Filtros CIRCUITOS FILTROS Un primer tipo de filtro puede pensarse como un sistema de células sucesivas en el cual haya diversas autoinducciones en serie y capacidades en derivación. Un circuito de este tipo tiene la propiedad de dejar pasar solamente las componentes de frecuencia inferior a un cierto valor, dicha “Frecuencia critica” y de impedir el pasaje de aquellas de frecuencias superiores. Se podrá demostrar que con la disposición de la fig. 70 se tiene: (Va - Vb) / (Vc - Vd) constante e igual a 1 hasta que la pulsación no alcanza un cierto valor Wc (pulsación critica) dependiente de los valores de las inductancias y de las capacidades que constituyen el filtro: para W > Wc la relación (Va Vb) / (Vc - Vd) crece rápidamente con la ley lineal; un filtro de este genero se dice “FILTRO PASA BAJO” El efecto opuesto se obtiene permutando las capacidades con las autoinducciones. Un esquema de este tipo y su correspondiente diagrama es el indicado en la Fig. 71; debajo de una cierta frecuencia, la impedancia es grandÃ−sima, arriba de esta frecuencia, la impedancia es constante e igual a cero, (FILTRO PASA ALTO). Los dos sistemas se pueden combinar en modo de obtener un diagrama resultante del tipo correspondiente a la figura 72 en la cual se demuestra que el circuito permite, solamente, el pasaje de las frecuencias contenidas Los dos sistemas se pueden combinar en modo de obtener un diagrama resultante del tipo correspondiente a la fig. 72, en la cual se demuestra que el circuito permite, solamente, el pasaje de las frecuencias contenidas dentro de un pequeño intervalo (FILTRO PASA BANDA). Con un numero de células muy grande, se pueden tener zonas netamente delineadas en modos de tener la seguridad de que no pasen otras frecuencias que las deseadas. APLICACIONES DEL METODO SIMBOLICO AL ESTUDIO DE LOS FILTROS Un filtro, o propiamente un filtro a cadena es un sistema constituido por una cadena indefinida de mallas formadas por impedancias en serie y en derivación, como muestra la fig. 147. Llamamos . on Z a la impedancia de un elemento genérico en serie, y con Y a la admitancia de un elemento en derivación. Los filtros a cadena mas simples son aquellos en los cuales las impedancias en serie son iguales entre ellas y las admitancias en derivación son también iguales entre ellas, vale decir son idénticas todas las células en las cuales se pueden imaginar descompuestos los filtros. Tal descomposición en elementos o células se pueden hacer en diversos modos que resultan mas o menos convenientes en el estudio del filtro. En la fig. anterior se ha reemplazado la descomposición en células acodadas (____) o sea en elementos disimétricos, constituidos por una impedancia y una admitancia. Se realiza una cierta simplificación, en el estudio analÃ−tico, refiriéndose a células simétricas con respecto a los dos sentidos de la propagación, como en las indicadas a continuación, fig. 148.-

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En el primer caso quedan divididas por mitades las impedancias, en el segundo las admitancias; en cada caso los elementos de cada célula resultan simétricas con respecto a la lÃ−nea mediana. Las células asumen las formas de T y de TT respectivamente. TEORIA DE LOS FILTROS A CADENA Hagamos referencia a la subdivisión del filtro según células T. Asignamos a cada célula un numero de orden creciente de izquierda hacia derecha. Con los sÃ−mbolos que ya hemos adoptado para los valores de las impedancias y de las admitancias elementales del filtro, los valores que asumen, son los indicados en la fig. 149. En una célula genérica: Si Vn-1 es la tensión aplicada en los bornes A y B, y Vn la aplicada entere los terminales C y D, si I(n-1) es la corriente en la rama A E e In aquellas en la rama EC; escribiendo el 2° principio de Kirchhoff para la malla ABCDEEA, obtenemos: V(n-1) = Vn + Z/2 (I(n-1) + In) Y por el primer principio de Kirchhoff aplicado al nodo E: (I(n-1) = In + Y (Vn + Z/2 In) siendo (Vn + Z/2 In) la tensión aplicada entre E y F. Estas dos ultimas expresiones son las ecuaciones fundamentales para los filtros (T en nuestro caso). OBSERVACION Una lÃ−nea para transportar energÃ−a puede compararse con un filtro cuyos elementos (impedancia en serie y admitancia en derivación) son infinitésimos y no crean discontinuidad. Las ecuaciones que hemos deducido valen todavÃ−a para las lÃ−neas salvo el carácter diferencial. La cadena, en efecto, se comporta indiferente, si aplicamos una cierta f.e.m. en una seccion o en otra de su desarrollo, porque esa f.e.m. se halla siempre aplicada a una cadena de iguales caracterÃ−sticas y de longitud indefinida; queda entonces constante, al variar de la seccion, la impedancia que presenta la cadena para una tensión aplicada, y entonces: V(n-1) = Vn - Z I(n-1) = In Esta impedancia es semejante a la considerada para las lÃ−neas, se llama impedancia interactiva o caracterÃ−stica. Esta ultima relación conjuntamente con las otras dos ecuaciones, (de tensión e intensidad) constituye un sistema homogéneo en las incógnitas: Vn - 1 ; Vn ; In - 1 ; In Y nos permite obtener la relación. 2

Vn = Zo In Que resulta, en definitiva, función de Z y de Y: Zo = f (Z,Y) Zo tiene las dimensiones de una impedancia, se medirá en ohms. De las ecuaciones de tensión y corriente podemos determinar el valor de Zo. En efecto: reemplazando en la 1° . el valor de In-1 dado por la 2. Vn-1 = Vn + Z [2 In + Y (Vn + Z In )] 22 Vn-1 = Vn (1 + ZY ) + InZ (1 + ZY ) •4 Luego nos queda el sistema final: (Vn-1 = Vn (1 + ZY ) + InZ (1 + ZY ) (24 ( (In-1 = In (1 + ZY ) + Y Vn (2 Dividiendo m. a m estas dos ecuaciones y dividiendo ambos miembros de la fracción resultante por In se tiene: Vn-1 = Zo = Zo (1 + ZY ) + Z (1 + ZY) 24 In-1 1 + ZY + YZo 2 simplificado: YZo ² = Z (1 +ZY ) 4 (Apéndice a filtros). 3

De la formula: E = I(n-1) = (1 + ZY) + YZ In 2 reemplazando Z = Z1 ; Y = 1 ; Z r = + Z1Z2 ( 1 + Z1 ) Z2 4 Z2 E = In-1 = (1 + Z1 ) + 1 Z1Z2 (1 + Z1 ) = In 2 Z2 Z2 4 Z2 Con esta formula, en función de Z1 y Z2, podemos calcular la atenuación de una célula T, y por consiguiente determinar las constantes . Podemos dar otra forma a la E, en efecto: Aplicando el 2° principio de Kircchoff a la malla total: Z1 I1 + Z1 I2 + Z I2 = Z I1 •2 de la cual: Z + Z1 = Z1Z2 1 + Z1 + Z1 I1 = 2 4 Z2 2 = In-1 = I2 Z - Z1 Z1Z2 1 + Z1 - Z1 In 2 4 Z2 2 Consideremos ahora dos células T: Aplicando el mismo principio de Kirchoff a la malla central A B C d se tiene: Z1I2 + Z2(I2 - I3) - Z2(I1 - I2) = 0 Z1I2 + 2Z2I2 - Z2I3 - Z2I1 = 0 Dividiendo por Z2I2 resulta I1 + I3 = 2 + Z1 I2 I2 Z2 En la expresión: esta formula resulta muy conveniente para calcular en términos de Z1 y Z2. 4

Para simplificar el análisis de los filtros podemos considerarlos sin resistencias. Sea para el caso T (Z1 JWL1 , Z2 = -j 1 ) W C2 Se puede predecir el comportamiento del filtro totalmente en función de la relación ( °). Z1 = -W²L1C2 = W²L1C1 4Z2 4 4 Resulta conveniente determinar de la ( °) los valores asumidos a las diversas frecuencias que tabulamos en la tabla I. Hemos considerado W en función de 1 L1C2 Es decir, hemos tomado W en la unidad 1 L1C2 Se observa de la tabla, como el filtro considerado presenta atenuación nula entre los limites. W = 0 y W = 2/ L2C2 Radianes / 3. Luego la célula se comporta evidentemente como una unidad “pasa bajo”. Se vio que para la célula T pasa bajo, la W critica. Debe recordarse que es el ángulo entre I2 e I1 ( o V2 y V1). Como cos puede variar solamente entre los limites +1 y -1 la región correspondiente a las frecuencias pasantes por el filtro (o filtrantes) se halla limitada a las regiones en las cuales. -1 < Z1 < 0 4Z2 Luego los limites de la banda pasante, en un caso dado especial, pueden obtenerse poniendo Z1 = -1 o Z1 = -4 ; y Z1 = 0 4Z2 Z2 Z2 La ecuación Cos = 1 + Z1 2Z2 5

resulta conveniente para determinar = arc cos (1 + Z1 ) 2Z2 Filtro Pasa Bajo ( constante) Las secciones o células de filtros en los cuales las impedancias serie y las paralelo son de tipo inverso, es decir unas inductivas y otras capacitivas, presenta la particularidad que el producto de ellas Z1Z2 es independiente de la frecuencia. la seccion del filtro se llamara seccion - constante. Proyecto de un filtro - const. Los limites de la banda pasante son: De la condición Y par la otra condición Wc es la pulsación de la cual se produce la frecuencia de corte y tiene lugar en el extremo superior de la banda pasante. Frecuencia critica o de corte de una célula pasa bajo ( - const.) Se nota que la fc depende exclusivamente de la magnitud del producto L1 C2 . A medida que la fc sea mas baja el producto deberá ser mas alto, y viceversa. Otra consideración importante para el proyecto o diseño de un filtro es la impedancia de carga o de salida, si ella se halla conectada sobre las impedancias imágenes. Si el filtro se compone de mas de una célula entre los terminales de entrada y los de salida, es deseable proyectar cada célula con la misma impedancia caracterÃ−stica. Bajo esta condiciones las perdidas por reflexión se reducirán a un valor mÃ−nimo. Hemos visto que la impedancia caracterÃ−stica, para una célula T pasa bajo es: De estás expresiones se nota la variación de los valores de las impedancias caracterÃ−sticas con la frecuencia. Luego la correcta adaptabilidad de los filtros se verifica en una sola frecuencia. En la figura se han representado las impedancias caracterÃ−sticas de las diversas células en función de las frecuencias. De esta figura se observa que Zcos y ZcosT tienen marcha opuesta, esta observación sugiere la combinación de los dos tipos de células en una misma seccion o célula a fin de obtener una impedancia caracterÃ−stica que resulte razonablemente constante, sobre un rango de la banda pasante. El valor de la impedancia para la frecuencia cero es para los dos tipos de células Zcos y ZcosT es:

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Para el proyecto de L1 y C2 se acostumbra especificar estos valores en términos de la frecuencia de corte f0 y de R (impedancia caracterÃ−stica de la frecuencia cero). Las ecuaciones de (1) y (2) especifican los valores de L y C para emplearlos en una célula - const. Pasa bajo en términos de fo y R . Ejemplo: Proyéctese dos filtros T y pasa bajo ( - const.) que a la frecuencia cero tengan una impedancia caracterÃ−stica igual a 600 y una fase de corte de 940 Hz. Dibújense los circuitos para cada caso indicando los valores (en H y F) de cada elemento. Respuesta: L1 = 0,203 Henry C2 = 0,565 Frad Determinar para el caso pasa alto. (En la literatura técnica inglesa se acostumbra indicar K en lugar de ). Problema. Cual es la frecuencia de corte y la impedancia caracterÃ−stica a la frecuencia de un filtro pasa alto que se construye con dos condensadores de 1 F y una inductancia de 15 mH. Respuesta. Fc = 919 Hz ; R = 173 Problema. Proyectar una célula filtrante para un rectificador doble onda a fin de suprimir el residuo armónico sobrepuesto o sobre la corriente continua. La potencia se obtiene de la red alterna de 50 Hz. La tensión rectificada es para alimentar, a través del filtro, dos válvulas transmisoras de 1000 V y 100 mA cada una. La resistencia de carga es: La frecuencia fundamental de la onda rectificada es: Frecuencia que debe suprimirse. ElÃ−jase como frecuencia de corte Fc = 30 Hz Zo = + Z ( 1 + ZY ) Y4 7

Hallado el valor de Zo y substituido en las ecuaciones precedentes, podemos obtener otro elemento que es de gran importancia en el estudio de una lÃ−nea: La relación. E = Vn-1 = In-1 Vn In Que llamamos relación o factor de atenuación (1). Porque nos ilustra en que medida la tensión se atenúa, o sea va disminuyendo a lo largo de la lÃ−nea. También el factor de atenuación (E) es función de Z e Y, y si la célula se halla definida fielmente como Z e Y, resulta ser función solamente de la pulsación W. E = F(W) El valor de E se obtiene de la expresión que hemos deducido para In-1, dividiéndola por In: E = In-1 = (1 + ZY ) + Y Zo In 2 Y substituyendo a Zo su valor E = In-1 = 1 + ZY + Y Z ( 1 + ZY ) In 2 Y 4 ( 1 ). No confundir con la constante de atenuación Aplicación. Aplicamos las formulas halladas al estudio de un filtro “pasa bajo” representado en la figura 150. En la hipótesis de causas disipativas nulas: con las notaciones de la figura tenemos: Z = jWL Y = jWC Luego ZY = -W²LC Se tiene entonces, substituyendo en la expresión de Zo Observamos enseguida que para W²LC < 4, Zo resulta real, puramente ohmico; para W ²LC > 4 es decir para Zo es imaginario o sea reactiva y el filtro no absorbe mas energÃ−a. Para estas pulsaciones tendremos el arresto. La atenuación dada esta dada por: 8

Veamos ahora como se comporta el filtro a las diversas frecuencias, a las diversas pulsaciones: Comenzamos con: Para W = 0 resulta E = 1 No hay atenuación; por lo tanto ya sea la tensión como la corriente son idénticas, tanto a la entrada como a la salida (en monte como en valle). Para: Resulta E = -1 No hay atenuación; tensión y corriente mantienen sus módulos pero las fases, de las mismas magnitudes son opuestas. Para las pulsaciones intermedias, es decir para: El modulo de la atenusión es siempre igual a la unidad pero se tiene desplazamiento de fase la E resulta real y mayor que 1 en valor absoluto, o sea el filtro inicia su efecto filtrante. Relación de atenuación en filtros particulares. Hacemos la hipótesis simplificativa que no existan causas disipativas y consideramos un filtro constituido por células como las de la figura 151 con impedancia inductiva y admitancia capacitiva.

El factor de atenuación, como hemos visto, al crecer la pulsación W se mantiene constante e igual a 1, hasta un cierto valor Wc (pulsación critica), que depende de las caracterÃ−sticas fÃ−sicas del filtro, y de ese punto en adelante aumenta con ley que para un cierto tramo puede considerarse lineal, asÃ− este filtro deja pasar los fenómenos de baja frecuencia y atenúa los de baja frecuencia, ha recibido por ello el nombre de filtro “pasa bajo”. Todo esto respectita naturalmente a una sola célula, si, como hemos hecho hasta ahora consideramos el filtro como compuesto por un numero indefinido de células, para obtener la atenuación global E dada por este sistema se deberán multiplicar entre ellas, las relaciones de atenuación de cada célula, es decir si llamamos n el numero de las células y siendo ellas todas iguales, la atenuación global para n tendiente a será:

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para las frecuencias inferiores a Wc, siendo el modulo de E = 1 se tendrá:

Es decir que el sistema no presenta atenuación; en cambio para las frecuencias mayores de Wc, siendo E > 1 se tiene: Es decir que en la extremidad del filtro no se tiene tensión, ni corriente a pesar de no haberse consumido potencia. Este hecho y la discontinuidad de comportamiento para la pulsación Wc no debe comprender por la hipótesis simplificativa que hemos establecido (ausencia de causas disipativas), condición a la cual se desea llegar pero que es imposible realizar. Una célula que tenga una impedancia capacitiva y admitancia inductiva tiene un comportamiento complementario del precedente:

para pulsaciones inferiores a un valor critico Wc la relación de atenuación varia decreciendo a medida que crece W, y para valores de W mayores que Wc la relación de atenuación se mantiene igual a 1. La célula presenta, entonces, atenuación nula para las frecuencias superiores a la critica y atenúa los fenómenos de baja frecuencia, en medida tanto mayor cuanto menor es su frecuencia. Para el filtro indefinido, se tendrá atenuación nula (E = 1 para W > Wc y atenuación completa (E = ) para W L Wc. Para simplificar el estado de los filtros, que en la practica se fabrican con un numero finito de células, aplicando a ellos lo que hemos observado para las cadenas modificadas, es suficiente que el filtro presente, desde un cierto punto en adelante, la impedancia que presentara si fuese indefinido, vale decir, interrumpirlo con una impedancia a igual a la caracterÃ−stica Z de un filtro con un numero infinito de células, iguales a la dada. En los circuitos telefónicos y telegráficos cuando se desean evitar los fenómenos de reflexión, se realiza precisamente la condición expresada. Si se desean representar mediante diagramas las relaciones de atenuación relativa a grupos de dos o tres células terminadas con su impedancia caracterÃ−stica, es necesario naturalmente, al variar W, llevar ordenadas proporcionales al cuadrado o ya al cubo respectivamente de las relaciones de atenuación correspondiente a una célula sola. En la figura 153 hemos representado el diagrama relativo a un grupo de dos células del tipo “pasa alto”, en comparación con los (lÃ−neas rayadas) de una sola y con infinitas células. 10

En la técnica se acostumbra a fijar el dato de la impedancia de carga correspondiente al aparato receptor o etapa final, y se proyecta un filtro que tenga una impedancia caracterÃ−stica igual a aquella. Notamos además que los fenómenos descritos no se realizan exactamente debido a la existencia de las causas disipativas (resistencia ohmica, o elasticidad de los dieléctricos), sin embargo para las altas frecuencias no son muy diversos de los que hemos descrito porque las reactancias resultan muy elevadas y despreciables con respecto a las resistencias.

Es posible, superponer dos filtros, de los tipos descritos en modo de limitar el pasaje de una gama particular de frecuencias, pero en la técnica se prefiere, en vez de mezclar los dos tipos de filtros a cadena, fijar una frecuencia determinada por selección sucesiva de las frecuencias mas elevadas y de las mas bajas. La experiencia ha demostrado que este modo da resultados mejores. La teorÃ−a de los filtros tiene aplicación inmediata en la técnica de la telefonÃ−a, pero por la naturaleza de estas aplicaciones no vale mas una teorÃ−a que supone el sistema en condiciones de régimen y el estudio de fenómenos transitorios es muy complejo. El poder filtrante resulta muy atenuado y no se puede evitar aumentando el numero de las cedulas, existe un limite mas halla del cual no conviene aumentar el numero de estas célelas porque a la ventaja que se realiza corresponde el inconveniente de una superposición de ondas correspondiente a diversos sintonÃ−as y a perturbaciones provocadas en tiempos diversos con distorsiones. Para ello los filtros mas perfectos no tienen mas de 4 o 5 células. Atenuación. Hemos visto que a la relación I1 corresponde el factor de atenuación E. I2 I1 = I2 = I3 = E I2 I3 I4 11

Para hallar la relación entre la entrada y la salida (de corrientes) para una cadena filtrante, multiplicamos individualmente los términos anteriores: Y para n secciones determinadas siempre sobre Zo El valor numérico se denomina factor de atenuación. Debe distinguirse de la constante de atenuación que hemos definido en el estudio de las lÃ−neas. Unidades de transmisión. Si unimos o juntamos una serie de cuadripolos de distintas atenuaciones pero con igual impedancia a caracterÃ−stica Zo y si el primer cuadripolo tiene la siguiente relación de intensidades:

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