E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

Resumen y ejemplos Tema 6: Integración numérica Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Octubre 2008, Versión 1.5 Contenido 1. Fórmulas de cuadratura 2. Fórmulas de Newton-Cotes 3. Fórmulas compuestas

1

Fórmulas de cuadratura

• Objetivo Aproximar la integral I=

Z

b

f (x) dx

a

usando una combinación lineal de valores de f (x) en puntos del intervalo [a, b]. Puntos del intervalo (nodos) a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b. Aproximación Z

a

b

f (x) dx ' α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ).

La fórmula de cuadratura es F (f ) = α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ). La notación F (f ) indica que los coeficientes αj y los nodos xj son conocidos; es la función f la que actúa como variable en la fórmula. • Error E (f ) = I − F (f ) Z b f (x) dx − [α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn )] . = a

1

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 2

Ejemplo 1.1 Consideramos la integral Z 1 x sin x dx. I= 0

1. Aproxima el valor de I con la fórmula de cuadratura ∙ µ ¶ ¸ a+b b−a F (f ) = f (a) + 4f + f (b) 6 2 [a, b] representa el intervalo de integración [0, 1]. 2. Calcula el valor exacto de la integral y el valor del error.

1. Valor aproximado. Tenemos a = 0,

b = 1,

f (x) = x sin x.

1−0 (0 + 4 · (0.5) sin (0.5) + sin 1) = 0. 30005. 6 2. Valor exacto y error.Calculamos una primitiva de f (x) F (f ) =

Z

x sin x dx = integramos por partes

µ

u=x du = dx dv = sin x dx v = − cos x

Z

0

1

¶ = −x cos x −

= −x cos x +

Z Z

(− cos x) dx cos x dx

= −x cos x + sin x + c

x sin x dx = [−x cos x + sin x]x=1 x=0 = − cos 1 + sin 1 = 0. 30117.

Error.

|E (f )| = |I − F (f )| = |0. 30117 − 0. 30005| = 0.00 112. Vemos que la fórmula de cuadratura ha producido una aproximación de la integral con 2 decimales exactos. ¤ • Grado de precisión Dado un intervalo [a, b], una fórmula de cuadratura F (f ) = α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn )

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 3

tiene grado de precisión g si es exacta para todos los polinomios de grado ≤ g (y no lo és para alguno de grado g +1). Es decir, si p(x) es un polinomio de grado ≤ g, entonces Z b p(x) dx = α0 p(x0 ) + α1 p(x1 ) + · · · + αn p(xn ). a

• Determinación del grado de precisión Puede demostrarse que la fórmula de cuadratura F (f ) tiene grado de precisión g si es exacta para los polinomios p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 , . . . , pg (x) = xg y no lo es para pg+1 (x) = xg+1 . Ejemplo 1.2 Consideramos el intervalo [0, 2]. Determina el grado de precisión de la fórmula de cuadratura F (f ) =

1 [f (0) + 4f (1) + f (2)] 3

Tenemos que verificar la exactitud de F (f ) sobre los monomios p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 , . . . ⎫ Z 2 ⎪ ⎪ 1 dx = [x]20 = 2, ⎪ ⎬ 0 ⇒ F (f ) exacta para p0 (x) = 1. ⎪ ⎪ 6 ⎪ F (1) = 13 (1 + 4 + 1) = = 2. ⎭ 3 ⎫ ∙ 2 ¸2 Z 2 x ⎪ ⎪ ⎬ x dx = = 2, 2 0 0 ⇒ F (f ) exacta para p1 (x) = x. ⎪ ⎪ ⎭ F (x) = 13 (0 + 4 · 1 + 2) = 63 = 2. ⎫ ∙ 3 ¸2 Z 2 ⎪ x 8 ⎪ 2 ⎪ x dx = = , ⎪ ⎬ 3 3 0 0 ⇒ F (f ) exacta para p2 (x) = x2 ⎪ ¡ ¢ ⎪ 8 ⎪ ⎭ F x2 = 13 (0 + 4 · 1 + 4) = . ⎪ 3 ⎫ ∙ 4 ¸2 Z 2 ⎪ x 16 ⎪ 3 ⎪ = 4, x dx = = ⎪ ⎬ 4 4 0 0 ⇒ F (f ) exacta para p3 (x) = x3 . ⎪ ⎪ ¡ ¢ ⎪ 12 ⎭ F x3 = 13 (0 + 4 · 1 + 8) = = 4. ⎪ 3

Resumen y ejemplos Z

∙

2

x5 x4 dx = 5 0

¸2 0

Tema 6: Integración numérica. 4 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

32 = , 5

⇒ F (f )no exacta para p4 (x) = x4 ⎪ ¡ ¢ ⎪ 20 ⎪ ⎭ F x4 = 13 (0 + 4 · 1 + 16) = . ⎪ 3 La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 3, y es exacta para todas las integrales Z 2

p(x) dx

0

con p(x) polinomio de grado ≤ 3. Por ejemplo, tomemos Z

0

p(x) = x3 − x,

¸2 ∙ 4 ¢ x x2 16 4 x3 − x dx = − − = 4 − 2 = 2, = 4 2 0 4 2

2¡

1 6 F (p) = [0 + 4· (1 − 1) + (8 − 2)] = = 2. ¤ | | {z } {z } 3 3 p(1)

2

p(2)

Fórmulas de Newton-Cotes

Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen integrando el polinomio interpolador construido con nodos igualmente espaciados. • Estrategia 1. Dividimos [a, b] en n subintervalos de longitud h=

b−a , n

los puntos de división son de la forma x0 = a, x1 = a + h,

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 5 x2 = a + 2h, .. . xj = a + jh, .. . xn = a + nh = b.

2. Calculamos el polinomio pn (x) que interpola f (x) en los nodos x0 , x1 , x2 , . . . , xn . 3. Tomamos

Z

a

2.1

b

f (x) dx '

Z

b

pn (x) dx.

a

Fórmula del trapecio y de Simpson

• Fórmula del Trapecio Es la fórmula de Newton-Cotes de 2 puntos

Z

b

p1 (x) dx =

a

f (a) + f (b) (b − a) . 2

La fórmula del trapecio es FT (f ) =

b−a [f (a) + f (b)] . 2

Si tomamos h = b − a, obtenemos la siguiente expresión h [f (x0 ) + f (x1 )] , 2 x0 = a, x1 = a + h, h = b − a.

FT (f ) =

• Fórmula de Simpson

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 6

Es la fórmula de Newton-Cotes de 3 puntos h= x0 = a,

b−a , 2

x1 = a + h,

x2 = a + 2h = b.

Puede demostrarse que Z

b

p2 (x) dx =

a

=

∙ µ ¶ ¸ a+b b−a f (a) + 4f + f (b) 6 2 h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] . 3

La fórmula de Simpson es h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] , 3 x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, b−a . h= 2 FS (f ) =

Ejemplo 2.1 Consideramos la integral Z 2 1 dx. I= x 1 1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio. 2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson. 3. Calcula los errores.

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 7

1. Aproximación con la fórmula del trapecio. Tenemos a = 1, 2−1 FT (f ) = 2

b = 2,

f (x) =

1 , x

µ ¶ 1 1 3 3 1+ = · = = 0.75. 2 2 2 4

2. Aproximación con la fórmula de Simpson. Tenemos h=

2−1 = 0.5, 2

x0 = 1, x1 = 1.5, µ 1 0.5 1+4 + FS (f ) = 3 1.5

x2 = 2, ¶ 1 = 0. 69444. 2

3. Valor exacto y errores. Calculamos la integral exacta Z 2 1 dx = [ln x]21 = ln 2 = 0. 69315. x 1 Error para la fórmula del trapecio |ET (f )| = |I − FT (f )| = |0. 69315 − 0.75| = 0.0 5685. Error para la fórmula de Simpson |ES (f )| = |I − FS (f )| = |0. 69315 − 0. 69444| = 0.00 129. Con la fórmula Simpson, hemos obtenido 2 decimales exactos. ¤

2.2

Errores

• Fórmula del trapecio Sea f (x) de clase C 2 [a, b]

x0 = a,

x1 = b,

h = b − a,

se cumple

I=

Z

FT (f )

b

a

z }| { h h3 f (x) dx = [f (x0 ) + f (x1 )] − f (2) (t) , 2 12

t ∈ (a, b) .

Valor absoluto del error |ET (f )| = |I − FT (f )| =

h3 ¯¯ (2) ¯¯ ¯f (t)¯ , 12

t ∈ (a, b) .

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 8

Cota superior de error ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ .

h3 M2 , 12

|ET (f )| ≤

x∈[a,b]

• Fórmula de Simpson Sea f (x) de clase C 4 [a, b] x0 = a,

x1 = a + h,

x2 = b,

h=

b−a , 2

se cumple FS (f )

z }| { b h5 h I= f (x) dx = [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] − f (4) (t) , 3 90 a Z

t ∈ (a, b) .

Valor absoluto del error |ES (f )| = |I − FS (f )| = Cota superior de error |ES (f )| ≤

h5 ¯¯ (4) ¯¯ ¯f (t)¯ , 90

t ∈ (a, b) .

¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ .

h5 M4 , 90

x∈[a,b]

Ejemplo 2.2 Consideramos la integral Z 2 x ln x dx. I= 1

1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio; calcula una cota superior de error. 2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson; calcula una cota superior de error. 3. Calcula el valor exacto de la integral y verifica los resultados.

1. Aproximación trapecio. Tenemos a = 1,

b = 2,

h = 2 − 1 = 1,

f (x) = x ln x,

Valor de la aproximación FT (f ) =

1 (1 ln 1 + 2 ln 2) = ln 2 = 0. 69315. 2

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 9

La cota de error es |ET (f )| ≤

h3 M2 , 12

¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ . x∈[1,2]

Calculamos las derivadas para determinar M2 . f 0 (x) = ln x + 1,

1 . x Observamos que f 00 (x) es positiva si x ∈ [1, 2], la función objetivo en el cálculo de M2 es ¯ ¯ 1 ¯ ¯ g(x) = ¯f (2) (x)¯ = , x −1 g 0 (x) = 2 . x 0 Vemos que g (x) es negativa, por lo tanto g es decreciente en el intervalo y resulta ¯ ¯ ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ = g(1) = 1. f 00 (x) =

x∈[1,2]

Finalmente, obtenemos la cota de error

h3 1 M2 = = 0.083333. 12 12

|ET (f )| ≤

2. Aproximación por Simpson. Tenemos 2−1 = 0.5, 2

h= x0 = 1,

x1 = 1.5,

x2 = 2.

Valor de la aproximación FS (f ) =

0.5 (1 ln 1 + 4 · 1.5 ln (1.5) + 2 ln 2) = 0. 63651. 3

La cota de error es |Es (f )| ≤

h5 M4 , 90

¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ . x∈[1,2]

Calculamos las derivadas para determinar M4 . f 000 (x) = − f (4) (x) =

1 , x2

2 . x3

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 10

Vemos que f (4) (x) es positiva si x ∈ [1, 2], la función objetivo es ¯ ¯ 2 ¯ ¯ g(x) = ¯f (4) (x)¯ = 3 , x

−6 . x4 La derivada g 0 (x) es negativa, por lo tanto g es decreciente y resulta ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ = g(1) = 2. g 0 (x) =

x∈[1,2]

Finalmente, obtenemos la cota de error |ES (f )| ≤

h5 (0.5)5 M4 = 2 = 0.0006 9444. 90 90

Por lo tanto, podemos asegurar que el valor obtenido usando la fórmula de Simpson aproxima el valor de la integral con (al menos) 2 decimales exactos. 3. Valor exacto y errores. Calculamos una primitiva de f (x) Z x ln x dx = integramos por partes Z 2 x2 x 1 dx ⎞ = ln x − ⎛ 1 2 2 x u = ln x du = dx Z ⎟ x2 ⎜ x ⎠ = ln x − 1 x dx ⎝ 2 x 2 2 dv = x dx v = 2 2 x x2 = ln x − + c. 2 4 Z

¸x=2 ¶ µ x2 1 x2 1 ln x − ln 1 − x ln x dx = = (2 ln 2 − 1) − 2 4 x=1 2 4 1 = 2 ln 2 − 1 + 1/4 = 0. 63629. ∙

2

Error trapecio. |ET (f )| = |I − FT (f )| = |0. 63629 − 0. 69315| = 0.0 5686, cota calculada para el error trapecio |ET (f )| ≤ 0.083333. Error Simpson |ES (f )| = |I − FS (f )| = |0. 63629 − 0. 63651| = 0.000 22, cota error Simpson |ES (f )| ≤ 0.0006 94.

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 11

Vemos que, en ambos casos, los errores son inferiores a las cotas calculadas. También observamos que con la fórmula Simpson hemos obtenido 3 decimales exactos. ¤ Importante: recuerda que la distancia entre nodos es • h = b − a para la fórmula del trapecio, b−a para la fórmula de Simpson. •h= 2

3

Fórmulas compuestas

Las fórmulas compuestas permiten obtener mejores aproximaciones dividiendo el intervalo de integración en varios tramos y aplicando una fórmula simple a cada uno de los tramos.

3.1

Trapecio compuesto

• Estrategia 1. Dividimos el intervalo [a, b] en n tramos de longitud b−a , n

h= obtenemos n + 1 puntos

x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn = a + nh = b, los n tramos son A1 = [x0 , x1 ], A2 = [x1 , x2 ] , . . . , Aj = [xj−1 , xj ] , . . . , An = [xn−1 , xn ] . 2. Aplicamos la fórmula del trapecio a cada tramo A1 = [x0 , x1 ]

Aj = [xj−1 , xj ]

⇒ ⇒

An = [xn−1 , xn ]

(1)

=

(j)

=

(n)

=

FT .. .

FT .. .

⇒

FT

h [f (x0 ) + f (x1 )] , 2 .. . h [f (xj−1 ) + f (xj )] , 2 .. . h [f (xn−1 ) + f (xn )] . 2

3. Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones sobre los tramos (n)

(1)

(2)

(j)

(n)

FT C = FT + FT + · · · + FT + · · · + FT .

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 12

• Fórmula de trapecio compuesto con n tramos. (n)

FT C = h=

h [f (x0 ) + 2f (x1 ) + · · · + 2f (xj ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn )] , 2

b−a . n

Si agrupamos términos, obtenemos n−1

(n) FT C

X h = [f (x0 ) + f (xn )] + h f (xj ) , 2 j=1

h=

b−a . n

• Cota de error

Si f (x) es de clase C 2 [a, b], se cumple

donde

¯ ¯ ¯Z ¯ (n) ¯ ¯¯ ¯ET C ¯ = ¯

b a

¯

(n) ¯ f (x)dx − FT C ¯¯

≤

b−a 2 h M2 , 12

h=

b−a n

¯ ¯ ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ . x∈[a,b]

• Demostración de la cota de error

Tenemos Z b Z x1 Z x2 Z xn f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + · · · + f (x) dx x0 x1 xn−1 a Z Z Z = f (x) dx + f (x) dx + · · · + f (x) dx A1

A2

= I1 + I2 + · · · + In .

An

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 13

La fórmula de trapecio compuesto se obtiene sumando el valor del trapecio simple en cada uno de los tramos, es decir (n)

(1)

(2)

(n)

FT C = FT + FT + · · · + FT , (j)

donde FT es el valor de la fórmula simple del trapecio sobre el tramo Aj = [xj−1 , xj ] . Entonces ¯Z b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n) ¯ (n) ¯¯ ¯ f (x) dx − FT C ¯ ¯ET C ¯ = ¯ a ¯ ´¯ ³ ¯ (1) (2) (n) ¯ = ¯(I1 + I2 + · · · + In ) − FT + FT + · · · + FT ¯ ¯³ ´ ³ ´ ³ ´¯ ¯ (1) (2) (n) ¯ + I2 − FT + · · · + In − FT ¯ = ¯ I1 − FT ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1) ¯ (2) ¯ (n) ¯ ≤ ¯I1 − FT ¯ + ¯I2 − FT ¯ + · · · + ¯In − FT ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1) ¯ ¯ (2) ¯ ¯ (n) ¯ ≤ ¯ET ¯ + ¯ET ¯ + · · · + ¯ET ¯

¯ ¯ ¯ (j) ¯ donde ¯ET ¯ representa el error del trapecio simple en el tramo Aj . Sabemos que se cumple ¯ ¯ ¯ (j) ¯ h3 (j) ¯ET ¯ ≤ M2 , 12

entonces

¯ ¯ ¯ ¯ (j) M2 = max ¯f (2) (x)¯ , x∈Aj

¯ ¯ h3 (n) ¯ (n) ¯ h3 (1) h3 (2) ¯ET C ¯ ≤ M2 + M2 + · · · + M2 . 12 12 12 ¯ ¯ ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ ,

Si tomamos

x∈[a,b]

se cumple para todos los tramos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (j) M2 = max ¯f (2) (x)¯ ≤ max ¯f (2) (x)¯ = M2 , x∈Aj

x∈[a,b]

por lo tanto

¯ ¯ ¯ (n) ¯ ¯ET C ¯ ≤

≤

h3 h3 h3 h3 b − a h2 M2 + M2 + · · · + M2 = n M2 = n M2 12 12 12 12 n 12 b−a 2 h M2 . ¤ 12

Ejemplo 3.1 Calcula el valor de la integral Z 2 x ln x dx 1

con 2 decimales exactos usando la fórmula del trapecio compuesto.

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 14

1. Cálculo del número de tramos. Tenemos a = 1, b = 2, f (x) = x ln x, la cota de error es ¯ ¯ ¯ (n) ¯ b − a 2 E h M2 , ¯ TC¯ ≤ 12

donde

h=

b−a , n

¯ ¯ ¯ ¯ (2) M2 = max ¯f (x)¯ . x∈[a,b]

En el Ejemplo 2.2 hemos obtenido el valor de la cota de la derivada ¯ ¯ ¯ ¯ (2) M2 = max ¯f (x)¯ = 1, x∈[1,2]

entonces la cota de error toma la forma ¯ ¯ 1 ¯ (n) ¯ ¯ET C ¯ ≤ h2 . 12

Exigimos

1 2 h ≤ 0.5 × 10−2 12

y determinamos h

¡ ¢ h2 ≤ 12 · 0.5 × 10−2 = 0.0 6, √ h ≤ 0.0 6 = 0. 24495.

Finalmente, como h=

2−1 1 = , n n

resulta

1 1 ≤ 0. 24495 ⇒ n ≥ = 4. 0825. n 0. 24495 Es decir, para garantizar 2 decimales exactos en la aproximación, necesitamos n = 5 tramos. 2. Valor de la aproximación. Con n = 5, resulta h=

1 = 0.2, 5

los nodos son x0 = 1, x1 = 1.2, x2 = 1.4, x3 = 1.6, x4 = 1.8, x5 = 2.

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 15

La fórmula del trapecio con 5 tramos es 4

(5)

FT C =

X h [f (x0 ) + f (x5 )] + h f (xj ) , 2 j=1

en concreto (5)

FT C

0.2 (1 ln 1 + 2 ln 2) + (0.2) (1.2 ln 1.2 + 1.4 ln 1.4 + 1.6 ln 1.6 + 1.8 ln 1.8) 2 = 0. 13863 + 0. 49997 = 0. 63860. =

3. Error exacto. El valor de la integral es Z 2 I= x ln x dx = 0. 63629, 1

de donde resulta el error ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (5) ¯ ¯ (5) ¯ ¯ET C ¯ = ¯I − FT C ¯ = |0. 63629 − 0. 63860| = 0.00 231.

Vemos que, efectivamente, la fórmula de trapecio compuesta con 5 tramos aproxima el valor de la integral con 2 decimales exactos. ¤

3.2

Fórmula de Simpson compuesto

• Estrategia La idea es dividir el intervalo [a, b] en m tramos de igual longitud A1 , A2 , . . . , Am y aplicar la regla simple de Simpson a cada tramo. Para centrar ideas, expondremos el caso m = 3. 1. Para aplicar la regla de Simpson, debemos tomar el punto medio de cada tramo. Por lo tanto, tendremos una distancia entre nodos h=

b−a . 2m

Los nodos son x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn = a + 2mh = b. Si m = 3, la distancia entre nodos será h= y tendremos 2m + 1 = 7 nodos

b−a 6

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 16

en este caso, los tramos son A1 = [x0 , x2 ],

punto medio x1,

A2 = [x2 , x4 ],

punto medio x3 ,

A3 = [x4 , x6 ],

punto medio x5 .

2. Aplicamos la fórmula de Simpson simple a cada tramo (1)

=

h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] , 3

(2)

=

h [f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 )] , 3

(3)

=

h [f (x4 ) + 4f (x5 ) + f (x6 )] . 3

A1 = [x0 , x2 ]

⇒

FS

A2 = [x2 , x4 ]

⇒

FS

A3 = [x4 , x6 ],

⇒

FS

3. Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones sobre los tramos (m)

(1)

(2)

(m)

FSC = FS + FS + · · · + FS , en el caso m = 3 (3)

FSC =

h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + 4f (x5 ) + f (x6 )] 3

La fórmula puede reorganizarse como sigue: (3)

FSC =

h {f (x0 ) + f (x6 ) +2 [f (x2 ) + f (x4 )] +4 [f (x1 ) + f (x3 ) + f (x5 )]} | | {z } {z } {z } 3 | nodos extremos

nodos pares interiores

nodos impares

• Fórmula de Simpson compuesto La expresión general para la fórmula de Simpson compuesta con m tramos es ⎡ ⎤ m−1 m X X h b−a (m) . FSC = ⎣f (x0 ) + f (x2m ) + 2 f (x2j ) + 4 f (x2j−1 )⎦ , h = 3 2m j=1

j=1

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 17

• Cota de error Si f (x) es de clase C 4 [a, b], se cumple ¯ ¯ ¯ ¯Z b b−a 4 ¯ (m) ¯ ¯¯ (m) ¯¯ h M4 , f (x)dx − FSC ¯ ≤ ¯ESC ¯ = ¯ 180 a ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ .

h=

b−a . 2m

x∈[a,b]

• Demostración de la cota de error Tenemos Z b Z Z Z f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + · · · + A1

a

A2

f (x) dx

Am

= I1 + I2 + · · · + Im .

La fórmula de Simpson compuesta de m tramos es (m)

(1)

(2)

(m)

FSC = FS + FS + · · · + FS (j)

donde FS es el valor de la fórmula simple de Simpson sobre el tramo Aj = [x2j−2 , x2j ] . Entonces, el error global no supera la suma de los errores en los tramos, en efecto ¯Z b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (m) ¯ (m) ¯¯ ¯ f (x) dx − FSC ¯ ¯ESC ¯ = ¯ ¯ a ´¯ ³ ¯ (1) (2) (m) ¯ = ¯(I1 + I2 + · · · + Im ) − FS + FS + · · · + FS ¯ ¯³ ´ ³ ´ ³ ´¯ ¯ (1) (2) (m) ¯ = ¯ I1 − FS + I2 − FS + · · · + Im − FS ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1) ¯ (2) ¯ (m) ¯ ≤ ¯I1 − FS ¯ + ¯I2 − FS ¯ + · · · + ¯Im − FS ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (m) ¯ ¯ (1) ¯ ¯ (2) ¯ ≤ ¯ES ¯ + ¯ES ¯ + · · · + ¯ES ¯ , ¯ ¯ ¯ (j) ¯ donde ¯ES ¯ representa el error de Simpson simple en el tramo Aj . Para cada tramo, sabemos que se cumple ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (j) ¯ h5 (j) ¯ ¯ (j) ¯ES ¯ ≤ M4 , M4 = max ¯f (4) (x)¯ , x∈Aj 90 entonces

¯ ¯ h5 (m) ¯ (m) ¯ h5 (1) h5 (2) ¯ESC ¯ ≤ M4 + M4 + · · · + M4 . 90 90 90 ¯ ¯ (4) ¯ ¯ Obviamente, el valor máximo de f (x) sobre cualquiera de los tramos (j)

M4 no puede superar al valor máximo sobre el intervalo completo [a, b]; es decir, si tomamos ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ , x∈[a,b]

Resumen y ejemplos

Tema 6: Integración numérica. 18

se cumple para todos los tramos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (j) M4 = max ¯f (4) (x)¯ ≤ max ¯f (4) (x)¯ = M4 . x∈Aj

x∈[a,b]

por lo tanto

¯ ¯ ¯ (m) ¯ ¯ESC ¯ ≤

h5 (1) h5 (2) h5 (m) M4 + M4 + · · · + M4 90 90 90 5 5 5 h h h M4 + M4 + · · · + M4 ≤ 90 90 90 5 4 h h b − a h4 M4 ≤ m M4 = mh M4 = m 90 90 2m 90 b−a 4 h M4 . ¤ ≤ 180

Ejemplo 3.2 Calcula el valor de la integral Z 2 x ln x dx 1

con 4 decimales exactos usando la fórmula de Simpson compuesto.

1. Cálculo del número de intervalos. Tenemos a = 1, b = 2, f (x) = x ln x, la cota de error para la fórmula de Simpson con m tramos es ¯ ¯ b−a ¯ (m) ¯ b − a 4 h M4 , h = , ¯ESC ¯ ≤ 180 2m ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ . x∈[a,b]

Hemos visto en el Ejemplo 2.2 que

¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ = 2, x∈[1,2]

entonces resulta la cota de error. ¯ ¯ 1 4 ¯ (m) ¯ h · 2. ¯ESC ¯ ≤ 180 Exigimos

1 4 h · 2 ≤ 0.5 × 10−4 180

Resumen y ejemplos y determinamos h

Tema 6: Integración numérica. 19

¡ ¢ 180 · 0.5 × 10−4 = 0.00 45, h ≤ 2 √ 4 h ≤ 0.0 045 = 0. 259. 4

Finalmente, como

h=

1 2−1 = , 2m 2m

resulta

1 1 ≤ 0. 259 ⇒ m ≥ = 1. 9305. 2m 2 · 0. 259 Necesitamos tomar m = 2. Se trata de Simpson doble. Observa que, como cada Simpson simple contiene dos subintervalos, el número de subintervalos es 2m = 4. 2. Valor de la aproximación. Con m = 2, la distancia entre nodos es 1 h = = 0.25, 4 nodos x0 = 1, x1 = 1.25, x2 = 1.5, x3 = 1.75, x4 = 2. La fórmula compuesta de Simpson con 2 tramos tiene la siguiente forma ⎡ ⎤ 1 2 X X h (2) ⎣f (x0 ) + f (x4 ) + 2 FSC = f (x2j ) + 4 f (x2j−1 )⎦ 3 j=1

j=1

h {f (x0 ) + f (x4 ) + 2f (x2 ) + 4 [f (x1 ) + f (x3 )]} . 3 Sustituyendo, obtenemos el valor de la aproximación 0.25 (2) FSC = [(1 ln 1 + 2 ln 2) + 2 (1.5 ln 1.5) + 4 (1.25 ln 1.25 + 1.75 ln 1.75)] 3 0.25 = 7. 635718 = 0. 6363098. 3 3. Error exacto. Podemos tomar como valor exacto de la integral Z 2 I= x ln x dx = 0. 63629 44, =

1

el error es ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (2) ¯ ¯ (2) ¯ ¯ESC ¯ = ¯I − FSC ¯ = |0. 63629 44 − 0. 63630 98| = 0.154 × 10−4 . ¤ Importante: recuerda que la distancia entre nodos es b−a para la fórmula compuesta del trapecio con n tramos, •h= n b−a para la fórmula compuesta de Simpson con m tramos. •h= 2m