UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Espacios Vectoriales Topol´ ogicos y Espacios Funcionales Luis Bernal Gonz´alez Tom´as Dom´ınguez Benavides

Departamento de An´alisis Matem´atico

Lugar y A˜ no: Sevilla, 2012 Disponible en: http://personal.us.es/lbernal/

´Indice general Pr´ ologo

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1. Espacios de Banach y de Hilbert

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1.1. Espacios normados y de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. El teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2. Espacios vectoriales topol´ ogicos

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2.1. Topolog´ıas compatibles con la estructura lineal . . . . . . . . . 31 2.2. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Ejemplos de espacios vectoriales topol´ogicos . . . . . . . . . . 39 2.4. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5. Espacios de dimensi´on finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6. Seminormas y convexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7. Espacios normables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8. Espacios metrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. Espacios funcionales

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3.1. Teorema de aproximaci´on de Weierstrass . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Familias relativamente compactas . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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3.3. Dual de los espacios de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4. Dual de C(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5. Teorema de aproximaci´on de Runge . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6. Redes en espacios topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4. Dualidad y Teoremas de Hahn–Banach

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4.1. Aplicaciones lineales reales y complejas . . . . . . . . . . . . . 83 4.2. Teoremas de Hahn–Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3. Teoremas de Hahn–Banach y convexidad . . . . . . . . . . . . 87 4.4. Forma geom´etrica del teorema de Hahn–Banach . . . . . . . . 89 4.5. Topolog´ıa d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.6. Topolog´ıa d´ebil-∗ de un espacio dual . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7. Bidual de un espacio normado. Reflexividad . . . . . . . . . . 104 4.8. Trasposici´on de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5. Aplicaciones de la completitud y la convexidad

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5.1. Equicontinuidad. Teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . . 115 5.2. Teorema de la Aplicaci´on Abierta . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3. Teorema del Grafo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.4. Teorema de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.5. Puntos extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.6. Teorema de Krein–Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.7. Teorema de Stone–Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Bibliograf´ıa

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Lista de s´ımbolos y abreviaturas

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´Indice alfab´ etico

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Pr´ ologo Bajo el est´ımulo de la amplia experiencia docente de los autores, estas notas han sido concebidas para servir de base al estudiante que pretenda profundizar en los contenidos de an´alisis funcional que generalmente se imparten en los estudios del Grado en Matem´aticas. As´ı pues, como prerrequisito para una lectura provechosa de esta obra, se presupone al lector cierta familiaridad con nociones y resultados b´asicos de an´alisis funcional, tales como espacios normados, de Banach y de Hilbert, aplicaciones lineales y continuas entre ellos, espacio dual, teoremas de la proyecci´on y de representaci´on de Riesz en espacios de Hilbert, y teoremas de Hahn–Banach, de la acotaci´on uniforme, de la aplicaci´on abierta y del grafo cerrado en el contexto de los espacios normados. Asimismo, se asume que el estudiante posee conocimientos b´asicos de ´algebra lineal, topolog´ıa general, integraci´on de Riemann y de Lebesgue, teor´ıa de la medida, diferenciaci´on de funciones de una y varias variables reales, y fundamentos de an´alisis de variable compleja. No obstante, y con objeto de hacer estas notas lo m´as autocontenidas posible, se han incorporado, como recordatorio para el lector, algunos conceptos y resultados adicionales. El texto se ha dividido en cinco cap´ıtulos. En el Cap´ıtulo 1 se recopilan los rudimentos de an´alisis funcional en espacios normados y de Hilbert, que probablemente ser´an conocidos por el estudiante. Adem´as, se introduce el

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concepto de base de Schauder y se aplica el teorema de Riesz en espacios de Hilbert para obtener el teorema de Radon–Nikodym. Los principales objetos a estudiar son los espacios vectoriales topol´ogicos (y las aplicaciones, en especial las lineales y continuas, entre ellos), los cuales constituyen una generalizaci´on de los espacios normados y prehilbertianos, y a ellos se puede extender gran parte de los m´as importantes teoremas conocidos en estos. Introducimos los espacios vectoriales topol´ogicos y sus propiedades b´asicas en el Cap´ıtulo 2. Los ejemplos m´as relevantes en los que se desarrolla la teor´ıa dada son los espacios de funciones reales o complejas, incluyendo los espacios de sucesiones. Un cat´alogo de estos espacios y algunas de sus propiedades de densidad y dualidad se exponen en el Cap´ıtulo 3. Como ap´endice, se expone un resumen de la teor´ıa de redes en espacios topol´ogicos. Se ha preferido el concepto de red al concepto paralelo de filtro, por ser aquel m´as sugestivo que este. En el Cap´ıtulo 4 se desarrolla la teor´ıa de la dualidad, fundamentalmente en espacios localmente convexos. Se estudia el teorema de Hahn–Banach en sus diversas formas, as´ı como sus consecuencias. Se introducen la topolog´ıa d´ebil en el espacio original y la ∗-d´ebil en el dual de un espacio normado, y se presenta la aplicaci´on traspuesta de una dada. Algunas aplicaciones de la completitud en F-espacios (como el principio de la acotaci´on uniforme y otras consecuencias del teorema de Baire, y el teorema de Schauder sobre aplicaciones compactas) y de la convexidad (como los teoremas de Krein–Milman y de Stone–Weierstrass) se desarrollan en el Cap´ıtulo 5. La obra contiene ejemplos que ilustran los conceptos y resultados que van surgiendo. Adem´as, al final de cada cap´ıtulo se propone una variada lista de

´ PROLOGO

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ejercicios, en los que la teor´ıa dada o bien se aplica o bien se completa. En algunos de ellos se adjuntan indicaciones o sugerencias u ´tiles. Recomendamos al estudiante que intente la resoluci´on de dichos ejercicios, pues ello constituye un buen indicador del grado de asimilaci´on de la materia. Al final del texto se ofrece una bibliograf´ıa para que el lector interesado efect´ ue consultas y ampl´ıe conocimientos. Para una mayor comodidad de lectura, se incluye una lista de abreviaturas y s´ımbolos. El ´ındice alfab´etico est´a organizado de modo que se indica la p´agina o p´aginas donde aparece por primera vez la definici´on de un concepto o la formulaci´on de un resultado. Para concluir, confiamos en que estas notas sean de utilidad y provecho tanto para el estudiante como para el profesor que imparta los contenidos de las mismas. Los autores

Cap´ıtulo 1 Espacios de Banach y de Hilbert Comenzamos con una recapitulaci´on de los teoremas fundamentales del an´alisis funcional en espacios normados, en especial en espacios de Banach y de Hilbert. Dichos teoremas se imparten en cualquier curso elemental sobre la materia, por lo que probablemente el lector ya tiene conocimiento de ellos. Estos resultados son, en esencia, los siguientes: teorema de Hahn-Banach, principio de acotaci´on uniforme, teorema de la aplicaci´on abierta, teorema del grafo cerrado y, ya en el ´ambito especial de los espacios de Hilbert, teorema de la proyecci´on y teorema de representaci´on de Riesz. De este u ´ltimo surgir´a el teorema de Radon-Nikodym, que caracteriza las medidas absolutamente continuas. En la secci´on final introduciremos y caracterizaremos el concepto de base de Schauder de un espacio de Banach.

1.1.

Espacios normados y de Banach

Como es usual, denotaremos por N el conjunto {1, 2, . . . } de los enteros positivos, por R el cuerpo de los n´ umeros reales, y por C el cuerpo de los

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n´ umeros complejos. Repasemos el concepto de norma sobre un espacio vectorial. Siempre supondremos que el cuerpo base K del espacio vectorial es R o C. A partir de ahora, abreviaremos las expresiones “espacio vectorial” y “espacio topol´ogico” mediante sus iniciales EV y ET, respectivamente. Otras expresiones que vayan apareciendo en estas notas tambi´en ser´an abreviadas. Definici´ on 1.1.1. Sea X un EV. Decimos que una funci´on ∥ · ∥ : X → [0, +∞) es una norma sobre X si verifica, para todos los vectores x, y ∈ X y todo escalar λ ∈ K, las siguientes propiedades: (a) ∥x∥ = 0 si y solo si x = 0. (b) [Homogeneidad] ∥λx∥ = |λ|∥x∥. (c) [Desigualdad triangular] ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥. Llamaremos espacio normado (EN) a un EV dotado de una norma. Todo EN es un espacio m´etrico: en efecto, la aplicaci´on d : X × X → [0, +∞) dada por d(x, y) = ∥x − y∥ es una distancia o m´etrica sobre X. Ya que cada espacio m´etrico puede ser dotado de estructura de ET, obtenemos que todo EN es un ET. Una base para su topolog´ıa viene dada por la familia de bolas abiertas B(a, r) := {x ∈ X : ∥x − a∥ < r} (a ∈ X, r > 0). Con respecto a dicha topolog´ıa, es f´acil ver que las aplicaciones suma (x, y) ∈ X × X 7→ x + y ∈ X y producto (λ, x) ∈ K × X 7→ λx ∈ X son continuas. En X × X y en K × X se han considerado las topolog´ıas producto respectivas. Recordemos que un espacio m´etrico (X, d) es completo cuando cada sucesi´on (xn ) ⊂ X de Cauchy converge a alg´ un punto de X. Definici´ on 1.1.2. Se llama espacio de Banach a un EN que es completo para la distancia inducida por su norma. Por ejemplo, para cada p ∈ [1, +∞) y cada N ∈ N, el EV KN dotado de ) ( ∑N p 1/p [donde x = (x1 , . . . , xN )] es un espacio de la norma ∥x∥p = |x | i i=1

ESPACIOS DE BANACH Y DE HILBERT

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Banach. Lo mismo ocurre si se le dota de la norma ∥x∥∞ = m´ax{|xi | : 1 ≤ i ≤ N }. Asimismo, son espacios de Banach: • El EV c0 de las sucesiones (xn ) ⊂ KN tales que xn → 0, dotado de la norma ∥(xn )∥∞ = supn≥1 |xn |. • Los espacios vectoriales c y ℓ∞ de las sucesiones convergentes y de las sucesiones acotadas, respectivamente, dotados de la misma norma. • El EV ℓp (1 ≤ p < +∞) de las sucesiones (xn ) ⊂ KN tales que ( ∑∞ ) ∑∞ p p 1/p . n=1 |xn | < +∞, dotado de la norma ∥(xn )∥p = n=1 |xn | • El EV Lp (µ) = Lp (µ, Ω) (1 ≤ p < +∞) de las funciones medi∫ bles f : Ω → K tales que Ω |f |p dµ < +∞, dotado de la norma (∫ )1/p ∥f ∥p = Ω |f |p dµ . Aqu´ı µ es una medida definida sobre un espacio medible (Ω, M). Identificamos dos funciones medibles, f = g, cuando son iguales µ-en casi todo Ω, es decir, cuando µ({x ∈ Ω : f (x) ̸= g(x)}) = 0. Sin embargo, el EV c00 := {x = (xn ) : ∃N = N (x) ∈ N tal que xn = 0 ∀n > N } de las sucesiones casi nulas, dotado de la norma del supremo, es un EN que no es de Banach. La caracterizaci´on de la continuidad de una aplicaci´on lineal entre dos espacios normados X e Y es bien simple. Mientras no haya confusi´on, ∥ · ∥ denotar´a por igual la norma de X y la de Y . A veces usaremos la palabra “operador” como sin´onimo de “aplicaci´on lineal”. Teorema 1.1.3. Sean X e Y espacios normados y T : X → Y una aplicaci´ on lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) T es continua en alg´ un punto x0 ∈ X. (b) T es continua. (c) T es uniformemente continua. (d) Existe M ∈ (0, +∞) tal que ∥T x∥ ≤ M ∥x∥ para todo x ∈ X.

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Simbolizaremos por L(X, Y ) el EV de las aplicaciones lineales y continuas de X en Y . El siguiente teorema muestra que este espacio puede normarse. Teorema 1.1.4. Sean X e Y dos espacios normados. Para cada T ∈ L(X, Y ), se define ∥T ∥ = sup {∥T x∥/∥x∥ : x ∈ X \ {0}} = sup{∥T x∥ : ∥x∥ = 1}. Entonces ∥ · ∥ es una norma sobre L(E, F ). En el caso Y = K, a los elementos de L(X, K) se les denomina “formas” (o “funcionales”) lineales y continuas. Denotaremos X ∗ = L(X, K) y lo llamaremos el espacio dual de X. Por otra parte, si M es un subespacio vectorial de un EN (X, ∥·∥), entonces M es tambi´en un EN cuando es dotado de la misma norma ∥ · ∥. Enunciamos a continuaci´on una de las formas del Teorema de Hahn–Banach. Teorema 1.1.5. Sean X un EN, M un subespacio de X y f ∈ M ∗ . Entonces f admite una extensi´on lineal sobre X que conserva la norma, es decir, existe g ∈ X ∗ tal que g|M = f y ∥g∥ = ∥f ∥. Corolario 1.1.6. (a) Sean X un EN, M un subespacio de X y x0 ∈ M . Entonces x0 ∈ M si y solo si toda f ∈ M ∗ con f |M ≡ 0 cumple f (x0 ) = 0. (b) Sean X un EN y x0 ∈ X \ {0}. Entonces existe f ∈ X ∗ con ∥f ∥ = 1 tal que f (x0 ) = ∥x0 ∥. Si X e Y son dos espacios normados, de modo que Y es de Banach, entonces L(X, Y ) es un espacio de Banach. En particular, se tiene que X ∗ es siempre un espacio de Banach. Por el corolario anterior, X ∗ ̸= {0} para cualquier espacio normado X ̸= {0}. De hecho, X ∗ separa puntos de X, esto es, dados x1 , x2 ∈ X con x1 ̸= x2 , existe Λ ∈ X ∗ tales que Λ(x1 ) ̸= Λ(x2 ) [tomar x0 = x1 − x2 en la parte (b) del corolario]. El EN X puede considerarse como un subespacio del bidual X ∗∗ := (X ∗ )∗ de X mediante la inclusi´on can´onica φ : X → X ∗∗ dada por φ(x)(Λ) = Λ(x).

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Decimos que X es reflexivo si φ es biyectiva. Una condici´on necesaria de reflexividad es que X sea un espacio de Banach. Si φ es biyectiva, es f´acil ver que es una isometr´ıa, y por tanto X ≈ X ∗∗ [≈ denota isomorfismo entre espacios normados]. Por ejemplo, si 1 < p < +∞ y q es su exponente conjugado, es decir, 1/p + 1/q = 1, entonces ℓ∗p ≈ ℓq , luego ℓp es reflexivo. Sin embargo, c∗0 ≈ ℓ1 y ℓ∗1 ≈ ℓ∞ ; como c0 es separable y ℓ∞ no lo es, se tiene que c0 no es reflexivo. Recordemos que un subconjunto A de un ET X se dice que es de primera categor´ıa cuando es uni´on numerable de subconjuntos cuya clausura tiene interior vac´ıo, que es de segunda categor´ıa cuando no es de primera categor´ıa, y que es residual cuando su complemento es de primera categor´ıa. Recordemos que un ET X se dice que es de Baire cuando la intersecci´on de una familia numerable de abiertos densos en X es densa en X o, equivalentemente, cuando todo abierto no vac´ıo es de segunda categor´ıa. El Teorema de Baire asegura que todo espacio m´etrico completo es de Baire. Es un teorema sumamente u ´til en an´alisis funcional, sobre todo para probar resultados de existencia. De ´el se deduce el siguiente Teorema de Banach–Steinhaus, conocido tambi´en como Principio de acotaci´on uniforme. Teorema 1.1.7. Supongamos que X e Y son espacios normados y que A ⊂ L(X, Y ). Consideremos las siguientes propiedades: (a) La familia A es puntualmente acotada, es decir, supΛ∈A ∥Λ(x)∥ < +∞ para cada x ∈ X. (b) El conjunto {x ∈ X : supΛ∈A ∥Λ(x)∥ < +∞} es de segunda categor´ıa. (c) La familia A est´a uniformemente acotada, esto es, supΛ∈A ∥Λ∥ < +∞. Entonces (b) implica (c), y (c) implica (a). Si, adem´as, X es un espacio de Banach, entonces las tres propiedades (a), (b) y (c) son equivalentes. Corolario 1.1.8. Sean X e Y dos espacios normados, de modo que X es

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de Banach. Sea Λn : X → Y (n ∈ N) una sucesi´ on de aplicaciones lineales y continuas de modo que, para cada x ∈ X, la sucesi´ on (Λn (x)) converge. Entonces la aplicaci´on Λ : X → Y dada por Λ(x) := l´ımn→∞ Λn (x) es lineal y continua. A partir del teorema anterior se deducen el Teorema de la Aplicaci´ on Abierta o del Homomorfismo (Teorema 1.1.9) y el Teorema del Grafo Cerrado (Teorema 1.1.11). Teorema 1.1.9. Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y una aplicaci´on lineal, continua y sobreyectiva. Entonces T es abierta, es decir, para cada abierto U de X, el conjunto T (U ) es abierto en Y . Corolario 1.1.10. Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y lineal, continua y biyectiva. Entonces T −1 es continua. En otras palabras, T es un isomorfismo topol´ ogico. Teorema 1.1.11. Supongamos que X e Y son espacios de Banach y que T : X → Y es una aplicaci´ on lineal cuyo grafo {(x, T x) : x ∈ X} es cerrado en X × Y . Entonces T es continua. Terminamos esta secci´on recordando un importante resultado, debido a Riesz, que caracteriza los espacios normados de dimensi´on finita. Teorema 1.1.12. Sea X un EN y B := {x : ∥x∥ ≤ 1} su bola unidad cerrada. Entonces B es compacta si y solo si dim(X) < +∞.

1.2.

Espacios de Hilbert

Algunos espacios presentan una estructura geom´etrica m´as rica que los espacios normados.

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Definici´ on 1.2.1. Sea H un EV sobre K. Llamamos producto escalar sobre H a una aplicaci´on (·|·) : H × H → K que cumple, para todos los vectores x, y ∈ H y todo escalar α ∈ K, las siguientes propiedades: (1) (x|y) = (y|x). (2) (x|y + z) = (x|y) + (x|z). (3) (αx|y) = α(x|y). (4) (x|x) ≥ 0. (5) (x|x) = 0 si y solo si x = 0. Un EV H dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbertiano o espacio eucl´ıdeo. Un producto escalar sobre un EV H induce una norma, a saber, ∥x∥ := (x|x)1/2 . Se conoce como norma cuadr´atica. Una propiedad notable es la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |(x|y)| ≤ ∥x∥ ∥y∥ para todo x, y ∈ H. Si X es un EV y ∥ · ∥ es una norma sobre ´el, se verifica que ∥ · ∥ es inducida por un producto escalar si y s´olo si ∥ · ∥ verifica la identidad del paralelogramo: ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ) ∀x, y ∈ X. As´ı que todo espacio prehilbertiano es normado, y por tanto es m´etrico y topol´ogico. Se llama espacio de Hilbert a un espacio prehilbertiano tal que la m´etrica cuadr´atica inducida d(x, y) := ∥x − y∥ hace de ´el un espacio m´etrico completo. Por tanto todo espacio de Hilbert es de Banach. Por ejemplo, el espacio de las sucesiones de cuadrado sumable ℓ2 := ∑∞ 2 2 {(xn ) ∈ KN : n=1 |xn | < +∞} y el espacio L ([0, 1]) de las funciones medibles-Lebesgue f : [0, 1] → K de cuadrado integrable [con la identificaci´on f = g si f (x) = g(x) λ–en casi todo, donde λ es la medida de Lebesgue] son espacios de Hilbert con los productos escalares respectivos ((xn )|(yn )) = ∫1 ∑∞ x y , (f |g) = f (x)g(x) dx. Con el u ´ltimo producto escalar, el espacio n n n=1 0 C([0, 1]) = {f : [0, 1] → K continuas} es prehilbertiano, pero no es completo.

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Recordemos que un subconjunto C de un EV es convexo si, para todo par de puntos x, y ∈ C y todo escalar λ ∈ [0, 1], se tiene que λx + (1 − λ)y ∈ C. En espacios de Hilbert se tiene el siguiente importante resultado de existencia y unicidad, conocido como el Teorema del vector minimizante. Teorema 1.2.2. Sea C un subconjunto convexo y cerrado de un espacio de Hilbert H. Entonces C contiene un u ´nico elemento de norma m´ınima. Como consecuencia, para cada x ∈ H existe un u ´nico y ∈ C que da la distancia m´ınima, es decir, tal que ∥x − y∥ ≤ ∥x − z∥ para todo z ∈ C. Decimos que dos vectores x e y de un espacio prehilbertiano H son ortogonales si (x|y) = 0. Si A ⊂ H, el conjunto ortogonal de A se define como A⊥ := {y ∈ H : (x|y) = 0 ∀x ∈ A}. El conjunto A⊥ es siempre un subespacio vectorial cerrado de H. Enunciemos el Teorema de la Proyecci´ on. Teorema 1.2.3. Sea M un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Entonces existe un u ´nico par de aplicaciones P : H → M, Q : H → M ⊥ tales que x = P x + Qx para todo x ∈ H. Estas aplicaciones tienen las siguientes propiedades: (a) Si x ∈ M entonces P x = x y Qx = 0. Si x ∈ M ⊥ entonces P x = 0 y Qx = x. (b) ∥x − P x∥ = inf{∥x − y∥ : y ∈ M } para todo x ∈ H. (c) ∥x∥2 = ∥P x∥2 + ∥Qx∥2 para todo x ∈ H. (d) P y Q son lineales. Las aplicaciones P y Q son las llamadas proyecciones ortogonales de H sobre M y M ⊥ , respectivamente. El siguiente teorema de representaci´ on de Riesz establece una identificaci´on isom´etrica entre un espacio de Hilbert y su dual. En particular, todo espacio de Hilbert es reflexivo.

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Teorema 1.2.4. Supongamos que H es un espacio de Hilbert. Entonces para cada T ∈ H ∗ existe un u ´nico vector y ∈ H tal que T x = (x|y) para todo x ∈ H. Notemos que la identificaci´on H ≈ H ∗ dada por y 7→ T en el teorema anterior es lineal en el caso K = R y conjugada lineal en el caso K = C. Definici´ on 1.2.5. Diremos que un conjunto de vectores {uα }α∈A de un espacio prehilbertiano H constituye un sistema ortogonal cuando (uα |uβ ) = 0 para todo par α, β ∈ A con α ̸= β, y que forman un ortonormal (SON) si, adem´as, ∥uα ∥ = 1 para todo α ∈ A. Si {uα }α∈A es un SON y x ∈ H, a los n´ umeros (x|uα ) se les llama coeficientes de Fourier de x respecto del sistema ∑ {uα }α∈A . Si A = N y {un }n≥1 es un SON, la serie ∞ n=1 (x|un )un se denomina serie de Fourier asociada a x respecto de dicho SON. Un SON {un }n≥1 se dice que es completo cuando cada vector es la suma de su serie de Fourier, ∑ es decir, ∞ n=1 (x|un )un = x para todo x ∈ H. La u ´ltima expresi´on quiere decir que ∥Sn − x∥ −→ 0 (n → ∞), donde ∑n Sn = k=1 (x|uk )uk . En el caso de un espacio de Hilbert, existen varias caracterizaciones de la completitud de un SON. Teorema 1.2.6. Supongamos que {un }n≥1 es un SON en un espacio de Hilbert H. Son equivalentes las siguientes propiedades: (a) El sistema {un }n≥1 es completo. (b) El sistema {un }n≥1 , es total, es decir, span{un }n≥1 = H. (c) Se cumple la “identidad de Parseval”: ∑ 2 ∥x∥2 = ∞ n=1 |(x|un )| para todo x ∈ H. (d) {un }⊥ n≥1 = {0}. (e) El sistema {un }n≥1 es maximal, es decir, no est´a contenido estrictamente en ning´ un otro SON.

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Un SON numerable {un }n≥1 en un espacio de Hilbert H se dice que es una base ortonormal (BON) de H cuando cumple cualquiera de las propiedades equivalentes (a)–(e) del teorema anterior. Puesto que los vectores de un SON son linealmente independientes, de (b) se deduce que si un espacio de Hilbert posee una BON, entonces es separable e infinito-dimensional. El pr´oximo teorema nos garantiza que el rec´ıproco es tambi´en cierto. Teorema 1.2.7. Sea H un espacio de Hilbert separable con dim (H) = ∞. Entonces H admite una BON y es isom´etricamente isomorfo a ℓ2 . De hecho, si (un ) es una BON en H, entonces la aplicaci´ on Φ : x ∈ H 7→ {(x|un )}n≥1 ∈ ℓ2 es lineal, biyectiva y cumple ∥Φ(x)∥ = ∥x∥ para todo x ∈ H.

1.3.

El teorema de Radon-Nikodym

Recordemos que, si µ es una medida (positiva) definida sobre un espacio medible (X, M), decimos que µ es finita si µ(X) < +∞, y que µ es σ-finita ∪ si existen Xn ∈ M (n = 1, 2, . . . ) tales que µ(Xn ) < +∞ y X = ∞ n=1 Xn . Si µ y ν son dos medidas sobre un mismo espacio medible (X, M), se dice que ν es absolutamente continua respecto de µ cuando: A ∈ M y µ(A) = 0 =⇒ ν(A) = 0. El siguiente resultado, de gran importancia en muchas ramas de la Matem´atica y conocido como Teorema de Radon-Nikodym, caracteriza las medidas absolutamente continuas. Aqu´ı ofrecemos una prueba que es debida a von Neumann y que resulta ser una bonita aplicaci´on del teorema de representaci´on de Riesz en espacios de Hilbert. Teorema 1.3.1. Sean µ y ν dos medidas sobre un mismo espacio medible (X, M), de modo que µ es σ-finita y ν es finita. Entonces son equivalentes las siguientes propiedades:

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(a) ν es absolutamente continua respecto de µ. ∫ (b) Existe F ∈ L1 (µ) tal que ν(A) = A F dµ para todo A ∈ M. En tal caso Re F e Im F son no negativas µ-en casi todo, y F es u ´nica como elemento de L1 (µ). Bajo las condiciones del teorema anterior, la funci´on F obtenida, que est´a un´ıvocamente determinada, se denomina la derivada de Radon-Nikodym (o bien la funci´on de densidad ) de ν respecto de µ, y se representa F = dν/dµ. Demostraci´on del Teorema 1.3.1. Un razonamiento directo, considerando Re F e Im F , muestra que podemos restringirnos al caso K = R. Probemos primero la unicidad de F , suponiendo que exista. Si hubiese un par de ∫ funciones F, G ∈ L1 (µ) que satisfacen (b), tendr´ıamos A (F −G) dµ = 0 para todo A ∈ M. Sustituyendo sucesivamente A por {x ∈ X : F (x) ≥ G(x)} y ∫ {x ∈ X : F (x) < G(x)} y restando, obtenemos X |F − G| dµ = 0, de donde |F − G| = 0 µ-ect, as´ı que F = G como elementos de L1 (µ). La implicaci´on (b) ⇒ (a) es trivial, as´ı que se ha de demostrar (a) ⇒ (b). Para ello, podemos suponer que µ es finita, ya que podemos escribir ∪ X= ∞ ı. Tras ello, n=1 Xn con µ(Xn ) < +∞ (n ≥ 1) y los Xn disjuntos entre s´ se considerar´ıan los espacios medibles (Xn , M|Xn ) y las medidas µ|Xn , ν|Xn , y se aplicar´ıa el resultado probado para el caso en que µ es finita. Al final, se “pegar´ıan” las funciones obtenidas Fn en una sola funci´on F . As´ı pues, partimos de (a) con µ y ν finitas. Llamemos φ := µ + ν, que es una medida finita sobre (X, M). Consideremos el espacio de Hilbert H = L2 (φ). Como φ ≥ µ, se obtiene por la desigualdad de Cauchy-Schwarz que

∫

f dν ≤

X

≤

∫ (

X ∫

∫ |f | dν ≤

|f | dφ = X

|f |2 dφ X

∫

)1/2

|f | · 1 dφ X

(φ(X))1/2 < +∞

18

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

para cada f ∈ L2 (φ). Por tanto, la funci´on Λ : f ∈ L2 (φ) 7→

∫ X

f dν ∈ R

est´a bien definida y Λ ∈ L2 (φ)∗ . Por el teorema de representaci´on de Riesz, existe g ∈ L2 (φ) tal que Λ(f ) = (f |g) en L2 (φ), es decir, ∫

∫ f g dφ (∀f ∈ L2 (φ)).

f dν = X

(1)

X

Probemos que 0 ≤ g(x) ≤ 1 φ-ect x ∈ X. Si no fuese as´ı, existir´ıa alg´ un intervalo I = [α − r, α + r] ⊂ R \ [0, 1] tal que φ(E) > 0, donde E := g −1 (I). ∫ Eligiendo f = χE (la funci´on caracter´ıstica de E), resulta ν(E) = E g dφ, y ∫ 1 como 0 ≤ ν ≤ φ, tenemos φ(E) g dφ ∈ [0, 1]. Pero entonces E 1 φ(E) luego

1 φ(E)

∫

g dφ − α =

E

∫ E

1 φ(E)

∫

(g − α) dφ ≤

E

1 φ(E)

∫ |g − α| dφ ≤ r, E

g dφ ∈ [α − r, α + r] ⊂ R \ [0, 1], lo que es una contradicci´on.

Podemos suponer pues que 0 ≤ g ≤ 1 en todo X sin que esto afecte a (1) [ya que si φ(A) = 0 entonces ν(A) = 0]. Reescribimos (1) como ∫

∫ (1 − g)f dν =

X

f g dµ (∀f ∈ L2 (φ)).

(2)

X

Llamemos B := {x ∈ X : g(x) = 1}. Haciendo f = χB en (2) resulta que µ(B) = 0, as´ı que g(x) ∈ [0, 1) µ-ect x ∈ X (luego tambi´en ν-ect x ∈ X). g , que es una funci´on medible no negativa. Fijemos Llamemos F := 1−g A ∈ M, n ∈ N y f := (1 + g + · · · + g n ) · χA . Gracias a (2), obtenemos ∫

∫ (1 − g

A

n+1

g(1 + g + · · · + g n ) dµ.

) dν = A

Como 1−g n+1 (x) → 1 y g(x)(1+g(x)+· · ·+g n (x)) → F (x) en casi todo x ∈ n

n

X (con respecto a µ y ν) y en ambos casos de manera creciente, del teorema ∫ de la convergencia mon´otona se deduce que F ∈ L1 (µ) y que ν(A) = A F dµ para todo A ∈ M. Esto prueba el teorema.

2

ESPACIOS DE BANACH Y DE HILBERT

1.4.

19

Bases de Schauder

La noci´on de BON plantea el problema de si en cada espacio de Banach separable de dimensi´on infinita se puede encontrar un sistema numerable ∑ {un }n≥1 de modo que cada vector x tenga una expresi´on x = ∞ n=1 αn (x)un , con αn (x) ∈ K para todo n ∈ N. Esto conduce al concepto de base de Schauder que estudiaremos a continuaci´on. Sabemos que todo EV E tiene una base algebraica, llamada tambi´en base de Hamel. Se denomina as´ı a una familia de vectores {ui }i∈I ⊂ E tal que cada x ∈ E se puede escribir de manera u ´nica como combinaci´on lineal finita ∑N (x) ∑ x = umero k=1 αik (x)uik = i∈I αi (x)ui de modo que, salvo para un n´ finito de ´ındices i, se tiene que αi (x) = 0. Sin embargo, en el caso de que E posea alguna topolog´ıa (por ejemplo, si E es un espacio de Banach), esta base algebraica tiene poco que ver con la topolog´ıa del espacio. En efecto, si ∑ ∑ (n) xn → x en E, con xn = i∈I αi ui y x = i∈I αi ui , no tiene que verificarse n

(n)

en general αi → αi para todo i ∈ I, o sea, la convergencia coordenada a n

coordenada como sucede en KN . En el caso de un espacio de Hilbert separable H con dim(H) = ∞, vimos que existe una familia {en }∞ 1 tal que cada x ∈ H ∑∞ puede expresarse en la forma x = n=1 (x|en )en . En este caso s´ı es cierto que (xk |en ) → (x|en ) para todo n ∈ N si xk → x, gracias a la continuidad del k

k

producto escalar. Abstraigamos este concepto al ´ambito de los espacios de Banach. Definici´ on 1.4.1. Sea E un espacio de Banach. Una sucesi´on {xn }∞ 1 se denomina base de Schauder de E si para cada x ∈ E existe una u ´nica sucesi´on ∑ ∞ {αn }∞ 1 de escalares tal que x = n=1 αn xn . Los escalares son llamados las coordenadas de x respecto de la base {xn }∞ 1 . Se dice que la base es normalizada si ∥xn ∥ = 1 para todo n ∈ N. Una sucesi´on {xn }∞ 1 ⊂ E se denomina sucesi´on b´asica si es base de Schauder de span(xn ).

20

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Por supuesto, cada BON en un espacio de Hilbert es una base de Schauder, y cada SON es una sucesi´on b´asica. Si p ∈ [1, ∞), ℓp es un espacio de Banach (que no es de Hilbert salvo en el caso p = 2) y en ´el el sistema {en }n∈N dado por en = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . . ) [con el “1” en el n-´esimo lugar] es una base ∑∞ de Schauder. En efecto, dado x = (ξn ) ∈ ℓp se tiene que x = n=1 ξn en , ∑n ∑ ∑ p p ya que ∥x − k=1 ξk ek ∥p = ∞ 0 porque la serie ∞ k=n+1 |ξk | → n=1 |ξn | es n ∑ convergente. Adem´as, la expresi´on x = ∞ ´nica porque si fuese n=1 ξn en es u ∑∞ x = n=1 ηn en , existir´ıa N ∈ N con ξN ̸= ηN y ξk = ηk (k = 1, . . . , N − 1). ∑ Entonces para todo n > N tendr´ıamos |ξN − ηN |p ≤ ∥x − nk=1 ξk ek ∥p , que contradice el hecho de que la u ´ltima expresi´on −→ 0 cuando n → ∞. Un razonamiento parecido muestra que (en ) es tambi´en una base de Schauder de c0 . Es obvio que si (xn ) es una base de Schauder de E, entonces (xn ) es total, es decir, E = span(xn ). Pero el rec´ıproco es falso: por ejemplo, debido al teorema de aproximaci´on de Weierstrass (ver Cap´ıtulo 3), el sistema {x 7→ xn }n≥0 es total en C([0, 1]), pero no es una base de Schauder porque, si lo fuese, toda funci´on continua en [0, 1] ser´ıa anal´ıtica en (0, 1), lo que es absurdo. Por otra parte, es f´acil ver que si E es un espacio de Banach que admite una base de Schauder (xn ) tiene dimensi´on infinita (pues los elementos de la base son linealmente independientes) y es separable (porque las combinaciones lineales finitas de los vectores xn con coeficientes en Q (el conjunto de los n´ umeros racionales) o en Q + iQ forman un conjunto denso en E. El problema inverso, mucho m´as complicado, de saber si cada espacio de Banach separable infinito-dimensional admite una base de Schauder, permaneci´o abierto mucho tiempo, hasta que Enflo dio finalmente un contraejemplo en 1974. Vamos a probar ahora una condici´on equivalente a que una sucesi´on sea

ESPACIOS DE BANACH Y DE HILBERT

21

b´asica. Necesitaremos el siguiente lema. Lema 1.4.2. Sea (xn ) una sucesi´ on en un espacio de Banach E, de modo ∑∞ que xn ̸= 0 para todo n ∈ N. Sea F = {(an ) ∈ KN : n=1 an xn converge} dotado de la norma ∥(an )∥F = sup{∥

∑N n=1

an xn ∥ : N ∈ N}.

Entonces F es un espacio de Banach. Demostraci´on. Probemos en primer lugar que ∥ · ∥F es una norma sobre F . Si (an ) = (0), es obvio que ∥(an )∥F = 0. Inversamente, si ∥(an )∥F = 0, entonces ∥a1 x1 ∥ = 0, luego a1 x1 = 0; como x1 ̸= 0, resulta a1 = 0. Por inducci´on, se llega a que an = 0 para todo n ∈ N. La igualdad ∥(λan )∥F = |λ| · ∥(an )∥F resulta de la homogeneidad de ∥·∥, mientras que la desigualdad ∥(an +bn )∥F ≤ ∥(an )∥F +∥(bn )∥F se obtiene de la desigualdad triangular para ∥·∥ y del hecho de que, para cada par de conjuntos acotados {αi }i∈I , {βi }i∈I ⊂ R, se tiene que sup{αi + βi : i ∈ I} ≤ sup{αi : i ∈ I} + sup{βi : i ∈ I}. (k)

Para ver que F es completo, fijemos una sucesi´on {(an )}k≥1 de Cauchy (j)

(k)

en F y un ε > 0. Existe k0 ∈ N tal que ∥(an ) − (an )∥F < ε si k, j ≥ k0 . ∑ (j) (k) Por tanto, para cada N ∈ N, ∥ N n=1 (an − an )xn ∥ < ε. En particular, para (k)

(j)

(k)

N = 1 obtenemos |a1 − a1 | < ε/∥x1 ∥, luego (a1 ) es de Cauchy en K. Y ∑m (j) ∑ (j) (k) (k) x − a para m ≥ 2 tenemos que ∥am xm − am xm ∥ = ∥ m n n n=1 an xn − n=1 ∑m−1 (k) ∑m−1 (j) (k) (j) ( n=1 an xn − n=1 an xn )∥ < 2ε, de donde |am − am | < 2ε/∥xm ∥ si (k)

k, j ≥ k0 . As´ı que cada sucesi´on (am )k≥1 es de Cauchy en K, luego converge a un escalar am (m ∈ N). ∑ (k) (j) Por otra parte, si en la desigualdad ∥ N n=1 (an − an )xn ∥ < ε tomamos ∑ (k) l´ımites cuando j → ∞ resulta ∥ N n=1 (an − an )xn ∥ ≤ ε para todo N ∈ N y todo k ≥ k0 . De aqu´ı obtenemos: • ∥

∑m i=n

a i xi ∥ ≤ ∥

∑m

(k0 ) i=n (ai

− ai )xi ∥ + ∥

∑m i=n

(k0 )

ai

xi ∥ ≤ 2ε + ε = 3ε

si m ≥ n ≥ N0 (ε) para alg´ un N0 (ε) ∈ N adecuado. Se ha usado la

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

desigualdad triangular en el primer sumando del segundo miembro, mientras que en el segundo sumando hemos usado la convergencia de ∑∞ (k0 ) n=1 an xn . • Por la condici´on de Cauchy de convergencia de series, tenemos que ∑∞ (k) n=1 an xn converge, luego (an ) ∈ F . Para cada k ≥ k0 , ∥(an ) − (k)

(an )∥F ≤ ε. Por tanto, (an )n≥1 →(an )n≥1 en F . As´ı que F es completo. k

2

Ahora podemos establecer el siguiente Teorema de Nikolski de caracterizaci´on de sucesiones b´asicas. on (xn ) ⊂ E \ {0} Teorema 1.4.3. Sea E un espacio de Banach. Una sucesi´ es b´asica si y solo si existe una constante K ∈ (0, +∞) tal que, para cada par p, q ∈ N con p ≤ q y cada elecci´ on de escalares a1 , a2 , . . . , aq , se tiene ∑p ∑ ∥ n=1 an xn ∥ ≤ K · ∥ qn=1 an xn ∥. La menor de las constantes K que verifican esta condici´on se llama la constante b´asica de (xn ). Si K = 1, la sucesi´on b´asica se dice mon´otona. Por ejemplo, la base (en ) en ℓp (1 ≤ p < +∞) o c0 es mon´otona. Observemos que, en general, la condici´on dada en el teorema de Nikolski significa que las proyecciones Pp,q : span(x1 , . . . , xq ) → span(x1 , . . . , xp ) tienen normas uniformemente acotadas por K. Demostraci´on del Teorema 1.4.3. Supongamos que (xn ) es una sucesi´on b´asica. Sean E1 := span(xn ) y F como en el Lema 1.4.2. Cada vector x ∈ E1 tiene ∑ on una expresi´on u ´nica en la forma x = ∞ n=1 an xn . Definimos la aplicaci´ T : (an ) ∈ F 7→

∞ ∑

an xn ∈ E1 .

n=1

Claramente, T es lineal. Adem´as es continua pues ∥

∞ ∑ n=1

an xn ∥ = l´ım ∥ N →∞

N ∑ n=1

an xn ∥ ≤ sup ∥ N ∈N

N ∑ n=1

an xn ∥ = ∥(an )∥F .

ESPACIOS DE BANACH Y DE HILBERT

23

Por ser T sobreyectiva, del teorema de la aplicaci´on abierta se deduce que ∑ T −1 es continua, o sea, existe K ∈ (0, +∞) tal que supN ∈N ∥ N n=1 an xn ∥ ≤ ∑∞ K · ∥ n=1 an xn ∥. En particular, aplic´andolo para a1 , . . . , ap , . . . , aq , 0, 0, . . . con N = p se obtiene lo que se quer´ıa. Rec´ıprocamente, supongamos que se verifica la condici´on del teorema, con constante K. Fijemos x ∈ E1 . Existe una sucesi´on (yk ) ⊂ span (xn ) tal que ∑ k (k) ∑∞ yk → x. Cada yk se puede escribir en la forma yk = N l=0 αl xl . Si n=1 an xn ∑∞ ∑p converge, llamemos Pp a la proyecci´on Pp ( n=1 an xn ) = n=1 an xn . Por la condici´on del teorema, sabemos que ∥Pp ∥ ≤ K. Por tanto, para cada p ∈ N se tiene ∥Pp (yk − yl )∥ ≤ K∥yk − yl ∥ (k, l ∈ N). Puesto que (yk ) es de Cauchy, obtenemos que cada sucesi´on (Pp yk )k≥1 es de Cauchy. Sea Xp el l´ımite de (Pp yk )k≥1 , el cual existe por ser E completo. Si en la desigualdad anterior tomamos sucesivamente p = 1, 2, . . . vemos que cada sucesi´on de coeficientes (k)

(k)

(αp )k≥1 es de Cauchy, luego αp → αp para ciertos αp ∈ K. Por tanto k

Pp yk =

p ∑

αn(k) xn −→ k

n=1

p ∑

αn xn .

n=1

Por la unicidad del l´ımite, deducimos que Xp =

∑p n=1

αn xn . Por otra parte,

de la continuidad de la norma, ∥Pp yk − Xp ∥ = ∥Pp yk − l´ım Pp yj ∥ = l´ım ∥Pp (yk − yj )∥ j→∞

j→∞

≤ K · l´ım ∥yk − yj ∥ = K · ∥yk − x∥. j→∞

Fijemos ε > 0 y elijamos k0 ∈ N tal que ∥yk0 − x∥ < ε. Elijamos ahora p0 ∈ N de modo que Pp yk0 = yk0 para todo p ≥ p0 . Entonces ∥Xp − x∥ ≤ ∥Xp − Pp yk0 ∥ + ∥yk0 − x∥ < (1 + K)ε ∑p para cada p ≥ p0 . Por tanto Xp → x (p → ∞). Pero Xp = n=1 αn xn , ∑∞ luego x = n=1 αn xn . La unicidad de esta expresi´on es evidente porque si

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∑ βn xn entonces ∞ n=1 (αn − βn )xn = 0, y debido a la ∑p definici´on de Pp resulta n=1 (αn − βn )xn = 0 para cada p ∈ N. Concluimos tambi´en fuese x =

∑∞

n=1

que αj − βj = 0 para todo j ∈ N, que era lo deseado.

2

1.0

0.5

0.0 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.5

-1.0

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Fig. 1. Sistema de Haar: funciones h2 , h3 y h4 Si (xn ) es una base de Schauder de E, entonces cada “funcional de coordenada” φn : x =

∞ ∑

αj xj ∈ X 7→ αn ∈ K (n = 1, 2, . . . )

j=1

no solo est´a bien definida y es lineal, sino que es continua, es decir, se comporta bien respecto de la topolog´ıa de E. En otras palabras, φn ∈ E ∗ para todo n ∈ N. En efecto, ∥φn (x)xn ∥ = ∥Pn x − Pn−1 x∥ ≤ ∥Pn x∥ + ∥Pn−1 x∥ ≤ 2K∥x∥,

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luego ∥φn ∥ ≤ 2K/∥xn ∥. Como ejemplo vamos a construir una base de Schauder en C([0, 1]). Tal base va a ser una transformaci´on del as´ı denominado “sistema de Haar” (hn )n≥1 para el espacio L1 ([0, 1]) de las funciones [0, 1] → R integrables Lebesgue. Estas funciones hn : [0, 1] → R (ver Fig. 1) se definen como h1 (t) ≡ 1 y, para k = 0, 1, 2, . . . y l = 1, 2, . . . , 2k , h2k +l = χ[ 2l−2 , 2l−1 ) − χ[ 2l−1 , 2k+1 2k+1

2l ] 2k+1 2k+1

.

As´ı que son funciones que pueden toman los valores 0, 1, −1 en cada subintervalo di´adico de [0, 1]. Nuestra base de Schauder va a estar constituida por las funciones gn : [0, 1] → R (n ≥ 0) (ver Fig. 2) definidas por g0 ≡ 1 y ∫x gn = un /∥un ∥, donde un (x) := 0 hn (t) dt (n ≥ 1). En cada subintervalo di´adico, estas funciones valen 0 o 1, o bien son lineales afines con valores extremos en {0, 1}. Obs´ervese que cada gn es una poligonal y que, si n > m, entonces gn es nula en todos los extremos de la poligonal correspondiente a gm . Vamos a probar: (a) span{gn : n ≥ 0} = C([0, 1]). (b) (gn ) es una sucesi´on b´asica con constante = 1. (a) Fijemos ε > 0 y f ∈ C([0, 1]). Debido a la continuidad uniforme, existe N ∈ N tal que: |u − v| ≤ 1/2N =⇒ |f (u) − f (v)| < ε. Por otra parte, cualquier combinaci´on lineal de las funciones gn es una funci´on continua lineal a trozos. Dividamos [0, 1] en 2N partes iguales mediante los puntos xi = i/2N (i = 0, 1, 2, . . . , 2N ). Vamos a encontrar una combi∑N naci´on lineal g = 2i=0 αi gi tal que g(xi ) = f (xi ) para todo i = 0, 1, . . . , 2N . Para hacer esto, observemos que g0 (0) = 1 y gn (0) = 0 para todo n ≥ 1. As´ı que debe ser α0 = f (0). Adem´as g0 (1) = 1 = g1 (1) y gn (1) = 0 para

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todo n ≥ 2. Luego debe ser α0 + α1 = f (1), y por tanto α1 = f (1) − f (0). As´ı vamos determinando αi (i = 0, 1, . . . , 2N ). En cada punto t del intervalo di´adico [ 2iN , i+1 ] se tiene que g(t) est´a comprendido entre f ( 2iN ) y f ( i+1 ). 2N 2N Como |f (t) − f ( 2iN )| < ε y |f (t) − f ( i+1 )| < ε, resulta |g(t) − f (t)| < ε en 2N cada subintervalo. En consecuencia, ∥g − f ∥∞ < ε y obtenemos la densidad. (b) Fijemos n´ umeros p, q ∈ N con p < q y escalares α0 , α1 , . . . , αq . En∑p ∑ tonces ∥ i=0 αi gi ∥∞ es el valor | pi=0 αi gi (x0 )| para alg´ un x0 di´adico que es el extremo de un intervalo di´adico de los que aparecen en la definici´on de las funciones gi (i = 0, 1, . . . , p). Como las gi (i > p) son todas nulas en x0 , se p p q q

∑

∑ ∑ ∑



tiene: αi gi ∞ = αi gi (x0 ) = αi gi (x0 ) ≤ αi gi ∞ , lo cual i=0

i=0

i=0

i=0

demuestra lo que quer´ıamos, sin m´as que aplicar el Teorema 1.4.3. 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Fig. 2. Funciones g2 , g3 y g4

Ejercicios 1.- Sea c el espacio de Banach formado por las sucesiones (ξk ) tales que existe limk→∞ ξk =: λ ∈ K, con la norma del supremo. Consideremos la aplicaci´on

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27

T : c → c0 dada por T (ξ1 , ξ2 , . . . ) = (λ, ξ1 − λ, ξ2 − λ, . . . ). Probar que T es un isomorfismo entre los espacios de Banach c y c0 , y calcular ∥T ∥ y ∥T −1 ∥. 2.- Denotemos I = [0, 1] y supongamos que (fn ) es una sucesi´on en Lp (I), donde p ∈ (1, +∞). Probar que se cumplen las siguientes implicaciones, y que las rec´ıprocas son falsas: fn → f uniformemente =⇒ fn → f en la norma ∥ · ∥p =⇒ fn → f en ∥ · ∥1 . 3.- Sea Φ : ℓ2 → R definida por Φ(x) = 2x1 si x = (xn ). Calcular la distancia del vector x = (2−n/2 ) al n´ ucleo de Φ. 4.- Consideremos el espacio c con la norma ∥ · ∥∞ . Para cada n ∈ N, sea en la sucesi´on (0, 0, . . . , 0, 1 , 0, 0, . . . ). Probar que (en ) es una sucesi´on b´asica en [n]

c, pero no es base de Schauder de este espacio. 5.- Sea X un espacio de Banach de dimensi´on infinita y {ei }i∈I una base algebraica de X. Probar que s´olo puede existir un n´ umero finito de ´ındices j ∈ I ∑ tales que la aplicaci´on lineal fj : X → K dada por fj ( i∈I αi ei ) = αj sea continua. Indicaci´ on: Proceder por reducci´on al absurdo considerando los subconjuntos fj−1 ({0}) (j ∈ J) y aplicar el teorema de Baire. 6.- Sea X un EN, Y un subespacio de X y x0 ∈ X. (a) Si B(x0 , δ) ∩ Y = ∅, probar que existe f ∈ X ∗ tal que ∥f ∥ ≤ 1/δ, f (x0 ) = 1 y f (y) = 0 para todo y ∈ Y . Sugerencia: Aplicar el teorema de Hahn-Banach a una aplicaci´on adecuada ⟨Y, x0 ⟩ → K, donde ⟨Y, x0 ⟩ := span (Y ∪ {x0 }). (b) Probar que d(x0 , Y ) = sup{|Λ(x0 )| : Λ ∈ X ∗ , ∥Λ∥ = 1, Λ(y) = 0 para todo y ∈ Y }.

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(c) Sea Λ ∈ X ∗ con ∥Λ∥ = 1 y sea Y = Ker(Λ), el n´ ucleo de Λ. Sea a ∈ X \ Y . Probar que cada vector x ∈ X puede expresarse de manera u ´nica en la forma x = y + λa con y ∈ Y y λ ∈ K. Sea Λ′ ∈ X ∗ tal que Λ′ (y) = 0 para todo y ∈ Y . Probar que existe c ∈ K tal que Λ′ = cΛ. (d) Sea Λ ∈ X ∗ con ∥Λ∥ = 1 e Y = Ker(Λ). Probar que para cada x ∈ X se tiene d(x, Y ) = |Λ(x)|. 7.-

(a) Sea X un espacio de Banach con base de Schauder (en ). Supongamos que Y es otro espacio de Banach, isomorfo a X, y que T : X → Y es un isomorfismo. Probar que la sucesi´on (T en ) es una base de Schauder de Y . (b) Utilizar (a) y el Ejercicio 1 para construir una base de Schauder de c y calcular su constante b´asica.

8.-

(a) Sea X un espacio de Banach y F un subespacio cerrado de X. Decimos que un subespacio G de X es un complemento topol´ ogico de F si X = F + G, G es cerrado y F ∩ G = {0}. Probar que, en un espacio de Hilbert, todo subespacio cerrado tiene un complemento topol´ogico. (b) Sea X un espacio de Banach y F, G subespacios cerrados de X, de modo que F ∩ G = {0} y F + G es cerrado en X. Probar que existe C ∈ (0, +∞) tales que para cada par de vectores y ∈ F, z ∈ G se tiene ∥y∥ ≤ C∥y + z∥ y ∥z∥ ≤ C∥y + z∥. Sugerencia: Aplicar el teorema de la aplicaci´on abierta a una aplicaci´on conveniente definida sobre F × G.

9.- Sea X un espacio de Banach y (en ) una base de Schauder de X. Decimos que (en ) es una base incondicional si existe una constante K ∈ [1, +∞) tal que, si A y B son subconjuntos finitos de N con A ⊂ B, entonces para cada ∑ ∑ sucesi´on de escalares (an ) se verifica ∥ n∈A an en ∥ ≤ K · ∥ n∈B an en ∥. La menor constante K que verifica esta propiedad se llama constante b´ asica incondicional.

ESPACIOS DE BANACH Y DE HILBERT

29

(a) Probar que toda BON en un espacio de Hilbert es una base incondicional y calcular su constante b´asica. (b) Sea (un ) la base de Schauder de c dada por u1 = (1, 1, 1, 1, . . . ), un = (0, 0, . . . , 0, 1 , 0, 0, . . . ) (n ≥ 2). Probar que es una base in[n−1]

condicional y hallar su constante b´asica. (c) Sea (en ) una base incondicional de X. Probar que si la serie

∑∞

n=1 an en

converge, entonces converge incondicionalmente, esto es, para toda per∑ mutaci´on π : N → N, la serie ∞ n=1 aπ(n) eπ(n) converge al mismo vector suma. 10.-

(a) Sea X el espacio C([0, 1]), dotado de la norma del supremo. Demostrar ∫ 1/2 ∫1 que A := {f ∈ X : 0 f (t) dt − 1/2 f (t) dt = 1} es un subconjunto convexo cerrado de X que carece de vectores de norma m´ınima. ∫1 (b) Demostrar que M := {f ∈ L1 ([0, 1]) : 0 f (t) dt = 1} es un subconjunto convexo cerrado de L1 ([0, 1]) que contiene infinitos vectores de norma m´ınima.

11.- Sea (Tn ) una sucesi´on de operadores continuos entre dos espacios de Banach X e Y . Probar que son equivalentes: (a) (Tn ) converge puntualmente a un operador continuo T : X → Y . (b) La sucesi´on (∥Tn ∥) est´a acotada y converge puntualmente en un subconjunto denso de X. 12.-

(a) Probar que si un espacio m´etrico X contiene una colecci´on no numerable de bolas disjuntas dos a dos, entonces X no es separable. (b) Si [a, b] ⊂ R es un intervalo cerrado, se dice que una funci´on f : [a, b] → ∑ R es de variaci´ on acotada si V (f ) := sup{ N i=1 |f (ti ) − f (ti−1 )| : a = t0 < t1 < · · · < tN = b, N ∈ N} < +∞. Es f´acil ver que la familia X de las funciones de variaci´on acotada en [a, b] es un EV y que la aplicaci´on ∥f ∥ := |f (a)| + V (f ) es una norma sobre ´el. Demostrar que X no es separable.

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

13.- Para cada sucesi´on a = (an ) de n´ umeros reales, se considera la aplicaci´on “diagonal” Ta que asigna a cada x = (xn ) ∈ ℓ2 la sucesi´on Ta (x) = (an xn ). (a) ¿Para qu´e sucesiones a la aplicaci´on Ta define un operador lineal y continuo ℓ2 → ℓ2 ? (b) En tal caso, hallar ∥Ta ∥. ¿Se alcanza siempre dicha norma? (c) En las condiciones de (a), ¿para qu´e sucesiones a es Ta (ℓ2 ) un subespacio cerrado de ℓ2 ? 14.-

(a) Sea ∥·∥ una norma en ℓ∞ que lo hace completo y tal que las aplicaciones Λn : ℓ∞ → R dadas por Λn (x) = ξn , donde x = (ξn ), son continuas. Probar que esta norma es equivalente a la norma del supremo. Sugerencia: Demostrar que la aplicaci´on identidad (ℓ∞ , ∥ · ∥∞ ) → (ℓ∞ , ∥ · ∥) tiene grafo cerrado. (b) Sea |∥ · ∥| la norma en ℓ∞ dada por |∥(ξn )∥| = sup

{ |ξn | n

} : n ∈ N .

Probar que (ℓ∞ , |∥ · ∥|) no es un espacio de Banach. 15.- Sea X un espacio de Banach que admite una base de Schauder (xn ), y supongamos que A es un subconjunto de X. Denotemos por αn : X → K (n ≥ 1) las funcionales de coordenadas correspondientes a la base (xn ). Probar que son equivalentes: (a) A es compacto.

∞

{ ∑ } (b) A es cerrado, acotado y l´ım sup αi (x)xn : x ∈ A = 0. n→∞

i=n+1

Indicaci´ on: Deducir del Lema 1.4.2 que la aplicaci´on T : (an ) ∈ F 7→

∞ ∑

an xn ∈ X

n=1

dada en ´el es un isomorfismo topol´ogico, y usar este hecho para demostrar a partir de (a) que el l´ımite de (b) es 0.

Cap´ıtulo 2 Espacios vectoriales topol´ ogicos Hemos visto que en cada EN (X, ∥ · ∥) se puede definir una distancia d(x, y) = ∥x − y∥, y por lo tanto X es EV y ET. Adem´as su topolog´ıa es compatible con la estructura lineal en el sentido de que la suma (x, y) ∈ X × X 7→ x + y ∈ X y el producto por escalares (λ, x) ∈ K × X 7→ λx ∈ X son aplicaciones continuas. En este cap´ıtulo vamos a estudiar otros tipos de espacios vectoriales y topol´ogicos en las que las operaciones de EV son continuas para la topolog´ıa.

2.1.

Topolog´ıas compatibles con la estructura lineal

Antes de llevar a cabo el mencionado estudio, vamos a recordar un conocido resultado topol´ogico. En ´el se establece que podemos definir la topolog´ıa a trav´es de una base de entornos de cada punto. Teorema 2.1.1. Sea X un conjunto no vac´ıo. (1) Supongamos que para cada x0 ∈ X existe una familia Fx0 ̸= ∅ de subconjuntos de X que verifica:

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

• x0 ∈ U para todo U ∈ Fx0 , y • Para cada U, V ∈ Fx0 y cada x ∈ U ∩ V , existe W ∈ Fx tal que W ⊂U ∩V. Sea τ := {G ⊂ X : para todo x ∈ G existe U ∈ Fx tal que x ∈ U ⊂ G}. Entonces τ es una topolog´ıa en X y, para cada x0 ∈ X, la familia Fx0 es una base de entornos de x0 formada por abiertos de dicha topolog´ıa. (2) Supongamos que para cada x0 ∈ X existe una familia Sx0 ̸= ∅ de subconjuntos de X que verifica: • x0 ∈ U para todo U ∈ Sx0 , y • Para cada U ∈ Sx0 y cada x ∈ U , existe W ∈ Sx tal que W ⊂ U . Entonces existe una topolog´ıa τ sobre X tal que, para cada x0 ∈ X, la familia Fx0 := {intersecciones finitas de miembros de Sx0 } es una base de entornos de x0 para τ formada por abiertos de dicha topolog´ıa. Demos un ejemplo de topologizaci´on de un EV que no da lugar a un EN. Sea Ω ⊂ C un abierto no vac´ıo y consideremos el espacio vectorial H(Ω) := {f : Ω → C : f es anal´ıtica en Ω}. Recordemos que una funci´on f : Ω → C es anal´ıtica (es decir, desarrollable en serie de potencias en un entorno de cada punto de Ω) si y solo si es holomorfa (esto es, C-diferenciable en cada punto de Ω). Para cada compacto K ⊂ Ω, cada ε > 0 y cada f ∈ H(Ω), consideremos el conjunto V (f, ε, K) := {g ∈ H(Ω) : |g(z) − f (z)| < ε ∀z ∈ K}. Entonces, para cada f ∈ H(Ω), la familia Ff := {V (f, ε, K) : K compacto ⊂ Ω, ε > 0} es una base de entornos de f para una topolog´ıa τ sobre Ω. En efecto: cada V (f, ε, K) contiene a f y, dada g ∈ V (f, ε1 , K1 ) ∩ V (f, ε2 , K2 ), entonces, como inmediatamente se verifica, V (g, ε, K1 ∩ K2 ) ⊂ V (f, ε1 , K1 ) ∩ V (f, ε2 , K2 ), donde ε := m´ın{ε1 − m´axK1 |g − f |, ε2 − m´axK2 |g − f |}. Basta aplicar ahora el Teorema 2.1.1.

´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

33

A τ se le llama la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos o, m´as sencillamente, la topolog´ıa de la convergencia compacta. El nombre se τ

justifica porque, como es inmediato comprobar, se tiene que fn → f si y solo n

si fn → f uniformemente en cada compacto K ⊂ Ω. n

Veamos que, en H(Ω), la suma y el producto por escalares son aplicaciones continuas. Para cada par de subconjuntos A, B de un espacio vectorial X, cada vector x ∈ X, cada escalar λ y cada subconjunto Λ ⊂ K, usamos las notaciones A + B := {x + y : x ∈ A, y ∈ B}, λA := {λx : x ∈ A}, x + A := {x + u : u ∈ A} y Λ · A := {λx : λ ∈ Λ, x ∈ A}. La continuidad de las operaciones mencionadas quedan patentes gracias a las siguientes inclusiones, f´aciles de verificar: V (f, ε/2, K) + V (g, ε/2, K) ⊂ V (f + g, ε, K), B(λ,

ε ε ) · V (f, , K) ⊂ V (λf, ε, K). 2(1 + m´axK |f |) 2(1 + |λ|)

Adem´as H(Ω) es de dimensi´on infinita pues contiene todos los polinomios. Finalmente, τ no proviene de una norma. En efecto, por reducci´on al absurdo, supongamos que hay una norma ∥ · ∥ que define la topolog´ıa de H(Ω). Sea B := {f ∈ H(Ω) : ∥f ∥ ≤ 1} su bola unidad cerrada. Dado un compacto K ⊂ Ω, consideremos el abierto V (0, 1, K), que es un entorno de la funci´on 0. Entonces debe existir δ > 0 tal que δB ⊂ V (0, 1, K). Esto significa que |f (z)| ≤ 1/δ para todo z ∈ K y para toda f ∈ B. As´ı que la familia B est´a uniformemente acotada en cada subconjunto compacto de Ω. Por el Teorema de Montel (ver Cap´ıtulo 3), B es compacta, luego, por el Teorema de Riesz, dim(H(Ω)) < +∞, lo cual es una contradicci´on. Por tanto, necesitamos unas estructuras m´as generales que los espacios normados. Para satisfacer esta laguna de modo satisfactorio se introduce el concepto de espacio vectorial topol´ogico, que se debe a Kolmogoroff (1934).

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Definici´ on 2.1.2. Sea X un EV que es tambi´en un ET separado. Decimos que X es un espacio vectorial topol´ ogico (EVT) si la suma y el producto por escalares son aplicaciones continuas. Observemos que si X es un EVT entonces las traslaciones x ∈ X 7→ x + a ∈ X (a ∈ X) y las homotecias x ∈ X 7→ λx ∈ X (λ ∈ X) son continuas. Considerando x 7→ x − a y x 7→ λ−1 x, resulta que las traslaciones son homeomorfismos, y las homotecias lo son si λ ̸= 0. Corolario 2.1.3. Sea X un EVT y x0 ∈ X. Entonces un conjunto V ⊂ X es un entorno de x0 si y solo si V − x0 es un entorno de 0. Por tanto los entornos de 0 definen la topolog´ıa de un EVT. Denotaremos por E(x0 ) la familia de los entornos de un punto x0 ∈ X. Definici´ on 2.1.4. Sea X un EV. Decimos que un conjunto A ⊂ X es absorbente si para cada x ∈ X existe λ = λ(x) ∈ K tal que x ∈ λA. Proposici´ on 2.1.5. Sea X un EVT y V ∈ E(0). Se tiene: (a) V es absorbente. (b) Existe V1 ∈ E(0) tal que V1 + V1 ⊂ V . (c) Existe V1 ∈ E(0) tal que V1 ⊂ V . Demostraci´on. (a) Fijemos x ∈ V . Puesto que 0 · x = 0 y la multiplicaci´on es continua, podemos encontrar δ > 0 tal que λX ∈ V si |λ| < δ. As´ı que x ∈ (2/δ)V . (b) Como 0 + 0 = 0 y la suma es continua, existen V2 , V3 ∈ E(0) tales que V2 + V3 ⊂ V . Basta tomar V1 := V2 ∩ V3 . (c) Tomemos V1 como en (b), y sea x ∈ V1 . Ya que −V1 ∈ E(0), se tiene que x − V1 ∈ E(x), luego (x − V1 ) ∩ V1 ̸= ∅. Por tanto existen y, z ∈ V1 con x − y = z. As´ı que x = y + z ∈ V1 + V1 ⊂ V . En resumen, V1 ⊂ V .



´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

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Recordemos otro par de conceptos en los que no interviene la topolog´ıa del espacio. Definici´ on 2.1.6. Sea X un EV. Un conjunto C ⊂ X es convexo si tC + (1 − t)C ⊂ C para todo t ∈ [0, 1]. Se dice que C es equilibrado si αC ⊂ C para todo α ∈ K con |α| ≤ 1. Proposici´ on 2.1.7. Sea X un EVT. Se verifica: (a) Si G ⊂ X es abierto, entonces G + A es abierto para todo A ⊂ X. (b) Si A, B ⊂ X y t ∈ K, entonces A + B ⊂ A + B y tA = tA. (c) Si C es convexo, tambi´en lo son C 0 y C. (d) Si B ⊂ X es equilibrado, tambi´en lo es B; si adem´as 0 ∈ B 0 , entonces B 0 es equilibrado. (e) Si Y ⊂ X es un EV, tambi´en lo es Y . (f) Si A ⊂ X, entonces A =

∩

V ∈E(0) (A

Demostraci´ on. (a) Tenemos que G + A =

+ V ). ∪

x∈A (G

+ x), que es abierto por

ser uni´on de abiertos. (b) Sean a ∈ A, b ∈ B y w ∈ E(a + b). Existen W1 ∈ E(a) y W2 ∈ E(b) tales que W1 + W2 ⊂ W . Ahora bien, podemos tomar x ∈ A ∩ W1 e y ∈ B ∩ W2 . Entonces x + y ∈ (A + B) ∩ (W1 + W2 ), luego (A + B) ∩ W ̸= ∅, de donde a + b ∈ A + B. As´ı que A + B ⊂ A + B. En cuanto a la igualdad tA = tA, es trivialmente cierta si A = ∅. Sea pues A ̸= ∅. Si t = 0, hemos de probar que {0} = {0}, que es cierto porque X es separado. Si t ̸= 0, la igualdad se deduce del hecho de que la homotecia x ∈ X 7→ tx ∈ X es un homeomorfismo.

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(c) Partimos de que C es convexo. Para cada t ∈ (0, 1) tenemos que tC + (1 − t)C = tC + (1 − t)C ⊂ tC + (1 − t)C ⊂ C, donde se ha usado (b) en la igualdad y en la primera inclusi´on. Por otra parte, como C 0 ⊂ C y C es convexo, se deduce que tC 0 + (1 − t)C 0 ⊂ C. Pero por (a) el conjunto tC 0 + (1 − t)C 0 es abierto, as´ı que est´a contenido en C 0 . (d) Supongamos que B es equilibrado y que |α| ≤ 1. Debido a (b) y a que αB ⊂ B, tenemos αB = αB ⊂ B. Luego B es equilibrado. Probemos que B 0 tambi´en lo es si 0 ∈ B 0 . Sea α ∈ K con |α| ≤ 1. Si α ̸= 0, tenemos que αB 0 es abierto y αB 0 ⊂ αB ⊂ B, luego αB 0 ⊂ B 0 . Si α = 0, se tiene para dicho α que αB 0 = {0} ⊂ B 0 . (e) Este apartado es similar a (c) considerando el conjunto λY + µY con λ, µ ∈ K. (f) Usamos que los entornos de un punto x tienen la forma x+V con V ∈ E(0), y que V ∈ E(0) si y solo si −V ∈ E(0). Tenemos: x ∈ A ⇐⇒ ∀V ∈ E(0), A ∩ (x − V ) ̸= ∅ ⇐⇒ ∀V ∈ E(0) ∃a ∈ A y ∃v ∈ V tal que a = x − v ⇐⇒ ∀V ∈ E(0) ∃a ∈ A y ∃v ∈ V tal que x = a + v ⇐⇒ ∀V ∈ E(0), x ∈ A + V ∩  ⇐⇒ x ∈ V ∈E(0) (A + V ). Con respecto al apartado (b) anterior, debe observarse que A + B no es necesariamente cerrado, aunque lo sean A y B. Por ejemplo, sea X = R2 y consideremos los subconjuntos A = {(y, 0) : y ≤ 0} y B = {(x, 1/x) : x > 0}, que son cerrados. Entonces A + B = {(x + y, 1/x) : x > 0, y ≤ 0}, el cual no es cerrado porque (0, 0) ∈ A + B \ (A + B). Teorema 2.1.8. Sea X un EVT. Se verifica: (a) Todo entorno de 0 contiene un entorno equilibrado de 0. (b) Todo entorno convexo de 0 contiene un entorno equilibrado y convexo de 0.

´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

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Demostraci´on. (a) Sea U ∈ E(0). Gracias a la continuidad de la multiplicaci´on K × X → X en el origen, existen δ > 0 y V ∈ E(0) que satisfacen {α : |α| < δ} · V ⊂ U , o lo que es lo mismo, αV ⊂ U si |α| < δ. Elegir ∪ W := |α| 0 tal que A ⊂ tU para todo t > s. Por ejemplo, en el caso de un espacio normado, es f´acil ver que un subconjunto es acotado seg´ un la definici´on anterior si y solo si es acotado en norma. No obstante, debe observarse que, en el caso de un EVT metrizable, con una m´etrica d, la definici´on de ser A acotado no es equivalente en general a que A est´e contenido en una d-bola. En efecto, la definici´on dada aqu´ı solo depende de la topolog´ıa mientras que, como es f´acil probar, toda m´etrica d es equivalente a una m´etrica acotada, como por ejemplo d/(1 + d).

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Trivialmente, todo subconjunto de un conjunto acotado es acotado. Y es f´acil ver que un conjunto finito y una uni´on finita de conjuntos acotados son asimismo acotados. Veamos que esta propiedad tambi´en se conserva al tomar clausuras. Proposici´ on 2.2.2. Sea X un EVT. Si A ⊂ X es acotado, entonces A es tambi´en acotado. Demostraci´ on. Sea V ∈ E(0). Por la Proposici´on 2.1.5(c), existe W ∈ E(0) tal que W ⊂ V . Como A es acotado, existe r > 0 tal que A ⊂ tW para todo t > r, luego A ⊂ tW = tW ⊂ tV para todo t > r.



Vamos a ver que en un EVT los conjuntos compactos son “peque˜ nos”. De hecho, tienen muchas propiedades en com´ un con los conjuntos finitos. Por ejemplo, es f´acil probar que todo conjunto compacto de un ET separado es cerrado.

Teorema 2.2.3. Todo subconjunto compacto de un EVT es acotado. Demostraci´on. Fijemos un compacto K ⊂ X, donde X es un EVT, as´ı como un V ∈ E(0). Tomemos W ∈ E(0) equilibrado tal que W ⊂ U . Para cada x ∈ K existe r(x) > 0 tal que x ∈ tW para todo t ≥ r(x), pues W es ∪ absorbente. Entonces K ⊂ x∈K r(x)W . Como W se puede elegir abierto, resulta que cada r(x)W es abierto. Ya que K es compacto, existe un n´ umero ∪N finito de vectores x1 , . . . , xN ∈ K tal que K ⊂ i=1 r(xi )W . Como W es equilibrado, resulta que αW ⊂ βW si 0 < α < β. En consecuencia, K ⊂ tW para todo t > r0 := m´ax{r(xi ) : 1 ≤ i ≤ N }. Por tanto K ⊂ tU para todo t > r0 . As´ı que K es acotado.



´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

2.3.

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Ejemplos de espacios vectoriales topol´ ogicos

A continuaci´on, vamos a proporcionar algunos ejemplos de espacios vectoriales topol´ogicos que no son necesariamente normables, es decir, su topolog´ıa no est´a necesariamente definida por una norma. Comencemos con el concepto de seminorma. Definici´ on 2.3.1. Sea X un EV. Llamamos seminorma sobre X a una aplicaci´on p : X → R que verifica: (1) es homog´enea, es decir, p(λx) = |λ|p(x) para todo par (λ, x) ∈ K × X, (2) es subaditiva, es decir, cumple la propiedad triangular, esto es, p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para todo x, y ∈ X. Dado cualquier x ∈ X, se deduce que p(0) = p(0 · x) = 0 · p(x) = 0 y 0 = p(0) = p(x + (−x)) ≤ p(x) + p(−x) = p(x) + p(x) = 2p(x), luego p(x) ≥ 0. En particular, toda norma es seminorma, pero no al rev´es; por ejemplo, p(x1 , x2 ) := |x1 | es una seminorma sobre R2 pero no es norma. Sea ahora P una familia de seminormas sobre un EV X. Se supone que • P separa puntos, o es separante, es decir, dado x ∈ X \ {0}, existe p = px ∈ P tal que p(x) > 0. • P es filtrante, esto es, dadas p1 , p2 ∈ P, existe p ∈ P tal que pi ≤ p (i = 1, 2). Para cada x0 ∈ X, cada ε > 0 y cada p ∈ P, denotamos V (x0 , ε, p) := {x ∈ X : p(x − x0 ) < ε}. Entonces las familias Fx0 := {V (x0 , ε, p) : ε > 0, p ∈ P} (x0 ∈ X) definen una topolog´ıa τ sobre X para la que cada Fx0 es una base de entornos de x0 . En efecto, en primer lugar es evidente que x0 ∈ V (x0 , ε, p) para todos los

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x0 , ε, p. Adem´as, dados U = V (x0 , ε, p) y V = V (x0 , δ, q), y dado y0 ∈ U ∩ V , hemos de encontrar W ∈ Fy0 tal que W ⊂ U ∩ V . Por filtrancia, existe r ∈ P tal que r ≥ p, q. Si α := m´ın{ε − p(y0 − x0 ), δ − q(y0 − x0 )}, se ve usando la desigualdad triangular que W ⊂ U ∩ V , donde W := V (y0 , α, r). De acuerdo con el Teorema 2.1.1, existe una topolog´ıa τ en las condiciones anteriores. Esta topolog´ıa es separada. En efecto, supongamos que x ̸= y. Entonces x − y ̸= 0, luego existe p ∈ P con p(x − y) > 0. Si ε := p(x − y)/2, se obtiene que los abiertos A := V (x, ε, p), B := V (y, ε, p) cumplen x ∈ A, y ∈ B, A ∩ B = ∅. Por u ´ltimo, τ hace de X un EVT. Esto se deduce del hecho de que, de modo parecido al ejemplo de H(Ω) del principio del cap´ıtulo, se tiene que V (x0 , ε/2, p) + V (y0 , ε/2, p) ⊂ V (x0 + y0 , ε, p), y ε ε ) · V (x0 , , p) ⊂ V (λ0 x0 , ε, p), 2(1 + p(x0 )) 2(1 + |λ0 |) lo cual da, respectivamente, la continuidad de la suma (x, y) 7→ x + y y del B(λ0 ,

producto por escalares (λ, x) 7→ λx. Un caso particular del ejemplo anterior viene dado por el EV C(Ω) de las funciones continuas f : Ω → K, donde Ω es un abierto no vac´ıo de RN , dotado de la familia de seminormas P = {pK : K compacto ⊂ Ω}, siendo pK (f ) := m´ax{|f (x)| : x ∈ K}. En efecto, es f´acil ver que cada pK es una seminorma. Adem´as P separa puntos [dada f : Ω → K continua con f ̸= 0, existe x0 ∈ Ω tal que f (x0 ) ̸= 0; entonces, si tomamos K = {x0 }, resulta que pK (f ) = |f (x0 )| > 0] y es filtrante [dadas pK , pL ∈ P, se tiene pS ≥ pK , pL , donde S = K ∪ L]. La topolog´ıa τ (P) que define P usando el procedimiento anterior es la de la convergencia uniforme en compactos. M´as adelante veremos que (C(Ω), τ (P)) es metrizable. En el caso especial N = 2, K = C obtenemos que la restricci´on de τ (P) al subespacio H(Ω) es la topolog´ıa de la convergencia compacta en dicho

´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

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subespacio. Luego H(Ω) es tambi´en metrizable con esta topolog´ıa. Sea de nuevo Ω ⊂ RN un abierto no vac´ıo. Consideremos ahora el EV C ∞ (Ω) de las funciones infinitamente diferenciables sobre Ω, es decir, α C ∞ (Ω) = {f : Ω → K : ∀α ∈ NN 0 ∃D f en Ω y es continua}.

Aqu´ı N0 = N ∪ {0} y los elementos α = (α1 , α2 , . . . , αN ) ∈ NN 0 se llaman “multi´ındices” o “N -tuplas”. A cada multi´ındice α se le asocia el operador diferencial Dα := (∂/∂x1 )α1 · · · (∂/∂xN )αN , cuyo orden es |α| := α1 +· · ·+αN . Para cada f ∈ C ∞ (Ω), cada ε > 0, cada compacto K ⊂ Ω y cada k ∈ N0 , definimos V (f, ε, K, k) := {g ∈ C ∞ (Ω) : |Dα f (x) − Dα g(x)| < ε ∀x ∈ K y ∀α ∈ NN 0 tal que |α| ≤ k}. Con argumentos similares a los anteriores, se ve que la familia {V (f, ε, K, k) : f ∈ C ∞ (Ω), ε > 0, K compacto ⊂ Ω, k ∈ N0 } es una base para una topolog´ıa τ sobre C ∞ (Ω), que es la de la convergencia uniforme en compactos de las funciones y sus derivadas. Si fijamos f y hacemos variar ε, K y k, obtenemos una base de entornos de f . Como antes, se observa que dicha topolog´ıa es separada y de EVT. Un subespacio destacado de C ∞ (Ω) es D(K0 ), el EV de las funciones f ∈ C ∞ (Ω) con soporte en K0 , donde K0 es un subconjunto compacto de Ω. Esto significa que f (x) = 0 para todo x ∈ Ω \ K0 . Se tiene que D(K0 ) es un subespacio cerrado de C ∞ (Ω). En efecto, sea f ∈ D(K0 ) y x ∈ Ω \ K0 ; entonces, para todo ε > 0, D(K0 ) ∩ V (f, ε, {x}, 0) ̸= ∅, luego existe g ∈ C ∞ (Ω) tal que g(x) = 0 y |f (x) − g(x)| < ε, as´ı que |f (x)| < ε para todo ε > 0; por tanto f (x) = 0 para todo x ∈ Ω \ K0 , o lo que es lo mismo, f ∈ D(K0 ). En el Cap´ıtulo 1 record´abamos los espacios de Banach Lp , donde 1 ≤ p < +∞. Si ahora 0 < p < 1, vamos a considerar el conjunto ∫1 Lp = Lp ([0, 1]) := {f : [0, 1] → K : f es medible y 0 |f (x)|p dx < +∞},

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

donde se identifican dos funciones si son iguales en casi todo respecto de la medida de Lebesgue en [0, 1]. Veamos que Lp es un EV. Para ello, hemos de probar antes que (a + b)p ≤ ap + bp para todo a, b ≥ 0.

(1)

Si a = 0 es evidente. Si a > 0, (1) es equivalente a probar que (1+x)p ≤ 1+xp [hacer x = b/a]. Sea φ : [0, +∞) → R la funci´on φ(x) = 1 + xp − (1 + x)p . Entonces φ(0) = 0 y φ′ (x) = p(xp−1 − (1 + x)p−1 ) ≥ 0 [porque 1 + x ≥ x y la exponencial de exponente negativo es decreciente]. Luego φ es creciente, as´ı que φ(x) ≥ φ(0) = 0 para todo x ≥ 0, que es justo lo que queremos. ∫1 ∫1 Entonces, si α ∈ R y f, g ∈ Lp , resulta 0 |f + g|p ≤ 0 (|f | + |g|)p ≤ ∫1 ∫1 ∫1 ∫1 ∫1 (|f |p + |g|p ) = 0 |f |p + 0 |g|p < +∞ y 0 |αf |p = α 0 |f |p < +∞. Se 0 deduce que Lp es un EV. Pero adem´as, de la misma desigualdad (1) se deduce que la expresi´on d(f, g) =

∫1 0

|f (t) − g(t)|p dt

define una distancia sobre Lp . Las bolas B(f, ε) = {g ∈ Lp : d(f, g) < ε} generan una topolog´ıa τ sobre Lp , que es separada. Demostremos que τ es una topolog´ıa de EVT. Fijemos f0 , g0 ∈ Lp y ε > 0. Si d(f, f0 ) < ε/2 y d(g, g0 ) < ε/2, se tiene que ∫ 1 ∫ 1 p d(f + g, f0 + g0 ) = |f + g − f0 − g0 | ≤ (|f − f0 |p + |g − g0 |p ) 0 0 ∫ 1 ∫ 1 p = |f − f0 | + |g − g0 |p = d(f, f0 ) + d(g, g0 ) < ε, 0

0

de donde se deduce la continuidad de la suma. Para ver que el producto por escalares es tambi´en continuo, usamos sucesiones. Fijemos λ0 ∈ K y f0 ∈ Lp , as´ı como dos sucesiones (λn ) ⊂ K, (fn ) ⊂ Lp tales que λn → λ0 y fn → f0 . Resulta que d(λn fn , λ0 f0 ) ≤ d(λn fn , λn f0 ) + d(λn f0 , λ0 f0 ) ∫ 1 p p = |λn | d(fn , f0 ) + |λn − λ0 | · |f0 |p −→ 0 0

n→∞

´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

43

porque d(fn , f0 ) → 0 y (λn ) est´a acotada. Luego λn fn → λ0 f0 , como se requer´ıa. Vamos a demostrar que, en el caso 0 < p < 1, no existen abiertos convexos en Lp distintos de ∅ y Lp . En efecto, sea V un abierto convexo no vac´ıo en Lp . Por una traslaci´on, podemos suponer que V ∈ E(0). Luego existe r > 0 tal que B(0, r) ⊂ V . Sea f ∈ Lp arbitraria. Como p < 1, existe n ∈ N tal que ∫1 np−1 0 |f |p < r. Por otra parte, de la continuidad de la funci´on x ∈ [0, 1] 7→ ∫x p |f | se infiere la existencia de puntos x0 = 0 < x1 < x2 < · · · < xn = 1 0 ∫ xi ∫1 de modo que xi−1 |f |p = n1 · 0 |f |p (i = 1, . . . , n). Para cada i, definimos ∫1 ∫1 gi = nf · χ[xi−1 ,xi ] . Entonces 0 |gi |p = np−1 0 |f |p < r, as´ı que gi ∈ V para todo i = 1, . . . , n. Como V es convexo, se tiene que f =

g1 +···+gn n

∈ V . En

consecuencia, V = Lp , como se quer´ıa demostrar. Ya tenemos un surtido suficiente de ejemplos para justificar la siguiente definici´on. Definici´ on 2.3.2. Sea X un EVT con topolog´ıa τ . Decimos que X es: (1) localmente convexo (ELC) si existe una base de entornos de 0 formada por conjuntos convexos, (2) localmente compacto si existe un entorno de 0 compacto, (3) localmente acotado si existe un entorno de 0 acotado, (4) metrizable si existe una m´etrica que induce τ , (5) normable si existe una norma que induce τ , (6) un F-espacio si existe una m´etrica d invariante por traslaciones [es decir, d(x + z, y + z) = d(x, y) para toda terna de vectores x, y, z ∈ X] y completa que induce τ , (7) un espacio de Fr´echet si es un F-espacio localmente convexo.

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Es evidente que todo espacio normable es metrizable, localmente acotado y localmente convexo, y que todo espacio de Banach es un espacio de Fr´echet. Cada KN (N ∈ N) es localmente compacto. La noci´on de ELC fue introducida por Von Neumann (1935). Como ejemplo, volvamos al espacio C(Ω), donde Ω ⊂ RN es un abierto no vac´ıo. Fijemos una sucesi´on exhaustiva {Kn : n ≥ 1} de subconjuntos 0 compactos de Ω, es decir, cada Kn es compacto, Kn ⊂ Kn+1 (n = 1, 2, . . . ) y ∪∞ Ω = n=1 Kn . Definimos pn (f ) := m´ax{|f (z)| : z ∈ Kn } y ∞ ∑ 1 pn (f − g) d(f, g) := 2n 1 + pn (f − g) n=1

para cada par f, g ∈ C(Ω). No es dif´ıcil probar que d es una distancia completa e invariante por traslaciones que induce la topolog´ıa τ de C(Ω) [recordar que, en τ , una base de entornos de cada f est´a constituida por los conjuntos V (f, ε, K) = {g ∈ C(Ω) : |g(z) − f (z)| < ε ∀z ∈ K}, con ε > 0 y K ⊂ Ω compacto]. Por otra parte, C(Ω) es localmente convexo porque cada V (0, ε, K) es un entorno convexo de 0. As´ı que C(Ω) es un espacio de Fr´echet. Igual sucede, en el caso N = 2, K = C, con su subespacio cerrado H(Ω). Por otra parte, como cada conjunto V (0, ε, K, k) es convexo, se tiene que C ∞ (Ω) es tambi´en localmente convexo. M´as adelante hablaremos sobre su metrizabilidad. Nota 2.3.3. Ya vimos que Lp ([0, 1]) (0 < p < 1) es un EVT metrizable, de ∫1 modo que su topolog´ıa se defin´ıa a trav´es de la m´etrica d(f, g) = 0 |f − g|p . Como en el caso p ≥ 1, se prueba que dicha m´etrica es completa, por lo cual Lp es un F-espacio. Sin embargo, Lp (0 < p < 1) no es un ELC (luego no es un espacio de Fr´echet) pues vimos que en ´el no hay m´as abiertos convexos que ∅ y el propio Lp .

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2.4.

45

Aplicaciones lineales

Pasemos ahora a estudiar la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales topol´ogicos. Vamos a ver que, an´alogamente a lo que sucede entre espacios normados, la continuidad de una de estas aplicaciones equivale a su continuidad en el origen. Teorema 2.4.1. Sean X e Y dos espacios vectoriales topol´ ogicos y Λ : X → Y una aplicaci´on lineal, de modo que Λ es continua en el 0. Entonces Λ es continua en X. De hecho, Λ es uniformemente continua en el sentido de que, para cada entorno W de 0 en Y existe un entorno V de 0 en X con la propiedad: y − x ∈ V =⇒ Λy − Λx ∈ W . Demostraci´on. Fijemos W ∈ E(0) en Y . Por continuidad en el 0, existe W ∈ E(0) (en X) tal que Λ(V ) ⊂ W . Por linealidad, si x ∈ X se tiene que Λ(x + V ) = Λx + Λ(V ) ⊂ Λx + W , luego Λ(x + V ) − Λx ⊂ W . Si ahora x e y son vectores tales que y − x ∈ V , obtenemos y ∈ x + V , as´ı que Λy − Λx ∈ W , c.q.d.

2

En el caso de ser Y = K, podemos obtener m´as analog´ıas con el comportamiento en los espacios normados de las aplicaciones lineales y continuas. Si X es un EVT, se llama espacio dual de X, y se denota por X ∗ , al EV de las aplicaciones lineales y continuas X → K. Para distinguirlo del dual algebraico, a veces a X ∗ se le llama tambi´en el dual topol´ ogico de X. Teorema 2.4.2. Sea Λ : X → K una forma lineal, donde X es un EVT. Las siguientes propiedades son equivalentes: (a) Λ ∈ X ∗ . (b) Ker(Λ) es cerrado. (c) Λ = 0 o bien Ker(Λ) no es denso en X. (d) Λ es acotada en alg´ un entorno de 0.

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Demostraci´on. Las implicaciones (a) ⇒ (b) ⇒ (c) son obvias, ya que Ker(Λ) = Λ−1 ({0}), con {0} cerrado, y un subconjunto denso y cerrado debe ser todo el espacio. Veamos que (c) ⇒ (d). Si Λ ̸= 0, como Ker(Λ) no es denso, existen x ∈ X y V ∈ E(0) tales que (x + V ) ∩ Ker(Λ) = ∅. Por el Teorema 2.1.8, podemos suponer que V es equilibrado. Entonces Λ(V ) es acotado o Λ(V ) = K. En este u ´ltimo caso existe y ∈ V tal que Λy = −Λx, luego x + y ∈ Ker(Λ), en contradicci´on con ser (x + V ) ∩ Ker(Λ) = ∅. As´ı que Λ(V ) es acotado. En cuanto a la implicaci´on (d) ⇒ (a), partimos de que existe V ∈ E(0) tal que Λ es acotada en ´el. Entonces existe M ∈ (0, +∞) con |Λx| < M para todo x ∈ V . Fijado ε > 0, consideremos W := (ε/M )V ∈ E(0). Resulta que |Λx| < ε para todo x ∈ W , de donde se infiere la continuidad de Λ en el 0, y por tanto en todo X.



Por ejemplo, sabemos (ver Cap´ıtulo 3) que (Lα )∗ = Lβ si 1 ≤ α < +∞, donde β es el exponente conjugado de α. Sin embargo, en el caso 0 < p < 1, vamos a demostrar que el dual de Lp es trivial, es decir, (Lp )∗ = {0}. En efecto, ya vimos que no existen abiertos convexos en Lp distintos de ∅ y Lp . Observemos ahora que si Λ : Lp → K es lineal y continua, entonces Λ−1 (B(0, ε)) es un entorno de 0 abierto y convexo en Lp , luego Λ−1 (B(0, ε)) = Lp para todo ε > 0. As´ı |Λf | < ε para toda f ∈ Lp y todo ε > 0. Por tanto Λ ≡ 0, es decir, (Lp )∗ = {0}. Una propiedad de las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados es la de transformar conjuntos acotados en conjuntos acotados. De hecho, dicha propiedad caracteriza la continuidad en este caso. Veremos que, en el caso general de los espacios vectoriales topol´ogicos, todav´ıa existe alguna relaci´on entre la continuidad y la conservaci´on de la acotaci´on. Definici´ on 2.4.3. Sean X e Y espacios vectoriales topol´ogicos y Λ : X →

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47

Y lineal. Decimos que Λ es acotada si transforma conjuntos acotados en conjuntos acotados. Teorema 2.4.4. Sean X e Y espacios vectoriales topol´ ogicos y Λ : X → Y lineal. Si Λ es continua, entonces es acotada. Demostraci´on. Sean E acotado y W un entorno de 0 en Y . Por continuidad, existe un entorno V de 0 en X tal que Λ(V ) ⊂ W . Como E es acotado, existe r > 0 tal que E ⊂ tV para todo t > r, luego Λ(E) ⊂ Λ(tV ) = tΛ(V ) ⊂ tW para todo t > r, as´ı que Λ(E) es acotado.

2

Puede probarse que el rec´ıproco no es cierto en general, aunque s´ı se verifica cuando X es metrizable.

2.5.

Espacios de dimensi´ on finita

En las siguientes l´ıneas vamos a probar que, al igual que sucede en los espacios normados, dos espacios vectoriales topol´ogicos de dimensi´on finita, de la misma dimensi´on, son siempre homeomorfos, y que los espacios vectoriales topol´ogicos localmente compactos son de dimensi´on finita. Comenzamos con un lema. Lema 2.5.1. Sea Y un subespacio vectorial de un EVT X, de modo que Y es localmente compacto. Entonces Y es un subespacio cerrado de X. Demostraci´on. Por hip´otesis, existe K ∈ E(0) en Y tal que K es compacto. Adem´as, existe U ∈ E(0) en X tal que U ∩ Y ⊂ K. Tomemos V ∈ E(0) en X, equilibrado, tal que V + V ⊂ U . Veamos que, para cada x ∈ X, el conjunto (x + V ) ∩ Y es compacto. Para ello, fijemos y0 ∈ (x + V ) ∩ Y . Para cada y ∈ (x + V ) ∩ Y se verifica que y − y0 = (y − x) + (x − y0 ) ∈ V + V ⊂ U y, por otra parte, y − y0 ∈ Y ; luego (x + V ) ∩ Y ⊂ y0 + K. Como (x + V ) ∩ Y es cerrado en Y e y0 + K es compacto, resulta que (x + V ) ∩ Y es compacto.

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Sea ahora x ∈ Y . Para ver que Y es cerrado, se ha de probar que x ∈ Y . Denotemos B = {W ⊂ X : W es abierto, 0 ∈ W ⊂ V } y asociemos a cada W ∈ B el conjunto EW := (x + W ) ∩ Y , que es cerrado en Y . Ya que EW ⊂ (x + V ) ∩ Y , resulta que cada EW es compacto. Como x ∈ Y , tenemos EW ̸= ∅. Si fijamos una familia finita {W1 , . . . , Wn } ⊂ B, se tiene que ∩ W1 ∩ · · · ∩ Wn ∈ B, luego ni=1 EWi ⊃ EW1 ∩···∩Wn ̸= ∅. Entonces {EW }W ∈B es una familia de compactos con la propiedad de la intersecci´on finita, de donde ∩ inferimos que W ∈B EW ̸= ∅. Sea z un vector que pertenezca a la u ´ltima intersecci´on. Entonces z ∈ x + W para todo W ∈ B. Pero B es una base de entornos de 0 en X, luego z ∈ {x} = {x}, esto es, x = z. Como z ∈ Y , concluimos que x ∈ Y , c.q.d.

2

Teorema 2.5.2. Sea X un EVT e Y un subespacio de dimensi´on n < +∞. Se verifica: (a) Todo isomorfismo algebraico de Y en Kn es un homeomorfismo. (b) Y es cerrado. Demostraci´on. El apartado (b) sigue de (a) y del Lemma 2.5.1, ya que Kn es localmente compacto. La prueba de (a) se har´a por inducci´on sobre n. Para n = 1, sea Λ : K → Y lineal y biyectiva. Pongamos Λ(1) =: u ∈ Y . Entonces Λ(α) = αu para todo α ∈ K. Por la continuidad del producto por escalares, Λ es continua. Adem´as, la inversa Λ−1 : Y → K cumple Ker(Λ−1 ) = {0}, el cual es cerrado, luego Λ−1 es continua gracias al Teorema 2.4.2. Por inducci´on, supongamos que (a) es cierto para n−1, y sea Λ : Kn → Y un isomorfismo algebraico, es decir, Λ es lineal y biyectiva. Si {e1 , . . . , en } es una base algebraica de Kn , denotemos uk := Λ(ek ) (k = 1, . . . , n). Entonces ∑ Λ(α1 , . . . , αn ) = nk=1 αk uk debido a la linealidad de Λ. Por la continuidad de las operaciones de suma y producto por escalares, resulta que Λ es continua.

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Adem´as, {u1 , . . . , un } es una base de Y . Cada x ∈ Y puede representarse de manera u ´nica en la forma x = γ1 (x)u1 + · · · + γn (x)un , donde las γi : Y → K (i = 1, . . . , n) son lineales. Ya que γi ̸= 0, resulta que cada Ker(γi ) es un subespacio de dimensi´on ≤ n − 1. Por la hip´otesis de inducci´on y por el hecho de que (b) deriva de (a), obtenemos que Ker(γi ) es cerrado. De nuevo por el Teorema 2.4.2, tenemos que cada γi es continua. Ahora bien, Λ−1 (x) = (γ1 (x), . . . , γn (x)), luego Λ−1 es continua, c.q.d.

2

Corolario 2.5.3. Si X e Y son dos espacios vectoriales topol´ ogicos sobre el mismo cuerpo K y dim(X) = dim(Y ) < +∞, entonces son homeomorfos. De hecho, cada isomorfismo algebraico X → Y es un isomorfismo topol´ ogico. El siguiente teorema, debido a Riesz, nos dice que la compacidad local restringe en gran medida la clase de los espacios vectoriales topol´ogicos. Teorema 2.5.4. Todo EVT localmente compacto tiene dimensi´on finita. Demostraci´on. Partimos de un EVT X localmente compacto, de modo que existe V ∈ E(0) compacto. Veamos que {2−n V }n≥1 es una base de entornos de 0. Para ello, fijemos W ∈ E(0). Como V es acotado (Teorema 2.2.3), existe t0 > 0 tal que V ⊂ sW para todo s > t0 . Eligiendo n ∈ N con 2n > t0 , obtenemos 2−n V ⊂ W . As´ı que (2−n V ) es base de entornos de 0 en X. Puesto que V es compacto, existen x1 , . . . , xm ∈ X tales que V ⊂ (x1 + 1 V 2

) ∪ · · · ∪ (xm + 12 V ). Sea Y := ⟨x1 , . . . , xm ⟩, es decir, la variedad lineal

generada por x1 , . . . , xm . Como dim(Y ) < +∞, resulta que Y es cerrado (Teorema 2.5.2). Ya que V ⊂ Y + 21 V y λY = Y (si λ ̸= 0), se tiene que 1 V 2

⊂ Y + 14 V , y por tanto V ⊂ Y + Y + 14 V = Y + 14 V . Continuando este

proceso, obtenemos, usando la Proposici´on 2.1.7(f) y el hecho de que (2−n V ) es una base de entornos del origen, que V ⊂

∞ ∩ n=1

(Y + 2−n V ) = Y = Y,

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

de donde X =

∪∞ n=1

nV ⊂

∪∞ n=1

nY = Y . En resumidas cuentas, X = Y . En

consecuencia, dim(X) = dim(Y ) < +∞.

2

Por ejemplo, como dim(H(Ω)) = +∞, tenemos que H(Ω) no es localmente compacto. De hecho, ni siquiera es localmente acotado. En efecto, si fuera localmente acotado, existir´ıa V ∈ E(0) acotado. Fijado un compacto K ⊂ Ω, el conjunto U := {f ∈ H(Ω) : |f (z)| < 1 ∀z ∈ K} es un entorno del origen, luego existe α > 0 tal que V ⊂ αU . Por tanto |f (z)| < α para todo z ∈ K y toda f ∈ V , es decir, V est´a uniformemente acotado en cada compacto K ⊂ Ω. Por el Teorema de Montel (ver Teorema 3.2.3) V es relativamente compacto, as´ı que V es un entorno compacto de 0, lo que es absurdo debido al Teorema 2.5.4.

2.6.

Seminormas y convexidad local

En los siguientes p´arrafos, vamos a profundizar en el estudio de los espacios vectoriales topol´ogicos que m´as analog´ıas presentan con los espacios normados, a saber, los espacios localmente convexos. La estructura de un ELC est´a ´ıntimamente conectada con el concepto de seminorma. Recordemos que una seminorma sobre un EV X es una aplicaci´on p : X → R subaditiva y homog´enea, y que de la definici´on se deduce que p(0) = 0 y p(X) ⊂ [0, +∞). Notemos que si p es una seminorma sobre un EV X entonces cada p-bola {x ∈ X : p(x) < α} es convexa, equilibrada y absorbente. Por otra parte, sea A ⊂ X absorbente. Se define el funcional de Minkowski de A por µA (x) = ´ınf{t > 0 : x ∈ tA} (x ∈ X). Vemos que µA (x) < +∞ para todo x ∈ A por ser A absorbente. Recordemos, por u ´ltimo, que una familia separante de seminormas sobre un EV define en ´el una topolog´ıa de ELC.

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51

Nuestro objetivo en esta secci´on es doble, a saber: – Observar que las seminormas son exactamente los funcionales de Minkowski de los conjuntos convexos, equilibrados y absorbentes. – Comprobar que, de hecho, en cada ELC puede encontrarse una familia separante de seminormas que define la topolog´ıa del espacio. Proposici´ on 2.6.1. Sea p una seminorma sobre un EV X. Entonces: (a) El conjunto {x ∈ X : p(x) = 0} es un subespacio de X. (b) El conjunto B := {x ∈ X : p(x) < 1} es convexo, equilibrado y absorbente, y p = µB . Demostraci´on. (a) Si p(x) = 0 = p(y) y α, β ∈ K, se tiene que 0 ≤ p(αx + βy) ≤ |α|p(x) + |β|p(y) = 0, luego p(αx + βy) = 0. (b) Sea α ∈ K con |α| ≤ 1. Si x ∈ B, tenemos que p(αx) = |α|p(x) < 1, luego αx ∈ B. As´ı que B es equilibrado. Por otra parte, si x, y ∈ B y t ∈ (0, 1), se verifica que p(tx + (1 − t)y) ≤ tp(x) + (1 − t)p(y) < 1, luego tx + (1 − t)y ∈ B. Por tanto, B es convexo. Adem´as, si x ∈ X y s > p(x), resulta que p(x/s) = (1/s)p(x) < 1, luego x/s ∈ B, o bien x ∈ sB. As´ı que B es absorbente. Por u ´ltimo, observamos que µB (x) = ´ınf{t > 0 : x ∈ tB} = ´ınf{t > 0 : x/t ∈ B} = ´ınf{t > 0 : p(x/t) < 1} = ´ınf{t > 0 : p(x) < t} = p(x) para todo x ∈ X.

2

Proposici´ on 2.6.2. Sea A un subconjunto convexo y absorbente de un EV X. Se verifica: (a) µA (x + y) ≤ µA (x) + µA (y) para todo x, y ∈ X. (b) µA (tx) = tµA (x) para todo x ∈ X y todo t ≥ 0. (c) Si A es equilibrado, entonces µA es una seminorma. (d) Si B = {x ∈ X : µA (x) < 1} y C = {x ∈ X : µA (x) ≤ 1}, entonces B ⊂ A ⊂ C y µA = µB = µC .

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Demostraci´on. Hagamos una notaci´on previa. A cada subconjunto absorbente D ⊂ X y cada x ∈ X, asociamos el conjunto HD (x) := {t > 0 : t−1 x ∈ D}. Observemos que µD (x) = ´ınf HD (x) para todo x ∈ X. (a) Supongamos que s > t ∈ HA (x). Como A es absorbente, tenemos 0 ∈ A, y puesto que A es convexo, resulta

x s

=

t s

·

x t

+ (1 − st ) · 0 ∈ A, luego

s ∈ HA (x). Por tanto HA (x) es una semirrecta cuyo extremo izquierdo es µA (x). Supongamos ahora que µA (x) < s y µA (y) < t. Entonces x/s ∈ A e y/t ∈ A, luego

s x t y · + s+t ·t s+t s

∈ A, as´ı que

x+y s+t

∈ A, de donde µA (x+y) ≤ s+t.

Haciendo s → µA (x) y t → µA (y), se obtiene µA (x + y) ≤ µA (x) + µA (y). (b) Usando que tx/s ∈ A ⇔ x/(s/t) ∈ A y que s ∈ HA (tx) ⇔ s/t ∈ HA (x), deducimos que µA (tx) = ´ınf HA (tx) = ´ınf(tHA (x)) = t´ınf HA (x) = tµA (x). (c) Supongamos ahora que A es equilibrado, convexo y absorbente. A la vista de (a) y (b), basta probar que µA (αx) = |α|µA (x) si |α| = 1. Pero esto es obvio, ya que, para s > 0, se tiene que αx ∈ sA si y solo si x ∈ sA. (d) Si x ∈ B entonces µA (x) < 1, luego 1 ∈ HA (x) por ser este un intervalo infinito de extremo izquierdo µA (x). As´ı que x ∈ A, luego B ⊂ A. Si x ∈ A, entonces 1 ∈ HA (x), de donde deducimos que µA (x) = ´ınf HA (x) ≤ 1, y por tanto x ∈ C. En resumen, B ⊂ A ⊂ C. Ahora bien, las anteriores inclusiones implican HB (x) ⊂ HA (x) ⊂ HC (x), de donde µC ≤ µA ≤ µB . Para probar la igualdad, supongamos µC (x) < s < t. Entonces x/s ∈ C, luego µA (x/s) ≤ 1, y as´ı µA (x/t) ≤ s/t < 1. Por tanto x/t ∈ B, de donde µB (x) ≤ t. Haciendo tender t a µC (x), se obtiene µB (x) ≤ µC (x), luego µA = µB = µC .

2

Teorema 2.6.3. Sea B una base de entornos del origen en un ELC X, de modo que B est´a formado por conjuntos convexos y equilibrados. Asociemos a cada V ∈ B su funcional de Minkowski µV . Entonces {µV : V ∈ B} es una familia separante de seminormas continuas sobre X.

´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

53

Demostraci´on. Como cada V ∈ B es convexo, equilibrado y absorbente, se tiene por la proposici´on anterior que cada µV es una seminorma. Como X es un ET separado resulta que, dado un vector x ̸= 0, existe V ∈ B tal que x∈ / V . Luego µV (x) ≥ 1, as´ı que µV (x) > 0 y nuestra familia separa puntos. Probemos que µV es continua. Si x ∈ V 0 , entonces tx ∈ V 0 ⊂ V para alg´ un t > 1, porque la aplicaci´on t 7→ tx es continua en t = 1 y V 0 es abierto. As´ı µV < 1 en V 0 . Dado ε > 0, si x − y ∈ εV 0 , se tiene que |µV (x) − µV (y)| ≤ µV (x − y) < ε. De aqu´ı se infiere la continuidad de µV .

2

Teorema 2.6.4. (A) Sea X un EV y P una familia separante de seminormas sobre ´el. Entonces P induce sobre X una topolog´ıa de EVT que hace de X un ELC, de modo que: (a) Cada p ∈ P es continua en dicha topolog´ıa. (b) Si E ⊂ X, entonces E es acotado si y solo si cada p ∈ P es acotada sobre E. (B) Rec´ıprocamente, si X es un ELC, existe una familia separante y filtrante P de seminormas sobre X que induce la topolog´ıa de X. Demostraci´on. (A) Ya vimos c´omo una familia separante y filtrante P de seminormas generaba sobre X una estructura de ELC. Recordemos que una base abierta de entornos de cada punto x0 ∈ X estaba constituida por los conjuntos V (x0 , ε, p) := {x ∈ X : p(x − x0 ) < ε} (ε > 0, p ∈ P). Si de P s´olo sabemos que es separante, una base abierta de entornos en cada x0 ∈ X estar´ıa constituida por las intersecciones finitas V (x0 , ε1 , pN ) ∩ · · · ∩ V (x0 , εN , pN ) de conjuntos del tipo anterior, de acuerdo con el Teorema 2.1.1 e [de hecho, el cambio anterior es equivalente a sustituir P por la familia P cuyos elementos son de la forma m´ax{p1 , . . . , pN } (p1 , . . . , pN ∈ P, N ∈ N); e es separante y filtrante, ver Ejercicio 1]. esta P

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Adem´as, cada p ∈ P es continua respecto de la topolog´ıa generada, gracias a la Proposici´on 2.6.1 y al Teorema 2.6.3, ya que p = µV donde V = V (0, 1, p). Finalmente, supongamos que E ⊂ X es acotado. Como V (0, 1, p) es un entorno del origen, existe α ∈ (0, +∞) tal que E ⊂ αV (0, 1, p), luego p(x) < α para todo x ∈ E. Rec´ıprocamente, supongamos que E ⊂ X es tal que cada p ∈ P es acotada en E. Fijemos U ∈ E(0). Entonces existe un abierto b´asico V (0, ε, p) con U ⊃ V (0, ε, p). Por hip´otesis, existe α ∈ (0, +∞) tal que p(x) < α para todo x ∈ E. Entonces para todo t > α/ε resulta que E ⊂ V (0, α, p) =

α V (0, ε, p) ⊂ tV (0, ε, p) ⊂ tU. ε

As´ı que E es acotado. (B) Partimos ahora de un ELC X. Consideremos la familia P := {µV : V ∈ B} del enunciado del Teorema 2.6.3. Entonces P es una familia separante de seminormas que es adem´as filtrante [porque si p, q ∈ P, se tiene que p = µV1 , q = µV2 con V1 , V2 ∈ B; como V1 ∩ V2 ∈ E(0), existe V ∈ B tal que V ⊂ V1 ∩ V2 ; as´ı que µV ∈ P y µV ≥ µV1 , µV2 ]. La topolog´ıa generada por P tiene en cada punto x0 ∈ X una base de entornos constituida por los conjuntos de la forma V (x0 , ε, µV ) = {x ∈ X : µV (x−x0 ) < ε}, donde V ∈ B y ε > 0. Notemos que V (x0 , ε, µV ) = x0 + V (0, ε, µV ). Por la Proposici´on 2.6.2(d), resulta que x0 + V (0, ε, µV ) ⊂ x0 + εV ⊂ x0 + V (0, ε′ , µV ) siempre que 0 < ε < ε′ . De esta doble inclusi´on se infiere que la topolog´ıa generada por P coincide con la topolog´ıa original de X.

2.7.



Espacios normables

Si podemos encontrar un entorno acotado y convexo del origen, la topolog´ıa de un EVT puede definirse mediante una familia unitaria de semi-

´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

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normas. Teorema 2.7.1. Un EVT X es normable si y solo si el origen tiene un entorno convexo y acotado. Demostraci´on. Si X es normable, la bola unidad es un entorno de 0 convexo y acotado. Rec´ıprocamente, sea V ∈ E(0) convexo y acotado. Por el Teorema 2.1.8, podemos encontrar un W ∈ E(0) convexo y equilibrado tal que W ⊂ V . Por supuesto, W es tambi´en acotado. Fijemos un U ∈ E(0). Existe entonces t > 0 con W ⊂ tU , luego 1t W ⊂ U . As´ı la familia {rW : r > 0} es base de entornos de 0. Si x ̸= 0, existe r > 0 tal que x ∈ / rW , luego µW (x/r) ≥ 1, as´ı que µW (x) ≥ r. Luego µW (x) > 0 y µW es una norma. Por la Proposici´on 2.6.2(c) y la prueba del Teorema 2.6.3 (t´engase en cuenta que W puede elegirse abierto) resulta que {x ∈ X : µW (x) < 1} = W . Luego la norma µW genera la topolog´ıa del espacio, es decir, X es normable.

2.8.



Espacios metrizables

Ya vimos que el ELC C(Ω) es metrizable, y que su topolog´ıa pod´ıa definirse a trav´es de una familia numerable de seminormas, a saber, pn (f ) := supKn |f |, donde (Kn ) es una sucesi´on exhaustiva de subconjuntos compactos de Ω. Tambi´en vimos que C ∞ (Ω) es un ELC. Adem´as, es f´acil demostrar que su topolog´ıa puede generarse, al igual que en el caso anterior, mediante una familia numerable de seminormas, a saber, pn (f ) := m´ax{|Dα f (x)| : x ∈ Kn , |α| ≤ n} (n ∈ N), donde (Kn ) es como antes. En efecto, cada conjunto {f : pn (f ) < ε} es un entorno de 0 y, rec´ıprocamente, dado un entorno b´asico de 0, de la forma V (0, ε, K, k), basta elegir n ∈ N con n > k y Kn ⊃ K para obtener V (0, ε, K, k) ⊃ {f : pn (f ) < ε}.

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Observemos que, en los dos ejemplos anteriores, podemos obtener una base local numerable de entornos del origen, a saber, B = {{f : pn (f ) < 1/n} : n ≥ 1}. De hecho, esta propiedad garantiza la metrizabilidad, como veremos m´as adelante. Vamos a estudiar los espacios vectoriales topol´ogicos en los que existe una m´etrica que define su topolog´ıa, esto es, aquellos que son metrizables. Un resultado muy general, conocido como Teorema de Birkhoff–Kakutani, el cual tiene una demostraci´on complicada, asegura que si existe una base numerable de entornos del origen, entonces existe una m´etrica, la cual es incluso invariante por traslaciones, que genera su topolog´ıa. El rec´ıproco es evidente: basta tomar B = {Vn }n≥1 , donde Vn = {x ∈ X : d(x, 0) < 1/n}. Si X es un EVT y d1 es una m´etrica, invariante por traslaciones, que genera la topolog´ıa de X, podemos hablar de completitud. Pero este es un concepto m´etrico, por lo cual nos podemos plantear si esta propiedad se mantiene para otra m´etrica d2 , tambi´en invariante por traslaciones, que genere la topolog´ıa de X. El siguiente teorema resuelve el problema afirmativamente, ya que da una caracterizaci´on puramente topol´ogica de las sucesiones de Cauchy. Teorema 2.8.1. Sea X un EVT y d una m´etrica invariante por traslaciones que genera su topolog´ıa. Supongamos que (xn ) es una sucesi´ on de vectores de X. Entonces (xn ) es de Cauchy para d si y solo si, para cada V ∈ E(0), existe n0 = n0 (V ) ∈ N tal que xm − xn ∈ V para todo m, n ≥ n0 . Demostraci´on. Supongamos que (xn ) es de Cauchy. Fijado V ∈ E(0), existe ε > 0 tal que B(0, ε) ⊂ V . Ahora bien, podemos hallar n0 ∈ N tal que d(xm , xn ) < ε para todo m, n ≥ n0 . Luego d(xm − xn , 0) < ε para tales m, n, as´ı que xm − xn ∈ B(0, ε) ⊂ V para todo m, n ≥ n0 . Rec´ıprocamente, si fijamos ε > 0 y se da la propiedad dada en el enunciado del teorema, podemos

´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

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encontrar V ∈ E(0) tal que V ⊂ B(0, ε). Entonces existe n0 ∈ N con xm −xn ∈ V ⊂ B(0, ε) para todo m, n ≥ n0 , luego d(xm , xn ) = d(xm − xn , 0) < ε para 

tales m, n, lo que nos dice que (xn ) es de Cauchy para d.

Finalmente, vamos a proporcionar una u ´til condici´on suficiente de metrizabilidad de espacios localmente convexos. Teorema 2.8.2. Sea X un ELC cuya topolog´ıa viene definida por una familia numerable de seminormas. Entonces existe una distancia invariante por traslaciones que define su topolog´ıa. Demostraci´on. Sea (pn ) una sucesi´on separante de seminormas que genera la topolog´ıa de X. Se define ∞ ∑ 1 pn (x − y) d(x, y) = · n 2 1 + pn (x − y) n=1

(x, y ∈ X).

Usando que (pn ) es separante, que cada pn es una seminorma, que la funci´on x ∈ [0, +∞) 7→

x 1+x

∈ R es creciente y que

a+b 1+a+b

=

a 1+a+b

b + 1+a+b ≤

a 1+a

b + 1+b

(a, b ≥ 0), se comprueba con facilidad que d es una m´etrica. Claramente, d es invariante por traslaciones. Veamos que d genera la topolog´ıa de X. En primer lugar, la funci´on distancia d : X × X → R es continua porque la aplicaci´on (x, y) 7→ x − y es continua, cada seminorma pn es continua y la serie que define d converge uniformemente (usar, por ejemplo, el criterio mayorante de Weierstrass). Si W es un entorno de 0 para la topolog´ıa generada por d, existe r > 0 tal que W ⊃ B(0, r). Pero B(0, r) = φ−1 ((−∞, r)), donde φ(x) := d(x, 0). Como φ : X → R es continua, φ−1 ((−∞, r)) es abierto en X (para su topolog´ıa original), de donde W ⊃ B(0, r) ∈ E(0). Rec´ıprocamente, sea V ∈ E(0). Hemos de hallar un r > 0 tal que V ⊃ B(0, r). Se tiene que existen N ∈ N y ε1 , . . . , εN ∈ (0, +∞) de modo que V (0, ε1 , p1 ) ∩ · · · ∩ V (0, εN , pN ) ⊂ V.

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εi Elijamos r ∈ (0, m´ın{ 2i (1+ε : i = 1, . . . , N }). Si x ∈ B(0, r), resulta que i)

d(x, 0) < r, luego

pi (x) (1+pi (x))2i

< r (i = 1, . . . , N ), de donde

pi (x) 1+pi (x)

<

εi , 1+εi

as´ı que pi (x) < εi , es decir, x ∈ V (0, εi , pi ) (i = 1, . . . , N ). En consecuencia, ∩ B(0, r) ⊂ N  i=1 V (0, εi , pi ) ⊂ V , c.q.d. Por ejemplo, los espacios C(Ω), H(Ω) y C ∞ (Ω) son metrizables. No es dif´ıcil probar que C(Ω) es completo [la prueba se basa en demostrar primero que una sucesi´on (fn ) ⊂ C(Ω) es de Cauchy si y solo si, para cada compacto K ⊂ Ω y cada ε > 0, existe n0 = n0 (K, ε) ∈ N tal que |fm (x) − fn (x)| < ε para todo x ∈ K y todo m, n ≥ n0 ; usar el Teorema 2.8.1, y aplicar despu´es el criterio de Cauchy de convergencia uniforme]. Ya que, en el caso N = 2 con K = C, H(Ω) es un subespacio cerrado de C(Ω) [por el teorema de convergencia de Weierstrass, el cual asegura que si (fn ) ⊂ H(Ω) y fn → f uniformemente en cada compacto de Ω entonces f ∈ H(Ω)], resulta que H(Ω) es tambi´en completo. En cuanto a C ∞ (Ω), observemos que si (fn ) ⊂ C ∞ (Ω) es de Cauchy, para cada multi´ındice α se tiene que (Dα fn ) es uniformemente de Cauchy en cada compacto, luego existe una funci´on continua gα tal que Dα fn → gα uniformemente en compactos. Los teoremas de convergencia y derivaci´on nos dicen que g0 ∈ C ∞ (Ω) y Dα g0 = gα . Por tanto fn → g0 en C ∞ (Ω), luego este espacio tambi´en es completo. Se deduce que C(Ω), H(Ω) y C ∞ (Ω) son espacios de Fr´echet.

Ejercicios 1.- Sea P una familia separante de seminormas sobre un EV X. Para cada x0 ∈ X, cada ε > 0 y cada p ∈ P, denotamos V (x0 , ε, p) := {x ∈ X : p(x − x0 ) < ε}. Demostrar que existe una topolog´ıa T sobre X tal que, para cada x0 ∈ X, la familia Sx0 de las intersecciones finitas de los conjuntos de la forma V (x0 , ε, p) es una base de entornos de x0 para esta topolog´ıa. Si

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} m´ax{p1 , . . . , pN } : pi ∈ P, i ∈ {1, . . . , N }, N ∈ N , demostrar que P e = T , donde es una familia separante y filtrante de seminormas, y que τ (P) e es la topolog´ıa de EVT generada por P. e τ (P) e := P

{

2.- Sea Ω ⊂ RN un abierto no vac´ıo. Consideremos el EV C(Ω) dotado de la topolog´ıa de la convergencia compacta, es decir, la generada por las seminormas pK (f ) := m´ax{|f (z)| : z ∈ K} (K compacto ⊂ Ω). Demostrar con detalle que C(Ω) es un espacio de Fr´echet. Demostrar tambi´en que C(Ω) no es normable, y que fn → f en la mencionada topolog´ıa si y solo si fn → f n

n

uniformemente en cada subconjunto compacto de Ω. Este hecho da nombre a la topolog´ıa. 3.- Consideremos el EV C(R) de las funciones reales continuas de variable real, con la topolog´ıa de la convergencia compacta. (a) Construir una sucesi´on {fn }n≥1 ⊂ C(R) tal que fn (t) = 0 si t ∈ / (n, n+1). (b) Deducir del apartado anterior que C(R) no es normable. 4.- Sea KN el EV de todas las sucesiones de escalares con la topolog´ıa de la convergencia componente a componente, es decir, la topolog´ıa producto (ver Secci´on 4.6). Probar que KN es un espacio de Fr´echet. 5.- Sean X e Y espacios localmente convexos cuyas topolog´ıas vienen respectivamente definidas por las familias filtrantes y separantes de seminormas P y Q. Probar que una aplicaci´on lineal Λ : X → Y es continua si y solo si, para cada q ∈ Q, existen p ∈ P y una constante M = M (p, q) ∈ (0, +∞) tal que q(Λ(x)) ≤ M p(x) para todo x ∈ X. 6.- Sea Ω un abierto no vac´ıo de RN y α un multi´ındice de orden N . (a) Probar que la identidad i : C ∞ (Ω) → C(Ω) es continua y que el operador derivada parcial Dα : C ∞ (Ω) → C ∞ (Ω) es continuo. Indicaci´ on: utilizar el ejercicio anterior. (b) Demostrar con detalle que C ∞ (Ω) es un espacio de Fr´echet.

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7.- Sea X el EV de todas las funciones f : [0, 1] → R. Consideremos la familia de seminormas P = {px }x∈[0,1] donde px (f ) := |f (x)|. Verificar que es separante. Por tanto, P define en X una topolog´ıa de ELC, que se llama topolog´ıa de la convergencia puntual. Probar que cada φ ∈ X ∗ es de la forma ∑ φ(f ) = ni=1 ci f (xi ) para ciertos x1 , . . . , xn ∈ [0, 1] y c1 , . . . , cn ∈ R. Sugerencia: utilizar el Ejercicio 5 con Y = R. 8.- Sea X un EVT con una m´etrica d invariante por traslaciones que genera su topolog´ıa. Probar lo siguiente: (a) Si (xn ) es una sucesi´on en X que tiende a 0, entonces existe una sucesi´on (γn ) de escalares positivos tales que γn → ∞ y γn xn → 0. n

n

Indicaci´ on: Existe una sucesi´on estrictamente creciente (nk ) ⊂ N tal que d(xn , 0) < 1/k 2 para todo n ≥ nk . Ahora, cada γn puede elegirse en N. (b) Sea Y otro EVT y Λ : X → Y una aplicaci´on lineal que transforma acotados en acotados. Entonces Λ es continua. 9.- Sean X un EV y d una distancia en X invariante por traslaciones que verifica las siguientes propiedades: (a) l´ımn→∞ d(x/n, 0) = 0 para cada x ∈ X. (b) d(αx, 0) ≤ d(x, 0) para cada x ∈ X y cada α ∈ K con |α| < 1. Probar que d induce una topolog´ıa de EVT en X. Indicaci´ on: Deducir de la invariancia por traslaciones la continuidad de la suma. Para la continuidad del producto por escalares, establecer primero que, para todo α ∈ K y todo x ∈ X, se tiene d(αx, 0) ≤ (1 + E(|α|))d(x, 0), donde E(t) denota la parte entera de t. Seguidamente, usar (a) para probar que si cn → 0 entonces d(cn x, 0) → 0. 10.- En el EV X = C([0, 1]) se considera la expresi´on ∫ d(f, g) = 0

1

|f (x) − g(x)| dx. 1 + |f (x) − g(x)|

(a) Probar que d define sobre X una distancia invariante por traslaciones.

´ ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS

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(b) Sea σ la topolog´ıa generada por d, y llamemos τ a la topolog´ıa de la convergencia puntual (ver Ejercicio 7). Probar que la identidad i : (X, τ ) → (X, σ) transforma acotados en acotados pero no es continua. (c) Probar que la aplicaci´on anterior es secuencialmente continua y que (X, τ ) no es metrizable. Sugerencia: Para la continuidad secuencial, usar el teorema de la convergencia dominada. Recordemos que una aplicaci´on φ : X → Y entre dos espacios topol´ogicos X e Y se dice secuencialmente continua cuando, para cada punto x0 ∈ X y cada sucesi´on (xn ) ⊂ X con xn → x0 , se tiene que f (xn ) → f (x0 ). 11.- Sea M un subespacio denso de un EVT X, Y un F-espacio y Λ : M → Y e: lineal y continua. Probar que Λ admite una extensi´on lineal y continua Λ X →Y. Indicaci´ on: Construir una sucesi´on {Vn }n≥1 de entornos equilibrados de 0 tales que Vn + Vn ⊂ Vn−1 y Λ(Vn ∩ M ) ⊂ B(0, 2−n ). Sea xn ∈ (x + Vn ) ∩ M . e Demostrar que {Λ(xn )}n≥1 es de Cauchy y definir Λ(x) = l´ımn→∞ Λ(xn ). 12.- Supongamos que X es un EVT y que A ⊂ X. Demostrar que A es acotado si y solo si cada subconjunto numerable de A es acotado. 13.- En este ejercicio vamos a estudiar el espacio cociente. Supongamos que X es un EVT y que N es un subespacio cerrado de X. Se define el espacio cociente de X relativo a N como X/N := {x + N : x ∈ X}. Denotamos por π : X → X/N la aplicaci´on sobreyectiva x 7→ x + N . Consideremos la familia τN := {G ⊂ X/N : π −1 (G) ∈ τ }, donde τ es la topolog´ıa de X. Dotamos a X/N de las operaciones (x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N, λ · (x + N ) = (λx) + N . Se pide demostrar: (a) Las operaciones anteriores est´an bien definidas y dotan a X/N de estructura de espacio vectorial. (b) τN es una topolog´ıa sobre X/N . (c) π es continua y abierta.

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(d) τN es la topolog´ıa m´as fina sobre X/N que hace continua a π. (e) X/N es un EVT. (f) Si B es una base local de entornos abiertos de 0 para τ , entonces {π(V ) : V ∈ B} lo es para τN . (g) Si X es un ELC, as´ı es X/N . (h) Si X es normable, tambi´en lo es X/N , con la norma ∥x + N ∥ = ´ınf{∥y∥ : y ∈ x + N }. (i) Si X es un espacio de Banach, tambi´en lo es X/N . 14.- Definimos M := {x = (xn ) ∈ ℓ2 :

∑∞

n=1 xn

= 0}. Demostrar que M es un

subespacio vectorial denso de ℓ2 . Indicaci´ on: considerar la aplicaci´on lineal Λx :=

∑∞

n=1 xn

sobre ℓ2 .

15.- Sea X un ELC y A un subconjunto acotado. Demostrar que su envolvente convexa co(A), es decir, la intersecci´on de todos los subconjuntos convexos de X que contienen a A (ver Secci´on 4.4), es tambi´en acotada. 16.- Sea S un subconjunto en un EVT. Demostrar que son equivalentes: (a) S es acotado. (b) Para toda sucesi´on (xn ) ⊂ S y toda sucesi´on de escalares (λn ) convergente a 0, la sucesi´on producto (λn xn ) tambi´en tiende a 0. (c) Para toda sucesi´on (xn ) ⊂ S se tiene que (n−1 xn ) tiende a 0.

Cap´ıtulo 3 Espacios funcionales En este cap´ıtulo vamos a analizar m´as de cerca algunos espacios de funciones b´asicos. En concreto, se pretende caracterizar la compacidad relativa de familias de funciones continuas u holomorfas, identificar algunos espacios duales fundamentales y establecer propiedades de densidad. Como ap´endice, introduciremos el concepto de red o sucesi´on generalizada en un ET, que es una u ´til herramienta, en especial cuando el espacio que estamos manejando no es metrizable, en cuyo caso la continuidad no equivale a la continuidad secuencial.

3.1.

Teorema de aproximaci´ on de Weierstrass

El Teorema de aproximaci´ on de Weierstrass es un resultado cl´asico que figura entre los m´as importantes de la teor´ıa de funciones y del an´alisis funcional. Afirma que toda funci´on continua en un intervalo compacto es aproximable uniformemente por polinomios en dicho intervalo. Se conocen muchas pruebas de este teorema. Aqu´ı ofrecemos una relativamente corta y directa, basada en productos de convoluci´on. Vamos a considerar el espacio de Banach C([a, b]) de las funciones continuas f : [a, b] → K, dotado de la

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norma del supremo. Teorema 3.1.1. El conjunto de los polinomios es denso en C([a, b]). Expl´ıcitamente, dados ε > 0 y una funci´on continua f : [a, b] → K, existe un polinomio P tal que |f (x) − P (x)| < ε para todo x ∈ [a, b]. Demostraci´on. Es claro que es suficiente considerar el caso K = R. Consideremos la funci´on “campana de Gauss” φ(u) := √1π e−u , la cual cumple φ(u) > 0 ∫∞ para todo u ∈ R y ∥φ∥1 = −∞ φ(u) du = 1. Definimos φn (u) := nφ(nu) 2

(n ∈ N). Fijemos f como en el enunciado, y prolongu´emosla de forma continua a un intervalo [c, d] ⊃ [a, b] de modo que f (c) = 0 = f (d). Despu´es, la prolongamos a R definiendo f = 0 en R \ [c, d]. Notemos que f es uniformemente continua en R. Consideremos la sucesi´on de productos de convoluci´on fn := f ∗ φn , es decir,

∫ fn (x) =

∞ −∞

f (t)φn (x − t) dt (x ∈ R, n ∈ N).

(1)

Llamemos M := m´axR |f | < +∞ y fijemos n ∈ N. Se verifica lo siguiente: • Para cada x ∈ R, la funci´on t ∈ R 7→ f (t)φn (x − t) es continua, luego medible. • Para cada t ∈ R, la funci´on x ∈ R 7→ f (t)φn (x − t) es anal´ıtica en R, con un desarrollo en serie de potencias convergente en todo x ∈ R, ya que φn admite un tal desarrollo, por tenerlo φ. • Para cada par t, x ∈ R se tiene |f (t)φn (x − t)| ≤ nM χ[c,d] (t), de modo que la u ´ltima funci´on no depende de t y es integrable en R. Se deduce que cada fn est´a bien definida, es anal´ıtica en R y tiene un desarrollo en serie de Taylor en torno al origen que es convergente en todo punto de R.

ESPACIOS FUNCIONALES

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Fijado ε > 0, de la continuidad uniforme deducimos la existencia de un δ > 0 tal que |f (x + u) − f (x)| <

ε 3

para todo x ∈ R y todo u ∈ (−δ, δ).

(2)

Busquemos N ∈ N tal que |fN (x) − f (x)| <

2ε 3

para todo x ∈ R.

Para ello, escojamos α > 0 tal que ∫ φ(u) du < |u|>α

ε . 1 + 6M

(3)

(4)

Tomemos N ∈ N tal que N > α/δ. Entonces |u/N | < δ siempre que u ∈ [−α, α]. Gracias a (1), (2) y (4), se verifica para todo x ∈ R que ∫ ∞ |fN (x) − f (x)| = f (t)φN (x − t) dt − f (x) ∫−∞ ∫ ∞ ∞ = f (x − t)φN (t) dt − f (x) φ(u) du ∫−∞ ∫ −∞ ∞ ∞ u du u − f (x)φ(u) du = f (x − )φN ( ) N N N −∞ ∫−∞ ∞ u = (f (x − ) − f (x))φ(u) du N ∫ α ∫ −∞ u u ≤ |f (x − ) − f (x)|φ(u) du + |f (x − ) − f (x)|φ(u) du N N |u|>α −α ∫ ∞ ε ε ε ε 2ε < 2M · + · φ(u) du < + = . (5) 1 + 6M 3 −∞ 3 3 3 ∑∞ n Por otra parte, existe un desarrollo fN (x) = n=0 an x convergente uniformemente en cada compacto de R. En particular, podemos encontrar un m ∈ N tal que

m ε ∑ n an x < para todo x ∈ [a, b]. (6) fN (x) − 3 n=0 ∑ n Llamando P (x) := m n=0 an x y usando (5), (6) y la desigualdad triangular, obtenemos que |f (x) − P (x)| < ε para todo x ∈ [a, b], c.q.d.



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3.2.

Familias relativamente compactas

Recordemos que un subconjunto A de un ET X se llama relativamente compacto cuando su clausura A es compacta. Si X es un espacio metrizable, se tiene que A es relativamente compacto si y solo si cada sucesi´on (xn ) ⊂ A contiene una subsucesi´on convergente en X. El siguiente resultado de caracterizaci´on de familias relativamente compactas en un espacio de funciones continuas, llamado Teorema de Arzel` a– Ascoli, es probablemente bien conocido cuando las funciones est´an definidas sobre un intervalo cerrado [a, b] ⊂ R. Aqu´ı lo formulamos cuando lo est´an sobre un subconjunto abierto Ω ⊂ RN . Vamos a considerar el espacio de Fr´echet C(Ω) = {f : Ω → K : f es continua} dotado de la topolog´ıa de la convergencia compacta, ver Cap´ıtulo 2. Debemos aclarar que, si K ⊂ Ω, una familia A ⊂ C(Ω) se dice que es equicontinua sobre K cuando, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, si x, y ∈ K y |x − y| < δ, entonces |f (x) − f (y)| < ε para toda f ∈ A. Teorema 3.2.1. Para una familia A ⊂ C(Ω), son equivalentes: (1) A es relativamente compacta. (2) A es equicontinua sobre cada compacto de Ω, y uniformemente acotada sobre cada compacto de Ω. (3) A es equicontinua sobre cada compacto de Ω, y puntualmente acotada en el conjunto Ω. Demostraci´on. La implicaci´on (2) =⇒(3) es trivial. Probemos que (1) implica (2). Por hip´otesis, el conjunto B := A es compacto en C(Ω). Sea K un subconjunto compacto de Ω. Si BK (f, ε) := {g ∈ C(Ω) : |g(x) − f (x)| < ε ∪ para todo x ∈ K}, entonces B ⊂ f ∈B BK (f, 1). Por compacidad, existe ∪ un n´ umero finito de funciones f1 , . . . , fp ∈ B tales que B ⊂ pj=1 BK (fj , 1).

ESPACIOS FUNCIONALES

67

Entonces la constante M = M (K) := 1 + m´ax1≤j≤p supK |fj | es una cota uniforme de la familia A en K. Para la equicontinuidad, dado ε > 0 y K ⊂ Ω ∪ compacto, existen f1 , . . . , fp ∈ C(Ω) tales que B ⊂ pj=1 BK (fj , ε/3). Dada una funci´on f ∈ A, se tiene que f ∈ B, luego existe j0 ∈ {1, . . . , p} tal que |fj0 (x) − f (x)| < ε/3 para todo x ∈ K. Como cada fj es uniformemente continua en K, existe δj > 0 tal que [x, x′ ∈ K y |x − x′ | < δj ] implica |fj (x) − fj (x′ )| < ε/3. Si δ := m´ın1≤j≤p δj , entonces [x, x′ ∈ K y |x − x′ | < δ] implica |f (x) − f (x′ )| ≤ |f (x) − fj0 (x)| + |fj0 (x) − fj0 (x′ )| + |fj0 (x′ ) − f (x′ )| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Notemos que el δ hallado no depende de f , ni de x, x′ . Demostremos ahora que (3) implica (1). Fijemos un compacto K ⊂ Ω y una sucesi´on {xk }∞ on 1 densa en K, y sea {fn } ⊂ A. Usando la acotaci´ puntual en cada xk junto con el proceso de diagonalizaci´on de Cantor, obte∞ nemos una subsucesi´on {gj }∞ 1 de {fn }1 convergente en cada xk . Sea ε > 0.

Usamos la equicontinuidad de A en K, y obtenemos de la definici´on un δ > 0 correspondiente a ε/3. Cubramos K mediante un n´ umero finito de bolas de radio δ/2, y seleccionemos un punto xk en cada una de ellas. Entonces existe i0 ∈ N tal que, si i, j > i0 , entonces |gi (xk ) − gj (xk )| < ε/3 para este conjunto finito de puntos xk . Dado x ∈ K, existe uno de estos xk tal que |x − xk | < δ, luego |gi (x) − gi (xk )| < ε/3 y |gj (x) − gj (xk )| < ε/3. Por tanto |gi (x) − gj (x)| < ε para cada x ∈ K y todo par i, j > i0 . Del criterio de Cauchy de convergencia uniforme, deducimos que la sucesi´on (gj ) converge uniformemente en K a cierta funci´on continua en K. Esto puede efectuarse tomando sucesivamente K = K1 , K = K2 , . . . , donde (Kn ) es una sucesi´on exhaustiva de compactos de Ω. Un nuevo proceso de diagonalizaci´on

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

nos suministra una subsucesi´on de (fn ) uniformemente convergente en cada compacto Kn a una funci´on continua en Ω. Para finalizar, basta tener en cuenta que cada subconjunto compacto de Ω est´a contenido en alg´ un Kn .  Nota 3.2.2. En el caso de un intervalo compacto [a, b] ⊂ R, la prueba se simplifica y el enunciado queda as´ı: una familia A ⊂ C([a, b]) es relativamente compacta si y s´olo es equicontinua y puntualmente acotada en [a, b]. Como consecuencia, obtenemos el Teorema de Montel, que caracteriza la compacidad relativa de familias de funciones holomorfas. Teorema 3.2.3. Sea Ω ⊂ C un abierto no vac´ıo y F ⊂ H(Ω). Entonces F es relativamente compacta si y solo si F est´a uniformemente acotada sobre cada subconjunto compacto de Ω. Demostraci´on. Por el teorema de Ascoli–Arzel`a, es suficiente demostrar que, si F est´a uniformemente acotada en cada compacto, entonces F es equicontinua en un entorno de cada punto a ∈ Ω. Para ello, sea r > 0 tal que B(a, 2r) ⊂ Ω y sea γ la circunferencia, positivamente orientada, de centro a y radio 2r. Al ser la trayectoria γ e de γ un compacto, existe M ∈ (0, +∞) tal que |f (w)| ≤ M para todo punto w ∈ γ e y toda funci´on f ∈ F. Fijemos ε > 0 y sea δ := rε/(2M ). Aplicando la f´ormula de la integral de Cauchy, obtenemos

I I 1 f (w) 1 f (w) |f (z) − f (z )| = dw − dw 2πi γ w − z 2πi γ w − z ′ I M · 4πr 1 f (w)(z ′ − z) ≤ dw |z − z ′ | = 2πi γ (w − z)(w − z ′ ) 2πr2 2M = |z − z ′ | < ε r ′

para cualesquiera z, z ′ ∈ B(a, r) con |z − z ′ | < δ y para cualquier funci´on f ∈ F. Esto prueba la equicontinuidad de F en B(a, r) y concluye la demostraci´on.



ESPACIOS FUNCIONALES

3.3.

69

Dual de los espacios de Lebesgue

En esta secci´on suponemos al lector familiarizado con los espacios de Lebesgue Lp , as´ı que s´olo recordaremos algunos conceptos y enunciaremos el resultado que identifica su dual. Suponemos aqu´ı que µ es una medida (positiva) definida sobre un espacio medible (X, M). Si p ∈ [1, +∞], denotamos por Lp (µ) el EV de las funciones medibles f : X → K tales que ∫ |f |p dµ < +∞ (si p < +∞) o existe un conjunto de medida nula fuera X del cual f est´a acotada (si p = +∞). Escribiremos simplemente Lp cuando µ se ha fijado. En Lp identificamos dos funciones si son iguales µ-en casi todo, y por ello se admiten funciones que en algunos puntos tomen valores ±∞ (si K = R) o ∞ (si K = C). Sabemos que Lp es un es(∫ )1/p pacio de Banach bajo la norma ∥f ∥p = |f |p dµ (si p < +∞) o X ∥f ∥∞ = ´ınf{M ∈ [0, +∞) : |f | ≤ M µ-ect} (si p = +∞). Sea p ∈ [1, +∞]. Sea q ∈ [1, +∞] el exponente conjugado de p, es decir, 1 p

+

1 q

= 1. Fijemos g ∈ Lq . Gracias a la desigualdad de H¨older, se tiene que

la aplicaci´on

∫ Λg : f ∈ L 7→

f g dµ ∈ K

p

X

est´a bien definida y, al ser lineal, es continua porque |Λg (f )| ≤ ∥f g∥1 ≤ ∥f ∥p ∥g∥q . En otras palabras, Λg ∈ (Lp )∗ . El resultado siguiente nos dice que, si p es finito, las aplicaciones Λg son exactamente los elementos del dual. Teorema 3.3.1. Con las notaciones anteriores, supongamos que p ∈ [1, +∞). Entonces para cada Λ ∈ (Lp )∗ existe g ∈ Lq tal que Λg = Λ. Esta funci´on g es u ´nica bajo esas condiciones, y cumple ∥Λg ∥ = ∥g∥q . En el caso especial en que X = N y µ = µc es la medida cardinal sobre los subconjuntos de N, obtenemos los espacios de sucesiones Lp (µc ) = ℓp (1 ≤ p ≤ +∞). Por tanto ℓ∗p ≈ ℓq , donde p ∈ [1, +∞) y q es el exponente conjugado de p. Tambi´en se tiene c∗0 ≈ ℓ1 .

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Finalizamos esta secci´on recordando dos resultados de densidad en espacios Lp , uno general y otro particular. Se llama funci´ on escalonada a cada funci´on medible f : X → K nula fuera de un alg´ un conjunto de medida nula y tal que f (X) es un subconjunto finito de K. Pues bien, se verifica que el EV de las funciones escalonadas es denso en cada Lp (1 ≤ p < +∞). En el caso especial de la medida de Lebesgue N -dimensional λN sobre un abierto no vac´ıo Ω ⊂ RN , se tiene que el EV de las funciones continuas f : Ω → K de soporte compacto es denso en Lp (Ω, λN ) para todo p ∈ [1, +∞). Recordemos que una funci´on f : Ω → K se dice que tiene soporte compacto cuando existe un compacto K ⊂ Ω tal que f (x) = 0 para todo x ∈ Ω \ K.

3.4.

Dual de C(S)

Supongamos que S es un ET separado y compacto. Queremos identificar el espacio dual del espacio de Banach C(S) := {f : S → K : f es continua}, dotado de la norma del supremo. A veces se usar´a la siguiente notaci´on distintiva: seg´ un que K sea R o C, denotaremos C(S) por C(S, R) o C(S, C), respectivamente. Necesitamos cierta preparaci´on. Sean Ω un conjunto no vac´ıo, Σ una σ´algebra sobre Ω y µ : Σ → K. Decimos que µ es una medida real (si K = R) o medida compleja (si K = C, resp.) sobre el espacio medible (Ω, Σ) cuando (∪ ) ∑∞ µ ∞ k=1 µ(Ek ) para cualesquiera Ek ∈ Σ (k = 1, 2, ...) dos a k=1 Ek = dos a disjuntos [n´otese que, en particular, µ(∅) = 0]. En tal caso, se denomina variaci´on total de µ a la aplicaci´on |µ| : A ∈ Σ 7→ sup

∞ {∑

|µ(Ek )| : Ek ∈ Σ dos a dos disjuntos, k ∈ N,

k=1

E=

∞ ∪ k=1

} Ek ∈ [0, +∞].

ESPACIOS FUNCIONALES

71

Puede probarse que |µ| es una medida positiva finita sobre (Ω, Σ). Si Ω es un ET, se llama boreliano o conjunto de Borel de Ω a cada miembro de la menor σ-´algebra B sobre Ω que contiene a los abiertos de Ω. Una medida de Borel sobre Ω es una medida (real o compleja) definida sobre B. Una medida de Borel µ sobre Ω se dice que es regular si, para cada A ∈ B, se tiene |µ|(A) = sup{|µ|(K) : K es compacto y K ⊂ A}. Denotaremos por M(Ω, K) el EV de las medidas (reales o complejas seg´ un que, respectivamente, K = R o K = C) de Borel regulares sobre el ET Ω [si K est´a determinado, escribiremos M(Ω, K) = M(Ω)]. Es f´acil ver que ∥µ∥ := |µ|(Ω) es una norma sobre M(Ω). Si S es un ET como al principio de la secci´on y µ ∈ M(S), es f´acil ver ∫ que la aplicaci´on Λ : f ∈ C(S) 7→ S f dµ ∈ K est´a en C(S)∗ . El siguiente Teorema de representaci´on de Riesz establece que cada elemento del dual de C(S) tiene exactamente la forma anterior. Ya que la demostraci´on es larga, s´olo se dar´an algunas indicaciones de la misma. Teorema 3.4.1. Sea S un ET separado y compacto. Entonces los espacios normados C(S) y M(S) son isom´etricamente isomorfos. Espec´ıficamente, ∫ la aplicaci´on Φ : µ ∈ M(S) 7→ Λµ ∈ C(S)∗ , donde Λµ (f ) := S f dµ (f ∈ C(S)), es lineal, biyectiva y satisface ∥Λµ ∥ = ∥µ∥ para toda µ ∈ M(S). Demostraci´on. La parte esencial es la sobreyectividad de la aplicaci´on. Podemos suponer K = R (considerar partes reales e imaginarias para el caso K = C). Fijemos Λ ∈ C(S, R)∗ . Hemos de encontrar una medida µ ∈ M(S, R) tal que Λµ = Λ. Supongamos primero que Λ es positiva, es decir, cumple Λ(f ) ≥ 0 si f ≥ 0. Para V abierto, se define µ(V ) = sup{Λ(f ) : 0 ≤ f ≤ χV } y, para cualquier A ∈ B, se define µ(A) = ´ınf{µ(V ) : A ⊂ V, V es abierto}.

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Entonces µ es una medida positiva y finita sobre B, la cual es regular y ∫ cumple Λ(f ) = S f dµ para cada f ∈ C(S), es decir, Λµ = Λ. Sea ahora cualquier Λ ∈ C(S)∗ . Para f ∈ C(S) con f ≥ 0, se define φ(f ) := sup{|Λ(h)| : h ∈ C(S), |h| ≤ f }. Y si f ∈ C(S) es cualquiera, descomponemos f = f + − f − y definimos φ(f ) := φ(f + ) − φ(f − ). Resulta que φ es un funcional lineal positivo sobre C(S) tal que |Λ(f )| ≤ φ(|f |) ≤ ∥Λ∥ · ∥f ∥∞ para toda f ∈ C(S). Por la primera parte, existe una medida de Borel positiva y finita ν tal que ∫ ∫ φ(f ) = S f dν para cada f ∈ C(S). Por tanto |Λ(f )| ≤ S |f | dν = ∥f ∥1 en C(S). Por el teorema de Hahn–Banach, podemos extender Λ a un funcional lineal y continuo sobre L1 (ν), de norma ≤ 1. De acuerdo con el Teorema 3.3.1 ∫ (caso p = 1), existe g : S → K medible con |g| ≤ 1 tal que Λ(f ) = S f g dν ∫ (f ∈ C(S)). Basta tomar ahora µ := gdν, es decir, µ(A) = A g dν para cada A ∈ B.

3.5.



Teorema de aproximaci´ on de Runge

Vamos a establecer el que hist´oricamente fue el primer teorema de aproximaci´on en Variable Compleja, a saber, el Teorema de Runge (1885), que establece la posibilidad de aproximar una funci´on holomorfa en un abierto mediante funciones racionales o, en ciertos casos, mediante polinomios holomorfos. Nos ser´an u ´tiles las dos siguientes observaciones: (A) Si K es un compacto no vac´ıo contenido en un abierto Ω de C, entonces existe un ciclo (o sea, una uni´on finita de arcos cerrados rectificables) Γ ⊂ Ω \ K tal que, para cada f ∈ H(Ω) y cada I z ∈ K, se cumple la 1 f (ξ) dξ. f´ormula de la integral de Cauchy f (z) = 2πi Γ ξ − z

ESPACIOS FUNCIONALES

73

(B) Si Ω ⊂ C es un abierto, existe una sucesi´on {Kn }n≥1 de compactos tales ∪ 0 que Ω = ∞ n=1 Kn , Kn ⊂ Kn+1 (n ≥ 1), cada subconjunto compacto de Ω est´a contenido en alg´ un Kn y, para todo n ∈ N, cada componente de C∞ \ Kn contiene alguna componente de C∞ \ Ω. Hemos denotado C∞ = C∪{0}, el plano complejo completado, que puede identificarse con la esfera de Riemann S 2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = 1}. Recordemos que un abierto de C se dice que es simplemente conexo cuando “no tiene agujeros”, es decir, cuando C∞ \ Ω es conexo. Teorema 3.5.1.

(a) Sean K un subconjunto compacto de un abierto Ω

de C, ε > 0, f ∈ H(Ω) y A un conjunto constituido por un punto de cada componente conexa de C∞ \ K. Entonces existe una funci´on racional R tal que {polos de R} ⊂ A y |f (z) − R(z)| < ε para todo z ∈ K. (b) Sean Ω ⊂ C un abierto, f ∈ H(Ω) y A un subconjunto constituido por un punto de cada componente conexa de C∞ \ Ω. Entonces existe una sucesi´on de funciones racionales {Rn }n≥1 con polos s´olo en A tal que Rn −→ f en H(Ω). n

(c) Si Ω ⊂ C es un abierto simplemente conexo, entonces el conjunto de los polinomios es denso en H(Ω). Demostraci´on. La parte (c) es consecuencia de (b) tomando A = {∞}. Probemos (b) partiendo de (a): elijamos para Ω una sucesi´on de compactos como en (B). Fijado un n ∈ N, cada componente conexa de C∞ \ Kn contiene alg´ un punto de A. Por (a), existe Rn funci´on racional tal que {polos de Rn } ⊂ A y |Rn (z) − f (z)| < 1/n para todo z ∈ Kn . Fijado un compacto K ⊂ Ω, existe n0 ∈ N tal que K ⊂ Kn para todo n ≥ n0 . Esto implica |Rn (z) − f (z)| < 1/n para cada z ∈ K y cada n ≥ n0 , de donde Rn −→ f en n

H(Ω).

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Queda demostrar (a). Para ello fijamos K, Ω, f y A como en la hip´otesis. Denotemos por M el conjunto de todas las funciones racionales con polos solo en A. Ya que la aproximaci´on que se pretende es en la norma de C(K), por los teoremas de representaci´on de Riesz y de Hahn–Banach es suficiente probar que, si µ es una medida de Borel compleja sobre K tal que ∫ R dµ = 0 ∀R ∈ M, (7) K ∫ entonces K f dµ = 0. ∫ Definamos la funci´on h(z) = K dµ(ξ) ∈ H(C∞ \ K). Sea α ∈ A y ξ−z V la componente conexa de C∞ \ K que contiene a α. Si α es finito, existe r > 0 tal que B(α, r) ⊂ V . Fijado un z ∈ B(α, r), se tiene que ∑ (z−α)k 1 = l´ımn→∞ nk=0 (ξ−α) k+1 uniformemente en ξ ∈ K. Pero, gracias a (7), ξ−z ∫ ∑n k (z−α) ı que k=0 (ξ−α)k+1 dµ(ξ) = 0 para cada n, luego h ≡ 0 en B(α, r), as´ K h ≡ 0 en V . Si α = ∞, entonces existe r > 0 tal que V ⊃ {z ∈ C∞ : |z| > r} y se aplicar´ıa un razonamiento similar a la expresi´on ∑ − l´ımn→∞ nk=0 z −k−1 ξ k . En consecuencia, h ≡ 0 en C∞ \ K.

1 ξ−z

=

Elijamos ahora un ciclo Γ ⊂ Ω \ K como el dado en la observaci´on (A). Podemos usar el Teorema de Fubini, puesto que estamos tratando con medidas de Borel y funciones continuas sobre conjuntos compactos. Resulta as´ı que ∫

) I 1 f (w) f dµ = dw dµ(z) 2πi Γ w − z K K ) I (∫ I dµ(z) 1 1 f (w) dw = − h(w)f (w) dw = 0, =− 2πi Γ K z − w 2πi Γ como quer´ıamos demostrar. 

3.6.

∫ (

Redes en espacios topol´ ogicos

Un ET X se dice que es primer numerable cuando cada punto admite una base de entornos numerable. Por ejemplo, cada espacio metrizable es

ESPACIOS FUNCIONALES

75

primer numerable pues, fijado x0 ∈ X, las bolas abiertas B(x0 , 1/n) (n ∈ N) constituyen una base de entornos de x0 . Es bien sabido que en un ET primer numerable, la topolog´ıa queda definida por las sucesiones convergentes, es decir, si τ1 , τ2 son dos topolog´ıas sobre un mismo conjunto X que hacen de ´el un ET primer numerable, entonces τ1 = τ2 si y solo si (X, τ1 ) y (X, τ2 ) contienen las mismas sucesiones convergentes. Como consecuencia, si f : X → Y es una aplicaci´on entre espacios topol´ogicos con X primer numerable, entonces f es continua si y solo si es secuencialmente continua. As´ı pues, las sucesiones son un instrumento muy c´omodo para comparar topolog´ıas y establecer continuidad en el caso anterior. El problema es que existen importantes espacios topol´ogicos –y en particular, importantes espacios vectoriales topol´ogicos– que no disfrutan de la propiedad anterior de poseer bases numerables de entornos. Las redes, denominadas tambi´en sucesiones generalizadas o sucesiones de Moore–Smith, han venido a ser un muy u ´til instrumento sustitutivo de las sucesiones, pues comparten muchas propiedades de ´estas y son aplicables a todos los espacios topol´ogicos. Las demostraciones de buen n´ umero de resultados de topolog´ıa y de an´alisis funcional pueden simplificarse bastante con el uso de las redes. Tras las definiciones, seleccionaremos las propiedades b´asicas, y con ello concluiremos el cap´ıtulo. Recordemos que un orden parcial en un conjunto no vac´ıo I es una relaci´on binaria ≤ que es reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Por definici´on, si α, β ∈ I, las notaci´on α ≥ β significa β ≤ α. Definici´ on 3.6.1.

(a) Sea I un conjunto no vac´ıo al que se dota de un

orden parcial ≤. Decimos que I es dirigido cuando, para cada dos elementos α, β ∈ I, existe γ ∈ I tal que γ ≥ α y γ ≥ β. (b) Un subconjunto dirigido J de un conjunto dirigido I se llama cofinal

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cuando, para cada α ∈ I existe β ∈ J tal que β ≥ α. (c) Sea X un conjunto no vac´ıo. Una red en X es una familia (xα )α∈I en la que I es un conjunto dirigido y xα ∈ X para todo α ∈ I. (d) Si (xα )α∈I es una red en X y J ⊂ I es cofinal, decimos que la familia (xα )α∈J es una subred de (xα )α∈I . Nota 3.6.2. Observemos que las sucesiones en un conjunto X no son m´as que las redes (xn )n∈N donde N est´a dotado del orden usual. Notemos tambi´en que cada subconjunto cofinal de un conjunto dirigido es tambi´en dirigido, luego una subred es tambi´en una red. Definici´ on 3.6.3. Sean X un ET, x0 ∈ X y (xα )α∈I una red en X. (a) Decimos que (xα )α∈I converge a x0 cuando, para cada entorno U de x0 existe α0 = α0 (U ) ∈ I tal que xα ∈ U para todo α ≥ α0 . Denotaremos este hecho por xα → x0 , o simplemente por xα → x0 cuando no haya α∈I

α

confusi´on con el conjunto de ´ındices I. (b) Decimos que x0 es un punto adherente de (xα )α∈I cuando, para cada entorno U de x0 y cada α ∈ I, existe β ≥ α con xβ ∈ U . Equivalentemente, cuando existe alguna subred convergente a x0 . Es evidente que si una red converge a un punto x0 entonces x0 es un punto adherente de la red y toda subred converge a x0 . Teorema 3.6.4.

(a) Si τ1 y τ2 son dos topolog´ıas sobre un mismo con-

junto X, entonces τ1 < τ2 si y solo si, para cada x0 ∈ X, cada red τ1 -convergente a x0 es tambi´en τ2 -convergente a x0 . Por tanto τ1 = τ2 es equivalente a la siguiente propiedad: para cada punto de X, las redes que τ1 -convergen a ´el son las mismas que las que τ2 -convergen al mismo.

ESPACIOS FUNCIONALES

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(b) Si X es un ET y A ⊂ X, entonces x ∈ A si y solo si existe una red de puntos de A que converge a x. Por tanto, A es cerrado si y solo si A contiene todos los l´ımites de redes convergentes formadas por puntos de A. (c) Un ET X es separado si y solo cada red convergente converge a un solo punto de X. (d) Un ET X es compacto si y solo si cada red admite una subred convergente, y si y solo si cada red tiene un punto adherente. (e) Si f : X → Y es una aplicaci´ on entre dos espacios topol´ ogicos y x0 ∈ X, entonces f es continua en x0 si y solo si, para cada red (xα )α∈I ⊂ X con xα → x0 en X, se tiene que f (xα ) → f (x0 ) en Y . α

α

Demostraci´on. (a) La necesidad es obvia porque cada τ2 -entorno de x0 es tambi´en un τ1 -entorno de x0 . Supongamos ahora que se da esta condici´on para cada x0 ∈ X. Por reducci´on al absurdo, partimos de que existe un τ2 entorno U de alg´ un punto x0 ∈ U que no es τ1 -entorno de x0 . Consideremos el conjunto I := {τ1 -entornos de x0 }, que es un conjunto dirigido con el orden V ≤ W ⇔ W ⊂ V . Para cada V ∈ I, debe existir alg´ un punto xV ∈ V \ U (de lo contrario U contendr´ıa alg´ un τ1 -entorno de x0 , y por tanto el propio U ser´ıa un τ1 -entorno de x0 ). Es f´acil ver ahora que la red (xV )V ∈I τ1 -converge a x0 pero no converge a x0 respecto de τ2 . Esta es la contradicci´on que se buscaba. (b) Supongamos que x ∈ A. Consideremos el conjunto I := {entornos de x}, que es un conjunto dirigido con el orden V ≤ W ⇔ W ⊂ V . Si para cada V ∈ I seleccionamos un punto xV ∈ V ∩ A, es evidente que la red (xV )V ∈I est´a formada por puntos de A y converge a x. Rec´ıprocamente, supongamos que existe una red (xα )α∈I ⊂ A que converge a x. Si U es un entorno de x,

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

existe α ∈ I tal que xα ∈ U . As´ı que xα ∈ U ∩ A, luego U ∩ A ̸= ∅. Por tanto x ∈ A. (c) Sea ahora X un ET separado. Por reducci´on al absurdo, sea (xα )α∈I una red convergente a dos puntos distintos x e y de X. Tomemos dos abiertos U y V con x ∈ U , y ∈ V y U ∩ V = ∅. Por convergencia, existen α1 , α2 ∈ I tales que xα ∈ U para todo α ≥ α1 y xα ∈ V para todo α ≥ α2 . Si elegimos β ∈ I con β ≥ α1 , β ≥ α2 , llegamos a que xβ ∈ U ∩ V = ∅, que es la contradicci´on deseada. Para el rec´ıproco, partimos, de nuevo por reducci´on al absurdo, de que las redes convergentes lo hacen a un u ´nico punto y de que existen dos puntos x ̸= y en X para los que dos entornos respectivos siempre tienen puntos comunes. Sea I := {(U, V ) : U es un entorno de x y V es un entorno de y}, que es un conjunto dirigido con el orden (U, V ) ≤ (U ′ , V ′ ) ⇔ U ′ ⊂ U y V ′ ⊂ V . Si para cada (U, V ) ∈ I tomamos x(U,V ) ∈ U ∩ V , es evidente que la red (x(U,V ) )(U,V )∈I converge a x e y, y llegamos a un absurdo. (d) Partimos de que X es compacto y de que, por v´ıa de la contradicci´on, existe una red (xα )α∈I que carece de puntos adherentes. Entonces para cada z ∈ X existe un abierto Uz con la siguiente propiedad: z ∈ Uz y existe α = α(z) ∈ I tal que para todo β ≥ α se tiene xβ ∈ / Uz . Consideremos la familia {Uz }z∈X , que es un recubrimiento abierto de X. Como X es compacto, admite un subrecubrimiento finito, digamos Uz1 , . . . , Uzp . Como I es dirigido, existe β ∈ I tal que β ≥ α(z1 ), . . . , α(zp ). Entonces xβ ∈ / Uzj (j = 1, ..., p), ∪p luego xβ ∈ / j=1 Uzj = X, lo que es absurdo. Rec´ıprocamente, supongamos que toda red en X admite un punto adherente y que, de nuevo por reducci´on al absurdo, X no es compacto. Entonces existir´ıa un recubrimiento abierto U de X que no admite subrecubrimiento finito. Llamemos I al conjunto de todas las uniones finitas de miembros de U. Entonces I es un conjunto dirigido si se le dota del orden dado por la inclusi´on: V ≤ W ⇔ V ⊂ W . Gracias a nuestra suposici´on, para cada V ∈ I podemos elegir un punto xV ∈ X \ V .

ESPACIOS FUNCIONALES

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Consideremos la red (xV )V ∈I . Por hip´otesis, admite alg´ un punto adherente, sea x0 ∈ X. Ahora bien, existe U ∈ U tal que x0 ∈ U . Como U ∈ I, debe existir V ∈ I con V ≥ U tal que xV ∈ U , lo cual es una contradicci´on puesto que xV ∈ X \ V ⊂ X \ U . (e) Partimos de que f es continua en x0 y de que xα → x0 . Sea U un entorno α

de f (x0 ) en Y . Entonces f −1 (U ) es un entorno de x0 en X, de donde existe α0 ∈ I con xα ∈ f −1 (U ) si α ≥ α0 . Por tanto f (xα ) ∈ U para esos mismos α, y as´ı f (xα ) → f (x0 ). Rec´ıprocamente, supongamos, por reducci´on al absurdo, α

que f transforma redes convergentes a x0 en redes convergentes a f (x0 ) y que existe un entorno U de f (x0 ) tal que f −1 (U ) no es un entorno de x0 . Consideremos la familia I de los entornos de x0 , que es un conjunto dirigido bajo el orden V ≤ W ⇔ W ⊂ V . Puesto que cualquier superconjunto de un entorno de x0 sigue siendo un entorno de x0 , para cada V ∈ I debe haber al menos un punto xV ∈ V \ f −1 (U ). Entonces la red (xV )V ∈I converge a x0 , pero f (xV ) ∈ / U para todo V ∈ I, luego la red (f (xV ))V ∈I no converge a f (x0 ), y hemos llegado de nuevo a una contradicci´on.



Ejercicios 1.- Sea f : [0, 1] → R una funci´on continua tal que

∫1 0

tn f (t) dt = 0 para todo

n ∈ N0 . Demostrar que f ≡ 0. Indicaci´ on: usar el teorema de aproximaci´on de Weierstrass. 2.- Demostrar que el conjunto A := {f ∈ C([0, 1], R) : f es dos veces diferenciable en [0, 1], f (0) = 0 = f ′ (0) y |f ′′ (x)| ≤ 1 ∀x ∈ [0, 1]} es relativamente compacto en C([0, 1]). 3.-

(a) Sea N ∈ N y consideremos el EV C N ([a, b]) de las funciones f : [a, b] → K derivables con continuidad en [a, b] hasta orden N inclusive, dotado de la norma ∥f ∥ = m´ax0≤k≤N supa≤x≤b |f (k) (x)|. Demostrar que el

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conjunto de los polinomios es denso en C N ([a, b]). (b) Si Ω ⊂ R es un abierto no vac´ıo, probar que el conjunto de los polinomios es denso en el EVT C ∞ (Ω) definido en el Cap´ıtulo 2. 4.- Sea φ la campana de Gauss, es decir, la funci´on φ(x) = e−x . Si 1 ≤ 2

p < +∞, demostrar que el conjunto {P · φ : P es un polinomio} es un subconjunto denso en Lp (R). Razonar por qu´e no lo es en L∞ (R). 5.- Sea Ω un subconjunto abierto no vac´ıo de C y consideremos la familia { } ∫ ∫ F = f ∈ H(Ω) : |f (x + iy)| dxdy ≤ 1 . Ω

Demostrar que F es relativamente compacta en H(Ω). Indicaci´ on: Fijar un punto z0 ∈ Ω y probar, utilizando el teorema de la media para funciones anal´ıticas y usando un cambio a coordenadas polares, que F est´a uniformemente acotada en un entorno de z0 . 6.- Hallar el sup

{∫1 0

xf (x) dx : f : [0, 1] → R es medible y

∫1 0

} f (x)4 dx ≤ 1 .

7.- Sobre el espacio de Banach C([0, 1], R) se define la aplicaci´on Λ : f ∈ C([0, 1], R) 7→

∞ ∑

2

−n

∫ f (1/n) +

n=1

1/2

tf (t) dt ∈ R.

0

(a) Probar que Λ est´a bien definida, es lineal y continua, y calcular ∥Λ∥. (b) Determinar la medida real de Borel µ que corresponde a Λ por el teorema de representaci´on de Riesz. 8.- Sea Ω ⊂ C una regi´on simplemente conexa tal que 0 ∈ / Ω. Se fija N ∈ N y se define PN como el conjunto de polinomios que tienen un cero en el origen de multiplicidad al menos N . Demostrar que PN es denso en H(Ω). 9.- Sea X un EV al que se dota de una topolog´ıa τ . Probar que (X, τ ) es un EVT si y solo si, dados dos vectores x, y ∈ X, dos escalares λ, µ ∈ K, y dos redes (xα )α∈I , (yα )α∈I con el mismo conjunto de ´ındices I tales que xα → x e yα → y (respecto de τ ), se tiene que λxα + µyα → λx + µy.

ESPACIOS FUNCIONALES

81

10.- (a) Si (I, ≼) y (J, ) son dos conjuntos dirigidos, demostrar que el producto I × J es un conjunto dirigido bajo el orden ≤ definido as´ı: (i1 , j1 ) ≤ (i2 , j2 ) ⇐⇒ i1 ≼ i2 y j1  j2 . (b) Usando redes, demostrar el apartado (b) de la Proposici´on 2.1.7. Indicaci´ on: Aplicar el Teorema 3.6.4(b), el ejercicio anterior y el apartado (a) de este ejercicio. 11.- Consideremos una familia {Yi }i∈X de conjuntos, cada uno de los cuales es un ∏ ET, y su producto cartesiano i∈X Yi , dotado de la topolog´ıa producto (ir a la Secci´on 4.6 para recordar estos conceptos). Considerando las proyecciones ∏ πj : f ∈ i∈X Yi 7→ f (j) ∈ Yj (j ∈ X) y utilizando redes, demostrar el Teorema de Tychonoff, el cual afirma que las siguientes propiedades son equivalentes: ∏ (a) i∈X Yi es compacto. (b) Cada Yi es compacto. 12.- Demostrar que si (xα )α∈I es una red convergente en un EVT entonces el conjunto {xα : α ∈ I} es acotado. 13.- Denotemos D = {z ∈ C : |z| < 1} y D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}, es decir, el disco unidad abierto y el disco unidad cerrado, respectivamente, de C. Consideremos el espacio de Banach C(D) de las funciones continuas f : D → C dotado de la norma del supremo, as´ı como el subespacio vectorial A := {f ∈ C(D) : f ∈ H(D)}, denominado ´ algebra del disco. Demostrar que, bajo la misma norma, A es un espacio de Banach en el cual el conjunto de los polinomios es denso. on D : 14.- Sea Ω ⊂ C un abierto no vac´ıo, y consideremos el operador de derivaci´ f ∈ H(Ω) 7→ f ′ ∈ H(Ω). Si P es el polinomio P (z) = a0 + a1 z + · · · + aN z N , se define el operador P (D) por P (D) = a0 I +a1 D +· · ·+aN DN . Demostrar que cada operador P (D) est´a bien definido y es lineal y continuo, y que, si Ω es simplemente conexo, es sobreyectivo salvo que P = 0. Indicaci´ on: comenzar con el caso P (D) = D − aI (a ∈ C).

82

15.-

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

(a) Verificar que la funci´on φ : R → R dada por φ(x) = e−1/x (x ̸= 0), 2

φ(0) = 0, pertenece a C ∞ (R), y adem´as f (n) (0) = 0 para todo n ≥ 0 y no es anal´ıtica en el origen. (b) Demostrar que el conjunto M := {f ∈ C ∞ (R) : f (n) (0) = 0 para todo n ≥ 0} es un subespacio vectorial cerrado infinito-dimensional de C ∞ (R). 16.- Si f : R → R es una funci´on continua, se llama soporte de f a la clausura del conjunto de puntos donde f no se anula. Si K ⊂ R es compacto, se denota por DK el EV de las funciones de C ∞ (R) cuyo soporte est´a contenido en K (ver Cap´ıtulo 2). Y se denota por D el espacio de las funciones test, es decir, el EV de las funciones de C ∞ (R) de soporte compacto. As´ı que ∪ D = {DK : K ⊂ R compacto}. (a) Para cada intervalo compacto [a, b] ⊂ R, verificar que la funci´on φ : R → R dada por

  0 φ(x) = 1 1 − x−a  e x−b

si x ≤ a o x ≥ b si x ∈ (a, b).

pertenece a D[a,b] . (b) Denotemos por τK la topolog´ıa que DK hereda de C ∞ (R). Llamemos τ a la familia de todos los subconjuntos V ⊂ D tales que V ∩ DK ∈ τK para cada subconjunto compacto K ⊂ Ω. Demostrar que τ es una topolog´ıa que hace de D un EVT localmente convexo. (c) Se llama distribuci´ on o funci´ on generalizada a cada elemento de D∗ , el espacio dual de D. Si Λ : D → R es lineal, demostrar que Λ ∈ D∗ si y solo si, para cada compacto K ⊂ R, existen M ∈ (0, +∞) y N ∈ N de modo que |Λ(f )| ≤ M supi=0,1,...,N supx∈K |f (i) (x)| para toda f ∈ DK . Indicaci´ on: usar el Ejercicio 5 del Cap´ıtulo 2. (d) Si g es una funci´on localmente integrable en R, verificar que la aplicaci´on ∫ ∞ ∞ ∑ (n) Λ : f ∈ D 7→ f (n) + f (x)g(x) dx ∈ R n=0

es una distribuci´on.

−∞

Cap´ıtulo 4 Dualidad y Teoremas de Hahn–Banach En este cap´ıtulo penetraremos en la estructura de los espacios duales de los espacios topol´ogicos, en especial de los espacios localmente convexos y, en particular, de los espacios normados. Los teoremas de extensi´on de Hahn–Banach est´an ´ıntimamente conectados al dual de un EVT. Estudiaremos la topolog´ıa d´ebil en el espacio original y la topolog´ıa ∗-d´ebil en el espacio dual, su relaci´on con las topolog´ıas originales, as´ı como propiedades como las de acotaci´on, compacidad, y convexidad combinada con clausura. Tambi´en consideraremos el bidual de un EN y relacionaremos la reflexividad con la topolog´ıa d´ebil. Finalmente, presentaremos el concepto de aplicaci´on traspuesta a una dada y relacionaremos su continuidad a trav´es del teorema de Schauder.

4.1.

Aplicaciones lineales reales y complejas

Vamos a comenzar estudiando, en el ´ambito m´as general de los espacios vectoriales topol´ogicos, teoremas de tipo Hahn–Banach similares a los

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84

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

ya conocidos para espacios normados reales. Habitualmente, sucede que las demostraciones de los teoremas del an´alisis funcional son igualmente v´alidas para K = R y K = C. Sin embargo, en este cap´ıtulo tendremos que diferenciar los dos casos. Debemos notar que todo EV sobre C lo es tambi´en sobre R. Por tanto, al hablar de aplicaciones lineales, habr´a que especificar si son lineales reales o lineales complejas. El siguiente hecho relaciona ambos tipos de linealidad. Proposici´ on 4.1.1. Sea X un EV complejo y Λ : X → C una aplicaci´ on lineal compleja. Entonces u := Re Λ es lineal real. Adem´ as, Λ(x) = u(x) − iu(ix) para todo x ∈ X. Rec´ıprocamente, si u : X → R es lineal real, se tiene que la aplicaci´ on Λ(x) := u(x) − iu(ix) es lineal compleja. Demostraci´on. Dada Λ como en la primera parte del enunciado, es obvio que u es lineal real. Ahora bien, para cada z ∈ C se tiene que Im z = − Re(iz), luego Λ(x) = ReΛ(x) + iImΛ(x) = ReΛ(x) − iRe(iΛ(x)) = ReΛ(x) − iRe(Λ(ix)) = u(x) − iu(ix) para todo x ∈ X. Rec´ıprocamente, supongamos que u es lineal real, y consideremos Λ(x) := u(x) − iu(ix). La aditividad de Λ es inmediata. En cuanto a la escalaridad, fijemos c = a + ib [con a, b ∈ R] y x ∈ X. Resulta que Λ(cx) = u(cx) − iu(icx) = u(ax + ibx) − iu(iax − bx) = au(x) + bu(ix) − iau(ix) + ibu(x) = (a + ib)(u(x) − iu(ix)) = cΛ(x), c.q.d.



Vemos por tanto que hay una correspondencia uno a uno entre formas lineales reales y complejas, y claramente tambi´en entre formas lineales continuas reales y complejas.

4.2.

Teoremas de Hahn–Banach

El siguiente resultado se conoce de cursos introductorios al an´alisis funcional, y de hecho es la forma m´as abstracta del Teorema de Hahn–Banach.

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

85

Teorema 4.2.1. Sean X un EV real y p : X → R una subnorma en X, es decir, p es subaditiva y homog´enea para escalares positivos. Sean M un subespacio vectorial de X y f : X → R lineal tal que f (x) ≤ p(x) para todo x ∈ M . Entonces existe una forma lineal Λ : X → R tal que Λ|M = f y Λ(x) ≤ p(x) para todo x ∈ X. De lo anterior podemos deducir otra versi´on anal´ıtica del teorema de Hahn–Banach, la cual se expone a continuaci´on. Teorema 4.2.2. Sean M un subespacio de un EV X, p una seminorma en X y f : X → K lineal tal que |f (x)| ≤ p(x) para todo x ∈ M . Entonces existe una forma lineal Λ : X → K tal que Λ|M = f y |Λ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ X. Demostraci´on. Si K = R, el resultado se deduce del Teorema 4.2.1, puesto que, si Λ es la extensi´on obtenida, resulta que −p(−x) ≤ −Λ(−x) = Λ(x) ≤ p(x), as´ı que |Λ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ X. Se ha usado que p(−x) = p(x). Si K = C, sea u = Ref . Entonces u ≤ p, luego existe U : X → R lineal tal que U |M = u y U ≤ p en X. Definimos Λ(x) := U (x) − iU (ix) (x ∈ X). Entonces, por la Proposici´on 4.1.1, Λ es lineal compleja X → C y Λ|M = f . Por u ´ltimo, para cada x ∈ X, sea α ∈ C con |α| = 1 tal que αΛ(x) = |Λ(x)|. Entonces |Λ(x)| = Λ(αx) = U (αx) ≤ p(αx) = p(x), c.q.d.



Como se ve, el resultado anterior vale para espacios vectoriales tanto reales como complejos. Vamos a dar un par de consecuencias directas. Pero antes necesitamos un sencillo lema, que es un caso particular del Ejercicio 5 del Cap´ıtulo 2. Lema 4.2.3. Sea X un ELC y P una familia separante y filtrante de seminormas que define la topolog´ıa de X. Supongamos que f : X → K es lineal. Entonces f es continua si y solo si existen p ∈ P y M ∈ (0, +∞) tales que |f (x)| ≤ M p(x) para todo x ∈ X.

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Demostraci´on. Supongamos primero que existen p, M como en el enunciado. Como f es lineal, para probar que es continua basta demostrar su continuidad en el 0. Sea pues ε > 0. Como f (0) = 0, hemos de hallar V ∈ E(0) tal que f (V ) ⊂ (−ε, ε). Basta tomar V := {x ∈ X : p(x) < ε/M }. Rec´ıprocamente, supongamos que f es continua. Entonces f −1 ((−1, 1)) ∈ E(0), luego existen p ∈ P y δ > 0 de modo que {x ∈ X : p(x) < δ} ⊂ f −1 ((−1, 1)). De otra forma, |f (y)| < 1 si p(y) < δ. Sean x ∈ X y α > 0. Entonces el vector y :=

δ α+p(x)

δx · x cumple p(y) < δ, luego |f ( α+p(x) )| < 1, y

por tanto |f (x)| ≤ M p(x), donde M := 1/δ, tras hacer α → 0.



Corolario 4.2.4. Sean X un ELC, Y un subespacio de X y f : Y → K una forma lineal continua. Entonces existe una forma lineal continua Λ : X → K que extiende a f , es decir, Λ|Y = f . Demostraci´on. Sea P una familia de seminormas como en el Lema 4.2.3. Como f es continua en Y , existen p ∈ P y M > 0 tales que |f (x)| ≤ M p(x) para todo x ∈ Y . Por el Teorema 4.2.2, existe Λ : X → K lineal tal que |Λ(x)| ≤ M p(x) para todo x ∈ X y Λ|Y = f . Finalmente, y de nuevo por el 

Lema 4.2.3, Λ es continua.

Corolario 4.2.5. Sean X un EVT, x0 ∈ X, α ∈ K y p una seminorma continua sobre X tal que p(x0 ) > 0. Entonces existe una forma lineal continua Λ : X → K que verifica Λ(x0 ) = α y |Λ(x)| ≤

|α| p(x0 )

· p(x) para todo x ∈ X.

Demostraci´on. Sea M := ⟨x0 ⟩. Entonces la aplicaci´on f : M → K dada por f (λx0 ) = λα es lineal y verifica |f (λx0 )| = luego |f (x)| ≤

|α| p(x) p(x0 )

|α| |λp(x0 )| p(x0 )

=

|α| p(λx0 ), p(x0 )

para todo x ∈ M . Por el Teorema 4.2.2, existe

una forma lineal Λ : X → K tal que Λ|M = f y |Λ(x)| ≤

|α| p(x) p(x0 )

para

todo x ∈ X. En particular, Λ(x0 ) = f (x0 ) = α. Por u ´ltimo, Λ es continua porque p es continua y |Λ(x)| ≤ βp(x), con β := |α|/p(x0 ). En efecto, basta probar que Λ es continua en el 0. Fijado ε > 0, se tiene que Λ−1 ((B(0, ε)) ⊃

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

87

p−1 (B(0, ε/β)) ∈ E(0) porque p es continua. Luego Λ−1 ((B(0, ε)) ∈ E(0), c.q.d.



4.3.

Teoremas de Hahn–Banach y convexidad

Vamos a dar otra forma m´as del teorema de Hahn–Banach, que involucra conjuntos convexos. Una vez m´as, necesitamos un sencillo lema. Lema 4.3.1. Toda forma lineal no constante sobre un EVT es abierta. Demostraci´on. Sea φ : X → K una forma lineal no constante, lo que equivale a decir que φ ̸≡ 0, donde X es un EVT. Fijemos x0 ∈ X y un abierto U ∋ x0 . Sea α := φ(x0 ). Como φ ̸≡ 0, existe x1 ∈ X tal que φ(x1 ) = 1. Como X es un EVT, existe δ > 0 de modo que x0 + tx1 ∈ U si |t| < δ. Entonces B(α, δ) ⊂ φ(U ), luego φ(U ) es un entorno de α, c.q.d.



Teorema 4.3.2. Sean X un EVT y A, B ⊂ X dos subconjuntos convexos, disjuntos y no vac´ıos. Se tiene: (a) Si A es abierto, existen Λ ∈ X ∗ y γ ∈ R tales que Re Λx < γ ≤ Re Λy para todo x ∈ A y todo y ∈ B. (b) Si A es compacto, B es cerrado y X es localmente convexo, existen Λ ∈ X ∗ y γ1 , γ2 ∈ R tales que Re Λx < γ1 < γ2 < Re Λy para todo x ∈ A y todo y ∈ B. Demostraci´ on. Supongamos probado el teorema para el caso real. Entonces existe u : X → R lineal y continua de modo que (a) y (b) se cumplen. Tomando Λ(x) = u(x)−iu(ix) se obtiene el caso complejo. Luego es suficiente demostrar el teorema si K = R. (a) Sean a0 ∈ A y b0 ∈ B. Pongamos x0 := b0 − a0 y C := A − B + x0 . Como C es abierto y 0 ∈ C, se tiene que C es un entorno abierto y convexo de 0.

88

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Sea p el funcional de Minkowski de C. Entonces p es una subnorma tal que C = {x ∈ X : p(x) < 1}. Como A ∩ B = ∅, resulta x0 ∈ / C, luego p(x0 ) ≥ 1. Definamos f (tx0 ) = t sobre ⟨x0 ⟩. Entonces f (tx0 ) = t ≤ tp(x0 ) = p(tx0 ) si t > 0, y f (tx0 ) = t < 0 < p(tx0 ) si t < 0. As´ı que f ≤ p. Luego existe Λ : X → R lineal que extiende f y verifica Λ ≤ p. En particular, Λ ≤ 1 sobre C, y por tanto Λ ≥ −1 sobre −C. Por tanto |Λ| ≤ 1 sobre C ∩ (−C) ∈ E(0). Del Teorema 2.4.2 se deduce que Λ ∈ X ∗ . Sean ahora a ∈ A y b ∈ B. Se tiene Λa − Λb + 1 = Λ(a − b + x0 ) ≤ p(a − b + x0 ) < 1 porque a − b + x0 ∈ C. As´ı Λa < Λb. Resulta que Λ(A) y Λ(B) son dos subconjuntos convexos de R (luego son intervalos) con Λ(A) a la izquierda de Λ(B), y Λ(A) es abierto por el Lema 4.3.1. Basta tomar γ := sup Λ(A). (b) Sean A y B como en la hip´otesis. Dado x ∈ A, se tiene que x ∈ / B, luego existe Vx ∈ E(0) abierto tal que (x+Vx )∩B = ∅. Tomamos Ux ∈ E(0) abierto ∪ y convexo tal que Ux + Ux ⊂ Vx . Como A es compacto y A ⊂ x∈A (x + Ux ), existe un n´ umero finito de puntos x1 , . . . , xn ∈ A de modo que A ⊂ (x1 + ∩ Ux1 ) ∪ · · · ∪ (xn + Uxn ). Sea V := ni=1 Uxi . Entonces V es abierto, V ∋ 0 y (A+V )∩B = ∅ [pues si x ∈ A+V , existe i ∈ {1, . . . , n} con x ∈ xi +Uxi +V , luego x ∈ xi + Uxi + Uxi ⊂ xi + Vxi , as´ı que x ∈ / B]. Por otra parte, A+V es abierto y convexo. En consecuencia, y de acuerdo con (a), existe Λ ∈ X ∗ tal que Λ(A + V ) y Λ(B) son disjuntos, con Λ(A + V ) intervalo abierto a la izquierda de Λ(B). Como Λ(A) es compacto, obtenemos que Λ(A) y Λ(B) pueden separarse en el sentido de (b).



Corolario 4.3.3. Si X es un ELC, entonces X ∗ separa puntos de X, es decir, dados x1 , x2 ∈ X con x1 ̸= x2 , existe Λ ∈ X ∗ tal que Λx1 ̸= Λx2 . Por tanto, la convexidad local nos asegura un gran surtido de formas lineales continuas. No obstante, la condici´on de convexidad local no puede omitirse en el corolario anterior: recordemos, por ejemplo, que (Lp )∗ = {0}

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

89

si 0 < p < 1. Concluimos esta secci´on con otro resultado sobre existencia de formas lineales continuas para espacios localmente convexos. Teorema 4.3.4. Sean X un ELC, M un subespacio de X y x0 ∈ X \ M . Entonces existe Λ ∈ X ∗ tal que Λ(x0 ) = 1 y Λ|M ≡ 0. Demostraci´on. En el apartado (b) del Teorema 4.3.2, t´omese A = {x0 } y B = M . Entonces Λ(x0 ) ∈ / Λ(M ) y Λ(M ) es un subespacio propio de K, luego Λ(M ) = {0} y Λ(x0 ) ̸= 0. La forma lineal Λ/Λ(x0 ) cumple las condiciones requeridas.

4.4.



Forma geom´ etrica del teorema de Hahn– Banach

Profundizaremos ahora en los aspectos geom´etricos del teorema de Hahn–Banach. Supongamos que X es un EV. Si M es un subespacio de X y x0 ∈ X, entonces el conjunto x0 + M es llamado una “variedad af´ın” o “subespacio af´ın” de X. Un subespacio M de X es “maximal” si M ̸= X y ning´ un subespacio propio de X contiene a M , salvo el mismo M . Es obvio que si M es maximal y a ∈ / M entonces ⟨M, a⟩ (:= span (M ∪{a})) = X. Rec´ıprocamente, si M ̸= X y existe a ∈ X tal que ⟨M, a⟩ = X, entonces M es maximal. En efecto, si M1 ⊂ X es un subespacio vectorial tal que M1 ) M , sea x1 = m + λa ∈ M1 \ M (con m ∈ M y λ ∈ K); esto implica que a ∈ M1 , luego M1 = X. Cualquier trasladado x0 + M de un subespacio maximal M se llama “hiperplano af´ın”. Se llama “hiperplano” a cada subespacio vectorial maximal M . Entonces x0 + M se dice que es un hiperplano af´ın “paralelo” a M.

90

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

En el pr´oximo teorema, de car´acter puramente algebraico, estableceremos la estructura de los hiperplanos y su relaci´on con las formas lineales. Denotaremos por X ′ el dual algebraico de X, es decir, X ′ = {formas lineales φ : X → K}. Teorema 4.4.1. Sea X un EV. Se tiene: (a) Para cada φ ∈ X ′ \ {0}, el conjunto Ker φ es un hiperplano. Cada hiperplano af´ın paralelo a Ker φ es de la forma {x ∈ X : φ(x) = α} para alg´ un α ∈ K. as, (b) Dado un hiperplano H de X, existe φ ∈ X ′ tal que H = Ker φ. Adem´ si ψ ∈ X ′ cumple Ker φ = Ker ψ, entonces ψ = cφ para alg´ un c ∈ K \ {0}. (c) Para cada hiperplano af´ın M con M ̸∋ 0, existe un u ´nico φ ∈ X ′ tal que M = {x ∈ X : φ(x) = 1}. Demostraci´on. (a) Sea H = Ker φ. Como φ ̸= 0, H es un subespacio de X con H ̸= X. Tomemos a ∈ X \ H. Entonces x −

φ(x) a φ(a)

∈ H, de donde

x ∈ ⟨a⟩ + H. Se deduce que ⟨H, a⟩ = X, as´ı que H es un hiperplano. Sea ahora M un hiperplano af´ın paralelo a H, de modo que M = H + b con b ∈ X. Si b ∈ H, basta tomar α = 0. Si b ∈ / H, t´omese α = φ(b). (b) Sea H un hiperplano de X. Tomemos a ∈ X \ H. Entonces X = ⟨H, a⟩, luego cada x ∈ X tiene una u ´nica representaci´on x = h + λa (con h ∈ H y λ ∈ K). Definimos φ : X → K por φ(x) = λ. Entonces Ker φ = H. Por otra parte, si ψ ∈ X ′ es tal que Ker ψ = H, resulta que, para cada x ∈ X, ψ(x) = ψ(h + λa) = λψ(a) = ψ(a)φ(x). (c) Sea M un hiperplano af´ın con M ̸∋ 0. Entonces M = a + H con a ∈ / H. Por (b) existe φ ∈ X ′ tal que H = Ker φ. Sea ψ :=

φ . φ(a)

Entonces ψ(a) = 1 y

M = {x ∈ X : ψ(x) = 1}. Si hubiese otro Λ ∈ X ′ tal que M = {x : Λ(x) =

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

91

1}, tendr´ıamos Ker Λ = Ker ψ y Λ(a) = 1 = ψ(a). De acuerdo con (b), esto implica que Λ = ψ.



En el caso de un EVT, sabemos que la clausura de un subespacio vectorial es tambi´en un subespacio vectorial. En consecuencia, por maximalidad, se tiene que un hiperplano en un EVT es cerrado o denso. Si φ : X → K es una forma lineal sobre X, sabemos que Ker φ es cerrado si y solo si φ es continua. En consecuencia, para un hiperplano H = Ker φ, se verifica: H es cerrado ⇐⇒ φ es continua; H es denso ⇐⇒ φ no es continua. Por otra parte, si K = R y M = {x ∈ X : φ(x) = α} es un hiperplano af´ın, entonces M divide a X en dos semiespacios {x : φ(x) < α} y {x : φ(x) > α}, o bien {x : φ(x) ≤ α} y {x : φ(x) ≥ α}. Si φ es continua, entonces los dos primeros son abiertos y los otros dos son cerrados; el rec´ıproco es cierto. A continuaci´on enunciamos la forma geom´etrica del Teorema de Hahn– Banach. Teorema 4.4.2. Sean X un EVT, Ω un abierto convexo no vac´ıo ⊂ X y M un subespacio af´ın disjunto con Ω. Entonces existe un hiperplano af´ın cerrado H tal que H ∩ Ω = ∅ y H ⊃ M . Demostraci´on. Apliquemos el Teorema 4.3.2 para A = Ω y B = M . Entonces existen Λ ∈ X ∗ y γ ∈ R tales que Re Λx < γ ≤ Re Λy para todo x ∈ Ω y todo y ∈ M . As´ı Λ(M ) es un subespacio af´ın propio de K, luego se reduce a un punto, digamos Λ(M ) = {α}. Consideremos H := Λ−1 ({α}) = {x ∈ X : Λx = α}. Entonces H es un hiperplano af´ın cerrado y H ⊃ M . Finalmente, para cada x ∈ Ω, se tiene Re Λx < γ ≤ Re α, luego H ∩ Ω = ∅.



Si X es un EV y A ⊂ X, se define la envolvente convexa de A, co(A), como la intersecci´on de todos los conjuntos convexos que contienen a A. Ya que la intersecci´on de cualquier familia de conjuntos convexos es convexa,

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

deducimos que co(A) es el menor conjunto convexo que contiene a A. No es dif´ıcil ver que co(A) =

N {∑

ci xi : x1 , ..., xN ∈ A; c1 , ..., cN ∈ [0, 1] con

i=1

N ∑

} ci = 1; N ∈ N .

i=1

Si ahora X es un EVT, la envolvente cerrada convexa de A es co(A) := co(A). Puede probarse que si B es convexo, entonces B es convexo, y que co(A) es la intersecci´on de todos los subconjuntos cerrados y convexos de X que contienen a A, siendo pues el menor de estos. Como veremos en el resultado siguiente, podemos obtener co(A) como intersecci´on de semiespacios afines. Teorema 4.4.3. Sean X un ELC real. Entonces la envolvente cerrada convexa de un subconjunto no vac´ıo S es la intersecci´ on de todos los semiespacios cerrados que lo contienen. Demostraci´ on. Llamemos K = co(S) y L a la intersecci´on de todos los semiespacios cerrados que contienen a S. Se tiene que L es cerrado y convexo porque la intersecci´on de cerrados (de convexos) es cerrada (convexa, resp.) y L ⊃ S, luego L ⊃ K. Probemos que L ⊂ K, o lo que es lo mismo, que X \K ⊂ X \L. Fijemos un punto a ∈ X \K. Apliquemos el Teorema 4.3.2(b) con A = {a} y B = K. Se deduce que existen Λ ∈ X ∗ y γ1 , γ2 ∈ R tales que Λ(a) < γ1 < γ2 < Λ(y) para todo y ∈ K. Sea H := {x ∈ X : Λ(x) ≥ γ2 }. Se tiene: H es un semiespacio cerrado, H ⊃ K (luego H ⊃ S) y a ∈ / H. Pero H ⊃ L, as´ı que a ∈ X \ L.

4.5.



Topolog´ıa d´ ebil

Nuestro siguiente objetivo es estudiar la as´ı llamada “topolog´ıa d´ebil” de un EVT. Para ello, comenzamos considerando topolog´ıas generadas por familias de funciones. Sea X un conjunto e Y una familia de aplicaciones

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

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X → Z, donde Z es un ET. Consideremos la topolog´ıa inicial inducida por Y en X, es decir, la topolog´ıa menos fina (esto es, la m´as d´ebil, es decir, la que contiene menos abiertos) que hace continua cada aplicaci´on de Y . Esta topolog´ıa debe contener {f −1 (G) : G abierto de Z, f ∈ Y }, as´ı que esta familia es una subbase para la topolog´ıa inicial (esto significa que las intersecciones finitas de miembros de dicha familia constituyen una base para la topolog´ıa inicial). Llamemos τ a esta topolog´ıa. N´otese que si Z es separado e Y separa puntos de X, entonces τ es separada. En efecto, si a, b ∈ X con a ̸= b, existe f ∈ Y tal que f (a) ̸= f (b); entonces existen V1 ∈ E(f (a)) y V2 ∈ E(f (b)) tales que V1 ∩ V2 = ∅; resulta pues que f −1 (V1 ) y f −1 (V2 ) son entornos de a y b respectivamente, y son disjuntos. En el pr´oximo teorema, X va a ser un EV, Z = K e Y va a ser un subconjunto del dual algebraico X ′ de X. Pero antes necesitamos un lema. Lema 4.5.1. Sean X un EV y φ, φ1 , . . . , φn ∈ X ′ . Son equivalentes: (a) φ es una combinaci´on lineal de φ1 , . . . , φn . ∩ (b) Ker φ ⊃ ni=1 Ker φi . Demostraci´on. La implicaci´on “(a) =⇒(b)” es obvia. Para el rec´ıproco, podemos suponer que φ1 , . . . , φn son linealmente independientes, pues si alguna φj depende linealmente de las anteriores, podemos eliminar Ker φi de la intersecci´on. Procedemos por inducci´on. Si n = 1, tenemos que Ker φ ⊃ Ker φ1 , luego Ker φ = Ker φ1 porque son hiperplanos. Por el Teorema 4.4.1(b), se tiene que existe c ∈ K tales que φ = cφ1 , as´ı que φ ∈ ⟨φ1 ⟩. La hip´otesis de inducci´on es que la implicaci´on “(b) =⇒(a)” es cierta para n − 1 elementos ∩ de X ′ . Sean ahora φ, φ1 , . . . , φn ∈ X ′ tales que Ker φ ⊃ ni=1 Ker φi . Como se coment´o anteriormente, podemos suponer que, para cada k ∈ {1, . . . , n}, φk ∈ / ⟨φ1 , . . . , φk−1 , φk+1 , . . . , φn ⟩, luego existe xk ∈ X de modo que φk (xk ) =

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1 y φj (xk ) = 0 si j ̸= k; aqu´ı se ha usado la hip´otesis de inducci´on. Fijemos x ∈ X y consideremos el vector

∑ y := x − nk=1 φk (x)xk . ∑ Entonces φj (y) = φj (x) − nk=1 φk (x)φj (xk ) = φj (x) − φj (x) · 1 = 0 para ∩ cada j = 1, . . . , n, luego y ∈ nj=1 Ker φj , as´ı que φ(y) = 0. Pero φ(y) = ∑ ∑ φ(x) − nk=1 φk (x)φ(xk ). Se deduce que φ = nk=1 ck φk [donde ck = φ(xk )], 

luego tenemos (a).

Teorema 4.5.2. Sea X un EV, y sea Y un EV de formas lineales de X que separa puntos. Dotemos a X de la topolog´ıa inicial σ(X, Y ) generada por la familia Y . Entonces X es un ELC cuyo dual es Y . Demostraci´on. Para cada φ ∈ Y , sea pφ (x) := |φ(x)|. Entonces pφ es una seminorma sobre X y la familia P = {pφ : φ ∈ Y } separa puntos de X. Por tanto esta familia define una topolog´ıa τ de ELC sobre X. Adem´as, cada φ ∈ Y es τ -continua pues existen p ∈ P y una constante C ∈ (0, +∞) tales que |φ(x)| ≤ C · |p(x)| para todo x ∈ X (tomar p = pφ y C = 1). Por otra parte, para cada φ y cada ε > 0 se tiene {x ∈ X : pφ (x) < ε} = φ−1 (B(0, ε)), luego los τ -entornos de 0 son σ(X, Y )-entornos de 0. Ya que, seg´ un se ve f´acilmente, σ(X, Y ) es una topolog´ıa de EVT sobre X, se tiene que τ ⊂ σ(X, Y ). Pero σ(X, Y ) es la topolog´ıa inicial para Y , luego τ = σ(X, Y ). Por tanto X es un ELC. De nuevo por ser σ(X, Y ) topolog´ıa inicial, obtenemos que (X, σ(X, Y ))∗ ⊃ Y . Rec´ıprocamente, sea φ : (X, σ(X, Y )) → K lineal y continua. Ya que P genera σ(X, Y ), existen φ1 , . . . , φn ∈ Y y una constante M ∈ (0, +∞) de modo que |φ(x)| ≤ M · m´ax pφi (x) = M · m´ax |φi (x)| (x ∈ X). i=1,...,n

De aqu´ı se infiere que Ker φ ⊃

i=1,...,n

∩n i=1

Ker φi . Gracias al Lema 4.5.1, φ es

combinaci´on lineal de φ1 , . . . , φn , luego φ ∈ Y .



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Definici´ on 4.5.3. Sea X un EVT cuyo dual topol´ogico X ∗ separa puntos. Se llama topolog´ıa d´ebil de X a σ(X, X ∗ ), es decir, a la topolog´ıa menos fina sobre X que hace continua cada funcional φ ∈ X ∗ . Por tanto, σ(X, X ∗ ) es una topolog´ıa de ELC sobre X, y es m´as d´ebil σ(X,X ∗ )

que la original de X. Notemos que, si {xn }n≥1 ⊂ X, se verifica: xn −→ 0 n

⇐⇒ φ(xn ) −→ 0 ∀φ ∈ X ∗ . Notemos tambi´en que (X, σ(X, X ∗ ))∗ = X ∗ . n

Por ejemplo, si X = ℓ2 entonces X ∗ = ℓ2 , ya que ℓ2 es un espacio de Hilbert. Consideremos la sucesi´on (en ) ⊂ ℓ2 dada por en = (0, 0, . . . , 0, 1 , 0, 0, 0, . . . ) (n ∈ N). [n]

Entonces en → 0 d´ebilmente porque, para cada y = (y1 , y2 , . . . ) ∈ ℓ2 , se tiene n ∑ (en |y) = yn → 0, ya que n yn2 < +∞. Pero en ̸→ 0 en la topolog´ıa de la n

n

norma, ya que ∥en ∥ = 1 para todo n ∈ N. Lo mismo sucede en (c0 , σ(c0 , ℓ1 )). w

σ(X,X ∗ )

A veces escribiremos xn → x con el mismo significado que xn −→ x. w

Notemos que xn → 0 si para todo ε > 0 y toda familia finita Λ1 , . . . , Λm de X ∗ existe n0 ∈ N tal que |Λk (xn )| < ε si k = 1, . . . , m y n ≥ n0 . Esto es equivalente a decir Λ(xn ) → 0 para toda φ ∈ X ∗ . Algo similar ocurre al n

caracterizar los subconjuntos d´ebilmente acotados, es decir, acotados en la topolog´ıa d´ebil. Teorema 4.5.4. Sea X un EVT cuyo dual separa puntos, y E ⊂ X. Se verifica: (a) E es d´ebilmente acotado si y solo si φ(E) es acotado en K para cada φ ∈ X ∗. (b) Si dim (X) = +∞, entonces (X, σ(X, X ∗ )) no es localmente acotado y, en particular, no es normable.

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Demostraci´on. (a) Supongamos que E es d´ebilmente acotado y que φ ∈ X ∗ . Entonces {x ∈ X : |φ(x)| < 1} es un entorno d´ebil de 0, luego existe α > 0 tal que E ⊂ α · {x : |φ(x)| < 1}. Pero el u ´ltimo conjunto es {x ∈ X : |φ(x)| < α}, as´ı que |φ(x)| < α para todo x ∈ E. En otras palabras, φ(E) es acotado. Rec´ıprocamente, supongamos que φ(E) es acotado en K para cada φ ∈ X ∗ , y fijemos un entorno d´ebil V de 0. Entonces existen φ1 , . . . , φn ∈ X ∗ y ε > 0 tales que V ⊃ {x : |φ1 (x)| < ε} ∩ · · · ∩ {x : |φn (x)| < ε}. Por hip´otesis, existen α1 , . . . , αn > 0 tales que |φi (x)| < αi para todo x ∈ E y todo i = 1, . . . , n. Luego |φi (x)| < ε para todo x ∈ αε E y todo i = 1, . . . , n, donde α := m´ax{α1 , . . . , αn }. Por tanto

ε E α

⊂ V . Como V puede tomarse

equilibrado, resulta de hecho que E ⊂ tV para todo t >

α , ε

as´ı que E es

d´ebilmente acotado. (b) Supongamos que dim (X) = +∞ y que V es un entorno d´ebil del origen. Usamos el resultado de (a). Nuestro objetivo es probar que existe Λ ∈ X ∗ tal que Λ(V ) no es acotado en K. Fijemos φ1 , . . . , φn ∈ X ∗ tales que V ⊃ ∩ {x ∈ X : |φi (x)| < ε ∀i = 1, . . . , n}. Entonces V ⊃ ni=1 Ker(φi ) = Ker(φ), donde φ : X → Kn viene dada por φ(x) = (φ1 (x), . . . , φn (x)), que es una aplicaci´on lineal. Como dim (X) = +∞, φ no puede ser inyectiva, as´ı que existe x0 ∈ X \ {0} con φ(x0 ) = 0. Ya que X ∗ separa puntos, existe Λ ∈ X ∗ tal que Λ(x0 ) ̸= 0. Pero entonces los vectores nx0 (n ≥ 1) est´an en Ker(φ) (luego en V ) y Λ(nx0 ) = nΛ(x0 ) → ∞ en K, de donde deducimos que Λ(V ) n

no es acotado.



El resultado anterior implica que si X es un EN de dimensi´on infinita, entonces la topolog´ıa de la norma y la d´ebil son distintas. En cambio, si X es cualquier EVT de dimensi´on finita, entonces todas las topolog´ıas que hacen

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de ´el un EVT coinciden; en particular, son iguales a la topolog´ıa d´ebil. w

Denotaremos por A la clausura en la topolog´ıa d´ebil de un subconjunto A de un EVT X. El siguiente teorema es debido a Mazur. Teorema 4.5.5. Sea X un ELC y A ⊂ X. Se verifica: w

(a) co(A) = co(A) . w

(b) Si A es convexo, entonces A = A . (c) Los subconjuntos cerrados convexos son los mismos para las topolog´ıas original y d´ebil. w

(d) Si Y es un subespacio vectorial de X, entonces Y = Y . Demostraci´on. Los apartados (b) y (c) se deducen de (a) y del hecho de que la clausura de un conjunto convexo es convexa. El apartado (d) se deduce de (b). w

Probemos (a). Es obvio que co(A) ⊂ co(A) . Para probar la inclusi´on inversa, consideremos XR , el ELC X considerado como EV real. Por el Teorema 4.4.3, co(A) es la intersecci´on de los semiespacios cerrados que contienen a A. Pero, por su propia definici´on, estos son d´ebilmente cerrados, luego co(A) w

es d´ebilmente cerrado, as´ı que co(A) ⊃ co(A) .

 w

Corolario 4.5.6. Sea X un ELC metrizable. Si xn → x, existe una sucesi´ on (yn ) ⊂ X tal que: (a) cada yn es una combinaci´ on lineal convexa de una colecci´ on finita de vectores xm , y (b) yn → x. w

w

∞ Demostraci´on. Por hip´otesis, x ∈ {xn }∞ 1 , luego x ∈ co{xn }1 . Pero, por el

teorema anterior, x ∈ co{xn }∞ 1 . De ser X metrizable se deduce la existencia de la sucesi´on (yn ) deseada.



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Ilustremos lo anterior con un ejemplo. Sea S un ET separado y compacto, y consideremos el EV C(S) de las funciones continuas S → C dotado de la norma del supremo, con lo que C(S) es un espacio de Banach. Supongamos que (fn ) ⊂ C(S) es una sucesi´on uniformemente acotada tal que fn → f puntualmente en S, donde f ∈ C(S). Entonces existe una sucesi´on (gn ) ⊂ co{fn }n≥1 de modo que gn → f uniformemente en S. En efecto, existe M ∈ (0, +∞) tal que |fn (x)| ≤ M para todo x ∈ S y todo n ∈ N. Gracias a la convergencia puntual y al teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, ∫ ∫ se deduce que S fn dµ → S f dµ (n → ∞) para toda medida compleja µ de Borel regular en S (notemos que la funci´on constante M es integrable para cada una de estas µ). Debido al teorema de representaci´on de Riesz (Teorema w

3.4.1), se tiene que φ(fn ) → φ(f ) para toda φ ∈ C(S)∗ , es decir, fn → f . Del corolario anterior se deduce el resultado. A continuaci´on, estableceremos en el contexto de los espacios normados un resultado, debido a Mackey, que nos dice que la familia de los conjuntos acotados no aumenta cuando pasamos a la topolog´ıa d´ebil. Teorema 4.5.7. Sea X un EN. Entonces un subconjunto A de X es acotado si y solo si es d´ebilmente acotado. Demostraci´on. Si A es acotado en X, es d´ebilmente acotado porque σ(X, X ∗ ) tiene menos abiertos que la topolog´ıa original. Rec´ıprocamente, supongamos que A es w-acotado. Cada elemento x ∈ X puede ser entendido como un elemento de X ∗∗ , sin m´as que definir x(x∗ ) := x∗ (x) para todo x∗ ∈ X ∗ . Para cada x∗ ∈ X ∗ , el conjunto {x∗ (x) : x ∈ A} es acotado. Pero {x∗ (x) : x ∈ A} = {x(x∗ ) : x ∈ A}. Esto nos dice que la familia A, considerada como subconjunto de X ∗∗ , es puntualmente acotada. Como X ∗ es un espacio de Banach [pues X ∗ = L(X, K) y K es completo], por el teorema de Banach–Steinhaus resulta que A es uniformemente acotada en X ∗∗ , es decir, sup{∥x∥X ∗∗ : x ∈ A} < +∞. Pero la identificaci´on de X como subespacio de

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X ∗∗ es isom´etrica, es decir, ∥x∥X ∗∗ = ∥x∥. En consecuencia, A es acotado en 

X.

Puede demostrarse (ver Ejercicio 3 del Cap´ıtulo 5) que el resultado anterior se mantiene en espacios localmente convexos. Las topolog´ıas d´ebiles pueden usarse para obtener un nuevo teorema de separaci´on, similar al Teorema 4.3.2, pero que no requiere la convexidad local del espacio. A cambio, a los conjuntos A y B que aparecen se les exige ahora compacidad. Teorema 4.5.8. Sea X un EVT cuyo dual X ∗ separa puntos. Sean A, B ⊂ X no vac´ıos, disjuntos, convexos y compactos. Entonces existe Λ ∈ X ∗ tal que sup Re Λx < ´ınf Re Λy. x∈A

y∈B

Demostraci´ on. Para el ELC Xw := (X, σ(X, X ∗ )), los conjuntos A y B son cerrados ya que siguen siendo compactos, porque la topolog´ıa de Xw es menos fina que la original de X. Por el Teorema 4.3.2, existe Λ ∈ (Xw )∗ que cumple la propiedad del enunciado. Finalmente, por el Teorema 4.5.2, (Xw )∗ = X ∗ , as´ı que Λ ∈ X ∗ .

4.6.



Topolog´ıa d´ ebil-∗ de un espacio dual

Consideremos un EVT X cuyo dual X ∗ separe puntos. Cada vector x ∈ X induce un elemento del dual algebraico de X ∗ , es decir, una forma lineal φx : X ∗ → K, la cual viene dada por φx (Λ) = Λ(x) para cada Λ ∈ X ∗ . Notemos que X se identifica con {φx : x ∈ X}, pues la aplicaci´on x 7→ φx es biyectiva. Adem´as, es obvio que la familia {φx : x ∈ X} separa puntos de X ∗ . De acuerdo con el Teorema 4.5.2, podemos considerar en X ∗ la topolog´ıa inicial correspondiente a dicha familia, o sea, la topolog´ıa generada por las seminormas px (x ∈ X) dadas por px (Λ) = |Λ(x)|. Designaremos esta

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topolog´ıa por σ(X ∗ , X), la cual ser´a denominada la topolog´ıa d´ebil-∗ sobre X ∗ . Obtenemos as´ı un ELC (X ∗ , σ(X ∗ , X)) cuyo dual es X. La convergencia w∗

en la topolog´ıa d´ebil-∗ ser´a denotada por “−→”. Por ejemplo, si X = c0 sabemos que podemos identificar X ∗ = ℓ1 . As´ı que la topolog´ıa d´ebil-∗ sobre ℓ1 es σ(ℓ1 , c0 ). Seg´ un el Teorema 4.5.2, (ℓ1 , σ(ℓ1 , c0 ))∗ = c0 . N´otese la diferencia con la topolog´ıa de la norma en ℓ1 , pues ℓ∗1 = ℓ∞ . Por ejemplo, para la sucesi´on {e1 = (1, 0, 0, ...), e2 = w∗

(0, 1, 0, 0, ...), . . . } ⊂ ℓ1 no es dif´ıcil ver que en −→ 0 (ver Ejercicio 9 para w

n

un resultado m´as general). Sin embargo, en ̸−→ 0. En efecto, si considen

ramos el funcional asociado al vector 1 = (1, 1, 1, ...) ∈ ℓ∞ , resulta que 1(en ) = 0 · 1 + · · · + 0 · 1 + |{z} 1 · 1 +0 · 1 + 0 · 1 + · · · = 1 ̸−→ 0. n

[n]

A continuaci´on, vamos a ver que la topolog´ıa d´ebil-∗ posee propiedades de compacidad muy importantes. Pero antes debemos recordar algunos conceptos y resultados sobre topolog´ıas producto. La noci´on de producto cartesiano Y1 × · · · × YN de un n´ umero finito de conjuntos Y1 , . . . , YN es bien conocida. Asimismo, es bien conocida la topolog´ıa producto τ sobre dicho producto cartesiano, donde esta vez Y1 , . . . , YN son espacios topol´ogicos. Baste decir que un subconjunto A ⊂ Y1 × · · · × YN es abierto para τ si y solo si A es uni´on de conjuntos de la forma A1 × · · · × AN , donde cada Ai es abierto en Yi (i = 1, ..., n). Vamos a generalizar estos conceptos al caso de cualquier n´ umero de factores. Sea X un conjunto no vac´ıo cualquiera e {Yi }i∈X una familia de conjuntos, con ´ındices en X. Se llama producto cartesiano de la ∏ familia {Yi }i∈X al conjunto i∈X Yi definido por ∏

∪ { } f Yi = aplicaciones X → Yi : f (i) ∈ Yi ∀i ∈ X .

i∈X

i∈X

Si j ∈ X, se llama proyecci´on j-´esima a la aplicaci´on πj : f ∈

∏ i∈X

Yi 7→

f (j) ∈ Yj . Si cada Yi es un ET (con topolog´ıa τi ), se llama topolog´ıa producto

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sobre el espacio producto

∏ i∈X

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Yi a la topolog´ıa inicial τ generada por la

familia de proyecciones {πi }i∈X , es decir, τ est´a constituida por las uniones ∏ de conjuntos de la forma πi−1 (U1 ) ∩ · · · ∩ πi−1 (UN ) = {f ∈ i∈X Yi : f (ij ) ∈ 1 N Uj ∀j = 1, . . . , N } (U1 ∈ τi1 , . . . , UN ∈ τiN ; i1 , . . . , iN ∈ X; N ∈ N). Es f´acil ver que se genera la misma topolog´ıa si U1 ∈ Bi1 , . . . , UN ∈ BiN , donde Bi es ∏ una base de abiertos en cada Yi . Con la topolog´ıa producto sobre i∈X Yi , ∏ cada proyecci´on πj : i∈X Yi → Yj es continua. Un resultado de gran importancia en topolog´ıa general es el Teorema de Tychonoff, que afirma que si {Yi }i∈X es una familia de espacios topol´ogicos y, para cada i ∈ X, Ki es un ∏ subconjunto compacto de Yi , entonces i∈X Ki es un subconjunto compacto ∏ de i∈X Yi (ver Ejercicio 11 del Cap´ıtulo 3). En otras palabras, el producto de espacios compactos es compacto. Nota 4.6.1. En nuestro presente contexto, nos interesa el caso especial en que todos los Yi coinciden con un mismo ET Y . En tal caso se denota ∏ f X X = {aplicaciones X → Y }, y las proyeci∈X Yi = Y . Observemos que Y ciones son las aplicaciones πx : f ∈ Y X 7→ f (x) ∈ Y . En el caso particular Y = K, obtenemos KX , el espacio producto de K, “X veces”. Habida cuenta de la topolog´ıa que lleva K, una base de entornos en KX de un elemento f0 ∈ KX est´a formada por las intersecciones finitas de los conjuntos de la forma U(f0 , x, ε) := {f ∈ KX : |f (x) − f0 (x)| < ε} (x ∈ X, ε > 0). Definici´ on 4.6.2. Sean X un EVT y A ⊂ X. Se define la polar de A como el conjunto A◦ = {φ ∈ X ∗ : |φ(x)| ≤ 1 ∀x ∈ A}. Notemos que A◦ es convexo, equilibrado y ∗-d´ebilmente cerrado. Las tres ∩ propiedades se deducen de la igualdad A◦ = x∈A ψx−1 (B(0, 1)), donde ψx es la aplicaci´on lineal asociada a x, es decir, ψx : φ ∈ X ∗ 7→ φ(x) ∈ K.

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Como ejemplo de polar, tenemos que si BX denota la bola cerrada unidad ◦ de un EN X, entonces BX = BX ∗ . Establecemos seguidamente el Teorema

de Alaoglu–Bourbaki. Teorema 4.6.3. Si X es un EVT y V ∈ E(0), entonces su polar V ◦ es ∗-d´ebilmente compacta. En particular, la bola unidad cerrada BX ∗ del dual de un EN X es ∗-d´ebilmente compacta. Demostraci´on. Sabemos que, para cada x ∈ X, existe r(x) ∈ (0, +∞) tal x que x ∈ r(x)V . As´ı, si Λ ∈ V ◦ se tiene |Λ( r(x) )| ≤ 1, luego |Λ(x)| ≤ r(x)

para todo x ∈ X y todo Λ ∈ V ◦ . Denotemos por Dx la bola cerrada en K de centro 0 y radio r(x). Consideremos el espacio KX con la topolog´ıa producto, ∏ y sea P := x∈X Dx ⊂ KX . Como cada Dx es compacto, se tiene en virtud del Teorema de Tychonoff que P es compacto en KX . Si Λ ∈ V ◦ entonces Λ ∈ X ∗ y |Λ(x)| ≤ r(x) para todo x ∈ X, luego V ◦ ⊂ X ∗ ∩ P . Por tanto, en V ◦ podemos considerar la topolog´ıa heredada de X ∗ [es decir, σ(X ∗ , X)] y la heredada de P . Si Λ0 ∈ V ◦ , una base de σ(X ∗ , X)entornos de Λ0 est´a formada por los conjuntos de la forma W1 = {Λ ∈ X ∗ : |Λ(xi ) − Λ0 (xi )| < ε, 1 ≤ i ≤ N }, mientras que una base de entornos de Λ0 para la topolog´ıa producto est´a constituida por los conjuntos de la forma W2 = {φ ∈ P : |φ(xi ) − Λ0 (xi )| < ε, 1 ≤ i ≤ N } (ε > 0; x1 , ..., xN ∈ X; N ∈ N). Claramente W1 ∩V ◦ = W2 ∩V ◦ , luego ambas topolog´ıas coinciden en V ◦ . Supongamos probado que V ◦ es cerrado en P . Como P es compacto, V ◦ ser´a compacto para la topolog´ıa producto, y por tanto ser´a ∗-d´ebilmente compacto. As´ı pues, basta probar que V ◦ es cerrado en P .

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103

Para ello, fijemos f0 ∈ V ◦ ⊂ P . Sean x, y ∈ X, α, β ∈ K y ε > 0 arbitrarios. Sea U el entorno en P de f0 dado por U = {g ∈ P : |g(xi ) − f0 (xi )| < ε/(1 + |α| + |β|); i = 1, 2, 3}, donde x1 = x, x2 = y, x3 = αx + βy. Entonces existe f ∈ U ∩ V ◦ . Para tal f se tiene que |f0 (αx + βy) − (αf0 (x) + βf0 (y))| = |(f0 − f )(αx + βy) − α(f0 − f )(x) − β(f0 − f )(y)| < ε. Como esto es cierto para cada ε > 0, resulta que f0 es lineal. Por otra parte, si x ∈ V y ε > 0, razonando como antes se tiene que existe f ∈ V ◦ tal que |f0 (x) − f (x)| < ε, luego |f0 (x)| < 1 + ε; pero esto vale para todo ε > 0, as´ı que |f0 (x)| ≤ 1. Finalmente, f0 es acotada en un entorno de 0 (en V ), luego es continua. En resumen, f0 ∈ X ∗ y |f0 (x)| ≤ 1 para todo x ∈ V , lo que prueba que f0 ∈ V ◦ , y por tanto V ◦ es cerrado en P .



A pesar de lo que afirma el teorema anterior, no es cierto que BX sea siempre d´ebilmente compacta si X es un EN. Por ejemplo, si X = c0 , su bola unidad cerrada B = {x = (ξk ) : ξk → 0, |ξk | ≤ 1 ∀k ∈ N} no k

es w-compacta. En efecto, se tiene que la sucesi´on {un }n≥1 , donde un = ∑ (1, 1, ..., 1, 1 , 0, 0, 0, ...) = nk=1 ek , est´a contenida en B, pero carece de pun[n]

tos de w-acumulaci´on en B (luego B no es d´ebilmente compacta). En efecto, razonando por reducci´on al absurdo, supongamos que x = (ξk ) ∈ c0 es un punto de w-acumulaci´on de {un }n≥1 . Como x ∈ c0 , existe k0 ∈ N tal que |ξk | < 1/2 para todo k > k0 . Ya que ek0 ∈ ℓ1 y c∗0 = ℓ1 , se tiene que para cada ε > 0 el vector ek0 genera el w-entorno de 0 dado por V = {y = (ηk ) ∈ c0 : |ηk0 | < 1/2}. Pero para todo n > k0 la componente k0 -´esima de un − x tiene m´odulo |1 − ξk0 | > 1/2, luego un − x ∈ / V , o bien un ∈ / x + V . Por otra parte, como la topolog´ıa d´ebil es separada, para cada k ∈ {1, ..., k0 } con x ̸= uk existe Vk ∈ E(x) tal que uk ∈ / Vk . Por tanto ∩ k0 U := (x+V )∩ k=1 Vk es un entorno de x tal que {un : n ∈ N}∩(U \{x}) = ∅, lo cual contradice la suposici´on de que x era un punto de w-acumulaci´on de la sucesi´on.

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Se puede probar que si X es un EVT separable, entonces la polar V ◦ de cualquier entorno V de 0 es w∗ -metrizable (ver Ejercicio 8); por tanto, gracias al teorema de Alaoglu–Bourbaki, V ◦ ser´ıa w∗ -secuencialmente compacta, pues compacidad y compacidad secuencial coinciden en espacios metrizables. Recordemos que un subconjunto A de un ET X se dice secuencialmente compacto cuando cada sucesi´on (xn ) ⊂ A contiene alguna subsucesi´on convergente a alg´ un punto de A. En particular, si X es un EN separable, la bola BX ∗ es ∗-d´ebilmente secuencialmente compacta. Para finalizar esta secci´on, comentamos que se puede hablar de otras topolog´ıas en X ∗ , aparte de la d´ebil-∗. Por ejemplo, tenemos la “topolog´ıa fuerte” o topolog´ıa de la convergencia uniforme en subconjuntos acotados. Si X es un EVT, denotemos por A la familia de sus subconjuntos acotados. Por definici´on, la topolog´ıa fuerte sobre X ∗ es la topolog´ıa localmente convexa generada por la familia de seminormas P = {pA : A ∈ A}, donde pA (Λ) := sup{|Λ(x)| : x ∈ A}. En el caso de un EN, la topolog´ıa fuerte en X ∗ coincide con la topolog´ıa de la norma dual.

4.7.

Bidual de un espacio normado. Reflexividad

Sabemos que si X es un EN, su dual X ∗ puede ser normado mediante ∥Λ∥ = sup{|Λ(x)| : ∥x∥ = 1}, obteni´endose un espacio de Banach (X ∗ , ∥ · ∥) cuyo dual X ∗∗ := (X ∗ )∗ es llamado el bidual de X. Tambi´en sabemos que la aplicaci´on i : X → X ∗∗ dada por i(x)(Λ) = Λ(x) es una inyecci´on isom´etrica de X en X ∗∗ . Si i es biyectiva, entonces X se llama reflexivo. Denotemos por BX la bola unidad cerrada de X. Por ser i una isometr´ıa, se tiene que i(BX ) ⊂ BX ∗∗ , de modo que i(BX ) = BX ∗∗ si y solo si X es reflexivo. Identificaremos a partir de ahora i(x) con x, con lo cual entendemos

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

105

que X ⊂ X ∗∗ y BX ⊂ BX ∗∗ . Establecemos a continuaci´on una importante propiedad de densidad, conocida como Teorema de Goldstine. Teorema 4.7.1. Sea X un EN. Entonces BX

σ(X ∗∗ ,X ∗ )

= BX ∗∗ .

Para demostrarlo, necesitamos el siguiente resultado. Lema 4.7.2. Sea A un subconjunto cerrado, convexo y equilibrado de un ELC X. Si x0 ∈ / A, existe Λ ∈ X ∗ tal que |Λ(x0 )| > 1 y |Λ(x)| < 1 para todo x ∈ A. Demostraci´on. Por el Teorema 4.3.2, existe φ ∈ X ∗ , as´ı como γ1 , γ2 ∈ R, tales que Re φ(x) < γ1 < γ2 < Re φ(x0 ) para todo x ∈ A. Como A es convexo y equilibrado, as´ı lo es φ(A). Por tanto φ(A) ⊂ B(0, γ1 ) y |φ(x0 )| > γ2 . Basta 

tomar ahora Λ := φ/γ1 . Demostraci´on del Teorema 4.7.1. Sea A := BX

σ(X ∗∗ ,X ∗ )

. Entonces A es ce-

rrado, convexo y equilibrado en el ELC (X ∗∗ , σ(X ∗∗ , X ∗ )). Supongamos que f0 ∈ / A. Por el lema anterior, existe una funcional Λ en el dual del espacio anterior (es decir, Λ ∈ X ∗ ) tal que |Λ(f0 )| > 1 y |Λ(x)| < 1 para todo x ∈ A. En particular, |Λ(x)| < 1 para todo x ∈ BX , as´ı que ∥Λ∥ ≤ 1. Pero |f0 (Λ)| > 1, luego ∥f0 ∥ > 1, es decir, f0 ∈ / BX ∗∗ . Hemos probado que BX ∗∗ ⊂ A. Por otra parte, BX ⊂ BX ∗∗ . Pero si Y es un EN, BY ∗ es w∗ cerrado, por ser la polar de BY . Aplicado a Y = X ∗ , se tiene que BX ∗∗ es σ(X ∗∗ , X ∗ )-cerrado, de donde, al tomar clausuras, obtenemos A ⊂ BX ∗∗ . 2 Combinando el teorema de Goldstine con el de Alaoglu–Bourbaki, obtenemos la siguiente caracterizaci´on de la reflexividad a trav´es de topolog´ıas d´ebiles. Teorema 4.7.3. Sea X un EN. Entonces X es reflexivo si y solo si BX es d´ebilmente compacta.

106

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Demostraci´on. Supongamos que X es reflexivo. Con la identificaci´on via la isometr´ıa, se tiene X = X ∗∗ , luego el ET (X, σ(X, X ∗ )) se identifica con el ET (X ∗∗ , σ(X ∗∗ , X ∗ )), habida cuenta de la definici´on de estas topolog´ıas iniciales. Por el Teorema 4.6.3, BX ∗∗ es w∗ -compacta, luego BX (= BX ∗∗ ) es w-compacta. Rec´ıprocamente, supongamos que BX es w-compacta. Entonces BX es σ(X ∗∗ , X ∗ )-compacta, ya que BX ⊂ X ∗∗ . Por tanto BX es σ(X ∗∗ , X ∗ )cerrada. Gracias al Teorema 4.7.1 se infiere que BX = BX ∗∗ , de donde X = X ∗∗ , c.q.d.



Corolario 4.7.4. Si X es un EN reflexivo e Y es un subespacio cerrado de X, entonces Y es reflexivo. Demostraci´on. Tenemos que BY es un subconjunto cerrado y convexo de BX . Por el Teorema 4.5.5, BY es d´ebilmente cerrado. Pero BX es d´ebilmente compacto, as´ı que BY es tambi´en d´ebilmente compacto. Del teorema anterior se deduce la reflexividad de Y .

4.8.



Trasposici´ on de operadores

Supongamos ahora que X e Y son dos espacios vectoriales topol´ogicos. Recordemos que L(X, Y ) denotaba el EV de las aplicaciones lineales y continuas T : X → Y . El nombre de “operador” se suele reservar para el caso Y = X, y L(X) denota el EV de los operadores sobre X, es decir, L(X) = L(X, X). A partir de ahora, asumiremos en esta secci´on que X e Y son espacios localmente convexos, con el fin de asegurar que X ∗ e Y ∗ no son triviales. Definici´ on 4.8.1. Sean X e Y dos espacios localmente convexos y T ∈ L(X, Y ). Se define la aplicaci´ on traspuesta de T como la aplicaci´on T ∗ : y ∗ ∈ Y ∗ 7→ y ∗ ◦ T ∈ X ∗ .

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

107

De la linealidad y continuidad de T y de cada y ∗ ∈ Y ∗ se deduce que, en efecto, cada y ∗ ◦T es lineal y continua, lo que confirma que T ∗ est´a bien definida. Nuestro objetivo es obtener propiedades de T ∗ a partir de propiedades de T , y viceversa. Antes necesitamos el concepto de anulador. Sean X un ELC, E un subespacio vectorial de X y F un subespacio vectorial de X ∗ . Los anuladores E ⊥ de E y 0 ∀x ∈ E} y

⊥

F se definen respectivamente por E ⊥ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ (x) =

⊥

F = {x ∈ X : x∗ (x) = 0 ∀x∗ ∈ F }.

Notemos que son subespacios vectoriales de X ∗ y X respectivamente. Notemos tambi´en que, por el Teorema de Hahn–Banach, E ⊥ ̸= {0} si E no es denso en X. Por el mismo motivo ⊥ F ̸= {0} si F no es w∗ -denso, pues (X ∗ , σ(X ∗ , X))∗ = X. Por otra parte, si para cada x ∈ X denotamos por φx la aplicaci´on φx : x∗ ∈ X ∗ 7→ x∗ (x) ∈ K, se verifica por definici´on de E ⊥ que ∩ E ⊥ = x∈E Ker(φx ). Ya que cada φx es w∗ -continua, se deduce que E ⊥ es ∩ un subespacio w∗ -cerrado de X ∗ . An´alogamente, ⊥ F = x∗ ∈F Ker(x∗ ), luego ⊥

F es un subespacio cerrado de X.

Nota 4.8.2. N´otese que tenemos que diferenciar entre ⊥ F y F ⊥ ; por ejemplo, si X es normado, podr´ıa haber confusi´on entre ⊥ F ⊂ X y F ⊥ ⊂ X ∗∗ , pues X ⊂ X ∗∗ . Pasemos ya al estudio de propiedades algebraicas y topol´ogicas de las aplicaciones traspuestas. La primera propiedad a estudiar es la continuidad. No es dif´ıcil probar, sin m´as que usar las familias de seminormas que definen las respectivas topolog´ıas d´ebiles, que cada T ∈ L(X, Y ) es d´ebil-continua, es decir, continua como aplicaci´on (X, σ(X, X ∗ )) → (Y, σ(Y, Y ∗ )). Resulta que la propiedad dual para T ∗ es asimismo cierta. Es usual denotar la imagen T (X) de cada T por Im(T ).

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Teorema 4.8.3. Sean X e Y dos espacios localmente convexos y T ∈ L(X, Y ). Se tiene: (a) T ∗ : (Y ∗ , σ(Y ∗ , Y )) → (X ∗ , σ(X ∗ , X)) es continua. (b) Si X e Y son espacios normados, entonces T ∗ : Y ∗ → X ∗ (con X ∗ e Y ∗ dotados de las normas duales) es continua y ∥T ∗ ∥ = ∥T ∥. (c) Ker(T ∗ ) = Im(T )⊥ . Por tanto T ∗ es inyectiva si y solo si T tiene imagen densa. (d) Ker(T ) =

⊥

Im(T ∗ ). Por tanto T es inyectiva si y solo si T ∗ tiene

imagen σ(X ∗ , X)-densa. Demostraci´on. (a) Una familia de seminormas que define la topolog´ıa de (X ∗ , σ(X ∗ , X)) est´a constituida por las aplicaciones q : X ∗ → [0, +∞) de la forma q(x∗ ) = m´ax1≤i≤n |x∗ (xi )|, donde n ∈ N y x1 , . . . , xn ∈ X. Fijada q, hemos de encontrar una seminorma p : Y ∗ → [0, +∞) de la correspondiente familia que define la topolog´ıa de (Y ∗ , σ(Y ∗ , Y )), as´ı como una constante M ∈ (0, +∞) tales que q(T ∗ y ∗ ) ≤ M · p(y ∗ ) para todo y ∗ ∈ Y ∗ [ver Ejercicio 5 del Cap´ıtulo 2]. Observando que y ∗ ◦ T ∈ X ∗ para todo y ∗ ∈ Y ∗ , basta escoger p(y ∗ ) := m´ax1≤i≤n |y ∗ (T xi )| y M = 1. (b) Para cada y ∗ ∈ Y ∗ , ∥T ∗ y ∗ ∥ = sup∥x∥≤1 |T ∗ y ∗ (x)| = sup∥x∥≤1 |y ∗ (T x)| ≤ ∥y ∗ ∥ · ∥T ∥, as´ı que T ∗ es continua y ∥T ∗ ∥ ≤ ∥T ∥. Por otra parte, sea ε > 0. Escojamos x ∈ X con ∥x∥ = 1 tal que ∥T x∥ ≥ ∥T ∥ − ε. Por el teorema de Hahn–Banach, existe y ∗ ∈ Y ∗ tal que ∥y ∗ ∥ = 1 de modo que y ∗ (T x) = ∥T x∥. As´ı ∥T ∗ y ∗ ∥ ≥ |T ∗ y ∗ (x)| = |y ∗ (T x)| = ∥T x∥ ≥ ∥T ∥ − ε. Por tanto ∥T ∗ ∥ ≥ ∥T ∥ − ε para todo ε > 0. Haciendo ε → 0, resulta ∥T ∗ ∥ ≥ ∥T ∥. En consecuencia, ∥T ∗ ∥ = ∥T ∥. (c) Tenemos: y ∗ ∈ Ker(T ∗ ) ⇐⇒ T ∗ y ∗ = 0 ⇐⇒ T ∗ y ∗ (x) = 0 ∀x ∈ X ⇐⇒ y ∗ (T x) = 0 ∀x ∈ X ⇐⇒ y ∗ ∈ Im(T )⊥ .

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

109

(d) Recordando que, por el teorema de Hahn–Banach, Y ∗ es separante, se tiene, an´alogamente: x ∈ Ker(T ) ⇐⇒ T x = 0 ⇐⇒ y ∗ (T x) = 0 ∀y ∗ ∈ Y ∗ ⇐⇒ (T ∗ y ∗ )(x) = 0 ∀y ∗ ∈ Y ∗ ⇐⇒ φ(x) = 0 ∀φ ∈ T ∗ (Y ∗ ) ⇐⇒ x ∈ ⊥

Im(T ∗ ).



En el pr´oximo cap´ıtulo estudiaremos las as´ı llamadas aplicaciones compactas, as´ı como sus traspuestas. Ambas aparecen con frecuencia en cuestiones de an´alisis funcional aplicado.

Ejercicios 1.- Sean X e Y dos espacios localmente convexos y T : X → Y una aplicaci´on lineal y continua. Probar que T es continua de (X, σ(X, X ∗ )) en (Y, σ(Y, Y ∗ )). Indicaci´ on: puede hacerse directamente, o bien usando el Ejercicio 5 del Cap´ıtulo 2. 2.- Probar que una sucesi´on (xn ) ⊂ ℓp (1 < p < +∞) converge d´ebilmente a x si y solo si se verifican las siguientes condiciones: (a) (xn ) es acotada en la topolog´ıa original, es decir, existe una constante M ∈ (0, +∞) tal que ∥xn ∥p ≤ M para todo n ∈ N. (b) Para cada k ∈ N, xn (k) −→ x(k). n→∞

Hemos usado la notaci´on x(k) = componente k-´esima de x. Indicaci´ on: Para la necesidad, aplicar el Ejercicio 12 del Cap´ıtulo 3, el Teorema 4.5.7 y la identificaci´on ℓ∗p ≈ ℓq , donde q es el conjugado de p. Para la suficiencia, usar esta identificaci´on y la desigualdad de H¨older. 3.-

(a) Sea X un EVT cuyo dual separa puntos. Probar que (X ∗ , σ(X ∗ , X)) es metrizable si y solo si X posee una base de Hamel numerable. Indicaci´ on: Para la suficiencia, fijar una base numerable (Un ) de entornos de 0, y encontrar, para cada n, un εn > 0 y un conjunto finito Fn ⊂ X tales que {x∗ : |x∗ (x)| < εn ∀x ∈ Fn } ⊂ Un . Verificar

110

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

que la familia de seminormas {px : x ∈ Y }, donde Y :=

∪

n≥1 Fn

y

px (x∗ ) := |x∗ (x)|, define σ(X ∗ , X). Ahora, demostrar que Y es un sistema de generadores del EV X ∗ . Para ello, fijar x0 ∈ X y usar la caracterizaci´on de la continuidad por seminormas de la aplix

caci´on x∗ ∈ X ∗ 7→0 x∗ (x0 ) ∈ K (Lema 4.2.3) para deducir que existen ∩ y1 , ..., yp ∈ Y con pi=1 Ker yi ⊂ Ker x0 , y aplicar el Lema 4.5.1. (b) Como aplicaci´on, probar que en ℓ1 las topolog´ıas σ(ℓ1 , c0 ) y σ(ℓ1 , c00 ) son diferentes, a pesar de que c∗0 = ℓ1 = c∗00 [Ejercicio 5(b)]. 4.- Sea X un ELC y denotemos por P una familia separante y filtrante de seminormas que define la topolog´ıa de X. Para cada α ∈ (0, +∞) y cada p ∈ P, definimos Aα,p := {x∗ ∈ X ∗ : |x∗ (x)| ≤ α p(x) ∀x ∈ X}. (a) Demostrar que cada Aα,p es ∗-d´ebilmente cerrado. (b) Probar que X ∗ =

∪

{Aα,p : α > 0, p ∈ P}.

(c) Si X tiene dimensi´on infinita, probar que cada Aα,p tiene interior vac´ıo. Indicaci´ on: Por reducci´on al absurdo, supongamos que su interior no es ∅. Entonces existen y ∗ ∈ X ∗ y un entorno ∗-d´ebil de 0, sea V , tales que y ∗ + V ⊂ Aα,p , luego existen x1 , ..., xN ∈ X y ε > 0 tales que {x∗ : |x∗ (xi )| < ε ∀i ∈ {1, ..., N }} ⊂ V . Tomar M := ⟨x1 , . . . , xM ⟩ y x0 ∈ X \ M (¿por qu´e existe x0 ?). Definir Λ : ⟨M, x0 ⟩ → K por Λ(m+λx0 ) = y ∗ (m)+λ(αp(x0 )+1). Probar que Λ es lineal y continua en ⟨M, x0 ⟩ y aplicar el teorema de extensi´on de Hahn–Banach. (d) Si X es un ELC metrizable, probar que su topolog´ıa est´a definida por una familia separante, filtrante y numerable de seminormas. Indicaci´ on: considerar las funcionales de Minkowski de una sucesi´on adecuada de entornos del origen. (e) Deducir que si X es un ELC metrizable de dimensi´on infinita, entonces el espacio (X ∗ , σ(X ∗ , X)) es de primera categor´ıa.

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

111

5.- Sea X un espacio de Banach con dual X ∗ . (a) Probar que un subconjunto A de X ∗ es acotado en norma si y solo si es σ(X ∗ , X)-acotado. (b) Probar que c∗00 = ℓ1 y que existen subconjuntos σ(ℓ1 , c00 )-acotados de ℓ1 que no son acotados en la norma de ℓ1 [por tanto (a) puede no ser cierto si X es un EN que no es completo]. (c) Probar que en ℓ1 existen sucesiones σ(ℓ1 , c00 )-convergentes que no son acotadas en la norma de ℓ1 . 6.-

(a) Sea p ∈ (0, 1). Demostrar que ℓp dotado de la m´etrica d(x, y) := ∑∞ p esima del n=1 |x(n) − y(n)| [donde x(n) denota la componente n-´ vector x] es un F-espacio no localmente convexo. Indicaci´ on: Para la u ´ltima propiedad, suponer que V es un entorno convexo del origen con V ⊂ Bd (0, 1). Tomar s > 0 tal que B d (0, sp ) ⊂ V ∑ s y considerar, para cada n ∈ N, el vector xn = ∞ n=1 n ek . (b) Probar que la aplicaci´on Φ : x ∈ ℓ∞ 7→ Λx ∈ ℓ∗p , donde Λx (y) := ∑∞ n=1 x(n)y(n) para todo y ∈ ℓp , es lineal y biyectiva. (c) Demostrar que el conjunto B := {x ∈ ℓp :

∑∞

n=1 |x(n)|

≤ 1} es d´ebil-

mente acotado pero no es acotado en la topolog´ıa original. 7.- Probar que en ℓ1 una sucesi´on converge d´ebilmente si y solo si converge en norma. ¿Significa esto que ambas topolog´ıas coinciden? ¿Puede obtenerse alguna conclusi´on respecto de la metrizabilidad de σ(ℓ1 , ℓ∞ )? Indicaci´ on: Para la primera parte, suponer, por reducci´on al absurdo, que w

xn → 0 pero que xn ̸→ 0 en la norma ∥ · ∥1 . Entonces existen una subsucesi´on (yn ) de (xn ) y un d > 0 tales que ∥yn ∥1 > d para todo n. Elegir n1 = 1 y proceder por inducci´on para obtener n´ umeros naturales n1 < n2 < · · · y ∑km−1 (k) ∑∞ (k) m y m k1 < k2 < · · · tales que k=km +1 |ynm | < d/2 k=1 |ynm | < d/2 para todo m [con la notaci´on x = (x(1) , x(2) , . . . ) para cada x ∈ ℓ1 ]. Tomar

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

(k)

ahora u ∈ ℓ∞ tal que u(k) = signo (ynm ) si km−1 < k ≤ km , y probar que |u(ynm )| ≥ d − d/2m−2 para todo m. 8.-

(a) Si τ1 , τ2 son dos topolog´ıas sobre un mismo conjunto S, de modo que τ1 es separada y τ2 es compacta, y τ1 ≼ τ2 , entonces τ1 = τ2 . Indicaci´ on: Probar primero que un subconjunto compacto de un ET separado es cerrado, y demostrar despu´es que la aplicaci´on identidad i : (S, τ2 ) → (S, τ1 ) es un homeomorfismo. (b) Aqu´ı y en el apartado siguiente, X es un EVT separable y K ⊂ X ∗ un subconjunto w∗ -compacto. Sea (xn ) una sucesi´on densa en X y sea fn : X ∗ → K dada por fn (Λ) = cada fn es

w∗ -continua

Λ(xn ) 1+supφ∈K |φ(xn )|

(n ∈ N). Probar que

y que la aplicaci´on

∞ ∑ 1 d : (Λ, Λ ) ∈ X × X 7→ |fn (Λ) − fn (Λ′ )| ∈ [0, +∞) 2n ′

∗

∗

n=1

define una distancia. (c) Demostrar que d es continua en K × K, con K dotado de la topolog´ıa inducida por σ(X ∗ , X), y deducir que la topolog´ıa generada por d en K es menos fina que σ(X ∗ , X). (d) Concluir de (a) que cada subconjunto w∗ -compacto del dual de un EVT separable X es w∗ -metrizable. Deducir que la polar de cualquier entorno de 0 en X es secuencialmente compacta para la topolog´ıa ∗-d´ebil. w∗

9.- Demostrar que una sucesi´on (xn ) ⊂ ℓ1 acotada en norma cumple xn −→ 0 n

si y solo si ξn,k → 0 para todo k ∈ N, donde ξn,k denota la componente n

k-´esima de xn . Indicaci´ on: Recordar que cada x = (ξ1 , ξ2 , . . . ) ∈ ℓ1 se identifica con un ∑ elemento de c∗0 v´ıa la expresi´on x(y) = ∞ k=1 ξk ηk , donde y = (η1 , η2 , . . . ) ∈ c0 . Para probar la suficiencia, fijar y = (ηk ) ∈ c0 , ε > 0 y M ∈ (0, +∞) tal que ∥xn ∥ ≤ M (n ≥ 1). Se ha de probar que xn (y) → 0. Usar que ηk → 0

DUALIDAD Y TEOREMAS DE HAHN–BANACH

113

junto con la hip´otesis para dividir la serie que define x(y) en dos sumandos peque˜ nos. 10.- Un subconjunto de un EV X se dice absolutamente convexo si es equilibrado y convexo. Si A ⊂ X, se define su envolvente absolutamente convexa absco(A) como la intersecci´on de todos los subconjuntos absolutamente convexos que contienen a A. Si X es un EVT, se define la envolvente cerrada absolutamente convexa absco(A) como la intersecci´on de todos los subconjuntos cerrados y absolutamente convexos que contienen a A. Por u ´ltimo, se define la bipolar de A como el conjunto A◦◦ = {x ∈ X : |φ(x)| ≤ 1 ∀φ ∈ A◦ }. (a) Demostrar que absco(A) es el menor subconjunto equilibrado y absolutamente convexo de X que contiene a A. ∑ ∑N (b) Establecer la identidad absco(A) = { N i=1 λi xi : i=1 |λi | ≤ 1, xi ∈ A, i ∈ {1, ..., N }, N ∈ N}. (c) Probar que absco(A) es el menor subconjunto cerrado, equilibrado y absolutamente convexo de X que contiene a A. (d) Verificar que absco(A) = absco(A). (e) Demostrar el Teorema de las bipolares: si X es un ELC, entonces A◦◦ = absco(A). 11.- Utilizando redes (ver Cap´ıtulo 3), probar que si V es un entorno del origen en un EVT, entonces su polar V ◦ es cerrado en el espacio producto P que aparece en la demostraci´on del teorema de Alaoglu–Bourbaki. Esto simplifica la prueba de dicho teorema. 12.- Usando la identificaci´on ℓ∗1 ≈ ℓ∞ , describir la traspuesta de la aplicaci´on T : x = (xn ) ∈ ℓ1 7→ (xn /n) ∈ ℓ1 . 13.- Sean X un EN con dual X ∗ y M un subespacio de X. Probar que M ⊥ es un subespacio cerrado de X ∗ y que existe una biyecci´on isom´etrica entre M ∗ y X ∗ /M ⊥ .

114

14.-

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

(a) Sea M un subconjunto de un EN X. Supongamos que (xn )n∈N es una sucesi´on en M tal que ∥xn ∥ → α y sea x un punto adherente [para este concepto, remitimos a la Secci´on 3.6] de (xn ) para la topolog´ıa d´ebil. Probar que ∥x∥ ≤ α. (b) Sea X un espacio de Banach reflexivo y C un conjunto convexo, cerrado y acotado de X. Probar que existe un elemento en C de norma m´ınima. Indicaci´ on: usar (a), el Teorema 3.6.4(d) y algunos resultados de este cap´ıtulo. (c) Sea A el subconjunto de c0 definido de la siguiente forma: x = (ξk ) ∈ A si x ∈ c00 , ∥x∥ ≤ 2, n = n(x) := m´ax{k ∈ N : ξk ̸= 0} > 1 y ξk ≥ (n + 1)/n para k ∈ {1, ..., n}. Probar que A es un subconjunto convexo, cerrado y acotado de c0 y que no existe ning´ un elemento en A de norma m´ınima.

15.-

(a) Probar directamente el siguiente hecho: dados ε > 0, una sucesi´on (xk ) ⊂ R con |xk | ≤ 1 para todo k ∈ N y un n´ umero finito de se∑∞ ries absolutamente convergentes umeros k=1 yk,i (i = 1, . . . , N ) de n´ reales, existe una sucesi´on (zk ) ⊂ R tal que zk → 0, |zk | ≤ 1 para ∑ todo k ∈ N y ∞ yk,i (zk − xk ) < ε (i = 1, . . . , N ). k=1

(b) Demostrarlo aplicando el teorema de Goldstine. 16.- Consideremos el subconjunto S = {em + men : 0 ≤ m < n, n ∈ N} del espacio de Hilbert ℓ2 , donde (en )n≥0 es la base can´onica usual. Demostrar que 0 es un punto de acumulaci´on d´ebil de S pero no existe ninguna sucesi´on de puntos de S que tienda d´ebilmente a 0.

Cap´ıtulo 5 Aplicaciones de la completitud y la convexidad Nuestro objetivo en este cap´ıtulo es obtener una serie de resultados que se derivan o bien de la completitud del EVT subyacente –supuesto metrizable– o bien de la estructura convexa local del mismo, si es el caso. En la base del primer tipo de resultados se encuentra el teorema de Baire (ver Cap´ıtulo 1), el cual es de naturaleza puramente topol´ogica. Para el segundo tipo de resultados, nos apoyaremos en las distintas versiones del teorema de Hahn–Banach. El teorema de Banach–Steinhaus y el teorema de Krein– Milman son los puntos de partida respectivos de las dos l´ıneas de aplicaciones que estudiaremos aqu´ı.

5.1.

Equicontinuidad. Teorema de Banach-Steinhaus

Supongamos que M1 y M2 son espacios m´etricos, con m´etricas respectivas d1 y d2 . Sea F una familia de aplicaciones de M1 en M2 . Decimos que

115

116

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

F es equicontinua cuando, para cada ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 de modo que, si x, y ∈ M1 cumplen d1 (x, y) < δ, entonces d2 (f (x), f (y)) < ε para toda f ∈ F (observar que este concepto generaliza el dado en el Cap´ıtulo 3). Recordemos que, en el contexto de los espacios normados, el teorema de Banach–Steinhaus afirmaba que si {Λα : α ∈ I} es una familia de aplicaciones lineales y continuas de un espacio de Banach X en un EN Y , y para cada x ∈ X se tiene que {Λα (x) : α ∈ I} es acotado en Y , entonces M := sup{∥Λα ∥ : α ∈ I} < +∞. Esto, en particular, implica que la familia es equicontinua, pues ∥Λα (x1 ) − Λα (x2 )∥ = ∥Λα (x1 − x2 )∥ ≤ M · ∥x1 − x2 ∥ para todo x1 , x2 ∈ X y todo α ∈ I. Vamos a estudiar un resultado an´alogo para espacios vectoriales topol´ogicos. Definici´ on 5.1.1. Sean X e Y espacios vectoriales topol´ogicos y Γ una familia de aplicaciones lineales de X en Y . Decimos que Γ es equicontinua si, para cada entorno W del origen en Y , existe un entorno V del origen en X tal que Λ(V ) ⊂ W para todo Λ ∈ Γ. Es evidente que cada miembro de una familia equicontinua Γ es continua, es decir, Γ ⊂ L(X, Y ). Es f´acil probar que, entre espacios normados, la equicontinuidad de Γ es de hecho equivalente a sup{∥Λ∥ : Λ ∈ Γ} < ∪ +∞, lo cual significa que si E es acotado entonces Λ∈Γ Λ(E) es tambi´en acotado. Veamos que este resultado es tambi´en cierto en espacios vectoriales topol´ogicos. Proposici´ on 5.1.2. Sean X e Y espacios vectoriales topol´ ogicos, Γ ⊂ L(X, Y ) una familia equicontinua y E ⊂ X acotado. Entonces existe F ⊂ Y acota∪ do tal que Λ(E) ⊂ F para todo Λ ∈ Γ o, equivalentemente, Λ∈Γ Λ(E) es un subconjunto acotado de Y . En particular, toda familia equicontinua de aplicaciones lineales es puntualmente acotada. ∪ Demostraci´on. Llamemos F := Λ∈Γ Λ(E) y fijemos W ∈ E(0) en Y . Por equicontinuidad, existe V ∈ E(0) en X tal que Λ(V ) ⊂ W para todo Λ ∈ Γ.

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

117

Como E es acotado, existe t > 0 tal que E ⊂ tV . Por tanto Λ(E) ⊂ tΛ(V ) ⊂ tW para todo Λ ∈ Γ, de donde deducimos que F ⊂ tW . As´ı que F es acotado.



A continuaci´on, enunciamos el Teorema de Banach–Steinhaus para espacios vectoriales topol´ogicos. Teorema 5.1.3. Sean X e Y dos espacios vectoriales topol´ ogicos y Γ ⊂ L(X, Y ). Sea B = {x ∈ X : Γ(x) es acotado en Y }, donde Γ(x) es la ´orbita de x bajo Γ, es decir, Γ(x) = {Λ(x) : x ∈ Γ}. Si B es de segunda categor´ıa en X, entonces B = X y Γ es equicontinua. Demostraci´on. Sea W ∈ E(0) en Y . Podemos escoger un entorno U ∈ E(0) en ∩ Y , cerrado y equilibrado, tal que U − U ⊂ W . Pongamos E := Λ∈Γ Λ−1 (U ). Entonces E es cerrado. Adem´as, si x ∈ B existe alg´ un n ∈ N tal que Γ(x) ⊂ nU ya que Γ(x) es acotado. Por tanto Λ(x) ∈ nU para todo Λ ∈ Γ, de donde ∪ x ∈ nΛ−1 (U ) para todo Λ ∈ Γ, as´ı que B ⊂ ∞ n=1 nE. Como B es de segunda categor´ıa y cada nE es cerrado, existe n ∈ N tal que (nE)0 ̸= ∅, donde A0 denota el interior de A. Pero (nE)0 = nE 0 , luego E 0 ̸= ∅. Por tanto podemos seleccionar un punto x0 ∈ E 0 . Entonces V := x0 −E es un entorno del origen en X que satisface: Λ(V ) = Λ(x0 ) − Λ(E) ⊂ U − U ⊂ W para cada Λ ∈ Γ. De aqu´ı deducimos que Γ es equicontinua. Pero adem´as, por la Proposici´on 5.1.2, Γ es puntualmente acotada, y por tanto B = X.



Corolario 5.1.4. Sea Γ una familia de aplicaciones lineales y continuas de un F-espacio X en un EVT Y . Si Γ es puntualmente acotada, entonces Γ es equicontinua. Demostraci´on. Con la notaci´on del Teorema 5.1.3, se tiene que B = X. Como X es un espacio m´etrico completo, es de segunda categor´ıa en s´ı mismo por el teorema de Baire. Por tanto Γ es equicontinua.



118

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Corolario 5.1.5. Sea (Λn ) una sucesi´ on de aplicaciones lineales y continuas de un F-espacio X en un EVT Y . Si para cada x ∈ X existe l´ımn→∞ Λn (x) = Λ(x) ∈ Y , entonces Λ es continua. Demostraci´on. En cualquier ET Z, si (zn ) ⊂ Z y zn → z0 ∈ Z, es f´acil ver n

que el conjunto {z0 } ∪ {zn : n ≥ 1} es compacto. Por el Teorema 2.2.3, {z0 } ∪ {zn : n ≥ 1} es acotado, luego la sucesi´on (zn ) est´a acotada, si Z es un EVT. As´ı que cada sucesi´on (Λn (x)) est´a acotada. Por el Teorema 5.1.3, la familia Γ := {Λn : n ∈ N} es equicontinua. En consecuencia, dado V ∈ E(0) en Y , existe U ∈ E(0) en X tal que Λn (U ) ⊂ V para todo n ∈ N. Fijemos W ∈ E(0) en Y . Existe V ∈ E(0) cerrado con V ⊂ W . Tomamos el U ∈ E(0) que corresponde a este V . Como Λ(x) ∈ {Λn (x) : n ≥ 1} para cada x ∈ X, resulta que Λ(U ) ⊂ V = V ⊂ W . Ya que Λ es lineal, se tiene que Λ es continua en X.

5.2.



Teorema de la Aplicaci´ on Abierta

A continuaci´on obtenemos resultados b´asicos para espacios vectoriales topol´ogicos metrizables completos, que extienden teoremas ya conocidos en el contexto de espacios de Banach. Comenzamos por el Teorema de la Aplicaci´on Abierta, llamado tambi´en Teorema del Homomorfismo de Banach. Teorema 5.2.1. Sean X un F-espacio, Y un EVT y Λ ∈ L(X, Y ) tal que Λ(X) es de segunda categor´ıa en Y . Entonces Λ(X) = Y y Λ es abierta, es decir, transforma abiertos de X en abiertos de Y . Notemos que cualquier Λ ∈ L(X, Y ) abierta entre dos espacios vectoriales topol´ogicos cualesquiera X e Y es sobreyectiva. En efecto, Λ(X) ser´ıa un EV y un entorno del origen, luego ser´ıa absorbente. As´ı, dado y ∈ Y , existe t > 0 tal que y ∈ t · Λ(X) = Λ(X).

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

119

Demostraci´on del Teorema 5.2.1. De acuerdo con el p´arrafo anterior, basta probar que Λ es abierta. Como Λ es lineal, es suficiente demostrar que la imagen por Λ de un entorno de 0 en X es un entorno de 0 en Y . Fijemos pues un V ∈ E(0) en X. Sea r > 0 tal que B(0, r) ⊂ V , donde B(a, ε) := {x ∈ X : d(x, a) < ε} y d es una distancia en X que define su topolog´ıa. Llamemos Vn = B(0, r/2n ) (n ≥ 1). Vamos a ver que existe W ∈ E(0) en Y tal que W ⊂ Λ(V1 ) ⊂ Λ(V ).

(1)

Como V1 ⊃ V2 − V2 , tenemos Λ(V1 ) ⊃ Λ(V2 ) − Λ(V2 ) ⊃ Λ(V2 ) − Λ(V2 ), donde se ha usado la linealidad de Λ y el hecho de que A − B ⊂ A − B para cualesquiera subconjuntos A y B de un EVT [Proposici´on 2.1.7(b)]. Si probamos que (Λ(V2 ))0 ̸= ∅, obtendr´ıamos la existencia de un punto x0 ∈ X y un entorno W de 0 con x0 + W ⊂ Λ(V2 ), luego W ⊂ W − W = (x0 + W ) − (x0 + W ) ⊂ Λ(V2 ) − Λ(V2 ) ⊂ Λ(V1 ), y tendr´ıamos la primera inclusi´on de (1). Pues bien, tenemos que X = ∪∞ ∪∞ n=1 nV2 , ya que V es absorbente. Por tanto Λ(X) = n=1 nΛ(V2 ). Como Λ(X) es de segunda categor´ıa, existe n ∈ N tal que (nΛ(V2 ))0 ̸= ∅. Pero (nΛ(V2 ))0 = n(Λ(V2 ))0 ̸= ∅, as´ı que (Λ(V2 ))0 ̸= ∅, como se requer´ıa. Resta probar la segunda inclusi´on de (1). Para ello, tomemos y1 ∈ Λ(V1 ) y elijamos inductivamente yn ∈ Λ(Vn ) (n ≥ 2). Supongamos que yn ya ha sido seleccionado. Igual que para el caso de V1 , se tiene que Λ(Vn ) contiene un entorno del origen. Por tanto Λ(Vn ) ∩ (yn − Λ(Vn+1 )) ̸= ∅, luego existe xn ∈ Vn tal que Λxn ∈ yn − Λ(Vn+1 ). Pongamos yn+1 := yn − Λxn ∈ Λ(Vn+1 ), con lo cual (yn ) queda bien definida. Consideremos la sucesi´on (Sn ) dada por Sn = x1 + x2 + · · · + xn . Entonces (Sn ) es una sucesi´on de Cauchy en X.

120

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

En efecto, como d puede elegirse invariante por traslaciones (y completa), se tiene, para todo m > n, que m (∑ ) d(Sm , Sn ) = d(Sm − Sn , 0) = d xk , 0 k=n

≤ d(0, xn ) + d(xn , xn+1 ) + · · · + d(xm−1 , xm ) < r2−n + r2−n+1 + r2−n + · · · + r2−m+2 < 5r · 2−n < ε siempre que n ≥ n0 = n0 (ε) con n0 ∈ N suficientemente grande. Como d es completa, resulta que existe x ∈ X tal que Sn → x. Adem´as d(Sn , 0) ≤ n ∑n ∑∞ ∑∞ r d(x , 0) ≤ d(x , 0) < = r para todo n ∈ N, luego k k k k=1 k=1 k=1 2 d(x, 0) = d(l´ımn→∞ Sn , 0) = l´ımn→∞ d(Sn , 0) ≤ r, as´ı que x ∈ B(0, r) ⊂ V . Por tanto x ∈ V . Nos queda ver que Λx = y1 . Para ello, recordemos que Λxn = yn − yn+1 . Como Λ es continua, obtenemos: Λx = l´ım ΛSn = l´ım n→∞

n→∞

n ∑ k=1

Λxk = l´ım

n→∞

n ∑

(yk − yk+1 )

k=1

= l´ım (y1 − yn+1 ) = y1 − l´ım yn . n→∞

n→∞

Por u ´ltimo, dado U ∈ E(0) en Y , existe W ∈ E(0) cerrado con W ⊂ U . Para ese W , existe por continuidad de Λ un n0 ∈ N tal que Λ(Vn0 ) ⊂ W , as´ı que Λ(Vn ) ⊂ W para todo n ≥ n0 . Se deduce que yn ∈ Λ(Vn ) ⊂ W ⊂ U para todo n ≥ n0 , y por tanto yn → 0. En consecuencia, Λx = y1 −l´ımn→∞ yn = y1 , n

c.q.d.

2

Corolario 5.2.2. Si X e Y son F-espacios y Λ ∈ L(X, Y ), de modo que Λ es sobreyectiva, entonces Λ es abierta. En particular, si Λ es un isomorfismo algebraico entre dos F-espacios, de modo que Λ es continua, entonces Λ es un isomorfismo topol´ogico. Corolario 5.2.3. Si X es un EV y τ1 , τ2 son dos topolog´ıas que hacen de X un F -espacio, de modo que τ1 4 τ2 , entonces τ1 = τ2 .

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

121

i

Demostraci´on. Considerar la identidad (X, τ2 ) −→(X, τ1 ) y aplicar el coro

lario anterior.

5.3.

Teorema del Grafo Cerrado

Sabemos que si X e Y son espacios topol´ogicos, con Y separado, y f : X → Y es una aplicaci´on continua, entonces el grafo de f , definido como G(f ) = {(x, f (x)) ∈ X × Y : x ∈ X}, es cerrado. Tambi´en sabemos que el rec´ıproco es cierto si f es lineal y X e Y son espacios de Banach, lo cual constituye el Teorema del Grafo Cerrado. Vamos a ver ahora una extensi´on de este resultado a F-espacios. Teorema 5.3.1. Sean X e Y dos F-espacios, y sea Λ : X → Y lineal tal que G(f ) es cerrado en X × Y . Entonces Λ es continua. Demostraci´on. Sean dX , dY distancias completas e invariantes por traslaciones, respectivamente, sobre X e Y . Entonces es f´acil ver que la aplicaci´on d : (X × Y ) × (X × Y ) → R dada por d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ) define una distancia invariante y completa en X × Y , y que d genera la topolog´ıa producto. Como Λ es lineal, se tiene que G := G(Λ) es un subespacio de X × Y . Ya que G es cerrado en X × Y y este es completo, resulta que G es un F-espacio. Sean π1 , π2 las proyecciones de X × Y sobre X e Y , respectivamente. Sabemos que π1 y π2 son continuas. Pero adem´as, al restringirnos a G, la aplicaci´on π1 : G → X es inyectiva; en efecto, si π1 (x1 , Λx1 ) = π1 (x2 , Λx2 ) entonces x1 = x2 , as´ı que (x1 , Λx1 ) = (x2 , Λx2 ). Como adem´as es sobreyectiva, se deduce que π1 |G es biyectiva. Por el Corolario 5.2.2, inferimos que su inversa (π1 |G )−1 : x ∈ X 7→ (x, Λx) ∈ G es continua. Ahora bien, Λ = π2 ◦ (π1 |G )−1 . As´ı que Λ es continua.



122

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Es f´acil ver que, al igual que ocurr´ıa en el caso de los espacios de Banach, el hecho de que G(Λ) es cerrado (con Λ : X → Y lineal y X e Y F-espacios) es equivalente a: si xn → 0 en X y Λxn → y en Y , entonces y = 0. Por tanto Λ es continua si se cumple la condici´on anterior. Nota 5.3.2. Notemos que la tesis del teorema del grafo cerrado no se cumple en general sin la completitud de ambos espacios. Por ejemplo, consideremos los espacios vectoriales X = C 1 ([0, 1]) e Y = C([0, 1]), ambos dotados de la norma ∥f ∥ = m´ax0≤t≤1 |f (t)|, as´ı como la aplicaci´on lineal Λ : f ∈ X 7→ f ′ ∈ Y . Observemos que Y no es completo. Entonces Λ tiene grafo cerrado pues, si fn → f y fn′ → g uniformemente en [0, 1] (con fn ∈ C 1 para todo n ∈ N), del n

n

teorema fundamental de c´alculo y de la regla de Barrow se deduce f´acilmente que f ∈ C 1 y f ′ = g, luego g = Λf . Sin embargo, Λ no es continua. En efecto, si elegimos por ejemplo fn (t) = tn , se tiene ∥fn ∥ = 1 para todo n, pero ∥Λfn ∥ = ∥t 7→ ntn−1 ∥ = n → +∞. n

En conexi´on con la dualidad, no es dif´ıcil ver que si X e Y son espacios localmente convexos y T : X → Y es lineal y continua, entonces T es T

d´ebilmente continua, es decir, es continua como aplicaci´on (X, σ(X, X ∗ ) −→ (Y, σ(Y, Y ∗ )) (Ejercicio 1 del Cap´ıtulo 4). Vamos a ver que entre espacios de Fr´echet el rec´ıproco es tambi´en cierto. Teorema 5.3.3. Sean X e Y espacios de Fr´echet. Si T : X → Y es lineal y d´ebilmente continua, entonces es continua. Demostraci´ on. Basta aplicar el teorema del grafo cerrado. Si xn → 0 en X y w

w

T xn → y en Y , se tiene que xn → 0 y T xn → y. Pero, por continuidad d´ebil, w

T xn → 0. Por la unicidad del l´ımite en espacios separados, resulta que y = 0. Como consecuencia, G(T ) es cerrado, y por tanto T es continua.



APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

5.4.

123

Teorema de Schauder

A continuaci´on, vamos a establecer otra consecuencia de la completitud, donde esta vez intervienen los espacios duales. Por BX denotaremos la bola unidad cerrada de un EN X. Definici´ on 5.4.1. Sean X e Y dos espacios normados y T : X → Y lineal. Se dice que T es compacta cuando se cumple cualquiera de las tres condiciones equivalentes siguientes: (a) T (BX ) es un subconjunto relativamente compacto de Y . (b) Para cada subconjunto acotado A ⊂ X, T (A) es compacto. (c) Si (xn ) ⊂ X es una sucesi´on acotada, (T xn ) posee alguna subsucesi´on convergente en Y . Ya que BX es acotado y cada conjunto A ⊂ X acotado est´a incluido en αBX para alg´ un α > 0, y ya que en un espacio m´etrico la compacidad y la compacidad secuencial coinciden, resulta evidente la equivalencia de (a), (b) y (c) en la definici´on anterior. Es claro que toda aplicaci´on compacta es continua. Queremos establecer la equivalencia de la compacidad de T y T ∗ en espacios de Banach. Este el contenido del Teorema de Schauder (Teorema 5.4.3). Antes necesitamos la siguiente caracterizaci´on de la compacidad relativa, que es una versi´on del Teorema de Arzel` a–Ascoli. Su prueba se omite por ser muy similar a la del Teorema 3.2.1. Teorema 5.4.2. Sea K un ET compacto. Consideremos el espacio de Banach C(K) de las funciones continuas K → C dotado de la norma del supremo ∥f ∥∞ = supx∈K |f (x)|. Sea A un subconjunto puntualmente acotado y equicontinuo, es decir:

124

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

• Para cada x ∈ K, sup{|f (x)| : f ∈ A} < +∞. • Dados x ∈ K y ε > 0, existe un entorno V de x tal que |f (y)−f (x)| < ε para todo y ∈ V y toda f ∈ A. Entonces A es relativamente compacto en C(K). Teorema 5.4.3. Sean X e Y dos espacios normados, y T ∈ L(X, Y ). Consideremos la aplicaci´ on traspuesta T ∗ . Se verifica: (a) Si T es compacta, entonces T ∗ es compacta. (b) Si Y es de Banach y T ∗ es compacta, entonces T es compacta. Demostraci´on. (a) Se supone que T es compacta. Sea (φn ) ⊂ BY ∗ , la bola unidad cerrada de Y ∗ . Entonces |φn (y) − φn (y ′ )| ≤ ∥y − y ′ ∥ para todo y, y ′ ∈ Y , luego (φn ) es una sucesi´on equicontinua de funciones. Como T (BX ) es compacto en Y , es acotado, luego existe M ∈ (0, +∞) tal que ∥y∥ ≤ M para todo y ∈ T (BX ), as´ı que |φn (y)| ≤ M para todo n ≥ 1 y todo y ∈ T (BX ). Por tanto (φn ) es equicontinua y puntualmente acotada en el compacto T (BX ). Por el Teorema 5.4.2, existe una subsucesi´on (φnk ) de (φn ) uniformemente convergente en T (BX ). En particular, (φnk ) es uniformemente de Cauchy en T (BX ), es decir, dado ε > 0 existe k0 = k0 (ε) ∈ N tal que sup{|φnk (T x) − φnl (T x)| : x ∈ BX } < ε para todo k, l ≥ k0 . Pero el supremo anterior coincide con ∥T ∗ φnk − T ∗ φnl ∥, luego (T ∗ φnk ) es de Cauchy en X ∗ . Ahora bien, el dual X ∗ es completo, as´ı que (T ∗ φn ) tiene una subsucesi´on convergente. En consecuencia, T ∗ (BY ∗ ) es relativamente compacto en X ∗ , es decir, T ∗ es compacta. (b) Se supone ahora que Y es de Banach y que T ∗ es compacta. Sean i : X → X ∗∗ y j : Y → Y ∗∗ las inmersiones can´onicas, dadas por (i(x))(φ) = φ(x), (j(y))(ψ) = ψ(y) ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, ∀φ ∈ X ∗ y ∀ψ ∈ Y ∗ .

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

125

De aqu´ı y de la definici´on de T ∗∗ : X ∗∗ → Y ∗∗ se deduce que j ◦ T = T ∗∗ ◦ i. Ahora bien, puesto que i es una isometr´ıa, si x ∈ BX entonces i(x) ∈ BX ∗∗ . Por tanto (j ◦ T )(BX ) ⊂ T ∗∗ (BX ∗∗ ). Por el apartado (a), T ∗∗ es compacta, luego T ∗∗ (BX ∗∗ ) es relativamente compacto en Y ∗∗ , as´ı que (j ◦ T )(BX ) tambi´en lo es. Sea ahora (xn ) ⊂ BX . Entonces existe una subsucesi´on (xnk ) tal que {(j ◦ T )(xnk )}k≥1 ) converge en Y ∗∗ , y por tanto es de Cauchy. Como j es una isometr´ıa, (T (xnk )) es de Cauchy en Y y, puesto que Y es completo, (T (xnk )) converge en Y . Hemos demostrado que T (BX ) es relativamente compacto en Y . En otras palabras, la aplicaci´on T es compacta.

5.5.



Puntos extremales

Pasamos ahora a estudiar consecuencias de la estructura convexa del espacio. Antes de ello, necesitamos la importante noci´on de punto extremal. Recordemos que, si E es un EV y a, b ∈ E, el segmento cerrado y el segmento abierto de extremos a y b se definen respectivamente por [a, b] = {ta + (1 − t)b : 0 ≤ t ≤ 1} y (a, b) = {ta + (1 − t)b : 0 < t < 1}. Notemos en particular que [a, a] = {a} = (a, a). Definici´ on 5.5.1. Sea K un subconjunto de un EV X, y sea S ⊂ K. Se dice que S es un subconjunto extremal de K si cumple la siguiente propiedad: a, b ∈ K y (a, b) ∩ S ̸= ∅ =⇒ a, b ∈ S. Un punto x0 ∈ K es un punto extremal de K si {x0 } es un subconjunto extremal de K. Denotaremos por Ext(K) el conjunto de los puntos extremales de K. Por ejemplo, si X = R2 , y K1 y K2 denotan respectivamente el cuadrado unidad

126

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

cerrado [0, 1] × [0, 1] y el disco unidad cerrado {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}, entonces cada lado [0, 1] × {0}, [0, 1] × {1}, {0} × [0, 1] y {1} × [0, 1] es un subconjunto extremal de K1 , y cada arco de la circunferencia unidad es un subconjunto extremal de K2 . Adem´as Ext(K1 ) = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} y Ext(K2 ) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Demos un ejemplo m´as sofisticado. Sea S un ET separado y compacto, y consideremos la σ-´algebra B de los subconjuntos borelianos de S, as´ı como el EV M(S) de todas las medidas reales regulares borelianas en S. Una medida µ ∈ M(S) es de probabilidad si es positiva y µ(S) = 1. Denotemos por MP el subconjunto de M(S) de las medidas de probabilidad. Consideremos las medidas de Dirac δx (x ∈ S), definidas como δx (A) = 1 o 0 seg´ un que, respectivamente, x ∈ A o x ∈ / A (A ∈ B). Nuestro objetivo es mostrar que Ext(MP ) = {δx : x ∈ S}. Para ello, probaremos primero que Ext(MP ) = {µ ∈ MP : µ es {0, 1}–valuada} =: E y despu´es demostraremos que E = {δx : x ∈ S}. Para el primer paso, sea µ = tν + (1 − t)η ∈ E con 0 < t < 1 y ν, η ∈ MP . Fijemos A ∈ B. Como ν(A), η(A) ∈ [0, 1], resulta: µ(A) = 1 ⇒ ν(A) = 1 = η(A) y µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0 = η(A). Por tanto µ ∈ Ext(MP ) y E ⊂ Ext(MP ). Rec´ıprocamente, sea µ ∈ Ext(MP ). Por reducci´on al absurdo, supongamos que µ ∈ / E. Entonces existe A ∈ B tal que 0 < t := µ(A) < 1. Definamos ν ∈ M(S) por ν(B) = (1 − t)µ(B ∩ A) − tµ(B ∩ Ac ). Entonces ν ̸= 0 porque ν(A) = (1 − t)t > 0. Veamos que µ + ν, µ − ν ∈ MP : • ν(S) = (1−t)µ(A)−tµ(Ac ) = (1−t)t−t(1−t) = 0, de donde (µ+ν)(S) = 1 = (µ − ν)(S). • µ+ν y µ−ν son positivas. En efecto, dado B ∈ B, tenemos que (µ+ν)(B) = µ(B ∩ A) + µ(B ∩ Ac ) + µ(B ∩ A)(1 − t) − µ(B ∩ Ac )t = µ(B ∩ A)(2 − t)+

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

127

µ(B ∩ Ac )(1 − t) ≥ 0 y (µ − ν)(B) = µ(B ∩ A) + µ(B ∩ Ac )− µ(B ∩ A)(1 − t) + µ(B ∩ Ac )t = µ(B ∩ A)t + µ(B ∩ Ac )(1 + t) ≥ 0. En consecuencia, µ ± ν ∈ MP , µ + ν ̸= µ ̸= µ − ν y µ = (1/2)(µ + ν) + (1/2)(µ − ν), de donde µ ∈ / Ext(MP ) y llegamos a contradicci´on. En cuanto al segundo paso, es claro que cada δx ∈ E. Finalmente, fijemos µ ∈ E. Denotemos Γ := {V ⊂ S : V es abierto y µ(V ) = 0}. Como ∅ ∈ Γ ∪ se tiene que Γ ̸= ∅. Sea Q := V ∈Γ V , que es un abierto por ser uni´on de abiertos. Veamos que µ(Q) = 0. En efecto, si F ⊂ Q es compacto, podemos ∪ encontrar un n´ umero finito de abiertos V1 , . . . , VN ∈ Γ tales que F ⊂ N i=1 Vi , ∑N luego µ(F ) ≤ ı que µ(F ) = 0. Por regularidad de µ, i=1 µ(Vi ) = 0, as´ tenemos µ(Q) = sup{µ(F ) : F compacto ⊂ Q} = 0. Sea A0 := S \ Q. Es evidente que A0 es cerrado, µ(A0 ) = 1 y A0 es minimal con estas dos condiciones. Si probamos que A0 es unitario, tendr´ıamos que A0 = {x0 } para alg´ un x0 ∈ S y µ = δx0 , con lo que concluir´ıa la prueba. As´ı pues, por reducci´on al absurdo, supongamos que existen x1 , x2 ∈ A0 con x1 ̸= x2 . Por ser S separado, podemos encontrar dos abiertos U1 , U2 en S con U1 ∩ U2 = ∅, x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 . Luego x2 ∈ / U1 . Denotemos A1 := A0 ∩ U1 , A2 := A0 ∩ U1c . Entonces A1 y A2 son cerrados, A0 = A1 ∪ A2 , x1 ∈ / A1 y x2 ∈ / A2 . Por tanto 1 = µ(A0 ) ≤ µ(A1 ) + µ(A2 ), luego µ(A1 ) o µ(A2 ) es 1, siendo A1 , A2 ( A0 , lo que contradice la minimalidad de A0 .

5.6.

Teorema de Krein–Milman

Enunciemos seguidamente el Teorema de Krein–Milman, el cual nos indica c´omo reconstruir un conjunto compacto convexo a partir de sus puntos extremales. Teorema 5.6.1. Sea K un subconjunto compacto de un ELC X. Entonces K est´a contenido en la envolvente convexa y cerrada de sus puntos ex-

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

tremales. En particular, si K es compacto y convexo, entonces K = co (Ext(K)). Demostraci´on. Sea P la colecci´on de todos los subconjuntos compactos extremales de K. Como trivialmente K es un subconjunto extremal de K, se tiene P ̸= ∅. Por otra parte, si S es una colecci´on no vac´ıa de elementos de P, ∩ entonces L := S∈S S pertenece a P o es ∅. En efecto, L es un subconjunto cerrado de un compacto, luego es compacto. Y si a, b ∈ K son tales que a ob∈ / L, debe existir S ∈ S tal que a o b ∈ / S, con lo cual (a, b) ∩ S = ∅, luego (a, b) ∩ L = ∅, as´ı que L es ∅ o extremal. Vamos a probar la siguiente propiedad: (A) Sean S ∈ P, Λ ∈ X ∗ , µ = m´ax{Re Λ(x) : x ∈ S} y SΛ = {x ∈ S : Re Λ(x) = µ}. Entonces SΛ ∈ P. En efecto, sea z = tx + (1 − t)y ∈ SΛ con 0 < t < 1, x, y ∈ K. Como z ∈ S y S es extremal, se tiene que x, y ∈ S. Por tanto Re Λx ≤ µ, Re Λy ≤ µ y, como µ = Re Λz = (Re Λx)t + (Re Λy)(1 − t), se deduce Re Λx = µ = Re Λy, de donde x, y ∈ SΛ . Luego SΛ es extremal, y es compacto porque es un subconjunto cerrado de un compacto, ya que SΛ = S ∩ (Re Λ)−1 ({µ}). As´ı que SΛ ∈ P. Tomemos ahora S ∈ P y sea P ′ = {T ∈ P : T ⊂ S}. Como S ∈ P ′ , se tiene P ′ ̸= ∅. Ordenemos P ′ por inclusi´on y veamos que P ′ es inductivo. En ∩ efecto, si Ω es una cadena en P ′ y N = T ∈Ω T , entonces N es compacto y no ∅, ya que cada intersecci´on finita es no ∅ (al ser un miembro de la cadena) y ser los T conjuntos compactos. Luego N ∈ P ′ es un elemento minimal de la cadena, as´ı que P ′ es inductivo. Por el Lema de Zorn, existe un elemento M ∈ P ′ minimal para la inclusi´on. Por tanto, ning´ un subconjunto propio de M pertenece a P, de donde, por (A) [aplicado a M ] se deduce que Re Λ es constante en M , para todo Λ ∈ X ∗ . Por el Teorema 4.5.8, M consta de un solo punto, que es por tanto extremal de K. Por tanto hemos probado que cada subconjunto compacto extremal de K contiene alg´ un punto extremal.

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

129

Sea ahora H la envolvente convexa de Ext (K). Queremos probar que K ⊂ H. Por reducci´on al absurdo, supongamos que existe x0 ∈ K \ H. Por el Teorema 4.3.2 existen Λ ∈ X ∗ y γ1 , γ2 ∈ R tales que Re Λx < γ1 < γ2 < Re Λx0 ∀x ∈ H, ya que {x0 } y H son subconjuntos no vac´ıos, cerrados y convexos y {x0 } es compacto. Sea KΛ := {y ∈ K : Re Λy = m´axx∈K Re Λx}. De acuerdo con (A), KΛ es extremal. Como Re Λy ≥ Re Λx0 para todo y ∈ KΛ , se tiene que KΛ ∩ H = ∅, lo que contradice la afirmaci´on del final del p´arrafo anterior, pues Ext (K) ⊂ H ⊂ H. Esta es la contradicci´on que 

busc´abamos.

Por ejemplo, si X es un EN reflexivo, como BX es d´ebilmente compacto, podemos aplicar el Teorema 5.6.1 a (X, σ(X, X ∗ )). Esto sucede, por ejemplo, en un espacio de Hilbert H, donde es f´acil probar que Ext(BH ) = SH . Se ∗

∗

tiene que BH = coσ(H,H ) (Ext(BH )) = coσ(H,H ) (SH ) = co (SH ), como ya sab´ıamos. En el Ejercicio 14 de este cap´ıtulo se da una aplicaci´on m´as. Volvamos al ejemplo de M(S) y MP dado en la Secci´on 5.5. Si C(S) = {f : S → R : f es continua}, sabemos que C(S)∗ puede identificarse con M(S), dotado ´este de la norma ∥µ∥ = |µ|(S) = la variaci´on total de µ en S. Observemos que MP = {µ ∈ M(S) : ∥µ∥ = 1 y µ(S) = 1}. En efecto, la inclusi´on “⊂” es evidente. En cuanto a la rec´ıproca, supongamos, por reducci´on al absurdo, que µ est´a en el conjunto de la derecha pero no est´a en MP . Como µ(S) = 1, debe ocurrir que µ no es positiva, es decir, existe un boreliano A ⊂ S tal que µ(A) < 0. Entonces 1 = µ(S) = µ(A) + µ(S \ A), de donde µ(S \ A) > 1, que es una contradicci´on porque ∥µ∥ = 1. Por tanto MP = BM(S) ∩ H, donde H = {µ ∈ M(S) : µ(S) = 1} = {µ ∈ ∫ M(S) : S 1 dµ = 1} = {φ ∈ C(S)∗ : φ(f0 ) = 1} (donde f0 es la funci´on

130

Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

constante 1), habida cuenta de la identificaci´on M(S) ≈ C(S)∗ . Luego H es un hiperplano w∗ -cerrado. Por el teorema de Alaoglu–Bourbaki, la bola BM(S) es w∗ -compacta, luego MP es w∗ -compacto. Es f´acil ver que MP es ∗

convexo. En consecuencia, por el Teorema 5.6.1, MP = cow (Ext (MP )), y por tanto ∗

MP = cow ({δx : x ∈ S}).

5.7.

Teorema de Stone–Weierstrass

El conocido teorema de aproximaci´on de Weierstrass (Cap´ıtulo 3) garantiza que toda funci´on continua real o compleja en un intervalo compacto [a, b] puede aproximarse uniformemente por polinomios. En otras palabras, el conjunto de los polinomios es denso en C([a, b]) con la norma del supremo. Utilizando los teoremas de Krein–Milman, de Hahn–Banach y de Alaoglu– Bourbaki, se puede probar la siguiente versi´on del teorema de aproximaci´on de Weierstrass, la cual se conoce como Teorema de Stone–Weierstrass. Recordemos antes que una familia F de funciones sobre un conjunto S se dice que es un ´algebra si es un EV y cumple: f, g ∈ F ⇒ f · g ∈ F. Teorema 5.7.1. Sea S un ET separado y compacto, y consideremos el espacio de Banach C(S) = {f : S → C : f es continua} dotado de la norma del supremo. Sea A un subconjunto de C(S) tal que: • A es cerrado, • A es un ´algebra, • A contiene las funciones constantes, • A separa puntos, es decir, dados x, y ∈ S con x ̸= y, existe φ ∈ A con φ(x) ̸= φ(y), y

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

131

• A es autoadjunto, esto es, si f ∈ A entonces f ∈ A, donde f (x) := f (x) (x ∈ S). Entonces A = C(S). Demostraci´ on. Ya que A es autoadjunto y tambi´en un EV, se deduce que Re f e Im f est´an en A si f lo est´a. As´ı, las funciones reales de A separan puntos de S. Recordemos que, si M(S) denota el EV de las medidas complejas regulares sobre los borelianos de S, dotado de la norma ∥µ∥ = |µ|(S), entonces C(S)∗ = M(S). Consideremos el anulador de A, es decir, A⊥ = ∫ {µ ∈ C(S)∗ : S f dµ = 0 ∀f ∈ A}. Procedamos por reducci´on al absurdo. Si fuese A ̸= C(S), existir´ıa Λ ∈ C(S)∗ tal que Λ|A ≡ 0 y Λ ̸= 0, luego A⊥ ̸= {0}. Consideremos el subconjunto K de C(S)∗ dado por K := {µ ∈ A⊥ : ∥µ∥ ≤ 1} = A⊥ ∩ BC(S)∗ . Como A⊥ y BC(S)∗ son w∗ -cerrados, as´ı es K. Por el teorema de Alaoglu–Bourbaki, BC(S)∗ es w∗ -compacta, luego K es un subconjunto convexo, no vac´ıo y w∗ -compacto de C(S)∗ . Por el teorema de Krein–Milman, Ext (K) ̸= ∅. Escojamos un elemento µ ∈ Ext (K). Entonces µ ∈ A⊥ y ∥µ∥ ≤ 1. Pero debe ser ∥µ∥ = 1: en efecto, en otro caso existir´ıa ε ∈ (0, 1) tal que (1−ε)µ, (1+ε)µ ∈ K, de donde µ = (1/2)(1−ε)µ+(1/2)(1+ε)µ y µ no ser´ıa extremal. Sea E el soporte de µ, definido como ∪ E = sop (µ) = S \ {G ⊂ S : G es abierto y |µ|(G) = 0}. Se tiene que |µ|(E) = ∥µ∥ = 1. Sea f ∈ A con 0 < f (x) < 1 para todo x ∈ S. Definamos las medidas σ, τ ∈ M(S) por dσ = f dµ, dτ = (1 − f )dµ. Por ser A un ´algebra se tiene que σ, τ ∈ A⊥ . Si α = m´ın f y β = m´ax f , ∫ ∫ se tiene ∥σ∥ = S 1 d|σ| = S f d|µ| ≥ α · |µ|(S) = α > 0, y an´alogamente ∫ ∥τ ∥ > 0 (se ha usado que 0 < α ≤ β < 1). Adem´as ∥σ∥ + ∥τ ∥ = E f d|µ| + ∫ (1 − f ) d|µ| = |µ|(E) = 1. E

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

Por tanto µ = t ·

σ ∥σ∥

+ (1 − t) ·

τ , ∥τ ∥

donde 0 < t := ∥σ∥ < 1. As´ı pues

µ es una combinaci´on lineal convexa de σ1 := σ/∥σ∥ τ1 := τ /∥τ ∥. Como σ1 , τ1 ∈ K y µ es extremal, resulta σ1 = µ, luego f dµ = ∥σ∥ dµ, es decir, ∫ (f − ∥σ∥) dµ = 0 para todo subconjunto medible L ⊂ sop (µ), de donde se L deduce (usar la continuidad de f − ∥σ∥) que f − ∥σ∥ = 0 en E. Por tanto f es constante en E. Si ahora g ∈ A es real, y tomamos m < m´ınS g y M > m´axS g, resulta que

1 M −m+1

<

g−m+1 M −m+1

< 1 en S. Pero f :=

g−m+1 M −m+1

∈A

debido a las hip´otesis del teorema. Se deduce del razonamiento anterior que f es constante en E, luego tambi´en g es constante en E. Como las funciones reales de A separan puntos de S, E contiene un solo punto. Pero µ ∈ A⊥ . ∫ ∫ Como A ⊃ {constantes}, resulta 0 = S 1 dµ = E 1 dµ = µ(E). Al constar de un solo punto, |µ|(E) = |µ(E)| = 0, lo que contradice |µ|(E) = 1.



Ejercicios 1.- Sea X un ET separado y localmente compacto. Probar que X es un espacio de Baire. Indicaci´ on: Fijar una sucesi´on {Un }n≥1 de abiertos densos y un abierto no vac´ıo W . Por inducci´on, construir una sucesi´on {Bn }n≥1 de abiertos no vac´ıos de modo que cada Bn es compacto y est´a contenido en W ∩Bn−1 ∩Un , donde B0 := X. 2.- Se pide probar la siguiente versi´on del teorema de Banach–Steinhaus. Sean X e Y espacios vectoriales topol´ogicos, K ⊂ X compacto y convexo y Γ una familia de aplicaciones lineales y continuas de X en Y . Si para todo x ∈ K la ´orbita Γ(x) = {Λ(x) : Λ ∈ Γ} es acotada, probar que el conjunto {Λ(x) : Λ ∈ Γ, x ∈ K} es acotado. Indicaci´ on: Sea B el conjunto anterior. Fijar un entorno equilibrado W de ∩ 0, y otro U ∈ E(0) equilibrado con U +U ⊂ W . Denotar E := Λ∈Γ Λ−1 (U ) ∪ y probar que K = ∞ n=1 (K ∩ nE). Aplicar el ejercicio anterior para deducir

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

133

que existe alg´ un n tal que K ∩ nE posee alg´ un punto interior relativo a K, sea x0 . Deducir que existe un entorno equilibrado V de 0 tal que K ∩ (x0 + V ) ⊂ nE. Verificar que existe p > 1 tal que K ⊂ x0 + pV . Si x ∈ K, probar que z := (1 − p−1 )x0 + p−1 x ∈ K y que z − x0 ∈ V . Expresar x = pz − (p − 1)x0 y usar la linealidad de cada Λ para deducir que B ⊂ pnW . 3.- Se pretende generalizar el Teorema 4.5.7. En concreto, se pide probar que en un ELC X un conjunto es acotado si y solo si es d´ebilmente acotado. Indicaci´ on: Para la suficiencia, sea E un conjunto d´ebilmente acotado, U un entorno original de 0 en X, y V un entorno original de 0, convexo, cerrado y equilibrado, con V ⊂ U . Sea K = V ◦ , el conjunto polar de V . Deducir del teorema de las bipolares (Ejercicio 10 del Cap´ıtulo 4) que V = {x ∈ X : |Λ(x)| ≤ 1 para toda Λ ∈ K}. Asignar a cada Λ ∈ X ∗ un n´ umero γ(Λ) ∈ (0, +∞) tal que |Λ(x)| ≤ γ(Λ) para todo x ∈ E. Aplicar el teorema de Alaoglu–Bourbaki y el ejercicio anterior (con X ∗ en lugar de X y K en lugar de Y ) para deducir que existe una constante γ ∈ (0, +∞) tal que |Λ(x)| ≤ γ (x ∈ E, Λ ∈ K). Demostrar que γ −1 E ⊂ V . 4.- Sean X un F-espacio, Y y Z espacios vectoriales topol´ogicos, y B : X ×Y → Z una aplicaci´on bilineal, es decir, lineal separadamente en cada componente. Probar que si B es continua separadamente en cada componente, entonces B es continua. 5.- Demostrar el as´ı denominado Principio de condensaci´ on de singularidades: Sean E y F espacios vectoriales topol´ogicos, de modo que E es de Baire. Sea {Hn : n ∈ N} una sucesi´on de subconjuntos no puntualmente acotados de L(E, F ). Probar que el conjunto {x ∈ E : para todo n ∈ N, {h(x) ∈ F : h ∈ Hn } no es acotado} es de segunda categor´ıa. Indicaci´ on: demostrar que dicho conjunto es residual. 6.- Sea X un EVT con dual X ∗ . Probar que todo subconjunto equicontinuo de X ∗ es relativamente compacto en la topolog´ıa σ(X ∗ , X). Indicaci´ on: usar el

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

teorema de Alaoglu–Bourbaki. 7.- (a) Sea X un F-espacio e Y un espacio de Fr´echet. Supongamos que T : X → Y es lineal y que, cuando xn → 0, la sucesi´on (T xn ) tiende d´ebilmente a 0. Probar que la aplicaci´on T es continua. (b) Deducir el Teorema de Hellinger–Toeplitz : Sean H un espacio de Hilbert y T : H → H una aplicaci´on lineal. Se supone que T es sim´etrica, es decir, (T x|y) = (x|T y) para todo x, y ∈ H. Entonces T es continua. 8.- Sea E un ELC. Decimos que A ⊂ E es un tonel si A es convexo, cerrado, equilibrado y absorbente. Y se dice que E es tonelado si cada tonel es un entorno del origen. Se pide: (a) Probar que todo ELC de Baire es tonelado. (b) Sea X el EV C([0, 1]) dotado de la norma |||f ||| =

∫1 0

|f (t)| dt. Probar

que (X, ||| · |||) no es tonelado. (c) Sean E y F espacios localmente convexos, con E tonelado. Sea F ⊂ L(E, F ) una familia tal que, para todo x ∈ E, el conjunto {Λ(x) : Λ ∈ F} es acotado. Probar que F es equicontinua. 9.- Sea X un ELC con dual X ∗ . Sea A = {A ⊂ X ∗ : A es una familia equicontinua}. Para cada A ∈ A, sea pA (x) = sup{|Λ(x)| : Λ ∈ A} (x ∈ X). (a) Probar que cada pA es una seminorma en X. (b) Sea P = {pA : A ∈ A}. Demostrar que P es una familia filtrante y separante. (c) Probar que la topolog´ıa definida por P coincide con la topolog´ıa original de X. 10.- Supongamos que X es un EN, y consideremos el EN L(X) = L(X, X) de los operadores lineales y continuos sobre X, dotado de la norma de operadores. (a) Demostrar que el operador identidad I : X → X es compacto si y solo si dim(X) < +∞.

APLICACIONES DE LA COMPLETITUD Y LA CONVEXIDAD

135

(b) Denotemos por K(X) el subconjunto de L(X) formado por los operadores compactos. Probar que K(X) es un subespacio vectorial de X. Probar tambi´en que es un ideal, es decir, si T ∈ K(X) y S ∈ L(X), entonces las composiciones T S y ST pertenecen a K(X). (c) Si T ∈ L(X) tiene rango finito, es decir, si dim(T (X)) < +∞, entonces T ∈ K(X). (d) Si X es un espacio de Banach, probar que K(X) es cerrado en L(X). 11.- Consideremos el espacio X = C([0, 1]), dotado de la norma del supremo. Demostrar que el operador de Volterra T : X → X, dado por ∫ x (T f )(x) = f (t) dt (x ∈ [0, 1]), 0

es compacto. 12.- Sea X un EN. Se dice que X es uniformemente convexo si, para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que las relaciones ∥x∥ = ∥y∥ = 1, ∥ x+y 2 ∥ ≥ 1 − δ implican ∥x − y∥ ≤ ε. Decimos que X es estrictamente convexo cuando, para cada par de vectores distintos x e y con ∥x∥ = 1 = ∥y∥, se tiene ∥ x+y ı pues, 2 ∥ < 1. As´ todo EN uniformemente convexo es estrictamente convexo. Denotemos por SX la superficie esf´erica unidad de X, es decir, SX := {x ∈ X : ∥x∥ = 1}. (a) Demostrar que, en cualquier EN X, se tiene Ext (BX ) ⊂ SX . (b) Probar que X es estrictamente normado si y solo si Ext (BX ) = SX . (c) Demostrar que si X es uniformemente convexo, entonces Ext (BX ) = SX . (d) Probar que todo espacio de Hilbert es uniformemente convexo. (e) Demostrar que ℓ1 y c0 no son uniformemente convexos. 13.- (a) Sea X un EN uniformemente convexo, x0 ∈ X con ∥x0 ∥ = 1, y Λ ∈ X ∗ tal que ∥Λ∥ = Λ(x0 ) = 1. Probar que para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que, si ∥x∥ = 1 y |Λ(x − x0 )| < δ, entonces ∥x − x0 ∥ < ε.

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(b) Decimos que un EN X satisface la propiedad de Kadec si la topolog´ıa d´ebil y la de la norma coinciden si se restringen a la superficie esf´erica unidad. Probar que todo EN uniformemente convexo satisface la propiedad de Kadec. 14.- (a) Sea X un EN dual, es decir, existe un EN Y tal que X ≈ Y ∗ . Aplicar los teoremas de Krein–Milman, de Banach–Alaoglu y de Mazur (Teorema 4.5.5) para dar una expresi´on de la bola unidad cerrada BX en funci´on de Ext (BX ). (b) Demostrar que la bola unidad cerrada de (L1 ([0, 1]), ∥ · ∥1 ) carece de puntos extremales. (c) Probar que la bola unidad cerrada de (c0 , ∥ · ∥∞ ) carece asimismo de puntos extremales. (d) Demostrar que los u ´nicos puntos extremales de bola unidad cerrada de ((C([0, 1]), R), ∥ · ∥∞ ) son las constantes 1, −1. (e) Deducir que los tres espacios normados anteriores no son duales. 15.- Si N ∈ N es fijo, probar que el conjunto de los polinomios P : R → C tales que P (j) (0) = 0 (j = 1, . . . , N ) es denso en el espacio C([0, 1]) = {f : [0, 1] → C continuas} dotado de la norma del supremo. 16.- Sea X = (c, ∥ · ∥∞ ) el EN de las sucesiones convergentes, dotado de la norma del supremo. Probar que, si B es su bola unidad cerrada, se verifica Ext(B) = {x = (x(n))n≥1 : ∃n0 = n0 (x) ∈ N tal que {x(n) : n ≥ n0 } ⊂ {1, −1}}. ¿Es B = co (Ext (B))? ¿Se contradice el teorema de Krein–Milman? 17.- Supongamos que X es un EN de dimensi´on infinita, y que T ∈ L(X) es un operador para el que existe una constante C ∈ (0, +∞) que goza de la siguiente propiedad: dados φ ∈ X ∗ y x ∈ SX , existe y = y(φ, x) ∈ SX tal que |φ(T (y))| ≥ C|φ(x)| (por SX entendemos la superficie esf´erica unidad de X). Demostrar que T no es un operador compacto si T ∗ tiene rango cerrado.

Bibliograf´ıa Existe una abundante bibliograf´ıa acerca de espacios vectoriales topol´ogicos y espacios funcionales. Los libros que a continuaci´on se enumeran constituyen solo una peque˜ na parte. Cada uno de ellos ha sido usado en la elaboraci´on de alguna o algunas secciones de estas notas, pero hay que tener en cuenta que el enfoque de los temas a tratar puede variar de libro a libro. Por supuesto, todos contienen mucho m´as material adicional, que puede ayudar al lector interesado tanto a profundizar en la teor´ıa dada aqu´ı como a introducirse en temas nuevos. Adem´as, la mayor´ıa de los textos sugeridos contienen listados de ejercicios y problemas sobre las materias tratadas, y en algunos casos se dan sugerencias para resolverlos. Los libros de Marrero y de Trenoguin et al. citados abajo est´an completamente dedicados a la resoluci´on de ejercicios. alisis funcional, Tecnos, Madrid, 1981. • G. Bachman y L. Narice, An´ • B. Beauzamy, Introduction to Banach spaces and their geometry, North Holland, Amsterdam, 1985. on al espacio de Hilbert, Teide, Barcelona, 1977. • S.K. Berberian, Introducci´ • H. Br´ezis, An´ alisis funcional, Alianza, Madrid, 1984. • J.B. Conway, A course in functional analysis, Springer, New York, 1990. • J. Diestel, Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, New York, 1984.

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

• Y. Eidelman, V. Milmann and A. Tsolomitis, Functional analysis. An introduction, Graduated Studies in Mathematics, Vol. 66, American Mathematical Society, Providence, 2004. • J. Horv´ath, Topological vector spaces and distributions, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1966. • A.N.K. Kolmogorov y S.V. Fomin, Elementos de la teor´ıa de funciones y del an´ alisis funcional, Mir, Mosc´ u, 1975. • L. Lusternik et V. Sobolev, Pr´ecis d’analyse fonctionelle, Mir, Moscou, 1989. • M.I. Marrero, Problemas de an´ alisis real y funcional, Secretariado de Publicaciones de la Universidad de La Laguna, 1991. • R. Meise and D. Vogt, Introduction to functional analysis, Oxford Science Publications, 1997. • W. Rudin, An´ alisis funcional, Revert´e, 1979. alisis real y complejo, Alhambra, Madrid, 1987. • W. Rudin, An´ • K. Saxe, Beginning functional analysis, Springer, New York, 2002. • M. Schehter, Principles of functional analysis, Graduated Studies in Mathematics, Vol. 36, American Mathematical Society, Providence, 2002. • C. Swartz, Elementary functional analysis, World Scientific, New Jersey, 2009. • A.E. Taylor and D.C. Lay, Introduction to functional analysis, John Wiley, 1980. • V.A. Trenoguin, B.M. Pisarievski y T.S. Soboleva, Problemas y ejercicios de an´ alisis funcional, Mir, Mosc´ u, 1987. • F. Tr`eves, Topological vector spaces, distributions and kernels, Academic Press, New York, 1973.

Lista de s´ımbolos y abreviaturas BON = base ortonormal ELC = espacio localmente convexo EN = espacio normado ET = espacio topol´ogico EV = espacio vectorial EVT = espacio vectorial topol´ogico SON = sistema ortornormal w

→ ≡ convergencia en la topolog´ıa d´ebil w∗

→ ≡ convergencia en la topolog´ıa d´ebil-∗ τ

→ ≡ convergencia en la topolog´ıa τ (x|y) = producto escalar de x e y d(x, y) = distancia entre x e y ∥x∥ = norma de x ∥ · ∥p = norma en el espacio ℓp o Lp (µ) ∥ · ∥∞ = norma del supremo C = conjunto de los n´ umeros complejos K = el conjunto R o el conjunto C, indistintamente N = conjunto de los n´ umeros naturales N0 = N ∪ {0}

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Q = conjunto de los n´ umeros racionales R = conjunto de los n´ umeros reales A0 = interior del conjunto A A◦ = conjunto polar del conjunto A A◦◦ = bipolar del conjunto A A = clausura del conjunto A A⊥ = conjunto ortogonal de A, o anulador de A ⊥

A = anulador de A, donde A ⊂ X ∗

⟨A⟩ = span (A) = variedad lineal generada por A A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} x + A = {x + u : u ∈ A} λA = {λx : x ∈ A} Λ · A = {λx : λ ∈ Λ, x ∈ A} absco (A) = envolvente absolutamente convexa de A absco (A) = envolvente absolutamente convexa cerrada de A B(a, δ) = bola abierta de centro a y radio δ B(a, δ) = bola cerrada de centro a y radio δ BX = bola unidad cerrada del espacio normado X c = espacio de las sucesiones convergentes c0 = espacio de las sucesiones nulas c00 = espacio de las sucesiones casi nulas co (A) = envolvente convexa de A co (A) = envolvente convexa cerrada de A C(S) = espacio de las funciones continuas S → K C(S, R) = espacio de las funciones continuas S → R C(S, C) = espacio de las funciones continuas S → C C N (Ω) = espacio de las funciones diferenciables con continuidad hasta orden N en Ω

Lista de s´ımbolos y abreviaturas

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C ∞ (Ω) = espacio de las funciones infinitamente diferenciables en Ω D = espacio de las funciones infinitamente diferenciables de soporte compacto Dα = derivada de orden α D∗ = espacio de las distribuciones D(K) = espacio de las funciones infinitamente diferenciables con soporte contenido en el compacto K dim (X) = dimensi´on algebraica de X E(x0 ) = familia de los entornos del punto x0 Ext (A) = conjunto de puntos extremales del conjunto A f ∗ g = producto de convoluci´on de f y g H(Ω) = espacio de las funciones holomorfas en Ω Im (T ) = imagen de T Ker (Λ) = n´ ucleo de la aplicaci´on lineal Λ K(X) = espacio de los operadores compactos sobre X L(X) = espacio de los operadores sobre X L(X, Y ) = espacio de las aplicaciones lineales y continuas de X en Y ℓp = espacio de las sucesiones sumables de orden p ℓ∞ = espacio de las sucesiones acotadas Lp (µ) = espacio de las funciones medibles que son integrables de orden p respecto de la medida µ L∞ (µ) = espacio de las funciones medibles esencialmente acotadas respecto de la medida µ M(S) = espacio de las medidas de Borel regulares reales o complejas sobre S M(S, C) = espacio de las medidas complejas de Borel regulares sobre S M(S, R) = espacio de las medidas reales de Borel regulares sobre S |µ| = variaci´on total de la medida µ

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Luis Bernal y Tom´ as Dom´ınguez

µA = funcional de Minkowski de A µ-ect = en casi todo respecto de la medida µ sop f = soporte de la funci´on f sop (µ) = soporte de la medida µ SX = superficie esf´erica unidad del espacio normado X σ(X, X ∗ ) = topolog´ıa d´ebil sobre X σ(X, X ∗ ) = topolog´ıa d´ebil-∗ sobre X ∗ T ∗ = aplicaci´on traspuesta de T τ1 4 τ2 ≡ la topolog´ıa τ1 es menos fina que τ2 τ (P) = topolog´ıa generada por la familia de seminormas P V (f ) = variaci´on de la funci´on f xα → x0 ≡ la red (xα )α∈I converge a x0 α∈I

X ∗ = dual topol´ogico del EVT X X ∗∗ = bidual del EN X X ′ = dual algebraico de X X ≈ Y ≡ X es topol´ogicamente isomorfo a Y X/N = espacio cociente de X respecto del subespacio Y

´Indice alfab´ etico ´ Algebra de funciones, 130 ´ Algebra del disco, 81

triangular, 8 Distribuci´ on, 82 Dual

Anulador, 107

algebraico, 45, 90

Aplicaci´ on

de ℓp , 11

homog´ enea, 39

de Lp , 46

lineal continua, 9, 45

topol´ ogico, 45

lineal uniformemente continua, 9, 45 secuencialmente continua, 61

Envolvente

subaditiva, 39

absolutamente convexa, 113 cerrada absolutamente convexa, 113

Base

cerrada convexa, 92 algebraica, 19 de entornos, 31 de Hamel, 19

convexa, 62, 91 Esfera de Riemann, 73 Espacio

de Schauder, 19

cociente, 61

normalizada, 19

de Baire, 11

incondicional, 28

de Banach, 8

ortonormal, 16

de Fr´ echet, 43

Bidual de un espacio normado, 10, 104

de funciones infinitamente diferenciables

Bipolar de un conjunto, 113

con soporte compacto, 41

Boreliano, 71

de Hilbert, 13 de las funciones anal´ıticas, 32

Coeficientes de Fourier, 15

de las funciones infinitamente diferenciables,

Complemento topol´ ogico, 28

41

Conjunto cofinal, 75

dual, 10, 45

de Borel, 71

eucl´ıdeo, 13

dirigido, 75

normado, 8 de dimensi´ on finita, 12

ortogonal, 14

estrictamente convexo, 135

Constante b´ asica, 22

reflexivo, 11, 104

incondicional, 28

uniformemente convexo, 135 Derivada de Radon-Nikodym, 17

prehilbertiano, 13

Desigualdad

primer numerable, 74

de Cauchy-Schwarz, 13

vectorial topol´ ogico, 34

143

144

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localmente acotado, 43

de Dirac, 126

localmente compacto, 43

finita, 16

localmente convexo, 43

real, 70

metrizable, 43

regular, 71

normable, 43 tonelado, 134

Norma, 8 de un operador lineal, 10

F-espacio, 43 Operador, 9, 106

Familia de seminormas, 39 filtrante, 39 separante, 39 equicontinua, 66, 116 puntualmente acotada, 11 uniformente acotada, 11 Forma lineal, 10 F´ ormula de la integral de Cauchy, 68, 72 Funci´ on de densidad, 17 de soporte compacto, 70 de variaci´ on acotada, 29 escalonada, 70 generalizada, 82 test, 82 Funcional, 10 de coordenada, 24

de derivaci´ on, 81 de Volterra, 135 Orden parcial, 75 Plano complejo completado, 73 Polar de un conjunto, 101 Principio de acotaci´ on uniforme, 11 de condensaci´ on de singularidades, 133 Producto cartesiano, 81, 100 de convoluci´ on, 64 escalar, 13 Propiedad de Kadec, 136 Proyecci´ on ortogonal, 14 Punto adherente de una red, 76 extremal, 125

de Minkowski, 50 Red, 76 Grafo, 12 Hiperplano, 89 af´ın, 89 Hiperplanos paralelos, 89 Homogeneidad, 8 Homotecia, 34 Identidad

convergente, 76 Segmento abierto, 125 cerrado, 125 Seminorma, 39 Serie de Fourier, 15 Sistema

de Parseval, 15

de Haar, 25

del paralelogramo, 13

ortogonal, 15 ortonormal, 15

Medida σ-finita, 16 absolutamente continua, 16 compleja, 70 de Borel, 71

ortonormal completo, 15 ortonormal maximal, 15 total, 15 Soporte de una funci´ on, 82

´ Indice alfab´ etico

de una medida, 131 Subconjunto

145

de Runge, 72 de Schauder, 123

absolutamente convexo, 113

de Stone–Weierstrass, 130

absorbente, 34

de Tychonoff, 81, 101

acotado, 37

del Grafo Cerrado, 12, 121

compacto, 38

del vector minimizante, 14

convexo, 14, 35

Tonel, 134

d´ ebilmente acotado, 95

Topolog´ıa

de primera categor´ıa, 11

d´ ebil, 95

de segunda categor´ıa, 11

d´ ebil-∗, 100

equilibrado, 35

de la convergencia compacta, 33

extremal, 125

de la convergencia puntual, 60

relativamente compacto, 66

fuerte, 104

residual, 11 secuencialmente compacto, 104 Subespacio af´ın, 89 Subred, 76 Sucesi´ on b´ asica, 19 mon´ otona, 22 Teorema de Alaoglu–Bourbaki, 102 de aproximaci´ on de Weierstrass, 20, 63 de Arzel` a–Ascoli, 66, 123 de Baire, 11 de Banach–Steinhaus, 11, 117 de Birkhoff–Kakutani, 56 de convergencia de Weierstrass, 58 de Goldstine, 105 de Hahn–Banach, 10, 84 forma geom´ etrica, 91 de Hellinger–Toeplitz, 134 de la Aplicaci´ on Abierta o del Homomorfismo, 12, 118 de la Proyecci´ on, 14 de las bipolares, 113 de Mackey, 98 de Mazur, 97 de Montel, 33, 50, 68 de Nikolski, 22 de Radon-Nikodym, 16 de representaci´ on de Riesz, 14, 71 de Riesz, 49

producto, 81, 100 Traslaci´ on, 34 Traspuesta de una aplicaci´ on lineal, 106 Variaci´ on total de una medida, 70 Variedad af´ın, 89 Vectores ortogonales, 14