PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA

EVALUACIÓN DE MÉTODOS DE ANÁLISIS INELÁSTICO EN SAP PARA ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO

EDUARDO JOSÉ MEDINA MONCAYO

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería

Profesor Supervisor: RAFAEL RIDDELL C.

Santiago de Chile, (Agosto, 2010) © 2010, Eduardo José Medina Moncayo

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA

EVALUACIÓN DE MÉTODOS DE ANÁLISIS INELÁSTICO EN SAP PARA ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO

EDUARDO JOSÉ MEDINA MONCAYO

Tesis presentada a la Comisión integrada por los profesores: RAFAEL RIDDELL C. JORGE VÁSQUEZ P. RODRIGO MUJICA V. MARIO DURAN T.

Para completar las exigencias del grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería

Santiago de Chile, (Agosto, 2010)

A mi Madre, hermana, mi novia linda y amigos, que me apoyaron mucho.

ii

AGRADECIMIENTOS Agradezco a todos aquellos que de una forma u otra ayudaron y apoyaron la realización de esta investigación. Al profesor Rafael Riddell que con su continuo apoyo y consejos oportunos lograron el fin término de este trabajo.

iii

ÍNDICE GENERAL Pág DEDICATORIA ...................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................... iii ÍNDICE DE TABLAS ............................................................................................. vi ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................ vii RESUMEN ............................................................................................................... viii ABSTRACT ............................................................................................................. ix 1.

INTRODUCCIÓN ………………………………………………………

1

1.1 General………………………………………………………………

1

1.2 Investigación Bibliográfica …………………………………………

5

1.2.1 Curvas esfuerzo deformación materiales usados en SAP2000 … 5

2.

1.2.2 Parámetros no lineales usados en SAP2000 ……………………

21

1.2.3 Observaciones del modelamiento del hormigón armado ………

32

1.3 Contenido del estudio ……………………………………………….

57

IMPLEMENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MARCO DE CONCRETO REFORZADO

EXPERIMENTALMENTE

ANALIZADO

BAJO

DESPLAZAMIENTOS CONTROLADOS POR SOZEN Y GULKAN 1971 ……………………………………….

59

2.1 Evaluación del modelo matemático usando metodologías tradicionales en SAP2000 V.11. ……………………………………….

61

2.1.1 Evaluación del modelo matemático usando “Hinges” como elementos inelásticos ……………………………………………….

61

2.1.2 Evaluación del modelo matemático usando “Links como elementos inelásticos ………………………………………………. 2.1.3 Evaluación del modelo matemático usando el método del iv

84

Puntal-Tensor (Modelo S3) …………………………………………..

88

2.1.4 Propuesta modelo híbrido Puntal-Tensor …………………….

95

2.2 Análisis de los problemas encontrados en la implementación del

3.

modelo del marco Sozen y Gulkan. …………………………………..

98

VIGA EN VOLADIZO DE BERTERO, POPOV Y WANG (1974) ….

100

3.1 Evaluación del modelo matemático usando metodologías tradicionales en SAP2000 V.11 ……………………………………….

100

3.2 Evaluación del modelo matemático usando el método del PuntalTensor (Modelo S3) ……………………………………………………

104

3.3 Propuesta modelo híbrido Puntal-Tensor ………………………….

107

3.4 Análisis de los problemas encontrados en la implementación de la Viga de Popov ………………………………………………………….

4.

109

ESTUDIO EN SIMULADOR SÍSMICO DE UN MARCO DE HORMIGÓN ARMADO, P. HIDALGO Y R. W. CLOUGH 1974 ………………………………………………………………………….

110

4.1 Evaluación del modelo matemático usando metodologías tradicionales en SAP2000 V.11 ……………………………………….

114

4.2 Evaluación del modelo matemático usando el método del PuntalTensor …………………………………………………………………

116

4.3 Propuesta modelo Híbrido Puntal-Tensor ……………………….

120

4.4 Análisis de los problemas encontrados en la implementación del Pórtico de Hidalgo-Clough ……………………………………………

123

CONCLUSIONES ………………………………………………………………… 124

BIBLIOGRAFIA ………………………………………………………………

v

127

A N E X O S …………………………………………………………………...

132

Anexo A : Procedimiento matemático de SAP ante input de desplazamiento…... 132 Anexo B: (Marco Sozen-Gulkan) respuesta cíclica; Modelo matemático usando “Hinges” como elemento inelástico …………………………………………….

vi

133

ÍNDICE DE TABLAS Pág. Tabla 1-1 Resultados comparativos del comportamiento inelástico de Links en SAP2000…………………………………………………………………………… 31 Tabla 1-2 Resistencia efectiva de elementos “Strut” de hormigones aplicadas en regiones D de sistemas de nudos. ……………………….………………………… 57

vii

ÍNDICE DE FIGURAS Pág. Fig. 1-1 Curvas de esfuerzo deformación para el acero de refuerzo ……………

6

Fig. 1-2 Regiones en la curva de esfuerzo deform acero de refuerzo …………..

7

Fig. 1-3 Curva esfuerzo deform modelo simple hormigón armado ….……..

10

Fig. 1-4 Curva del modelo no confiando de Mander ……………………………. 14 Fig. 1-5 Curva esfuerzo deform para el modelo confinado de Mander…………

15

Fig. 1-6 Curva de esfuerzo deform para el modelo confinado y no confinado de mander ………………………………………………………………………………….

20

Fig. 1-7 Curva A-B-C-D-E-F de fuerza desplazamiento la misma curva es usada para el caso de momento rotación ………………………………………………………

24

Fig. 1-8 Representación de la definición de los links en SAP2000 …………….

26

Fig. 1-9 Características del Link no lineal ………………………………………

28

Fig. 1-10 Ejemplo y características del modelo inelástico ……………………..

29

Fig. 1-11 Comportamiento histerético de los links plásticos ……………………

29

Fig. 1-12 Comportamiento histerético Links (2) ………………………………..

30

Fig. 1-13 Comportamiento histerético Links (3) ………………………………..

31

Fig. 1-14 Respuesta del modelo inelástico implementado ………………………

32

Fig. 1-15 Tipos de Degradación definidas por el FEMA 440 …………………..

36

Fig. 1-16 Modelo elastoplástico de no degradación ……………………………

38

Fig. 1-17 Modelo de endurecimiento de resistencia sin degradación ………….

40

Fig. 1-18 Modelos de histéresis ………………………………………………..

42

Fig. 1-19 Modelo de Pinching ………………………………………………….

43

viii

Fig. 1-20 Modelos combinados de degradación de rigidez y degradación cíclica de resistencia (a) degradación moderada de rigidez y degradación cíclica de resistencia y (b) degradación severa de rigidez y degradación de resistencia cíclica. (Ruiz-Garcia and Miranda, 2005) ……………………………………………….........................

45

Fig. 1-21 Comportamiento histerético para modelos sujetos al protocolo de carga 1 con (a) degradación de resistencia cíclica, (b) degradación en cada ciclo ………

47

Fig. 1-22 Protocolo de carga 1 usado para ilustrar los efectos de degradación de resistencia cíclica y en cada ciclo …………………………………………….

47

Fig. 1-23 Protocolo de carga para ilustración de diferencias en degradación de resistencia y degradación de resistencia en cada ciclo …………………………………….

48

Fig. 1-24 Resultados historia de carga, ejemplo ………………………………

48

Fig. 1-25 Descripción del modelo puntal-tensor ………………………………

49

Fig. 1-26 Propiedades de esfuerzo deformación puntal-tensor. ………………

51

Fig. 1-27 Propiedades del modelo puntal-tensor de esfuerzo deformación …..

52

Fig. 1-28 Modelos STM de viga en voladizo (Modelo de N.H.T. To J. M. Ingham y B.J. Davidson ………………………………………………………………………

55

Fig 2.1 Esquema representativo del marco ……………………………………

59

Fig 2.2 Historia de desplazamientos controlados ……………………………..

60

Fig. 2.3 Elección de rotulas plásticas en SAP2000 ……………………………

63

Fig. 2.4 Figura No. 2.4 Definición rotulas pláticas de columnas ……………..

64

Fig. 2.5 Definición rotulas pláticas vigas SAP2000 …………………………..

66

Fig. 2.6 Definición secciones transversales SAP2000 ………………………..

68

Fig. 2.7 Definición sección de la Vigas SAP2000 ……………………………

69

Fig. 2.8 Definición de historia de Carga en SAP2000 ………………………..

70

ix

Fig. 2.9 Esquema Ubicación de rotulas plásticas …………………………….

71

Fig. 2.10 Respuesta total del modelo de rotulas plásticas …………………….

72

Fig. 2.11 Primer Ciclo de desplazamiento controlado ……………………….

73

Fig. 2.12 Corte basal para el primer ciclo ……………………………………

73

Fig. 2.13 Corte basal vs desplazamiento para el primer ciclo ……………….

74

Fig. 2.14 Comparación respuesta elástica e inelástica para el primer ciclo ….

75

Fig. 2.15 Push over Marco Sozen y Gulcan ………………………………….

76

Fig. 2.16 Comparación corte basal vs desplaz. con Takeda y Kinematic ……

77

Fig. 2.17 Comparación pushover con Takeda y Kinematic para rótulas plásticas

77

Fig. 2.18 Momento curvatura en la viga ………………………………………..

78

Fig. 2.19 Momento curvatura de la columna …………………………………..

79

Fig. 2.20 Comparación momento curvatura de la viga confinado y no confinado

79

Fig. 2.21 comparación momento curvatura columna confinada y no confinadas . 80 Fig. 2.22 Comparación V vs D para Takeda confinado y no confinado ………...

81

Fig. 2.23 Gráfica comparativa de historia de desplazamientos e historia de fuerzas 83 Fig. 2.24 Modelo en SAP2000 usando Links inelásticos ……………………….

84

Fig. 2.25 Loops experimentales vs modelo de links …………………………….

86

Fig. 2.26 Representación de áreas equivalentes elementos longitudinales ……..

89

Fig. 2.27 Representación de áreas equivalentes elementos transversales ………

90

Fig. 2.28 Representación de áreas equivalentes elementos diagonales …………

91

Fig. 2.29 Configuración del modelo puntal tensor del marcos …………………

93

Fig. 2.30 Loops experimentales vs modelo de puntal tensor …………………..

94

Fig. 2.31 Loop ciclo experimental vs ciclo modelo puntal tensor ……………..

95

x

Fig. 2.32 Modelo híbrido Marco Sozen ……………………………………….

96

Fig. 2.33 Resultados para el modelo híbrido puntal-tensor …………………..

97

Fig. 3.1 Esquema viga 33 …………………………………………………….

101

Fig. 3.2 Historia de desplazamiento Viga 33 ………………………………..

102

Fig. 3.3 Esquema respuesta para el modelo SAP usando Hinges …………….

103

Fig. 3.4 Esquema viga modelo puntal tensor ………………………………….

105

Fig. 3.5 Esquema respuesta para el modelo Puntal-Tensor …………………..

106

Fig. 3.6 Modelo híbrido para el caso de la viga Popov ………………………

108

Fig. 3.7 Respuesta modelo híbrido viga de Popov …………………………..

109

Fig. 4.1 Sismo TAFT, N69W Comp, July 1953 ……………………………..

111

Fig. 4.2 Esquema del montaje experimental ………………………………….

113

Fig. 4.3 Modelo SAP de la estructura …………………………………………

114

Fig. 4.4 Respuesta desplazamiento de Cubierta vs Tiempo …………………..

115

Fig. 4.5 Respuesta desplazamiento de Entrepiso vs Tiempo ………………….

116

Fig. 4.6 Esquema pórtico modelo puntal tensor ……………………………….

118

Fig. 4.7 Respuesta desplazamiento de Cubierta vs Tiempo ……………………

119

Fig. 4.8 Respuesta desplazamiento de Entrepiso vs Tiempo …………………..

119

Fig. 4.9 Modelo híbrido puntal-tensor ………………………………………….

121

Fig. 4.10 Respuesta desplaz de Cubierta vs Tiempo mod híbrido ……………..

122

Fig. 4.11 Respuesta desplazamiento de Entrepiso vs Tiempo ………………….

122

xi

RESUMEN El objetivo principal de este trabajo es analizar y comparar el comportamiento de estructuras típicas de hormigón armado bajo historias de carga, desplazamientos y sismos con diferentes metodologías de modelamiento matemático. Para lograr este objetivo se decidió escoger el programa comercial SAP 2000, ya que es el software más usado entre los ingenieros estructurales. Dentro del mismo se escogieron diferentes elementos inelásticos para el modelamiento, como por ejemplo links, hinges y por último se implementó el concepto de modelamiento a través de metodología de puntal-tensor. Es importante aclarar que todos los modelos implementados en este trabajo corresponden a estudios realizados en laboratorios de diferentes partes de los Estados Unidos y cuentan con resultados experimentales de importante uso para la comparación. Entre los modelos implementados, está el pórtico de Sozen, la viga de Popov y Bertero y el pórtico de 2 pisos realizado por Clough e Hidalgo. Los dos primeros fueron ensayados con historia de desplazamiento, y el último bajo diferentes tipos de sismos ocurridos en Norteamérica.

xii

ABSTRACT The main objective of this study is to analyze and compare the behavior of reinforced concrete structures under typical load histories, movements and earthquakes with different methods of mathematical modeling. To achieve this objective it was decided to choose the commercial program SAP 2000, as it is the most widely used software among structural engineers. Within the same inelastic different elements were chosen for modeling, such as links, hinges and finally implemented the concept of modeling methodology through prop-tensor. It is important to clarify that all the models implemented in this paper are studies in laboratories in different parts of the United States and experimental results have important use for comparison. Among the models implemented, is the gateway to Sozen, the beam of Popov and Bertero and two-story portico by Clough and Hidalgo. The first two were tested with a history of displacement, and the last under different types of earthquakes occurred in North America.

xiii

1

1.

INTRODUCCIÓN 1.1

General

La filosofía de diseño sismo resistente actual que se usa en Norteamérica y Sudamérica tiene como objetivo fundamental prevenir el colapso de las estructuras para un sismo severo y asegurar que no haya ningún tipo de daño para un sismo frecuente. Sin embargo el estado del arte actual no puede garantizar el punto exacto de comportamiento de los edificios, en otras palabras no está lo suficientemente desarrollado como para explicar la capacidad real de las estructuras. Los códigos modernos usan diferentes metodologías de análisis sísmico, como por ejemplo: (1) Métodos estáticos lineales (LSP), (2) Métodos dinámicos lineales (LDP), (3) Métodos estáticos no-lineales (NSP), (4) Método dinámico no-lineal (DNP). Su nivel de precisión relativa se incrementa del (1) al (4). Sin embargo la capacidad del software para realizar cada uno de estos métodos también se aumenta. Adicionalmente la complejidad de los métodos lleva consigo una serie de simplificaciones y suposiciones que dificultan la completa compresión de los mismos. En primera instancia los métodos de análisis estáticos lineales (LSP) se basan principalmente en aplicar una fuerza lateral equivalente para obtener los desplazamientos y las fuerzas de diseño. Dentro del mismo se asumen dos hipótesis importantes; la primera es que el método implica que las acciones equivalentes de diseño son capaces de representar la acción símica, lógicamente esto es una

2

simplificación que debe cumplir con los requerimientos para algunas edificaciones de acuerdo con la norma de diseño. Por otro lado el método implica que se puede obtener una medida adecuada de la estructura usando un modelo elástico lineal. La pregunta que surge con estas dos importantes hipótesis es como lograr verificar la estructura ante el colapso o como diseñar los elementos para lograr que se deformen de acuerdo a su esperada ductilidad. Otro de los métodos más usados actualmente es el método de análisis dinámico lineal (LDP), esta metodología usa el mismo modelo lineal elástico que el LSP. Cabe destacar que tampoco tiene en cuenta los efectos reales del comportamiento no lineal. Para saber la demanda a la cual someteremos la estructura en este método, se puede usar el espectro de diseño sísmico que imponga la norma para el caso del método de análisis modal espectral o varios registros en el caso del método de historia de respuesta. En el método de análisis estático no lineal (NSP) las cargas estáticas laterales equivalentes son aplicadas incrementalmente al modelo matemático de la estructura, hasta que se sobrepasa una deformación esperada. Las deformaciones y las fuerzas internas son monitoreadas continuamente. Es un procedimiento paralelo al LSP, pero con dos diferencias importantes; primero, en el NSP, el comportamiento no lineal entre la carga y la deformación de cada elemento individual, se debe modelar directamente en el modelo matemático. Y en segunda instancia, en el NSP los efectos sísmicos son definidos en términos de una deformación esperada más que en una seudo carga lateral. Por tal motivo este

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método define capacidades diferentes de comportamiento. Por último y no menos importante esta metodología requiere mayor capacidad computacional que los anteriores pero posee una mejor aproximación del comportamiento de las estructura ante sismos, sin embargo, el método NSP se queda corto en los cambios no lineales dinámicos de respuesta de la estructura causado por la degradación cíclica y la distribución de resistencia. Por este motivo tiene deficiencias en la determinación de fuerzas locales y demandas de deformaciones plásticas, particularmente cuando los modos superiores tienen gran importancia en la influencia de la estructura. El método de análisis dinámico no lineal (NDP), se basa en la solución de la ecuación dinámica de movimiento a partir de varias excitaciones sísmicas, así mismo considera la no linealidad de los materiales que componen los elementos, se debe tener en cuenta que todas las masas del edificio deben ser definidas y ubicadas de tal forma que capturen adecuadamente los efectos inerciales verticales y horizontales. A lo largo del tiempo, investigadores de todo el mundo han realizado ensayos experimentales de elementos de hormigón armado, con el fin de comparar su comportamiento real con respecto a las distintas metodologías antes expuestas, entre ellos se encuentran; el marco de concreto reforzado de Sozen y Gulkan 1971, siendo este un modelo a escala reducida que fue ensayado en la Universidad de Illinois sujeto a desplazamiento cíclico controlado y cuya respuesta ha sido ampliamente usada en casos semejantes obteniendo buenos resultados, por otro lado viga en volado de Bertero, Popov y Wang 1974, ensayada en la Universidad

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de California en Berkeley para investigar el efecto de grandes fuerzas de corte en la resistencia, rigidez y capacidad de absorción de energía de hormigón armado y por último, el pórtico realizado por Clough e Hidalgo, siendo este un estudio de investigación de escala reducida, donde se estudia el comportamiento dinámico de una estructura de dos pisos. Un alto porcentaje de los mismos han demostrado inexactitudes entre los métodos analíticos y experimentales, lo que ha llevado a varios métodos alternativos de análisis como por ejemplo el método analítico no lineal del puntal-tensor. El método de puntal-tensor (STM) es la representación discreta de un campo de esfuerzos desarrollada en estructuras de hormigón armado sometidas a acciones externas. El puntal y el tensor son elementos uniaxiales que determinan los campos de esfuerzos de compresión y tensión respectivamente. Ahora bien, los puntos de conexión de los puntales y tensores corresponden a zonas nodales de esfuerzos biaxiales o triaxiales, donde se lleva a cabo un cambio de dirección de las fuerzas internas. El procedimiento convencional de diseño de estructuras de hormigón armado puede dividirse en tres estados: (a) Seleccionar las dimensiones del elemento, (b) Determinación de la cantidad, posición y detallamiento del refuerzo, de acuerdo a criterios de resistencia última. (c) Satisfacción de las deformaciones bajo las cargas de servicio. Tradicionalmente, el STM se ha utilizado sólo para el segundo estado del diseño, sin embargo en este trabajo se usará como metodología de análisis

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último prediciendo de buena forma la relación no lineal de fuerza deformación del elemento. El objetivo fundamental de este trabajo es utilizar metodologías convencionales de análisis aplicadas a casos experimentales e investigaciones realizadas en años anteriores para compararlas contra los resultados de aplicar el método de puntaltensor. 1.2

Investigación bibliográfica

1.2.1 Curvas esfuerzo deformación materiales usados en SAP2000

Todos los tipos de materiales tienen curvas de esfuerzo deformación representativa y que son definidas a partir de una serie de parámetros característicos. El hormigón y el acero de refuerzo en SAP2000 tienen definidos la posibilidad de especificar dichos parámetros de acuerdo a una serie de modelos, como por ejemplo, el modelo simple y el modelo de Mander y para el acero de refuerzo el modelo simple y el modelo de Park. Las curvas con las que cuenta SAP2000 se aplican a todos los materiales y están definidas por una serie de puntos de esfuerzo deformación (ε,f). El primero de estos puntos debe ser (0,0). El SAP2000 tiene la característica que las curvas introducidas por el usuario pueden ser las estándares o normalizadas. Las curvas normalizadas son graficadas f/fy versus ε/εy, Donde εy=fy/E, estas expresiones se pueden ver con mayor claridad en las gráficas de la figura No. 1. El programa

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almacena las curvas de esfuerzo deformación del usuario como curvas normalizadas. De esta manera, si el valor de E o fy del material, cambian, la curva de esfuerzo deformación del material automáticamente cambia.

Figura 1-1 Curvas de esfuerzo deformación para el acero de refuerzo ε: Deformación del refuerzo. f: Esfuerzo del refuerzo E: Modulo de elasticidad fy: Esfuerzo de fluencia para el refuerzo fu: Capacidad última del esfuerzo del refuerzo. εsh: Deformación en el refuerzo al principio de la zona de endurecimiento. εu: Deformación última del refuerzo.

7

Parámetros de la curva esfuerzo deformación del acero de refuerzo: Hay dos tipos de modelos para ser usados en el SAP2000 y ellos son; el modelo simple y el modelo de Park. Los dos son idénticos, excepto en la región de endurecimiento donde el modelo simple usa una curva parabólica y el modelo de Park usa una forma empírica. Los siguientes parámetros, definen la curva del acero de refuerzo que se pueden ver en la Figura No. 1-2: La deformación de fluencia, εy, es determinada a partir de εy=fy/E. La curva de esfuerzo deformación tiene definidas tres regiones. Existe una región elástica, una región perfectamente plástica, y una zona de endurecimiento de deformación. En SAP2000 son usadas diferentes ecuaciones para cada zona. A continuación se presentan las ecuaciones que las definen.

Figura 1-2. Regiones en la curva de esfuerzo de formación del acero de refuerzo.

8

Para ε ≤ εy (región elástica) f = Eε Para εy < ε ≤ εsh (Región perfectamente plástica) f = fy Para εsh < ε ≤ εu (Región de endurecimiento) Para el modelo simple,

Para el modelo de Park,

Donde:

9

En los dos modelos que pueden ser usados, el simple y el Park existe la opción de usar los valores por defecto que usa Caltrans para las curvas. Estos valores son dependientes del diámetro del refuerzo. Con As como área de refuerzo,

Modelo simple para la curva esfuerzo deformación en el hormigón armado en SAP2000: La porción a compresión del modelo simple de esfuerzo deformación consiste en una curva (Ver figura No. 3) con una porción parabólica y una porción lineal. Las siguientes variables definen el modelo simple de esfuerzo deformación del hormigón. ε: Deformación en el hormigón. f: Esfuerzo en el hormigón f’c: Esfuerzo a la compresión del hormigón. ε’c: Deformación correspondiente al f’c.

10

εu: Deformación última del hormigón. El modelo simple de esfuerzo deformación del hormigón armado para SAP2000 se define con las siguientes curvas: Para ε ≤ ε’c (Porción parabólica)

Para ε’c < ε ≤ εu (Porción lineal)

El esfuerzo a tensión de fluencia en la curva del modelo simple es tomado como 106.45(f’c)^0.5 Kg/cm2.

Figura 1-3. Curva esfuerzo deformación del modelo simple del hormigón armado

11

Modelo Mander para la curva esfuerzo deformación en el hormigón armado en SAP2000: El modelo de Mander esfuerzo deformación está basado en el siguiente documento: Mander, J.B., M.J.N. Priestley, and R. Park 1984. Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete. Journal of Structural Engineering. ASCE. 114(3). 18041826. El modelo de Mander de hormigón armado calcula la resistencia a la compresión y la deformación última como función del confinamiento (Refuerzo transversal) del acero. En el SAP2000 son posibles los siguientes tipos de curvas esfuerzo deformación según el modelo de Mander. • Mander – Concreto no confinado. • Mander – Concreto Confinado – Sección Rectangular. • Mander – Concreto Confinado – Sección Circular. Para el caso del modelo no confinado de Mander puede ser generado a partir de las propiedades del material solamente. Para el modelo de Mander confinado se requiere las propiedades del material y de la sección transversal. Para SAP 2000 las

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siguientes secciones tienen las características asociadas al modelo confinado de Mander: • Sección rectangular • Sección circular. Ahora bien, para el caso en el que se desea definir la sección transversal se puede definir el modelo confinado de Mander a partir de las siguientes secciones: • Solido Rectangular • Solido circular • Polinomio. • Hexágono de Caltrans • Octágono de Caltrans. • Circular de Caltrans. • Cuadrado de Caltrans Cuando un material con las características apropiadas es definido para el modelo de Mander confinado, el SAP2000 lo usa. En caso contrario el software usará el modelo de esfuerzo deformación no confinada de Mander para el hormigón armado.

13

Curva del modelo no confinado de Mander para el hormigón armado: La porción de compresión del modelo de esfuerzo deformación no confinado de Mander consiste en una porción curva y en una porción lineal. Los siguientes parámetros definen la curva en mención ε: Deformación del hormigón. f: Esfuerzo del hormigón. E: Modulo de elasticidad f’c: Resistencia a la compresión del hormigón ε’c: Deformación del hormigón f’c. εu: Capacidad última de deformación del hormigón. La curva de esfuerzo deformación no confinado de Mander está definida por las siguientes ecuaciones. ε ≤ 2ε’c (Porción curva),

Donde: x = ε/ε’c

14

Para 2ε’c < ε ≤ εu (Porción lineal),

Donde r fue definido previamente. La resistencia a tensión del modelo no confinada se toma como 106.45(f’c)^0.5 Kg/cm2.

Figura 1-4. Curva del modelo no confinado de Mander Curva del modelo confinado de Mander para el hormigón armado: Para la porción a compresión del modelo confinado de esfuerzo deformación, la resistencia a la compresión y la deformación última del concreto confinado está basada en el confinamiento (Refuerzo transversal) del acero. Los siguientes parámetros son definidos para el modelo de esfuerzo deformación ε: Deformación concreto.

15

f: Esfuerzo del concreto. E: Modulo de elasticidad (Modulo tangente) Esec: Modulo de elasticidad secante. f’c: Resistencia a la compresión del hormigón armado no confinado. f’cc: Resistencia a la compresión del hormigón confinado. Dependiente del acero de confinamiento. ε’c: Deformación del hormigón a f’c. εu: Deformación última del hormigón para el caso no confinado y deformación de astillamiento del concreto para el caso confinado. ε’cc: Deformación del concreto a f’cc.

Figura 1-5 Curva esfuerzo deform. Para el modelo confinado de Mander.

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εcu: Deformación última del hormigón para el caso del hormigón confinado; esta variable es dependiente del acero de confinamiento, provista en la sección. El esfuerzo del concreto está definido por la siguiente ecuación:

Donde:

Resistencia a la compresión del hormigón en el modelo confinado de Mander f’cc. : Las siguientes variables son usadas en la definición de la resistencia: Ac: Área del centro del hormigón medida desde eje central hasta el eje central del acero de confinamiento. Acc: Área del centro de hormigón excluyendo el refuerzo longitudinal; Acc=Ac(1-ρcc). Ae: Área efectiva realmente confinada.

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Asc: Área del estribo circular o de la espiral de confinamiento. AsL: Área total de todos los refuerzos longitudinales. Asx: Área del estribo rectangular extendido en la dirección X-X. Asy: Área del estribo rectangular en la dirección Y-Y. bc: Distancia eje centroidal a eje centroidal entre el perímetro rectangular del estribo que se extiende en la dirección Y-Y. dc: Distancia eje centroidal a eje centroidal entre el perímetro rectangular del estribo que se extiende en la dirección X-X. ds: diámetro del estribo circular o del espiral del acero de confinamiento desde el eje centroidal al eje centroidal del acero. f’c: Resistencia a la compresión del hormigón armado no confinado. fL: Presión lateral en el hormigón confinado provista por el acero de confinamiento. f’L: Presión efectiva lateral en el concreto confinado provista por el acero de confinamiento. fyh: Esfuerzo de fluencia del acero de confinamiento. Ke: Coeficiente que mide la efectividad del acero de confinamiento.

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S: Distancia longitudinal desde el eje centroidal al eje centroidal entre el estribo o espiral. s’: Distancia libre longitudinal entre el estribo o espiral. w’: Distancia transversal libre entre las barras adyacentes longitudinales con los cruces. ρcc: Cuantía de acero longitudinal; ρcc=AsL/Ac. ρs: Cuantía volumétrica del refuerzo transversal de confinamiento al centro de concreto. ρx: Cuantía de acero para los estribos rectangulares extendiéndose a lo largo de la dirección X-X; ρx=Asx/sdc. ρy: Cuantía de acero para los estribos rectangulares extendiéndose a lo largo de la dirección Y-Y; ρy=Asy/sbc. Para el caso de centros circulares:

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Para centros rectangulares:

Después que f’LX y f’LY son conocidos, f’cc es determinada usando criterios de falla multiaxial en términos del esfuerzo de confinamiento que fue publicado en el artículo de la referencia, Mander et al. (1984).

20

Deformación última a la compresión del hormigón en el modelo confinado de Mander εcu. : La variable εcu es función del acero de confinamiento. La siguiente figura muestra la curva de esfuerzo deformación del modelo de Mander para el caso confinado y no confinado. La diferencia entre los dos casos se muestre en tono achurado. 20

Figura 1-6

Curva de esfuerzo deformación para el modelo confinado y no

confinado de Mander.

21

La región achurada de color gris mostrada en la figura 6 representa la capacidad adicional que provee el confinamiento del acero en cuanto a la energía de deformación acumulada. Suponga que A1 es el área achurada entre el modelo de Mander confinado y no confinado y A2 es el área bajo la curva de esfuerzo deformación del acero confinado. Adicionalmente suponga que ρs es la razón volumétrica entre el acero de confinamiento y el centro de hormigón. Entonces, igualando energías bajo las curvas de esfuerzo deformación del concreto y del acero de confinamiento se obtiene: A1 = ρsa2 SAP2000 determina el valor apropiado de deformación última del concreto, εcu, por ajuste y error, igualando las energías como se explicó anteriormente. Cuando la relación A1=ρsA2 es satisfecha, el valor correcto de ε’cu ha sido encontrado. La resistencia de fluencia a tracción en las curvas de esfuerzo deformación para el modelo de Mander Confinado es tomado como 7.5(f’c)^0.5 psi. 1.2.2 Parámetros no lineales usados en SAP2000.

El software comercial SAP2000, fue desarrollado por Computers and Structures Inc. Este programa tiene una interfaz muy amigable y dispone de una gran variedad de elementos lineales y no lineales, que permiten modelar una gran variedad de

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estructuras. Existen diferentes formas de evaluar el comportamiento inelástico en SAP 2000, entre ellas se puede destacar el uso de elementos Hinges y de elementos Links. Elementos Hinges: Las propiedades de rótula plástica son ampliamente usadas para el caso de hormigón armado, tal como lo recomienda el ATC-40, en el mismo documento se hacen diferenciaciones entre vigas y columnas con respecto a las deformaciones máximas (Rotación). Es posible en SAP2000 introducir rotulas plásticas en cualquier lugar a lo largo de la longitud libre de cualquier elemento tipo frame u objeto tendón. Cada rótula representa el comportamiento concentrado de postfluencia en uno o más grados de libertad. Las rótulas solo afectan al comportamiento de la estructura en análisis estáticos no lineales o en análisis de historia de respuesta de integración directa. Las rótulas solo pueden ser introducidas en elementos frame y puede ser asignada al mismo en cualquier ubicación. En SAP 2000 están disponibles rótulas plásticas que definen el comportamiento de momento, torsión, fuerza axial y corte. Existe también la posibilidad de rótulas acopladas de P-M2-M3 que fluyen de acuerdo a las reglas de interacción entre la fuerza axial y la flexión biaxial. Se puede colocar más de una rótula en la misma posición, por ejemplo, se puede asignar rotulas M3 (Momento) y V2 (Corte) al final de cada elemento frame. SAP2000 sigue las características de las rótulas de acuerdo al FEMA-356 (FEMA, 2000).

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La pérdida de resistencia es permitida en las propiedades de las rótulas. Pero deben ser usadas cuidadosamente. Una perdida repentina de resistencia es irrealistica y puede llegar hacer bastante difícil de analizar. SAP 2000 recomienda considerar la pérdida de resistencia cuando es necesario. Para cada grado de libertad de fuerza (Axial o corte), se puede especificar un comportamiento plástico de fuerza desplazamiento. Para cada grado de libertad de momento (Flexión o torsión) se puede especificar un comportamiento plástico de momento rotación. Cada propiedad de la rótula deberá tener especificadas unas propiedades plásticas para cada uno de los seis grados de libertada. La carga axial y los dos momentos pueden estar acoplados a través de una superficie de interacción. Los Grados de libertad que no se especifican permanecen elásticos. Cada rotula plástica puede ser modelada como un punto discreto de rótula. Todas las deformaciones plásticas, ya sean de desplazamiento o rotación, ocurrirán dentro de este punto de rótula. Esto significa que se debe asumir la longitud para cada rótula justo cuando la deformación plástica o la curvatura plástica ocurren. Algunas recomendaciones están dadas en el FEMA-356. Normalmente es una fracción de la longitud del elemento, y muy frecuentemente es del orden de la altura de la sección, particularmente para rótulas de momento-rotación. Se puede aproximar la plasticidad que está distribuida a lo largo de la longitud del elemento insertando más rótulas. Ciertamente, adicionar mayor cantidad de rótulas

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tendrá un mayor costo computacional, sin embargo no será muy significante si no están efectivamente en fluencia. Para cada grado de libertad, se puede definir una curva de fuerza-desplazamiento (Momento-Rotación) que dan el valor de fluencia y la deformación siguiente a la fluencia. Esto se puede observar en la figura 13.

Figura 1-7 Curva A-B-C-D-E-F de fuerza desplazamiento la misma curva es usada para el caso de momento rotación La forma de esta curva mostrada es usada para el caso en el que se implementen hinges dentro del modelo. Se deben tener en cuenta los siguientes puntos: •

El Punto A siempre está en el origen.

•

El punto B representa la fluencia.

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•

El punto C representa la capacidad última en el análisis de Pushover. Sin embargo es necesario especificar una pendiente positiva desde C hasta D, para cualquier otro propósito.

•

El punto D representa la resistencia residual para el análisis de pushover. Sin embargo es necesario especificar una pendiente positiva desde D hasta E, para cualquier otro propósito.

•

El punto E representa la falla total.

Adicionalmente se puede especificar medidas adicionales de deformación en los puntos IO (Inmmediate Occupancy), LS (Life safety), y CP (Collapse prevention). Estas son informaciones adicionales que son reportadas en los análisis de resultados y usadas para el diseño basado en el desempeño. No tienen ningún efecto en el comportamiento de la estructura. Elementos Links: Los links son usados para unir dos nudos. Estos links pueden tener comportamiento lineal, no lineal y dependiente de frecuencias, todo esto de acuerdo a los tipos de propiedades asignadas a los elementos y a los tipos de análisis que serán implementados. Cada elemento Link está compuesto por 6 diferentes “Springs”, uno para cada uno de los 6 grados de libertad (Axial, Corte, Torsión, y flexión pura).

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Hay dos categorías que definen los links, lineales/no lineales y dependientes de frecuencia. Las propiedades lineales/ no lineales deben ser asignadas a cada link. En cambio para el caso en dependencia de frecuencias caso es opcional. Existen diferentes tipos de comportamiento de links que pueden ser usados, pero para este trabajo de investigación se usará el “Multi-linear Plastic”. Y para este caso se tiene la siguiente representación de los tipos dentro del software SAP2000.

Figura 1-8 Representación de la definición de los links en SAP2000 Con el fin de verificar el uso de este elemento inelástico, se ha decidido implementar el ejemplo 6-009 de los manuales del SAP 2000. Este ejemplo usa una

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estructura de un solo grado de libertad para corroborar el comportamiento de los elementos “plastic kinematic link”. Se ha definido características de fuerza deformación multilineales diferentes para el comportamiento a compresión y a tensión. Así mismo se ha usado un análisis no lineal estático para empujar el elemento link a un desplazamiento positivo de 12 pulgadas. Posteriormente, un segundo caso de carga no lineal se ha considerado al final de las condiciones del caso de primera carga y es usada para generar un desplazamiento negativo de 12 pulgadas. Los resultados de fuerza del link a varias deformaciones son comparados con las características definidas de fuerza deformación. El modelo de SAP2000 consiste en un solo nudo, etiquetado como 1 y un elemento Link. El modelo esta creado en un plano XZ. Solamente el grado de libertad Uz fue activado para el análisis. El Link del tipo “Plastic Kinematic” es modelado como un único nudo en el nudo 1. Esto significa que un lado del link está conectado al suelo y el otro extremo está conectado al nudo 1. El link es orientado de tal forma que su eje positivo local 1 concuerda con el eje paralelo positivo Z. Esta es la orientación por defecto del nudo de un elemento Link individual. Solamente el grado de libertad U1 es definido para este elemento. Para este ejemplo solamente las propiedades no lineales del link fueron relevantes y el único caso de carga fue el no lineal. Las características de fuerza deformación están definidas en la siguiente figura:

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Figura 1-9 Características del Link no lineal El peso del link fue definido como 1 Kip. Esta es la única carga actuando sobre el link, y es aplicada como una carga gravitacional actuando en la dirección Z. Se usaron dos casos de carga no lineal de desplazamiento controlado en este ejemplo. Fueron denominadas NLSTAT1 y NLSTAT2. La NLSTAT1 inicia desde condiciones iniciales de cero y empuja al link a un desplazamiento positivo de 12 pulgadas. El caso NLSTAT2 inicia desde las condiciones finales del NLSTAT1 y empuja el link desde las 12 pulgadas positivas a 12 pulgadas negativas.

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Figura 1-10 Ejemplo y características del modelo inelástico Para el comportamiento histerético del link se ha definido la siguiente gráfica:

Figura 1-11 Comportamiento histerético de los links plásticos El segmento D-E y D-C representa el comportamiento elástico. Los segmentos E-F, F-G, C-B y B-A representan el comportamiento de deformación plástico. Se asume que la carga es positiva e inicia desde cero en el punto D y procede a lo largo de DE-F-G hasta alcanzar el punto X. Una vez en el punto X la carga cambia de dirección.

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Figura 1-12 Comportamiento histerético Links (2) Cuando la carga pasa a través del punto E y continua hacia el punto F, el punto E es trasladado junto con la carga a lo largo del segmento E-F y justo cuando llega al punto F, el punto E’ y F están en la misma posición. Igualmente cuando la carga pasa a través del punto F y procede el punto X, el punto E’ y el F son trasladados con la carga a lo largo del segmento F-G hasta que la carga alcanza el punto X. Los puntos X, E’ y F’ están en la misma posición. Así como la situación del punto E, el punto C y D tienen un mismo patrón hacia el punto C’ y D’, respectivamente. Similarmente como el punto F es empujado, el punto B tiene un comportamiento similar hacia el punto B’. Esto se muestra en las figuras

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Figura 1-13 Comportamiento histerético Links (3) Cuando ocurre la descarga, se sigue el patrón X-D’-C’-B’-A y luego continúa con la pendiente definida por B-A (Mostrado en la figura anterior). A continuación se muestran los resultados comparativos entre SAP y un análisis independiente del Software.

TABLA 1-1 Resultados comparativos del comportamiento inelástico de Links en SAP2000.

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Posteriormente se grafican las fuerzas versus deformación de los Links.

Figura 1-14 Respuesta del modelo inelástico implementado. 1.2.3 Observaciones acerca del modelamiento del hormigón armado.

Uno de los aspectos más importantes del modelamiento de elementos de hormigón armado usando métodos no-lineales, es tener la seguridad que los modelos utilizados representan con una confiabilidad aceptable el comportamiento de la estructura real analizada. Para evaluar esta confiabilidad se han tomado una serie de investigaciones de ensayos de elementos estructurales realizados en laboratorios y se compararon las respuestas reales con los resultados obtenidos con los modelos analíticos.

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Los estudios que se han realizado han demostrado que la rigidez que presentan los elementos de hormigón una vez ocurrido el agrietamiento se reduce enormemente. Las disposiciones del FEMA 273 y ATC 40 (Ver referencias) recomiendan usar para las columnas Ie=0.7Ib y para las vigas Ie=0.5Ib, Siendo Ib e Ie el momento de inercia de la sección bruta y efectiva, respectivamente, otros estudios también tienen muchos comentarios al respecto (Ver referencia Hidalgo-Clough página 158, 159). Por otro lado el ACI 318 recomienda usar para las vigas Ie=0.35Ib, valor que es finalmente utilizado en las modelaciones realizadas en este trabajo debido a que evidenció una mejor representación de la respuesta real de los elementos. La unión viga-columna no se modeló como 100% rígida, ya que las investigaciones realizadas en 1987 (Hidalgo, Jordán y Luders) muestran que el nudo es solo parcialmente rígido, y que la longitud del segmento rígido correspondiente a él, depende a su vez de la geometría del nudo. La idea de esta práctica es demostrar que la no consideración efectivamente no tenía un efecto sobre lo que se hace en la práctica. Otro de los parámetros importantes a considerar en la modelación es la razón p entre la rigidez elástica y la rigidez de postfluencia. Fillippou e Issa (1988) sostiene que usar la razón entre la rigidez elástica y de postfluencia de la relación momento-curvatura teórica en la relación momentorotación subestima la rigidez de postfluencia de elementos flexurales. La relación momento-rotación es usada en los modelos con plasticidad concentrada (Links).

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Por otro lado y dado que SAP 2000 usa diferentes tipos de Sketch histeréticos se hace necesario describir brevemente los efectos de los diferentes comportamientos histeréticos. Comportamiento histerético: Durante años se han investigado el comportamiento de estructuras sometidas a cargas cíclicas y se ha concluido que la degradación de la resistencia y rigidez bajo este efecto es un fenómeno real y muy determinante en la posibilidad de la inestabilidad dinámica lateral. El FEMA P440A de Junio de 2009, es un muy buen ejemplo de un estudio exhaustivo desarrollado a partir de 160 sistemas de único grado de libertad y más de 600 sistemas de múltiples grados de libertad. Cada sistema fue sujeto a un análisis dinámico incremental con 56 movimientos del suelo escalados a diferentes niveles de intensidad. Esta investigación arrojó ramificaciones prácticas que se pueden resumir a continuación: • El comportamiento de estructuras reales puede incluir pérdida de capacidad a carga vertical por desplazamientos que son significativamente menores a los asociados con el colapso. • Históricamente el término “Backbone curve” se refiere a muchas cosas diferentes. Por esta razón, dos nuevos términos han sido introducidos para distinguir entre los diferentes aspectos del comportamiento histerético. Estos son “Force-displacemente capacity boundary, y cyclic envelope”.

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• Los parámetros no lineales deben estar basados en condiciones límite de capacidad de fuerza desplazamiento más que en la envolvente cíclica. Determinar la capacidad última de fuerza-desplazamiento a partir de resultados de ensayos usando un solo protocolo de ciclo de carga puede traer resultados muy conservativos para la determinación del máximo desplazamiento. Por otro lado el FEMA 440 “Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures” (FEMA, 2005), fue comisionado para evaluar y desarrollar mejoras en los procedimientos de análisis estáticos no lineales predominantes en la práctica. En esa investigación se ha encontrado una serie de desviaciones entre los análisis estáticos no lineales y los análisis no lineales de respuesta de historia de respuesta y se atribuyen a los siguientes factores: (1) imprecisión en la aproximación de iguales desplazamientos para rangos de periodos cortos, (2) efectos P-delta de inestabilidad, (3) suposiciones del vector de carga estático, (4) degradación de rigidez y resistencia, (5) efectos de múltiples grados de libertad, y (6) efectos de interacción suelo-estructura. El FEMA 440 identifica dos tipos de degradación inelástica para osciladores de un solo grado de libertad.

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Figura No. 1-15 Tipos de degradación definidas por el FEMA 440 La degradación cíclica (1) se caracteriza por pérdida de resistencia y rigidez que ocurren en ciclos subsiguientes, en cambio la degradación en el ciclo (2) está caracterizada por la pérdida de resistencia y rigidez negativa que ocurren durante un mismo ciclo. De acuerdo al FEMA 440, esta distinción es fundamental realizarla ya que las consecuencias del uso de una curva u otra son inmensamente grandes. En general sistemas con curvas de degradación cíclica (1), han mostrado una respuesta dinámica estable, mientras que en el caso de degradación en el ciclo (2) tienen tendencia a la inestabilidad dinámica y potencialmente al colapso. El objetivo principal del proyecto del FEMA 440A que fue comisionado bajo el proyecto del ATC-62, fue la investigación exhaustiva de los componentes y la respuesta global de la degradación de resistencia y rigidez, usando el FEMA 440 como punto de partida.

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Muchos modelos han sido propuestos a través de los años con el objetivo de caracterizar el comportamiento no lineal de los componentes estructurales y estimar de buena forma la respuesta de los sistemas estructurales. Los modelos histeréticos van desde el simple comportamiento elasto-plastico hasta las complejas degradaciones de rigidez y resistencia curvilíneas. A continuación se resumen las más importantes Comportamiento elastoplástico: Muchos de los estudios que han considerado comportamientos no lineales han usado modelos de histéresis que no consideran degradación o modelos en los cuales la rigidez lateral y la resistencia lateral de fluencia permanecen constante a través de la duración de la carga. El tipo de modelo más simple y más comúnmente usado como modelo de no deterioro es el modelo elastoplástico, el cual es un sistema de comportamiento lineal elástico hasta que la resistencia de fluencia es alcanzada Figura 2. En la zona de fluencia, la rigidez cambia desde una rigidez elástica hasta una rigidez cero. Durante el ciclo de descarga, la rigidez es igual a la rigidez elástica de la carga.

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Figura No. 1-16 Modelo elastoplástico de no degradación Algunos ejemplos del uso de este modelo se incluye en los estudios de Berg and Da Deppo (1960), Penzien (1960a, 1960b), y Veletsos y Newmark (1960). El último estudio fue el primero en notar que el desplazamiento lateral máximo de sistemas de moderados, largos periodos y de un solo grado de libertad (SDOF) con comportamiento elastoplástico tenía, en promedio, cerca del mismo que los sistemas lineales elásticos. Sus observaciones son conocidas como “Aproximación de iguales desplazamiento”. Esta aproximación ampliamente usada implica que el máximo desplazamiento de sistemas con periodos moderados y largos y de no degradación son proporcionales a la intensidad del movimiento del suelo, lo que significa que si la intensidad del movimiento del suelo es duplicada, el desplazamiento máximo será en promedio, aproximadamente el doble de grande. Veletsos y Newmark también observaron que el desplazamiento máximo para periodos cortos de sistemas de un solo grado de libertad (SDOF) con

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comportamientos elastoplástico es, en promedio, mayores que aquellos sistemas lineales elásticos, y su incremento en el desplazamiento máximo lateral son más grandes que el incremento de intensidad del movimiento del suelo. De esta manera la aproximación de igual desplazamiento se observa que es menor que la aplicada a estructuras de periodos cortos. Muchos estudios posteriores han corroborado esta temprana observación (Miranda, 1993, 2000; Ruiz-Garcia and Miranda, 2003; Chopra and Chintanapakdee, 2004). Estas observaciones formaron las bases del coeficiente de modificación de desplazamiento C1, que tiene en cuenta el efecto inelástico en el método de los coeficientes para la estimación del desplazamiento máximo. Comportamiento de endurecimiento de resistencia: Otro modelo histerético comúnmente usado de no degradación es el modelo de endurecimiento por resistencia, el cual es similar al modelo elastoplástico, excepto que la rigidez de post-fluencia es mayor que cero (Ver figura 3), las aplicaciones iníciales de este modelo incluyen aquellas realizadas por Caughey (1960a, 1960b) y Iwan (1961). La rigidez positiva de post-fluencia es también referida al endurecimiento de esfuerzo porque muchos materiales exhiben ganancias en rigidez (Endurecimiento) cuando están sujetos a grandes niveles de esfuerzos después de pasar por la fluencia. El endurecimiento de los componentes, conexiones, y sistemas después de la fluencia inicial es causada por eventuales desplazamientos de toda la sección del elemento, o fluencia secuencial de los elementos que quedan en el sistema.

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Figura No. 1-17 Modelo de endurecimiento de resistencia sin degradación Aunque muchos estudios habían considerado comportamientos elasto-plásticos y de endurecimiento por resistencia, no fue hasta hace poco, que estudios estadísticos a fondo, encontraron cantidades diferentes con respecto a los desplazamientos máximos y fueron usados un alto rango de periodos de vibración, un completo rango de rigideces post-elásticas, y un largo número de movimientos sísmicos. Muchos estudios recientes han entregado información cuantitativa de los efectos promedios de la rigidez positiva post-fluencia en la respuesta y la variabilidad en la respuesta para diferentes registros. Todos están de acuerdo en que para estructuras con periodos moderados y largos, la presencia de rigidez post-elástica positiva entrega reducción relativamente pequeñas (menos del 5%) en el desplazamiento máximo (Ruiz- Garcia y Miranda, 2003; Chopra y Chintanapakdee, 2004). Comportamiento de degradación de rigidez: Algunos componentes estructurales y sistemas pueden exhibir algunos niveles de degradación de rigidez cuando están

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sujetos a ciclos de descarga. Esto es especialmente cierto para componentes de concreto reforzado sujetos a varios ciclos de carga y descarga. La degradación del concreto reforzado es usualmente el resultado de agrietamientos, perdida de trabadura o de interacción con alto esfuerzo de corte o con altos esfuerzos axiales. El nivel de degradación de rigidez depende de las características de la estructura. (Propiedades del material, geometría, niveles de detallamiento de ductilidad, tipo de conexiones), así como la historia de carga (intensidad en cada ciclo, número de ciclos, secuencia de carga). La siguiente figura muestra 3 modelos diferentes de degradación de rigidez, en el primer modelo la rigidez de carga y descarga es la misma, y la degradación de rigidez se da como incremento en el desplazamiento. En el segundo modelo la rigidez de carga decrece como función del desplazamiento máximo, pero la rigidez de descarga se mantiene constante e igual a la rigidez inicial. En el último modelo, las dos rigideces de carga y descarga se degradan como función del desplazamiento máximo. Para medir los efectos de degradación de rigidez, muchos estudios han comparado la respuesta máxima de la degradación de rigidez con aquellos sistemas con modelos elasto-plásticos y bilineales de endurecimiento de rigidez. (Clough 1966; Clough and Johnston 1966; Chopra and Kan, 1973; Powel and Row, 1976; Mahin and Bertero, 1976; Riddell and Newmark, 1979; Newmark and Riddell, 1980; Iwan 1980; Otani, 1981; Nassar and Krawinkler 1991; Rahnama and Krawinkler, 1993;

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Shi and Foutch, 1997; Foutch and Shi, 1998; Gupta and Krawinkler, 1998; Gupta and Kunnath, 1998; Medine 2002; Medina and Krawinkler, 2004; Ruiz-Garcia and Miranda, 2005.

Figura No. 1-18 Modelos de histéresis Estos estudios han concluido que para estructuras de periodos cortos con modelos de degradación de rigidez experimentan un desplazamiento máximo que es; en promedio, mayor que los casos realizados con sistemas con modelos histeréticos elastoplástico o bilineales de endurecimiento de rigidez. Los estudios anteriores también han examinado los efectos de degradación de rigidez en estructuras sujetas a registros de movimiento en roca o en suelos estables. Ruiz-García and Miranda (2006b) examinaron los efectos de la degradación de rigidez en estructuras sujetas a estas características, especialmente estructuras con periodos cortos y en el cual el periodo predominante es el del suelo. Comportamiento del Pinching: los componentes estructurales y las conexiones presentan un fenómeno llamado pinching, cuando están sujetas a ciclos de descarga. El comportamiento de “Pinching” es característico por una gran

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reducción de rigidez durante la recarga, y una recuperación de la rigidez cuando el desplazamiento es impuesto en la dirección opuesta, Esto se puede observar con mayor claridad en la Figura No. 1-19.

Figura No. 1-19 Modelo de Pinching Este comportamiento de “Pinching” es característico del hormigón armado, de componentes de madera, de ciertos tipos de albañilerías y de los marcos arriostrados de acero estructural. En el concreto reforzado, el pinching es típicamente producido por las fisuras cuando el desplazamiento impuesto es en una sola dirección. La recuperación parcial de la rigidez ocurre cuando las fisuras son cerradas durante el desplazamiento impuesto en la otra dirección. El nivel de pinching depende de las características de la estructura (Ej. Propiedades del material, geometría, detallamiento para nivel de ductilidad y las conexiones), así como la historia de carga (Intensidad en cada ciclo, número de ciclos y

la

secuencia de carga). Bastantes estudios han demostrado que en estructuras de periodos moderados y altos, el “pinching” o la combinación del mismo con la degradación de rigidez

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tienen solo un pequeño efecto en la demanda máxima de desplazamiento (Otani, 1981; Nassar and Krawinkler 1991; Rahnama and Krawinkler, 1993; Shi and Foutch, 1997; Foutch and Shi, 1998; Gupta and Krawinkler, 1998; Gupta and Kunnath, 1998; Medina 2002; Medina and Krawinkler, 2004; Ruiz-Garcia and Miranda, 2005). Estos y otros estudios han mostrado que sistemas de periodos grandes y moderados con un 50% de reducción en la capacidad de disipación de energía histerética debido al “pinching”, experimentan un desplazamiento máximo, que en promedio, es similar al de estructuras con comportamientos histeréticos elastoplásticos o bilineales de endurecimiento de rigidez. Esta observación es particularmente interesante porque es contraria a lo ampliamente generalizado en la que estructuras con comportamiento elastoplástico o bilineal exhiben mejores comportamientos que estructuras con “pinching” por la presencia adicional de capacidad de disipación histerética de energía. Sin embargo los mismos estudios, también han mostrado que sistemas de periodos cortos con “Pinching” experimentan desplazamiento peak que tienden a ser mayores que esos experimentados por sistemas con comportamientos histeréticos elastoplástico o bilineales de endurecimiento de rigidez. Degradación de rigidez combinado con ciclos de degradación de resistencia: Muchos estudios han evaluado esta combinación de parámetros (Gupta and Kunnath, 1998; Song and Pincheira, 2000; Medina 2002; Medina and Krawinler,

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2004; Ruiz-Garcia and Miranda, 2005; Chenouda, and Ayoub, 2007). Ejemplos de este comportamiento se muestran a continuación:

Figura No. 1-20 Modelos combinados de degradación de rigidez y degradación cíclica de resistencia (a) degradación moderada de rigidez y degradación cíclica de resistencia y (b) degradación severa de rigidez y degradación de resistencia cíclica. (Ruiz-Garcia and Miranda, 2005) La figura (a) muestra un sistema con degradación moderada de rigidez y degradación cíclica de resistencia (MSD), y la figura (b) muestra un sistema con degradación severa de rigidez y degradación cíclica de resistencia (SSD). En estos sistemas, la resistencia lateral es reducida como función de la demanda máxima de desplazamiento así como la demanda de energía histerética. Estos estudios han demostrado, que para sistemas de periodos moderados o largos con esta combinación de parámetros, tendrán un desplazamiento promedio, similar a los

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sistemas evaluados con un comportamiento elastoplástico o bilineal de endurecimiento de resistencia. Diferencia entre degradación de resistencia cíclica y en el ciclo: El FEMA 440 identifica claramente esta distinción, ya que es muy importante porque las conclusiones encontradas y observadas son muy diferentes. Respuestas dinámicas con ciclos de degradación de resistencia son generalmente estables, mientras que el modelo de degradación de resistencia en el ciclo puede llegar hacer dinámicamente inestable. La siguiente figura compara el comportamiento histerético de dos sistemas sujetos al protocolo de carga de la figura No. 22. Este protocolo de carga comprende seis ciclos completos (doce mitades de ciclo) con un incremento lineal de amplitud de deriva de 0.8% en cada ciclo. El ciclo en la figura 21 (a) tiene una degradación cíclica y el sistema de la figura 21 (b) tiene una degradación en cada ciclo. Cuando se somete a este protocolo de carga, ambos modelos histeréticos exhiben similares niveles de degradación de resistencia y de rigidez, y similares comportamientos globales. Su comportamiento bajo diferentes protocolos de carga, pueden llegar hacer muy diferentes.

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Figura No. 1-21 Comportamiento histerético para modelos sujetos al protocolo de carga 1 con: (a) degradación de resistencia cíclica, (b) degradación en cada ciclo.

Figura No.1-22 Protocolo de carga 1 usado para ilustrar los efectos de degradación de resistencia cíclica y en cada ciclo. Un segundo protocolo de carga, es mostrado en la Figura No. 23, idéntico al primer protocolo en los primeros 4 ciclos, pero durante el quinto ciclo se le impone un desplazamiento adicional lateral de una razón de deriva de 7.0 %.

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Figura No.1-23 Protocolo de carga para ilustración de diferencias en degradación de resistencia y degradación de resistencia en cada ciclo. La siguiente figura compara el comportamiento histerético de los dos sistemas sujetos a la carga mostrada. Inicialmente las respuestas son similares. Durante el quinto ciclo y medio, la respuesta diverge. El modelo con degradación cíclica (a) es capaz de sostener la resistencia lateral sin perderla durante el incremento de razón de deriva. En contraste el modelo con degradación dentro de cada ciclo (b), experimenta una rápida perdida de resistencia en la medida que se incrementa la razón de deriva (Para mayor detalle ver FEMA 440).

Figura No. 1-24 Resultados historia de carga, ejemplo.

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Metodología alternativa de Strut-tie para estructuras de hormigón armado: El ACI en el Apéndice A introduce los conceptos fundamentales del modelo PuntalTensor. Definiéndolo como un modelo de cercha de un elemento estructural, o de una Región-D de este elemento, hecho con puntales y tensores conectados en los nodos, capaces de transferir las cargas mayoradas a los apoyos o hacia las regiones B adyacentes (Apéndice A ACI 318).

Figura No. 1-25 Descripción del modelo puntal-tensor. Una de las razones de la implementación de este método es porque las técnicas típicas de análisis por el método de los elementos finitos son típicamente complejas y no son tan exactas en los estados post agrietamiento y post fluencia, debido a las simplificaciones usadas para los modelos de los materiales en el hormigón armado. Esta metodología es ampliamente usada no solo para el dimensionamiento de los

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elementos, sino también para obtener la capacidad de transmitir la carga en el caso de detalles en hormigón armado. La metodología de Strut and Tie es simple de comprender, pero requiere suficiente conocimiento en los patrones de cargas internas, el cual es dictaminado por el arreglo de refuerzo, la geometría de los detalles y las condiciones de soporte y de carga. Algunas investigaciones (N.H.T. To, J.M. Ingham & B.J. Davidson 2003) trabajaron en el comportamiento no lineal de tres vigas en voladizo de concreto reforzado y tres uniones de puentes de hormigón armado a escala real analizados usando modelos de Strut-tie cíclicos no lineales. Los modelos de Strut and Tie (STM) son una representación discreta del campo de esfuerzos desarrollada en estructuras de hormigón armada cuando están sujetas a la acción externa. Para la investigación anteriormente nombrada se empleó el programa Ruaumoko (Carr 1998), con los adecuados modelos de esfuerzo-deformación para el concreto y el acero. Es muy importante resaltar que el objetivo de esa investigación no fue obtener una réplica exacta del mecanismo de transferencia de esfuerzos cuando una estructura está sujeta a la acción cíclica. El objetivo de esta investigación fue representar solo una simple herramienta de diagnóstico para los análisis sísmicos y el diseño de estructuras complicadas.

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Idealización uniaxial del modelo STM: El desarrollo del modelo fibra usado en STM está basada, para el caso de la investigación descrita, por Tjokrodimuljo (1985), quien ensayo setenta prismas de concreto reforzado con cargas axiales cíclicas, para investigar la respuesta de histéresis del hormigón y el refuerzo en las zonas flexurales de hormigón armado de vigas y columnas. Tjokrodimuljo encontró una típica forma para la relación de esfuerzo vs deformación y que se muestra en la figura 1-26.

a.Respuesta de elementos de

b. Comportamientos “Tie”

Hormigón en los elementos de acero Donde fd es la resistencia efectiva a la compresión de los “Strut” de hormigón y fdt es la resistencia a la tensión efectiva de los “Ties” de acero Figura No. 1-26 propiedades de esfuerzo de formación puntal-tensor

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En esta figura se ilustra el contraste de los “Efectos de esfuerzos de contacto” por el esfuerzo a compresión que no es cero junto con el cero de deformación en el patrón de carga. Esto ocurre por el efecto de trabazón de las partículas en las grietas del concreto y su responsabilidad parcial por la elongación de los miembros flexurales cuando están sujetos a acciones cíclicas (Fenwick et al 1996). Para replicar este comportamiento, el elemento “Tie” de comportamiento elastoplástico perfecto y que es puesto paralelo con el elemento “Strut” que fue desarrollado usando el modelo histerético de “Strut” de albañilería desarrollado por Crisafulli 1997. Las características de esfuerzo-deformación de estas se muestran en la figura 1-27.

c) Elemento “Strut”

d) Respuesta analítica combinada del tie and Strut

Figura 1-27. Propiedades del modelo puntal-tensor de esfuerzo-deformación.

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La rigidez y la resistencia de los “Tie” de concreto fueron escogidos para ayudar a proveer los efectos de “Esfuerzos de contacto” y de “Rigidez de tensión”. La resistencia de compresión para el esfuerzo de contacto fue escogida como 0.05fd (Douglas (1996)). Y la resistencia a tensión de los “Ties” de hormigón fue tomada como 0.5fdt, donde fd es la resistencia efectiva a la compresión de los “Strut” de hormigón y fdt es la resistencia a la tensión efectiva de los “Ties” de concreto. El comportamiento histerético de estas combinaciones es mostrado en la Figura 1-27d. Procedimiento de formulación del STM: se ha propuesto (Non-linear Strut and Tie analysis of concrete frames, Nicholas H. T. To, Sri Sritharan M. ASCE, Jason M. Ingham M. ASCE) dos procedimientos para modelar esta metodología, el primero de ellos es el denominado “Formulación Monotónica”, usada para el caso de análisis de Push Over muy útil para la práctica común en las oficinas de diseño y sus facilidades para la identificación de las secuencias de falla de los componentes del sistema estructural y del detallado del refuerzo. Por otro lado se encuentra la formulación de los modelos cíclicos desarrollados primeramente para predecir la respuesta de sistemas estructurales sujetos a ciclos de carga y descarga y análisis dinámicos. El procedimiento completo del modelamiento del STM se describe con detalle en To et al. (2003). La estrategia empleada en la formulación del procedimiento de STM requiere dividir la estructuras en regiones separadas. Existen dos tipos de regiones, “B” y “D”. B (de Bernoulli), estas son regiones donde convencionalmente

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la teoría flexural se mantiene y D (de “Disturbed”), donde la distribución interna de esfuerzo deformación esta significativamente perturbada por las discontinuidades en la geometría física de las acciones externas aplicadas. El mecanismo de transferencia de fuerzas en estas dos zonas es significativamente diferente, cada una es independientemente analizada y diseñada usando diferentes aproximaciones. La formulación del modelo adopta el patrón de fuerzas que ocurre en las regiones B en el primer estado de límite de fluencia (siendo este el caso en el que fluye el refuerzo extremo sometido a tensión o cuando las fibras a compresión del hormigón alcanzan una deformación de aproximadamente 0.002) en combinación con el patrón de fuerzas que se desarrolla en las regiones D en el estado último (cuando los componentes estructurales alcanzan su capacidad máxima de carga y experimentan significativas deformaciones inelásticas y daños estructurales con la consecuente degradación de resistencia). El uso de esta combinación de patrones de fuerza en los diferentes estados es preferible porque facilita la posibilidad de usar un solo modelo para el análisis en las regiones donde se alcanzan estados elásticos e inelásticos. Regiones B: Para regiones denominadas de este tipo en estructuras como vigas y columnas, el análisis de las secciones sometidas a las fuerzas a compresión están basadas en la compatibilidad Bernoulli de la condición que las secciones planas permanecen planas durante la acción de los esfuerzos. Los resultados analíticos de fuerza de la sección son usados para determinar las áreas efectivas y la resistencia

55

de los miembros del modelo. Los elementos del modelo son localizados con respecto al centroide de fuerzas medidos a partir del primer estado de fluencia para cada dirección de la acción. El primer estado de fluencia está definido por el comienzo de la fluencia del refuerzo en el hormigón que alcanzan un valor de deformación de 0.002, cualquiera que ocurra primero.

Figura No. 1-28 Modelo STM de viga en voladizo. (Modelo de N.H.T. To, J. M. Ingham y B.J. Davidson) En la figura 28, se observa una viga en voladizo modelada con la metodología STM, la cual adicionalmente es una típica estructura con clara representación de la región B. Debe notarse que el grado de inclinación de los elementos diagonales, están entre 31 y 59 grados, de acuerdo a CEB-FIP (1978). Así mismo se ilustra en esta figura los elementos de fibra uniaxial A, que representan la zona flexural. Por otro lado los elementos B son los encargados de modelar el refuerzo transversal y los tipo C son elementos construidos con los denominados “Strut” de hormigón

56

organizados junto con los “Tie” de hormigón para representar las zonas diagonales del concreto. Regiones D: Las estructuras donde se debe considerar regiones D. tal como nudos, deben ser modificadas a partir de los modelos monotónicos reportados en la literatura (Ingham et al. (1997)), debido a la alta irregularidad en la distribución de esfuerzos no es posible evaluar esta zona a partir de los métodos convencionales de la mecánica de sólidos, adicionalmente estas zonas están sujetas a combinaciones de flexión, corte y de carga axial. La resistencia experimental medida del refuerzo ha sido usada como la resistencia efectiva de los elementos “Struts-Ties”, mientras que la resistencia efectiva de los “Struts” se determina usando la tabla 1 de acuerdo a las condiciones anticipadas de los “Strut” cuando están sujetos a acciones cíclicas (Sritharan and Ingham (2002)). Más aún, 0.5(f’c)0.5 (Mpa) (Priestley et al. (1996)) ha sido usada para analizar la resistencia efectiva de los “Ties” de hormigón. Todos los miembros son localizados en el centroide de las fuerzas del correspondiente mecanismo de transferencia de fuerzas. RESISTENCIA EFECTIVA DE CONDICIONES DE LOS “STRUT” LOS “STRUT” Este valor es adoptado de los “Struts” localizados en 0.68f’c

regiones donde se espera poco agrietamiento. Un ejemplo de esta aplicación es en nudos preesforzados.

57

Este valor es apropiado para “Strut” de concreto cuando 0.51f’c

el refuerzo cercano no está sujeto a elevado deformación de endurecimiento. (ε ≤ 0.01).

0.34f’c *

Este es el valor máximo de esfuerzo permisible para “Strut” de concreto cuando hay un potencial desarrollo de significativa deformación inelástica (ε > 0.02) en las cercanías del refuerzo.

* Para 0.01 < ε < 0.02, considera una interpolación lineal para obtener los esfuerzos permisibles apropiados. TABLA 1-2 Resistencia efectiva de elementos “Strut” de hormigones aplicadas en regiones D de sistemas de nudos. 1.3

Contenido del estudio

El objetivo principal de este estudio es la realización del análisis inelástico de una serie de estructuras analizadas y ensayadas experimentalmente previamente en diferentes institutos mundiales. Este análisis fue realizado bajo los programas comerciales usados actualmente y bajo las metodologías usuales y las nuevas metodologías de puntal-tensor.

58

En el primer capítulo se realiza la implementación matemática del marco de concreto reforzado experimentalmente analizado bajo desplazamientos controlados por Sozen y Gulkan en 1971. Se estudia bajo modelos aplicando el software comercial SAP 2000 y bajo la metodología de puntal tensor. Adicionalmente después de estos dos análisis se realiza un estudio usando Pushover. Posteriormente se decide realizar un modelo híbrido en el cual se postula una nueva propuesta de modelamiento usando el método puntal-tensor en las zonas de posible plasticidad y elementos frames para las otras regiones. En el segundo capítulo se realiza el estudio de la viga en voladizo de Bertero, Popov y Wang de 1974. Inicialmente se realiza la evaluación del modelo matemático usando metodologías tradicionales en SAP 2000 y posteriormente se realiza la evaluación usando el método del puntal tensor. Y tal como se hizo en el primer modelo, se plantea un modelo híbrido en el cual se aplican las mejores resultados obtenidos en los dos primeros modelos de prueba. El capítulo tercero trata sobre el análisis del estudio en simulador sísmico de un marco de hormigón armado, P. Hidalgo y .R. W. Clough en 1974. Igualmente se realiza la evaluación del modelo matemático usando metodologías tradicionales en SAP2000 y la evaluación del modelo matemático usando metodologías del puntaltensor y un modelo híbrido que aplique los dos conceptos anteriores.

59

2.

IMPLEMENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MARCO DE CONCRETO

REFORZADO

EXPERIMENTALMENTE

ANALIZADO

BAJO

DESPLAZAMIENTOS CONTROLADOS POR SOZEN Y GULKAN-1971 Con el fin de probar las capacidades del software SAP2000 v.11.0.0 en cuanto a análisis inelástico se refiere, se usará para ello el marco en hormigón armado a escala reducida probado por Gulkan y Sozen en la Universidad de Illiniois en 1971, sujeto a desplazamiento cíclico controlado. Dado que para ese caso se usaron varias series, se tomará la serie F como representativa de la comparación, se debe tener en cuenta que se trata de uno de los ensayos sobre la estructura virgen (Ver figura No. 2.2). En primera instancia se definen la geometría y configuración de los elementos tal como lo define la siguiente figura:

Figura No. 2.1 Esquema representativo del marco

60

Hay que notar que la resistencia lograda por el marco durante los ensayos fue aproximadamente un 10% menor a la esperada. Lo mismo ocurre con la rigidez inicial, lo que según los autores puede ser parcialmente explicada con la presencia de pequeñas fisuras en las esquinas de todas las muestras analizadas. Ambas circunstancias se verifican también en los modelos analizados. A continuación se muestra la historia de desplazamiento usada:

Figura No. 2.2 Historia de desplazamientos controlados. Corresponde a la serie F

61

2.1 Evaluación

del

modelo

matemático usando

metodologías

tradicionales en SAP2000 V. 11. 2.1.1 Evaluación del modelo matemático usando “Hinges” como elemento inelástico

En primera instancia se especifican al software SAP2000 los materiales a usar. Para ello, y gracias a los resultados experimentales de ensayos de cilindros y del acero de refuerzo se introdujeron las gráficas correspondientes a esfuerzodeformación de los mismos.

Posteriormente se definen los elementos “Rotulas Plásticas” teniendo en cuenta que se toman para cada columna y viga con deformación controlada, esto se puede ver con más claridad en la Figura 2.3, donde se ha colocado una impresión de pantalla con el menú inicial de elección de “Hinges Properties”, una vez elegida esta opción en el menú descrito anteriormente se adicionan como “add Properties” los nombres de los elementos a ser usados. Para este caso y dado el uso de elementos columnas y vigas se decide tomar como nombres de las rótulas plásticas Col y Vig. Los elementos Hinges llamados como col tienen como característica que son elementos sometidos a cargas axiales y flexión ver figura 2.4 y esto es definido en la opción de “P-M3 Interaction”, el SAP 2000 tiene la posibilidad de involucrar estos dos campos de esfuerzos. Adicionalmente, se puede observar en

62

las opciones que se tiene en SAP2000 para el caso del elemento col, que se puede elegir entre el tipo de especificación del hinge, para este caso se toma la alternativa de Moment – Curvatura, ya que permite definir la longitud de la rotula. Otro de los temas de los cuales se puede elegir, es las condiciones de dependencia de simetría o no simetría para el momento curvatura, la cual fue elegida como condición simétrica de momento-curvatura por la simpleza del comportamiento de esfuerzos en este caso en particular, una vez elegidos los parámetros anteriores y en la parte inferior de la pantalla (ver figura 2.4) se modifica la curva de datos de momento curvatura de acuerdo a la información presentada por el ensayo experimental SAP2000 una vez tomada esta casilla, abre otra ventana donde el usuario puede introducir 5 puntos (A, B, C, D, E) de la curva anteriormente descrita.

63

Elección de las rótulas plásticas

Figura No. 2.3 Elección de rotulas plásticas en SAP2000

64

Definición rótula plástica columnas

El valor de B en curvatura no se puede modificar. Y el término denominado SF, se refiere a safe factor, que en este caso fue escogido como el momento de fluencia. Y para el caso de curvatura fue elegida la curvatura de fluencia φy.

Figura No. 2.4 Definición rotulas pláticas de columnas en SAP2000

65

En el caso de los parámetros para las hinges de las vigas, se toma la elección de Vig de la figura 2.3 y dado que se trata de un elemento sometido principalmente a flexión, entonces se define como deformación controlada sometida a M3 o momento en el eje fuerte. Posteriormente y tal como sucedió para el caso de la definición de la rótula en las columnas se introducen los puntos de momento vs rotación para definir la rótula plástica de las vigas (Ver Figura 2.5)

Figura 2.5 Definición de rótula plástica en la viga

66

Definición de la sección transversal:

Figura No. 2.5Definición rotulas pláticas vigas SAP2000 Ahora bien, con respecto a la sección transversal, todas las dimensiones y propiedades fueron definidas por medio del módulo SD section data que dan la posibilidad de introducir las relaciones esfuerzo vs deformación de cada material constituyente, en este caso (Acero y Hormigón). Es importante también resaltar que los estribos dan un confinamiento adicional a las secciones por lo que se define este parámetro por medio del modelo de Mander (Mander, J.B., M.J.N. Priestley, and R. Park 1984. “Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete”. Journal of Structural Engineering. ASCE. 114(3). 1804-1826). En la figura 2.6 se puede observar la definición de las Secciones transversales. Cabe destacar que en SAP 2000 es posible definir la sección transversal geométrica pero a su vez se puede incluir el refuerzo transversal. En la figura en

67

mención se observa las ventanas referenciadas a la definición geométrica de la sección transversal de la columna, se introduce la opción de SD Section data y posteriormente se introduce la alternativa de “Section Designer”, desde aquí se abre una nueva ventana donde el usuario puede introducir la figura geometrica como si se tratara de un programa del tipo CAD. Adicionalmente cuando se desean definir las propiedades de dicha sección se puede definir cada posición del refuerzo y lo más importante se puede definir la curva constitutiva del hormigón y del acero. Ver figura 2.6. Si bien es cierto la definición de la curva está basada en parámetros establecidos de acuerdo a modelos, sigue siendo de gran ayuda para el usuario. Así como en el caso de la columna también se ha definido las características de la sección de la viga (Ver figura 2.7) donde igualmente se introduce en el SAP 2000 la opción de SD Section y se define las dos curvas constitutivas, del acero y del hormigón.

68

Figura No. 2.6 Definición secciones transversales en SAP2000

69

Definición sección de la viga

Figura 2.7 Definición sección de la Viga SAP2000

70

El ejercicio se hizo bajo una historia de desplazamientos controlados, por lo que es necesario definirlo de esta forma en SAP2000. Es importante recalcar que en el software SAP2000 v.11.01 es necesario restringir el grado de libertad de desplazamiento en la dirección de aplicación del desplazamiento cíclico, con el fin de que se aplique fácilmente la función impuesta en el experimento. Igualmente se le aplica un desplazamiento unitario en este nodo para que haga las veces de un load case o carga estática, pero que en realidad será una carga seudoestática.

Figura 2.8 Definición de la historia de carga en SAP2000

71

Posteriormente se varia la intensidad de carga amplificando por un factor de carga definida arriba (Figura 2.8).

Posteriormente y teniendo el análisis de carga definido, se asignan a cada elemento Viga o Columna la posición de las rótulas plásticas o lugares de mayor probabilidad de ocurrencia de plasticidad por efecto de la excitación externa, obteniendo el siguiente esquema representativo.

Figura No. 2.9 Esquema ubicación de rotulas plásticas

72

Figura No. 2.10 Respuesta total de todo el sistema estructural para el caso del modelo con rotulas plásticas.

Adicionalmente a la respuesta total obtenida se realizó un análisis del comportamiento de un ciclo de carga para el modelo de rótulas plásticas. Obsérvese (figura No. 2.10) lo interesante que el modelo estructural está aproximadamente 10% por debajo del experimental en términos de corte basal (Ver anexo para más detalle), lo que implica una resistencia adicional del marco experimental Apliquemos solo un ciclo de carga como se observa y se obtiene el siguiente resultado

73

Figura No. 2.11 Primer ciclo de desplazamiento controlado

Figura No. 2.12 Corte basal para el primer ciclo

74

OUTPUT CORTE BASAL VS DESPLAZAMIENTO 2500.0 1875.7

2000.0 1838.1 1875.2

1877.1

1876.2

1879.6

1878.6

1877.6

1876.6

1879.1

1878.1

1880.6 1880.1

1881.0

1500.0

1000.0

‐0.1

CORTE BASAL (Kg)

975.4

500.0 NO LINEAL

0.0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 ‐330.0

‐500.0

‐1000.0

‐1500.0 ‐1887.0

‐1885.9

‐1884.8

‐1884.0

‐1882.6

‐2000.0

‐2500.0

‐1881.8

DESPLAZAMIENTO  (cm)

Figura No. 2.13 Corte basal vs desplazamiento para el primer ciclo

En la gráfica No. 213 se puede observar que la estructura analizada entra en rango inelástico en 1829.1 Kg.

Posteriormente se realizó un estudio comparativo entre el sistema estructural sin considerar los elementos Rótulas plásticas, es decir, la estructura como sistema totalmente elástico y el modelo de rótulas plásticas y se gráfica en el mismo plano obteniendo lo siguiente:

0.8

75

OUTPUT CORTE BASAL VS DESPLAZAMIENTO 16000.0 14630.8 13655.4

14000.0

12680.0 11704.7

12000.0

CORTE BASAL (Kg)

10000.0

10209.0

8778.5 7803.1

8000.0

6827.7

7998.3 NO LINEAL

5852.3 6000.0

5787.2

3901.6 4000.0

2926.1

3576.5

1950.8 975.4

0

1875.7

1838.1 1875.2

975.4

‐845.2 0.0 ‐1887.0

LINEAL

4876.9

2000.0

‐0.1

12420.0

10729.2 9753.9

1876.6

1877.6 1877.1

1876.2

1878.6 1878.1

1880.6 1880.1

1881.0

1365.5

‐1885.9 0.1

0.2 ‐1884.8

0.3 ‐1884.0

0.4 ‐1882.6

‐2000.0

‐4000.0

1879.6 1879.1

0.5

0.6

‐330.0

0.7

0.8

‐1881.8

DESPLAZAMIENTO  (cm)

Figura No. 2.14 Comparación respuesta elástica e inelástica para el primer ciclo

Si se aplica un estado de desplazamiento totalmente estático con un valor de 0.762 cm que corresponde al máximo del primer ciclo resulta una cortante basal de 14864.89 Kg. que equivale a un 1.57% del valor obtenido por el análisis en el tiempo lineal. La diferencia se presenta debido a que el tiempo de aplicación del desplazamiento debería ser más largo, para que realmente se considere un modelo seudoestático. Si se realiza un análisis de Pushover del pórtico con control de deformaciones se obtiene lo siguiente Se observa igualmente que 1829.1 Kg es el valor límite máximo de fuerza para que la estructura deje de comportarse linealmente y pase a tener un comportamiento inelástico. Comparado contra el corte basal aproximado del modelo experimental

76

se obtiene 0.0071 % de diferencia, lo que demuestra nuevamente el buen comportamiento del modelo, de acuerdo a los parámetros obtenidos. 2000 1829.1

1880.95 1880.93

1858.51

1800

1880.99

1880.97

1881.03

1881.01

1881.08

1881.06

1881.12 1881.1

1881.16 1881.14

1881.21

1881.29

1881.33

1881.31

1881.18

1881.36

1706.8

1600 1462.97

CORTE BASAL (Kg)

1400 1219.14

1200 1000

975.31

800 731.49

600 487.66

400 243.83

200 0

0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

DESPLAZAMIENTO  (cm)

Figura No.2.15 Push over para el marco de sozen y Gulcan usando rotulas plásticas

Con el fin de estudiar el comportamiento del modelo al variar algunos parámetros se decide tomar el mismo experimento del marco de Sozen y cambiar el tipo de histéresis que en un principio se hizo usando el modelo Kinematic por el Takeda.

77

Figura No. 2.16 Comparación corte basal vs desplazamiento con Takeda y

Kinematic Como se observa no hay ningún tipo de variación al cambiar el parámetro sobre tipo de histéresis, La gráfica No. 2.16 muestra este caso de estudio. Ahora se hace un análisis Pushover nuevamente comparativo.

Figura No. 2.17 Comparación pushover con takeda y kinematic para rótulas

plásticas.

78

Cuando se realiza un análisis de Push Over, nuevamente no se presentan variación alguna, lo que significa que para este modelo en particular, la variación entre histéresis del tipo Kinematic y Takeda no hay ninguna variación en un análisis de Push Over. Otro de los parámetros importantes es el comportamiento momento-curvatura de los elementos que componen el marco experimental. Las gráficas 2.18 y 2.19 se elaboraron a partir del refuerzo de la sección transversal en las vigas y con ayuda de SAP2000 y son útiles para comparar el efecto de la relación de momento curvatura dentro del análisis en SAP2000

Figura No. 2.18 Momento curvatura en la viga

Y para la columna se uso el siguiente:

79

Figura No. 2.19 Momento curvatura de la columna

SAP2000 considera el refuerzo inferior y superior para su cálculo. Por otro lado, SAP2000 tiene la ventaja de definir el diagrama momento curvatura usando la opción de sección confinada. Adicionalmente se ha graficado el diagrama momento curvatura para confinado y no confinado en el mismo plano cartesiano, lo cual se puede observar en la figura 2.20:

Figura No. 2.20 Comparación momento curvatura de la viga confinado y no

confinado

80

Se puede observar que para la viga (Figura No. 2.20), no existe casi variación en los puntos iníciales. Existe una diferencia de aproximadamente 5% en las curvaturas finales, cuando el confinamiento comienza a ser relevante, sin embargo es de anotar que obviamente es superior el momento dado para una misma curvatura. Con respecto a la columna se obtiene:

Figura No. 2.21 Comparación momento curvatura columna confinada y no

confinada Por otro lado en el caso de la columna si se nota una diferencia del 20% entre confinado y no confinado, sobre todo después del momento de agrietamiento. La razón fundamental de esta situación es que la cuantía de refuerzo para el elemento columna es mayor que para la viga.

81

De acuerdo a la figura No. 2.20 se concluye que si se desea incluir la variable de momento curvatura, se debe cambiar los parámetros definidos en las opciones sobre rótulas plásticas y NO los definidos dentro de las características de la sección. En otras palabras, en SAP2000 es indistinto variar el parámetro de confinamiento dentro de las características de la sección para los análisis inelásticos. Si se desea observar el comportamiento inelástico del sistema se debe incluir esta variación dentro de la definición de las rótulas plásticas.

Al hacer esta variación dentro de las rótulas plásticas y graficar la solución para un solo ciclo se obtiene: OUTPUT CORTE BASAL VS DESPLAZAMIENTO 2500.0 1876.6

1875.7

2000.0 1838.1 1875.2

1878.6

1877.6 1877.1

1876.2

1878.1

1880.6

1879.6 1879.1

1880.1

1881.0

1500.0

1000.0

NO LINEAL Takeda

‐0.1

CORTE BASAL (Kg)

975.4

NO LINEAL Kinematic

500.0

NO LINEAL Takeda No confinado

0.0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

‐330.0

‐500.0

‐1000.0

‐1500.0 ‐1887.0

‐1885.9

‐1884.8

‐1884.0

‐1882.6

‐2000.0

‐2500.0

‐1881.8

DESPLAZAMIENTO  (cm)

Figura No. 2.22 Comparación V vs D para Takeda confinado y no confinado No existe ninguna variación para este modelo en particular, sobre todo para el caso de la columna.

82

Por último y para reconfirmar los resultados por otro método, se decidió aplicar la cortante basal como una historia de fuerzas extrayendo los desplazamientos del nudo 1 y comparándolo con la historia de desplazamientos controlados aplicados. A continuación se muestra la historia de fuerzas aplicadas, cabe destacar que para este caso el nodo 1 fue liberado de cualquier restricción impuesta anteriormente, ya que se trata de una historia de fuerzas. Se realiza una integración directa no lineal y se observa que el método numérico usado es lento para la complejidad del mismo, llevando el análisis a un tiempo de más de 2 hr. Los resultados muestran (Figura No. 2.23), que dan lo mismo, es decir los desplazamientos del nudo 1 arrojados por la historia de fuerzas coinciden casi exactamente con la historia de desplazamientos. Cabe destacar que estos dos análisis se hicieron en el mismo software SAP2000.

83

Figura No. 2.23 Grafica comparativa de historia de desplazamientos e historia de fuerzas

84

2.1.2 Evaluación del modelo matemático usando “Links” como elementos inelásticos. (Modelo S2)

SAP 2000 tiene la posibilidad de elegir otro elemento inelástico denominado Links, estos se tratan de elementos con longitud definida y no localizados como las rótulas. A diferencia del modelo de rótulas plásticas, se debe definir una zona de los elementos frames, donde se ubicaran los respectivos links inelásticos. Para la longitud de estos links se asumió un valor igual a la altura del elemento como zona de posible rótula plástica.

Figura No 2.24 Modelo en SAP2000 usando Links inelásticos

85

Una vez que se tiene la geometría, las secciones transversales y el material definido de acuerdo a las propiedades anteriormente descritas para el modelo de rótulas plásticas, se debe definir las propiedades de los links inelástico: Cada uno de estos elementos tienen la posibilidad en SAP de definir el comportamiento histerético para cada grado de libertad.

Cabe destacar que se deben elegir una serie de parámetros inelásticos. Para efectos prácticos el parámetro de la masa y peso están basados en la longitud del tramo supuesto como links y de la sección transversal de cada elemento. En segundo lugar los links, permiten definir plasticidad a cada grado de libertad de los nodos involucrados. De acuerdo a esto, se observa como para la columna y la viga se definió plasticidad para el grado de libertad R3, correspondiente al giro en sentido del eje fuerte del elemento.

Igual que para la definición de las rótulas plásticas, es posible definir el tipo de histéresis, tal como se hizo en el modelo de rótulas plásticas se elige Takeda. Es importante observar que se debe definir el comportamiento momento rotación de la sección transversal, para lo que se usó los datos del modelo experimental. La rigidez efectiva que se observa está definida a partir de las propiedades NO fisuradas de las sección. Un aspecto importante a resaltar es que los datos de rotación tienen problemas de convergencia cuando son del orden de 10^-8. Así mismo la gráfica de Momento rotación no presenta los últimos puntos de la falla

86

ya que se demostró que el modelo presenta divergencias cuando se expresa todo el comportamiento de la función momento curvatura, incluyendo los puntos cercanos al cero en las ordenadas.

El input aplicado es una historia de fuerzas, resultado del análisis con historia de desplazamiento controlada. Debido a que la implementación de estos elementos inelásticos no puede ser aplicado con una historia de desplazamientos controlada. La respuesta a esta historia de fuerzas se observa en la siguiente gráfica.

Figura No. 2.40 Definición de la historia de fuerzas

Figura No. 2.25 loops experimentales vs modelo de links

87

Observese en la gráfica No. 2.25 muestra los dos conjuntos de curvas y que además son muy similares, sin embargo los desplazamientos del modelo matemático son aproximadamente 33% mayores a las obtenidas en el test de desplazamientos controlados. El gran problema de los Links es que son elementos plásticos muy localizados y esto hace que la respuesta así lo sea, por lo que hay problemas de compatibilidad de deformaciones y esfuerzos en los puntos de contacto entre el elemento frame y el elemento link y esto se ve reflejado en el tiempo de análisis y en la convergencia del mismo en rangos de alta inelasticidad.

88

2.1.3 Evaluación del modelo matemático usando el método del puntal-tensor. (Modelo S3)

Para el modelamiento del marco de Sozen usando el método del tensor puntal fue necesario determinar las dimensiones equivalentes para los elementos diagonales y longitudinales Nicholas H. To (2005). .H.T. To y J.M. Ingham Usan como estrategia dividir la estructuras en diferentes regiones. Hay dos tipos de regiones, “B” y “D”, B (Bernoulli), son las denominadas partes donde se asume la teoría convencional de la flexión y la D (o Disturbed), donde la distribución de esfuerzos deformación están significativamente afectadas por discontinuidades en la geometría física.

Adicionalmente Honggun Park y Taesung Eom, diferencian claramente las áreas equivalentes para las zonas longitudinales y diagonales de los elementos vigas y columnas, se realizan los siguientes cálculos para cada zona:

1.

Columna

Las áreas equivalentes y resistencias a la compresión del hormigón a usar se calculan teniendo en cuenta la posición del eje a compresión cuando el acero fluye por primera vez (Figura No. 2.26 Ref. Honggun Park y Taesung Eon))

89

adicionalmente se utiliza lo usado por Honggun Park y Taesung Eom en cuanto al área de cada elemento. Elementos longitudinales:

Figura No. 2.26 representación de áreas equivalentes elementos longitudinales Los elementos equivalentes del tipo 1, son localizados en el centroide de la fuerza a tracción del refuerzo en las zonas denominadas regiones B. El procedimiento es muy sencillo. Primero se calcula d’ correspondiente a la distancia desde los bordes hasta el centroide de la posición del refuerzo, con este valor se determina a, o el brazo de la zona a compresión de acuerdo al rectángulo equivalente, posteriormente se determina c usando para ello el parámetro de equivalencia β y con este valor y el centroide de la parábola a compresión se determina las áreas equivalentes de acuerdo a las figuras anteriores. Ac (cm2) Dc (cm)

20.176 5.07

90

Elementos Transversales:

Figura No. 2.27 representación de áreas equivalentes elementos transversales

Los diámetros se determinan despejando el área transversal equivalente calculada con la fórmula de una sección circular.

DTC (cm) DTE (cm)

0.1246 0.139

91

Elementos Diagonales:

Ac (cm2) DCD (cm)

116.63 10.8

Figura No. 2.28 representación de áreas equivalentes elementos diagonales Los elementos diagonales tienen una diferencia con respecto al cálculo de los otros elementos, y consiste en el ángulo definido para su ubicación, tal como lo indica To, N. H. T., Ingham. J. M. and Sritharan, S. (2007). El ángulo varía desde 31 hasta 59 grados y fue determinado con respecto a la longitud real de los elementos viga y columna.

92

2.

Vigas

Exactamente lo mismo se debe hacer para las vigas obteniendo: Elementos longitudinales:

Ac (cm2) Dc (cm)

20.176 5.07

DTC (cm) DTE (cm)

0.12 0.19

Ac (cm2) DCD (cm)

132.86 11.53

Elementos Transversales:

Elementos Diagonales:

Para la determinación del ángulo de inclinación de cada elemento se recomienda, (To, N. H. T., (2005), Yun, Y. M. (2000a), Honggun Park, Taesung Lon.(2007), grados de inclinación entre 31 y 59 grados, para lo cual y teniendo un ancho constante de acuerdo a la distribución de los elementos longitudinales se calcula el ángulo por geometría (49.27 Grados).

93

Después de la definición de cada sección equivalente se elabora la geometría general del pórtico, obteniendo el siguiente esquema:

Figura No. 2.29 Configuración del modelo puntal tensor del marco

Las recomendaciones de la disposición de los tensores y puntales están de acuerdo a lo definido por varios autores (To, N. H. T., (2005), Yun, Y. M. (2000a), Honggun Park, Taesung Lon.(2007), ver referencias). Ahora bien, una vez definidos los elementos tipo frame, tal como se explicó anteriormente, se inició el proceso de definir el tipo de elementos inelásticos a ser usados, para lo cual y debido a que los elementos Links eran elementos con consideración de longitud y de propiedades tal como si fuera un elemento, a diferencia de las rótulas plásticas, en las que las propiedades se aplicaban sobre los mismos elementos, se decide usar los elementos links. Las propiedades definidas fueron las referentes a un elemento inelástico sometido solamente a carga axial.

94

Figura No. 2.30 loops experimentales vs modelo de puntal tensor (Para mayor detalle ver anexo)

Como se puede observar, este modelo matemático se acerca más, comparado con los modelos de links y de Hinges, a los resultados experimentales, dando como conclusión que el método puntal-tensor para este caso en particular es más próximo al modelo experimental, la diferencia entre el modelo experimental y el modelo matemático es aproximadamente en un 16% con respecto a las cortantes basales (para los ciclos superiores al 12). Si se realiza un análisis más minucioso ciclo a ciclo se puede observar por ejemplo en el ciclo 3 se encuentra una

95

geometría del modelo que se asemeja en forma a la del modelo experimental aunque siguen existiendo diferencias sobretodo en el corte basal, para estos primeros ciclos (1 al 12) el corte basal del modelo matemático es menor (del orden del 20%) al caso experimental.

Figura No. 2.31 Loop ciclo experimental vs ciclo modelo puntal tensor

2.1.4 Propuesta modelo hibrido puntal tensor

Uno de los aspectos más observados durante el análisis es el tiempo requerido del proceso computacional. Ya que para este modelo en particular y aplicando solamente la metodología puntal tensor se tuvo tiempos de análisis para la función de desplazamientos controlados de aproximadamente 9 horas, lo cual se convierte en un factor muy determinante cuando se trabaja con modelos de mayor complejidad.

96

Por el anterior motivo se ha decidido implementar un modelo hibrido en el cual se ha identificado las zonas de rótula plásticas o las zonas donde se espera entren en rango inelástico para implementar la metodología de puntal tensor y el resto de los elementos simplemente definidos con elementos frames. A continuación se muestra un esquema.

Figura No. 2.32 Modelo hibrido Marco Sozen. La zona elegida de rótula plástica se ha escogido en virtud de los mismos principios asumidos para el caso de los links y rótulas plásticas anteriormente implementadas, es importante resaltar que la transición entre las dos fases en el modelo híbrido se ha escogido como elementos del tipo infinitamente rígidos, ya que es importante la transición completa de esfuerzos al elemento frame. Este modelo híbrido tiene una reducción en el tiempo de análisis de 3 horas, lo que

97

equivale a 1/3 del tiempo computacional tardado para todo el modelo puntal tensor implementado.

Ahora bien, los resultados obtenidos no son muy diferentes a los obtenidos en el modelo global de puntal-tensor realizado en el punto 2.1.2. A continuación se muestra los resultados obtenidos.

Figura No. 2.33 Resultados para el modelo híbrido puntal tensor (Para mayor detalle ver anexo)

98

2.2

Análisis

de

los

problemas

encontrados

en

la

implementación del modelo del marco de Sozen y Gulkan .

• El uso de rótulas plásticas en el software SAP 2000, ocasiona que el modelo estructural esté por debajo del experimental en aproximadamente 10%. • El intervalo de puntos en la integración produce que la curva histerética tenga una rigidez negativa al final de la curva, lo que es una respuesta falsa y se debe a la falta de puntos cercanos en esa zona final. • Cuando se usan rótulas plásticas y se cambia el tipo de modelo usado, de Kinematic a Takeda, la respuesta histerética no sufrió cambios. Esto no corresponde a lo esperado, igualmente sucedió con un análisis de pushover donde la respuesta no sufrió ningún tipo de cambio. • Otro parámetro evaluado es el comportamiento bajo el parámetro momentocurvatura, para lo cual se definieron las gráficas de momento-curvatura de las vigas y las columnas. Se observó que en SAP2000 es indistinto para este caso en definir la sección transversal como confinada o no confinada, si se desea observar el comportamiento inelástico del sistema se debe incluir esta variación dentro de la definición de las rótulas plásticas. • Al igual que en el caso del uso de rótulas plásticas se define como histéresis el modelo Takeda. Para lo cual se definen la curva de momento curvatura, sin embargo se encontraron problemas de convergencias cuando las rotaciones son del orden de 10-8, así mismo la gráfica de momento rotación no presenta los últimos

99

puntos de la falla ya que se demostró que el modelo presenta divergencias cuando se expresa todo el comportamiento de la función momento curvatura, incluyendo los puntos cercanos a cero en las ordenadas. • Otro problema encontrado es la imposibilidad de usar una historia de desplazamientos controlada por lo que es necesario hacer una evaluación para introducir una historia de fuerzas controladas, esta equivalencia produce de cierta forma una inexactitud, pero que sin embargo sigue comportándose mejor que para el caso de rótulas plásticas. • El modelo de links resulta con desplazamientos mayores a los observados experimentalmente, aproximadamente del 33%. Lo que sucede es que el gran problema de los links es que son elementos plásticos muy localizados y esto hace que la respuesta así lo sea, por lo que problemas de compatibilidad de deformaciones y esfuerzos en los puntos de contacto entre el elemento frame y el elemento link. • El gran problema encontrado en el modelo de puntal-tensor es el tiempo que se demora el modelo en dar resultados, se encontró valores promedio de 9 horas para modelos simples como pórticos planos y vigas en voladizo planas, es más lento, debido a la cantidad de elementos que se necesitan para el análisis. • Por otro lado, el modelo híbrido implementado reduce el tiempo computacional en aproximadamente la tercera parte y el resultado obtenido es el mismo que el obtenido para el caso de implementación del modelo puntal-tensor totalmente.

100

3.

VIGA EN VOLADIZO DE BERTERO, POPOV Y WANG (1974)

3.1 Evaluación del modelo matemático usando metodologías tradicionales en SAP2000 V. 11. (Modelo S1)

Como un reporte de investigaciones de la “National Science Foundation” Vitelmo Bertero, Egor P. Popov y Tsan Y. Wang, estudiaron el comportamiento histerético de elementos de hormigón armado sometidos a flexión con diferentes refuerzos a corte.

El ensayo original constaba de 2 vigas de 78 in de largo de 15x29 in de sección transversal y ambas reforzadas arriba y abajo con 6 varillas # 9 y con dos diferentes refuerzos a corte. En la denominada Viga 33 (Ver figura 3.1) el refuerzo transversal consistía en doble estribo los cuales eran capaces de ofrecer buen soporte lateral a todas las barras longitudinales y estribos adicionales en el área crítica.

Para este trabajo de investigación se considerará la Viga 33 como caso de estudio. A continuación se presenta un esquema de la probeta.

101

Figura No. 3.1 Esquema viga 33 El ensayo fue realizado con una historia de cargas para un total de 28 ciclos.

102

Figura No. 3.2 Historia de desplazamiento Viga 33 Inicialmente se generó un modelo en SAP 2000 con elementos frame y con elementos inelásticos del tipo Links e Hinges. Se decide realizar un modelo donde solamente se considere inelasticidad debido la flexión en el eje fuerte y otro donde se considere el corte y la flexión. Para el primer caso se obtiene la siguiente respuesta sobrepuesta sobre el resultado experimental.

103

Figura No. 3.3 Esquema respuesta para el modelo SAP usando hinges.

Se observa como el resultado del primer modelo no es capaz de representar fielmente los últimos ciclos y es debido al comportamiento del corte dentro de las cargas y descargas. Se observa que los primeros ciclos tiene diferencias de aproximadamente 40%, pero a partir faltando 5 ciclos aproximados esta diferencia comienza a aumentar hasta alcanzar más del 150%, lo que implica que el modelo implementado no es capaz de representar los últimos ciclos del modelo experimenta. La razón principal de estos errores es el efecto de corte en el comportamiento inelástico del modelo, el cual no es posible implementar de manera eficiente en SAP2000.

104

Adicionalmente se puede observar como los primeros ciclos concuerdan claramente con la curva experimental aunque se observa una tendencia a aumentar la curva histerética de manera pronunciada.

3.2 Evaluación del modelo matemático usando el método del puntal-tensor. (Modelo S2) Para el modelamiento de la viga Popov y Wang usando el método del puntal tensor fue necesario determinar las dimensiones equivalentes para los elementos diagonales y longitudinales. N.H.T. To y J.M. Ingham Usan como estrategia dividir la estructuras en diferentes regiones. Hay dos tipos de regiones, “B” y “D”, B (Bernoulli), son las denominadas partes donde se asume la teoría convencional de la flexión y la D (o Disturbed), donde la distribución de esfuerzos deformación están significativamente afectadas por discontinuidades en la geometría física.

Adicionalmente Honggun Park y Taesung Eom, diferencian claramente las áreas equivalentes para las zonas longitudinales y diagonales de los elementos vigas y columnas, se realizan los siguientes cálculos para cada zona:

Junto con esta definición se debe generar la geometría del puntal tensor, para lo que se siguen las geometrías para este tipo de elementos vigas de hormigón armado en voladizo (Cyclic strut-and-tie modeling of reinforced concrete structures, N.H.T. To, J.M. Ingham and B.J. Davidson). Igual que en los casos

105

anteriores las vigas en voladizo también cuentan con zonas típicas B y los ángulos de las diagonales cumplen las mismas reglas vistas anteriormente y también siguen con las recomendaciones del CEB-FIP (1978). Tal como sea muestra en la figura los tipos A son elementos fibras uniaxiales que representan los miembros en la zona a flexión. Aún más los elementos tipo B son los miembros del modelo puntaltensor que representan el refuerzo transversal y los tipos C son construidos para representar la zona de hormigón diagonal.

Tipo B

Tipo A Tipo C

Figura No. 3.4 Esquema viga modelo puntal tensor Elementos longitudinales:

Ac (cm2) Dc (cm)

20.5 1.77

106

Elementos Transversales:

DTC (cm) DTE (cm)

1.77 0.94

Ac (cm2) DCD (cm)

235.2 17.3

Elementos Diagonales:

Después de realizar el modelo matemático e introducirlo dentro del programa de análisis se encontró la siguiente respuesta.

Figura No. 3.5 Esquema respuesta para el modelo Puntal-Tensor.

107

Se observa que la respuesta con el modelo Puntal Tensor se aproxima un poco más a la respuesta experimental la diferencia en los ciclos iníciales se reduce a aproximadamente al 20%, sin embargo cabe destacar que las últimas curvas no se obtuvieron debido a que el modelo igualmente diverge en valores muy altos de la carga externa aplicada.

3.3 Propuesta modelo hibrido puntal tensor

Así como en el caso del marco de Sozen el gran inconveniente encontrado es el tiempo necesario computacional para lograr el análisis completo de esta estructura sencilla, ya que para la viga en voladiza de Popov requirió aproximadamente de 3 horas lo cual es mucho para un sistema estructural tan sencillo.

Por este motivo se ha decidido implementar nuevamente un modelo híbrido entre la metodología puntal-tensor y elementos frames. A continuación se muestre un esquema simple del modelo híbrido implementado para este caso.

108

Figura No. 3.6 Modelo híbrido para el caso de la viga de Popov.

A diferencia del modelo híbrido del marco de Sozen, en este caso se ha decidido trabajar con una longitud de rótula plástica dos veces más grande que para el caso de longitud de links e hinges usadas en los modelos de Popov anteriores. La razón fundamental de este aspecto es porque el modelo con las mismas longitudes usadas en los modelos anteriores presentaba una respuesta en deformaciones menores en un 30% a los valores obtenidos en el caso de la implementación del modelo completo de puntal-tensor.

El uso de un modelo híbrido en el cual la metodología puntal tensor se implementó en una zona equivalente a dos veces “d” dio una respuesta igual a la metodología de puntal-tensor completa, tal como se muestra a continuación: Adicionalmente el modelo híbrido de la viga de Popov demoró aproximadamente 2 horas lo que implica una reducción de un tercio del tiempo con respecto al modelo puntaltensor completo.

109

Figura No. 3.7 Respuesta modelo híbrido viga de Popov.

3.4 Análisis de los problemas encontrados en la implementación de la viga de Popov. • El modelo de SAP2000 no es capaz de representar el comportamiento de los últimos ciclos y diverge cuando está próximo a ellos. • Uno de los grandes problemas encontrados, es generar la geometría correcta o que mejor represente el comportamiento de la estructura. • Aunque el modelo puntal-tensor representa un poco mejor el comportamiento (se observa reducciones de aproximadamente el 20%), aún no es capaz de representar las últimas curvas del modelo experimental (Diverge antes de representar los últimos 5 ciclos). • Aunque el tiempo de análisis de la metodología puntal tensor es poca comparada con modelos complejos como por ejemplo el modelo del marco de Sozen, se ha

110

logrado su tiempo de implementación en un tercio usando una alternativa híbrida de análisis.

4.

ESTUDIO EN SIMULADOR SÍSMICO DE UN MARCO DE HORMIGÓN ARMADO, P. HIDALGO Y R. W. CLOUGH 1974

Hasta el momento en esta investigación se han analizado y comparado ensayos experimentales sencillos, pero el comportamiento real de estructuras sometidas a sismo dista mucho de efectos seudoestáticos, por esta razón se ha decidido trabajar con el experimento realizado por Hidalgo y Clough en 1974, ya que fue un experimento que cuenta con una gran cantidad de sismos y de análisis que requieren metodologías dinámicas más detalladas.

La idea inicial de este estudio comprendía un programa de investigación sobre el estudio del comportamiento de estructuras de hormigón armado bajo condiciones de carga sísmica, todos usando una mesa vibratoria de 20 pies por 20 pies localizada en la Universidad de California.

El objetivo principal de este programa fue obtener

información acerca de estas estructuras, vibrando en amplitudes suficientes como para causar deformaciones inelásticas.

Con respecto al estudio, fueron tomadas varias decisiones, la primera fue la de usar una simple pero completa estructura para reproducir una situación práctica. Se decidió que

111

predominaran las condiciones flexurales, con baja influencia de esfuerzos de corte y de carga axial. Aunque se consideraron cuatro diferentes demandas sísmicas, para esta evaluación posterior se decidió usar la denominada W6, referente al sismo TAFT S69E (Ver figura 4.1).

Fig. 4.1 Sismo TAFT, N69W Comp., July 1952 En la figura No. 4.2 se puede observar un esquema general de la estructura evaluada. La estructura para el test, fue obtenida reduciendo el tamaño real aproximadamente 30%. Mucho más, la distancia entre elementos fue hecha lo más corta posible sin afectar la acción de las vigas T en el diafragma de piso. Las propiedades de las secciones fueron analizadas en la base de las 3 hipótesis de rigidez:

a.

Área de la sección transformada, Que considera el efecto del refuerzo y asume el

comportamiento del hormigón lineal en tensión y compresión con un módulo de elasticidad, Ec.

112

b.

Sección Bruta, no considera los efectos del acero pero asume la contribución del

concreto en tensión y compresión como se indica en a. c.

Sección fisurada, la cual toma en cuenta el efecto del acero de refuerzo pero no

considera la contribución del hormigón donde está sujeta a esfuerzos a tensión.

113

Fig. 4.2 Esquema del montaje experimental

114

4.1 Evaluación del modelo matemático usando metodologías tradicionales en SAP2000 (Modelo S1).

Tal como se ha hecho en los casos anteriores se ha generó un modelo en SAP 2000, considerando Link como elementos inelásticos y analizándolo bajo el método de integración de Newmark. Por otro lado se definieron las secciones de las vigas dibujándolos en el módulo de SAP2000, SD Section, donde se introdujo el acero de refuerzo y el comportamiento momento curvatura de cada sección, adicionalmente una rigidez modificada tal como lo hace el estudio en mención. A continuación se muestra el modelo usado.

Fig. 4.3 Modelo SAP de la estructura El modelo matemático usado es similar al modelo E, ya que representó los resultados más satisfactorios. Para comparar los resultados obtenidos con el

115

ensayo, se decidió usar las variables de desplazamiento en el nivel superior, desplazamiento en el nivel intermedio y el de reacciones en las columnas, ya que representan de mejor manera el comportamiento global del modelo. A continuación se muestran los resultados obtenidos.

Fig. 4.4 .Respuesta desplazamiento de cubierta vs tiempo

116

Fig. 4.5 .Respuesta desplazamiento de entrepiso vs tiempo

Se observa que aunque sigue las mismas tendencias su comportamiento presenta diferencias apreciables con respecto al ensayo experimental.

4.2 Evaluación del modelo matemático usando el método del puntal-tensor.

Para el modelamiento del pórtico del profesor Hidalgo y del profesor Clough, usando el método del tensor puntal fue necesario determinar las dimensiones equivalentes para los elementos diagonales y longitudinales. Tal como se hizo para los modelos anteriores.

117

Figura No. 4.6 Esquema pórtico modelo puntal tensor Elementos longitudinales en columnas:

Ac (cm2) Dc (cm)

51.2 8.07

Elementos Transversales en columnas:

DTC (cm) DTE (cm)

Elementos Diagonales en columnas:

0.08 0.09

118

Ac (cm2) DCD (cm)

315 20.03

Elementos longitudinales en vigas:

Ac (cm2) Dc (cm)

51.4 8.09

Elementos Transversales en vigas:

DTC (cm) DTE (cm)

0.054 0.061

Elementos Diagonales en vigas:

Ac (cm2) DCD (cm)

315 20.03

Después de realizar el modelo matemático e introducirlo dentro del programa de análisis se encontró la siguiente respuesta:

119

Fig. 4.7 .Respuesta desplazamiento de cubierta vs tiempo

Fig. 4.8 .Respuesta desplazamiento de entrepiso vs tiempo

120

4.3 Propuesta modelo híbrido puntal-tensor

El tiempo de análisis del modelo puntal tensor completo es de aproximadamente 13 horas, lo que significa un impacto enorme en cuanto al parámetro de tiempo se refiere, este impacto puede llegar a ser tan alto que se convierte en una metodología de mucha inversión en tiempo.

Por el anterior motivo se ha decidido como en los casos anteriores implementar un modelo híbrido en el cual se eligen zonas de posible rotulas plástica para la colocación de elementos puntal-tensor, con las constitutivas y secciones anteriormente calculadas. El resto de la estructura fue concebido con elemento frames de comportamiento elásticos. A continuación se muestra un esquema del modelo propuesto:

121

Fig. 4.9 Modelo híbrido puntal tensor Igual que en los modelos híbridos anteriores es necesario colocar elementos de rigidez infinita en la transición del modelo puntal-tensor hacia el elemento frame. El objetivo principal de la implementación de este modelo híbrido es la disminución del tiempo de análisis y la confirmación de resultados de igual o cercana certeza que los modelos completos de puntal-tensor. Los resultados obtenidos para este caso se muestran a continuación.

122

Fig. 4.10 .Respuesta desplazamiento de cubierta vs tiempo modelo híbrido

Fig. 4.11 .Respuesta desplazamiento de entrepiso vs tiempo

123

4.4 Análisis de los problemas encontrados en la implementación del pórtico de Hidalgo-Clough

• Se ha implementado dos modelos matemáticos en SAP2000, usando diferentes elementos inelásticos con el fin de obtener la respuesta de la estructura estudiada a la excitación definida por el ensayo experimental. Se encontró, como en los casos anteriores, que los elementos Links son menos precisos al compararlos contra el modelo experimental (50%), posteriormente y cercanos al 10% se obtuvo la respuesta usando un modelo bajo el modelo Puntal Tensor.

124

CONCLUSIONES

• Todas las respuestas de los modelos usando la metodología puntal-tensor, estuvieron satisfactoriamente, con porcentajes cercanos al 40%, de acuerdo con los modelos experimentales, a diferencia de las metodologías usuales de análisis inelásticos.

• Uno de los grandes problemas que existen en los modelos matemáticos implementados han sido las leyes constitutivas usadas. El Programa SAP no es capaz de implementar de forma correcta las constitutivas de tal forma que representen correctamente los modelos experimentales. Sigue siendo imprescindible la verificación de los modelos previos a su implementación

• Los modelos implementados en SAP con elementos inelásticos del tipo Links tienen un mejor comportamiento que aquellos implementados con Hinges, debido a que la focalización de comportamientos inelásticos mejoran la respuesta esperada. Más aún los elementos definidos como Links, son elementos que se definen como tales, con longitud y ubicación dentro del modelo, esto no sucede con las rótulas plásticas que son definidas sobre los frame previamente establecidos dentro del modelo.

• Los resultados de los modelos estructurales implementados arrojaron que el uso de rótulas plásticas en el Software Sap2000 ocasiona que el modelo estructural esté por debajo del experimental, esta variación depende de cada caso en particular,

125

adicionalmente la respuesta histerética es del tipo bilineal para el caso del uso de modelos de rótulas plásticas.

• El modelo de links resulta con desplazamientos mayores a los observados experimentalmente. Lo que sucede es que los links es son elementos plásticos con una longitud definida y esto hace que haya incompatibilidades de deformaciones en las conexiones entre los frames y los links.

• Cuando se trabajaron los modelos con rótulas plásticas o Links, es de suma importancia definir las longitudes de las zonas plásticas, esta debe ser aproximadamente igual a la altura de la sección para que la pendiente de la rigidez de postfluencia en el gráfico fuerza-deformación sea consistente con los valores obtenidos experimentalmente usando la relación momento-curvatura teórica.

• Como se observó en los modelos experimentales, la degradación de rigidez sigue siendo un fenómeno que ocurre en los elementos de hormigón armado, por lo que es fundamental su consideración en cualquier tipo de modelo matemático que se quiera implementar.

• Aunque el programa SAP es el más usado en la práctica actual, tiene problemas de convergencia para los casos que se desea implementar análisis inelásticos, ya que

126

para una alta complejidad de los modelos el programa tiene un incremento de procesamiento de los datos que resulta lento para la práctica profesional.

127

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131

ANEXO

132

Anexo A: Procedimiento matemático de SAP ante un input de desplazamiento Se ha demostrado que recuperar la aceleración a partir de los desplazamientos es una operación numérica inestable, por este motivo en esta investigación se propone la introducción directa de la historia de desplazamientos controlados dentro del software SAP2000. Ahora bien, lo que hace SAP2000 internamente se explica brevemente a continuación. Para un sistema de “Lumped-mass” el sistema de ecuaciones dinámicas de equilibrio, en términos del desplazamiento desconocido de los nudos Us en la superestructura y el desplazamiento absoluto Ub , en el lugar donde se le impone el desplazamiento externo, se puede escribir.

Si se toma la ecuación de equilibrio correspondiente a la superestructura solamente, con el valor de desplazamiento controlado absoluto, se puede escribir:

Aquí surge el gran inconveniente del amortiguamiento en la zona de desplazamiento controlado. Estas fuerzas definidas para el amortiguamiento normalmente no son tenidas en cuenta por tal motivo la anterior ecuación es escrita de la siguiente manera:

133

Anexo B: (MARCO SOZEN-GULKAN) respuesta cíclica; Modelo matemático usando “Hinges” como elemento inelástico

134

Anexo C: (MARCO SOZEN-GULKAN) Respuesta sísmica; modelo matemático usando “Links” como elementos inelásticos. (Modelo S2) 3000

3000

COMPARACIÓN CURVA EXPERIMENTAL VS CURVA MODELO LINKS

2000

2000

1000

1000

0 ‐1

‐0.8

‐0.6

‐0.4

‐0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

COMPARACIÓN CURVA EXPERIMENTAL VS CURVA MODELO LINKS

‐1.5

0 ‐1

‐0.5

‐1000

0

0.5

1

1.5

‐1000 Modelo SAP Ciclo 6 Exp

‐2000

Modelo SAP

‐2000

Ciclo 9 Exp

‐3000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

‐3000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

4000

3000

COMPARACIÓN CURVA EXPERIMENTAL VS CURVA MODELO LINKS

COMPARACIÓN CURVA EXPERIMENTAL VS CURVA MODELO LINKS

3000 2000

2000

1000

‐1.5

0 ‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

1000

‐1.5

0 ‐1

‐0.5

0

0.5

‐1000 ‐1000

Modelo SAP

‐2000

‐2000

‐3000

‐3000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

Modelo SAP Ciclo 12 Exp

Ciclo 13 Exp

‐4000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

1

1.5

135

Anexo D: (MARCO SOZEN-GULKAN) Evaluación del modelo matemático usando el método del puntal-tensor. (Modelo S3) CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 10)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 7)

3000

1500

2500 1000

2000 500

1500

‐1.2

‐1

‐0.8

‐0.6

‐0.4

‐0.2

0

0.2

0.4

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

0 0.6

‐500

1000

500

0 ‐1000

‐0.6

‐0.4

‐0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

‐500 ‐1500

‐1000 ‐2000

Modelo SAP Ciclo 10

‐1500

Modelo SAP Ciclo 7

Ciclo 10 Exp

Ciclo 7 Exp

‐2500

‐2000

‐2500

‐3000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 18)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 17) 2000

3000

1500 2000 1000

1000

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

500

0 ‐1

‐0.8

‐0.6

‐0.4

‐0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

‐500

0 ‐1

‐0.5

0

‐1000

0.5

1

1.5

‐1000 Modelo SAP Ciclo 17

‐1500

Ciclo 17 Exp

Modelo SAP Ciclo 18 ‐2000

Ciclo 18 Exp

‐2000

‐2500 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

‐3000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

3000

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 22)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 28)

3000

2500

2000

2000

1500

‐1.5

0 ‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

1000

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

1000

500

0 ‐1

‐1000

‐0.5

0

0.5

1

‐500

‐1000

‐2000

‐3000

‐1500

Ciclo 22 Exp

‐2000

‐4000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

Modelo SAP Ciclo 28 Ciclo 28 Exp

Modelo SAP Ciclo 22

‐2500 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

1.5

136

Anexo E: (VIGA VOLADIZO BERTERO-POPOV) Evaluación del modelo matemático usando metodologías convencionales SAP2000 (Modelo S1) CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 8)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 10) 3000

4000

2500 3000

2000

1500

1000

0

‐1.5

‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL   (Kg)

2000

1000

500

0 ‐0.6

‐0.4

‐0.2

‐1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

‐500

‐1000 ‐2000

‐1500 ‐3000

‐2000

‐4000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

‐2500

DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 13)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 12) 4000

3000

3000 2000

2000

0

‐1.5

‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

1000

1000

0

‐1.5

‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

‐1000 ‐1000

‐2000

‐2000

‐3000

‐4000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

‐3000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 16)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 21)

800

800

600 600

400

400

CORTE BASAL  (Kg)

200

‐0.6

0 ‐0.5

‐0.4

‐0.3

‐0.2

‐0.1

0

0.1

‐200

0.2

0.3

0.4

0.5

) g (K   L A S A  B ET R O C

200

0

‐400

‐600

‐0.3

‐0.2

‐0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

‐200 Modelo SAP Ciclo 21 Ciclo 21 Exp

‐800 ‐400

‐1000

‐1200 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

‐600

DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

0.5

0.6

137

Anexo F: (VIGA VOLADIZO BERTERO-POPOV) Evaluación del modelo matemático usando el método del puntal-tensor. (Modelo S2)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 12)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 13)

4000

3000

3000 2000

2000

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

1000

0

‐1.5

‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

1000

0

‐1.5

‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

‐1000 ‐1000 Ciclo 13 Exp

‐2000

‐2000 Ciclo 12 Exp

‐3000

‐4000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

‐3000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 16)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 17)

800

2000

600

1500

400

1000

200

‐0.6

‐0.5

‐0.4

‐0.3

‐0.2

‐0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

‐200

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

500 0

0 ‐1

‐0.8

‐0.6

‐0.4

‐0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Modelo SAP Ciclo 17

Ciclo 17 Exp

1

‐500 ‐400

‐1000 ‐600 Ciclo 16 Exp

‐1500 ‐800

‐2000

‐1000

‐2500 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

‐1200 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 18)

CICLO EXPERIMENTAL VS CICLO  SAP2000 (Ciclo 20)

3000

3000

2500

2000

2000

1500

‐1

0 ‐0.5

0

0.5

1

1.5

1000

CORTE BASAL  (Kg)

CORTE BASAL  (Kg)

1000

500

0 ‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

‐500

‐1000 ‐1000 Modelo SAP Ciclo 20

Modelo SAP Ciclo 18

‐2000

Ciclo 18 Exp

‐1500

‐2000

‐3000 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

‐2500 DEFORMACIÓN EN NODO SUPERIOR (cm)

Ciclo 20 Exp