ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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Sesión No. 7 Nombre:

Distribuciones

de

probabilidad

para

variables

aleatorias continuas Contextualización Al igual que la distribución

binomial, la distribución

de Poisson puede

aproximarse a una normal para procesos de cálculo de probabilidades cuando el parámetro λ (literal griega lambda) es suficientemente grande. Este tipo de aproximación permite extender el ámbito de aplicación de la distribución de Poisson. La distribución exponencial de probabilidad guarda una importante relación con la distribución de Poisson, sin embargo, debe destacarse que se orienta a cálculos relacionados con la confiabilidad de sistemas y procesos, por lo que es de gran utilidad en ingeniería, ciencias sociales, naturales y administrativas.

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Introducción al Tema Actualmente la estadística y los medios que se han desarrollado gracias a esta, ayudan a determinar muchos conocimientos basados en las matemáticas y a reforzar las formas en que se puede establecer un elemento.

En este caso la aproximación y la distribución son una forma de establecer los parámetros numéricos con el uso de formulas del calculo integral y diferencial lo que ayuda a comprobar los resultados para no determinar un error que pueda ser catastrófico en el medio en que se aplica, se sabe que la estadística no es 100% exacta, por lo que cuenta con un margen de error que es mínimo y representa la tolerancia que se tiene ante alguna situación, ya sea por el redondeo de cifras o por la aproximación que se pueda tener.

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Explicación Aproximación normal de probabilidades de Poisson La distribución de Poisson cuantifica la ocurrencia de un evento específico por unidad de tiempo, área o volumen, considerando que la probabilidad de ocurrencia del evento por unidad de medida es idéntica para el total de las unidades y que el número de ocurrencias del evento específico es independiente entre cada unidad de medida. Los fenómenos que siguen este comportamiento se denominan procesos de Poisson. En consecuencia, dado que el recuento de ocurrencias de un evento en particular que se presenta por unidad de tiempo, área o volumen sigue una distribución de Poisson, se presenta el siguiente resultado denominado reproductividad de la ley de Poisson con respecto al parámetro λ. Si X1, X2,... Xn son variables aleatorias independientes tales que Xi p(k; λ),, i= 1,..., n (es decir, la variable aleatoria Xi sigue una distribución de Poisson con parámetro λ), entonces:

Si λ es lo suficientemente grande (mayor que cinco), la distribución de Poisson puede aproximarse mediante la distribución normal. La aproximación de la distribución de Poisson a través de la distribución normal se expresa de la siguiente manera: • Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson, Xi (k; λ) y >5, entonces:

En este sentido, la variable aleatoria X puede considerarse como el número de veces que ocurre un evento específico de un proceso de Poisson con tasa λ

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL dentro de un intervalo unitario. Esto significa que la variable aleatoria X puede descomponerse como la suma de n variables que contabilizan la ocurrencia de un evento específico presentado en cada intervalo ((i −1)/ n,i / n),i =1,2,...,n , con lo que se obtiene:

Siendo X1,... Xn variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas p(k; λ) . Para n →∞, el Teorema del límite central establece que:

En donde el símbolo

N(0,1) significa que se aproxima a una normal

estandarizada. Para calcular la probabilidad de Poisson mediante aproximación a la distribución normal se tiene que:

Ejemplo: Supóngase que una editorial imprime un texto que contiene erratas al azar con una tasa λ de 0.5 erratas por página. Calcular la probabilidad de que en 200 páginas se encuentren más de 80 erratas. Solución: Se tiene la variable aleatoria X= número de erratas en 200 páginas de texto. Ésta sigue una distribución de Poisson con λ =0.5(200)=100. Dado que λ>5, es posible realizar la aproximación a la distribución normal:

En donde el valor

corresponde al área en tablas de la distribución normal para y que es igual a 0.4744 por lo tanto, P (X>80)=

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Distribución exponencial de probabilidad La distribución exponencial es un modelo matemático que se aplica con frecuencia en teoría de la confiabilidad, es decir, en el estudio de la confiabilidad de elementos y sistemas susceptibles de fallo.

Definición Una variable aleatoria continua X que puede tomar todos los valores no negativos tiene una distribución exponencial de probabilidad con parámetro (literal griega alfa) positivo si su función de densidad de probabilidad está dada por: f (x) =e −x , x>0 =0 para cualquier otro valor.

El comportamiento de esta distribución puede mostrarse gráficamente. Por ejemplo, para =5 se obtiene la siguiente gráfica:

5 exp (-5x)

Cálculo de probabilidades con la distribución exponencial La función de distribución acumulativa está dada por: F (x)= P(X≤ x)= En consecuencia, P(X > x)=

=0, para cualquier otro valor. .

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Conclusión El uso de fórmulas matemáticas dentro de esta rama de estudio es importante, pues con estas se facilita la forma de obtener resultados de algún medio en el que se trabaja. Si no se cuentan con las formulas adecuadas, es necesario conocer todos los elementos que se desean descifrar y de un procedimiento mas laborioso y repetitivo que servirá para determinar el resultado.

Estas mismas formulas sirven para poder graficar en un rango ya establecido, es decir, solamente requieren de la sustitución de variables y la resolución de la ecuación, lo que dará los puntos cardinales útiles para marcar el comportamiento del objeto de estudio dentro de un plano cartesiano ya enumerado.

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Aplicaciones de cómputo. Aplicación de una hoja de cálculo para calcular probabilidades con distribución normal

La hoja de cálculo Excel dispone de la función DISTR.NOR M.ESTAND(x), la cual devuelve la probabilidad P( X < x) siempre y cuando X sea una variable aleatoria normal estandarizada, con media µ= 0 y desviación estándar =1,

Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria normal estandarizada. Utilizando la función DISTR. NOR M.ESTAND(x) de Excel®, calcular las siguientes probabilidades:

Soluciones: 1.

Se introduce el valor 2 en la celda A1.

Posteriormente, en la celda M.ESTAND( ).

A2 se introduce la función

DISTR. NOR

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Con el argumento A1, es decir, DISTR.NOR M.ESTAND(A1), se obtiene como resultado el valor 0.977249868.

2. Se introduce el valor 2 en la celda A1.

Posteriormente, en la celda A2 se introduce la fórmula: =(1-DIST. NOR M.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.022750132 como resultado.

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 3.

Se introduce el valor 2 en la celda A1. Una vez hecho lo anterior, se introduce en la celda A2 la fórmula: =(DISTR.NOR M.ESTAND(A1)-0.5). Con lo que se obtiene 0.477249868 como resultado.

4. Se introduce el valor 0 en la celda A1. Posteriormente, se introduce en la celda A2 la fórmula: =(DISTR.NORM.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.5 como resultado.

5. Se introduce el valor 1 en la celda A1. Posteriormente, se introduce en la celda A2 la fórmula: =((DISTR.NORM.ESTAND(A1)-0.5)*2). Con lo que se obtiene 0.682689492 como resultado.

6. Se introduce el valor 2 en la celda A1.

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Posteriormente, se introduce en la celda A2 la fórmula: =(1-DISTR. NORM.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.022750132 como resultado.

7. Primero se introducen por simetría, los valores 2 y 2.5 respectivamente en las celdas

A1

y

A2.

Luego

=DISTR.NORM.ESTAND(A1)

se

introduce

y

en

la

en

celda

la A4

celda

A3

la

la

fórmula

fórmula =DISTR.

NORM.ESTAND(A2).

Finalmente, se introduce en la celda A5 la fórmula =(A4-A3), con lo que se obtiene como resultado 0.01654047.

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Actividad de Aprendizaje Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes elementos. Recuerda que puedes utilizar formulas de apoyo las cuales se han explicado a lo largo de las sesiones.

1. El tiempo en que un cajero automático dispensa efectivo a los clientes sigue una distribución exponencial con un parámetro de =0.5 minutos. Calcular la probabilidad de que un usuario tenga que esperar más de 0.65 para recibir su efectivo.

2. Una editorial imprime un texto que contiene erratas al azar con una tasa λ de 0.5 erratas por página. Calcular la probabilidad de que en 200 páginas se encuentren más de 85 erratas.

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Bibliografía García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de Cultura Económica.

Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley Iberoamericana.

Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM.

Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.

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