EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS MATH 2252 – Calculus II

Dra. Carmen Caiseda Copyright © 2015

Arte, finanzas y sucesiones en EXCEL

MSEIP – Engineering Everyday Engineering Examples

Arte, Finanzas y sucesiones en Excel Engage: ¡La matemática es bella! Los patrones y conexiones entre conceptos están en todos lados para descubrir.

Por comunicar ideas y estructuras en forma

abstracta la matemática se aplica a cosas tan diversas como el arte y las fianzas. Observa por ejemplo el girasol en la figura 1. Hay espirales de semillas que crecen en ambas direcciones, a favor (azul) y en contra (verde) de las manecillas del reloj. Contando 21 espirales azules, y 13 espirales verdes.

Figura 1

{𝑎𝑛 }∞ 𝑛=1

Las artes gráficas usan estos patrones de la

sucesión de Fibonacci para generar diseños como el de la Figura 2.

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{1,1,2,3,5,8,13,21,…} =

1

Esos son dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci:

Figura 2 Pero igualmente estos patrones han sido usados por los grandes artistas para

Figura 3

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2

definir proporciones agradables y la belleza. Por ejemplo vean la Figura 3.

La razón áurea se muestra en los rectángulos de forma que la razón ancho : largo = 1:1.618.

Observa los rectángulos que se generan recursivamente de

mayor área a menor en la figura 3.

La recursión consiste en subdividir el

rectángulo mayor en un cuadrado (s=a) y un nuevo rectángulo menor que nuevamente guarda la razón aurea, áurea (Golden ratio) 𝜑 ≈ 1.618 . explorar

más

sobre

la

razón

áurea

visita

https://www.mathsisfun.com/numbers/golden-ratio.html).

la

razón

(Para áurea

Pero, ¿qué relación

hay entre la razón áurea, la sucesión de Fibonacci?, y ¿qué relación existe entre las sucesiones y las finanzas? Exploramos estas relaciones sorprendentes usando una hoja e Excel, que se adjunta.

Explore: 1. ¿Qué relación hay entre la razón áurea, la sucesión de Fibonacci? La hoja de Excel contiene los primeros 13 términos de la sucesión de Fibonacci. Pasa a la Hoja de Excel Instrucciones:

Observaciones

1. Calcula an/an-1 para n = 1, ….13 2. ¿Converge a un límite o diverge? Si converge indica a qué número

2. ¿Qué relación existe entre las sucesiones y las finanzas?

Page

3

3. Para n = 1-10 calcula en Excel a1 = 1 1 + 1/an-1 4. ¿Converge a un límite? Si converge indica a qué número

En finanzas para calcular el valor futuro (A) de una inversión inicial o principal (P) que gana intereses al una tasa (r), n veces al año se usa la fórmula: 𝐴 = 𝑟 𝑛𝑡

𝑃 (1 + 𝑛) . Entonces una inversión que gana intereses continuamente se

obtiene de esta fórmula cuando n  ∞. Exploremos entonces expresión que se 1 𝑛

obtiene de esta fórmula: (1 + 𝑛) . Pasa a la Hoja de Excel Instrucciones:

Observaciones 1 𝑛

1. Calcula la sucesión (1 + 𝑛)

Para n = 1, 10, 100, 1000, 10,000 2. ¿Converge a un límite o diverge? Si converge indica a qué número

Explain 1. ¡La razón áurea se obtiene al dividir términos sucesivos consecutivos de la sucesión de Fibonacci!.

La precisión aumenta para términos

mayores, es decir usando el lenguaje matemático, si F(n) es el término n de la sucesión de Fibonacci: lim

𝐹(𝑛)

𝑛→∞ 𝐹(𝑛−1)

1 𝑛

2. La sucesión (1 + 𝑛)

= 𝜑.

converge al número irracional e, la base del 1 𝑛

logaritmo natural. Es decir lim (1 + 𝑛) = e. Entonces la fórmula para 𝑛→∞

hallar el valor futuro de una inversión que gana intereses = 𝑃𝑒 𝑟𝑡 . Esto lo

puedes obtener con un cambio de variable sencillo: entonces: lim 𝑚 = ∞.

𝑚→∞

1 𝑚 ∙𝑟𝑡

𝐴 = lim 𝑃 (1 + 𝑚) 𝑚→∞

sea

= 𝑃𝑒 𝑟𝑡 , debido a que

𝑛 𝑟

= 𝑚,

lim

𝑛

𝑛→∞ 𝑟

=

4

𝑛→∞

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𝑟 𝑛𝑡

continuamente se obtiene como: 𝐴 = lim 𝑃 (1 + 𝑛)

Elaborate: Excel sirvió para explorar numéricamente el límite de las sucesiones. Los términos de una sucesión convergen a un límite o divergen. Para calcular el límite definimos las sucesiones usando una fórmula {𝑎𝑛 }∞ 𝑛=1 , donde 𝑎𝑛 varía de acuerdo a la sucesión. Las siguientes son definiciones recursiva (usan términos previos) de las sucesiones que exploraste en Excel para contestar las preguntas 1 y 2. 

Fibonacci: 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 1, y para n > 2: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 , diverge a infinito



División



converge a 𝜑 ≈ 1.618 𝑎𝑛 = 1 + 1⁄𝑎𝑛−1 converge a 𝜑 ≈ 1.618.

𝑎𝑛

𝑎𝑛−1

donde 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 son términos consecutivos de Fibonacci **

La última ecuación se obtiene de la relación que existe entre los lados de los rectángulos construidos recursivamente de forma que si el largo es a, y el ancho es a+b, entonces los números a > b guardan la proporción:

𝑎+𝑏 𝑎

𝑎

=𝑏.

Separando la suma en el lado izquierdo obtienes: 1 + b/a = a/b. Denota a/b = 𝜑 , entonces b/a = 𝜑 -1. Obtenemos: 1 + b/a = a/b  1 + 1/ 𝜑 = 𝜑 (Multiplica la ecuación por 𝜑 ) 𝜑 + 1 = 𝜑2 =  0 = 𝜑2 – 𝜑 – 1 𝜑=

1+√5 2

(Usando la fórmula cuadrática)

≈ 1.618.

NOTA: La fórmula recursiva en ** funciona porque está calculando 𝜑 ≈ 𝑎𝑛 = 1 + 1⁄𝑎𝑛−1 ≈ = 1 + 1/ 𝜑 , es decir usa la fórmula que acabamos de obtener 𝜑 = 1 + 1/ 𝜑. Definimos la sucesión de la pregunta 2 en forma directa: : que converge a e.

¡Pero podemos entonces calcular este límite directamente usando L’Hopital!

5

1 𝑛

𝑎𝑛 = (1 + 𝑛)

Page



Por lo tanto el estudio de sucesiones nos lleva a calcular límites para contestar preguntas del artes o finanzas que son de cálculo : lim 𝑎𝑛 . Una vez definida la 𝑛→∞

forma de los términos de una sucesión el límite se puede calcular directamente o usando L’Hopital. What did you learn? 

Las relaciones entre el arte, la razón áurea y la sucesión de Fibonacci



La relación entre las fórmulas de finanzas para hallar valor futuro de una inversión y e



Uso práctico de Excel para buscar límites de sucesiones numéricamente

Evaluate: 1 𝑛

1. Demuestra que lim (1 + 𝑛) = e, usando la regla de L’Hopital. 𝑛→∞

2. Indica si las siguientes sucesiones convergen o divergen. Si convergen indica el límite. 1 𝑛

a. lim (1 + 𝑛) 𝑛→∞

1

b. lim (1 + 𝑛) 𝑛→∞

1

c. lim ((−1)𝑛 + 𝑛) 𝑛→∞

d. lim ( 𝑛→∞

100 𝑛

)

e. 𝑎𝑛 = (1 + 𝑎

1

𝑛−1

) , 𝑎1 = 1, Halla lim (𝑎𝑛 ) 𝑛→∞

f. 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 1, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 para n >2 3. Usando Excel Indica si las siguientes sucesiones convergen o divergen. Si convergen aproxima el límite. Esta es la importante sucesión geométrica. a. lim 3(0.5)𝑛 𝑛→∞

b. lim 3(2)𝑛

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6

𝑛→∞