ESTRUCTURAS II Cátedra Ing. José María Canciani UNIDAD 4 Integrantes: Ing. Carlos Salomone (Prof. Adjunto) Ing. Salvador Napoli (Prof. Adjunto) Arq. María Angélica D’Antone (Jefe de T.P.) Arq. Miguel Bruno (Jefe de T.P.) Arq. Marcelo Alancay (Ayudante) Arq. Natalia Bucossi (Ayudante) Arq. Gisela Amor (Ayudante)

COLUMNAS Y TABIQUES PORTANTES Introducción Las columnas y tabiques portantes son los elementos estructurales que transmiten las cargas del edificio de nivel a nivel y finalmente las transmiten, a través de las fundaciones, al terreno natural. Esta transmisión de cargas en la dirección del eje de la pieza implica que el esfuerzo preponderante de esos edificios sea axil y, en particular, de compresión. Sin embargo, las columnas no sólo trabajan a compresión sino también porque en la mayor parte de los casos deben absorber flexiones. Y esto no responde exclusivamente a esfuerzos externos sino al efecto de “pandeo”, característico de los elementos comprimidos esbeltos que provoca la aparición de esfuerzos de flexión en columnas que sólo deberían absorber compresiones. Esto explica, por una parte, por qué si, como todos sabemos, el hormigón simple es un elemento con un muy buen comportamiento bajo cargas de compresión, es necesario adicionar armaduras a las columnas y tabiques. Pero esto es sólo parcialmente cierto, el hormigón simple o “ciclópeo” en elementos esbeltos provoca otros efectos adicionales que tienen que ver con el comportamiento de este material a lo largo del tiempo. En efecto, el hormigón continúa deformándose especialmente durante los primeros años posteriores a la construcción. Este fenómeno es bastante apreciable en las vigas y en las losas donde se evidencia un incremento de las flechas, pero también existe en las columnas. De esta forma, el hormigón de las columnas tiende a acortarse, lo que lleva a que el material se “cuelgue” de las barras longitudinales de acero. Pero el crecimiento de las deformaciones, no sólo se produce en la dirección axil, también se produce cuando la pieza se curva como consecuencia de la flexión. Ello lleva a que el efecto del pandeo también tenga un gran crecimiento lo que puede llevar a un rápido colapso de la pieza aún bajo cargas moderadas. La incorporación de barras de acero permite reducir este efecto al generar un límite a la deformación lateral de las columnas. Todo esto lleva a la imposibilidad de ejecutar elementos comprimidos esbeltos de hormigón simple. También este efecto, conocido como “fluencia lenta” se toma en cuenta para el dimensionamiento de los elementos comprimidos con gran esbeltez. Como hemos señalado, las columnas transmiten esfuerzos de nivel a nivel por lo cual para realizar el análisis de carga de las columnas debe tomar en cuenta las siguientes cargas: 1. Carga de la columna del nivel superior, si la hubiese; 2. Reacciones de las vigas que apoyan en dicha columna o tabique;

3. Peso propio de la columna o tabique; 4. En el caso de tabiques también hay que tener en cuenta la reacción de la losa que apoya en el mismo y la mampostería del nivel superior para el último piso. Como resulta claro, en muchos casos la descarga de muchas plantas se repite en diferentes pisos hasta llegar a los niveles inferiores o incluso, hasta la fundación. Sin embargo, como el valor de la carga va variando piso a piso el dimensionamiento de la columna o tabique también debemos hacerlo también piso a piso. Esto no implica, sin embargo, que las dimensiones de las columnas se modifiquen en todos los pisos y esto se debe a una razón económica: modificar el ancho y el largo de una columnas provoca desperdicios en los encofrados que aumentan excesivamente el consumo de madera. Por este motivo, las columnas suelen modifican sus dimensiones generalmente cada dos o tres pisos. Disposiciones reglamentarias En primer término, comenzaremos recordando cuál es la diferencia entre los dos elementos comprimidos estructurales más importantes: columnas y tabiques. De esta forma, el reglamento CIRSOC 201,estalece que las columnas son elementos lineales, en donde una dimensión (la sección) y están sometidas principalmente a esfuerzos de comprensión y cuando la relación de lados de la columna es menor que 5. S esta relación es mayor, a dicho elemento estructural se lo llama tabique. Esta no es una definición meramente retórica sino que toma en cuenta las en lo relativo a dimensiones y armaduras mínimas que puede poseer este elemento. Dimensiones mínimas.

Forma

Columnas Hormigonada In Premoldeadas Situ Hormigonada en en posición posición horizontal vertical

Tabiques

Sección maciza 20 cm

14 cm

14 cm

7 cm

10 cm

5 cm

10 cm

Sección abierta Sección hueca

De lo anterior vemos que la columna mínima cuadrada es de 20x20 cm. En tanto el tabique mínimo puede ser 50 cm de largo por 10 cm de espesor. Sin

embargo, se aclara que para realizar un elemento estructural de 10 cm de espesor es necesario utilizar un hormigón con un agregado grueso de pequeño diámetro máximo. Además, como vemos, la forma de la columna puede ser cualquiera pero lo importante es que cuanto mayor inercia tenga mejor se comporta Armadura longitudinal Por las consideraciones anteriores y salvo que existan en una fuerza comprimida, esfuerzos de flexión que así lo ameriten, la armadura longitudinal As de este tipo de elementos, se dispone distribuida simétricamente dentro de la sección de hormigón. También el Reglamento CIRSOC 201 establece un diámetro mínimo de barras para las armaduras longitudinales. También en este caso el reglamento discrimina entre las columnas y los tabiques. De allí que los diámetros mínimos a utilizar sean los siguientes: Espesor

Acero tipo I Al 220

< 10 cm 10 cm ≤ y < 20 cm ≥ 20 cm

10 mm 12 mm 14* mm

Acero tipo III ADN 420 ADM 420 8 mm 10 mm 12 mm

Sin embargo, no es está la única limitación que establece la norma en lo relativo al armado de elementos comprimidos. Para que un elemento sea considerado como hormigón armado y no hormigón simple existe una cuantía geométrica mínima, llamando cuantía geométrica a la relación entre secciones de acero y hormigón (µ = As/Ab). La idea de que exista una cuantía mínima para los elementos comprimidos se relaciona con lo ya indicado respecto de lo indicado anteriormente respecto del fenómeno denominado “fluencia lenta”. En efecto, los acortamientos diferidos que se producen en el hormigón y que no son acompañados en igual medida por el acero generan una descarga de esfuerzo del hormigón sobre las armaduras que pueden llevarlas al colapso aun bajo cargas relativamente pequeñas. Así para este reglamento la cuantía mínima de un elemento comprimido no debe ser inferior al del 0.8 % de la sección estáticamente necesaria. ¿Qué significa esto? La sección estáticamente necesaria es aquella que se requiere para absorber con suficiente seguridad los esfuerzos de compresión o de flexo compresión. De esta forma la normativa vigente busca evitar un resultado paradojal que consiste en que al crecer la sección se produzca un incremento simultáneo de la armadura. Por ejemplo, no tendría sentido que si, por razones arquitectónicas se decidiera incrementar la sección de hormigón se produzca un incremento de armaduras.

Pero también el reglamento limita superiormente la cuantía de armaduras. Así la cuantía geométrica no debe ser superior al 9 % considerando incluso las zonas de empalmes de barras. Esto lleva a que en la práctica el límite superior sea del 4.5% en la zona de empalme. ¿Cual es la razón para que exista una cuantía máxima? También este efecto tiene que ver con la “fluencia lenta” del hormigón y considera el caso de descargas bruscas del elemento comprimidos que producirá efectos diferenciados en el hormigón y el acero. Limitar la cuantía reduce la importancia de este efecto. Por razones constructivas, en forma general las barras longitudinales de una columna o tabique se disponen a lo largo de uno o dos niveles. Por tal motivo, para dar continuidad a la columna hacia arriba es necesario realizar empalmes de la totalidad de las barras. La longitud de tal empalme que permita una correcta transferencia de cargas entre las barras se estima en en forma práctica en de 50 veces el diámetro. Barra inferior 50Ø

Nota: Se pueden empalmar barras con 2 rangos de diámetro de diferencia. Por ejemplo: Ø 12 con Ø 16

Barra superior Por último, es necesario señalar que se debe doblar las barras a 90º cuando se alcanza la culminación de la columna ya que, si no, se puede producir un efecto de punzonado que provoque la rotura del hormigón en esa zona. Estribos Como ya se ha señalado en la clase correspondiente a esfuerzos de corte, los estribos cumplen funciones estructurales, además de las constructivas. Esto también ocurre en las columnas pero, salvo que los esfuerzos de corte sean equiparables a los esfuerzos axiles de compresión, no es necesario verificarlos ya que la densidad de estribos que se incorporan a las columnas por otras razones son suficientes para absorber estos esfuerzos. El agregado de estribos a las columnas responde a más de una razón. Una de ellas consiste en evitar un tipo de rotura frágil, característica del hormigón a compresión. La misma consiste en la generación de tracciones en forma diagonal respecto de los esfuerzos de compresión. Por tal motivo, la separación de estribos no debe ser mayor que la menor dimensión de la columna. N

T

T

Otro efecto que obliga a la colocación de estribos es evitar el pandeo local de las barras longitudinales de las columnas. Por tal motivo, se establece que la separación de los estribos debe ser inferior a 12 diámetros de las barras longitudinales.

En cuanto al diámetro mínimo para los estribos es: Ø6 para ØL < 20 mm y de Ø8 para ØL ≥ 20 mm. La separación máxima en altura es: ab ≤ dmin ab ≤ 12ØL

Estribos principales

ab ≤ dmin ≤ 12 ∅L Pero el efecto del pandeo no sólo se puede producir en la dirección normal. La separación máxima entre barras es de 30 cm, admitiéndose para columnas de lados d1, d2 ≤ 40 cm una barra por esquina, respetando siempre la cuantía mínima. Dentro de la misma sección de columna, podemos tener barras de distinto diámetro, en general dicha diferencia no es mayor a un rango. Es decir, si

tengo en la armadura longitudinal hierros φ12, puedo colocar φ16, pero no φ20 ó φ25. En cada esquina de columna se puede agrupar hasta 5 barras, considerándose arriostradas (no necesitan estribos secundarios) cuando la distancia entre ejes es menor a 15 veces el diámetro del estribo). ≤ 15∅e

∅e ≤ 15∅e

La separación en planta entre ramas de estribos principales debe ser menor a 30 cm, caso contrario deben crearse nuevas barras de esquina mediante el agregado de estribos principales o ganchos principales. Se denominan barras de esquina a aquellas que están aseguradas al pandeo mediante ramas de estribos a 90° entre si o ganchos cuya separación en altura sea la correspondiente a los estribos principales. En caso de que existan barras que se encuentren a una distancia superior a los 15 Ø de la armadura principal de la otra barra de una barra de esquina deben anclarse con estribos secundarios o bien ganchos secundarios, como se puede apreciar el es quema siguiente: 50cm

20cm Tabiques El espesor mínimo de los tabiques es de 10 cm y la cuantía mínima es de 0.5%, menor que para columnas, mientras que la cuantía máxima es similar a la de columnas, es decir 4.5% (En zona de empalme puede llegar al 9%). El diámetro mínimo de las barras longitudinales es de Ø8 y la separación máxima en planta entre barras es de 20 cm. La longitud de empalme es de 50 ØL. Las barras transversales (que vienen a cumplir el rol de los estribos en la columna) deben tener un área As transversal ≥ 1/5 armadura principal y como mínimo debe haber un Ø6 cada 25 de cada lado.

A su vez las barras longitudinales de un lado deben unirse con la del otro lado en por lo menos 4 puntos por m2 mediante ganchos en forma de S. Vale decir se deberán colocar ganchos cada 50 cm en horizontal y vertical respectivamente. Dimensionamiento El dimensionamiento de las columnas y tabiques se hará a la compresión o a la flexión compuesta, verificando en todos los casos la seguridad al pandeo que es función de la esbeltez de la pieza. a) Dimensionamiento a la comprensión: Para los casos de columnas no esbeltas (es decir, que no tienen el efecto del pandeo) y exclusivamente con esfuerzo axil de compresión, se puede utilizar la fórmula de adición, como se indica a continuación. Nr = γ . Ns = Ab βr + As βs En donde: ¾ γ: Coeficiente de seguridad = 2.1 (dominio S Eb =Es = -2%). Para tabiques este coeficiente vale 3.0. ¾ Ns: Carga de servicio. ¾ Ab: Sección de hormigón. ¾ βr: Resistencia del hormigón (en función de la calidad del mismo) para σbk=170 Kg/cm2 βr=140 kg/cm2 ¾ βs: Resistencia del acero = 4200 Kg/cm2 ¾ As: Sección del acero. La cuantía de la pieza vale µ0 = As/Ab y es la que debemos fijar entre los limites establecidos, por lo tanto operando nos queda Ab = γ Ns/(βr+µ0βs). Una vez calculada la sección de hormigón con la cuantía establecida calculamos la sección de acero. Como la columna mínima que podemos tener es de 20x20 con 4Ø12. La carga que soporta la misma es de 35.71 tn, por lo tanto para cargas menores a esta debemos adoptar la columna mínima, siempre y cuando la longitud de la columna sea lo suficientemente pequeña para que no se tomen en cuenta los efectos del pandeo. Una limitación adicional para la utilización de esta fórmula viene dada por la calidad del acero. En efecto, para los casos de aceros ADN 220 y ADN420 cuyas tensiones de fluencia son respectivamente 2200 Kg/cm² y 4200 Kg/cm², esta fórmula es perfectamente aplicable. Si se utilizan aceros de calidad superior, ya no tendría aplicación ya que el hormigón rompe a compresión pura con una deformación específica del 0.2 %, lo que implica que en ambos casos el acero se encuentra dentro del “escalón de fluencia” y su tensión es constante con los valores indicados. En los aceros

de mayor resistencia, la rotura del hormigón se produce cuando el acero está dentro del período elástico y, en tales condiciones, no puede desarrollar toda su resistencia. En ese caso habría que considerar igualmente una tensión de fluencia de 4200 Kg/cm² que es la que corresponde para una deformación del 0.2%. b) Dimensionamiento a la flexo compresión (en pequeña excentricidad) Decimos que tenemos pequeña excentricidad cuando la relación e/d < 1/6 siendo e la excentricidad y vale e = M/Ns y determina el lado de la columna en el mismo sentido en que actúa el momento. La relación anterior significa que la fuerza de compresión cae dentro del núcleo central por lo tanto ambos bordes de la sección sufren acortamientos pero ahora serán diferentes. La columna tiene momentos flexores en el caso de formar parte de pórticos (como los que se utilizan para tomar los esfuerzos de viento o sismos) o cuando esta ubicada en el borde de la planta estructural, en esto ultimo caso el valor del momento lo calculamos de la siguiente manera:

hs 3 hs Js Jv Ms

Mi lv hi Ji hi 3

Mv Cs = (Js/hs) / (Jv/lv) Ci = (Ji/hi) / (Jv/lv) El momento de empotramiento original de la viga suponiendo que esta sometida a una carga repartida que vale: Mev = qlv2/12 el momento corregido de la viga vale: Mv = Mev [(Cs+Ci) / (1+Cs+Ci)] El momento inferior de la columna superior vale: Mi = Mv [Cs / (Cs + Ci)] El momento superior de la columna inferior vale: Ms = Mv [Ci / (Cs + Ci)] Para el dimensionamiento de columnas y tabiques con este tipo de solicitaciones (N y M) y en donde N cae dentro del núcleo central, utilizaremos los “diagramas de interacción”. Para su uso, se introducen las solicitaciones externas N y M en forma adimensional. ms = M / bd2βr y respectivamente.

n = N / bdβr las unidades a utilizar son: tn, t, m y t/m2

El valor de |n| ≥ 0.25 para utilizar estos ábacos caso contrario, debemos usar las tablas de ms. Con estos valores entramos a las tablas según el tipo de acero que utilizamos y la relación d1/h (las tablas están hechas para d1/h = 0.05, d1/h = 0.10 y d1/h = 0.15).

De las tablas sacamos el valor de la cuantía mecánica ω01 = ω02 con las cuales calculamos las armaduras As1 = As’ = ω01db / (βs/βr). Cabe señalar que en los citados diagramas de interacción las curvas del cuadrante inferior corresponden a flexo-tracción y pueden ser utilizadas para este tipo de esfuerzos. Por tal motivo, la forma no es simétrica ya que en el caso de la flexocompresión tanto el hormigón como el acero colaboran en la absorción de esfuerzos, cosa que no ocurre en la flexotracción en los cuales, en el mejor de los casos, sólo una pequeña sección puede estar comprimida y, por lo tanto, apta para absorber esfuerzos, quedando para el acero la absorción de casi todos los esfuerzos. También tenemos diagramas de interacción en el caso de tener flexión oblicua, o de tener una sección circular o de tener un anillo circular.

c) Verificación de la seguridad al pandeo En las piezas comprimidas o flexo-comprimidas es necesario verificar la seguridad al pandeo de las mismas, para lo cual hay que establecer el

equilibrio en el sistema deformado, o sea la aplicación de la teoría de segundo orden. Cuando analizamos un elemento estructural sometido a la flexión, como el caso de una viga o losa, establecer el equilibrio en el sistema sin deformar es prácticamente igual que establecerlo sobre el sistema deformado. En cambio en las columnas si hay que tenerlo en cuenta pues la mayor deformación se da en la altura. En la teoría del primer orden MI = 0 En la teoría de segundo orden MII = N. V (momento adicional o complementario). Estas deformaciones contenidas en cuenta por el Reglamento, el a su vez contempla la posibilidad de tener desviaciones en el eje de la pieza, excentricidades en el punto de aplicación de las cargas, etc. El problema del pandeo se hace mayor en las piezas más esbeltas por lo tanto lo primero que hay que hacer es determinar el coeficiente de esbeltez λ que vale: λ = Sk/i en donde Sk es la longitud de pandeo y i es el radio de giro de la sección. La longitud de pandeo de la barra vale: Sk = β . L siendo β un coeficiente que sale de tabla en función al tipo de apoyo de la barra y si el sistema es desplazable o no. En realidad, la diferenciación entre sistemas estructurales indesplazables y desplazables radica en que en los primeros existen elementos que dan rigidez transversal a la estructura como son los pórticos y los tabique por lo cual se reducen significativamente los desplazamientos horizontales. En los segundos, no existen tales elementos y por tal motivo, la longitud de pandeo es superior a la longitud de la barra. El caso típico de los sistemas desplazables es el de la columna en forma de ménsula. En este caso la longitud de pandeo es doble y el lugar más exigido es el correspondiente al empotramiento como se puede apreciar en la tabla que se agrega a continuación. En general existen los tabique o pórticos que rigidizan la estructura, en este caso al sistema se lo considera indesplazable. Incluso en los edificios de no más de 4 pisos los elementos de mampostería tales como los muros medianeros colaboran con la rigidez transversal. Por tal motivo, en nuestro curso vamos a considerar que se trata de sistemas indesplazables. En estos casos, el caso más desfavorable consiste en aquel en el cual la longitud de pandeo coincide con la altura de la columna, por lo cual, salvo casos especiales, se adopta esta condición lo que nos deja siempre del lado de la seguridad.

Decimos que un sistema es indesplazable cuando se verifica que: h.

N / Ej

¾ ¾ ¾ ¾

≤ 0.6 cuando el número de plantas es mayor que 4 ≤ 0.2+0.1n cuando el N° de plantas es 4 ≥ n ≥ 1 (n: Número de plantas)

h: altura total del edificio N: sumatoria de todas las N E: módulo de elasticidad J: sumatoria de todas las inercias

El radio de giro vale: i=

J/Ab

Siendo J la inercia de la sección y Ab el área. En general las columnas son rectangulares o cuadradas y en ese caso la inercia vale: i=

(bd3/12) / bd

=

d2 / 12

= d/

12 = d / 3.46

Por lo tanto la esbeltez de la pieza vale: λ = Sk / i = Sk / (d/3.46) = 3.46 Sk / d Si la sección fuera circular la expresión anterior quedaría λ = 4 Sk / d No siempre es suficiente verificar la seguridad al pandeo respecto al lado menor, ya que puede ocurrir que las longitudes de pandeo en ambas direcciones no coincidan. La verificación al pandeo no se efectúa cuando la esbeltez de la pieza λ es menor al λlim (esbeltez limite) fijado para cada sistema. Para sistema desplazable λlim = 20 Para sistema indesplazable λlim = 45 – 25 x M1 / M2 en donde M1 y M2 son los momentos en los extremos de la barra. Llamamos M2 al mayor de los momentos que tenemos y el mismo siempre es el denominador. Los esquemas posibles son: A

B

C

D M2

M2 M2=0

M2

+

M2 = M 1

M2 = M1 -

M1=0

M1

λlim=45-25x1=20 25x0=45

M1=0 λlim=45-25x0=45

λlim=45-25 (-1)=70

M1 λlim=45-

Elementos de esbeltez moderada La norma diferencia dos casos: la denominada esbeltez moderada yl la gran esbeltez. En el primero de los casos, el efecto del pandeo genera la aparición de esfuerzos de flexión en las columnas solicitadas por compresión pura y en un incremento del momento en los casos de flexión compuesta, pero no existe un riesgo de que el sistema se torne inestable y nunca llegue a alcanzar el equilibrio. Por ello se permite un procedimiento simplificado que se indica a continuación. La esbeltez moderadae produce cuando la λlim < λ ≤ 70, en estos casos la verificación al pandeo (calculo del momento de segundo orden) se remplaza introduciendo en el tercio central de la barra un momento que tenga en cuenta una excentricidad adicional f cuyo calculo se realiza aplicando las siguientes fórmulas: 0 ≤ e/d < 0.3

f = λ-20 100

0.1+e/d x d ≥ 0

0.30 ≤ e/d < 2.5

f = [(λ-20)/160] x d ≥ 0

2.5 ≤ e/d < 3.5

f=

[(λ-20)/160] x (3.5- e/d) x d ≥ 0

En donde e es la mayor excentricidad prevista, debido a las cargas de servicio y cuyo calculo depende del tipo de sistema. El valor de f incluye el valor de la excentricidad constructiva eµ que vale: eµ=Sk/300 Para sistemas indesplazables El valor de e en el tercio central de la barra vale: -

M1 e = e0 = (2/3 M2 + 1/3 M1) / N

0.6 M2 / N

+

e = e0 =

+ M2 Con estos valores de e vemos en que zona caemos y calculamos f. El momento adicional de la barra en el tercio vale: M0 = N (e0 + f), por lo tanto los pares de valores de solicitaciones que tenemos para el dimensionamiento valen: En el extremo superior ........................ N; M1

En el tercio central

........................ N; M0 { M0=N (e0+f)}

En el extremo inferior ........................ N; M2 Como N es siempre el mismo el dimensionamiento lo haremos en el punto donde tenemos el mayor momento; debiéndose mantener la armadura constante en toda la columna. Si e/d ≥ 3.5 no se calcula M0 y se dimensiona en el extremo de mayor M. Para sistemas desplazables El procedimiento es el siguiente: ™ Si e/d ≥ 3.5 se dimensiona con el par de valores N; M1 o N; M2 mas

desfavorable.

™ Si e/d < 3.5 y si 20< λ ≤ 45 dimensionamos con el par de valores mas

desfavorables. ™ En el extremo superior tenemos N; M1 calculamos e1 = M1 / N luego f1

nos queda: N; M = N (e1 + f1).

™ En el extremo inferior tenemos N; M2 calculamos e2 = M2 / N luego f2

nos queda: N; M = N (e2 + f2).

™ Ahora si e/d < 3.5 pero 45< λ ≤ 70 debemos calcular la deformación

por fluencia lenta ek (por medio del gráfico). Para entrar al gráfico debemos calcular los siguientes valores: 1) σϕλ2 / Eb en donde σϕ = Nϕ / Ab siendo: ¾ Nϕ: Carga que actúa la mayor parte de la vida útil de la estructura (entre 0.7 y 0.9 de N) ¾ Ab: Sección de la barra. ¾ λ: Esbeltez de la pieza. ¾ Eb: Módulo de elasticidad. 2) Se estima la cuantía de la barra (entre el 1% y el 4%) 3) Se adopta el valor de fluencia lenta ϕ (entre 2 y 3) generalmente se adopta 2. Con estos 3 valores se entra al gráfico y se saca el valor del cociente: ek / (eϕ + eµ) En donde eϕ es la excentricidad en el tercio medio de la barra eϕ = M0 / N para sistemas indesplazables o eϕ = M1 / N o eϕ = M2 / N para sistemas desplazables. eµ es la excentricidad constructiva y vale eµ = Sk / 300, donde Sk es la longitud de pandeo.

Con los valores de eµ y eϕ conocidos estamos en condiciones de calcular ek.

Las solicitaciones en este caso son: Extremo superior ......................... N; M = N (e1 + f1 + ek) Extremo inferior ......................... N; M = N (e2 + f2 + ek) Elegimos el par más desfavorable y dimensionamos con los diagramas de interacción.

Elementos de gran esbeltez Como adelantamos, la gran esbeltez importa el caso de que el sistema no llegue a alcanzar el equilibrio, es decir, que el equilibrio es inestable, por tal motivo, no hay un procedimiento simplificado y se debe analizar el efecto del pandeo tomando en cuenta todos los parámetros posibles mediante el uso de nomogramas. La norma considera que si 70< λ ≤ 200 realizamos lo siguiente, tanto para sistemas indesplazables como para sistemas desplazables. Por razones de inestabilidad del equilibrio, existe un límite superior para la esbeltez de un elemento comprimido. Así, si λ > 200 debemos cambiar la escudaría de la columna. 1) Se verifica si e/d ≥ 3.5 λ/70, si se cumple, se dimensiona directamente con el par de valores N; M1 o N; M2 más desfavorable con los diagramas de interacción. 2) Si la relación anterior no se cumple, debemos dimensionar utilizando el nomograma. 2a. Si 2 ≤ e/d < 3.5 λ/70 dimensionamos utilizando nomogramas (elegimos el que tenga la misma forma de sección, por ejemplo: cuadrada o rectangular y la relación d1/h, donde d1 es el recubrimiento y h la altura total) para lo cual debemos hallar los valores Sk/d y e/d con los cuales entramos en el sector derecho del nomograma y determinamos un punto (A) luego con el otro par de valores n = β N / Ab y M = β N e / Ab d en donde β es un coeficiente que sale en función de la tensión característica del hormigón. σbk β

110 2.5

130 1.67

170 1.25

210 1.00

300 0.76

380 0.65

470 0.58

Ubicamos M (en el eje de coordenadas) y nos da el punto (B), luego unimos (A) con (B) y en la intersección con n = β N / Ab se obtiene un punto que nos da la cuantía total multiplicada por el coeficiente β, por lo tanto la armadura total vale: As = tot µ0 Ab / β, en donde tot µ0 se saca de tabla. 2b. En cambio si e/d < 2 debemos calcular ek (por medio del gráfico) y las solicitaciones en ese caso son N; M = N (e1 + ek) y N; M = N (e2 + ek) en los extremos superiores e inferiores respectivamente. Calculamos con el más desfavorable, utilizando el nomograma.

A modo de resumen se agrega a continuación un diagrama de flujo con la secuencia de cálculo de elementos comprimidos, tanto para los sistemas desplazables como para los indesplazables.

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 9 - DIMENSIONAMIENTO DE COLUMNAS Efectuar el análisis de cargas de una columna centrada y otra de borde y dimensionar ambas columnas en el nivel de PB. Como ejemplo se realizará la verificación de las columnas C9 y C11.

Análisis de Cargas Dado que en los ejemplos del TP5 no se resolvieron las vigas en los niveles de sobre PB y sobre 1°, se repetirán los valores de corte en los extremos de vigas obtenidos para el nivel sobre 2°. Sin embargo, para la resolución del trabajo práctico de columnas se deberán volcar los datos de los ejemplos correspondientes a este nivel solamente en el 2° piso, volcándose luego los cortes obtenidos en la resolución efectiva del TP5. Como las dimensiones de las columnas son un dato previo a la resolución, se adoptarán los valores obtenidos en el predimensionamiento efectuado en el TP1.

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Dimensionamiento Columna C9 Datos: βr := 140

Hormigón H17

kgf 2

cm Acero ADN 420

βs := 4200

kgf 2

cm hc := 3.50m

d1 := 20cm

altura de la columna

d2 := 20cm

N := 28.13t

En las columnas se deben verificar las dos direcciones, pero como se trata de una columna centrada con iguales dimensiones, el dimensionamiento se reduc a una única dirección. En este caso se analizará la dirección 1 (perpendicular a la L.M.) Verificación al pandeo: En primer lugar, se determina la esbeltez (λ) que consiste en la razón entre la longitud de pandeo y el radio de giro de la sección. En este caso, al tratarse de un sistema indesplazable se adopta por ser la condición más segura que β=1 y la longitud de pandeo coincide con la altura de la columna. sk := hc

sk = 3.50 m

El radio de giro surge de la división entre el momento de inercia y la superficie de la sección por lo cual para el caso de las secciones rectangulares resulta: i = 3.46 d1 De esta forma la esbeltez se obteiene mediante la expresión siguiente λ :=

3.46 ⋅ sk d1

λ = 61

Para el caso de columnas centradas este valor se compara con la siguiente expresión límite en la cual M1 y M2 representan los momentos en la cabeza y pie de la columna. Como se trata de una columna centrada M1 y M2 son iguale a cero: M1 = 0

M2 = 0

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λlim := 45 − 25 ⋅

M1 M2

λlim = 45

Como λ > λlimi es necesario considerar el efecto del pandeo y como λ < 70, se trata del caso de esbeltez moderada. En este caso al no haber momentos tenemos el siguiente caso: M M := 0t ⋅ m e := N e = 0.00 cm

(excentricidad de primer orden)

Para la determinación de la excentricidad adicional por pandeo (f), adoptamos la fórmula correspondiente al caso 0 < e/d > 0.30. d1 ⋅ ( λ − 20) ⋅ 0.1 + f :=

e d1

100

f = 2.56 cm Determinación del Momento de 2° orden El momento de segundo orden (aquel que suma al momento de segundo orde el que corresponde al pandeo) se obtiene de la siguiente expresión. MII := N ⋅ ( e + f)

MII = 0.721 t ⋅ m

Dimensionamiento de las armaduras: Con el esfuerzo normal N y el momento de segundo orden MII, se determinan las armaduras con la utilización de los diagramas de interacción. Se trata de diagramas confeccionados para el caso de armaduras simétricas por lo cual se obtiene en realidad la armadura de una sola cara, es decir, media armadura. Los diagramas de interacción están realizados para un cierto tipo de acero, en este caso ADN 420, y para cualquier calidad de hormigón. Sin embargo, existen tres diagramas en función de la relación entre recubrimiento y sección total. r := 3cm

diagrama_d1_d :=

r d1

diagrama_d1_d = 0.15

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Se adopta el diagrama correspondiente a d1/d=0.15 n := m :=

N d1 ⋅ d2 ⋅ βr

n = 0.50

MII

m = 0.064

2

d1 ⋅ d2 ⋅ βr

Ingresando en el diagrama con m y n se obtienen la cuantía mecánica correspondiente a media armadura (ω01 = ω02) que aparece como una curva de nivel. ω01 := 0.22 Con este valor se obtiene la armadura longitudinal de una cara As01 que es igual a la de su opuesta As02.

As01 :=

ω01 ⋅ d1 ⋅ d2 βs

2

As01 = 2.93 cm

βr

Se adoptan 3φ12 en cada cara de la columna con lo que tomando en cuenta que la armadura de los extremos sirve para ambas direcciones, se llega a. 2

Atotal := 8 ⋅ 1.13cm

µ = 0.0226

µ :=

Atotal d1 ⋅ d2

(cuantía geométrica total))

equivalente al 2.26% < 4.5% (cuantía máxima) > 0.8% (cuantía mínima)

Estribos : Se adoptan estribos φ6 por ser los diámetros de la armadura longitudinal inferiores a φ20 y la separación surge de la siguiente expresión:

5/14

dlong := 12mm

sep := 12 ⋅ dlong sep = 14 cm

Se adopta φ6c/14cm.

Dimensionamiento Columna C11 En este caso, se trata de una columna de borde en la cual los momentos en cabeza y pie de columnas no son de pequeña magnitud como ocurría en el caso de columnas centradas. Por ello el primer paso es obtener dichos momentos. El Reglamento CIRSOC 201 permite obtener estos valores mediante la resolución de un pórtico simplificado como el que se indica a continuación. Se señala que este es el pórtico que corresponde a Planta Baja, dado que se resuelve solamente ese nivel, pero debe ser utilizado para obtener los momentos de cabeza y pie de comuna en cada piso de la estructura.

6/14

Datos: βr := 140

Hormigón H17

kgf 2

cm Acero ADN 420

βs := 4200

kgf 2

cm hc11 := 3.50m

altura de la columna

d1 := 24cm d2 := 20cm

N := 21.92t

Columna superior

Viga lv := 4.00m

hs := 2.80m

bv := 12cm

d1s := 20cm

dv := 45cm

d2s := 20cm

q213 := 2.144

t m

En las columnas se deben verificar las dos direcciones. La dirección 2 (paralela a L.M.) como columna de borde y la dirección 1 (perpendicular a la LM) como columna centrada.

7/14

Dirección 2 Determinación de los momentos de borde: En primer lugar, se deben obtener los momentos de borde de acuerdo al siguiente diagrama:

En primer término se obtiene el momento de empotramiento de la viga, considerada bi-empotrada. Mev :=

−q213 ⋅ lv 12

2

Mev = −2.86 t ⋅ m

A continuación se determinan los coeficientes de rigidez de las columnas inferior (Planta Baja) y superior (Primer Piso). Para ello es necesario previamente obtener los momentos de inercia respecto del eje 2-2 (paralelo a la LM) de las columnas y horizontal para la viga. Para la determinación de la rigidez es necesario tomar en cuenta que el apoyo inferior es articulado. Por ello se incrementa la longitud de la columna en PB en un 33%.

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d1s ⋅ d2s Js := 12 d1 ⋅ d2 Ji := 12

3 4

Js = 13333cm

3

bv ⋅ dv Jv := 12

4

Ji = 16000cm

3 4

Jv = 91125cm

cs :=

lv ⋅ Js hs ⋅ Jv

cs = 0.21

ci :=

lv ⋅ Ji 1.33hc11 ⋅ Jv

ci = 0.15

Con restos coeficientes, se obtiene el momento de la viga en el nudo de unió con las columnas que llamamos momento corregido de la viga. Mcv :=

Mev ⋅ ( cs + ci) 1 + cs + ci

Mcv = −0.76 t ⋅ m

Con estos valores se obtienen los momentos superior e inferior del nudo de la columna. Este último es el valor en la cabeza de la columna que es el que necesitamos. Al estar el borde inferior articulado el momento en el pie de la columna de Planta Baja es cero. Minf :=

Msup :=

Mcv ⋅ ci ci + cs

−Mcv ⋅ cs ci + cs

Minf = −0.32 t ⋅ m

Msup = 0.44 t ⋅ m

Como se ha indicado el momento de primer orden en la columna en PB es el correspondiente al Minf. Con este valor se está en condiciones de dimensionar la columna a flexión compuesta.

9/14

Verificación al pandeo: También en este caso, al tratarse de un sistema indesplazable se adopta por ser la condición más segura que β=1 y la longitud de pandeo coincide con la altura de la columna. sk := hc11 La esbeltez resulta entonces: hc ⋅ 3.46 λ := d2

λ = 61

Para el caso de columnas de borde no es de aplicación la expresión de λlim. Por lo cual, se compara el valor contra el límite inferior que da la norma que es esbletez igual a 20. λlim := 20 Como λ > λlimi es necesario considerar el efecto del pandeo y como λ < 70, se trata del caso de esbeltez moderada. Como se trata de un sistema indesplazable, el tercio medio de la barra que es donde se determina el pande no queda sobre el nudo sino en el centro de la barra. Por lo cual el momento s obtiene con la siguiente expresión: M1 := 0t ⋅ m

M2 := Minf Minf = −0.32 t ⋅ m

M := Minf − 0.50 ⋅

e :=

M N

M1 M2

M = −0.32 t ⋅ m

(excentricidad de primer orden)

e := 0.96cm rel :=

e d2

rel = 0.05

Para la determinación de la excentricidad adicional por pandeo (f), adoptamos la fórmula correspondiente al caso 0 < e/d > 0.30.

10/14

e d2 ⋅ ( λ − 20) ⋅ 0.1 + d2 f := = 2.56 cm 100 Determinación del Momento de 2° orden

f = 3.12 cm

El momento de segundo orden (aquel que suma al momento de segundo orde el que corresponde al pandeo) se obtiene de la siguiente expresión. MII := N ⋅ ( e + f)

MII := 1.347tm

Dimensionamiento de las armaduras: Con el esfuerzo normal N y el momento de segundo orden MII, se determinan las armaduras con la utilización de los diagramas de interacción. Se trata de diagramas confeccionados para el caso de armaduras simétricas por lo cual se obtiene en realidad la armadura de una sola cara, es decir, media armadura. Los diagramas de interacción están realizados para un cierto tipo de acero, en este caso ADN 420, y para cualquier calidad de hormigón. Sin embargo, existen tres diagramas en función de la relación entre recubrimiento y sección total. r := 3cm

diagrama_d2_d :=

r d2

diagrama_d2_d = 0.15

Se adopta el diagrama correspondiente a d1/d=0.15 n := m :=

N d1 ⋅ d2 ⋅ βr MII 2

d1 ⋅ d2 ⋅ βr

n = 0.49

m = 0.084

Ingresando en el diagrama con m y n se obtienen la cuantía mecánica correspondiente a media armadura (ω01 = ω02) que aparece como una curva de nivel. ω01 := 0.22 Con este valor se obtiene la armadura longitudinal de una cara As01 que es igual a la de su opuesta As02.

11/14

As01 :=

ω01 ⋅ d1 ⋅ d2 βs

2

As01 = 3.52 cm

βr

Como la armadura mínima longitudinal son 2φ12, equivalente a 4.02 cm² en cada cara, se adopta este valor.

Dirección 1 Datos: βr := 140

Hormigón H17

kgf 2

cm Acero ADN 420

βs := 4200

kgf 2

cm hc := 3.50m

d1 := 24cm

altura de la columna

d2 := 20cm

N := 33.02t

En las columnas se deben verificar las dos direcciones, pero como se trata d una columna centrada con iguales dimensiones, el dimensionamiento se red a una única dirección. En este caso se analizará la dirección 1 (perpendicula la L.M.) Verificación al pandeo: En primer lugar, se determina la esbeltez (λ) que consiste en la razón entre longitud de pandeo y el radio de giro de la sección. En este caso, al tratarse de un sistema indesplazable se adopta por ser la condición más segura que β=1 y la longitud de pandeo coincide con la altur de la columna. sk := hc

sk := 3.50m

El radio de giro surge de la división entre el momento de inercia y la superfic de la sección por lo cual para el caso de las secciones rectangulares resulta i = 3.46 d1 De esta forma la esbeltez se obteiene mediante la expresión siguiente

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3.46 ⋅ sk λ := 51 d1 Para el caso de columnas centradas este valor se compara con la siguiente expresión límite en la cual M1 y M2 representan los momentos en la cabeza y pie de la columna. Como se trata de una columna centrada M1 y M2 son iguale a cero: λ :=

M1 = 0 λlim := 45 − 25 ⋅

M2 = 0 M1 M2

λlim = 45

Como λ > λlimi es necesario considerar el efecto del pandeo y como λ < 70, trata del caso de esbeltez moderada. En este caso al no haber momentos tenemos el siguiente caso: M M := 0t ⋅ m e := N e = 0.00 cm

(excentricidad de primer orden)

Para la determinación de la excentricidad adicional por pandeo (f), adoptamo la fórmula correspondiente al caso 0 < e/d > 0.30. d1 ⋅ ( λ − 20) ⋅ 0.1 + f :=

e d1

100

f = 2.35 cm Determinación del Momento de 2° orden El momento de segundo orden (aquel que suma al momento de segundo ord el que corresponde al pandeo) se obtiene de la siguiente expresión. MII := N ⋅ ( e + f)

MII = 9.302 m t ⋅ m

Dimensionamiento de las armaduras: Con el esfuerzo normal N y el momento de segundo orden MII, se determina las armaduras con la utilización de los diagramas de interacción. Se trata de diagramas confeccionados para el caso de armaduras simétricas por lo cual se obtiene en realidad la armadura de una sola cara, es decir, media

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armadura. Los diagramas de interacción están realizados para un cierto tipo de acero, en este caso ADN 420, y para cualquier calidad de hormigón. Sin embargo, existen tres diagramas en función de la relación entre recubrimien y sección total. r := 3cm

diagrama_d1_d :=

r d1

diagrama_d1_d = 0.13

Se adopta el diagrama correspondiente a d1/d=0.15 n :=

N d1 ⋅ d2 ⋅ βr

n = 0.49

MII

m :=

m = 0.048

2

d1 ⋅ d2 ⋅ βr

Ingresando en el diagrama con m y n se obtienen la cuantía mecánica correspondiente a media armadura (ω01 = ω02) que aparece como una curv de nivel. ω01 := 0.18 Con este valor se obtiene la armadura longitudinal de una cara As01 que e igual a la de su opuesta As02. As01 :=

ω01 ⋅ d1 ⋅ d2

2

As01 = 2.88 cm

βs βr

Se cubren con los 2φ16 (4.02 cm²) determinados para la otra cara.

2

Atotal := 4 ⋅ 2.01cm

µ = 0.0167

µ :=

Atotal d1 ⋅ d2

(cuantía geométrica total))

equivalente al 1.67% < 4.5% (cuantía máxima) > 0.8 % (cuantía mínima)

Estribos : Se adoptan estribos φ6 por ser los diámetros de la armadura longitudinal inferiores a φ20 y la separación surge de la siguiente expresión:

14/14

dlong := 16mm

sep := 12 ⋅ dlong sep = 19 cm

Se adopta φ6c/19cm.

A.7

Diagrama

de

eSt 42/50 d,/h·O;05

".

QI .

iriteracciór' ,, , I

...

A.6

Diagrama de

BSt 42150

. . dVh .0,10

-QJ -Ql -Q'

H.

... b·d/·p,

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2