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Evaluación NOMBRE

APELLIDOS

CURSO Y GRUPO

FECHA

1 Dado el número complejo z
3  2i, su conjugado, z
, su 1 opuesto, z, y su inverso, , son: z 1 3 2 a) z

3  2i, z
3  2i, 
   i z 13 13 1 1 b) z

3  2i, z
3  2i, 
 z 3  2i 1 3 2 c ) z

3  2i, z
3  2i, 
   i z 5 5

2 i35, i2, i44, i53, son iguales a: a) i35
i i2
1

i44
1 i53
i

b) i35
i i2
1

i44
1 i53
i

c ) i35
1 i2
1

i44
i i53
i

3 La forma polar y la forma trigonométrica del número complejo z

2  
2i, son: a) z
2135° z
2 (cos 135°  i sen 135°) b) z
4315° z
4 (cos 315°  i sen 315°) c ) z
2315° z
2 (cos 315°  i sen 315°)

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.

4 La forma binómica y la forma trigonométrica del número complejo conjugado de z
3120°, son: a) z

3 (cos 300°  i sen 300°) z

1,5  2,6i b) z

3 (cos 120°  i sen 120°) z

1,5  2,6i c ) z

3 (cos 240°  i sen 240°) z

1,5  2,6i

5 La forma binómica y la forma polar del número complejo z
3 (cos 210°  i sen 210°), son: a) z
3210° z
2,6  1,5i b) z
3150° z
2,6  1,5i c ) z
3210° z
2,6  1,5i

CALIFICACIÓN

6 El número complejo (3  3i)6 es igual a: a) 5 832i

c ) 5 832

b) 5 832i

7 Las soluciones de la ecuación x4  625
0, son: a) x1
545° x2
5135°

x3
5225° x4
5315°

b) x1
50° x2
590°

x3
5180° x4
5270°

c ) x1
5 x2
5

x3
5i x4
5i

8 Los vértices de un pentágono regular de centro O, sabiendo que uno de ellos es el punto (2, 1), son: a) A
(2, 1) B
(2,21, 0,33) C
(0,37, 2,21) D
(1,98, 1,03) E
(1,59, 1,57) b) A
(2, 1) B
(3,51, 3,56) C
(2,28, 4,43) D
(4,94, 0,83) E
(0,74, 4,94) c ) A
(2, 1) B
1,57  1,59i C
1,02  1,98i D
2,21  0,37i E
0,33  2,21i

9 Las soluciones, en el conjunto
, de la ecuación x4  8x 3  24x 2  8x  25
0, son: a) x1
4  3i x2
4  3i x3
1, x4
1 b) x1
1 x2
1 x3
4  3i x4
4  3i c ) x1
4  3i x2
4  3i x3
i, x4
i (
3 )

(1 
3 i)3 (1  i)

30° 10  es igual a: 2

a) (4
3 )120°

b) (4
3 )300°

5.

c ) (3
3 )120°

Números complejos

67

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Solución de la evaluación (Se indican con  las respuestas correctas)

1 opuesto, z, y su inverso, , son: z 1 3 2  a) z

3  2i, z
3  2i, 
   i z 13 13 1 1 b) z

3  2i, z
3  2i, 
 z 3  2i 1 3 2 c ) z

3  2i, z
3  2i, 
   i z 5 5

2 i 35, i 2, i 44, i 53, son iguales a: a) i 35
i i 2
1 35  b) i
i i 2
1

c ) i 35
1 i 2
1

i 44
1 i 53
i i 44
1 i 53
i i 44
i i 53
i

3 La forma polar y la forma trigonométrica del número complejo z

2  
2i, son:

a) z
2135° z
2 (cos 135°  i sen 135°) b) z
4315° z
4 (cos 315°  i sen 315°)  c ) z
2315° z
2 (cos 315°  i sen 315°)

4 La forma binómica y la forma trigonométrica del número complejo conjugado de z
3120°, son: a) z

3 (cos 300°  i sen 300°) z

1,5  2,6i b) z

3 (cos 120°  i sen 120°) z

1,5  2,6i

3 (cos 240°  i sen 240°) c ) z  z

1,5  2,6i

5 La forma binómica y la forma polar del número complejo z
3 (cos 210°  i sen 210°), son: a) z
3210° z
2,6  1,5i  b) z
3150° z
2,6  1,5i c ) z
3210° z
2,6  1,5i

68 5.

Números complejos

6 El número complejo (3  3i)6 es igual a: a) 5 832i

c ) 5 832

 b) 5 832i

7 Las soluciones de la ecuación x  625
0, son: 4

 a) x1
545° x2
5135°

x3
5225° x4
5315°

b) x1
50° x2
590°

x3
5180° x4
5270°

c ) x1
5 x2
5

x3
5i x4
5i

8 Los vértices de un pentágono regular de centro O, sabiendo que uno de ellos es el punto (2, 1), son: a) A
(2, 1) B
(2,21, 0,33) C
(0,37, 2,21) D
(1,98, 1,03) E
(1,59, 1,57) b) A
(2, 1) B
(3,51, 3,56) C
(2,28, 4,43) D
(4,94, 0,83) E
(0,74, 4,94)  c ) A
(2, 1) B
1,57  1,59i C
1,02  1,98i D
2,21  0,37i E
0,33  2,21i

9 Las soluciones, en el conjunto
, de la ecuación x4  8x 3  24x 2  8x  25
0, son:

 a) x1
4  3i x2
4  3i x3
1, x4
1 b) x1
1 x2
1 x3
4  3i x4
4  3i c ) x1
4  3i x2
4  3i x3
i, x4
i (
3 )

(1 
3 i )3 (1  i)

30° 10  es igual a: 2

a) (4
3 )120°

 b) (4
3 )300°

c ) (3
3 )120°

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.

1 Dado el número complejo z
3  2i, su conjugado, z
, su

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SÍNTESIS

1. Números complejos 1 La unidad imaginaria i= Escribe las cuatro primeras potencias de i: i0 =

i2 =

i1 =

i3 =

2 Formas de los números complejos Dado el complejo de afijo P, se puede expresar: Forma binómica: _________________________________________________________ Forma polar: _____________________________________________________________ Forma trigonométrica: _____________________________________________________

3 Transformaciones Dado el número complejo en forma binómica, a + bi, sus coordenadas polares son: m: _____________________________________________________________________

: ______________________________________________________________________ ¿Es única la determinación del argumento? ___________________________________ Su expresión trigonométrica es: _____________________________________________ Dado un número complejo en forma polar, m , su expresión en forma binómica es a + bi con: a = _____________________________________________________________________ b = _____________________________________________________________________

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.

4 Conjugado, opuesto e inverso Si z
a  bi


z


z


1 
z

Si z
m


z


z


1 
z

5 Operaciones Dados los números complejos en forma polar m y m’: m  m’ = m  = m’ n (m) = n

 =
m 6 Fórmula de De Moivre Escribe la fórmula de De Moivre:

5.

Números complejos

69

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS

2. Actividades complementarias 1 Un punto P tiene de coordenadas (
1, 3). Halla las coordenadas del punto P’ que resulta de un giro de 30° con centro en el origen de coordenadas. Da el resultado en forma binómica. 2 Indica cuáles de las siguientes igualdades son ciertas: a) (m)4
m44 3

8 Si z
245° y z’
330°, calcula: a) z  z’ b) z  z’ z c)  z'

9 Calcula: a) (320°)3

3



m 

m

b) (2100°)4

m m c) 
 m’ m’  d) m  m  m
m3

c) (120°)5

b)

3

 

10 Calcula (1  i)8.

3

3 Si el cociente de dos números complejos es un número imaginario, entonces: a) Los dos complejos son conjugados.

11 Calcula: 3

° i se os120 n120°) 
8(c

12 Calcula: 3

° i se os120 n120°) 
8(c

b) Los dos complejos son opuestos. c) Los dos complejos son imaginarios. d) Los dos complejos son reales. e) Puede ser uno real y el otro imaginario.

4 Calcula: 1 i17 i  7   i 1i 63

5 Expresa en forma polar los números complejos:


2

b)


16

c)


16i

d)


16i

4 4 4

14 Resuelve las siguientes ecuaciones: b) z4  81
0


2
2 b)    i 2 2

15 Sabiendo que el punto (1, 4) es el vértice de un cuadrado centrado en el origen, calcula los demás vértices.


 2
 2 c)    i 2 2

16 Escribe en forma binómica el conjugado y el opuesto de 660°.


2

d)    i 2 2

6 Calcula a y b para que: 3a  9i 
2  3i 4a  b i

7 Expresa en forma binómica: a) 7135° b) 2180° c) 3270° d) 1225° e) 4300°

70 5.


16

a) z4  81
0

a)    i 2 2


2

4

a)

Números complejos

17 Resuelve las siguientes ecuaciones en el campo de los números complejos: a) x4  5x 3  10x 2  20x  56
0 b) x 3  x 2  x
15 c) x 8  1
0 d) x7  128
0

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.


 2

13 Calcula:

0B1MTLP.05 20/6/08 09:59 Página 71

SOLUCIONES

DEL

MATERIAL

1. Números complejos

FOTOCOPIABLE

5 a) 1135° b) 145°

1 La unidad imaginaria.

c) 1225°

i 

1

d) 1315°

Escribe las cuatro potencias de i: i0  1

i2 
1

i1  i

i3  i2  i 
i

2 Formas de los números complejos Dado el complejo de afijo P, se puede expresar: Forma binómica: a  bi

27 45 6 a) a
, b
 46 46

 7
2 7
2 7 a)    i 2 2 b) 2 c) 3i

Forma polar: m


2
2 d)    i 2 2

Forma trigonométrica: m(m  i sen ) 3 Transformaciones Dado el número complejo en forma binómica, a  bi, sus coordenadas polares son m:
 a2  b2 : tag   b/a ¿Es única la determinación del argumento? La determinación del argumento, , de la expresión anterior no es única, ya que existen infinitos ángulos con una misma tangente. Su expresión trigonométrica es: m (cos   i sen ). Dado un número complejo en forma polar, m, su expresión en forma binómica es: a  bi donde

e) 2  2
3 i 2
 2  3
 3 2
 23 8 a) z  z’
   i 2 2 b) 675° 2 c)  3 15°



9 a) 2760° b) 1640° c) 1100° 10 a) (1  i)8
16 11

a  m cos 

240°

b  m sen 

3

° i se os120 n120°) 

8(c

4 Conjugado, opuesto e inverso.
z  a
bi Si z  a  bi
z 
a
bi Si z  m
z  m  180°

1 1/z   abi
z  m
  m360°
 1 1/z   m360°


5 Operaciones. Dados los números complejos en forma polar m y m’:

2160° 2280°

12 280° 3

° i se os120 n120°) 

8(c

2200° 2320° 20°
2

13 a)

290°
2i

4


16


2180°
2

m  m’  (m  m’)  

2270°
2i

m/m’  (m/m’)


245°

n (m)n  mn n

n



m 
m

  k  360°  n

con k  0, 1, …, n
1

b)

2135°

4


16


2225° 2315°

6 Fórmula de De Moivre

222,5°

Escribe la fórmula de De Moivre: (cos   i sen  )n  [cos (n )  i sen (n )]

c)

2112,5°

4


16i


2202,5° 2292,5°

2. Actividades complementarias

267,5°

1 P’(2,37, 2,10) 2 La igualdad correcta es la a).

d)

2157,5°

4


16i


2247,5° 2337,5°

3 La solución correcta es la e), puesto que han de diferir sus argumentos en 90° o 270°. 1 1 4     i 2 2

5.

Números complejos

71

0B1MTLP.05 26/6/08 08:26 Página 72

14 4

a) z

8 1


345°

16 Si z
660°,
z
6300°
3  3
 3i, z
6240
3  3
 3i

3135°

17 a) x1
2i

3225° 3315° 30°
3 b) z

8 1


390°
3i 3180°
3 3270°
3i

15 A(1, 4); B(4, 1); C(1, 4); D(4, 1)

72 5.

Números complejos

c) x1
1π/8 x2
13π/8 x2
2i x3
15π/8 x3
7 x4
17π/8 x4
2 x5
19π/8 b) x1
1  2i x6
111π/8 x2
1  2i x7
113π/8 x3
3 x8
115π/8

d) x1
2π/7 x2
23π/7 x3
25π/7 x4
27π/7
2π
2 x5
29π/7 x6
211π/7 x7
213π/7