Estadística Inferencial. Sesión No. 8 Pruebas de hipótesis para varianza.

Contextualización. En las dos sesiones anteriores se vieron métodos de inferencia estadística para medias y proporciones poblacionales. En esta sesión se extiende dicho estudio a las varianzas poblacionales. Iniciaremos nuestro estudio con las Pruebas de hipótesis para la varianza poblacional utilizando de apoyo la distribución chi-cuadrada(X2) y después realizaremos pruebas de hipótesis acerca de dos varianzas poblacionales con el apoyo de la distribución F.

Fuente: http://honradoshp.foroactivo.com/t54-distribucion-chi-cuadrado-inversa

Introducción.

Un ejemplo en que la varianza brinda una información importante para tomar una decisión es el caso de un proceso en el que se llenan recipientes con un detergente líquido. La máquina de llenado se ajusta de manera que se logre un llenado medio de 16 onzas por envase. Aunque la media de llenado es importante, la varianza en los pesos de llenado también es relevante. 

¿Cómo se realiza una prueba de hipótesis acerca de la varianza de una población?. Fuente: http://www.monografias.com/trabajos44/desercion-universitaria/Image5720.gif



¿Qué estadístico de prueba es utilizado, cómo está distribuida este tipo de poblaciones?.

Explicación 

Pruebas de hipótesis para la varianza poblacional



Con σ2o para denotar el valor hipotético de la varianza poblacional, las tres formas de una prueba de hipótesis son:



Estas tres pruebas son semejantes a las pruebas de hipótesis de las sesiones anteriores, para pruebas de una o dos colas para medias y proporciones poblacionales.

Explicación. 

En una prueba de hipótesis para la varianza poblacional se emplean el valor hipotético de la varianza poblacional σ2o y la varianza muestral s2 para calcular el valor estadístico de prueba X2. Si la población tiene una distribución normal, el estadístico de prueba es el siguiente:



Una vez calculado el estadístico de prueba X2, para determinar si se acepta o se rechaza la hipótesis nula se encuentra el valor crítico y se realiza la comparación.

Explicación. Ejemplo: La St. Louis Metro Bus Company de Estados Unidos, desea dar una imagen de confiabilidad haciendo que sus conductores sean puntuales en los horarios de llegada a las paradas. La empresa desea que haya poca variabilidad en dichos tiempos. En términos de la varianza de los tiempos de llegada de las paradas, la empresa desea que la varianza sea de 4 minutos o menos. Esta prueba de hipótesis se realiza con un nivel de significancia de α = 0.05 Asuma que en una muestra aleatoria de 24 llegadas a cierta parada en una intersección en el centro de la ciudad, la varianza muestral encontrada es s2=4.9

Explicación. 

Paso 1: Formular las hipótesis 

Ho: σ2 ≤ 4



Ha: σ2 > 4



Paso 2: Nivel de significancia de α = 0.05, como la prueba es de una sola cola (la del lado derecho), se considera una distribución X2 .



Paso 3: Obtenemos el valor critico X2c utilizando la tabla de valores de esta distribución: 

Grados de libertad = n-1= 24 – 1 = 23



Probabilidad: nivel de significancia α = 0.05 (columnas de tabla).



Buscando estos valores en la tabla tenemos que X2c = 35.172.

(renglones de tabla).

Explicación.

Explicación. Paso 4: Calcular el estadístico de prueba X2p

𝑋𝑝 2

(𝑛 − 1)𝑠 2 (24 − 1)(4.9) = = = 28.18 𝜎0 2 4

Si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico, se rechaza H0, de manera contraria se acepta. Por lo tanto para esta prueba, tenemos que: 28.18 < 35.172, se rechaza H0 Paso 5: Se concluye que existe evidencia suficiente para rechazar H0, en tal caso habrá que tomar medidas para reducir la varianza poblacional.

Explicación. 

Pruebas de hipótesis para dos varianzas poblacionales.

En algunas aplicaciones estadísticas interesa comparar las varianzas de las calidades de producto obtenido mediante dos métodos de producción diferentes, o las varianzas de tiempos de fabricación empleando dos métodos diferentes, o las varianzas de temperaturas que se tienen con dos dispositivos distintos de calentamiento. Para comparar dos varianzas poblacionales, se emplean datos obtenidos de dos muestras aleatorias independientes, una de la población 1 y otra de la población 2. Distribución muestral de 𝑠1 2 /𝑠2 2 cuando 𝜎1 2 /𝜎2 2 se utiliza la distribución F con n1 -1 grados de libertad en el numerador y n2 -1 grados de libertad en el denominador. Formula general del estadístico de prueba:

𝐹=

𝑆1 2

𝑆2 2

Conclusión En esta sesión se presentaron los procedimientos estadísticos que se usan en las inferencias acerca de varianzas poblacionales. Se introdujeron dos distribuciones de probabilidad nuevas: la distribución chi-cuadrada y la distribución F. La distribución chi-cuadrada se usa en pruebas de hipótesis para la varianza de una población normal. La distribución F se usa en varianzas de dos poblaciones normales. Fuente: http://www.fisterra.com/mbe/investiga/regre_lineal_multi/images/Image167.gif

En la siguiente sesión aprenderemos a trabajar la regresión y correlación lineal.

Bibliografía. 

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning. ISBN: 970-686-278-1