Filtros Digitales II

Lic. Matías Romero Costas

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Respuesta en frecuencia: las características de un filtro pueden determinarse a partir de su respuesta en frecuencia, constituida por la respuesta en amplitud y la respuesta en fase. La respuesta en amplitud varía con la frecuencia y es la relación entre la amplitud de la salida del filtro y su entrada (habitualmente probada con una sinusoide o un impulso). La respuesta en fase, que también varía en función de la frecuencia, es la cantidad y el modo en que cambia la fase a consecuencia del filtro.

Gráfico 1. Respuesta en amplitud (a) y respuesta en fase (b) del filtro y(n)=x(n)+x(n-1)

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Tipos de filtro: es común identificar a los filtros por su respuesta en amplitud. En el gráfico 2 podemos observar, sobre el eje horizontal en un filtro pasabajos, cómo son afectadas las diferentes regiones del espectro a partir de una determinada curva de amplitud. La banda de paso (passband) es la región del espectro que no es alterada por el filtro, es decir que la señal pasa desde la entrada a la salida con ganancia igual a 1. Para el caso de un filtro pasa-bajos la banda de paso va desde una frecuencia de 0 Hz hasta el límite superior del filtro, su frecuencia de corte. La ganancia en la banda de paso no es totalmente plana, esa ondulación o fluctuación se denomina ripple. La región en donde las frecuencias son atenuadas se denomina banda de rechazo (stopband) y para el caso del filtro pasa-bajos se encuentran a la derecha. La zona intermedia o banda de transición es la pendiente1 (slope) de la curva.

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La pendiente de atenuación es determinada por el orden del filtro. Cuando mayor es el orden del filtro la curva es más empinada. -1-

Gráfico 2. Características de un filtro pasa bajos

Gráfico 3. Características de un filtro pasa banda

Los filtros normalmente se expresan para una frecuencia en particular, como en el caso de un filtro pasa-bandas del gráfico 4, cuya parte central está dada por la frecuencia de corte o frecuencia central del filtro f0 (cut frequency o center frequency). La porción de frecuencias que abarca la curva dependerá de la pendiente de la misma (slope). Esta pendiente se mide en dB por octava, lo que significa que una pendiente de 12dB por octava será más abierta que una de 6dB. El ancho de banda (Bandwith) es la porción donde el filtro responde más efectivamente y está limitada por los puntos que están a -3 dB a los lados del punto máximo de la curva, que coincidirá con la frecuencia de corte; tanto el ancho de banda como la pendiente de la curva (que están directamente relacionadas), determinan el factor de calidad del filtro o “Q”. Un valor de Q mayor implica un ancho de banda más estrecho. En el gráfico vemos 3 diferentes valores de calidad (Q).

Q = f0/BW

-3dB

-3dB

Gráfico 4. Ancho de banda y frecuencia central o de corte

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Gráfico 5. Calidad de un filtro (Q)

Pasa-Altos (High pass): todas las frecuencias por encima de la frecuencia de corte pasan sin alterarse y las que están por debajo son atenuadas con una determinada pendiente de acuerdo a las características del filtro. Pasa-Bajos (Low pass): pasan, sin ser alteradas, todas las bandas inferiores a la de corte, y las que están por encima son atenuadas. Las características de su respuesta en frecuencia aparecen en el gráfico 2. Pasa-Banda (Band pass): permite el paso de frecuencias comprendidas dentro de un rango del espectro determinado por el acho de banda y frecuencia central. Un ejemplo son los ecualizadores gráficos. Las características de su respuesta en frecuencia aparecen en los gráficos 3 y 4 Filtros de Ranura o elimina-banda (Notch o reject): atenúan las frecuencias comprendidas en un ancho de banda muy pequeño, por lo que se deduce que la pendiente del mismo es muy pronunciada. Filtros Peine (Comb): este filtro toma su nombre por el diseño de su respuesta en frecuencia. Los picos de amplitud de la respuesta en frecuencia están ubicados a una distancia igual a la “frecuencia natural del filtro” que es al inversa del tiempo de delay f0 = 1/t . La profundidad del mínimo y la altura del máximo dependen de la elección de g, en donde valores más cercanos a 1 significa mayor diferencia entre los extremos. Esto genera que el sonido que entra hace resonar al filtro a su frecuencia natural (f0), adicionando otro sonido con esa fundamental al original.

Gráfico 6. Respuesta en frecuencia de un filtro comb.

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Filtros Pasa todo (Allpass): es un filtro diseñado con una respuesta en amplitud constante igual a 1, es decir sin ningún cambio en la amplitud de los componentes de frecuencia de la señal, pero si con un cambio en su fase. Es tipo de filtros se utiliza en el diseño de reverberadores.

Gráfico 7. Diagrama de flujo de un filtro allpass

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Ecualizadores: Un ecualizador está compuesto por varios filtros pasa-banda. Existen 3 tipos básicos de ecualizadores: Gráficos: encontramos una determinada cantidad de bandas (de 6 a 31), en la que se divide el espectro audible (20-20.000Hz). Cada banda posee una frecuencia central, un ancho de banda y una pendiente, fijos. Para evitar baches o porciones del espectro no modificables, todas las bandas se superponen. El único parámetro controlable es el nivel de ganancia de cada banda de frecuencia. Paramétricos: Permiten la control sobre el nivel de ganancia, la frecuencia de corte y el ancho de banda (o Q el según la implementación del filtro). Semiparamétricos: permiten modificar, generalmente, nivel y frecuencia central, pero no el ancho de banda.

Es posible utilizar los filtros básicos (pasa-bajos, pasa-altos, pasa-banda, y rechaza-banda) para crear diseños de respuesta en amplitud más complejos a partir de combinar las respuestas simples a la manera de bloques para construir un filtro con el contorno deseado. Las combinaciones posibles son: •

Filtros en paralelo: la conexión de filtros en paralelo implica que se sumen las respuestas en frecuencia de todos los elementos simples. La señal original alimenta a cada uno de los filtros individuales, la salida de cada uno de estos bloques se suman para conformar la salida final del sistema.

Filtro I

Filtro II

Gráfico 8. Banco de filtros en paralelo, y su respuesta en frecuencia

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Filtros en serie: existe otra forma de combinar filtros llamada conexión en serie o en cascada, como muestra la figura N, donde los bloques se conectan como eslabones de una cadena. La salida del primer filtro alimenta la entrada del siguiente hasta el último bloque, cuya salida es la salida de todo el filtro. La respuesta en amplitud se calcula multiplicando todas las respuestas individuales. El orden de un filtro construido a partir de elementos conectados en cascada es igual a la suma de los ordenes de todos los elementos individuales, en consecuencia, el filtro completo tendrá una pendiente más empinada.

Filtro I

Filtro II

Gráfico 9. Banco de filtros en serie o cascada, y su respuesta en frecuencia

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Polos y Ceros: estos términos tienen su origen en el análisis matemático de la respuesta del filtro. Un polo ubica un pico en la respuesta en amplitud y un cero causa un valle. Cuando un polo o cero es tomado solo, su ubicación puede ser descrita por la frecuencia central (f0) y el ancho de banda del pico o valle que es creado en la respuesta en amplitud. La altura de un pico o la profundidad del valle es principalmente dependiente del ancho de banda (Dodge y Jerse, 1997).

Bibliografía • • • • •

Julios O. Smith III, Introduction to digital filters. CCRMA. California. 2002. Introduction to digital filters. www.dsptutor.freeuk.com/digfilt.pdf F. Richard Moore, Elements of computer music. PTR Prentice Hall Inc. Ney Jersey. 1990. Charles Dodge y Thomas A. Jerse, Computer Music. Library of Congress. USA. 1997. Miller Puckette, Theory and Techniques of Electronic Music. University of California, San Diego. 2005.

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