TEXTO Nº 2

ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO

Conceptos Básicos Cálculo de Errores Ajuste de una Recta

Edicta Arriagada D. Victor Peralta A Diciembre 2008 Sede Maipú, Santiago de Chile

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Introducción El objetivo fundamental de esta unidad es aplicar los conceptos fundamentales de Teoría de Error; para lo cual comenzaremos dando una explicación de la Teoría de Errores, lo más somera posible y fundamentalmente práctica, que pueda servir al alumno cuando efectúe sus trabajos teóricos o prácticos en el Laboratorio de Física, y tener en todo momento conciencia de la realidad de los valores que va determinando y entre que límites se está moviendo con relación al valor verdadero de los valores que obtiene. Por mucho que sea la diligencia y cuidado al realizar cualquier determinación práctica física, y por muy sensibles y precisos que sean los aparatos utilizados, es prácticamente imposible el evitar errores, considerando a éstos como la variación entre los valores hallados y el real o verdadero, el cual generalmente nos es desconocido. Tampoco el error, aunque lo conociéramos, nos daría una medida cierta de su importancia, ya que ésta dependerá no de la magnitud de dicho error, sino de la magnitud de la medida a valorar y de la necesidad de aproximación a su valor real. Una diferencia, por ejemplo, de 0,1 mm en la medida del espesor de un cabello, no se podrá considerar como buena, pero esa misma diferencia en la medida de la distancia entre Santiago y Valparaíso podría considerarse como extraordinaria. No se entrara en desarrollos matemáticos complejos en esta explicación, sino que va a definir los errores que servirá al alumno para saber en que grado de aproximación se encuentra con el valor verdadero, apoyándose en las mediciones obtenidas. Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisión debida a las imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos, que deben registrar la información. El principal

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objetivo de la teoría de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones denominadas errores experimentales.

Instrumentos de medida: exactitud, precisión y sensibilidad La parte fundamental de todo proceso de medida es la comparación de cierta cantidad de la magnitud que deseamos medir con otra cantidad de la misma que se ha elegido como unidad patrón. En este proceso se utilizan los instrumentos de medida que previamente están calibrados en las unidades patrón utilizado. Un instrumento de medida se caracteriza por los siguientes factores: •

Exactitud: Se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el valor experimental, de modo que un aparato es tanto más exacto cuanto más aproximado es el valor de la medida realizada al valor verdadero de la magnitud medida.

•

Precisión: Hace referencia a la concordancia entre varias medidas de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Es por tanto un concepto relacionado con la dispersión de las medidas, de modo que un aparato será tanto más preciso cuanto menor sea la diferencia entre distintas medidas de una misma magnitud

•

Sensibilidad: Es la variación de la magnitud a medir que es capaz de apreciar el instrumento. Mayor sensibilidad de un aparato indica que es capaz de medir variaciones más pequeñas de la magnitud medida.

Clasificación de los errores El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores siguen una ley determinada y su origen reside en múltiples causas, y respecto a ellas se pueden clasificar en dos grandes grupos:

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1. Errores sistemáticos: Tienen que ver con la metodología del proceso de medida (forma de realizar la medida): •

Calibrado del aparato. Normalmente errores en la puesta a cero. En algunos casos errores de fabricación del aparato de medida que desplazan la escala. Una forma de arreglar las medidas es valorando si el error es lineal o no y descontándolo en dicho caso de la medida.

•

Error de paralaje: cuando un observador mira oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un líquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar perpendicularmente la escala de medida del aparato.

2. Errores accidentales o aleatorios: Se producen por causas difíciles de controlar; por ejemplo momento de iniciar una medida de tiempo, colocación de la cinta métrica, etc. Habitualmente se distribuyen estadísticamente en torno a una medida que sería la correcta. Para evitarlo se deben tomar varias medidas de la experiencia y realizar un tratamiento estadístico de los resultados. Se toma como valor o medida más cercana a la realidad la media aritmética de las medidas tomadas.

Cálculo de errores: Error Absoluto, Error Relativo. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: •

Error absoluto (Ea.): Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto (valor verdadero o valor probable). Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior a

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el, (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Si llamamos x a la medición y V al valor verdadero o valor probable, el error absoluto será:

Ea = x − V Observación: Se define también como error absoluto de una magnitud tomada de un conjunto de datos, como la semi diferencia entre los valores extremos (el mayor valor menos el menor valor de las mediciones realizadas, es decir.

Ea = •

xMayor − xMenor 2

Error relativo (Er): Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor verdadero o probable. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error o error porcentual. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. El "Error Relativo", definido por el cociente entre el error absoluto y el valor real, está dado por la fórmula:

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El Error Porcentual se obtiene al multiplicar por 100 el Error Relativo; es decir:

Error Porcentual =

∙ 100%

Cálculos con datos experimentales: En las Ciencias Experimentales, las reglas que generalmente se adoptan en el cálculo con datos experimentales son las siguientes: •

Una medida se deberá repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental.

•

Se tomará como valor real o valor probable (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados o promedio de las mediciones.

•

El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).

•

El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).

Ejemplo 1.- Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s  Valor que se considera exacto o real (V): V=

3,01 + 3,11 + 3,20 + 3,15 12,47 = = 3,1175 ≈ 3,12 s 4 4

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 Errores absoluto y relativo de cada medida: Medidas 3,01 s 3,11 s 3,20 s 3,15 s

Errores absolutos 3,01 - 3,12 = - 0,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s

Errores relativos -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%) -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%) +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%) +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)

Ejemplo 2: En el siguiente cuadro se muestran los resultados de siete mediciones de distancia (N=7) recorrida por un carrito de laboratorio:

Medición

Medición (x)

N° 1

cm 2,83

2

2,85

3

2,87

4

2,84

5

2,86

6

2,84

7

2,86

7

Determinar: a) El valor probable o verdadero (V). b) Error absoluto, error relativo y error porcentual de la 3° y 4° medición. c) Comparar los errores y decir que medida es mejor d) Calcula la distancia más probable y el error cometido

Solución (a) Valor probable o verdadero V V=

2,83 + 2,85 + 2,87 + 2,84 + 2,86 + 2,84 + 2,86 19,95 = = 2,85 7 7

Es decir: Valor Verdadero V= 2,85cm. Solución (b)

Cálculo del error absoluto de las mediciones 3 y 4 Si

x3= 2,87

y V= 2,85 al reemplazar en Ea = x – V

Se obtiene el error absoluto: Ea3= 2,87 – 2,85 Ea3= 0,02

8

Si

x4= 2,84

y V= 2,85 al reemplazar en Ea= x – V

Se obtiene el error absoluto: Ea4= 2,84 – 2,85 Ea4= - 0,01 Cálculo del error relativo de las mediciones 3 y 4 Si

V= 2,85

y Ea3=0,02 al reemplazar en

Er =

Ea x

Se obtiene el error relativo: Er =

0,02 2,85

Dividiendo se obtiene el error relativo:

E r = 0,007 Si

V= 2,85

y Ea4=-0,01 al reemplazar en

Er =

Ea x

Se obtiene: Er =

- 0,01 2,85

Dividiendo se obtiene el error relativo: E r = −0,0035

Cálculo de error porcentual de la medida 3 E 3 Porcentual = E r ⋅ 100 Entonces:

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E 3 Porcentual = 0,007 ⋅ 100 = 0,7% Cálculo de error porcentual de la medida 4 E 4 Porcentual = E r ⋅ 100 E 4 Porcentual = −0,0035 ⋅ 100 = 0,35%

Solución (c) Como el error de la tercera medición es un error por exceso de un 0,7% y el de la cuarta medición es un error por defecto de un 0,35%. Se puede afirmar que la mejor medición es la cuarta Solución (d)

Para el cálculo del error absoluto de todas las mediciones aplicaremos la dispersión de las medidas (método estadístico) El Valor Verdadero de la medición es V= 2,85cm Cálculo de la desviación media o error absoluto de las mediciones Ea = Ea =

∑ x−V N

(2,83 − 2,85) + (2,85 − 2,85) + (2,87 − 2,85) + (2,84 − 2,85) + ... ... + (2,86 − 2,85) 7 Ea =

0,08 = 0,011 ≈ 0,01 7

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El resultado anterior significa que el carrito recorrió una distancia de 2,85 metros y en la medición se produce un error absoluto de aproximadamente 0,01m

Cifras significativas: Las cifras significativas de una medida están formadas por los dígitos que se conocen no afectados por el error, más una última cifra sometida al error de la medida. Así, por ejemplo, si decimos que el resultado de una medida es 3,72 m, serán significativas las cifras 3, 7 y 2; donde los dígitos 3 y 7 son cifras exactas y el dígito 2 puede ser erróneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta las centésimas de metro (centímetros), aquí es donde está el error del aparato y de la medida. Por tanto, el alumno ha de tener en cuenta: •

Que en física y en química el número de dígitos en el resultado de una medida (directa o indirecta) es importante. No se puede anotar todos los dígitos que da la calculadora. Los resultados no pueden ser más precisos que los datos de donde se obtienen, es decir, los resultados deben tener tantas cifras significativas o menos que los datos de procedencia.

•

No es lo mismo 3,70 m que 3,7 m. En el primer caso queremos decir que se ha precisado hasta la centésima mientras que en el segundo caso sólo hasta la décima, es decir la primera medición es más precisa. decímetros.

•

Un aparato de medida debería tener el error en el último dígito que es capaz de medir. Así si tengo una regla cuya escala alcanza hasta los milímetros, su error debería ser de más o menos algún milímetro. Si el error lo tuviese en los centímetros no tendría sentido la escala hasta los milímetros.

Cuando el resultado de una operación matemática nos dé como resultado un número con demasiados dígitos hemos de redondearlo para que el número de cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.

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Ejemplo. Se mide cinco veces la distancia entre dos puntos y se obtienen como resultados 4,56 m; 4,57 m; 4,55 m; 4,58 m; 4,55 m. Si calculamos la media aritmética (sumamos todas las medidas y dividimos por el total de medidas, cinco en este caso) da como resultado 4,562 m. Como el aparato no sería capaz de medir milésimas, redondeamos y nos queda 4,56 m como medida real.

EJERCICIOS RESUELTOS – TEORIA DE ERRORES 1)

Un alumno quiere determinar el volumen de gas desprendido, para ello realiza la experiencia cuatro veces. Los resultados obtenidos son: 100,0 cm3 ; 98,0 cm3 ; 101,0 cm3 ; 97,0 cm3 Determinar el error absoluto y relativo de la medida 101,0 cm3 Valor real o probable del volumen del gas V : V=

(100,0 + 98,0 + 101,0 + 97,0)cm 3 4

= 99cm 3

Error absoluto E a : Ea = x − V

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E a = 101,0 − 99,0 E a = 2,0

Error relativo E r : Er =

Er =

Ea ⋅ 100 V

2,0 ⋅ 100 = 0,0202 ⋅ 100 = 2,02% 99,0

2) Calcular el error absoluto, si al medir 10,2537 gr. de una sustancia se obtiene un valor de 10,2100 gr. Solución: Cálculo de error absoluto de la medición Como x= 10,2100 y la medida verdadera es V= 10,2537, se obtiene Ea = x − V E a = 10,2100 − 10,2537 E a = −0,0437 El signo negativo significa que es un error por defecto.

3) Calcular el error relativo cometido si al medir 10,2357gr de una sustancia obtenemos un valor de 10,21gr.

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Solución: El error relativo se define como E r =

Ea V

Y E a = x − V = 10,21 - 10,2357 = −0,0257 Entonces el error relativo es: Er =

- 0,0257 = −0,00251 10,2357

Es decir el error porcentual de la medición es de un -0,251%

4) Al medir una mesa con una cinta métrica de 1mm de resolución se obtiene un resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometido Solución: El valor real de la medición corresponde a: V = 115,2cm y el error absoluto corresponde a: E a= 1mm = 0,1cm Como el error relativo se define

Er =

Ea al reemplazar los datos se V

obtiene: Er =

0,1 = 0,000868 115,2

Es decir el error porcentual es de 0,0868%

5) Al masar 2,2558 kg de una sustancia obtenemos un valor de 2,24kg. Hallar el error absoluto y el error relativo porcentual de esta medida. Solución:

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Cálculo del error absoluto: E a = x − V E a = 2,24kg − 2,2558kg E a = −0,0158

Cálculo del error relativo porcentual: E r = EP =

Ea ⋅ 100 V

− 0,0158 ⋅ 100 = −0,700 2,2558

Es decir, el error porcentual corresponde a un 0,7% por defecto

6) Al masar un objeto tres veces hemos obtenido los siguientes resultados: 20,08g, 19,87g y 20,05g. Calcular el error absoluto y relativo de la segunda medición. Solución: Cálculo del valor probable o verdadero V V =

(20,08 + 19,87 + 20,05)g 3

= 20,00 g

Cálculo del error absoluto E a = 19,87g – 20,00g E a = 0,13g Cálculo del error relativo porcentual EP =

− 0,13 ⋅ 100 = −0,65% 20,00

Es decir el error por defecto de la segunda medición es de 0,65%

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7) Tres personas han medido la distancia recorrida por un móvil y han anotado los siguientes resultados: 37,5 m, 37,8 m y 37,4 m. Calcular la medida más probable, el error absoluto y relativo cometido en la medición. Solución: Medida más probable:

V =

∑x N

i

=

37,5 + 37,8 + 37,4 = 37,566 ≈ 37,6 3

Es decir la distancia medida más probable es aproximadamente de 37,6 cm.

Error absoluto: En este caso como existe un conjunto de datos, se utilizará la semi diferencia entre los valores máximo y mínimo, es decir: Ea =

x Mayor − x Menor 2

=

37,8 − 37,4 = 0,2 2

Error relativo: Er =

Ea 0,2 = = 0,0053 V 37,6

Esto significa que en la medición se ha cometido un error por exceso de 0,53%

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AJUSTE DE UNA RECTA Muchas veces se deben representar los datos obtenidos en una medición y hallar la función que describe su comportamiento. Cuando esta función es una recta de la forma y=mx +n, se emplea el Método de los Mínimos Cuadrados, que nos da el valor de los coeficientes m y n con su error, es decir:

(1)

m=

N ⋅ S XY − S X ⋅ S Y N ⋅ S XX − S X ⋅ S X

(2)

n=

S XX ⋅ S Y − S X ⋅ S XY N ⋅ S XX − S X ⋅ S X

Donde:

S XY = ∑ xi ⋅ yi S XX = ∑ xi ⋅ xi = ∑ ( xi )2

S X = ∑ xi

, SY = ∑ yi

Para medir la calidad de este ajuste, es decir, si los datos están más o menos cerca de los valores teóricos que nos da la recta calculada, se emplea el coeficiente de correlación (r), que está acotado entre -1 y 1. Este coeficiente es tanto mejor cuanto más se acerque a alguno de estos valores y peor cuanto más se acerque a cero. La fórmula de coeficiente de correlación es: r=

[N ⋅ S

N ⋅ S XY − S X ⋅ S Y XX

][

− (S X )2 ⋅ NS YY − (S Y )2

]

Supongamos que hemos obtenido N medidas independientes de dos magnitudes físicas x e y, y que teóricamente, están relacionadas por medio de una cierta función en la que aparecen varios parámetros: Y = f(x, a, b) Donde:

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•

a, b son parámetros, que pueden representar magnitudes físicas constantes.

•

(Xi , Yi) con i = 1,2, …

…, n medidas experimentales.

Ejemplo: Y = a x + b. Una función de este tipo la encontramos en la práctica de un Movimiento Rectilíneo Uniforme, donde Y es la distancia d recorrida por un móvil; x el tiempo t empleado en recorrerla. El parámetro a será entonces, la velocidad media o constante del móvil que designamos por v m y b debe ser nulo, lo que expresamos: d = vm ⋅ t Para fijar ideas vamos a efectuar un ajuste a una recta, cuya función es Y = a x + b , cuyos datos y cálculos están representados en la siguiente tabla i 1 2 3 4 5 6 7 8 N=8

Xi 1 2 3 5 6 8 9 10 SX = 44

Yi 1,5 2,0 4,0 4,6 4,7 8,5 8,8 9,9 SY = 44

Xi Yi 1,5 4,0 12,0 23,0 28,0 68,0 79,2 99,0 SXY = 314,9

2

X i 1,0 4,0 9,0 25,0 36,0 64,0 81,0 100,0 SXX =320

2

Y i 2,25 4,00 16,00 21,16 22,09 72,25 77,44 98,01 SYY =313,2

(n+mX i - Y i) 0,042 0,052 0,699 0,187 1,606 0,440 0,000 0,037 S = 3,063

Parámetros de ajuste:

m=

n=

N ⋅ S XY − S X ⋅ S Y 8 ⋅ 314,9 − 44 ⋅ 44 = = 0,935 8 ⋅ 320 − 44 ⋅ 44 N ⋅ S XX − S X ⋅ S X

S XX ⋅ S Y − S X ⋅ S XY 320 ⋅ 44 − 44 ⋅ 314,9 = = 0,36 8 ⋅ 320 − 44 ⋅ 44 N ⋅ S XX − S X ⋅ S X

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2

Cálculo del coeficiente de correlación: r=

[N ⋅ S

N ⋅ S XY − S X ⋅ S Y XX

][

− (S X )2 ⋅ NS YY − (S Y )2

]

Sacando los valores de la tabla se tiene:

r=

8 ⋅ 314,9 − 44 ⋅ 44

[8 ⋅ 320 − (44) ]⋅ [8 ⋅ 313,2 − (44) ] 2

2

= 0,978

Esto significa que el modelo es aceptable ya que representa un 97,8% al ajuste realizado.

Gráfico correspondiente a los datos de la tabla

Y

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Ahora aplicamos los valores de m y n en la nueva recta de regresión: Yi = m ⋅ xi + n para cada punto ( x i , y i ) de la tabla.

xi

Yi = mxi + n

1 2 3 5 6 8 9 10

1,30 2,23 3,17 5,04 5,97 7,84 7,78 9,71

La gráfica con su respectivo ajuste está representada en la siguiente imagen:

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EJERCICIOS PROPUESTOS – CALCULO DE ERROR 1) Determinar el error absoluto y el error relativo, si al pesar 50,06 kg de masa de una sustancia se obtuvo un valor de 50,3 kg Sol: 0,24kg , 0,48% 2) En un circuito cerrado de velocidad se desea determinar el tiempo que tarda un automóvil en pasar de 0 a 100 km /h a máxima potencia. Previamente se asume que la experiencia tendrá errores experimentales difíciles de eliminar, tales como: tiempo de reacción del conductor, respuestas específicas del motor, tiempo atmosférico (humedad, viento), etc. Para intentar reducirlas se ha repetido la experiencia cinco veces, dando como resultado los siguientes tiempos: 11,2 s; 10,9 s; 11,1 s; 11,0 s; 10,8 s. a) ¿Qué cifra debes poner como tiempo que tarda el vehículo en pasar de cero a 100 km / h? b) ¿Cuál es el error absoluto de cada medida? c) ¿Cuál es el error relativo porcentual de cada medida? 3) Para un cubo cuya arista es de 10,5 ± 0,5 cm, calcular el error relativo y porcentual de la superficie y el volumen. Respuesta: 0,095 y 9,52 % 0,143 y 14,3 %

4) Calcular el error absoluto cometido si al pesar 10,2537 g de una sustancia obtenemos un valor de 10,21 g. Respuesta: 0,0437 g

5) Calcular el error relativo y el error relativo porcentual cometido si al pesar 10,2537 g de una sustancia obtenemos un valor de 10,21 g. Respuesta: 0,00426 0,426% 6) Al medir una mesa con una cinta métrica de 1 mm de resolución se obtiene un resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometidos. (Como no podemos calcular la dispersión, el Ea es igual a la resolución del aparato, por tanto: Ea = 0,1 cm.) Respuesta: 0,1 cm. 8,7·10-4 21

7. En el laboratorio se tomaron las mediciones del tiempo (xi) que demora una bolita al desplazarse (yi) en una superficie sin roce, con movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) Completar la tabla, graficar y ajustar la recta resultante

i

xi

yi

xi ⋅ y i

xi 2

yi 2

1 2 3 4 5 6 7 8 N =8

1,0 2,0 3,2 4,1 5,1 6,2 7,0 8,0 Sx =

2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 Sy =

S xy =

S xx

S yy

Solución: i

xi

1 2 3 4 5 6 7 8 N =8

1,0 2,0 3,2 4,1 5,1 6,2 7,0 8,0 S x = 36,6

xi ⋅ y i

xi 2 2,0 2,0 1,0 4,0 8,0 4,0 6,0 19,2 10,24 8,0 32,8 16,81 10,0 51,0 26,01 12,0 74,4 38,44 14,0 98,0 49,0 16,0 128,0 64,0 S y = 72,0 S xy = 413,4 S xx = 209,5 yi

yi 2 4,0 16,0 36,0 64,0 100,0 144,0 196,0 256,0 S yy = 812,0

Ecuación de regresión Y = mx + n = 1,990 x − 0,138

x Y

1,0 1,85

2,0 3,84

3,2 6,23

4,1 8,02

5,1 10,01

6,2 12,20

7,0 13,79

8,0 15,78

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- Fundamentos de Física, Tomo I

- F. Beer – R. Johnston

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Física Addison Wesley, 1995

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