Equilibrio de fuerzas En El PLANO Sabemos que LA CONDICIà N PRINCIPAL DE EQUILIBRIO requiere que la sumatoria de fuerzas sea igual a cero. AsÃ−, al presentársenos un número cualquiera de fuerzas actuando sobre un objeto, acostumbramos buscar que todas posean una pareja de igual dirección y magnitud, pero sentido contrario, la que cumplirá dicha condición. La resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto debe ser cero. Esta condición nos era suficiente para el equilibrio. Pero cuando la acción de dos fuerzas se encuentra separada por una distancia una segunda condición debe ser satisfecha. Si nos fijamos en este objeto veremos que la pareja de fuerzas que actúan sobre el poseen igual dirección y magnitud, y sentido contrario, por lo tanto, la sumatoria de fuerzas efectivamente es cero. En el objeto, se cumplirá la ya famosa CONDICIà N PRINCIPAL DE EQUILIBRIO, pero ¿Está realmente en equilibrio?, NO. EQUILIBRIO Existirá bajo la acción de fuerzas, siempre y cuando el objeto puntual al que afectan no se esté acelerando. En este caso el objeto (por la primera ley de Newton) se encontrará en una constante rotación (se está acelerando), aún cuando las fuerzas que lo afectan son iguales y contrarias. Llamamos TORQUE al efecto de la acción de fuerzas separadas por una distancia (en el plano y con respecto a un eje). Es una medida de la efectividad de la fuerza para que ésta produzca una rotación alrededor del eje, y se define formalmente: Torque = t = r F sen θ Donde r es la distancia desde el eje al punto de aplicación de la fuerza y θ es el ángulo agudo entre las direcciones de r y F como se muestra en la figura Por lo tanto, LA CONDICION DE EQUILIBRIO será que, tomando un eje en el plano de las fuerzas, todas las torcas (que tienden a producir una rotación) y las fuerzas deben sumar cero. Ahora si observas con atención la materia notarás que: 1.- El torque se define de la forma: T = r F sen θ 2.- Invirtiendo los factores T = F (r sen θ) 3.- Luego por trigonometrÃ−a elemental “r sen θ” serÃ−a el cateto opuesto a θ (la distancia perpendicular desde el eje a la lÃ−nea de acción de la fuerza, llamada brazo de palanca). EJERCICIO Dada una barra homogénea, en equilibrio, de 1,6 [m] y 10 [N] de peso, afectada por las fuerzas externas A y B de la manera que se muestra a continuación Calcule las fuerzas Solución

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Considerando negativos los torques que producen una rotación en el sentido del reloj, y positivos los que producen una rotación contra el sentido del reloj; podemos resolver fácilmente este ejercicio de forma operatoria. Σ F = 0 Σ T = 0 0 = - B + A - 10 0 = (0,1) (B + 10) - (0,8)(10) A = B + 10 B = 70 [N] â

A = 80 [N]

El ejercicio anterior (gracias a la perpendicularidad de las fuerzas) requerÃ−a un par de simples operaciones para obtener las magnitudes de fuerza que mantendrÃ−an la barra en equilibrio. Pero sabemos bien que, si las fuerzas -incógnitas y conocidas- hubiesen tenido sentidos, direcciones y magnitudes diversas, nos hubiéramos visto atrapados en la tediosa tarea de descomponerlas y analizarlas una a una con respecto a las otras, y en operaciones mucho más complicadas. METODO GRÔFICO Basado en la más pura y sencilla sumatoria gráfica de vectores, y en el concepto básico de brazo de palanca, experimentaremos a continuación el sistema gráfico de resolución de problemas de equilibrio. El cual busca desarrollar en el estudiante de arquitectura la capacidad de observar, graficar y, principalmente, estimar visualmente las magnitudes necesarias para dar equilibrio, de manera que comience a desarrollar sus incipientes criterios constructivos. EJERCICIO INTRODUCTORIO 1 Dado el siguiente sistema en equilibrio donde el peso es de 2000 N, determine gráficamente las tensiones en ambas cuerdas. SOLUCIà N (Método gráfico) 1) Aislar el objeto a estudiar. 2) Mostrar, en un diagrama, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo aislado (diagrama de cuerpo libre) 3) Escoger una escala adecuada (considerando la magnitud, sentido y dirección de las fuerzas) En este caso conocemos magnitud sentido y dirección del peso, pero su ubicación no, ya que la barra no es homogénea. De las tensiones conocemos sentido y dirección. Si el cuerpo esta en equilibrio, la sumatoria de los torques debe ser cero, y el punto eje desde donde la dirección perpendicular a la lÃ−nea de acción de las fuerzas (Brazo de palanca) es cero, es la intersección de las tres. El punto de intersección de las tensiones determinará la ubicación del peso (cuya lÃ−nea de acción necesariamente pasa por el) este punto será el eje de los torques. 4) Utilizando la magnitud, sentido y/o direcciones conocidas, dibujamos un triangulo vectorial de fuerzas, y el(los) vector(es) fuerza adecuado(s) -la(s) fuerza(s) desconocida(s), para que por medio de la sumatoria gráfica de vectores el resultado sea cero. Partimos por aislar el peso del cual conocemos magnitud sentido y dirección. Hacia el mismo trasladamos las tensiones (considerando sus sentidos y direcciones) de manera que estas cierren el triangulo (desplazamiento cero).

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5) Determinamos la magnitud, sentido y dirección de la fuerza requerida, según el triangulo vectorial resultante y la escala utilizada. Como se interséctan se determina su magnitud en la gráfica y considerando la escala que nos damos (los 2000 N del peso equivalen a una cantidad cualquiera de cm. en el papel), calculamos las tensiones. EJERCICIO INTRODUCTORIO 2 Dado el siguiente sistema en equilibrio donde el peso es de la barra homogénea es de 200 N, determine gráficamente N y R. SOLUCIà N (Método gráfico) 1) Aislar el objeto a estudiar. 2) Mostrar, en un diagrama, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo aislado (diagrama de cuerpo libre) 3) Escoger una escala adecuada (considerando la magnitud, sentido y dirección de las fuerzas) En este caso conocemos la magnitud sentido y dirección del peso, y el centro de masa. De la reacción N conocemos sentido y dirección, y de R tenemos una idea de su posible dirección (su sentido jamás será el del objeto). Pero si el cuerpo esta en equilibrio, la sumatoria de los torques será cero. El punto eje desde donde la dirección perpendicular a la lÃ−nea de acción de las fuerzas (Brazo de palanca) es cero, es la intersección de las tres, este punto será el eje de los torques, y la fuerza de reacción R pasará por el punto de apoyo en el suelo y este punto eje, determinándose asÃ− dirección y sentido. 4) Utilizando la magnitud, sentido y/o direcciones conocidas, dibujamos un triangulo vectorial de fuerzas, y el(los) vector(es) fuerza adecuado(s) -la(s) fuerza(s) desconocida(s), para que por medio de la sumatoria gráfica de vectores el resultado sea cero. Partimos por aislar el peso del cual conocemos magnitud sentido y dirección. Hacia el mismo trasladamos las fuerzas N y R (considerando sus sentidos y direcciones) de manera que estas cierren el triangulo (desplazamiento cero). 5) Determinamos la magnitud, sentido y dirección de la fuerza requerida, según el triangulo vectorial resultante y la escala utilizada. Las intersecciones determinan las magnitudes en la gráfica y considerando la escala que nos damos (los 200 N del peso equivaldrán a una cantidad cualquiera de cm. en el papel), calculamos las tensiones con una simple regla de tres. Si bien el concepto y condiciones de equilibrio y resolución gráfica de problemas esta definido, el siguiente trabajo tendrá por objetivo desarrollar en usted, un discernimiento adecuado de resolución para cada tipo de problema (propio del curso) que se le presente, teniendo en cuenta las pequeñas sutilezas que los Ã−nter-diferencian CONTROL 1 (Repaso de vectores) Dibuje a) A + 2B 3

b) 3B - A 1. Todo lo que tonemos que hacer es realizar la suma gráfica de vectores, ¿cómo? simplemente uniendo los vectores o sumar uno tras otro. En a) primero dibujamos el vector A y de su cabeza trazamos el vector B, que como nos piden debe expresarse con doble magnitud. Una vez hecho esto debemos cerrar el triángulo y el vector con el que lo hagamos será nuestro vector A + 2B, este debe ser trazado DESDE EL ORIGEN del primer vector trazado hasta la “cabeza” del ultimo, obteniendo asÃ− la magnitud, la dirección y el sentido del vector requerido. a) b) En el caso b) el procedimiento es el mismo, teniendo en cuenta que el vector A posee signo negativo, por lo que su sentido cambia. Una vez realizado el cambio se procede con exactamente el mismo desarrollo anterior obteniendo 3B - A. CONTROL 2 El sistema que se muestra a continuación se encuentra en equilibrio, y consta de un bloque sólido y una contrapeso unidos por medio de un cable. El peso del bloque es de 100 [Kg.] y el del contrapeso 40 [Kg.] 1. Dibuje a escala las fuerzas que actúan sobre el contrapeso de 40 [Kg.] 2. Dibuje a escala las fuerzas que actúan sobre el bloque de 100 [Kg.] Para ambos casos determine las magnitudes de las fuerzas gráficamente. SOLUCIà N 1. Lo primero que debemos hacer es, obviamente, dibujar el cuerpo en estudio (en este caso el contrapeso) aislado, y analizar solamente las fuerzas que están actuando sobre él. La primera fuerza que está actuando sobre el contrapeso es la fuerza peso, debido a la masa del objeto. Esta fuerza la ubicamos en el centro de masa del objeto. Observamos que existe una y sólo una fuerza capaz de establecer el equilibrio para la configuración del sistema del contrapeso; Esta es la fuerza ejercida por el cable, la que llamamos tensión. No existe ningún otro cuerpo que genere una fuerza sobre el. Luego, por sumatoria de fuerzas en el eje Y ambas fuerzas son iguales en dirección y en magnitud, pero contrarias. La fuerza peso es siempre vertical, de modo que la reacción de la cuerda no puede tener otra dirección. Además la fuerza que pasa por el cable no puede tener otra dirección sino la dirección del mismo cable, que en este caso también es vertical. La fuerza peso toma el valor m·g (40 [Kg.] x 1O [m/s2]) o sea 400 [N]. De esta manera, sólo nos resta elegir una escala adecuada para dibujar ambas fuerzas, de las que, como hemos visto, conocemos dirección, sentido y magnitud. 2. Ocupamos el mismo procedimiento para el análisis del bloque. Como siempre, la primera fuerza que ubiquemos es la fuerza peso mg en el centro de masa del objeto. Insistimos que esta fuerza es siempre vertical. Además del sentido y dirección de la fuerza, también conocemos su magnitud: 1000 [N] (100 [Kg.] x 1O [m/s2]). La segunda que analizamos ahora es la ejercida por la cuerda. Esta tensión tiene el mismo valor que la 4

tensión anterior, ya que la fuerza que pasa por la cuerda siempre es la misma sin importar si esta cambia de posición. Como ya lo dijimos la tensión va en lo misma dirección de la cuerda, que un este caso esta horizontal. El bloque siente que la cuerda lo lira, por lo tanto, la tensión se dibuja hacia la derecha, y en ninguna otra dirección, pues las cuerdas sólo trabajan en tracción (¿o acaso has sido empujado por una cuerda alguna vez?). Estas son las dos fuerzas que conocemos. ¿Estará el bloque en equilibrio? Seguro que no, ya que hasta el momento no hemos encontrado ninguna fuerza que se contraponga a la componente horizontal de la tensión. ¿Cuál es entonces la fuerza que nos falta para encontrar el equilibrio? Existe un sólo lugar donde puede aparecer esta fuerza: en la superficie bajo el bloque. En este punto de apoyo, el cuerpo entra en contacto con otro, por ende genera una fuerza de peso y a la tensión. ¿Cómo determinarnos esta fuerza? Por medio de la sumatoria gráfica de vectores. Dibujamos primero la fuerza peso, habiendo previamente escogido una escala adecuada. Como sabemos, esta fuerza se dibuja vertical y hacia abajo. A continuación de esta, ubicarnos la tensión, de forma horizontal y hacia la derecha, con su respectiva magnitud. Ahora, simplemente cerramos el triángulo de fuerzas. Este nuevo lado del triángulo representa la fuerza que buscábamos. Medimos con una regla, realizamos la conversión pertinente según la escala utilizada, y ya tenemos su magnitud. Ocupamos un transportador, y medimos el ángulo con respecto a una horizontal, y tenemos la dirección de la fuerza. Si se realiza un buen dibujo, esta fuerza deberla valer aproximadamente 1078,5 [N] en una dirección de 68°. CONTROL 3 Una tuerca de 120 [gr.] se encuentra en equilibrio como se indica en la figura adjunta. La masa de cada una de las cuerdas puede considerarse despreciable. 1. Dibuje las fuerzas (interesa dirección) que actúan sobre a) Cuerda A. b) Cuerda B. c) Tuerca. 2. Mediante un gráfico determine el valor de las fuerzas dibujadas anteriormente. SOLUCIà N 1. a) Las cuerdas trabajan solamente en tracción, y la dirección de las fuerzas que pasan a través de esta es igual a la dirección de la cuerda. O sea, las fuerzas aplicadas tienen 60° y ninguna otra dirección. Por la cuerda pasan dos fuerzas de igual magnitud; por un lado siente que la tira la tuerca, y por el otro la sostiene el techo. b) En la cuerda B sucede algo muy similar, en este caso la cuerda se encuentra inclinada a 30°, por lo tanto las fuerzas que traccionan la cuerda también tienen esa dirección. Por un lado la cuerda es tirada por la tuerca, y por el otro el clavo que la sostiene. c) A la tuerca se le aplican tres fuerzas: la fuerza peso m ·g l,2 [N] aplicada en el centro de masa; la fuerza que ejerce la cuerda A (TA) , que tira la cuerda en 60º; y la fuerza que ejerce la cuerda B (TB) en 30º. Como ya lo dijimos, TA y TB tienen igual dirección que la cuerda A y la cuerda B respectivamente. 2. Conocemos las direcciones de todas las fuerzas del sistema, pero no hemos determinado aún sus 5

magnitudes. Ocupando el método gráfico podemos llegar a un resultado apropiado, realizando un triángulo de fuerzas. Primero dibujamos m ·g l,2 [N] escogido una escala adecuada. Luego trazamos las lÃ−neas de acción de las fuerzas TA y TB en los extremos del vector m ·g, procurando cerrar el triángulo. Donde se cruzan las lÃ−neas de acción encontraremos la configuración de fuerzas que satisface el equilibrio del sistema. CONTROL 4 El sistema que se muestra a continuación se encuentra en equilibrio. La masa de la tuerca 1 es de 100 [Kg.] y la de la tuerca 2 es de 140 [Kg.] consideremos nulo el roce en el pasador. 1. Determinar la tensión en el cable. 2. Calcular el valor de Ó¨ 3. Realizar un diagrama (croquis) de fuerzas sobre cada una de las tuercas. SOLUCIà N 1. La tensión del cable se determina realizando un simple estudio de equilibrio en la tuerca 1. Si analizamos las fuerzas que actúan sobre esta tuerca, nos daremos cuenta que son solamente dos: la fuerza peso y la tensión del cable. No existe ninguna otra fuerza más El equilibrio debe ser satisfecho sólo a partir de estas fuerzas. La fuerza peso la conocemos. Tiene una magnitud m1g igual a 1000 [N] y tira la tuerca hacia abajo. Por lo tanto: Σ F y = O m1g - T = O T = m1g = l00 [Kg.] · l0 [m/s2] = 1000 [N] La tensión tiene un valor de l000 en toda la cuerda, aunque esta cambie de dirección 2. Para encontrar el ángulo Ó¨ ocupamos el método gráfico, analizando ahora la tuerca 2. En la tuerca 2 se ejercen tres fuerzas: una fuerza relativa al peso m2g = 1400 [N] y dos tensiones: una que, diagonalmente tira a la derecha la tuerca, y otra que la tira hacia la izquierda diagonalmente. Estas tensiones fueron calculadas en el punto anterior. Insistimos que el valor de la tensión no varÃ−a, en la cuerda, por lo tanto ambas fuerzas tienen una magnitud de 1000 [N]. Teniendo las magnitudes entonces de todas las fuerzas, podemos encontrar las direcciones de estas. Como el sistema es simétrico, sabemos que el peso de la tuerca (1400 [N]) se reparte en forma equitativa en ambas cuerdas (aunque digamos ambas, sabemos que en realidad es una sola cuerda). Es decir, la componente vertical de cada tensión es igual a la mitad del peso de la tuerca, 700 [N]. Por lo tanto, lo único que debemos hacer es dibujar la descomposición en los ejes X e Y de la tensión, un triángulo rectángulo que tenga un lado opuesto de 700 [N] y una hipotenusa de 1000 [N]. Cerrando el triángulo podremos medir el ángulo, que tendrá el valor de Ó¨/2. O bien, simplemente realizamos una sumatoria gráfica de los tres vectores-fuerzas que tenemos. Dibujamos primero el vector 1400 [N] hacia abajo, habiendo previamente elegido una escala adecuada. A continuación, una de las tensiones de magnitud 1000 [N] y luego la otra, procurando cerrar con esta última el triángulo de fuerzas. Los dos ángulos iguales del triángulo tienen el valor de Ó¨/2. Podemos comprobar fácilmente nuestros resultados a partir de 6

una relación trigonométrica derivada del primer caso: Cos (Ó¨/2) = 700/1000 (Ó¨/2) â Ó¨ â

45,57º 91º

3. CONTROL 4 Pp = 200 N Pb = 800 N 1. Determine las fuerzas que actúan sobre el bloque, plataforma y cuerda (interesa su dirección y quien las aplica) 2. Determine el valor de cada una de las fuerzas. SOLUCIà N 1. Como siempre lo primero es separar el sistema y ver que pasa en cada elemento por separado con los ya famosos diagramas de cuerpo libre... Bloque. En el caso del bloque la primera fuerza a considerar es la que ejerce la Tierra (peso Pb) sobre el mismo, conociendo incluso su magnitud que es de 800 N. Pero hasta aquÃ− nuestro objeto no está en equilibrio, aún nos quedan dos elementos por analizar que interactúan con él, la cuerda y la plataforma. La primera le “tira” hacia arriba interrumpiendo su caÃ−da al vacÃ−o, de la misma forma que la plataforma. Por lo tanto ambas actúan sobre el bloque en el mismo sentido, hacia arriba, evitando su caÃ−da y equilibrando al peso Pb, concluyendo que la suma de ambas deberá ser igual a Pb. Plataforma. Ahora la plataforma ¿que siente? Pues bien, lo primero es la gravedad ejercida por la Tierra, que constituye el peso del objeto, que en este caso llega a 200 N. En segundo lugar esta el bloque que, apoyado sobre la plataforma la empuja hacia abajo, pero OJO¡¡ No es todo el peso del bloque lo que siente la plataforma (F = Pb - T) Ahora al mirar el cuerpo notamos que no esta en equilibrio, se cae, necesitamos sostenerlo ¿Con qué? Con la cuerda pues, esta debe soportare el peso de la plataforma y además parte del peso del bloque, obviamente el sentido de esta fuerza será hacia arriba y su magnitud esta determinada por Σ F y = T - F - Pp 0 = T - (Pb - T) - Pp 0 = 2T - Pb - Pp Cuerda

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Debemos recordar que consideramos a las cuerdas como objetos sin masa, por lo tanto la Tierra no ejerce fuerzas sobre ellas, además solo trabajan a tracción (estirándose), no pueden empujar¡¡. La tensión será la misma en cualquier punto de la cuerda, en este caso la cuerda sufre fuerzas que la tiran, ejerciéndolas el bloque y la plataforma, en sentido contrario y de igual magnitud y dirección. 2. Sabemos que sobre el bloque podemos plantear el equilibrio en Y: Σ F y = T + N - Pb = 0 Y en la plataforma también Σ F y = T - F - Pp = 0 Y de ambas relaciones podemos encontrar el valor de todas las fuerzas que están actuando en el sistema que estudiamos, pues conocemos tanto Pp como Pb, que son 200 N y 800 N respectivamente, y entonces tenemos: T - F - 200 = 0 T - (Pb - T) - 200 = 0 T - (800 - T) - 200 = 0 2T = 800 + 200 T = 500 [N] T + N = 800 [N] N = 800 - T N = 300{N} Y deberÃ−amos ya intuir que N es igual en magnitud y dirección a F ¿por qué? se preguntarán los más incrédulos, por el principio de acción y reacción dirán los que saben de Newton, y tienen razón. CONTROL 5 El sistema que se muestra a continuación se encuentra en equilibrio. Este consta de una barra homogénea de 110 [cm.] de largo (1,1[m]) y tiene una masa de 11 [Kg.] 1. Dibuje las fuerzas que actúan sobre la barra.(indique quien aplica la fuerza dibujada!) 2. Plantee condiciones para equilibrio de la barra. Solución 1. Para dibujar las fuerzas en la barra necesitamos saber que cuerpos están en contacto con ella. Para empezar esta la tierra, que ejerce la fuerza de gravedad sobre la barra la cual multiplicada por la masa de la barra nos da el peso, que se sitúa en el centro de masa, y apuntando al centro de la tierra, es decir perpendicular a la superficie terrestre. Luego, tenemos el contacto con la cuerda, la cual ejerce una fuerza 8

llamada tensión, determinada en su magnitud por la masa X, y en su dirección por la dirección de la cuerda. Y finalmente, el pasador. Ya teniendo las otras dos fuerzas dibujadas podemos estimar que la fuerza ejercida sobre la barra por el pasador debe equilibrar tanto al peso como a la tensión, por lo tanto apuntará hacia arriba (debe sostener a la barra) y hacia la derecha (para equilibrar la componente en y de la tensión). 2. Debemos ahora plantear las ecuaciones en los distintos ejes, y plantear también la ecuación de torque para equilibrar los giros. En este caso la ecuación de torque la tomaremos con respecto al pasador. En pos de facilitar los cálculos y la expresión de estas ecuaciones, vamos a descomponer tanto la tensión como la fuerza en el pasador las ecuaciones quedan como sigue: Eje X: Σ F x = R x - T x Eje Y Σ F y = R y - T y - P Ojo, para establecer la ecuación de torque necesitamos conocer las distancias perpendiculares al eje de acción de la fuerza estudiada. Por lo tanto para encontrar la distancia hasta la tensión deberemos ocupar un método gráfico, o bien mediante trigonometrÃ−a. La distancia al eje de acción del peso será L/4 y a al eje de acción de la tensión la altura del triángulo equilátero formado por la barra, la cuerda y el techo. Torque: Σ T = T · d 1 - P · L/4 Torque: Σ T = T · - P · 1,1/4 CONTROL 6 Un tronco no homogéneo de 8O [Kg.] se mantiene levantado como se indica en la siguiente figura. El sistema se encuentra en equilibrio 1 Dibuje las fuerzas que actúan sobre a) T ronco b) Suelo c) Cuerda 2. Determine GRAFICAMENTE el valor de las fuerzas. Explique. SOLUCIà N 1. a) En el tronco se aplican 3 fuerzas: la tensión de la cuerda (T), la fuerza peso (mg) del tronco, y una resultante en el apoyo sobre el suelo (R). Estas 3 fuerzas nos tienen que dar equilibrio. De la tensión T en el extremo superior conocemos la dirección y el sentido: es una fuerza aplicada por una cuerda que tira el tronco en una dirección de 60º. La fuerza peso mg, la ubicamos en el centro de masa del cuerpo, a 3/7 del tronco, y obviamente tira el tronco hacia abajo. De esta fuerza conocemos dirección, sentido y magnitud (800 [N]) De la fuerza R no sabemos nada. . .sin embargo podemos intuir que R tiene una componente horizontal hacia la izquierda, que resulta de la reacción a la componente horizontal de T; y una componente vertical, que es la reacción en el suelo al apoyo del tronco. Tendremos que determinar el ángulo α de esta fuerza y su 9

magnitud. b) En el suelo existe sólo una fuerza, la del apoyo del tronco, y no es otra cosa que la reacción a la fuerza R, en igual magnitud y dirección, pero en sentido contrario. El suelo siente como el tronco lo empuja hacia abajo y hacia la derecha. c) La cuerda siente solamente la tracción que se genera en ella, por efecto del peso del tronco. El peso del tronco se reparte entre el apoyo del suelo y la cuerda (OJO, no sabemos en que proporción!). El hombre realiza una fuerza en el otro extremo de la cuerda, de igual magnitud a la fuerza con que le tronco tira a la cuerda. Recordemos que por una cuerda, sin importar que cambie de posición, pasa solamente una fuerza, que tiene la misma dirección que la dirección de la cuerda. Hecho ya el análisis de las fuerzas, nos damos cuenta que tenemos muchas incógnitas; α, T, R… ¿cómo llegar a una solución? El método gráfico nos mostrará el camino. 2. Partamos del siguiente principio: si un cuerpo está en equilibrio, en cualquier punto donde nos situemos existirá equilibrio (incluso si nos situamos fuera del cuerpo!). Vamos entonces a escoger mi punto estratégico en el espacio para poder jugar con nuestro amigo Don Torque. El criterio que utilizamos es situarnos en un punto en el cual los brazos de las fuerzas incógnitas sean iguales a O. De esta forma manejamos variables conocidas. Pero en vez de situarnos en los extremos, como usualmente lo hacemos, analicemos el punto X, fuera del cuerpo. Como sabemos con certeza la dirección de T y mg, si situamos un punto X en el lugar en donde se cruzan las lÃ−neas de acción de estas fuerzas, lograremos evaluar el torque en un punto donde dos de las tres fuerzas del sistema tienen brazos de palanca iguales a 0. De esta manera, T y mg no generan torque alguno con respecto a X. Por lo tanto, como X está en equilibrio, R tampoco puede generar torque. O sea, la lÃ−nea de acción de R tiene que pasar por y sólo por X para satisfacer el equilibrio, de lo contrario, el tronco girarÃ−a. Tenemos que, solamente hacer confluir R a X, y determinaremos gráficamente α, que tiene un valor de 44º aproximadamente. Habiendo obtenido las direcciones de las fuerzas es fácil determinar las magnitudes de T y R por medio de un triángulo de fuerzas. CONTROL 7 Una barra homogénea, de densidad lineal de masa, es de 2 [Kg. /m] y se encuentra en equilibrio, como se indica en la figura adjunta. La cuerda, de largo L = 4 [m] no tiene masa. Determine e indique el valor de ángulo ABC, y ACB. Determine e indique el valor de las distancias AB y AC. Determine la masa de la barra. Dibuje las fuerzas que actúan sobre la barra. Determine GRAFICAMENTE el valor de dichas fuerzas. SOLUCIà N 1. OK, lo primero que se nos pide encontrar son los ángulos ABC y ACB, el primero obviamente es 120º 10

por tratarse del ángulo suplementario a 60º, el segundo es 30º ya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo debe ser igual a 180°. Ahora necesitamos las distancias AB y AC, para lo cual tenemos dos métodos, el gráfico y el trigonométrico. Partamos por el método gráfico, para esto debemos hacer el dibujo del sistema a escala, en este caso será 1: l00 Luego solo medimos las distancias requeridas, obteniendo AB = 4,2 m y AC = 7,1 m. El método trigonométrico es más complicado, debiendo incluso agregar un nuevo punto (D) perpendicular al techo desde C. Y decimos: Sen30° · BC = BD Sen30° · 4 = BD BD = 2 m Sen60° · BC = CD Sen60° · 4 = CD CD = 3,5 m Cos30° · AC = AD Cos30° · 7 = AD AD = 6 m AB = AD - BD AB = 6 - 2 AB = 4 m Como vemos los resultados coinciden solo con pequeñas variaciones debidas a aproximaciones decimales en su mayorÃ−a. Para determinar la masa la tarea es fácil, ya que se nos dice que la densidad lineal es 2 Kg./m y si la barra mide 7 m simplemente multiplicamos: 2 Kg./m x 7 m = 14 Kg., obteniendo la masa de la barra. Hagamos un diagrama de cuerpo libre de la barra. La primera fuerza a dibujar como siempre es la ejercida por la Tierra, que es el peso P de la barra, y ahora vemos que pasa con el resto de los cuerpos en relación con la barra, primero la tensión, pues como ya sabemos las fuerzas ejercidas por cuerdas (tensiones) poseen la misma dirección de esta y además no pueden empujar, por lo tanto también conocemos el sentido de T, que sale de la barra. Analicemos el pasador, que es la fuerza de la que tenemos menos información. Veamos, intuitivamente podemos saber que va a la derecha, pues T tiene una componente horizontal que va hacia la izquierda que debe ser equilibrada (Σ Fx = 0) y la única opción es F. Y como vemos que obviamente el pasador esta evitando que la barra se caiga, diremos que F va hacia arriba sosteniendo a la barra. Para entender y realizar el último punto debemos entender el concepto de torque!! Este se refiere a que se producirá un giro en un objeto o cuerpo respecto a un punto de giro determinado si es que se ejerce una fuerza a cierta distancia de este punto de giro, asÃ− de simple. Por lo tanto para que el cuerpo no gire, no deberá existir fuerza que lo haga girar o bien no existir distancia de estas fuerzas a algún punto definido por 11

nosotros. Ahora, para resolver el problema gráficamente debemos hacer un diagrama de fuerzas, pero para esto debemos conocer las direcciones de las fuerzas comprometidas. Muy bien, conocemos la dirección de P (0°) y la de T (60º) pero no la de F, cómo hacemos esto entonces? Si revisamos la definición de torque podemos decir que va a existir un punto en el cual las fuerzas no generan torque, por ejemplo un punto sobre el cual ninguna fuerza este a cierta distancia, o sea un punto sobre el cual pasen todas las fuerzas es este uno de esos casos? Yo creo que sÃ−, veamos entonces en un dibujo escala 1: 100 que pasa. Muy bien, vemos como en el punto S se cruzan las lÃ−neas de acción de P y T. Para que la barra este en equilibrio entonces F deberá no tener magnitud o bien no tener distancia a S. La primera sabemos que no es cierta, y para que la segunda ocurra F (su lÃ−nea de acción) deberá pasar obligatoriamente por S. Y asÃ− obtenemos la dirección (gráficamente) de F que es 32° respecto a la horizontal. Ya conociendo P en dirección y magnitud y T y F en dirección podemos realizar el diagrama de fuerzas correspondiente para encontrar sus magnitudes, el cual debe ser a escala: Debemos dibujar P que es la fuerza que conocemos y luego T y F las dibujamos según sus ángulos cerrando el diagrama cruzándose en un punto. Luego sólo medimos según la escala y obtenemos que T = 118 N y F = 70 N. CONTROL 8 El sistema que se muestra a continuación se encuentra en equilibrio. Las reglas del sistema son iguales (masa de c/u: l00 [gr.]) y están unidas por medio de un pasador. A una de ellas se le aplica una fuerza en su extremo, como se muestra en el dibujo. Esta fuerza tiene una magnitud igual a la mitad del peso de una regla. 1. Separar las barras y dibujar las fuerzas que actúan sobre cada una. 2. Determinar el valor y dirección dé las fuerzas y los ángulos α y β Solución 1. Lo primero que debemos hacer es separar las barras, y estudiar individualmente su equilibrio, de acuerdo a las fuerzas que les estén siendo aplicadas. Partiremos entonces con la barra B. Qué sabemos de la barra B? Sabemos, primeramente, y al igual que cualquier otro cuerpo que se sitúe en la Tierra, que posee un peso mg, y que es representado como una fuerza aplicada en el centro de masa del objeto estudiado, en este caso, la barra, y es perpendicular a la tierra, (siempre!). También sobre la barra B existe una fuerza F de magnitud mg/2 en su extremo inferior, que le tira hacia la derecha. Nos preguntamos entonces, ¿se encuentra la barra en equilibrio con estas dos fuerzas aplicadas? La respuesta es obvia, no lo esta!) pues se encuentra desequilibrada en los dos ejes principales x e y. ¿de donde sacamos entonces la fuerza faltante?; del único contacto con otro objeto que queda sin estudiar, es decir el pasador que le sujeta a la otra barra, y es dibujada hacia arriba, inclinada hacia la izquierda, a partir de la noción de equilibrar las otras dos fuerzas existentes. Muy bien, pasemos entonces a la barra A. Qué conocemos de A? Nuevamente, lo primero es ubicar el peso de la barra en su centro de masa, y perpendicular a la superficie de la tierra. Luego pensamos en los contactos que tiene la barra con otros objetos. 12

Existe un pasador superior y uno inferior, este último, le une con la barra B. Y si recordamos esta fuerza ya la conocemos, sólo que siendo aplicada a B. Por principio de acción y reacción la misma fuerza es aplicada en la barra A, sólo que con el sentido contrario, manteniendo la dirección y magnitud con que actuaba en B. Finalmente, nos queda el pasador superior. Con el mismo proceder anterior, vemos como compensar las fuerzas conocidas hasta ahora, y asÃ−, nos daremos cuenta, que esta fuerza apuntará hacia arriba, y a la izquierda. 2. Ahora, para encontrar tanto la dirección como la magnitud de las fuerzas recién dibujadas, y los ángulos α y β partiremos de la base de saber que • En los objetos sólidos, la dirección de la fuerza aplicada no necesariamente es la misma que la del objeto. • Sólo en las cuerdas la fuerza pasa por el mismo eje del objeto, siempre. Nuevamente partiremos con la barra B. Cuántas fuerzas conocemos? Dos de tres conocemos tanto el peso de la barra P = mg , y también conocemos la fuerza F = mg/2 . De ambas conocemos entonces, tanto la magnitud, como su dirección: P esta en el eje y, y F en el eje x. AsÃ−, gráficamente, y ocupando alguna escala adecuada, obtendremos la fuerza restante, cerrando el diagrama de fuerzas, dándonos como resultado una magnitud de 1,12 [N], con una dirección de 63° respecto a la horizontal. Ahora es el turno de la barra A. Qué fuerzas conocemos? Conocemos tanto el peso, como la fuerza F. Usamos el mismo procedimiento gráfico para obtener tanto la dirección como la magnitud de S. Dándonos como resultado un ángulo de 75°, y una magnitud de 2,7 [N]. Ahora debemos encontrar los ángulos α y β Cómo hacemos esto? Fácil, a partir de las ecuaciones de torque, plantearemos relaciones de distancias, las cuales gráficamente, nos darán los ángulos requeridos. Primero en la barra B. Lo más recomendable es hacer el torque en el pasador superior. Entonces la ecuación queda como sigue: Σ T: - mg · d1 + mg/2 · d2 = 0 mg /2 · d2 = mg · d1 d2 = 2 · d1 Lo aplicamos a la figura y obtenemos el ángulo β. β = tan-1 (1) = 45º Ahora en A. 13

De nuevo, lo más recomendable es hacer el torque en el pasador superior. Pero acá utilizaremos un “truco” para facilitar el problema y consiste en expresar la fuerza F, como sus descomposiciones en x e y, que corresponden a respectivamente. Entonces la ecuación queda como sigue: Σ T: - mg · d3 - mg · d4 + mg/2 · d5 = 0 - mg · d3 -2 mg · d3 + mg/2 · d5 = 0 mg/2 · d5 = 3 mg · d3 d5 = 6 mg · d3 Nuevamente aplicamos esto, y hacemos calzar la barra en esta relación de distancias, y de esta forma obtenemos el ángulo α. Queda como sigue: α = tan-1 (3) â

72º

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