115). Por lo tanto, los aportes de la enseñanza para la Comprensión, como aspecto pedagógico en la enseñanza de las funciones trigonomentricas, pemite diseñar o planificar , ejecutar y evaluar la estrategia de enseñanza de la propuesta de intervensión. 2.4.2.5.Dimensiones y niveles de comprensión Las dimensiones de la comprensión son cualidades que permiten el análisis del desempeño de comprensión. El marco de la Enseñanza para la Comprensión define cuatro dimensiones: contenido, métodos, propósitos y formas de comunicación. Cada una considera unos rasgos que describe sus componentes. Y en cada dimensión destacan cuatro niveles de comprensión: ingenua, novato o principiante, aprendiz y maestría. En la siguiente tabla se describe el marco para examinar o analizar la comprensión.

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Tabla 5: Dimensiones y niveles de comprensión

Métodos Evalúa la capacidad de los estudiantes en la diferenciación de lo que conocen o lo que se les enuncia, así como la utilización de métodos seguros que les permitan construir y validar afirmaciones (Boix y Gardner, 1999, p .232). Ingenuo Novato Describen la construcción del Describen la naturaleza y los conocimiento como un proceso no objetivos de la construcción del problemático que consiste en conocimiento, así como sus captar información que está formas de expresión y directamente disponible en el comunicación como mundo, donde el conocimiento se procedimientos mecánicos, Contenido Formas de comunicación Evalúa el nivel hasta el cual los fundamenta desde la intuición o estableciendo simples conexiones Evalúa en los estudiantes el uso estudiantes han trascendido las sentido común (Boix y Gardner, entre algunos conceptos (Boix y efectivo de los sistemas perspectivas intuitivas o 1999, p .239). Gardner, 1999, p .240). simbólicos visuales, verbales, conocimientos basados en el matemáticos y cenestésicos Niveles sentido común, vinculado a lo corporales para expresar lo que Maestría Aprendiz práctico y la experiencia, es decir, Los estudiantes tienen la habilidad Demuestran un uso flexible de saben dentro de géneros o tipos de como las comprensiones de moverse con flexibilidad entre conceptos o ideas de la disciplina, desempeños establecidos (Boix y interactúan flexiblemente entre dimensiones, vinculando los Así, la construcción del Gardner, 1999, p .237). ejemplos y generalizaciones (Boix criterios por los cuales se conocimiento se ve como una y Gardner, 1999, p .230). construye y se convalida el tarea compleja que sigue conocimiento en una disciplina con procedimientos usado por la naturaleza de su objeto de expertos y que son modos de estudio. Aquí los desempeños son pensar disciplinarios. Aquí se predominantemente integradores, establece la relación entre el creativos y críticos (Boix y conocimiento disciplinario y la Gardner, 1999, p .241). vida cotidiana (Boix y Gardner, 1999, p .240). Propósitos Enfatiza que el conocimiento es una herramienta para explicar, reinterpretar y operar en el mundo. Por lo tanto, evalúa la capacidad de los estudiantes para reconocer los propósitos e interés que orienta la construcción del conocimiento en diversas situaciones autónomamente (Boix y Gardner, 1999, p .235).

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De acuerdo con lo anterior conviene destacar que “el marco de dimensiones y niveles de la comprensión no es una representación rígida de comprensión disciplinaria. Sino que constituye una herramienta para examinar la comprensión de los estudiantes y orientar su trabajo futuro” (Boix y Gardner, 1999, p .242).

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Tabla 6: Relación de los aspectos teóricos

Relación de los aspectos teóricos

Centros de Interés

Enseñanza Para la Comprensión

Semejanzas

Diferencias

El estudiante y su contexto como eje La estrategia de centros central del proceso de enseñanza y interés se enfoca aprendizaje. competencias para que estudiante aprenda desde El estudiante relaciona el espacio, el hacer. tiempo, sus reacciones, la causa y efecto, entre otras.(Acción de Asociación) La comprensión de un conocimiento para que pueda ser percibida, debe establecerse en contextos que exijan la aplicación de los conocimientos, para afrontar desafíos que se presentan en la cotidianidad. En este sentido centra la atención en lo que hacen los estudiantes que en lo que hacen los docentes.

Complementariedad de El principio de la libertad en como un ideal rector el el

Respecto a la Enseñanza para Comprensión que dinamiza su enseñanza desde el hacer, incluye otro tipo de competencias que los centros de interes no considrean en su evaluación, como la comunicación y el dominio conceptual de los tópicos La capacidad e inclinación a usar lo que generativos. uno sabe cuándo actúa en el mundo. Tiene en cuenta los conocimiento previos

Las evaluaciones continuas se basan en criterios públicos vinculados con metas de comprensión, y son hechas por los estudiantes y docentes por igual, para configurar la planificación y estimar el progreso de los estudiantes.

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Capítulo III: Diseño metodológico de la propuesta de intervención 3.1.Marco metodológico Este apartado describe la ruta práctica que orienta la estrategia para alcanzar los objetivos en la propuesta de enseñanza de las funciones trigonométricas a través de los centros de interés, en ambientes virtuales de aprendizaje. Por lo tanto, no cabe duda, que la propuesta busca fortalecer las prácticas de enseñanza de las matemáticas en ambientes virtuales de aprendizaje en el contexto rural en el marco de la Enseñanza para la Comprensión. Para llevar a cabo este propósito, este capítulo es el espacio adecuado para relacionar todos los elementos que se han considerado, y que son fundamentales para dar respuesta al problema específico planteado. Es por ello, que se ha considerado una metodología cualitativa con un paradigma sociocrítico, y tipo de estudio en investigación acción, los cuales contribuyen al fortalecimiento de la de enseñanza de las funciones trigonométricas en la educación virtual en el contexto rural. En correspondencia a la metodología se han seleccionado técnicas e instrumentos de recolección y análisis de la información que se definen en los apartados siguientes. 3.1.1. Paradigma de investigación sociocrítico Este paradigma busca respuesta a un problema específico, relacionado con la enseñanza de las funciones trigonométricas, que se presenta en los Centro Aprende del Cibercolegio UCN, teniendo en cuenta la participación del docente investigador y de los estudiantes del grado décimo de la institución educativa. Dado que el centro de interés con el que se busca intervenir la práctica de enseñanza tiene en cuenta los intereses, motivaciones o necesidades de los estudiantes, se seleccionó el paradigma sociocrítico, ya que éste se fundamenta en la Crítica Social, que considera, que “el conocimiento se construye siempre por intereses que parten de las necesidades de los grupos; pretende la autonomía racional y liberadora del ser humano; y se consigue mediante la

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capacitación de los sujetos para la participación y transformación social”. Además indica que algunos principios del paradigma sociocrítico son: (a) Conocer y comprender la realidad como praxis; (b) unir teoría y práctica, integrando conocimiento, acción y valores; (c) orientar el conocimiento hacia la emancipación y liberación del ser humano; y (d) proponer la integración de todos los participantes, incluyendo al investigador, en procesos de autorreflexión y de toma de decisiones consensuadas, las cuales se asumen de manera corresponsable. Alvarado y García (2008, p. 190) 3.1.2. Tipo de estudio investigación acción El paradigma investigativo que permite abordar la propuesta de enseñanza de las funciones trigonométricas es de carácter cualitativo, el cual permite un mayor acercamiento a las personas para identificar y comprender sus saberes desde su contexto natural, para intentar encontrar sentido a sus subjetividades y objetividades en función de los significados que las personas les otorgan. Por tal motivo, el corte metodológico de la propuesta de intervención es la investigación acción, que contribuye al fortalecimiento de las prácticas de enseñanza del docente a partir de la planificación, acción, investigación y reflexión, para encontrar justificaciones racionales de la labor educativa. Así, la investigación acción desde un enfoque sociocrítico supone entender las prácticas de enseñanza como un proceso investigativo y el rol del docente, “integrando la reflexión y el trabajo intelectual en el análisis de las experiencias que se realizan, como un elemento esencial de lo que constituye la propia actividad educativa” (Bausela, 2002, p. 1). En la investigación acción, Lewin (1946, como se citó en Jaramillo, 2010, p. 4) contempla la necesidad de la investigación, de la acción y de la formación como tres elementos esenciales para el

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desarrollo profesional. Los tres vértices del triángulo deben permanecer unidos en beneficio de sus tres componentes, es decir, la investigación acción tiene un doble propósito, de acción para cambiar una organización o institución, y de investigación para generar conocimiento y comprensión. Por lo tanto, la investigación acción no es ni investigación ni acción, ni la intersección de las dos, sino el bucle recursivo y retroactivo de investigación y acción.

Figura 9: Investigación Acción

De acuerdo con lo anterior, la investigación acción hace referencia a una variedad de características, y propósitos para mejorar el sistema educativo y social. Además de diversas definiciones de investigación acción que se describirán a continuación a través de la siguiente tabla.

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Tabla 7: Investigación Acción

Investigación Acción

Autor

Elliott

Kemmis

Lomax

Lewin

Definición Estudio de una situación social con el fin de mejorar la calidad de la acción dentro de la misma. Forma de indagación auto reflexiva realizado por los docentes, estudiantes o directivos en las situaciones sociales o educativas para mejorar las prácticas de enseñanza Proceso reflexivo que vincula dinámicamente la investigación, la acción y la formación, realizada por profesionales de las ciencias sociales, acerca de su propia práctica. Proceso cíclico de exploración, actuación y valoración de resultados.

Características

Propósitos

Demanda la participación de los Mejorar y/o transformar sujetos en la mejora de sus la práctica social y/o propias prácticas. educativa, a la vez que procurar una mejor Exige una actuación grupal para comprensión de dicha que los sujetos implicados práctica. colaboran coordinadamente en todas las fases del proceso de Articular de manera investigación. permanente la investigación, la acción Implica la realización de y la formación. análisis crítico de las situaciones y se configura como Proceso reflexivo que una espiral de ciclos de vincula dinámicamente planificación, acción, la investigación, la observación y reflexión. acción y la formación. Implica registrar, recopilar, Acercarse a la realidad: analizar nuestros propios vinculando el cambio y juicios, reacciones e el conocimiento. impresiones en torno a lo que ocurre; exige llevar un diario personal en el que se registran nuestras reflexiones. Es un proceso político porque implica cambios que afectan a las personas. No se puede reducir al aula, porque la práctica docente tampoco está limitada ni reducida a ella. Permite al docente reconstruir su conocimiento profesional como parte del proceso de constitución de discursos públicos unidos a la práctica, y sus problemas y necesidades.

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3.1.3. Instrumento de recolección y análisis de la información En la matriz es evidente que las acciones determinan los instrumentos y técnicas para recoger y analizar la información, por lo tanto cabe destacar los siguientes instrumentos que se relacionan con los objetivos de la propuesta de enseñanza: 3.1.3.1.Entrevista semiestructurada La entrevista semiestructurada se caracteriza por ser flexible y abierta, en la propuesta de intervención se implementa, con preguntas abiertas, que permitan el reconocimiento de las realidades del contexto rural e identificar las incidencias que tiene en el entorno escolar de los Centros Aprende, específicamente en el área de matemáticas. Por lo tanto, se realizó un diagnóstico participativo con tres personas (Egresada, líder de la comunidad y acudiente) de cada una de las veredas. Para obtener la información se diseñó una entrevista teniendo en cuenta las siguientes variables: Actividad laboral, artística y recreo deportivo, y medios de trasporte (Anexo 1). El análisis de las entrevista se hizo mediante la identificación de patrones de respuesta comunes para determinar los valores asociados a cada una de las variables, teniendo en cuenta que una respuesta puede expresarse con diferentes palabras (Anexo 2). La información que se obtuvo de esta técnica, contribuyó a la determinación del centro de interés. 3.1.3.2.Encuesta Esta técnica permite identificar, las necesidades, las motivaciones o intereses de los estudiantes con respecto a las actividades que realizan dentro o fuera del Cibercolegio UCN. Esta se aplicó a los estudiantes de los Centros Aprende de la institución y se diseñó a partir de los resultados que arrojó la entrevista semiestructurada que se relacionan con los conocimientos previos a las funciones trigonométricas (Anexo 3). El análisis de la encuesta se realiza mediante la contabilización de frecuencias absolutas, con el fin de determinar y crear el centro de interés.

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3.1.3.3.Cuestionarios Los cuestionarios son una técnica que consiste en un conjunto de preguntas respecto a una o más variables, por lo tanto, permitirá la creación de preguntas abiertas, cerradas o mixtas, en torno al conocimiento específico. Para esta propuesta de intervención se formularon varios cuestionarios, que conformaron las actividades de la guía didáctica del centro de interés. (Anexos 4 y 5) 3.1.3.4.Análisis documental Según Sandoval (1996, p. 65),”los documentos son una fuente bastante fidedigna y práctica para revelar los intereses y las perspectivas de comprensión de la realidad, que caracterizan a los que lo han escrito”. En la propuesta se ha implementado esta técnica para revisar el plan educativo institucional, el plan de estudio de matemáticas, los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas y los Lineamientos Curriculares, para la descripción del planteamiento del problema y antecedentes de la propuesta de intervención. El consolidado de este análisis también posibilitó la estructuración de la guía de aprendizaje y el centro de interés 3.1.3.5. Matriz de valoración Es un instrumento que facilita la valoración del desempeño de comprensión de los estudiantes, basándose en una escala de niveles y un listado de aspectos que dilucidaron el progreso de comprensión de las funciones trigonométricas en los estudiantes a través del centro de interés. En este sentido el marco de la Enseñanza para Comprensión, permitió hacer el análisis orientado por las categorías progresivas, integrado por las fases: etapa de exploración, investigación guiada y proyecto final de síntesis. En cada una de ella el progreso de comprensión de las temáticas fue valorado mediante las dimensiones y niveles de comprensión bajo los siguientes criterios de desempeños establecidos.

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Tabla 8: Criterios de desempeños generales

Nivel Ingenuo

Novato

Aprendiz

Maestría

Los estudiantes vinculan sus desempeños desde conocimientos intuitivos ajenos a las matemáticas.

Los estudiantes fundamentan sus desempeños en función de conocimientos intuitivos y fragmentos de las matemáticas, pero sigue prevaleciendo las creencias intuitivas. Los estudiantes construyen el conocimiento matemático a través de procedimientos mecánicos paso a paso. Los estudiantes aplican el conocimiento matemático solamente para la realización de tareas escolares.

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas.

Los desempeños de los estudiantes se fundamentan de teorías o conceptos matemáticos, demostrando dominio de la disciplina.

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Los estudiantes utilizan una variedad de procedimientos eficientemente en la construcción de los conocimientos matemáticos. (Métodos de demostración)

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los conocimientos matemáticos.

Los estudiantes espontáneamente utilizan el conocimiento matemático como una herramienta para modelar, predecir y controlar fenómenos naturales y sociales.

Dimensiones

Contenido

Método

Los estudiantes construyen el conocimiento matemático a través del sentido común o no trasciende del ensayo y el error.

Propósitos

Los estudiantes establecen poca o ninguna relación entre los conocimientos matemáticos aprendidos y la vida cotidiana.

Los estudiantes no Comunicación comunican coherentemente los conocimientos matemáticos a través de las diferentes formas de representación.

Los estudiantes tienen poca familiaridad con los símbolos matemáticos, utilizándolos para expresar conexiones simples.

Los estudiantes a menudo van más allá de demostrar comprensión disciplinaria, es decir, el conocimiento es comunicado de forma creativa.

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3.1.4. Contexto y participantes Los Centros Aprende, hacen parte del programa que se adecúa al modelo educativo del Cibercolegio UCN bajo la figura de cobertura educativa de la Secretaría de Educación de Medellín que subsidia a 68 estudiantes, distribuidos así: 37 de ellos asisten al Centro Aprende La Suiza, 21 al Centro Aprende el Salado y 7 al Centro Aprende Astillero. La propuesta de intervención se desarrolló con una muestra poblacional de 18 estudiantes para la realización de la encuesta, distribuidos en los Centros Aprende de la siguiente manera: nueve estudiantes de La Suiza, seis de El Salado y tres de Astillero. Los criterios para la selección fueron: estar cursando, noveno, décimo o undécimo, mayor antigüedad en el Centro Aprende y estar residiendo en las veredas desde hace cinco años. Para el caso de aplicación de la guía didáctica se hizo con todos los estudiantes del grado 10º perteneciente a los Centros Aprende, pero el análisis y valoración mediantes el marco de Enseñanza para la Comprensión se realizó con tres estudiantes que se caracterizan por tener buenas habilidades comunicativas, responsabilidad y puntualidad con sus compromisos académicos, además sus padres autorizaron la participación en la propuesta de intervención. 3.1.5. Método y etapas del proceso investigativo Como la propuesta de intervención se fundamenta en un paradigma cualitativo con enfoque sociocrítico, de corte investigación acción, que propicia que el docente debe hacer una constante reflexión de sus prácticas educativas y plantear nuevas alternativas de enseñanza, que permitan la adquisición de competencias en los estudiantes y que estas permitan solucionar las necesidades que se presentan en el entorno donde residen, implicó la generación de una estrategia metodológica integrada por tres fases: diagnóstica, diseño e implementación y evaluación, las cuales tienen una relación biunívoca con los objetivos específicos de la propuesta, la unidad didáctica en el marco Enseñanza para la Comprensión, las acciones y los

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alcances. La tabla 10 complementa lo expuesto anteriormente e ilustra mediante una síntesis la planificación y el desarrollo de ejecución de la propuesta de intervención. 3.1.6. Unidad didáctica en el marco Enseñanza para la Comprensión La unidad didáctica desde la estrategia de un centro de interés y fundamentada en el marco conceptual de la Enseñanza para la Comprensión destaca los siguientes elementos: Tópico generativo La unidad didáctica permite que los estudiantes de los Centros Aprende del Cibercolegio UCN comprendan el concepto de las funciones trigonométricas, a través del desarrollo de actividades articuladas al contexto rural, por lo tanto, el siguiente tópico generativo transversaliza el proceso de desarrollo con los estudiantes del grado décimo: Las funciones trigonométricas en artes y oficios en el contexto rural Metas de Comprensión Las metas de comprensión a corto y mediano plazo, que se espera que los estudiantes alcancen durante las sesiones del proceso del desarrollo de la unidad didáctica, son las siguientes: 

Cómo se definen las funciones trigonométricas de un ángulo general y cómo determinar su valor.



Cómo varían las funciones trigonométricas mediante la circunferencia unitaria.



Cómo se definen las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y cómo determinar su valor.

Actividades y desarrollo de los desempeños de comprensión En la siguiente tabla se describe el desarrollo de la unidad didáctica de la propuesta de intervención.

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Tabla 9: Desarrollo de la unidad didáctica

Centro de interés La trigonometría en el contexto rural Tópico generativo

Las funciones trigonométricas en artes y oficios en el contexto rural

Desarrollo de la unidad didáctica Temática Ángulos, operaciones con fracciones y teorema de Pitágoras En esta sesión se determinó el progreso de comprensión de los Sesión 0 conocimientos previos de los estudiantes que permiten el aprendizaje de las funciones trigonométrica. La sesión estuvo compuesta de dos encuentros sincrónicos y dos asincrónicos con una intensidad horaria de una hora cada uno. Categorías progresivas Etapa Explorativa Investigación Guiada Proyecto final de síntesis En esta fase, se En esta fase, el profesor realizó En esta fase, los estudiantes determinó qué una explicación de los temas solucionaron y socializaron conocimientos iniciales propuestos con el propósito que situaciones propuestas y tienen los estudiantes los estudiantes se familiarizan con para determinar los acerca de los ángulos, las ellos, y orientar a los estudiantes desempeños alcanzados fracciones y el teorema en la solución de nuevas sobre los temas en de Pitágoras. situaciones propuestas. cuestión. Temática Funciones trigonométricas en el ángulo general Estas sesiones tuvieron el propósito de la construcción disciplinar de las Sesión 1 y 2 funciones trigonométricas en el ángulo general mediante proyecciones del ángulo en posición normal a través de contextualización de situaciones en el medio rural. El desarrollo de las sesiones estuvo compuesto por dos encuentros sincrónicos, dos asincrónicas y dos presenciales con intensidad horaria de una hora cada uno. Cómo se definen las funciones trigonométricas de un ángulo general y Meta de comprensión cómo determinar su valor. Categorías progresivas Etapa Explorativa Investigación Guiada Proyecto final de síntesis Mediante la definición de Los estudiantes contaron con la En esta fase los estudiantes ángulo en posición mediación del docente en la hicieron una descripción normal y situaciones en orientación del tema de del signo las funciones contexto del medio rural, proyecciones, para que definieran trigonométricas y los estudiantes las funciones trigonométricas en determinaron la construyeron el ángulo y las situaciones propuestas. dependencia del valor de aplicaron el teorema de mismas. Pitágoras. Temática Las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria Esta sesión tuvo el propósito de establecer la variación de las funciones Sesión 3 trigonométricas en el círculo unitario. El desarrollo de la sesión se llevó a cabo por dos encuentros sincrónicos, uno asincrónico y uno presencial con intensidad horaria de una hora cada uno.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Cómo varían las funciones trigonométricas Meta de comprensión unitaria. Categorías progresivas Etapa Explorativa Investigación Guiada Los estudiantes en esta En un trabajo colaborativo con el fase definieron las docente y estrategias funciones mediacioanales de las TIC, trigonométricas en la establecieron la variación de las circunferencia unitaria. funciones del seno y coseno.

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mediante la circunferencia

Proyecto final de síntesis Los estudiantes aplicaron las definiciones de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria en una situación del contexto rural. Temática Las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Sesión 4 y 5 Estas sesiones se llevaron a cabo con propósito de definir las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y relacionar el conocimiento con situaciones del contexto rural. Las sesiones se desarrollaron en dos encuentros sincrónicos, dos asincrónicas y dos presenciales con intensidad horaria de una hora cada uno. Cómo se definen las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y Meta de comprensión cómo determinar su valor. Categorías progresivas Etapa Explorativa Investigación Guiada Proyecto final de síntesis En esta fase se propuso a En fase de definieron y se Los estudiantes calcularon los estudiantes identificar aplicaron las razones el valor de las razones las características del trigonométricas en el triángulo trigonométricas de los triángulo rectángulo rectángulo, su desarrollo se hizo ángulos notables. teniendo en cuenta la en trabajo cooperativo con el medida de sus lados y la docente y además se emplearon medida de sus ángulos. algunas estrategias mediacioanales de las TIC.

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Tabla 10: Diseño de la propuesta de enseñanza de las funciones trigonométricas

Objetivo General

Fortalecer en ambientes virtuales de aprendizaje el proceso de enseñanza del concepto de funciones trigonométricas en los Centros Aprende del Cibercolegio UCN a través de la Enseñanza para la Comprensión, para el mejoramiento de las competencias matemáticas de los estudiantes del grado décimo.

Fases del diseño de la propuesta Objetivos específicos

Identificar los conocimientos previos sobre las funciones trigonométricas que se articulan y se relacionan a las realidades, actividades laborales, intereses, necesidades y motivaciones de los estudiantes en el contexto rural. Fase diagnóstica

Generar un centro de interés desde el marco de la Enseñanza para la Comprensión para el proceso de enseñanza de las funciones trigonométricas en

Unidad didáctica en el marco Enseñanza para la Comprensión

Acciones

Alcances

Realización de un Identificación del diagnóstico a través de centro de interés Actividad: fracciones, ángulos y el teorema encuesta y entrevista de Pitágoras semiestructurada. El diseño, desarrollo y valoración de esta Determinación del actividad permite establecer el progreso de Revisión de los referentes progreso de compresión de los estudiantes sobre las teóricos: Lineamientos comprensión de los fracciones, ángulos y el teorema de Curriculares de conocimientos previos Pitágoras, orientado por las categorías Matemáticas, Estándares de las funciones progresivas: etapa de exploración, Básicos de Competencia trigonométricas. investigación guiada y proyecto final de y Plan de Estudio de síntesis. En cada una de ellas el progreso de Matemáticas. comprensión de las temáticas se analiza o valora mediante las dimensiones y niveles de Diseño, desarrollo y comprensión bajo los criterios de valoración de la actividad desempeños establecidos (Tabla 8). de conocimientos previos. Transversalización de los Conformación del Centro de interés Actividad: Funciones trigonométricas de un aspectos teóricos que centro de interés ángulo general. posibiliten el diseño y Actividad: Funciones trigonométrica en la estructuración del centro Determinación del circunferencia unitaria. progreso de Conocimientos previos

Enseñanza de las funciones trigonométricas ambientes aprendizaje.

virtuales

de Actividad: Las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Mediante la estrategia didáctica del centro de interés se desarrolla las actividades anteriormente mencionadas a través de una serie de sesiones sincrónicas, asincrónicas y presenciales con los estudiantes del grado décimo de los Centros Aprende. La dinámica Fase diseño e está orientada por las fases de las categorías implementación progresivas del marco EpC, integrado por: la etapa de exploración, investigación guiada y proyecto final de síntesis. En cada una de ellas el progreso de comprensión de las temáticas se analiza o valora mediante las dimensiones y niveles de comprensión bajo los criterios de desempeños establecidos (Tabla 8). Valorar el impacto que genera Resultados del desarrollo de la estrategia el centro de interés en el didáctica de los centros de interés mediante aprendizaje de los estudiantes el marco de la EpC. del grado 10º de los Centros Fase de valoración Aprende del Cibercolegio UCN en el desarrollo de competencias matemáticas en ambientes virtuales de aprendizaje.

de interés en ambientes comprensión de virtuales de aprendizaje. funciones trigonométricas.

55 las

Diseño, desarrollo de las actividades mediante el marco EpC en la estrategia didáctica del centro de interés.

Análisis y resultados de Determinación de los los desempeños de desempeños comprensión. académicos adquiridos a través de los Centros de Interés. Resultados conclusiones propuesta intervención.

de

y la de

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Capítulo IV: Valoración de la propuesta de intervención 4.1.Resultados y análisis de la propuesta En este capítulo se describen las fases del diseño metodológico de la propuesta de intervención, es decir, los alcances obtenidos de las acciones planteadas. 4.1.1. Fase diagnóstica En esta fase se realizó un diagnóstico a través de una entrevista semiestructurada y una encuesta para determinar el centro de interés. Respecto a lo disciplinar, se desarrolló un cuestionario que permitió la identificación de los conocimientos previos sobre las fracciones, ángulos y el teorema de Pitágoras orientado por las categorías progresivas del marco de Enseñanza para la Comprensión, integrado por sus fases: exploratoria, investigación guiada y proyecto final de síntesis. Centro de interés En la acción de identificar las realidades del contexto rural y las incidencias que tienen en el entorno escolar de los Centros Aprende, la entrevista aplicada a los egresados, acudientes y líderes de las veredas, permitió la recolección de información (Anexo 1) que se analizó mediante la identificación de patrones de respuesta comunes asociados a las variables: actividades laborales, artísticas y recreo deportivas, y medios de transporte. En la siguiente tabla se presentan las variables y los valores de las variables identificadas en el análisis de las respuestas que contribuyeron a la determinación del centro de interés.

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Tabla 11: Variables y valores asociados

Resultado de la entrevista semiestructurada Variables Valores de respuesta Construcciones civiles(albañilería) Actividades laborales Agricultura Turismo Ganadería Porcicultura Tala árboles Piscicultura Microfútbol Artísticas y recreo deportivas Baloncesto Voleibol Globos Cometas Artística (dibujo, pintura, artesanías, origami, fotografía) Vehículo Público (chiverito, mototaxi, colectivo) Medios de transporte Vehículo particular(moto, carro) Caballo Bicicleta

Respecto al resultado del análisis de respuesta, cabe resaltar que los valores asociados a las variables que establecen una relación con las funciones trigonométricas, debido al desarrollo histórico, epistemológico y didáctico de estas en la enseñanza, se consideran para la variable de actividades laborales: la agricultura, la tala de árboles, construcciones civiles y piscicultura. Para las variables artísticas y recreo deportivas: construcción de globos y cometas, las prácticas deportivas de microfútbol, voleibol y baloncesto. Y medios de transporte: moto, carro y bicicleta. En consecuencia a lo anterior, permitió el diseño de una encuesta (Anexo 3) que identificó las necesidades, motivaciones e intereses de 18 estudiantes de los Centros Aprende. El análisis de este instrumento de recolección de la información se realizó mediante la contabilización de frecuencias absolutas, con el fin de determinar y crear el centro de interés. A continuación se

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resumen en las siguientes gráficas, el análisis de valores asociados a cada una de las variables propuestas.

Figura 10: Diagramas circulares de los intereses de 18 estudiantes de los Centros Aprende.

Es importante resaltar la tendencia de intereses y motivaciones que se relacionan con la naturaleza de la propuesta de intervención. En la variable de actividades laborales, la agricultura ha tenido un vínculo fuerte con la trigonometría, debido que comparte la medición como elemento común desde el origen del desarrollo de este conocimiento matemático. En este sentido las prácticas artísticas, medios de transporte y deportivas, se pueden considerar respectivamente, la construcción de cometas, la caminata y el microfútbol, elementos asociados con el cálculo de medidas que se puede obtener implementado las funciones trigonométricas, como lo ha demostrado su historia y la epistemología del desarrollo de la trigonometría.

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En este orden de ideas, cabe destacar que el centro de interés estará definido con los valores de las variables que tienen una estrecha relación con las funciones trigonométricas y su afinidad con los intereses y motivaciones que manifestaron los estudiantes de los Centros Aprende, además sin que sea menos importante la incidencia que tienen con la realidad del contexto rural. Comprensión de los conocimientos previos Desde el marco de la EpC, en la propuesta de intervención, se elaboró una matriz de valoración con criterios de desempeños generales (Tabla 8) que relacionan las dimensiones: contenido, método, propósito y formas de comunicación, con cada uno de los niveles: ingenuo, novato, aprendiz y maestría respecto al marco disciplinar de la propuesta de enseñanza de las funciones trigonométricas. Estos criterios, permitieron el análisis y la valoración del progreso de comprensión de las tres estudiantes en las categorías progresivas: etapa exploratoria, investigación guiada y proyecto final de síntesis implementadas en la primera del desarrollo de la propuesta en la unidad didáctica. A continuación se describe el análisis del proceso de comprensión de la fase diagnóstica respecto a los conocimientos previos de los estudiantes participantes que se denominaron con los seudónimos La Suiza, El Salado y Astilleros para reservar sus identidades.

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Tabla 12: Comprensión de los conocimientos previos estudiante La Suiza

Estudiante La Suiza

Dimensiones: Nivel

Contenido: Novato

Etapa Explorativa

Método: Novato

Propósitos: Novato

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los estudiantes fundamentan sus desempeños en función de conocimientos intuitivos y fragmentos de las matemáticas, pero sigue prevaleciendo las creencias intuitivas.

La estudiante respecto a la clasificación de los ángulos utiliza expresiones como más cerrada y más abierta a una esquina, haciendo referencia al ángulo recto sin hacer alusión a la definición del concepto de ángulos y sus medidas. En la situación planteada sobre operaciones con fracciones la unidad la asocia con capacidad de almacenamiento de un disco duro (100GB), donde también confunde la sustracción de fracciones con la división de fracciones. En cuanto al teorema de Pitágoras nombra los elementos, pero carece de su interpretación. La estudiante realiza un procedimiento de forma descriptiva para identificar los ángulos y luego clasificar los ángulos, “…es agudo, porque está más cerrado”. En la situación que hace alusión al disco duro, implementa expresiones fraccionarias, pero no hace conjetura de acuerdo a la información dada, sino que hace todo el proceso de forma aislada. En cuanto al teorema de Pitágoras lo identifica como expresión para calcular la distancia entre la posición inicial y final del perro, pero realiza las operaciones de manera errónea. En el desarrollo de las situaciones propuestas se evidencia dificultades para relacionar lo que aprende en la escuela y las experiencias de vida cotidiana.

Los estudiantes construyen el conocimiento matemático a través de procedimientos mecánicos paso a paso.

Los estudiantes aplican el conocimiento matemático solamente para la realización de tareas escolares

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Los estudiantes tienen poca con los símbolos Comunicación: familiaridad matemáticos, utilizándolos para Novato expresar conexiones simples.

Contenido: Aprendiz

Método: Aprendiz

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas.

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Investigación Guiada

Propósitos: Aprendiz

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento.

Los estudiantes tienen poca con los símbolos Comunicación: familiaridad matemáticos, utilizándolos para Novato expresar conexiones simples.

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La estudiante asocia los ángulos con abertura, pero no propone un símbolo específico. En operaciones con fracciones, representa la fracción de forma aislada y su resultado lo expresa en decimales. Respecto al teorema de Pitágoras, hace una adecuada representación del mismo de manera específica. La estudiante clasifica los ángulos propuestos en la actividad aplicando el concepto de ángulo, este le permitió identificarlos por medio de su abertura. Respecto a operaciones con fracciones, identifica las operaciones de acuerdo a la situación planteada. Además hace una clara interpretación analítica de la expresión del teorema de Pitágoras. La estudiante observó los ángulos y los clasificó comparándolos respecto al ángulo recto, siendo correspondiente a la definición de la clasificación de ángulos.” Es agudo porque su abertura es menos que ángulo recto”. En lo que concierne a las operaciones con fracciones, utiliza los procedimientos adecuados diferenciando la división y la sustracción. Respecto al teorema de Pitágoras, lo ilustra mediante un esquema para identificar los elementos que lo componen. La estudiante asocia la rotación y el sentido de los ángulos, respecto al funcionamiento de un reloj analógico. En las operaciones con fracciones, la unidad la representa como un todo. Y los lados del triángulo rectángulo que forma el ángulo recto, lo asocia con una esquina. La notación de la clasificación de los ángulos es coherente con la descripción que expresa verbalmente. “El ángulo agudo es menor que 90º y mayor que 0º” 0° < ∢ < 90°

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Contenido: Aprendiz

Método: Aprendiz Proyecto final de síntesis

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes tienen poca con los símbolos Comunicación: familiaridad matemáticos, utilizándolos para Novato expresar conexiones simples. Propósitos: Aprendiz

62

Utiliza los símbolos matemáticos para las fracciones. Para el teorema de Pitágoras, hace uso de un esquema de acuerdo a la información proporcionada para identificar los datos y aplicar el teorema. En la socialización de los puntos propuestos los ángulos, operaciones con fracciones y teorema de Pitágoras, la estudiante hacía uso adecuado de los conocimientos disciplinarios, aunque esporádicamente manifestaba conceptos ajenos a la matemática. La estudiante siempre utiliza la modelación matemáticas para platear sus expresiones matemáticas y dar solución a lo se le pide en cada una de las situaciones planteadas. Evidencia la misma manifestación que en la fase de investigación guiada, reiterando que algunas situaciones de la vida cotidiana son un apoyo para comprender los conocimientos matemáticos. Respecto a la investigación guiada, se evidencia un avance significativo, porque usa adecuadamente algunos símbolos para representar las expresiones matemáticas.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

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Tabla 13: Comprensión de los conocimientos previos estudiante El Salado

Estudiante El Salado

Etapa Explorativa

Dimensiones: Nivel

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los estudiantes vinculan sus La estudiante manifestó no acordarse sobre el tema de desempeños desde conocimientos ángulos. En las operaciones con fracciones lo asocia con Contenido: intuitivos ajenos a las matemáticas. su equivalente a porcentajes. Y respecto al teorema de Ingenuo Pitágoras hace alusión a la hipotenusa como único elemento de la expresión algebraica. Los estudiantes construyen el La estudiante hizo una clasificación errónea de los conocimiento matemático a través del ángulos utilizando el sentido de la adivinanza. Para las sentido común o no trasciende del operaciones con fracciones, utiliza la estrategia de Método: ensayo y el error. porcentajes para dar cuenta de la situación propuesta. Ingenuo Respecto al teorema de Pitágoras no vincula la información proporcionada en el problema y la expresión algebraica. Los estudiantes establecen poca o Los temas ángulos y teorema de Pitágoras no los ninguna relación entre los familiariza con ninguna experiencia de la vida Propósitos: conocimientos matemáticos cotidiana, en cambio las fracciones hace alusión a partes Ingenuo aprendidos y la vida cotidiana. de algo, como el 50% es la mitad de la memoria del disco. Los estudiantes no comunican Aquí la estudiante tiene dificultades para expresar de Comunicación: coherentemente los conocimientos manera coherente los temas propuestos. matemáticos a través de las diferentes Ingenuo formas de representación. Los desempeños de los estudiantes se La estudiante clasifica los ángulos propuestos en la relacionan a través de teorías o actividad aplicando el concepto de ángulo, este le Contenido: conceptos matemáticos, pero permitió identificarlos por medio de su abertura. Aprendiz esporádicamente aparecen creencias Respecto a operaciones con fracciones, identifica las intuitivas. operaciones de acuerdo a la situación planteada.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Método: Aprendiz

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Investigación Guiada

Propósitos: Aprendiz

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento.

Los estudiantes tienen poca familiaridad con los símbolos utilizándolos para Comunicación: matemáticos, expresar conexiones simples. Novato

Método: Aprendiz

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Propósitos: Aprendiz

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana,

Contenido: Aprendiz

Proyecto final de síntesis

64

Además hace una clara interpretación analítica de la expresión del teorema de Pitágoras. La estudiante observó los ángulos y los clasificó comparándolos respecto al ángulo recto, siendo correspondiente a la definición de la clasificación de ángulos. En las operaciones con fracciones, utiliza procedimientos adecuados. Respecto al teorema de Pitágoras, ilustra mediante un esquema para identificar los elementos que lo componen. La estudiante asocia la rotación y el sentido de los ángulos, respecto al funcionamiento de un reloj analógico. Las operaciones con fracciones, la unidad la representa como un todo. Los catetos de los lados del triángulo rectángulo, el ángulo que forma lo asocian con una esquina. La estudiante presenta formas de representación de la clasificación de los ángulos. Utiliza los símbolos matemáticos para las fracciones y expresiones con fracciones. Para el teorema de Pitágoras, hace uso de un esquema de acuerdo a la información proporcionada para identificar los datos y aplicar el teorema. En la socialización de los puntos propuestos respecto a ángulos, operaciones con fracciones y teorema de Pitágoras, las estudiantes hizo uso adecuado de los conocimientos disciplinarios, aunque esporádicamente manifestaba conceptos ajenos a la matemática. La estudiante siempre utiliza la modelación matemáticas para platear sus expresiones matemáticas y dar solución a lo se le pide en cada una de las situaciones planteadas. Evidencia la misma manifestación que en la fase de investigación guiada, reiterando que algunas

Enseñanza de las funciones trigonométricas

examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes tienen poca con los símbolos Comunicación: familiaridad matemáticos, utilizándolos para Novato expresar conexiones simples.

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situaciones de la vida cotidiana son un apoyo para comprender los conocimientos matemáticos. Respecto a la investigación guiada, se evidencia un avance significativo, porque usa adecuadamente algunos símbolos para representar las expresiones matemáticas.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

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Tabla 14: Comprensión de los conocimientos previos estudiante Astilleros

Estudiante Astilleros

Etapa Explorativa

Dimensiones: Nivel

Criterios de desempeños

Los estudiantes vinculan sus desempeños desde conocimientos Contenido: intuitivos ajenos a las matemáticas. Ingenuo Los estudiantes construyen el conocimiento matemático a través del Método: sentido común o no trasciende del Ingenuo ensayo y el error. Los estudiantes establecen poca o ninguna relación entre los Propósitos: conocimientos matemáticos Ingenuo aprendidos y la vida cotidiana. Los estudiantes no comunican Comunicación: coherentemente los conocimientos matemáticos a través de las diferentes Ingenuo formas de representación. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias Contenido: intuitivas. Aprendiz

Método: Aprendiz

Análisis de desempeño de comprensión La estudiante los temas de ángulos, operaciones con fracciones y teorema de Pitágoras manifestó no acordarse nada. La estudiante no propone ninguna estrategia de solución para situaciones planteadas, sólo la clasificación de los ángulos la realizó de manera arbitraria. La estudiante no vincula las temáticas con actividades de la vida real.

La estudiante no reconoce símbolos de representación de las temáticas propuestas.

La estudiante clasifica los ángulos propuestos en la actividad aplicando el concepto de ángulo, este le permitió identificarlos por medio de su abertura. Respecto a operaciones con fracciones las identifica de acuerdo a la situación planteada. Además hace una clara interpretación analítica de la expresión del teorema de Pitágoras. Los estudiantes utilizan el mismo La estudiante observó los ángulos y los clasificó procedimiento en la construcción de los comparándolos respecto al ángulo recto, siendo conocimientos matemáticos. correspondiente a la definición de la clasificación de ángulos. En lo que concierne a las operaciones con

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigación Guiada

Propósitos: Aprendiz

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento.

Los estudiantes tienen poca con los símbolos Comunicación: familiaridad matemáticos, utilizándolos para Novato expresar conexiones simples.

Proyecto final de síntesis

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero Contenido: esporádicamente aparecen creencias Aprendiz intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los Método: conocimientos matemáticos. Aprendiz Con apoyo, los desempeños establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes tienen poca con los símbolos Comunicación: familiaridad matemáticos, utilizándolos para Novato expresar conexiones simples.

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fracciones, utiliza los procedimientos adecuados. Respecto al teorema de Pitágoras, lo ilustra mediante un esquema para identificar los elementos que lo componen. La estudiante asocia la rotación y el sentido de los ángulos respecto al funcionamiento de un reloj analógico. Las operaciones con fracciones, la unidad la representa como un todo. Los catetos del triángulo rectángulo que forman el ángulo recto lo asocian con una esquina. La estudiante presenta formas de representación de la clasificación de los ángulos. Utiliza los símbolos matemáticos para las fracciones y expresiones con fracciones. Y para el teorema de Pitágoras, hace uso de un esquema de acuerdo a la información proporcionada para identificar los datos y aplicar el teorema. En la socialización de los puntos propuestos respecto a ángulos, operaciones con fracciones y teorema de Pitágoras, la estudiante hacía uso adecuado de los conocimientos disciplinarios, aunque esporádicamente manifestaba conceptos ajenos a la matemática. La estudiante siempre utiliza la modelación matemáticas para platear sus expresiones algebraicas y dar solución a las situaciones planteadas. Evidencia la misma manifestación que en la fase de investigación guiada, reiterando que algunas situaciones de la vida cotidiana son un apoyo para comprender los conocimientos matemáticos. Respecto a la investigación guiada, se evidencia un avance significativo, porque usa adecuadamente algunos símbolos para representar las expresiones matemáticas.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

68

4.1.2. Fase de diseño e implementación De acuerdo con los resultados de la fase diagnóstica se determinó el centro de interés denominado la trigonometría en el contexto rural y se diseñaron las tres actividades que integraron la unidad didáctica con la actividad de conocimientos previos (Anexo 5). Estas actividades se elaboraron desde el marco de Enseñanza para Comprensión teniendo en cuenta las necesidades, motivaciones e intereses de los estudiantes de los Centros Aprende. 4.2.3. Fase de valoración y análisis El análisis se llevó a cabo de forma análoga a la valoración de los conocimientos previos según las metas de comprensión de cada actividad. A continuación se describen los análisis de las actividades del progreso de comprensión de los temas: funciones trigonométricas en el triángulo general, las funciones trigonométricas en el triángulo unitario y las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

69

Comprensión de las funciones trigonométricas en el triángulo general Tabla 15: Comprensión de las funciones trigonométricas en el triángulo general La Suiza

Estudiante La Suiza

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Método: Aprendiz

Etapa Explorativa

Propósitos: Aprendiz

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas

La estudiante implementa adecuadamente el concepto de ángulo en posición normal, proporción y la expresión algebraica de la distancia, sin ser consciente de su aplicación, esto se evidencia en la utilización de la herramienta Geogebra para calcular las longitudes, pero algebraicamente aplica el teorema de Pitágoras. La estudiante utiliza el teorema de Pitágoras el segmento orientado y este lo convalida utilizando un método gráfico mediante la aplicación de la herramienta Geogebra. Análogamente la descripción geométrica del ángulo de posición normal es validada por la herramienta en mención. La estudiante hace una adecuada interpretación de la situación problema y propone la proporción como solución algebraica para calcular la altura que alcanza el auto en el punto B. Para calcular las distancias entre la sede administrativa y los lugares de desarrollo del programa Centros Aprende, aplica el teorema de Pitágoras. La estudiante utiliza adecuadamente los procedimientos matemáticos para modelar las situaciones problemas, pero su simbolización en ocasiones no es consecuente con la información proporcionada. La estudiante no hace una clara interpretación de las definiciones seno, coseno y tangente y sus respetivas recíprocas, en el desarrollo de la actividad, sus valores

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento.

Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los estudiantes fundamentan sus desempeños en función de Contenido: conocimientos intuitivos y fragmentos Novato

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Método: Aprendiz

Investigación Guiada

Proyecto final de síntesis

Propósitos: Aprendiz

de las matemáticas, pero sigue prevaleciendo las creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos. Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento.

Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los estudiantes fundamentan sus desempeños en función de Contenido: conocimientos intuitivos y fragmentos Novato de las matemáticas, pero sigue prevaleciendo las creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos. Método: Novato Los estudiantes aplican el conocimiento matemático solamente para la realización de tareas escolares. Propósitos: Novato Los estudiantes tienen poca con los símbolos Comunicación: familiaridad matemáticos, utilizándolos para Novato expresar conexiones simples.

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son iguales, es decir el valor de la función seno es igual al valor de la función cosecante. La estudiante utiliza el mismo proceso para calcular el valor de las funciones trigonométricas, es decir hace uso de la racionalización. La estudiante hace una clara interpretación de las situaciones planteadas y emplea procesos matemáticos necesarios para dar respuesta a lo que le plantea, es decir, establece una relación entre las situación contextualizada y los conceptos disciplinares de la matemática, como son el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. La notación que utiliza la estudiante en ocasiones no es consecuente con la información planteada, pero los procesos son los adecuados para dar respuesta a los cuestionamientos. La solución propuesta sobre el signo de las funciones trigonométricas en ocasiones se contradice con los argumentos descriptivos que justifica de cada una de las funciones. El proceso que imprenta para determinar el signo de las funciones trigonométricas, no le permite hacer una clara diferenciación entre cada una de las funciones. En ocasiones utiliza argumentos disciplinares para determinar el signo de las funciones trigonométricas, pero sólo en términos de las orientaciones que se han realizado en los encuentros sincrónicos. La estudiante para determinar el signo de las funciones trigonométricas implementa descripciones donde se evidencia poca notación o simbología matemática.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

71

Tabla 16: Comprensión de las funciones trigonométricas en el triángulo general El Salado

Estudiante El Salado

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Método: Aprendiz Etapa Explorativa

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas.

La descripción gráfica que realiza sobre ángulo en posición normal, evidencia comprensión de la definición. Respecto al concepto de distancia entre dos puntos, lo interpreta en función del teorema de Pitágoras. Además evidencia claridad en el concepto de proporción. La estudiante hace uso del plano cartesiano para calcular la distancia entre dos punto, utilizando las proyecciones del segmento orientado, y así utilizar el teorema de Pitágoras. La estudiante establece una relación entre las coordenadas del punto y los puntos cardinales, para trazar las proyecciones y calcular las distancias de los lugares donde se desarrolla el programa educativo de los Centros Aprende mediante el teorema de Pitágoras. La estudiante utiliza adecuadamente los procedimientos matemáticos para modelar las situaciones problemas, pero su simbolización en ocasiones no es consecuente con la información proporcionada. La estudiante demuestra comprensión en las definiciones de las funciones trigonométricas, pero no establece la relación recíproca entre el seno y la cosecante, coseno y secante, y tangente y cotangente.

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Propósitos: Aprendiz

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigación Guiada

Proyecto final de síntesis

72

Los estudiantes utilizan el mismo La estudiante hace uso frecuente de las definiciones de procedimiento en la construcción de los funciones trigonométricas, mediante la estrategia de las conocimientos matemáticos. proyecciones del segmento orientado, para encontrar el Método: valor de cada una de ellas, sin establecer la relación de Aprendiz las coordenadas del punto y las proyecciones del segmento. Con apoyo, los estudiantes establecen La estudiante emplea los puntos cardinales relación entre el conocimiento identificando las proyecciones del segmento orientado, matemático y la vida cotidiana, para calcular mediante el teorema de Pitágoras su Propósitos: examinando las consecuencias de usar longitud y el valor de las funciones trigonométricas. Aprendiz ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una La notación que emplea no es consecuente con la Comunicación: expresión y comunicación flexible que información de algunas situaciones propuestas, como da cuenta del dominio de los por ejemplo, el cálculo de la distancia de un segmento Aprendiz conocimientos matemáticos. orientado que representa con “x”, donde también hace referencia a la abscisa del punto sobre el segmento. Los desempeños de los estudiantes se En la socialización la estudiante demuestra dominio de relacionan a través de teorías o las definiciones de las funciones trigonométricas, pero Contenido: conceptos matemáticos, pero esporádicamente tergiversa la relación recíproca entre Aprendiz esporádicamente aparecen creencias algunas funciones. intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo La estudiante expresó los valores de las funciones procedimiento en la construcción de los trigonométricas de los ángulos en posición normal 𝜃 y 𝛽 conocimientos matemáticos. Método: en decimales, para establecer la igualdad entre estas y Aprendiz concluir que los ángulos son iguales, pero manifestaba escepticismo en sus respuestas porque algunos decimales se aproximaron. Con apoyo, los estudiantes establecen La estudiante utilizó la frase “Todos sentimos tantas relación entre el conocimiento cosas” para establecer el signo de las funciones matemático y la vida cotidiana, trigonométricas, pero no evidencia una estrategia Propósitos: examinando las consecuencias de usar disciplinar que justifique la estrategia. Aprendiz ese conocimiento.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

73

Los estudiantes demuestran una En ocasiones la estudiante confunde la notación de la Comunicación: expresión y comunicación flexible que función trigonométrica secante del ángulo (𝑠𝑒𝑐𝜃) con la da cuenta del dominio de los cosecante del ángulo (𝑐𝑠𝑐𝜃). Aprendiz conocimientos matemáticos.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

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Tabla 17: Comprensión de las funciones trigonométricas en el triángulo general Astilleros

Estudiante Astillero

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Método: Aprendiz Etapa Explorativa

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas.

La descripción gráfica que propone la estudiante evidencia comprensión sobre el concepto de ángulo en posición normal. Respecto al concepto de distancia entre dos puntos, lo interpreta en función del teorema de Pitágoras. Además evidencia claridad en el concepto de proporción. Los estudiantes utilizan el mismo Para calcular la distancia de un segmento orientado, la procedimiento en la construcción de los estudiante utiliza sus proyecciones para formar un conocimientos matemáticos. triángulo rectángulo y emplear el teorema de Pitágoras. Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento.

La estudiante ubica los puntos en el plano cartesiano mediante la orientación de los puntos cardinales. “El centro aprende Astilleros está ubicado del edificio Coltejer 7 km al Occidente y luego 8 km al Sur” 𝐴(−7, −8):Centro Aprende Astilleros Los estudiantes demuestran una Los procesos que plantea responde a la situaciones Comunicación: expresión y comunicación flexible que problemas, pero su notación no es consecuente con la da cuenta del dominio de los información proporcionada. Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se Los valores de las funciones trigonométricas de las relacionan a través de teorías o situaciones propuestas, dan cuenta de la clara Contenido: conceptos matemáticos, pero interpretación de las definiciones de las funciones Aprendiz esporádicamente aparecen creencias trigonométricas, pero en ocasiones sus valores nos son intuitivas. racionalizados o simplificados. Propósitos: Aprendiz

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigación Guiada

Proyecto final de síntesis

75

Los estudiantes utilizan el mismo Utilizó frecuentemente la estrategia de las proyecciones procedimiento en la construcción de los del segmento orientado, para encontrar el valor de las conocimientos matemáticos. funciones trigonométricas, sin establecer la relación Método: entre la abscisa y la proyección horizontal, y la Aprendiz ordenada y la proyección vertical. Con apoyo, los estudiantes establecen La estudiante emplea los puntos cardinales relación entre el conocimiento identificando las proyecciones del segmento orientado, matemático y la vida cotidiana, para calcular mediante el teorema de Pitágoras su Propósitos: examinando las consecuencias de usar longitud y el valor de las funciones trigonométricas. Aprendiz ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una La notación que emplea es consecuente con la Comunicación: expresión y comunicación flexible que información de algunas situaciones propuestas, pero el da cuenta del dominio de los cálculo de los segmentos orientados por medio de la Aprendiz conocimientos matemáticos. expresión algebraica del teorema de Pitágoras, hace referencia a la ecuación de la distancia entre dos puntos. Los desempeños de los estudiantes se En la socialización la estudiante demuestra dominio de relacionan a través de teorías o las definiciones de las funciones trigonométricas, pero Contenido: conceptos matemáticos, pero en ocasiones no racionaliza las razones de las mismas. Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo La estudiante manifestaba escepticismo en sus procedimiento en la construcción de los respuestas porque expresó los valores de las funciones conocimientos matemáticos. Método: trigonométricas de los ángulos en posición normal 𝜃 y 𝛽 Aprendiz en decimales, para establecer la igualdad entre estas y concluir que los ángulos son iguales. Con apoyo, los desempeños establecen La estudiante utilizó una tabla donde resumen el signo relación entre el conocimiento de las funciones trigonométricas. matemático y la vida cotidiana, Propósitos: examinando las consecuencias de usar Aprendiz ese conocimiento. Los desempeños demuestran una La estudiante confunde la notación de la función Comunicación: expresión y comunicación flexible que trigonométrica secante del ángulo (𝑠𝑒𝑐𝜃) con la Aprendiz cotangente del ángulo (𝑐𝑜𝑡𝜃).

Enseñanza de las funciones trigonométricas

da cuenta del dominio conocimientos matemáticos.

de

los

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Enseñanza de las funciones trigonométricas

77

La Comprensión de las funciones trigonométricas en el triángulo unitario Tabla 18: Comprensión de las funciones trigonométricas en la circunferencia La Suiza

Estudiante La Suiza

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Etapa Explorativa

Método: Aprendiz

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

La descripción gráfica que propone la estudiante evidencia una correspondencia con la definición de la circunferencia unitaria, demostrando un dominio flexible del conocimiento en cuestión.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los Método: conocimientos matemáticos. Aprendiz

La estudiante identifica en la definición de la circunferencia unitaria los elementos mediacioanales de las TIC le permitieron realizar la descripción gráfica del conocimiento en cuestión. La estudiante utiliza las herramiestas de las TIC en la contrucción del conocimiento, en este caso utilizó el programa Geogebra, para la descrición gráfica de la circunferencia unitaria. La estudiante realiza una aproximación flexible en la interpretación de la definición de la circunferencia unitaria representándola mediante una gráfica. La estudiante determina las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria, pero sin hacer precisiones en la restricción de la existencia de algunas funciones.

Determinó las funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria mediante la estrategia de

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigación Guiada

Proyecto final de síntesis

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los Método: conocimientos matemáticos. Aprendiz Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Propósitos: Aprendiz

78

proyección del segmento orientado, sin establecer la relación recíproca entre ellas. La estudiante valida el método de las proyecciones del segmento orientado utilizado para definir las funciones trigonométricas generales para determinar las de la circunferencia unitaria. La estudiante realiza una aproximación flexible en la interpretación de la definición de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria representándola mediante una gráfica. La estudiante utiliza la definición de las funciones trigonométricas, para determinar los valores en la circunferencia unitaria.

La estudiante asocia las coordenadas del punto trigonométrico, con los elementos de las funciones trigonométricas para determinarlas. La estudiante utiliza el Geogebra, para determinar el valor de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

Utiliza coherentemente la notación de las funciones trigonométricas, y establece las restricciones cuando no están definidas. “La división por cero no está definida”

Enseñanza de las funciones trigonométricas

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Tabla 19: Comprensión de las funciones trigonométricas en la circunferencia El Salado

Estudiante El Salado

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Etapa Explorativa

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

La estudiante demuestra un dominio flexible del conocimiento, porque propone una descripción gráfica que evidencia una correspondencia con la definición de la circunferencia unitaria.

La estudiante identifica en la definición de la circunferencia unitaria los elementos a través de las TIC para realizar la descripción gráfica del conocimiento en cuestión. Con apoyo, los estudiantes establecen La estudiante utiliza el Geogebra en la contrucción del relación entre el conocimiento conocimiento, para la descrición gráfica de la Propósitos: matemático y la vida cotidiana, circunferencia unitaria. Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una La estudiante demuestra un dominio flexible en la Comunicación: expresión y comunicación flexible que interpretación de la definición de la circunferencia da cuenta del dominio de los unitaria representada mediante una gráfica. Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se La estudiante determina las funciones trigonométricas relacionan a través de teorías o en la circunferencia unitaria, pero no realiza una Contenido: conceptos matemáticos, pero restricción en la función tangente y secante. Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo Sin hacer uso de la relación recíproca, determinó las procedimiento en la construcción de los funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria Método: conocimientos matemáticos. Aprendiz Método: Aprendiz

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigación Guiada

Proyecto final de síntesis

Con apoyo, los desempeños establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los desempeños demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los Método: conocimientos matemáticos. Aprendiz Con apoyo, los desempeños establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los desempeños demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Propósitos: Aprendiz

80

mediante la estrategia de proyección del segmento orientado. La estudiante valida el método de las proyecciones del segmento orientado utilizado para definir las funciones trigonométricas generales para determinar las de la circunferencia unitaria. La estudiante realiza una aproximación flexible en la interpretación de la definición de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria representándola mediante una gráfica. La estudiante asocia el valor de la función seno con la ordenada y el valor de la función coseno con abscisa del punto trigonométrico.

La estudiante demuestra dominio de las funciones trigonométricas, porque emplea herramientas mediacioanales, para determinar los valores de seno y coseno. La estudiante empleó la herramienta Geogebra, para determinar el valor de las funciones trigonométrica para los ángulos 0°,30°, 45°, 60° y 90° del seno y del coseno y concluyo, que el valores del seno aumenta y del coseno disminuye. La estudiante demuestra un dominio flexible para determinar la variación de los valores de las funciones seno y coseno.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

81

Tabla 20: Comprensión de las funciones trigonométricas en la circunferencia Astilleros

Estudiante Astilleros

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Etapa Explorativa

Método: Aprendiz

Propósitos: Aprendiz

Comunicación: Aprendiz

Contenido: Aprendiz

Método: Aprendiz

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

La estudiante demuestra dominio flexible en la definición de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

La estudiante utilizó el Geogebra con herramienta mediacional para asociar la abscisa como valor de la función coseno y la ordenada como el valor de la función seno.

La estudiante utilizó el Geogebra para identificar los elementos de la circunferencia y relacionarlos con las funciones seno y coseno.

La estudiante realiza una aproximación flexible en la interpretación de la definición de la circunferencia unitaria representándola mediante una gráfica. La estudiante determina las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria, pero sin hacer restricción en alguna de ellas.

Determinó las funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria mediante la estrategia de

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigació n Guiada Propósitos: Aprendiz

Comunicación: Aprendiz

Contenido: Aprendiz

Proyecto final de síntesis

Método: Aprendiz

Propósitos: Aprendiz

Comunicación: Aprendiz

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos. Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los conocimientos matemáticos.

82

proyección del segmento orientado, sin establecer la relación recíproca entre ellas. La estudiante valida la asociación que estableció entre las funciones seno y coseno y el punto trigonométrico de la circunferencia unitaria como valores de las mismas. La estudiante realiza una aproximación flexible en la interpretación de la definición de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria representándola mediante una gráfica. La estudiante demuestra dominio flexible en la aplicación de las funciones trigonométricas para calcular los valores de las funciones seno y coseno en la circunferencia unitaria. La estudiante emplea el Geogebra para determinar el valor de las funciones trigonométricas de seno y coseno.

La estudiante empleó la herramienta Geogebra, para determinar el valor de las funciones trigonométrica para los ángulos 0°,30°, 45°, 60° y 90° del seno y del coseno y concluyo, que el valores del seno aumenta y del coseno disminuye. La estudiante emplea un lenguaje coherente para dar cuenta de las situaciones propuestas.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

83

Comprensión de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Tabla 21: Comprensión de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo La Suiza

Estudiante Suiza

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Etapa Explorativa Método: Aprendiz

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas.

La estudiante tiene un dominio flexible para determinar los valores de las razones trigonométricas. La caracterización de los triángulos rectángulos, demuestra comprensión de los elementos fundamentales y establece relaciones como ángulos iguales se oponen lados iguales. Determina el valor las funciones trigonométricas empleado método de las proyecciones del segmento orientado. En la caracterización de los triángulos rectángulos según la medida de los ángulos emplea la descripción para determinar la medida de un ángulo agudo. “tiene un ángulo agudo 30º, por tanto el otro mide 60”. La estudiante valida lo que ha aprendido utilizando la estrategía de identificar los catetos respecto a los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz Propósitos: Aprendiz

Las relaciones que establece en los triángulo rectángulo las expresa descriptivamente, presentando ausencia de planteamientos algebraicos. La estudiante define las razones trigonométricas demostrando dominio conceptual cuando identifica los elementos del triángulo rectángulo.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Método: Aprendiz Investigación Guiada

Proyecto final de síntesis

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esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo Para definir las razones trigonométricas, identificó los procedimiento en la construcción de los catetos respecto a uno de los ángulos agudos del conocimientos matemáticos. triángulo rectángulo.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los Método: conocimientos matemáticos. Aprendiz

En la definición de las razones trigonométricas, hace uso de las proyecciones del segmento orientado identificando los lados del triángulo respecto al ángulo agudo.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos.

La estudiante valida lo que ha aprendido utilizando la misma estrategia.

Propósitos: Aprendiz

La notación que empleó para definir las razones trigonométricas contiene parte simbólica y parte descriptiva. La estudiante tiene dominio flexible de las definiciones de las razones trigonométricas, porque utiliza la razón de las funciones para determinar los elementos que faltan. 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

√6 2

Utiliza la estrategia de las proyecciones para modelar un triángulo rectángulo y luego aplicar las razones trigonométricas

Utiliza la notación de la trigonometría para hacer los cálculos mediante operaciones algebraicas.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

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Tabla 22: Comprensión de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo El Salado

Estudiante Salado

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Etapa Explorativa

Método: Aprendiz

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas.

La estudiante tiene un dominio flexible para determinar los valores de las funciones trigonométricas, pero no hace alusión a la relación recíproca entre las funciones. Respecto a la caracterización de los triángulos rectángulos, demuestra comprensión de los elementos fundamentales y establece relaciones como ángulos iguales se oponen lados iguales y que los ángulos agudos suman 90º. Determina el valor las razones trigonométricas empleado método de las proyecciones del segmento orientado. En la caracterización de los triángulos rectángulos, según la medida de los ángulos emplea la descripción para determinar la medida de un ángulo agudo. “tiene un ángulo agudo 30º, por tanto el otro mide 60”. La estudiante valida lo que ha aprendido utilizando la misma estrategia.

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz Propósitos: Aprendiz

Las relaciones que establece en el triángulo rectángulo las expresa descriptivamente, presentando ausencia de planteamientos algebraicos. La estudiante define las razones trigonométricas demostrando dominio conceptual cuando hace énfasis que se determinan a partir los ángulos agudos.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigación Guiada

Proyecto final de síntesis

esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo Método: procedimiento en la construcción de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas.

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Para definir las razones trigonométricas, identificó los catetos respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. En la definición de las razones trigonométricas, hace uso de las proyecciones del segmento orientado identificado los lados del triángulo respecto al ángulo agudo. La notación que empleó para definir las razones trigonométricas contiene parte simbólica y parte descriptiva. La estudiante tiene dominio flexible de las definiciones de las razones trigonométricas, porque utiliza la razón de las funciones para determinar los elementos que √6

faltan. 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 2 , √6:cateto adyacente y 2: hipotenusa, el cateto opuesto se halla mediante el teorema de Pitágoras. Utiliza la estrategia de las proyecciones para modelar un triángulo rectángulo y determinar los elementos faltantes del triángulo rectángulo. La estudiante valida lo que ha aprendido utilizando la misma estrategia.

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos. Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Utiliza la notación de la trigonometría para hacer los Comunicación: expresión y comunicación flexible que cálculos mediante operaciones algebraicas. da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Método: Aprendiz

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Estudiante Astilleros

Dimensiones: Nivel Contenido: Aprendiz

Etapa Explorativa Método: Aprendiz

Criterios de desempeños

Análisis de desempeño de comprensión

Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o conceptos matemáticos, pero esporádicamente aparecen creencias intuitivas.

La estudiante tiene un dominio flexible para determinar los valores de las razones trigonométricas. La caracterización de los triángulos rectángulos, demuestra comprensión de los elementos fundamentales y establece relaciones como ángulos iguales se oponen lados iguales. Determina el valor las funciones trigonométricas empleado método de las proyecciones del segmento orientado. En la caracterización de los triángulos rectángulos según la medida de los ángulos emplea la descripción para determinar la medida de un ángulo agudo. “tiene un ángulo agudo 30º, por tanto el otro mide 60”. La estudiante valida lo que ha aprendido utilizando la estrategía de identificar los catetos respecto a los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Los estudiantes utilizan el mismo procedimiento en la construcción de los conocimientos matemáticos.

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento matemático y la vida cotidiana, examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo Método: procedimiento en la construcción de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Propósitos: Aprendiz

87

Las relaciones que establece en los triángulo rectángulo las expresa descriptivamente, presentando ausencia de planteamientos algebraicos. La estudiante define las razones trigonométricas demostrando dominio conceptual cuando identifica los elementos del triángulo rectángulo.

Para definir las razones trigonométricas, identificó los catetos respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Tabla 23: Comprensión de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo El Salado

Investigación Guiada

Proyecto final de síntesis

Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Los desempeños de los estudiantes se relacionan a través de teorías o Contenido: conceptos matemáticos, pero Aprendiz esporádicamente aparecen creencias intuitivas. Los estudiantes utilizan el mismo Método: procedimiento en la construcción de los Aprendiz conocimientos matemáticos. Con apoyo, los estudiantes establecen relación entre el conocimiento Propósitos: matemático y la vida cotidiana, Aprendiz examinando las consecuencias de usar ese conocimiento. Los estudiantes demuestran una Comunicación: expresión y comunicación flexible que da cuenta del dominio de los Aprendiz conocimientos matemáticos.

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En la definición de las razones trigonométricas, hace uso de las proyecciones del segmento orientado identificando los lados del triángulo respecto al ángulo agudo. La notación que empleó para definir las razones trigonométricas contiene parte simbólica y parte descriptiva. La estudiante tiene dominio flexible de las definiciones de las razones trigonométricas, porque utiliza la razón de las funciones para determinar los elementos que faltan. 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

√6 2

Utiliza la estrategia de las proyecciones para modelar un triángulo rectángulo y luego aplicar las razones trigonométricas La estudiante valida lo que ha aprendido utilizando la misma estrategia.

Utiliza la notación de la trigonometría para hacer los cálculos mediante operaciones algebraicas.

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Capítulo V: Conclusión de la propuesta de intervención 5.1.Conclusiones y recomendaciones La propuesta de enseñanza tuvo como ruta práctica el fortalecimiento en ambientes virtuales de aprendizaje la enseñanza de las funciones trigonométricas mediante el marco de la Enseñanza para la Comprensión y la estrategia de los centros de interés, para el mejoramiento de las competencias matemáticas de los estudiantes de los Centros Aprende del grado décimo. En este sentido, se describen las siguientes conclusiones y recomendaciones que se infirieron a partir de los hallazgos del desarrollo del diseño metodológico relacionado con los objetivos específicos y la pregunta de investigación. Las situaciones problemas articuladas con los intereses y el contexto rural de los estudiantes, generaron una participación más activa en ellos, permitiendo una identificación y valoración más objetiva mediante la Enseñanza para la Comprensión de los desempeños disciplinarios relacionados con el objeto de estudio de la propuesta de enseñanza. Práctica de enseñanza en ambientes virtuales de aprendizaje en el contexto rural La unidad didáctica estructurada desde la estrategia de centro de interés y fundamentada en el marco de Enseñanza para la comprensión, permitió que los estudiantes crearan asociaciones para la construcción de nuevos conocimientos matemáticos adquiriendo competencias matemáticas para la implementación en actividades prácticas del entorno rural. Impacto de práctica de enseñanza El análisis de los desempeños de los estudiantes en el desarrollo de la unidad didáctica de las categorías progresivas: etapa explorativa, investigación y proyecto final de síntesis, valorando la compresión de los estudiantes respecto a las dimensiones y niveles a través de los criterios de

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desempeño generales, es una evaluación continua que identifica dificultades y habilidades en los estudiantes para que el docente promueva estrategias de enseñanzas para superar las dificultades y potencializar las habilidades. En este sentido la unidad didáctica articulada al centro de interés y el marco de la Enseñanza para Comprensión es una práctica educativa que se caracteriza en el saber hacer contextualizado para valorar los desempeños de los estudiantes en los procesos generales de la actividad matemática. Recomendaciones La implementación de prácticas educativas que relacionan el conocimiento con el contexto, permitirán una mejor construcción de los conceptos matemáticos, por ello es pertinente profundizar a través de los ambientes virtuales de aprendizaje las potencialidades que pueden desarrollar los estudiantes, de modo que la educación parta del contexto y permita valorar su entono y las dinámicas que se generan a través de él. La enseñanza y el aprendizaje para y desde la comprensión el lenguaje se potencia como mediador por excelencia de todo el proceso educativo.

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Anexos Anexo 1 Entrevista semiestructurada Dentro del marco de intervención de la propuesta, enseñanza para la comprensión de las funciones trigonométricas en los Centros Aprende del Cibercolegio UNC, se busca diseñar una iniciativa para fortalecer en ambientes virtuales de aprendizaje el proceso de enseñanza del concepto de funciones trigonométricas en los Centros Aprende del Cibercolegio UCN a través de la Enseñanza para la Comprensión, para el mejoramiento de las competencias matemáticas de los estudiantes del grado décimo. Por tal motivo, se pretende conocer desde la perspectiva de egresados, líderes veredales y acudientes, las realidades del contexto rural y las incidencias que tienen en el entorno escolar de los Centros Aprende, específicamente en el área de matemáticas. Para ello se le solicita el favor de responder a la siguiente entrevista. De antemano, agradecemos que lo haga con toda la sinceridad. Realidad del contexto rural en la vereda el Salado Entrevista semiestructurada a egresada Centro Aprende El Salado Preguntas

Variables asociada a las preguntas Actividades ¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? laborales En el salado muchas personas trabajan en tiendas pequeñas que cubren ciertas necesidades a la población, otras personas se dedican a la agricultura, y la ganadería, lechería, pero también a la gallera donde viven prácticamente de las apuestas y peleas que ganen con los gallos. Cabe agregar que comenzaron la construcción de una fábrica, generando empleo a jóvenes de la vereda que trabajan como ayudantes, los que tienen más experiencia trabajan como oficial de construcción. También hay personas que trabajan haciendo pulpas y con gallinas ponedoras que son los proveedores de los huevos de las tiendas de las veredas. Artísticas y recreo ¿Prácticas artísticas y recreo deportivas que se realizan actualmente deportivas en la vereda? Los globos es una actividad que la denominan un arte en el cielo Hay una cantidad de jóvenes que crean páginas grupales en el Facebook, cada uno se coloca un nombre que los identifique como globeros y como grupo de tradición. De las artes en el cielo, se incluyen las cometas. También algunos jóvenes practican regularmente las recochas de microfútbol en la placa de cemento del Centro Aprende.

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Medios de transporte ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la vereda? Los medios de trasporte que se implementa en la vereda son automóviles, camiones, motocicleta, caballos, bicicletas, volquetas, carros particulares y colectivos. Entrevista semiestructurada a acudiente Centro Aprende El Salado Variables asociada Preguntas a las preguntas Actividades ¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? laborales Las actividades laborales que se practican en la verdad son: Albañilería, agricultura, pecuaria, producción de leche, venta, aserradero, confecciones, gallero, porcicultura, fabricación de arepas y pulpas. Artísticas y recreo ¿Prácticas Artísticas y recreo deportivas que se realizan deportivas actualmente en la vereda? Las prácticas artísticas actualmente son el diseño de globos de papel y cometas. En cuanto, a los recreo deportivo en la vereda son el futbol y el ciclismo. Medios de transporte ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la vereda? Los medios de trasporte son carros particulares, moto y colectivos. Entrevista semiestructurada a líder comunitario Centro Aprende El Salado Variables asociada Preguntas a las preguntas Actividades ¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? laborales Las principales actividades laborales son la agricultura, tenderos, ganadería, porcicultura y albañil de construcción. Artísticas y recreo ¿Prácticas Artísticas y recreo deportivas que se realizan deportivas actualmente en la vereda? Regularmente lo que practican los niños y niñas y adolescentes jóvenes y adultos son el microfútbol en la placa de la escuela de la vereda. Medios de transporte ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la vereda? El servicio público de la vereda es el colectivo, el carro particular, la moto y la bicicleta.

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Realidad del contexto rural en la vereda La Suiza Entrevista semiestructurada a egresada Centro Aprende La Suiza Preguntas

Variables asociada a las preguntas Actividades ¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? laborales Las gestiones y labores que se están haciendo con los tanques de agua potable, la organización y reparación de tuberías, las actividades de construcción, los proyectos de las carreteras y el arreglo de las mismas. Artísticas y recreo ¿Prácticas artísticas y recreo deportivas que se realizan actualmente deportivas en la vereda? En estos momentos el Inder Medellín está proponiendo muchas actividades artísticas para los niños, los semilleros que estamos realizando cada ocho días, en esta se implementan actividades de creación y artísticas: como de pintura dibujo y creación de artesanías. Medios de ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la transporte vereda? Actualmente en la comunidad la mayoría de las personas tiene su propio transporte, ya sea moto o carro y las personas que no lo tienen utilizan el servicio particular o la moto taxi. Entrevista semiestructurada a acudiente Centro Aprende La Suiza Variables asociada Preguntas a las preguntas Actividades ¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? laborales Principalmente las actividades agrícolas, los cultivos de cebolla, tomate, mora, cilantro, plátano, café y la caña, son de las mayores actividades agrícolas que se cultivan en la comunidad. Por otra parte los proyectos de construcción que se realizan por la comunidad. Artísticas y recreo ¿Prácticas Artísticas y recreo deportivas que se realizan actualmente deportivas en la vereda? Yo de eso no se mucho, pero los fines de semana sé que los muchachos se mantienen en la cancha de la escuela la Suiza jugando partidos y tienen actividades de recreación los viernes en la escuela. Medios de ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la transporte vereda? Principalmente los carritos que chivean más que todos los fines de semana transportando la gente para la parte central y en semana se utiliza la moto taxi.

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Entrevista semiestructurada a líder comunitario Centro Aprende La Suiza Variables asociada Preguntas a las preguntas Actividades ¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? laborales Actualmente en la comunidad se están haciendo muchas actividades laborales, como la construcción de acueducto y alcantarillado, actividades agrícolas, proyectos en las carreteras, labores con el agua potable y los tanques de mantenimiento. Artísticas y recreo ¿Prácticas Artísticas y recreo deportivas que se realizan actualmente deportivas en la vereda? Actividades en los colegios y escuelas por parte de las organizaciones de recreo, los fines de semana los niños salen a la cancha a jugar, en los colegios están implementando muchas actividades artísticas y de pintura para que los niños activen su creatividad. Medios de ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la transporte vereda? El transporte escolar del colegio de la parte central, los carros particulares o chiveros. Realidad del contexto rural en la vereda Astilleros

Variables asociada a las preguntas Actividades laborales Artísticas y recreo deportivas

Entrevista semiestructurada a egresada Centro Aprende Astilleros Preguntas

¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? Agricultura, porcicultura, turismo. ¿Prácticas artísticas y recreo deportivas que se realizan actualmente en la vereda? Microfútbol, baloncesto, diseñar globos y comentas de pliego Medios de ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la transporte vereda? Colectivo, la moto y la bestia(caballo o mula) Entrevista semiestructurada a acudiente Centro Aprende Astilleros Variables asociada Preguntas a las preguntas Actividades ¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? laborales

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Las labores principales, son agricultura, la porcicultura, la tala de árboles, piscicultura Artísticas y recreo ¿Prácticas Artísticas y recreo deportivas que se realizan actualmente deportivas en la vereda? Actividades de recreación que realiza el Inder de Medellín, y fútbol y baloncesto que practican los jóvenes, niños irregularmente. Medios de ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la transporte vereda? Colectivo, Motos, Carros particulares, camiones. Entrevista semiestructurada a líder comunitario Centro Aprende Astilleros Variables asociada Preguntas a las preguntas Actividades ¿Actividades laborales que se practican en actualidad en la vereda? laborales Bueno por fortuna estuve en algo de emprendedores rurales entonces si tengo conocimiento. En la vereda Astillero, las personas se dedican a la tala de árboles, a la agricultura, lechería, porcicultura, ganadería, hay amas de casa que se dedican hacer arepas y las venden en el mismo lugar, también hay personas que se dedican a vender productos generales de mercados campesinos. Artísticas y recreo ¿Prácticas Artísticas y recreo deportivas que se realizan actualmente deportivas en la vereda? Las prácticas artísticas actualmente son el diseño de globos y cometas de papel y de bolsa. En cuanto, a lo recreo deportivo en la vereda son el futbol y el baloncesto y actividades de recreación que lleva el Inder de Medellín algunos fines de semana. Medios de ¿Medios de trasporte que se implementan en la actualidad en la transporte vereda? Los medios de trasporte son camiones, motocicleta, caballos, volquetas, carros particulares y colectivos.

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Anexo 2 Instrumento de análisis entrevista semiestructurada El análisis de la entrevista semiestructurada se hizo mediante la clasificación de respuestas comunes de valores asociados a cada una de las variables. Es necesario tener en cuenta que una respuesta se expresaba con diferentes palabras. Para cumplir con este propósito se diseñó el siguiente instrumento. Resultado de la entrevista semiestructurada Variables Valores de respuesta Construcciones civiles(albañilería) Actividades laborales Agricultura Turismo Ganadería Porcicultura Tala árboles Piscicultura Microfútbol Artísticas y recreo deportivas Baloncesto Voleibol Globos Cometas Artística (dibujo, pintura, artesanías, origami, fotografía) Vehículo Público (chiverito, mototaxi, colectivo) Medios de transporte Vehículo particular(moto, carro) Caballo Bicicleta

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Anexo 3 Encuesta para creación de un centro de interés Dentro del marco de intervención de la propuesta, enseñanza para la comprensión de las funciones trigonométricas en los Centros Aprende del Cibercolegio UNC, se busca diseñar una iniciativa para fortalecer en ambientes virtuales de aprendizaje el proceso de enseñanza del concepto de funciones trigonométricas en los Centros Aprende del Cibercolegio UCN a través de la Enseñanza para la Comprensión, para el mejoramiento de las competencias matemáticas de los estudiantes del grado décimo. Por tal motivo, se pretende conocer desde la perspectiva de los estudiantes, las realidades del contexto rural y las incidencias que tienen en el entorno escolar de los Centros Aprende, específicamente en el área de matemáticas. Para ello se le solicita el favor de responder a la siguiente encuesta. De antemano, agradecemos que lo haga con toda la sinceridad. Identificar las actividades laborales que realizan los estudiantes del Cibercolegio UCN 1. ¿Realiza alguna(s) actividad(es) laboral(es) que se enuncian a continuación? a. b. c. d.

Agricultura Piscicultura Tala de árboles Construcciones civiles

2. ¿Realiza alguno(s) de los siguientes artes que se enuncian a continuación? a. Construir globos b. Construir cometas 3. ¿Cuál(es) de los siguientes deporte práctica regularmente? a. Microfútbol b. Voleibol c. Baloncesto 4. Medio(s) que utiliza para desplazarse al Centro Aprende a. b. c. d.

Caminando Moto Carro Bicicleta

5. ¿Describa el proceso de la actividad laboral o arte que realiza frecuentemente?

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______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 6. ¿Describa cómo se articula la actividad laboral arte con al menos uno de los siguientes conceptos de las matemáticas: Ángulos, Teorema de Pitágoras y fracciones? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Enlace de la encuesta: https://docs.google.com/forms/d/1wuyVSuYikdknSUfrmpOhsrMf7FmPQZTbP5PXa475tg/viewform

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Anexo 4 Tópico generativo Temática Sesión 0 Etapa explorativa

Las funciones trigonométricas en artes y oficios en el contexto rural Ángulos, operaciones con fracciones y teorema de Pitágoras La actividad permitirá establecer el progreso de compresión de los estudiantes sobre las temáticas de fracciones, ángulos y operaciones, y el teorema de Pitágoras. 1. Según el siguiente gráfico, identifica si los ángulos son agudos, rectos, obtusos y llanos. Justifica.

Ángulo

Justificación

̂ 𝑩𝑨𝑪 ̂ 𝑫𝑶𝑭 ̂ 𝑫𝑨𝑪 ̂ 𝑩𝑨𝑪 2. Un virus informático está borrando el disco duro. Durante el primer día borra 1/2 de la memoria del disco duro. Durante el segundo día borra 1/3 de la memoria restante. El tercer día, 1/4 de memoria restante, y el cuarto, 1/5 de la memoria restante. ¿Qué fracción de la memoria inicial queda sin borrar al final del cuarto día?

3. Una escalera de incendios de 20 m se apoya en la fachada de un edificio. La escalera está afirmada a una distancia de 10 m respecto a la base del edificio. ¿Qué altura alcanza la escalera respecto a la base del edificio?

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigación guiada

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4. En que reloj las manecillas de reloj forman un ángulo recto, agudo, obtuso y llano. Realiza una descripción breve, para justificar tu elección.

5. Un perro que persigue un automóvil recorre 4 m al Este y 3 m al Norte, ¿cuál es la distancia del perro respecto a la posición inicial? Proponga una solución gráfica y algebraica.

3

6. De una finca de 500 hectáreas se cultivan 20 de hectárea en naranjas, se 1

construye una casa en 10 de hectárea y lo que sobra de la finca se vende a $50000 la hectárea. ¿Cuál es el valor de la venta?

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Proyecto final de síntesis

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̅̅̅̅ del triángulo ∆𝑃𝑄𝑅 tal que 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ = 1. En la figura, S es un punto sobre el lado 𝑄𝑅 ̅̅̅̅ 𝑃𝑆 = ̅̅̅̅ 𝑅𝑆 y el ángulo ∡QPS mide 12°. ¿Cuánto mide el ángulo ∡QPR?

2. En un lote de forma rectangular cuyos lados miden 80 y 60 metros, se va a construir un parque. La figura muestra el plano del parque. Los puntos 𝐵, 𝐷, 𝐹 y 𝐺 son los puntos medios de los lados del rectángulo 𝐴𝐶𝐸𝐻, ¿Cuál es el perímetro de la cerca de la zona cubierta de pasto?

3. Hoy será un día con muchas actividades en la escuela. Para empezar el profesor nos dará 1/4 hora para registrar nuestra asistencia. Luego, tendremos 3/4 de hora para compartir acerca del cuaderno viajero y para terminar nuestro inicio de la jornada, tendremos 6/8 de hora para escribir mensajes y depositarlos en el correo Amistoso y por último 2/8 de hora para hablar y escribir acerca de las sugerencias para el trabajo de clase. ¿Qué tiempo de la jornada utilizamos en estas actividades? Represéntalo en la recta numérica.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

105

Anexo 5 Centro de interés La trigonometría en el contexto rural Tópico generativo Temática Meta de comprensión Sesión 1 Etapa explorativa

Las funciones trigonométricas en artes y oficios en el contexto rural

Funciones trigonométricas en el ángulo general Cómo se definen las funciones trigonométricas de un ángulo general y cómo determinar su valor. Construcción disciplinar de las funciones trigonométricas en el ángulo general mediante proyecciones del ángulo en posición normal. 1. Realice una descripción gráfica de un ángulo y escriba el nombre del cuadrante al que pertenece de acuerdo a la siguiente definición: En un sistema de coordenadas cartesiana se dice que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen y el lado inicial está en el semieje positivo x. El ángulo se menciona en términos del cuadrante en el cual está el lado terminal. ⃗⃗⃗⃗⃗ representa la carretera para subir al Centro 2. En la figura, la semirrecta 𝑂𝐵 Aprende El Salado cuya pendiente es del 50%. Esto Significa que si el auto ̅̅̅̅=2 m, entonces la medida se ha desplazado desde el punto O al punto A y 𝐷𝐴 ̅̅̅̅ =4 m. Cuando el auto llegue al punto B, la altura 𝐵𝐸 ̅̅̅̅ =3 m, ¿cuál será de 𝑂𝐷 la medida ̅̅̅̅ 𝑂𝐸 ?, proponga una solución algebraica.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

106

3. En la figura del numeral 2, representar las proyecciones de los segmentos ̅̅̅̅ y 𝑂𝐵 ̅̅̅̅, y calcula sus longitudes. orientados 𝑂𝐴 Investigación guiada

4. Resuelva cada literal a. Representa sobre el plano cartesiano un ángulo 𝜃 en posición normal en el cual el punto 𝑃 (4, 2) se ubiquen sobre su lado terminal. b. Determina el valor de la longitud del segmento ̅̅̅̅ 𝑂𝑃 = 𝑟. c. Utiliza el punto 𝑃 para establecer las razones entre las proyecciones y la ̅̅̅̅ del ángulo 𝜃 en posición normal. longitud del segmento 𝑂𝑃 d. Calcula el valor de las funciones trigonométricas del ángulo 𝜃 en posición normal en el cual el punto 𝑃 (4, 2) se ubiquen sobre su lado terminal de acuerdo a la siguiente información. Cada una de las razones que se obtuvieron entre las proyecciones y la longitud del segmento recibe un nombre especial. Estas razones corresponden a las funciones trigonométricas y su valor se determina de acuerdo con el ángulo colocado en posición normal.  El seno del ángulo es la razón entre la proyección vertical (𝑦) del segmento (𝑟) y la longitud de éste. 𝑦 Simbólicamente: 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑟 

El coseno del ángulo es la razón entre la proyección horizontal (𝑥) del segmento (𝑟) y la longitud de éste. Simbólicamente: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑥 𝑟

Enseñanza de las funciones trigonométricas



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La tangente del ángulo es la razón entre la proyección vertical (𝑦) y horizontal (𝑥) del segmento, siendo ésta última diferente de cero. ¿Por qué la proyección horizontal debe ser diferentes de cero ( 𝑥 ≠ 0)? 𝑦

Simbólicamente: 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑥 

La cosecante del ángulo es la razón recíproca del seno. Se define como la razón de la longitud del segmento (𝑟) y su proyección vertical (𝑦), siendo ésta última diferente de cero. ¿Por qué la proyección vertical debe ser diferentes de cero ( 𝑦 ≠ 0)? 𝑟

Simbólicamente: 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 𝑦

Proyecto final de síntesis



La secante del ángulo es la razón recíproca del coseno. Se define como la razón de la longitud del segmento (𝑟) y su proyección horizontal (𝑥), siendo ésta última diferente de cero. 𝑟 Simbólicamente: 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑥



La cotangente del ángulo es la razón recíproca de la tangente. Se define como la razón entre la proyección horizontal (𝑥) y vertical (𝑦) del segmento, siendo ésta última diferente de cero. 𝑥 Simbólicamente: 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑦

5. Si 𝑃(𝑥, 𝑦) es un punto sobre el lado final del ángulo 𝜃 en posición normal y la distancia 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 siempre es positiva, determinar el signo de las funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃 ubicado en cada uno de los cuadrantes.

Funciones trigonométricas 𝑠𝑒𝑛𝜃

Cuadrantes

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃

𝑐𝑜𝑡𝜃

I II III IV Por ejemplo, para un ángulo del primer cuadrante todas las funciones trigonométricas son positivas, x > 0 e y > 0 para cualquier punto (x, y) ubicado en el cuadrante. Sesión 2

Relación disciplinar de las funciones trigonométricas en el triángulo general con el desarrollo del programada educativo Centros Aprende.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Etapa explorativa

108

El siguiente sistema de referencia permitirá la ubicación aproximada de los lugares donde se desarrolla el programa de cobertura educativa Centros Aprende de Medellín del Cibercolegio UCN. La escala o unidad de medida está dada en km y los semiejes del plano cartesiano están asociados con los puntos cardinales del sistema geográfico.

1. Ubica en el sistema de referencia los siguientes lugares donde se desarrolla el programa educativo Centros Aprende: a. 𝐶(0,0):Sede de administrativa del Cibercolegio UCN(Edificio Coltejer) b. 𝐸(−3,0):Casa del doncente de matemáticas c. 𝑀(3,4):Casa del monitor Cristian d. 𝑉(−4, 7):Casa de la docente de inglés e. 𝑆(−6, 2):Centro Aprende La Suiza f. 𝐷(−5, −6):Centro Aprende El Salado g. 𝐴(−7, −8):Centro Aprende Astilleros 2. a. b. c. d. e.

Determine las distancias entre: La sede administrativa del Cibercolegio y el Centro Aprende La Suiza. El Centro Aprende El Salado y la sede administrativa. La sede administariva y la casa del docente de mateáticas La casa de la docente de inglés y el edificio Coltejer La casa del monitor y la administración del Cibercolegio UCN

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Investigación guiada

109

3. En un sistema de referencia de coordenadas cartesianas se dice que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen(Sede administrativa del Cibercolegio UCN) y el lado inicial está en el semieje positivo 𝑥 (Oriente). Representa sobre el sistema de referencia de coordenadas cartesianas un ángulo 𝜃 en posición normal en el cual el punto 𝐷 (−5, −6) (Centro Aprende El Salado) se ubique sobre su lado terminal. 4. Calcula el valor de las funciones trigonométricas del ángulo 𝜃 en posición normal del numeral 3.

Proyecto final de síntesis

5. Representa sobre el sistema de referencia de coordenadas cartesianas un ángulo 𝛽 en posición normal en el cual se ubique sobre su lado terminal el Centro Aprende Astilleros. 6. Calcula el valor de las funciones trigonométricas del ángulo 𝛽 del numeral 5. 7. Elabora una conclusión que resuma los resultados de los numerales 4 y 6. 8. ¿Los ángulos 𝜃 y 𝛽 en posición normal son iguales? Justifica la respuesta. 9. ¿El valor de las funciones trigonométricas depende de la elección de un punto en el lado terminal del ángulo en posición normal?

Temática Meta de comprensión Sesión 3 Etapa explorativa

Investigación guiada

Las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria Cómo varían las funciones trigonométricas mediante la circunferencia unitaria. Análisis de variación de las funciones trigonométricas del seno y coseno en el círculo unitario. 1. Respecto a la siguiente información, realiza una descripción gráfica: la circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y cuya longitud de radio es la unidad. 2. Determina la ecuación y la expresión algebraica del perímetro de la circunferencia unitaria. 3. Sea 𝜃 un ángulo central, de medida 𝑡 radianes, en la circunferencia unitaria, 𝑡 ∈ ℝ y 𝑃(𝑥, 𝑦) es el punto de intersección del lado final de 𝜃, con la

Enseñanza de las funciones trigonométricas

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circunferencia. Como ̅̅̅̅ 𝑂𝑃 = 𝑟 = 1. Determina las funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria.

Proyecto final de síntesis

4. Dibuja en papel milimetrado un círculo que tenga radio unidad (considera como unidad 10 cm). Identifica y mide en él, el valor de las funciones trigonométricas seno y coseno, para ángulos 0°, 30°, 45, 60° y 90°. Ángulo 0°

30°

45°

60°

90°

Función trigonométrica 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

5. Analiza los valores de las funciones seno y coseno cuando el ángulo 𝜃 crece de 0° a 90° y redacta tus conclusiones. Temática Meta de comprensión Sesión 4 Etapa explorativa

Investigación guiada

Las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Cómo se definen las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y cómo determinar su valor. Definir las razones trigonométricas en triángulo rectángulo y relacionar el conocimiento con situaciones del contexto rural 1. Representa sobre el sistema de referencia de coordenadas cartesiana un ángulo 𝛼 en posición normal en el cual el punto 𝑀(3,4) (casa del monitor Cristian) se ubique sobre su lado terminal y calcula el valor de las funciones.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

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Dado un ángulo 𝛼 en posición normal y un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) ubicado sobre su lado final, la proyección sobre el eje 𝑥 genera un triángulo rectángulo donde las coordenadas (𝑥, 𝑦) determinan las medidas de: el cateto opuesto a α, el cateto adyacente a 𝛼 y la hipotenusa (ver figura).

1. Teniendo en cuenta las funciones trigonométricas definidas en las sesiones anteriores, definir las razones trigonométricas como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo: Proyecto final de síntesis

2. Encontrar el valor de las razones trigonométricas para los ángulos agudos 𝛼 y 𝛽 del siguiente triángulo rectángulo.

3. Si se sabe que 𝑠𝑒𝑐𝜃 = Sesión 5

√6 , 2

calcula 𝑠𝑒𝑛𝜃 y 𝑡𝑎𝑛𝜃.

Determinación de los valores de las razones trigonométricas en ángulos notables.

Enseñanza de las funciones trigonométricas

Etapa explorativa

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1. Identifica las características, según la medida de los lados y la medida de sus ángulos en cada uno de los triángulos rectángulos. Triángulo

Características Características respecto la medida respecto a la de sus lados medida de sus ángulos

Rectángulo Isósceles

Rectángulo con un ángulo agudo de 30º

Investigación guiada

2. Andrés ha diseñado una cometa compuesta por cuatro piezas de triángulos rectángulos como se muestra en la figura, si la varilla transversal de la cometa tiene una medida de 12 cm y los ángulos opuestos a la varilla tienen una medida de 90º(parte superior de la varilla longitudinal) y 60º (parte

Enseñanza de las funciones trigonométricas

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inferior de la varilla longitudinal. Halla la medida de las longitudes de cada pieza. 3. En la pieza de la cometa conformada por triángulo ⊿𝐵𝐶𝐸, ¿qué relaciones se ̅̅̅̅ (hipotenusa) y el lado opuesto 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ al ángulo establecen entre la longitud 𝐶𝐸 ∡𝐶𝐸𝐵 = 30°? Proyecto final de síntesis

4. Apoyándose en el teorema de Pitágoras y la relación que ha construido, calcule los elementos solicitados en los siguientes triángulos rectángulos, y expresa los lados faltantes en términos de 𝑎. Nota: si aparecen raíces de números que no dan exactas, déjalas expresadas como raíz.

5. Calcula la siguiente tabla considerando los resultados anteriores. Ángulo Notable (𝛉) 𝟑𝟎° Razón trigonométrica 𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐭𝐚𝐧𝛉 𝐜𝐬𝐜𝛉 𝐬𝐞𝐜𝛉 𝐜𝐨𝐭𝛉

𝟒𝟓°

𝟔𝟎°

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Anexo 6

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