Espacios Vectoriales Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM 17 de junio de 2008

´Indice 15.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Motivaci´ on . . . . . . . . . . . . . 15.3. Abstracci´ on y Generalizaci´on . . . 15.4. Generalizaci´on . . . . . . . . . . . 15.5. El concepto de operaci´ on . . . . . 15.6. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . 15.7. Teoremas sobre espacios vectoriales 15.8. Ejemplos de EV . . . . . . . . . . 15.9. Subespacio Vectorial . . . . . . . .

15.1.

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1 1 3 3 3 4 7 7 12

Objetivos

En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las matrices m × n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.

15.2.

Motivaci´ on

Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la soluci´ on a un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo 15.1 Considere el sistema homog´eneo: x + 2y + w + 2t = 0 2x + 4y − z + w + 5t = 0 x + 2y + z + 2w + t = 0 z+w−t = 0 Si utilizamos el orden x → y → z → w → t la matriz aumentada    1 2 0 1 2 0 1 2  2 4 −1 1   0 0 5 0  →  1 2  0 0 1 2 1 0  0 0 1 1 −1 0 0 0 De donde la f´ ormula para las soluciones son:    x   y      z =y       w  t

−2 1 0 0 0



  +w  

     

−1 0 −1 1 0

reducida queda:  0 1 2 0 1 1 −1 0   0 0 0 0  0 0 0 0



  +t  

     

−2 0 1 0 1

     

Si utilizamos el orden x → y → w  1 2  2 4   1 2 0 0

→ z → t la matriz aumentada reducida queda:    1 0 2 0 1 2 0 −1 3 0  1 −1 5 0  1 −1 0  → 0 0 1   0 0 0 2 1 1 0  0 0 0  1 1 −1 0 0 0 0 0 0 0

De donde la f´ ormula para las soluciones son:    x  y       z =y      w   t

−2 1 0 0 0



  +z  

     

1 0 1 −1 0



  +t  

     

−3 0 0 1 1

     

Si utilizamos el orden x → y → t → z → w la matriz aumentada reducida queda:     1 2 0 2 3 0 1 2 2 0 1 0    2 4 5 −1 1 0   →  0 0 1 −1 −1 0      1 2 0 0 0 0 0 0  1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 1 0 De donde la f´ ormula para las soluciones son:    x   y      z =y       w  t

−2 1 0 0 0



  +z  

     

−2 0 1 0 −1



  +w  

Si utilizamos el orden y → x → z → w → t la matriz aumentada    1 2 1 0 1 2 0 1  2  4 2 −1 1 5 0   → 0 0   2 1 1 2 1 0   0 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 De donde la f´ ormula para las soluciones   x  y     z =x    w  t

son:      

1 −1/2 0 0 0



  +w  

     

0 −1/2 −1 1 0

     

−3 0 0 1 1

     

reducida queda:  1 0 1 0  2 1 1 −1 0   0 0 0 0  0



0

  +t  

0 0

     

0 −1 1 0 1

     

Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto soluci´on. Necesitamos una teor´ıa que nos d´e confianza en los resultados obtenidos; qu´e nos indique las cosas que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las m´ ultiples respuestas v´ alidas en Rn que podemos n obtener. Adem´ as de los conjuntos soluci´ on en R , existen otras a´reas de la ingenier´ıa que requieren un apoyo matem´ atico: las matrices tienen su importancia y uso en ingenier´ıa industrial y en control; las series trigonom´etricas en procesamiento de se˜ nales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los IFIs, etc.. ¿C´ omo desarrollar una teor´ıa comod´ın que se pueda aplicar a diferentes contextos sin ning´ un cambio importante?

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15.3.

Abstracci´ on y Generalizaci´ on

Si se hace una encuesta entre los matem´ aticos sobre que palabras describen a las matem´ aticas se notar´ a que la mayor´ıa responde al menos dos palabras claves: abstracci´on y generalizaci´on. La abstracci´on tiene que ver con representar cantidades por medio de s´ımbolos ,y la generalizaci´on tiene que ver con la construcci´ on de estructuras o teor´ıas que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. La que nos interesa m´ as para abrir este tema es el aspecto de la generalizaci´on. La generalizaci´on tambi´en tiene que ver con la economia del trabajo realizado para investigar, y con determinar cu´ ales son los elementos m´ınimos responsables de que ciertos resultados ocurran.

15.4.

Generalizaci´ on

Para entender como ocurre la generalizaci´on en nuestra materia recordemos algunos conceptos hemos visto en diferentes cursos de matem´ aticas: 1. vectores en el espacio n dimensional (Rn ), 2. matrices con entradas reales (Mn×m ), 3. polinomios reales, 4. series de pontencias, 5. series trigonom´etricas, y 6. soluciones a ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas entre otros elementos. El objetivo que se persigue en el presente tema consiste en introducir aquella estructura abstracta que engloba las anteriores construcciones, y qu´e resultados se pueden obtener en lo general sin importar a cual de las estructuras espec´ıficas se haga referencia.

15.5.

El concepto de operaci´ on

Antes que el concepto de espacio vectorial est´a el concepto de operaci´ on. Veamos algunos ejemplos de on por escalares podr´ıan ser operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicaci´ diferentes de las que conocemos. Lo que es importante recordar es el uso de los par´entesis : sirven para indicar un orden en las operaciones. Ejemplo 15.2 Suponga que V = R2 y que se define la operaci´ on: (x, y) ⊕ (z, w) = (5 x + z, 2 w + 2 y) Si a = (−2, −3) , b = (−1, 3) , c = (−1, −1) Calcule: 1. a ⊕ b = (5 · (x = −2) + (z = −1), 2 · (w = 3) + 2 · (y = −3)) = (−11, 0) 2. b ⊕ a = (5 · (−1) + (−2), 2 · (−3) + 2 · (−1)) = (−7, 0) 3

3. (a ⊕ b) ⊕ c = (−11, −0) ⊕ (−1, −1) = (5 · (−11) + (−1), 2 · (−1) + 2 · (0)) = (−56, −2) 4. a ⊕ (b ⊕ c) = (−2, −3) ⊕ (−6, 4) = (−16, 2) Ejemplo 15.3 Suponga que V = R2 y que se definen las operaciones: (x, y) ⊕ (z, w) = (2 x, 3 w + y) y t ⊙ (x, y) = (2 t x, 3 t y) Si a = (1, 0) , c1 = 1, c2 = −4 Calcule: 1. (c1 + c2 ) ⊙ a = −3 ⊙ (1, 0) = (2(−3)(1), 3(−3)(0)) = (−6, 0) 2. (c1 ⊙ a) ⊕ (c2 ⊙ a) = (2, 0) ⊕ (−8, 0) = (4, 0) 3. (c1 · c2 ) ⊙ a = −4 ⊙ (1, 0) = (−8, 0) 4. c1 ⊙ (c2 ⊙ a) = 1 ⊙ (−8, 0) = (−16, 0)

15.6.

Espacio Vectorial

Definici´ on 15.1 Sea V un conjunto no vac´ıo sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicaci´ on de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o funci´ on que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representar´ a como u ⊕ v. La multiplicaci´ on es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas: (A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v ∈V

(1)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado tambi´en un elemento del conjunto. (A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v =v⊕u

(2)

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. (A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: 4

(3)

En una suma de vectores, no importa el orden c´ omo asocien la sumas entre dos; el resultado ser´ a siempre el mismo. (A4) Existe un u ´nico vector en V que se simbolizar´ a por 0 y que se llamar´ a el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple u⊕0=0⊕u=u (4) Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro: Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento. (A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un u ´nico vector tambi´en en V y simbolizado por −u que cumple u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0

(5)

Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos: Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con ´el da el neutro aditivo. (M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple c⊙u∈V

(6)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicaci´ on por escalares: El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado tambi´en un elemento del conjunto. (M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v)

(7)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores): En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y despu´es sumar los resultados. (M3) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple (a + b) ⊙ u = (a ⊙ u) ⊕ (b ⊙ u)

(8)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares. (M4) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a ⊙ (b ⊙ u) = (a b) ⊙ u

(9)

Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto. 5

(M5) Para cualquier vector u ∈ V se cumple 1⊙u=u

(10)

Cuando se elabora una argumentaci´on en alg´ un c´alculo o demostraci´on uno debe hacer referencia a los axiomas. on. Se le pide al alumno que entienda Por ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripci´ la l´ ogica de cada uno de ellos y memorice sus descripciones. Ejemplo 15.4 Indique cual opci´ on enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto. 1.- (c + k) ⊙ x = (c ⊙ x) ⊕ (k ⊙ x) ← Respuesta 2.- x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x 3.- x ⊕ y = y ⊕ x ← Conmutatividad 4.- c ⊙ x es vector ← Cerradura 5.- x ⊕ (−x) = (−x) ⊕ x = 0 6.- x ⊕ y es vector ← Cerradura  Ejemplo 15.5 Indique cual opci´ on describe la propiedad: x⊕0=0⊕x=x 1.- Cerradura del producto por escalares. 2.- Existencia del neutro de la suma. ← Respuesta 3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores. 4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto. 5.- Asociatividad del producto por escalares. 6.- Existencia del inverso aditivo  Ejemplo 15.6 Apesar que nuestro inter´es no es hacer demostraciones matem´ aticas si es conveniente entender c´omo se construyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es u ´nico. Es decir, que si hay otro vector que cumple la propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro. Justifique los pasos. Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x Por la propiedad (b) se deduce entonces ((−x) + x) + y = (−x) + x Por la propiedad (c) se tiene entonces 0+y =0 6

Finalmente, por la propiedad (d) se tiene y = 0. 1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro Respuesta: la correspondencia es (a)=1,(b)=2,(c)=1,(d)=3 

15.7.

Teoremas sobre espacios vectoriales

Resultados generales sobre espacios generales: Sea V es un espacio vectorial, y sean u ∈ V y c ∈ R, entonces: 1. 0 u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero) 2. c 0 = 0 (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero) 3. c u = 0 implica c = 0 ´ o u = 0 (Cuando el producto de un escalar por un vector da el vector cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero) 4. (−c) u = − (c u) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo del producto del escalar sin el signo por el vector)

15.8.

Ejemplos de EV

Veamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos. Ejemplo EV 1 Sea V = R+ con las operaciones: x ⊕ y = x · y y c ⊙ x = xc , veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Axioma A1: x ⊕ y ∈ V Efectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 y por tanto x ⊕ y = x · y > 0, probando que x ⊕ y ∈ V . Axioma A2: x ⊕ y = y ⊕ x Efectivamente, pues x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de n´ umeros reales. Axioma A3: x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z Efectivamente, pues x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y · z) = x · (y · z) = (x · y) · z = (x · y) ⊕ z = (x ⊕ y) ⊕ z. Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de n´ umeros reales. Axioma A4: Existe en V un neutro para ⊕ Efectivamente, el n´ umero 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 ⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x ⊕ 1. Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V Efectivamente, si x ∈ V es n´ umero, 1/x tambi´en est´a en V = R (Pues si x > 0, tambi´en se cumple 1/x > 0) y cumple la propiedad requerida pues x ⊕ 1/x = x · 1/x = 1 = 1/x · x = 1/x ⊕ x. Axioma M1: c ⊙ x ∈ V Efectivamente, pues si x ∈ V entonces x > 0 y c ⊙ x = xc > 0 para cualquier n´ umero c. (Recuerde que para x > 0, xc = ec ln(x) > 0) Axioma M2: c ⊙ (x ⊕ y) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y) Efectivamente, c ⊙ (x ⊕ y) = c ⊙ (x · y) = (x · y)c = xc · y c = (xc ) ⊕ (y c ) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M3: (c1 + c2 ) ⊙ x = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x) Efectivamente, (c1 + c2 ) ⊙ x = xc1 +c2 = xc1 · xc2 = (xc1 ) ⊕ (xc2 ) = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M4: (c1 · c2 ) ⊙ x = c1 ⊙ (c2 ⊙ x) Efectivamente, (c1 · c2 ) ⊙ x = xc1 ·c2 = (xc2 )c1 = c1 ⊙ (xc2 ) = c1 ⊙ (c2 ⊙ x). Esto vale por la ley de los exponentes 7

con bases positivas. Axioma M5: 1 ⊙ x = x Efectivamente, 1 ⊙ x = x1 = x. Habi´endose cumplido los 10 axiomas, concluimos que V con las operaciones x⊕y =x·y y c ⊙ x = xc s´ı es un espacio vectorial 

Ejemplo EV 2: Rn El conjunto de todas las n-adas con componentes reales Rn : operaciones: La suma: La suma de dos vectores con n componentes es un vector tambi´en con n componentes cuya componente i-´esima es la suma de las componentes i-´esimas de los vectores que se est´an sumando: (xi ) + (yi ) = (xi + yi ) El producto por escalares: El producto de un escalar por un vector de n componentes se tambi´en un vector de n componetes cuya componente i-´esima es el producto del escalar por la i−´esima componente del vector que se multiplica: c · (xi ) = (c · xi ) Axiomas A1 y M1: x + y ∈ Rn y c · x ∈ Rn De la misma definici´ on de la suma y producto por escalares. Axioma A2 : x + y = y + x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar las componente i se tiene xi + yi = yi + xi Axioma A3: x + (y + z) = (x + y) + z Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar las componente i se tiene xi + (yi + zi ) = (xi + yi ) + zi Axioma A4: Existe el vector neutro bajo la adici´ on: Este vector es el vector con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + x = x + 0 = x pues al comparar las i-´esimas componentes se cumple: 0 + xi = xi + 0 = xi Axioma A5: Cada vector de tiene su inverso aditivo: Para cada vector x = (xi ) el vector −x = (−xi ) cumple x + (−x) = (−x) + x = 0 pues al comparar las i-´esimas componentes se cumple: −xi + xi = 0 = xi + −xi Axioma M2: c(x + y) = c x + c y: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar las componentes i se tiene c(xi + yi ) = c xi + c yi

8

Axioma M3: (c1 + c2 )x = c1 x + c2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar las componentes i se tiene (c1 + c2 )xi = c1 xi + c2 xi Axioma M4: (c1 · c2 )x = c1 (c2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar las componentes i se tiene (c1 · c2 )xi = c1 (c2 xi ) Axioma M5: 1 · (xi ) = (1 · xi ) = (xi ) Habi´endose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Rn con las operaciones (xi ) + (yi ) = (xi + yi ) y c(xi ) = (c xi ) s´ı es un espacio vectorial 

Ejemplo EV 3: Mm×n El conjunto de todas las matrices m × n con componentes reales Mm×n : operaciones: La suma: La suma de dos matrices m × n es una matriz tambi´en m × n cuyo elemento (i, j) es la suma de los elementos (i, j) de las matrices que se est´an sumando: (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) El producto por escalares: El producto de un escalar por una matriz m × n es tambi´en una matriz m × n cuyo elemento (i, j) es el producto del escalar por el elemento (i, j) de la matriz que se multiplica: c · (aij ) = (c · aij ) Axiomas A1 y M1: A + B ∈ Mm×n y c · A ∈ Mm×n : De la misma definici´ on de la suma de matrices y producto por escalares. Axioma A2 ; A + B = B + A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar los elementos (i, j) se tiene aij + bij = bij + aij Axioma A3: A + (B + C) = (A + B) + C: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar los elementos (i, j) se tiene aij + (bij + cij ) = (aij + bij ) + cij Axioma A4, Existe una matriz neutra bajo la adici´ on: Esta matriz es la matriz con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + A = A + 0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple: 0 + aij = aij + 0 = aij Axioma A5: Cada matriz de tiene su invero aditivo: Para cada matriz A = (aij ), la matriz −A = (−aij ) cumple A + (−A) = (−A) + A = 0, pues al comparar los elementos (i, j) se cumple: −aij + aij = 0 = aij + −aij 9

Axioma M2: c(A + B) = c A + c B: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar los elementos (i, j) se tiene c(aij + bij ) = c aij + c bij Axioma M3: (c1 +c2 )A = c1 A+c2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c1 + c2 )aij = c1 aij + c2 aij Axioma M4: (c1 · c2 )A = c1 (c2 A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´ on y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c1 · c2 )aij = c1 (c2 aij ) Axioma M5: 1 · (aij ) = (1 · aij ) = (aij ) Habi´endose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Mm×n con las operaciones (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) y c(bij ) = (c aij ) s´ı es un espacio vectorial 

Ejemplo EV 4: P De todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x con las operaciones: Suma: Cuando son dos polinomios, esta operaci´ on se lleva a cabo sumando los coeficientes de las mismas potencias de x de los polinomios. a0 + a1 x + · · · + am xm + b0 + b1 x + · · · + bm xm = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + · · · + (am + bm ) xm (Alguno de los polinomios se completa hasta el grado mayor de los dos con coeficientes cero) Multiplicaci´ on: La multiplicaci´ on por escalar es la multiplicaci´ on de todo el polinomio por una constante: c(a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + am xm ) = c a0 + c a1 x + · · · + c am xm Axiomas A1 y M1: p(x) + q(x) ∈ P y c · p(x) ∈ P: De la misma definici´ on de la suma de polinomios y producto por escalares. Axioma A2 ; p(x) + q(x) = q(x) + q(x): Los polinomios son iguales pues est´an en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: pi + qi = pi + qi Axioma A3: p(x) + (q(x) + r(x)) = (p(x) + q(x)) + r(x): Los polinomios son iguales pues est´an en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: pi + (qi + ri ) = (pi + qi ) + ri 10

Axioma A4, Existe un polinomio neutro bajo la adici´ on: Este polinomio es el polinomio con todos sus coeficientes cero: 0 = 0 = 0 + 0 x y cumple 0 + p(x) = p(x) + 0 = p(x), pues al comparar los coeficientes de xi se tiene: 0 + pi = pi + 0 = pi Axioma A5: Cada polinomio de tiene su invero aditivo: Para cada plinomio p(x) = p0 + p1 x + c . . . , el polinomio −p(x) = (−p0 ) + (−p1 ) x + (−p2 )x2 + · · · cumple p(x) + (−p(x)) = (−p(x)) + p(x) = 0, pues al comparar los coeficientes de xi se tiene: (−pi ) + pi = 0 Axioma M2: c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Los polinomios son iguales pues est´an en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: c(pi + qi ) = c pi + c qi Axioma M3: (c1 + c2 )p(x) = c1 p(x) + c2 p(x): Los polinomios son iguales pues est´an en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: (c1 + c2 )pi = c1 pi + c2 pi Axioma M4: (c1 · c2 )p(x) = c1 (c2 p(x)): Los polinomios son iguales pues est´an en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: (c1 · c2 )pi = c1 (c2 pi ) Axioma M5: 1 · p(x) = p(x) Habi´endose cumplido los 10 axiomas, concluimos que P con las operaciones suma de polinomios y producto de un escalar por un polinomio conocidas s´ı es un espacio vectorial 

Ejemplo EV 5: Pn Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): 1 operaciones:Sea x la variable independiente de los polinomios. a) Suma: Misma que en P. b) Multiplicaci´ on por escalares: Misma que en P. 2 el cero: El polinomio 0, es ´ aquel cuya totalidad de coeficientes es cero. 3 inversos aditivos: El inverso de −p de un polinomio p tiene por coeficientes los opuestos de los coeficientes de p 

Ejemplo EV 6: F (R) El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar.

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a) Suma: Se define la suma de f + g de f y g como la funci´ on cuyos valores est´an expresados por: (f + g)(x) = f (x) + g(x) para toda x ∈ R b) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue: (c f )(x) = c f (x) para toda x ∈ R 2 el cero: La funci´ on cero, 0 es aquella cuyos valores son todos ceros: 0(x)= 0 para toda x ∈ R. 3 inversos aditivos: La inversa de −f de f es la funci´ on (-1)f . 4 axiomas: La comprobaci´on de los axiomas se deja como ejercicio. De manera m´ as general, el conjunto F (X) de todas las funciones de valor real definidas en un conjuno X es un espacio vectorial. Las operaciones, el cero y el negativo se definen en la misma forma. La u ´nica diferencia es que x se en encuentra en el conjunto X, en lugar de estar en R.

15.9.

Subespacio Vectorial

Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto est´a contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacen referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial y por consiguiente se verifican. Salvo posiblemente los axiomas A1 y M1 que hacen referencia a la cerradura. Definici´ on 15.2 Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vac´ıo se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicaci´ on por escalares que est´an definidas en V , pero restringidas a vectores de U , es un espacio vectorial. Apesar que en la definci´on de subespacio est´a implicita la verificaci´ on de los axiomas, el siguiente resultado da la clave para la verificaci´ on de que un conjunto se subespacio. Teorema Un subconjunto no vac´ıo U de un espacio vectorial V es subespacio de V si cumple las siguientes condiciones: El conjunto U es cerrado bajo la suma; Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que tambi´en est´a en U. El conjunto U es cerrado bajo la multiplicaci´ on por escalares; Cualquier elemento de U multiplicado por cualquier escalar da como resultado un elemento que tambi´en est´a en U . Observe que realmente el resultado anterior hace referencia a tres condiciones: La que est´a en el enunciado: que el conjunto no sea vac´ıo, y las dos expl´ıcitamente citadas.

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trans=R,toc=Ejemplo Ejemplo 15.7 El subconjuto W de P2 formado por s´olo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2 donde a es un n´ umero real, ¿es un subespacio vectorial? Soluci´ on Requisito 0: Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concreto de un polinomio que corresponde a este formato: Por ejemplo p(x) = 2 x + 6 x2 el coeficiente de x2 , 6, es justo el doble del coeficiente de x, que es 2. Por tanto, W 6= ∅. Requisito 1: Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado tambi´en est´a en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor num´erico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W , veamos si p(x) + q(x) ∈ W : p(x) + q(x) = a1 x + 3 a1 x2 + a2 x + 3 a2 x2 = (a1 + a2 ) x + 3 (a1 + a2 ) x2 de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, p(x) + q(x) ∈ W . Por tanto, W es cerrado bajo la suma. Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado tambi´en est´a en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor num´erico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y c un escalar cualquiera, veamos si c p(x) ∈ W : c p(x) = c (a1 x + 3 a1 x2 ) = (c a1 ) x + 3 (c a1 ) x2 de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) ∈ W . Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares. Como hemos probado los tres requisitos, W es un subespacio vectorial de P2 . Ejemplo 15.8 El conjunto W de todas las matrices 2 × 2 de la forma:   a 0 0 b donde a y b son n´ umeros reales que cumplen a b ≤ 0, ¿es un subespacio vectorial de M2×2 ? Soluci´ on Requisto 0: Como la matriz   1 0 A= 0 −1 tiene el patr´ on de las matrices de W para a = 1 y b = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0, A ∈ W . Por tanto, W 6= ∅. Requisito 1: Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado tambi´en est´a en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores num´ericos; debemos utilizar letras. Sean     a1 0 a2 0 A= yB= 0 b1 0 b2 13

dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 y a2 b2 ≤ 0 veamos si A + B ∈ W :   a1 + a2 0 A+B = 0 b1 + b2 Ahora apliquemos la prueba u ´ltima para ver si pertenece a W (a1 + a2 ) (b1 + b2 )) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0? Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 y que a2 b2 ≤ 0. Pero el t´ermino a2 b1 + a1 b2 puede cambiar la desigualdad. De hecho los valores a = 1, b1 = −5, a2 = −3, y b2 = 1 cumplen a1 b1 = (1)(−5) = −5 ≤ 0 y a2 b2 = (−3)(1) = −3 Pero (a1 + a2 )(b1 + b2 ) = (1 + −3)(−5 + 1) = (−2)(−4) = 8 > 0 Estos n´ umeros nos dan las matrices Ao =



1 0 0 −5



y Bo =



−3 0 0 1



que s´ı est´an en W , pero cuya suma no est´a en W . A estos ejemplos conctretos que prueban que una cierta afirmaci´ on no se cumpla se le llama contra ejemplo. El anterior contra ejemplo hace que W no sea cerrado bajo la suma. Fallando un requisito como ahora, W no es un subespacio. Sin embargo, como nos interesa ver la opci´ on que se ajusta a W deberemos revisar el otro requisito. Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado tambi´en est´a en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor num´erico de a; debemos utilizar letras. Sea   a1 0 A= 0 b1 un elemento cualquiera de W (y por tanto a1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera, veamos si c A ∈ W :   c a1 0 cA = 0 c b1 Ahora apliquemos la prueba u ´ltima para ver si pertenece a W (c a1 ) (c b1 ) ≤ 0? Como (c a1 ) (c b1 ) = c2 (a1 b1 ) y c2 ≥ 0 y a1 b1 ≤ 0 entonces

(c a1 ) (c b1 ) = c2 (a1 b1 ) ≤ 0

Por tanto, c A ∈ W . Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares. Resumiendo, W no es espacio vectorial: s´ı es cerrado bajo el producto por escalares pero no es cerrado bajo la suma.

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