Ingeniería Civil Universidad Autónoma de Zacatecas

Capítulo 1

ESTABILIDAD E INDETERMINACIÓN

1.1 Introducción Durante los primeros cursos de estática, se aplican los principios elementales del equilibrio de sistemas de fuerza [1,2]. Desde entonces se plantea que la resultante de dichos sistemas debe ser cero. Tanto las vigas como las armaduras representan las primeras estructuras en las cuales se determinan los valores de las fuerzas de reacción necesarias para que la suma total sea cero. Es decir, para que la estructura esté en equilibrio. El requisito indispensable para poderlas analizar es que sean isostáticas, es decir, que sólo tengan las reacciones o apoyos necesarios para que sean estables. Aquí, se considera una estructura estable aquella que tiene tantos apoyos y dispuestos en forma tal que impidan movimientos de cuerpo rígido. Considerese por ejemplo una viga simple sujeta a cualquier sistema de carga (Fig. 1) :

Y X Figura 1. Viga simplemente apoyada El apoyo fijo en el extremo izquierdo ofrece dos direcciones de soporte, mientras que el apoyo del extremo derecho ofrece solamente una. A cada extremo se le nominará como nudo 1 y 2 respectivamente. Las reacciones que sostienen a la viga son las que se indican en la figura 2. De acuerdo a un sistema coplanar general, se disponen de tres ecuaciones de equilibrio. Estas son ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣMz = 0. Debido a que se tienen igualmente tres reacciones desconocidas, Rx1, Ry1, Ry2, la estructura se dice isostática. Es decir, el número de reacciones debidas a los apoyos es igual al número de ecuaciones disponibles para establecer su equilibrio.

Rx1 Ry1

Ry2

Figura 2. Reacciones en los extremos de la viga

Análisis Estructural 1 Diego Miramontes De León

Si a la misma viga se remueve uno de sus apoyos, por ejemplo si se elimina el apoyo derecho, entonces es inestable (Fig. 3). Por otro lado, el número de reacciones es igual a dos, mientras que el número de ecuaciones sigue siendo tres. En este caso, la estructura se dice hipostática. La estructura presenta un movimiento de cuerpo rígido. Esto significa que aunque haya desplazamientos no nulos en alguno de sus nudos, los esfuerzos internos son nulos. Es importante remarcar que los desplazamientos así obtenidos son indeterminados. Para el ejemplo mostrado tanto el giro en el nudo 1 como el giro y el desplazamiento del nudo 2 son no nulos.

Rx1 Ry1

θ =α

Figura 3. Viga hipostática De igual forma, si se elimina la reacción horizontal del apoyo izquierdo (esto se puede lograr transformando el apoyo de pasador fijo por el de otro rodillo como el del nudo 2), la viga presenta también un número menor de incógnitas que el de ecuaciones (Fig. 4). La estructura sigue siendo hipostática y el desplazamiento indeterminado se da en ambos nudos en la dirección horizontal. Esto también representa un movimiento de cuerpo rígido. Nuevamente, los esfuerzos internos son nulos y los desplazamientos no se pueden evaluar.

u=α

Ry1

Ry2

Figura 4. Viga hipostática Por último, considérese el caso contrario a los anteriores, es decir, en lugar de eliminar reacciones, se agregan apoyos a la misma viga (Fig. 5).

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Figura 5. Viga hiperestática El empotramiento en el extremo izquerdo origina una nueva restricción al apoyo. Esta le impide girar, por lo que se tienen ahora cuatro reacciones incógnita contra tres ecuaciones de equilibrio. A esta estructura se le dice hiperestática. Y a la diferencia entre el número de reacciones y el de ecuaciones proporcionadas por la estática se le conoce como grado de indeterminación estática (gie). Así, en este caso el gie = 1. La solución requiere que se planteen ecuaciones adicionales hasta igualar el número de ecuaciones con el de las incógnitas por determinar.

Rx1 Rz1

Ry1

Ry2

Figura 6. Reacciones en la viga hiperestática de la figura 5 Se puede seguir incrementando el número de restricciones a los desplazamientos de los nudos. Por ejemplo, si se cambia el rodillo por otro empotramiento en el nudo 2 (Fig. 7), se impedirá tanto el desplazamiento horizontal como el giro en ese extremo. El número de incógnitas aumenta ahora a 6 y el gie = 3 ya que para todos los casos se trata de un problema plano en el que se disponen de tres ecuaciones de equilibrio.

Figura 7. Viga altamente hiperestática

Análisis Estructural 1 Diego Miramontes De León

Las reacciones para estas condiciones de apoyo se muestran en la figura 8.

Rx1 Rz1

Rx2 Ry1

Rz2

Ry2

Figura 8. Reacciones en la viga de la figura 7 El mismo concepto puede aplicarse a estructuras espaciales. En este caso se dispone de seis ecuaciones de equilibrio las cuales implican tres sumas de fuerzas y tres de momentos : ΣFx, ΣFy, ΣFz, ΣMx, ΣMy, ΣMz. Para ilustrar el caso espacial puede revisarse el marco mostrado en la figura 9. Ya que se consideran empotradas todas las columnas, existen 6 reacciones a la base de cada una de ellas.

Y

Ry

X

My Rx Z

Rz

Mz

Mx

Figura 9. Estructura espacial y reacciones en uno de sus apoyos Esto hace un total de 24 reacciones por determinar, lo que implica un grado de indeterminación estática muy elevado (gie = 18). Puede verse también que la estructura mostrada en la figura 9 se asemeja a estructuras frecuentes. Esta es de hecho una de las estructuras espaciales más simples. Lo que indica que con mucha frecuencia, se requiere analizar estructuras altamente indeterminadas. Sin embargo, el alto grado de indeterminación

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de las estructuras no representa niunguna limitación para el análisis estructural, si no por el contrario, es donde se encuentra su mayor interés. En resumen, para estruturas planas y espaciales la indeterminación estática se define por : gie = nR - 3

1.1)

gie = nR - 6

1.2)

si

gie < 0 Hipostática gie = 0 Isostática gie > 0 Hiperestática

donde nR representa el número total de reacciones de apoyo.

1.2 Grado de indeterminación interna en armaduras Por otro lado, sólo se ha revisado la indeterminación externa mientras que, la composición propia de la estructura puede representar otro grado de indeterminación adicional. A esto se le denomina grado de indeterminación estática interna. Para ilustrar como se determina la misma, se considerará como caso simple, una armadura (Fig. 10) en la que se requiere conocer la fuerza que se desarrolla en cada una de sus barras.

3

2

3

Rx1 1 Ry1

Figura 10. Armadura isostática

1

2 Ry2

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En cada uno de los nudos debe satisfacerse el equilibrio. Ya que es una estructura plana, a cada nudo se le asocia un sistema coplanar concurrente, por lo que se cuenta con dos ecuaciones por nudo (ΣFx y ΣFy). Esto significa que para qua la estructura sea estaticamente determinada, el número de barras (incógnitas) no debe exceder de dos veces el número de nudos. Para una armadura espacial, el sistema que aparece en cada nudo es concurrente no coplanar, por lo que se dispone de tres ecuaciones por nudo. Deben entonces satisfacerse las siguientes ecuaciones : Armadura plana

m + 3 - 2j = 0

1.3)

Armadura espacial

m+6-3j=0

1.4)

Donde, m es el número de barras y j es el número de nudos. Además, 3 y 6 representan el número de reacciones externas requeridas para que la estructura se isostática externamente. De estas relaciones puede verse que una armadura como la mostrada en la figura 11a) será inestable, ya que : m+3 - 2(4) ⇒ 4+3 < 8.

4 2

3

3

4

4

2

5

3

Rx1 1

1 Ry1

Figura 11a. Armadura inestable

1

2 Ry2

Figura 11b. Armadura transformada

Para corregir la inestabilidad interna, se requiere agregar una barra como se muestra en la figura 11b. Es importante observar que si se agrega un apoyo lateral al nudo dos, se cumple aparentemente la condición de estabilidad ya que : m + 4 - 2(4) ⇒ 4+4 = 8, sin embargo, aun así, sigue siendo inestable, ya que el desplazamiento lateral de los nudos 3 y 4 no tiene ninguna restricción (Fig. 12). Esto indica, que si se agregan apoyos externos en lugar de barras para cumplir con las relaciones 1.3) y 1.4) sólo puede garantizarse el equilibrio si el apoyo en

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cuestión cumple con la función que cumpliría la barra interna (Fig. 13). En este caso se trata de restringir el desplazamiento horizontal de los nudos 3 y 4. Aun así, es necesario remarcar que siguiendo un análisis riguroso, los resultados de ambas estructuras no serán iguales. En efecto, en la figura 11b, el desplazamiento lateral depende de la rigidez de la barra 5, mientras que en la estructura de la figura 13, el desplazamiento del nudo 4 sera cero. Sólo si se desprecia la rigidez axial de las barras (como en la mayoría de los análisis por equlibrio estático), ambos resultados coincidirán.

θ=α

θ=α

4

3

4

2

3

Rx1 1

1

2 Ry2

Ry1

Rx2

Figura 12. Inestabilidad interna e hiperestaticidad externa

4 2

3

1 Figura 13. Estabilidad a partir de la posición correcta de una redundante

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1.3 Estabilidad y grado de indeterminación de porticos planos Un pórtico o marco, se compone de vigas y columnas unidas rígidamente [3-6]. La estabilidad y grado de indeterminación puede investigarse comparando el número de incógnitas (de reacción e internas) con el número de ecuaciones disponibles por estática. Como en el caso de las armaduras, el marco puede separarse en un número de sólidos aislados, igual al de nudos, lo que requiere separar todos los elementos (vigas y columnas) mediante dos secciones (Fig. 14). Por cada sección existen tres incógnitas internas (N, V, M), sin embargo, si se conocen estas cantidades en una sección, se pueden determinar las correspondientes a otra sección cualquiera. Por lo tanto sólo hay tres incógnitas internas e independientes en cada elemento.

V

N M

Figura 14. Marco plano y elementos mecánicos en dos de sus secciones Si m representa el número total de elementos y r el número de reacciones, el número total de incógnitas independientes en un marco rígido será 3m + r. Para el equilibrio de un nudo, se deben satisfacer tres ecuaciones de equilibrio, ΣFx=0, ΣFy=0 y ΣMz=0 (marco plano). Si además el número total de nudos rígidos es j, entonces podrán escribirse 3j ecuaciones independientes de equilibrio para el sistema completo. Si se introducen articulaciones u otros dispositivos de construcción con el fin de proveer ecuaciones adicionales a las de la estática, el número total de ecuaciones estáticas disponibles será 3j + c, donde c son los dispositivos añadidos. Entonces, los criterios para la estabilidad y grado de indeterminación para un marco plano serán :

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1. Si

3m + r < 3j + c intestable

2. Si

3m + r = 3j + c estáticamente determinado, siempre y cuando sea estable

1. Si

3m + r > 3j + c estáticamente indeterminado

Bibliografía [1] J. L. Meriam, Statics, ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. Ed. en español por Reverté, S.A. Barcelona España, ISBN 84-291-4128-6 [2] F. P. Beer & E. R. Johnston, Jr, Vector mechanics for engineers, statics, McGraw Hill, Inc., USA, Ed. en español por McGraw Hill/Interamericana, S.A. de C.V.,México, ISBN 968-422-564-4 [3]

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[4] A. Ghali & M. Neville, Análisis Estructural, Ed. Diana [5] J. McCormac & R.E. Elling, Structural analysis, a classical and matrix approach, 1st Ed. Harper & Row, Publishers Inc., New York. Edición en español por Alfaomega, grupo editor, S.A. de C.V. ISBN 970-15-0202-7 [6] W.T. Marshall & H.M. Nelson, Structures, 2ed, Pitman publishing limited, Londres. Edición en español por Representaciones y servicios de ingeniería, S.A., México, ISBN 968-6062-67-X