CAPITULO I: FUNCIONES SENCILLAS, GRÁFICOS Y PROPIEDADES. 1. FUNCIÓN LINEAL Se llama función lineal a toda recta cuya ecuación en el plano (x, t) es de la forma x(t)= mt+b, donde m y b son constantes. El valor de m se llama pendiente y el valor de b se l ama coeficiente de posición. Si m=0, entonces la recta es paralela al eje del tiempo (t), que corta el eje x en el punto x=b; si m>0, la recta es creciente como es el caso b) de la Introducción; si m 0, b ≠ 1, ∀ x, y números ii) bx : by = bx-y , ∀ b > 0, b ≠ 1, ∀ x, y números iii) iv)

(b )

x y

= b x y , ∀ b > 0, b ≠ 1, ∀ x, y números (ab)x = ax bx , ∀ a, b > 0, a, b ≠ 1, ∀ x número

4.1. La función “curva de aprendizaje”. Esta función describe la relación entre la eficacia con que un individuo realiza una tarea y la cantidad de instrucción o experiencia que el individuo ha tenido. Esta curva contiene una función exponencial en su definición, y es de amplio uso en Biología. Se define por x(t) = β − α e-kt , α, β, k son constantes positivas. Observe que x(0) = β-α, luego, en general β>α. Además, cuando t crece indefinidamente entonces x(t) se acerca cada vez más al valor β; y como x(t) = β es una recta (paralela al eje del tiempo), entonces esa recta es una asíntota, como puede deducirse de la Fig.9.

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x(t )

β

β−α

t

Figura 9. La curva de aprendizaje.

x(t)

Este comportamiento asintótico refleja el hecho que finalmente un individuo se aproximará a un máximo de eficiencia y que la instrucción adicional tendrá poco efecto sobre los resultados. Un caso particular se tiene cuando α=β=k=1. El gráfico de x(t)=1-e-t es la Fig. 10.

t

Figura 10. Caso particular de la curva de aprendizaje. 4.2. La curva logística Estas curvas, también conocidas como sigmoideas, son modelos bastante precisos del crecimiento de una población cuando los factores ambientales imponen un límite superior al tamaño posible de la población, o en el caso que los índices de natalidad disminuyen cuando la población aumenta, por ejemplo. También describen la propagación de epidemias, casos que estudiaremos más adelante, y como adelantábamos en la Introducción, también aparecen en muchas reacciones químicas y físico-químicas. La curva logística se define por x( t) =

β , donde α,β ,k son constantes positivas. 1 + αe −β kt

Observe que cuando el tiempo transcurre indefinidamente, αe-βkt se acerca al cero; luego la β población es asintótica a la recta x(t)=β. Además, x(0)= sería la información (o dato) 1+ α inicial. El gráfico está dado en la Fig. 11. En Medicina, este tipo de curvas aparecen, por ejemplo, en el estudio del transporte de gases respiratorios (ver [6]). En la Fig. 12 se muestran algunos factores que modifican la facilidad de unión entre la hemoglobina y el oxígeno, los de mayor importancia funcional son la temperatura, la presión de CO2 y la concentración de iones H+. Observe que el aumento de cualquiera de estos factores desvía la curva hacia la derecha y hacia abajo, es decir, disminuye la afinidad de la hemoglobina por el O2. Además, es posible deducir la importancia que la influencia de los tres factores mencionados ejerce sobre la entrega de O2 a los tejidos durante el ejercicio muscular,

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considerando que en esta condición aumenta la PaCO 2 y la temperatura y disminuye el pH a nivel del tejido muscular.

x(t)

β

β/1+α

*

t

Figura 11. La curva logística.

Figura 12. Variaciones de la afinidad de la hemoglobina por el oxígeno según; A: diferentes presiones parciales de CO 2 (24,40 y 80 mmHg), B: diferentes concentraciones de iones H+ (pH 7,2; 7,4; 7,6), y C: variaciones de temperatura (0C).

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