Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre Conjunto de los números racionales Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente (división) entre dos números enteros. Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una y otra representan exactamente el mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras decimales o es periódica. a)

22  2, 444... 9

b)

15  7,5 2

1 c)   0,1666.... 6

d) 

12  2, 4 5

Los números irracionales son aquellos que no puede ser expresados como un cociente entre dos números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas. Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales. a)

2  1, 41423...

b)

7  2,545751...

c)

3

4  1,587401...

d)

5

18  1, 782602...

Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación, los inventamos siguiendo alguna regla y teniendo especial cuidado que no se repita. a)

4,369121518...

c) 3,1122334455...

b) 0,123456789...

d) 25,102030405060...

Operaciones con números racionales Al efectuar la división no exacta entre dos número enteros puede suceder que:  El resto de la división sea cero; en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número finito de cifras decimales (expresiones decimales finitas o exactas) a)

3  3: 4  0, 75 4

b)

11  11: 5  2, 2 5

1 c)   1: 8  0,125 8



El resto nunca se anule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras decimales del cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas). 1 3 1  1: 3  0, 3  1: 45  0, 02 a) b)   3:11  0, 27 c) 3 11 45 Para transformar una expresión periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma el número decimal, sin coma y se le resta la parte periódica, en el denominador, tantos nueves como cifras decimales periódicas tenga la expresión, seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas contenga. 23  2 21 7 412  4 408 136 46  4 42 7       a) 2,3  c) 4,12  e) 0, 46   9 9 3 99 99 33 90 90 15 152  15 137 3215  321 2894 1447    b) 15, 2   f) 3, 215  5 1 9 9 900 900 450  d) 0, 05  90 18 Operaciones con fracciones Para sumar o restar fracciones hay que transformarlas en fracciones equivalentes de igual denominador y luego sumar y/o restar los numeradores. 1

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1 2 5 4 9     2 5 10 10 10 3 5 6 5 1 b)     4 8 8 8 8

1 1 12 11 2    6 6 6 6 1 2 3 12 8 1 d) 1       4 3 12 12 12 12

a)

c)

Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí, aplicando la regla se los signos.

2 1 2   5 3 15

a)

2 10 20 b)     3 3 9

c)

4  15  60 3       5  8 40 2

Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor. a)

4 7 4 3 12 :    5 3 5 7 35

 4  7  21 c) 3:     3       7  4 4

1 5 1 6 6 3 b)  :        2 6 2 5 10 5

Potenciación y radicación La potenciación es una operación entre dos números “a” y “n”, llamados base y exponente respectivamente, y es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales. a n  a  a  a  a  a...a n veces

a) 23  2  2  2  8 4 b)  3   3   3   3   3  81

2 16 4 4 4 4 d)          2  49 7 7 7 7

c) 0, 22  0, 2  0, 2  0,04

23 8  2  2  2  2 e)                  3   3 27  3  3  3  3

2

3

Propiedades de la potenciación

a n  a m  a nm a n : a m  a nm

Producto de potencias de igual base Cociente de potencias de igual base

a 

n m

Potencia de otra potencia

 a n m

 a  b   a n  bn n  a : b   a n : bn n

Distributiva de la potencia respecto de la multiplicación Distributiva de la potencia respecto de la división Exponente negativo Si el exponente es un número negativo, se define a a) 31  b)

 2 

2

1 3

2



1

 2 

2

1  4

n

1 a  n   a b

3

125  4  5 d)          64  5  4

2

b   a

n

2

 2  3 9 c)         4  3  2 3

n

e)

 3

3

4



1

 3

3



4  1 f)      2   16  2

1 27

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Radicación La radicación es una operación entre dos números “a” y “n”, llamados base e índice, respectivamente. n a  b  bn  a

25  5  52  25 b)

a)

4

81  3  34  81

3

c)

64  4   4   64 d) 3

5

32  2   2   32 5

La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y la del denominador de la misma. 25 25 5 27 3 27 3 16 4 16 2    3    a) b) 3 c) 4 64 8 81 4 81 3 64 8 8 2 Propiedades de la radicación 1

La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: e)

5 5

1 2

f) 7  7 3

1 3

3

g)

x x 2

2 3

h)

n

a  an

4

5  1 4  x x5

Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación. 1

a. Raíz de raíz.

n

1  1 n m a   a m   a n m  n m a  

b. Distributivita respecto de la multiplicación. c. Distributivita respecto de la división.

n

4

i.

52  5

e. Eliminación del radical.

a) b)

3

4

a  b   a  b  a  b  n a  n b 1 n

m:r

a m  a n  a n:r  n:r a m:r  r  0 6

ii.

8  6 23  2

n

a n  a  n es impar

n

a n  a  n es par

c)

iii.

5

5

27  3 33  3

f. Amplificación de índices.

m n

a a a m

6  22 612  4 62  4 36

i. ii.

3

4  33 223  9 26  9 64

iii.

5

x3  54 x34  20 x12

3

m p n p



n p

12

81  12 34  3 3

32  5  2   2

16  4 24  2  2

n

1 n

n a a a a    1  n b b b bn

25  52  5  5

a)

1 n

1 n

1 n

m

n

d. Simplificación de índices.

n

a m p  p  0

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Números irracionales. Radicales. Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Como ya hemos visto, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales. Denominaremos radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga solución real. Representación gráfica Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real. Para b representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es de la forma a , se debe recurrir al teorema de Pitágoras: a2  b2  c2

a c

a) Representación de 2 . Se determina sobre la recta un triángulo isósceles cuyos catetos midan 1. El valor de la hipotenusa es:

12  12  2

b) Representación de 3 . Se determina sobre la resta un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 2 , respectivamente. El valor de la hipotenusa es:

 2

2

 12  3

c) Representación de 5 . Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 2, respectivamente. El valor de la hipotenusa es: 11  22  5

De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada de un número natural, siempre que se elijan convenientemente los catetos del triángulo rectángulo. Extracción de factores del radical Existen factores, dentro del radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es mayor o a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la potenciación y radicación. a) b)

3

16 x7  3 24  x6  x  3 23 3 2 3 x6 3 x  2 3 2 x 2 3 x  2 x 2 3 2 x

75x3 y 4 z  523x2 xy 4 z  52 x 2 y 4 3xz  5xy 2 3xz 4

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre c)

5

128 5 5 25 22 5 5 25 y  y  5 243 35 3 2

d)

2

8x 2 x  3 y y2

2

2 2x  y y

5

y

5 5

2 

5

25

5

5

2

5

3

y 5 5 22 

2 5 y 4 3

2 y

Adición y sustracción de radicales Radicales semejantes Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando. Términos con radicales semejantes:

3 y 5 3 ;  2 3 2 y 4 3 2 ; 3 4 x3 y  8 4 x3

Términos con radicales no semejantes:  3 7 y 2 7 ; 5 3 y 7 2 ;  4 4 3 y 9 3 4 Adición y sustracción de radicales Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes. a) 3 2  5 2  2   3  5  1 2  7 2 b) 5 3  2 5  3 3  7 5  5  3 3   2  7  5  8 3  5 5 Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión. 3 2  5 32  7 8  9 50  3 2  5 25  7 23  9 52  2  3 2  5 2 4 2  7 2 2 2  9 52 2

a)

 3 2  5  22 2  7  2 2  9  5 2   3  20  14  45  2  48 2

4 3  6 4 25  8 27  20  4 3  6 4 52  8 32  3  22  5  4 3  6 5 83 3  2 5

b)

  4  24  3   6  2  5  20 3  4 5 Multiplicación de radicales de igual índice a) 3 2  5 2 b) c) d)

  





2  8  2 2  2 8  4  16  2  4  6



75  27 : 3  75 : 3  27 : 3  25  9  5  3  2

   3   2 3 5   5   3  2 15  5  8  2 3  8  3    8    3   8  3  5

3 5

8

2

2

2

2

15

2

Multiplicación y división de radicales Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice. 5

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre Para que los índices de dos o más radicales sean iguales se debe calcular el MCM de los índices de los radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice.

Reducir a mínimo común índice los siguientes radicales: a) 5 y 3 7  MCM(2;3) = 6 ambos radicales deben tener índice 6

5  23 513  6 125 b)

7  32 712  6 49

x  MCM(4;8) = 8 ambos radicales deben tener índice 8

4

a3 y

4

a3  42 a32  8 a6 y

8

3

y

8

x

Multiplicación y división de radicales de distinto índice Para multiplicar o dividir radicales de distintos índice, se los debe reducir a común índice y luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multiplicación y división. n a na n  a n b n c ... n d  n a  b  c...d n b b

2 3 2  23 213 32 212  6 23 6 22  6 2322  6 25

a) b) c) d)

3

x2 4 x3 3  34 x24 43 x33  12 x8 12 x9  12 x8 x9  12 x17  12 x12 x5  x12 x5

4

23

6

25

4

m3

5

m2

 

43

233

62

252



45

m35

54

m24

12

29

12

210



 12

20

m15

20

m8

29 12 1  210 2

 20

m15 20 7  m m8

Racionalización de denominadores Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto, siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales se debe hallar una fracción equivalente a la dada con denominador racional.

Primer caso: en el denominador hay un único radical.

a) Racionalizar

1 2

1 1 2 2 2     2 2 2 2 2 2 3 b) Racionalizar 3 5

3 3

5



3 3

3

52

3

52

2

c) Racionalizar 4

6

5



x3 y 2



3 3 52 3

52  5



3 3 25 3

53



3 3 25 Radicación 5

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre

2 4

x3 y 2

2

 4

x3 y 2



4

xy 2

4

xy 2

2 4 xy 2

 4

x3 y 2 xy 2



2 4 xy 2



x4 y 4

4

2 4 xy 2 xy

Segundo caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2. Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos por su diferencia:  a  b  a  b   a 2  b2 a) Racionalizar

4 5 3

4 4 5 3    5 3 5 3 5 3 

4



5 3 53

  4

b) Racionalizar

5 3 2

2 1 4 6

4



2

 





5 3

5 3





5

 3  5   3 

4



5 3

2

2



5 3 2 52 3

 

 

2 1 4  6 2 1 2 1 4  6 4 2  2 6 4 6     2 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 42  6 

 

4 2  12  4  6 4 2  2 3  4  6 2 1 2 1   2 3  6 16  6 10 5 5 5 10

7