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ER-ZR-01: EJERCICIO RESUELTO DE ZAPATA RÍGIDA En este ejercicio vamos a dimensionar la zapata para unas cargas y un terreno dado. Partimos de un prediseño y de unos materiales y comprobamos si son adecuados. Solo se considerarán esfuerzos en una dirección.
Materiales Hormigón resistencia característica
N
fck = 25⋅
2
mm coeficiente de seguridad
γ c = 1.5
la resistencia de cálculo es fcd =
fck
N
fcd = 16.667
γc
2
mm
Acero límite elástico característico
N
fyk = 500 ⋅
2
mm coeficiente de seguridad
γ s = 1.15
la resistencia de cálculo es fyd =
fyk γs
fyd = 434.783
kg kg hormidensi = 2500⋅ terrenodensi = 1800⋅ 3 3 m m graved = 9.8⋅
m 2
s
Dimensiones de la zapata Partimos de un pre-dimensionamiento de la zapata, de una pilastra y de un terreno dado. zapatalargo = 2 ⋅ m zapataancho = 2 ⋅ m
zapataalto = 0.5⋅ m
pila largo = 0.3⋅ m
pila alto = 0.5⋅ m
pila ancho = 0.3⋅ m
recub = 5 ⋅ cm vuelo =
zapatalargo − pila largo 4
vuelo = 0.425 m < zapataalto =>
RÍGIDA
2
mm
Densidades
como valor de la aceleración de la gravedad tomamos
N
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Consideramos que el terreno que cubre la zapata se mantendrá terrenoalto = 0.5⋅ m a lo largo de la vida de la zapata. Calculamos los volúmenes. 3
zapatavol = zapatalargo⋅ zapataancho⋅ zapataalto
zapatavol = 2 m
pila vol = pila largo⋅ pila ancho⋅ pila alto
pila vol = 0.045 m
3
(
)
terrenovol = zapatalargo⋅ zapataancho − pila largo⋅ pila ancho ⋅ terrenoalto
3
terrenovol = 1.955 m
Calculamos los pesos. zapatapeso = hormidensi ⋅ zapatavol⋅ graved
zapatapeso = 49 kN
pila peso = hormidensi ⋅ pila vol⋅ graved
pila peso = 1.103 kN
terrenopeso = terrenodensi ⋅ terrenovol⋅ graved
terrenopeso = 34.486 kN
Calculamos el peso del conjunto sin cargas exteriores aplicadas. pesoSinCarga = zapatapeso + pila peso + terrenopeso
pesoSinCarga = 84.589 kN
Acciones externas Como ejemplo, solo se consideran dos acciones externas: una de peso propio de la estructura a cimentar, y otra de sobrecarga.
peso propio PP verti = 800 ⋅ kN
PP mom = 0 ⋅ kN⋅ m
PP horiz = 50.⋅ kN
sobre carga SCverti = 100.⋅ kN
SCmom = 100 ⋅ kN⋅ m
SChoriz = 200 ⋅ kN
Hipótesis para el equilibrio Consideraremos dos hipótesis para los estados de equilibrio, una con sobrecarga y peso propio y otra solo con el peso propio. Para el equilibrio, no mayoramos ninguna carga.
hipóteis 1
cargahoriz1 = PP horiz + SChoriz
cargamom1 = PP mom + SCmom
vertiTotal1 = pesoSinCarga + PP verti + SCverti vertiTotal1 = 984.589 kN
hipóteis 2
cargahoriz2 = PP horiz vertiTotal2 = pesoSinCarga + PP verti
cargamom2 = PP mom vertiTotal2 = 884.589 kN
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Coeficiente de seguridad al vuelco El momento de vuelco lo calculamos en la parte inferior externa de la zapata para todas las hipótesis.
hipótesis 1
(
)
momvuelco1 = zapataalto + pila alto ⋅ cargahoriz1 + cargamom1
γ vuelco1 =
vertiTotal1 ⋅
momvuelco1 = 350 kN⋅ m
zapatalargo 2
γ vuelco1 = 2.813
momvuelco1
hipótesis 2
(
)
momvuelco2 = zapataalto + pila alto ⋅ cargahoriz2 + cargamom2
γ vuelco2 =
vertiTotal2 ⋅
momvuelco2 = 50 kN⋅ m
zapatalargo 2
momvuelco2
γ vuelco2 = 17.692
Como era de esperar, la condición con sobrecarga es mas restrictiva. El mínimo coeficiente es alto (mayor que 2.0). Se podrían bajar las dimensiones de la zapata pero antes vamos a ver las tensiones máximas sobre el terreno.
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Cálculo de las tensiones sobre el terreno Consideramos una distribución lineal y triangular de las tensiones sobre el terreno. Hay códigos que consideran una distribución rectangular de las tensiones, pero no es nuestro caso.
hipótesis 1 momvuelco1 excen1 = vertiTotal1
excen1 = 0.355 m
zapatalargo 6
= 0.333 m
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es mayor que 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que hay "despegue". La fórmula a utilizar es:
σ 1d =
2 ⋅ vertiTotal1
⎛ zapatalargo
3⋅ ⎜
⎝
2
σ 1d = 509.209
⎞ ⎠
− excen1⎟
kN
⋅
1 zapataancho
σ 1i = 0.
2
m x1 =
⎛ zapatalargo ⎞ ⎜ − excen1⎟ ⋅ 3 2 ⎝ ⎠
x 1 = 1.934 m
El porcentaje de superficie en contacto con el terreno es porcen 1 =
x1 zapatalargo
⋅ 100
porcen 1 = 96.678
hipótesis 2 momvuelco2 excen2 = vertiTotal2
excen2 = 0.057 m
zapatalargo 6
= 0.333 m
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es menor que 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que no hay "despegue". La fórmula a utilizar es: momvuelco2 ⎞ ⎛ vertiTotal2 1 ⎟⋅ σ 2d = ⎜ + 6⋅ 2 zapata zapata ⎜ ancho largo zapatalargo ⎟ ⎝ ⎠
σ 2i =
momvuelco2 ⎞ ⎛ vertiTotal2 1 ⎜ ⎟⋅ − 6⋅ 2 zapataancho ⎜ zapatalargo zapatalargo ⎟ ⎝ ⎠
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σ 2d = 258.647
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kN 2
σ 2i = 183.647
m
kN 2
m
La hipótesis 1 es claramente la que produce mayores tensiones en el terreno. En este caso, algo elevadas para lo que suele ser habitual, aunue vamos a suponer que disponemos de un buen terreno con una tensión máxima admisible mayor que la mayor obtenida. El despegue es muy pequeño, no llega al 4%, y lejos del 25% que consideramos máximo admisible.
Cálculo de la armadura a flexión Los coeficientes de mayoración de cargas son los correspondientes a nivel de control normal. La hipótesis considerada es la de peso propio mas sobrecarga. cargaD horiz1 = 1.5PP horiz + 1.6SChoriz cargaD mom1 = 1.5⋅ PP mom + 1.6SCmom Primero aplicamos todas las cargas y obtenemos la armadura inferior. Luego aplicamos solo las cargas uniformemente repartidas (peso propio de la zapata y del terreno) y obtenemos la armadura que se restará de la anterior. Para el cálculo de las reacciones, obtenemos primero las leyes de tensiones como en el apartado anterior (pero con las cargas mayoradas). vertiTotalD1 = 1.5pesoSinCarga + 1.5⋅ PP verti + 1.6⋅ SCverti
(
)
momTotalD1 = zapataalto + pila alto ⋅ cargaD horiz1 + cargaD mom1 momTotalD1 = 555 kN⋅ m
excenD1 =
momTotalD1 vertiTotalD1
excenD1 = 0.373 m
3
vertiTotalD1 = 1.487 × 10 kN
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σD1d =
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2 ⋅ vertiTotalD1
1
⋅
kN
⎛ zapatalargo ⎞ zapataancho σD1d = 790.808 2 − excenD1⎟ 3⋅ ⎜ m 2 ⎝ ⎠ σD1i = 0.
xD1 =
⎛ zapatalargo ⎞ ⎜ − excenD1⎟ ⋅ 3 2 ⎝ ⎠ zapatalargo
ladoi = xD1 −
ladoi = 0.88 m
2
σD1d⋅ ladoi
σm =
xD1 = 1.88 m
σ m = 370.212
xD1
kN 2
m
A partir de las leyes de tensiones obtenemos las fuerzas resultantes en cada mitad de la base de la zapata. Este cálculo es algo engorroso: partiremos de las áreas de las leyes y sus centros de gravedad para obtener las resultantes y sus puntos de aplicación. adt =
1
(
)
⋅ σD1d − σ m ⋅ 2
adc = σ m⋅
zapatalargo 2
zapatalargo 2
(
)
zapatalargo 2
−
1 zapatalargo ⋅ 2 3
b dt = 0.333 m
b dc =
1 zapatalargo ⋅ 2 2
b dc = 0.5 m 6
Rd = adt + adc ⋅ zapataancho
bd =
b dt =
Rd = 1.161 × 10 N
⎛ adt⋅ bdt + adc⋅ b dc ⎞ ⎜ ⎟ adt + adc ⎝ ⎠
b d = 0.56 m
Para el cálculo de "d" suponemos un diámetro incial de armadura inferior de φ16: diam = 16⋅ mm d = zapataalto − recub −
diam
d = 0.442 m
2
A partir de las fórmulas de la EHE para zapatas rígidas obtenemos el área de acero necesario.
Td =
Ast =
Rd 0.85⋅ d
(
⋅ b d − 0.25⋅ pila largo
)
Td 400 ⋅
Ast = 37.499 cm
N 2
mm
3
Td = 1.5 × 10 kN
2
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Aunque en este caso los pesos de la zapata y el terreno a restar son pequeños respecto al total, los restamos igualmente a modo de ejemplo. El peso de la pilastra no se incluye ya que no se trata de una carga uniformemente distribuida sobre la zapata. Le aplicamos el mismo coeficiente de seguridad que en la hipótesis que combina todas las cargas.
Rresta = 1.5⋅
pesoSinCarga − pila peso 2
Rresta = 62.615 kN
b dr =
Tdr =
Asr =
1 zapatalargo ⋅ 2 2
Rresta 0.85⋅ d
(
b dr = 0.5 m
⋅ b dr − 0.25⋅ pila largo
)
Tdr = 70.831 kN
Tdr
Asr = 1.771 cm
N
400 ⋅
2
2
mm
El área de acero final necesario es:
As = Ast − Asr
As = 35.728 cm
Cuantía geométrica mínima Tomando la indicada en la EHE para las vigas cgm =
2.8 1000
⋅ zapataalto ⋅ zapataancho
cgm = 28 cm
Cuantía menor que la obtenida anteriormente.
2
2
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Armado final Tomando diámetros de
φ = 20⋅ mm
2
areaΦ =
⎛ φ ⎞ ⋅π ⎜ ⎟ ⎝2⎠
As areaΦ
= 11.373
con 12 barras es suficiente. As1 = 12⋅ areaΦ La separación final es: separ = que cumple
As1 = 37.699 cm
zapataancho − 2 ⋅ recub − 12⋅ φ 12 − 1
2
separ = 15.091 cm
es mayor que 2 cm es mayor que el diámetro Φ es mayor que 1.25*tamaño máximo del árido (suponemos un árido máx. de 20 mm) es menor que 30 cm
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