FICHA DE TRABAJO

Nombre Bimestre Ciclo Tema

Nº orden 4ºgrado - sección A B C Fecha:___ - 11 - 10 Área : Matemática POLIEDROS REGULARES E IRREGULARES

IVº IVº

D

3. OCTAEDRO REGULAR

POLIEDROS REGULARES Es aquel poliedro en el cual sus caras son regiones poligonales congruentes entre sí, de modo que en todos sus vértices concurran el mismo número de aristas. Sólo existen cinco poliedros regulares los cuales son:

Limitado por ocho regiones triangulares equiláteras. M a

1. TETRAEDRO REGULAR

B

Limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.

C

O

D

A

L N

a

A

Desarrollo de la superficie del octaedro regular

B

G C

-

Desarrollo de la superficie del tetraedro regular

4. DODECAEDRO REGULAR Limitado por doce regiones pentagonales regulares. a

2. HEXAEDRO REGULAR O CUBO Limitado por seis regiones cuadradas. B

C

A

D

-

O a

F E

Área de la superficie

G H

:

A = 6a2

Área lateral

:

AL = 4a

Volumen

:

V = a3

Observación: -

Desarrollo de la superficie del dodecaedro

5. ICOSAEDRO REGULAR

2

Limitado por veinte regiones triangulares equiláteras.

O : centro del hexaedro regular.

a

Desarrollo de la superficie del hexaedro regular -

Desarrollo de la superficie del icosaedro regular

POLIEDROS IRREGULARES



PRISMA RECTO

Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. B

C

A

D F

2. Se muestra un cubo de arista igual a 4 m. Si AM = MB y DN = NM, hallar EN.

E

h B´

C´

C D´

A´ F´

P

D

AL = (2PBASE). h

Área de la superficie total:

AT = AL + 2ABASE

Volumen:

V = (ABASE). h

Observación: Si las bases de un prisma recto son regiones limitadas por polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR, ORTOEDRO O RECTOEDRO

Es un paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos. En consecuencia, las seis caras son rectángulos.

c D b a

D2 = a2 + b2 + c2

Diagonal:



Es la pirámide recta que tiene la base limitada por un polígono regular. V

F

A

E

B

E

3. Se tiene un cuadrado de lado “a”, el cual sirve de base para construir un paralelepípedo rectangular cuya diagonal es 2a. Hallar el volumen de dicho paralelepípedo. 4. Se tiene un ladrillo que pesa 4 kg. Si sus dimensiones se reducen a la cuarta parte se obtendría un ladrillito del mismo material. ¿Cuál es el peso del ladrillito? 5. Superponiendo 3 cubos de igual arista se obtiene un ortoedro cuya área total es 56 cm 2. Hallar el volumen de cada cubo. 6. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de una lámina cuadrada de estaño, cortando un cuadrado de 3 pulgadas en cada esquina, y doblando hacia arriba los lados. Si la caja debe contener 48 pulg3. ¿Qué dimensión debe tener la lámina en pulgadas?

8. El área total de un cubo es numéricamente igual a la suma de todas sus aristas. Calcular el volumen del cubo. 9. Calcular la arista del cubo mostrado, en el cual la distancia del centro de la base ABCD a la

ap

diagonal AG es

D

O

M A

7. El área total de un paralelepípedo rectangular es 10 m2. Si el largo es el doble del acho y el ancho es igual a la altura, calcular la diagonal del paralelepípedo rectangular:

PIRÁMIDE REGULAR

h

B N

E´

Área de la superficie lateral:



1. Determinar el área total de un hexaedro regular, sabiendo que la distancia de uno de sus vértices al centro de la cara opuesta es 2m.

6.

F

E

H C

H

G

P

VH

: apotema de la pirámide

L

B

A O

Área de la Superficie Lateral

:

AL = (Pbase) . ap

Área de la Superficie Total

:

AT = AL + ABASE

Volumen

:

V=

A BASE h 3

C

D

10. Si a la suma de los cuadrados de la diagonal de un cubo y de la diagonal de una de sus caras se le multiplica por la longitud de una de sus aristas, se obtiene “n” veces el volumen del cubo. Calcula “n”.

11. El volumen de un cubo es igual a “n” veces el cubo de su diagonal. Calcula “n”. 12. En la figura se muestra un hexaedro regular de arista “a”; “O” es centro de la cara ABCD y “M” es punto medio de AF . Calcular el área OMF. C E

B

2. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34 m, 58 m y

O D

A

1. Hallar el volumen de un paralelepípedo cuya diagonal de la base mide 2 3 y uno de los lados es el triple del otro. Además el paralelepípedo tiene altura igual a 10. A) 18 B) 36 C) 12 D) 10 E) 15

74 m. Calcular el volumen del paralelepípedo.

A) 105

F

M

13. El desarrollo de la superficie lateral de un cubo es un rectángulo de diagonal volumen del cubo.

17 m. Calcular el

14. Se tienen cubos de 1 cm de arista. ¿Cuál es el volumen del cubo formado, al acoplarse cara con cara, el menor número de cubos de 1 cm de arista? 15. En el cubo mostrado, de lado igual a 2 m, hallar el área del triángulo MQP, si M y Q son puntos medios de las aristas y P es punto medio de la cara. Q M

B) 85

C) 90

D) 75

E) 125

3. Si el área lateral de un prisma cuadrangular regular es 40 m 2 y la medida de la altura es 5 m, entonces su área total es: 2 2 2 A) 48 m C) 60 m E) 96 m 2 2 B) 50 m D) 65 m 4. Sobre el centro de una cara de un cubo de arista 2 cm y a una altura de 3 cm, se ubica el punto exterior “P”. Hallar la distancia del punto P a uno de los vértices de la cara opuesta. A) 3 3

B) 4 2 C) 2 6

D) 3 2

5. Hallar la longitud de la arista de un cubo sabiendo que en su interior se ha tomado un punto tal que la suma de las distancias de dicho punto a las 6 caras del cubo es 12 m. A) 2 3 m B) 8 m

C) 6 m D) 4 m

E) 10 m

P

16. Un plano secante corta a las aristas del hexaedro regular en los puntos P, Q, R y S. Tal que AP mide 3 m; BQ, 6m y CR 7 m. Hallar DS. 17. Hallar el volumen de un paralelepípedo recto de base rectangular, cuya diagonal de la base mide 2 3 cm y los lados son uno el doble del otro. La altura del paralelepípedo es 10 cm. 18. Superponiendo 3 cubos de igual arista se 2 obtiene un ortoedro cuya área total es 56 cm . Hallar el volumen de cada cubo. 19. Un prisma recto cuadrangular regular de 6 m de altura al ser desarrollado tiene la forma de un rectángulo cuya diagonal mide 10 m. Calcular el área total del prisma. 20. Se tiene una hoja rectangular de 5 cm de ancho y 6 cm de largo. Se construye una caja abierta, cortando en las esquinas cuadrados de 1 cm de lado. Halla la capacidad de la caja. 21. La base de un prisma recto es un rombo cuya área es igual a S. Las áreas de las secciones diagonales son iguales a S1 y S2. Hallar el volumen del paralelepípedo.

6. Hallar el área total de un paralelepípedo rectángulo si sus tres dimensiones están en progresión aritmética de razón 4, y su diagonal mide 5 11 m. A) 320 m2 C) 420 m2 E) 430 m2 2 2 B) 410 m D) 454 m 7. Hallar el volumen de un prisma recto cuyas bases son trapecios isósceles de altura 9 m y la diagonal 15 m, sabiendo que la altura del prisma mide 10 m. 3 3 3 A) 1200 m C) 1024 m E) 1080 m 3 3 B) 1136 m D) 980 m 8. Calcular el volumen de un prisma triangular en el cual el área de una cara lateral es 20 m 2 mientras que la distancia desde la arista opuesta hasta dicha cara es 6m. A) 120 m3 C) 60 m3 E) 80 m3 3 3 B) 90 m D) 75 m 9. Las áreas del fondo, del frente y del lado de una caja rectangular se conocen. El producto de estas áreas es igual a: A. El volumen de la caja B. La raíz cuadrada del volumen C. El doble del volumen D. El cuadrado del volumen E. El cubo del volumen

10. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo es 5 2 m. Sabiendo que sus dimensiones están en progresión aritmética de razón 1, hallar el volumen del sólido. A) 80 m3 B) 60 m3 C) 70 m3 D) 40 m3 E) 50 m3 11. En el cubo de arista área sombreada.

A) 3 2 m2 B)

3 2

2m

C) 2

3 m de la figura hallar el

3 3 2

m2

D) 2 2 m

E) 3 3 m2

2

la suma de sus diagonales es 12 3 . A) 216 C) 64 E) 27 D) 32

13. Calcular la arista del hexaedro regular, en el cual la distancia de un vértice a una diagonal del cubo es

A) 9 m B) 8 m

C) 15 m D) 6 m

E) 12 m

19. Hallar el área total de un paralelepípedo rectangular sabiendo que su diagonal mide 17 y las dimensiones de la base son 9 y 12. A) 276 C) 562 E) 552 B) 580 D) 272

12. Calcular el volumen de un cubo, sabiendo que

B) 9 3

18. El área total de un prisma recto de base rectangular es 144 m 2. Uno de los lados de la base es el doble del contiguo e igual a la altura. Hallar la diagonal del prisma.

6 m.

A) 1 m

C) 3 m

B) 2 m

D)

E)

6m

3m

14. En un hexaedro regular la distancia desde el punto medio de la diagonal a una cara del mismo es 12 cm. Determinar el área lateral del hexaedro. A) 1728 cm2 C) 3728 cm2 E) N.A. 2 B) 3456 cm D) 2304 cm2 15. Hallar el área total de un hexaedro regular si la suma de todas las diagonales de sus caras es 24 cm. A) 6 cm2 C) 12 cm2 E) 48 cm2 B) 6 2 cm2 D) 12 2 cm2 16. Si las aristas de un cubo se aumentan, respectivamente, en 2, 4 y 6 m, el volumen del paralelepípedo obtenido excede en 568 m 3 al volumen del cubo dado. Hallar la longitud de la diagonal de este cubo. A) 10 3

C) 6 3

B) 5 3

D) 3 3

E) 2 3

mide 2 10 y los lados son uno el triple del otro. La altura del paralelepípedo es 9. C) 63 10

B) 54 10

D) 108

21. Hallar el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal es igual a 13 y cuyas dimensiones de la base son 3 y 4. A) 132 C) 182 E) 172 B) 142 D) 192 22. Se tiene un prisma recto de 10 m de altura, donde las bases son rectángulos en los que uno de los lados es el triple del otro. Si la superficie lateral mide 240 m 2, hallar el área de una de sus caras laterales menores. A) 12 m2 C) 20 m2 E) 25 m2 2 2 B) 15 m D) 30 m 23. Las bases de un prisma recto son trapecios isósceles de bases 4 cm y 14 cm y lados no paralelos de 13 cm. Si la altura del prisma es 135/11 cm, calcular su área total. 2 2 2 A) 440 cm C) 316 cm E) 756 cm 2 2 B) 642 cm D) 398 cm 24. Hallar el volumen de un prisma cuya base se forma al unir los puntos medios de los lados no consecutivos de un hexágono regular de lado 4, y cuya altura es igual a 4 3 . 3 3 A) 108 m C) 72 m 3 B) 150 m D) 95 m3

E) 108 10

E) 120 m

3

25. Hallar el lado de la base de un prisma hexagonal regular si el número que expresa su volumen es igual al número que expresa su área lateral. A)

3/3

B) 2 3

17. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular, cuya base tiene una diagonal que

A) 36 10

20. La altura de un paralelepípedo rectangular mide 6 m y en su base un lado es el doble del 2 otro. Si el área total es 208 m , calcular el volumen del sólido. 3 3 3 A) 112 m C) 192 m E) 172 m 3 3 B) 202 m D) 182 m

C) 4 3

E) 2 3 / 3

D) 4 3 / 3

26. Hallar el volumen de un prisma recto cuya base es un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4m de diámetro, siendo su altura igual a 2 3 m. A) 36 m3

C) 24 3 m3

B) 48 m3

D) 36 3 m3

E) 26 m3

27. Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular, en el cual el desarrollo de la superficie lateral es un cuadrado cuyo perímetro mide 48. A) 64 3

C) 72 3

B) 36 3

D) 48 3

E) 54 3

28. Hallar el volumen de un prisma regular hexagonal cuya área lateral es A, sabiendo que cada cara lateral es un cuadrado. A) B) C)

3/2

2A

/4

3/2

/8

3/2

/6

2A

2A

D) E)

3/2

3A

3/2

3A

/6 /8

29. Calcula la longitud que debe tener la diagonal de un cubo para que su volumen sea ocho veces el de otro de arista igual a A) 2 3 m

C) 6 m

B) 4 3 m

D) 12 m

3 m.

E) 15 m

30. Calcula el volumen de un cubo, sabiendo que el segmento que une un vértice del cubo con el centro de la cara opuesta mide 3 m. A) 6 3 m3

C) 2 3 m3

B) 8 2 m3

D) 6 6 m3

E)

6m

3

36. Hallar el área total de un prisma recto de 17 cm de altura, siendo la base un rombo de 25 cm de lado y 30 cm de diagonal menor. A) 2800 cm2 C) 3000 cm2 E) 2850 cm2 2 B) 2700 cm D) 2900 cm2 37. Una pieza de metal que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular pesa 5 kg. ¿Cuál será el peso de otra pieza similar del mismo metal y que tenga el doble de las dimensiones de la primera? A) 5 kg C) 20 kg E) 50 kg B) 10 kg D) 40 kg 38. Un cuarto de forma rectangular, sin puertas ni ventanas, tiene por dimensiones 10, 13 y 5 metros de ancho, largo y alto. Se van a pintar las paredes por sus dos caras y el techo. El número total de metros cuadrados que se debe pintar es: A) 360 C) 490 E) 720 B) 460 D) 590 39. Un paralelepípedo rectangular tiene por dimensiones 4 m, 8 m y 16 m. Calcular las dimensiones, en metros, de un paralelepípedo semejante, cuyo volumen es a3. A) 2a ; a ; a/2 D) 2a ; a/4 ; a/2 B) 3a ; a ; a/4 E) 2a ; a/3 ; a/2 C) 4a ; a ; a/4

31. Halla el volumen de un cubo, sabiendo que la suma de las distancias de un punto interior a sus seis caras es 12 m. A) 64 m3 C) 48 m3 E) 100 m3 3 3 B) 16 m D) 36 m

40. En un prisma recto de base cuadrada y altura 10 m, la distancia de un vértice al punto medio de la cara opuesta mide 10 m. Determinar el volumen del prisma. A) 350 m3 C) 450 m3 E) 600 m3 3 3 B) 400 m D) 500 m

32. La suma de las aristas de un cubo es 36. Calcular la distancia del centro de una de las caras a uno de los vértices de la cara opuesta.

41. La diagonal de un paralelepípedo rectangular

A) 3 6 B)

3 6 2

C) 3 3 D)

E) 3

3 3 2

33. ¿Qué relación existe entre las áreas totales de dos cubos, si sabemos que la arista de uno de ellos es igual a la diagonal de una cara del otro? A) 1/3 B) 1/2 C) 4/3 D) 3/4 E) 2/5

34. Si un cubo sólido de 1 metro de arista, se divide en cubitos de 1 cm de arista. ¿Qué altura alcanzará una columna formada por todos esos cubitos colocados uno encima de otro? A) 10 000 cm C) 10 km E) 10 000 mm B) 1 000 m D) 1 000 km

35. En un tetraedro regular ABCD se toman M, N,O y P puntos medios de las aristas AB , AC , DC y DB respectivamente. Si la arista del tetraedro mide 8 m, hallar el área del polígono MNOP. A) 64 m2 C) 8 m2 E) 24 m2 2 2 B) 32 m D) 16 m

es 5 2 m. Sabiendo que sus dimensiones están en progresión aritmética de razón 1, halla el volumen del sólido. 3 3 3 A) 80 m C) 70 m E) 50 m 3 3 B) 60 m D) 40 m 42. La base de un prisma recto de 6 m de altura es un rectángulo en donde uno de sus lados es el doble del otro. Si su área total es 144 m 2, halla la diagonal del sólido. A) 9 m

C) 6 m

B) 3 m

D) 6 2 m

E) 9 2 m

43. Si el área lateral de un prisma cuadrangular regular es 40 m 2 y la medida de la altura es 5 m, entonces su área total es: 2 2 2 A) 48 m C) 60 m E) 96 m 2 2 B) 50 m D) 65 m