Cuenca, 11 de noviembre de 2013 Clase 13 Geometría del espacio Figuras geométricas en el espacio Definiciones: Geometría del espacio: Rama de las matemáticas encargada de las propiedades y medida de las figuras geométricas en el espacio tridimensional, denominados sólidos en el espacio como por ejemplo el cono, el cilindro la pirámide , la esfera, etc. También llamada geometría tridimensional o Estereometria. Figura en el espacio o cuerpo geométrico es el conjunto de puntos que no están contenidos en un mismo plano, es la porción de espacio limitado. Posición relativa de algunas figuras en el espacio Posición relativa de los rectas en el espacio: 1. Rectas paralelas: Dos rectas paralelas siempre están contenidas en un mismo plano. Ejemplo L1 y L3 2. Rectas alabeadas: Dos rectas alabeadas no se interceptan, no son paralelas y no existe un plano que las contenga. Se encuentran en planos paralelos, pero las rectas no son paralelas. Ejemplo L1 y L2. 3. Rectas secantes: Dos rectas secantes son siempre coplanares (están en un mismo plano) y se intersectan en un punto. Ejemplo L4 y L2.

Posición relativa de plano y recta en el espacio Rec ta cont en id a e n e l p l an o

Cu and o to do s los p unto s d e l a r e cta per te ne c en a l p lano

Rec ta y p l an o pa r a l e los cuan d o n ingú n punto d e la re ct a pe r te nec e a l p lan o

Rec ta y p l an o sec an te s l a re ct a y e l p l an o ti en e n un pu n to e n co mú n

Posición relativa de dos planos en el espacio Dos planos pueden tomar las siguientes posiciones relativas en el espacio: coincidentes, paralelos y secantes.

Dos planos coincidentes tienen puntos en común. Dos planos paralelos no tienen puntos en común. Dos planos secantes tienen una recta en común. Nota: Un plano siempre divide al espacio en dos semiplanos.

Angulo Diedro.- Definición: Un ángulo diedro es cada una de del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una arista común.

las

dos

partes

A los semiplanos se les denomina cara del diedro y, al borde común arista del diedro. Ángulo rectilíneo correspondiente a un diedro es el ángulo plano formado por dos rectas, una en cada cara, perpendiculares a la arista en el mismo punto. La medida del ángulo diedro es igual a la medida del ángulo rectilíneo

MN y NP perpendiculares A AB ÁNGULOS POLIEDROS Un ángulo poliedro es la región del espacio limitada por tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice. Cada uno de estos planos es una cara del ángulo poliedro.

Dos caras consecutivas forman un ángulo diedro. El ángulo poliedro más sencillo es un ángulo triedro, formado por tres caras.

Una propiedad del ángulo poliedro es que tiene el mismo número de caras y de ángulos diedros que de aristas. CUERPOS GEOMETRICOS Clasificacion: Poliedros: es un sólido con lados planos (del Griego poly- que significa "muchas" y -edron que significa "caras"). Ejemplo: pirámides y prismas. Cada superficie plana (o "cara") es un polígono. Elementos del poliedro

En cada vértice deben concurrir al menos tres aristas. La diagonal del poliedro es el segmento de recta que une dos vértices situados en caras diferentes. Clasificación de los poliedros Los poliedros tienen múltiples clasificaciones según su procedencia, por ello podemos hablar de Convexos, Cóncavos, Regulares y e Irregulares. Poliedro Convexo Se dice que un poliedro es convexo cuando toda recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Propiedades:    

Cada arista de una cara pertenece también a otra cara y únicamente a otra. Dichas caras se denominan contiguas. Dos caras contiguas están en planos distintos. Está limitado por polígonos convexos. El número de aristas (A) es igual al número de caras (C) más el número de vértices (V) disminuido en dos. A = C-(V-2) C + V – A = 2.

Poliedro Cóncavo Se dice que un poliedro es cóncavo cuando una recta corta su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

Denominación según el número de caras # caras:

Nombre:

4

tetraedro

5

pentaedro

6

hexaedro

7

heptaedro

8

octaedro

10

decaedro

12

dodecaedro

20

icosaedro

Poliedro Regular Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud, a los poliedros regulares se les conoce como solidos platónicos y son cinco:

Tetraedro regular

Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales. Tiene cuatro vértices cuatro ángulos triedros, seis ángulos diedros y seis aristas. Es una pirámide triangular regular

Hexaedro regular o cubo

Su superficie está constituida por 6 cuadrados Tiene 8 vértices 8 ángulos triedros, 12 ángulos diedros, 12 aristas y 4 diagonales concurrentes y congruentes. Octaedro regular

Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.

Tiene 6 vértices, 6 ángulos tetraedros, 12 ángulos diedros y 12 aristas. Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales. Dodecaedro regular

Su superficie consta de 12 pentágonos regulares. Tiene 20 vértices, 20 ángulos triedros, 30 ángulos diedros y 30 aristas. Icosaedro regular

Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros. Tiene 12 vértices, 12 ángulos pentaedros, 30 ángulos diedros y 30 aristas. Poliedro Irregular Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales.

Otro tipo de poliedros importante son los prismas y las pirámides

Prisma es un sólido determinado por dos polígonos paralelos y congruentes que se denominan bases y por tantos paralelogramos como lados tengan las bases, denominados caras.

Los primas se nombran según el polígono de la base, así:

Elementos del prisma Altura de un prisma es la distancia entre las bases. Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales, las aristas laterales; éstas son iguales y paralelas entre sí.

Clasificación de los prismas Los prismas se clasifican según la forma de sus caras laterales en: Prismas rectos: Son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. En los prismas rectos la altura es congruentes con la longitud de las aristas laterales. Prismas oblicuos: Son aquellos cuyas caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos ni cuadrados. Sus aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

A su vez, los prismas rectos se clasifican en: Prismas regulares: Son aquellos cuyas bases son polígonos regulares. Prismas irregulares: Son aquellos cuyas bases son polígonos irregulares. Paralelepipedos es un prisma cuyas bases son paralelogramos, es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos.

A un paralelepípedo recto rectangular se denomina ortoedro

Aplicaciones: 

Demostrar que en un paralelepípedo recto rectangular el cuadrado de la longitud de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones.

D2= a2+b2+c2



Calcular la longitud de la diagonal de un cubo

Piramides: Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado vértice.

Altura (h) es la distancia mínima entre el plano que contiene la base y el vértice de la pirámide. Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice (altura) equidista de los vértices de la base, es decir corta a la base por su circuncentro. Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

En una pirámide regular recta se denomina apotema la altura de sus caras, que son triángulos isósceles.

La pirámide truncada es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

Una pirámide truncada tiene dos bases paralelas semejantes, las caras laterales son trapecios que unen los lados semejantes de las bases paralelas y la altura es la distancia mínima entre las bases.

La altura de las caras laterales (trapecio) se denomina apotema de la pirámide. A p li caci ón :

Calculamos la apotema lateral del tronco de pirámide, conociendo la altura, la apotema de la base mayor y apotema de la base menor, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado: