FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

GRADO: 10 TALLER Nº: 3

SEMILLERO DE MATEMÁTICAS

SEMESTRE II

La línea recta RESEÑA HISTÓRICA Galileo Galilei, Pisa, actual Italia, 1564-Arcetri, id., 1642) Físico y astrónomo italiano.) Entre los asistentes a la misa celebrada en la catedral de Pisa, aquel domingo de 1581, se hallaba un joven de diecisiete años. Era devotamente religioso y no hay por qué dudar que intentaba concentrarse en sus oraciones; pero le distraía un candelero que pendía del techo cerca de él. Había corriente y el candelero oscilaba de acá para allá. En su movimiento de vaivén, unas veces corto y otras de vuelo más amplio, el joven observó algo curioso: el candelero parecía batir tiempos ¡guales, fuese el vuelo corto o largo. ¡Qué raro! ¡Cualquiera diría que tenía que tardar más en recorrer el arco más grande! A estas alturas el joven, cuyo nombre era Galileo, tenía que haberse olvidado por completo de la misa. Sus ojos estaban clavados en el candelero oscilante y los dedos de su mano derecha palpaban la muñeca contraria. Mientras la música de órgano flotaba alrededor de él, contó el número de pulsos: tantos para esta oscilación, tantos otros para la siguiente, etc. El número de pulsos era siempre el mismo, independientemente de que la oscilación fuese amplia o corta. O lo que es lo mismo, el candelero tardaba exactamente igual en recorrer un arco pequeño que uno grande. Galileo no veía el momento de que acabara la misa. Cuando por fin terminó, corrió a casa y ató diferentes pesas en el extremo de varias cuerdas. Cronometrando las oscilaciones comprobó que un peso suspendido de una cuerda larga tardaba más tiempo en ir y venir que un peso colgado de una cuerda corta. Sin embargo, al estudiar cada peso por separado, comprobó que siempre tardaba lo mismo en una oscilación, fuese ésta amplia o breve. ¡Galileo había descubierto el principio del péndulo! Pero había conseguido algo más: hincar el diente a un problema que había traído de cabeza a los sabios durante dos mil años: el problema de los objetos en movimiento.

 OBJETIVO GENERAL Conocer las formas lineales de las ecuaciones y los elementos que posibilitan establecer relaciones en la recta.  OBJETIVO ESPECÍFICOS  Determinar ecuaciones lineales a partir de la forma pendiente – intercepto.  Determinar las coordenadas del punto medio de un segmento de recta.  Graficar y hallar la pendiente de una recta.  Utilizar la fórmula de distancia para resolver problemas.  PALABRAS CLAVES Punto sobre el plano, línea recta, rectas paralelas, rectas perpendicular y punto medio entre dos puntos.

 DESARROLLO TEÓRICO INTRODUCCIÓN Conceptos como distancia, punto medio, pendiente y ecuación de la línea recta son muy usuales en la vida cotidiana, se utilizan para estimar la separación entre dos objetos. En matemáticas y otras áreas del conocimiento como la física y la economía, son muy útiles por cuanto sirven para calcular magnitudes de vectores, razones de cambio, establecer funciones de costo y relacionar magnitudes, entre otras.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Sean 𝑨 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) y 𝑩 = (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) dos puntos sobre el plano XY, para determinar la distancia entre éstos dos puntos trazamos paralelas a los ejes X e Y que determinan un triángulo rectángulo. Así la distancia entre A y B es: 𝒅=

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

𝟐

+ 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝟐

2

RECTAS:  Pendiente de una recta Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta, a la tangente del ángulo que forma la recta con el eje positivo de las X. 𝒚𝟐 − 𝒚 𝟏 𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝒙𝟐 − 𝒙 𝟏 𝒚 −𝒚

La cual se representa con la letra 𝒎, así tenemos que 𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝒙𝟐 −𝒙𝟏 . 𝟐

𝟏

 Rectas perpendiculares y paralelas I. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1. II. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.  Punto medio Sean 𝑨 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) y 𝑩 = (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) dos puntos sobre el plano XY, el punto medio entre éstos 𝒙 +𝒙 𝒚 +𝒚 dos puntos tiene coordenadas ( 𝟐 𝟐 𝟏 , 𝟐 𝟐 𝟏 ).  Ecuación de la recta (forma Pendiente – Intercepto) La forma pendiente – intercepto de la ecuación de una recta es 𝐲 = 𝐦 ⋅ 𝐱 + 𝐛, la pendiente es 𝒎 y el intercepto con el eje Y es 𝒃.  Ecuación de la recta (Forma punto – Pendiente) Si el punto 𝑨 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) está sobre una recta que tiene pendiente m, la forma punto pendiente de la ecuación de la recta es 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 ) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (𝟏, 𝟕) y es perpendicular a la recta 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏𝟔 = 𝟎. Solución: 𝒙 𝟏𝟔 Forma punto – pendiente. De la ecuación de la recta se tiene que 𝒚 = 𝟑 + 𝟑 , por 𝟏

tanto la pendiente es 𝒎𝟏 = 𝟑 como las dos rectas son perpendiculares se debe cumplir que 𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏, donde 𝒎𝟐 es la pendiente de la recta pedida, así tenemos que 𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏 de donde 𝒎𝟐 = −𝟑, luego la ecuación pedida es de la forma 𝑦 − 𝑦1 = 𝟑 𝒎𝟐 (𝒙 − 𝒙𝟏 ) con 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 = (𝟏, 𝟕) se tiene que 𝒚 − 𝟕 = −𝟑(𝒙 − 𝟏), o equivalentemente 𝐲 + 𝟑𝐱 − 𝟏𝟎. Forma pendiente – intercepto. Tenemos que la pendiente es 𝒎𝟐 = −𝟑 y pasa por el punto (𝟏, 𝟕) Para hallar el intercepto con el eje Y, utilicemos la ecuación 𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒙 + 3

𝒃, asi 𝟕 = −𝟑 𝟏 + 𝒃, de donde 𝒃 = 𝟕 + 𝟑 = 𝟏𝟎, la ecuación pedida es 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟎, o equivalentemente 𝒚 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (𝟎, 𝟎) y es paralela a la recta 𝟑𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟐𝟐. Solución: 𝟐𝟐 𝟑𝒙 Forma punto – pendiente. La ecuación de la recta dada es equivalente a 𝒚 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓, 𝟑

𝟏

así la pendiente de la recta es 𝒎𝟏 = − = − , como las dos rectas son paralelas se 𝟏𝟓 𝟓 debe cumplir que 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 , donde 𝑚2 es la pendiente de la recta pedida, de donde la 𝟏 ecuación de la recta que pasa por 0,0 es 𝒚 − 𝟎 = − 𝟓 (𝒙 − 𝟎), esto es 𝟓𝒚 + 𝒙 = 𝟎. 𝟏

Forma pendiente – intercepto. Tenemos que 𝒎𝟐 = − 𝟓 y pasa por el punto (𝟎, 𝟎) Para determinar el intercepto con el eje Y utilizamos la ecuación 𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒙 + 𝒃, esto es 𝟏 𝟏 𝟎 = − 𝟓 ∙ 𝟎 + 𝐛, de donde 𝐛 = 𝟎. La ecuación de la recta pedida es 𝒚 = − 𝟓 ∙ 𝒙 ó 𝟓𝐲 + 𝐱 = 𝟎. 3.

Calcular la distancia entre los puntos 𝑨 = (−𝟑, 𝟒) y 𝑩 = (𝟒, 𝟐) del plano XY. Solución: Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos se tiene que: 𝒅 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐 Reemplazando tenemos que 𝒅 = 𝟒 − (−𝟑) 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 𝟐 = 𝟕𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟓𝟑 ≈ 𝟕. 𝟐𝟖. Así la distancia entre los puntos A y B es aproximada a 𝒅 ≈ 𝟕. 𝟐𝟖.

 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Dados los puntos 𝑴 = −𝟏, −𝟏 coordenadas del punto medio.

y 𝑺 = (𝟐, 𝟑) establecer la distancia entre ellos y las

2.

Si un barco A está ubicado en el océano en el punto de coordenadas (−𝟖, 𝟏𝟎) y la embarcación B está ubicada sobre el punto de coordenadas (𝟔, −𝟓), calcular la distancia que los separa y el punto medio del segmento que los une.

3.

Determinar la longitud de las medianas de un triángulo cuyos vértices corresponden a los puntos 𝑨 = (𝟎, 𝟎), 𝑩 = (𝟒, 𝟎) y 𝑪 = (𝟑, 𝟐). (recordar que las medianas son los segmentos trazados desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto).

4.

Calcular el perímetro de un triángulo cuyos vértices corresponden a los puntos 𝑨 = (𝟐, 𝟎), 𝑩 = (𝟒, −𝟐) y 𝑪 = (−𝟑, 𝟎) y calcule la longitud de sus alturas. 4

5.

Dados los puntos 𝑨 = (𝟏, 𝟏), 𝐁 = (𝟐, 𝟒), 𝑪 = (𝟒, 𝟒) y 𝑫 = (𝟑, 𝟏), graficar el cuadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑫 y demostrar que la figura es un paralelogramo y demostrar que el punto medio de sus diagonales coinciden.

6.

Calcular la pendiente de la recta perpendicular a la recta determinada por los siguientes puntos. a. (𝟎, 𝟎) y (𝟏, 𝟏). b. (−𝟏, −𝟐) y (𝟑, −𝟏). c. (𝟐, 𝟐) y (𝟐, 𝟑).

7.

Demostrar que los puntos 𝑨 = (−𝟐, 𝟑), 𝑩 = (𝟓, 𝟑) y 𝑪 = (−𝟐, −𝟑) corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo.

8.

Luisa, David, Sara y Juan juegan al tiro al blanco. El blanco se encuentra en el punto 𝑷 = (𝟐, 𝟐). Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Luisa da en el punto 𝑨 = (𝟏, 𝟗/𝟐) David en el punto 𝑩 = (−𝟗/𝟐, ½) Sara en el punto 𝑪 = (𝟒, 𝟓/𝟐) Juan en el punto 𝑫 = (𝟓, 𝟕/𝟐) ¿Quién gano el juego?. a. Luisa b. David c. Sara d. Juan

9.

Establecer la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos a. (−𝟑, −𝟒) Y (−𝟏, −𝟐) b. (𝟏, 𝟓) Y (𝟓, 𝟐) c. (−𝟏/𝟐, 𝟎) Y (𝟐, 𝟎)

10. Dadas las siguientes ecuaciones de rectas, establezca su pendiente si existe; dos pares de puntos por los cuales pase cada una de ellas y mediante la comparación de pendientes seleccione las que sean paralelas y las que sean perpendiculares. a. b. c. d. e. f.

𝒚 𝒚 𝒚 𝒚 𝒙 𝒚

= = = + = +

𝟐𝒙 + 𝟑 𝟏 −𝒙/𝟐 – 𝟓 𝟏 = −𝟒𝒙 −𝟒 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎

11. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a 𝒚 = 𝟏𝟎 – 𝟓𝒙 y que pasa por el punto (1,5).

5

12. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (𝟑, −𝟑) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (𝟑, 𝟐) y (−𝟓, 𝟒). 13. Escribe ecuaciones para los lados de un triángulo con vértices en los puntos indicados a continuación a. 𝑨 = 𝟐, −𝟕 , 𝑩 = 𝟓, 𝟏 , 𝑪 = (−𝟑, −𝟐) b. 𝑨 = −𝟏, −𝟒 , 𝑩 𝟎, −𝟗 , 𝑪 = 𝟏, 𝟔 . 14. Escribe ecuaciones para los lados de un cuadrado con vértices en 𝑷 = (𝟏, 𝟒), 𝑸 = 𝟒, −𝟏 , 𝑹 = (−𝟏, −𝟒) y 𝑺 = (−𝟒, −𝟏) 15. Escribe la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta representada por la ecuación dada y pasa por el punto que se indica a. 𝒚 = 𝟑𝒙 – 𝟓; (𝟎, 𝟑) b. 𝟓𝒚 – 𝟒𝒙 = 𝟏𝟎; (−𝟏𝟓, 𝟖) c. 𝟔𝒙 – 𝟒𝒚 + 𝟖 = 𝟎 ; (𝟐, 𝟏𝟐) d. 𝒚 = 𝟒𝒙 – 𝟐 ; (𝟑, 𝟒) e. 𝟑𝒚 + 𝟐𝒙 = 𝟑; (−𝟗, −𝟔) 16. Escribe la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada y pasa por el punto indicado a. 𝒚 = 𝟑𝒙 – 𝟓; (𝟎, 𝟔) b. 𝒚 – 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝟎; (𝟎 , −𝟑) c. 𝒚 – 𝟔 – 𝟐𝒙 = 𝟎; (−𝟏, −𝟐) d. 𝟐𝒙 – 𝟕𝒚 = 𝟑; (𝟖, 𝟎) 17. Determine el valor de 𝒌 en la ecuación 𝟑𝒙 + 𝒌𝒚 + 𝟓 = 𝟎 para que sea paralela a la recta representada por la ecuación 𝟑𝒚 + 𝒙 + 𝟑 = 𝟎. 18. Calcular la altura trazada desde A al lado BC y el área del triángulo en cada caso a. 𝑨 = −𝟐, 𝟐 , 𝑩 = 𝟑, 𝟒 , 𝑪 = (𝟏, −𝟓) b. 𝑨 = −𝟏, 𝟓 , 𝑩 = 𝟒, 𝟖 , 𝑪 = (−𝟏, 𝟔) c. 𝑨 = 𝟎, 𝟏 , 𝑩 = −𝟓, −𝟐 , 𝑪 = (−𝟐, −𝟓)

6

 PEQUEÑOS RETOS  Un pintor dibuja una secuencia de frutas de la siguiente manera: una azul, una verde, una roja, una amarilla, una azul, una verde, una roja, una amarilla y así sucesivamente. Entonces el color de la fruta en el lugar 𝟐𝟎𝟎𝟗 de la secuencia es: a) Azul

b) Verde

c) Roja

d) Amarilla

 ¿Cuáles son las últimas dos cifras de 𝟐𝟐𝟐𝟐 ?  La siguiente figura está formada por cinco Cuadrados igualebs de lado 𝒂. Si 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎𝒄𝒎, el área de la cruz en 𝒄𝒎𝟐 , es A. 𝟏𝟎𝟎 B. 𝟖𝟎 C. 𝟔𝟎 D. 𝟏𝟐𝟎

7