Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2008

Instituto de Física Facultad de Ingeniería – UdelaR

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR Fabiana Luzardo, Silvia Pedrazzi

INTRODUCCIÓN Se plantea el desarrollo de un problema de dinámica de un movimiento circular uniforme propuesto en el Primer Parcial de Física General 1 del año 2005; el objetivo de este proyecto consiste en evaluar cómo influyen los distintos parámetros en el equilibrio del sistema. Para esto analizaremos cómo cambia el sistema al variar sus parámetros. A continuación se adjunta un breve resumen de los conceptos y leyes de la física que debemos aplicar para la resolución.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Conceptos y leyes a aplicar en el problema:

Leyes de Newton Las Leyes de Newton como se exponen aquí sólo valen para sistemas de referencia inerciales. En sistemas de referencia no inerciales es necesario incluir las llamadas fuerzas ficticias o pseudofuerzas para explicar el movimiento de un sistema cerrado de partículas que interaccionan entre sí. Enunciado de la Primera Ley de Newton: “En la ausencia de fuerzas exteriores, todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza que le obligue a cambiar dicho estado”. La Primera Ley constituye una definición de la fuerza como causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos e introduce el concepto de sistema de referencia inercial al cual se aplica la Segunda Ley. Un sistema inercial es aquel en el cual un cuerpo no sometido a ninguna fuerza no cambia su estado de movimiento inicial. Para probar si un marco de referencia en particular es un marco inercial, situamos un cuerpo de prueba en reposo dentro del marco y nos aseguramos de que no existe Fneta actuando sobre él. Si el cuerpo no permanece en reposo el marco de referencia elegido no es un marco inercial. De la misma forma, podemos situar el cuerpo no sujeto a Fneta, a velocidad constante; si su velocidad cambia, ya sea en magnitud o en dirección, el marco no es un marco inercial. Una vez encontrado un marco de referencia inercial un marco de referencia que se mueva a velocidad constante respecto al primero es también un marco inercial. La Segunda Ley de Newton define: “La Fuerza Neta que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de su masa y su aceleración”.

∑ F = ma





Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción dice: “Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y contraria” siempre y cuando esté en equilibrio. Dicho de otra forma: las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud y sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta.

-1-

Fuerzas de rozamiento Existen dos tipos de fuerza de rozamiento: fuerza de rozamiento estática y fuerza de rozamiento cinética. La fuerza de rozamiento estática es la resistencia de contacto que ejerce un cuerpo contra otro para evitar el movimiento relativo de los cuerpos; su valor depende las otras fuerzas que actúan sobre el sistema; se debe superar un valor máximo para poner los cuerpos en movimiento relativo.

fs ≤ µs N La fuerza de rozamiento cinético, por el contrario, es una fuerza de magnitud constante que se opone al movimiento una vez que comenzó. En resumen, el rozamiento estático actúa cuando el cuerpo está en reposo y el cinético cuando está en movimiento.

fk = µk N El roce estático es siempre menor o igual al coeficiente de rozamiento estático “ µ s ” entre los dos objetos (surge experimentalmente y está tabulado) multiplicado por la fuerza normal. El roce cinético, en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento dinámico “ µ k ” por la normal en todo instante. La normal N , en ambos casos, es una fuerza de tipo elástica que se ejercen mutuamente los cuerpos en contacto. De acuerdo con la tercera ley de Newton: Principio de Acción y Reacción, el cuerpo debe ejercer sobre otro una fuerza de la misma magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Las fuerzas debido al contacto son siempre perpendiculares a la superficie de contacto.

Movimiento circular Cuando una partícula describe una trayectoria circular y se mueve con movimiento circular uniforme, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Véase Figura 1.

Figura 1 La posición de la partícula está indicada según un radio vector cuyo módulo es constante y varía su dirección a medida que pasa el tiempo. ∧


r =

∧

r cos ωt i + rsenωt j

A partir de ese valor del radio vector, por derivaciones sucesivas, calculamos el vector velocidad y el vector aceleración, cuyos módulos son:



v = ωR



a = ω2R -2-

En el movimiento circular uniforme, el módulo de la velocidad (rapidez) es constante, por lo tanto, la partícula no posee aceleración tangencial. Pero como la dirección de la velocidad varía continuamente, la partícula posee aceleración centrípeta. La aceleración centrípeta está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad en el tiempo. Esta aceleración tiene la dirección del radio apuntando siempre hacia el centro de la circunferencia. Las direcciones de la velocidad tangencial y de la aceleración centrípeta, son perpendiculares. La velocidad angular rad/s.

ω

es el ángulo recorrido en la unidad de tiempo y se mide en

De acuerdo a la segunda ley de Newton:

∑ F = ma





∑F

→

-R

= ma CP = mω 2 R donde F-R es la componente radial

entrante de las fuerzas. Es decir, si el cuerpo experimenta aceleración, debe estar sometido a fuerzas en la misma dirección y sentido que la aceleración, en este caso, centrípeta. Desde el punto de vista de un observador situado en el móvil, la fuerza neta sobre éste debe ser nula debido a que el móvil no se mueve respecto al observador. Para interpretar este hecho tiene que suponer que está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas: la tensión de la cuerda y la fuerza centrífuga, Fc. Véase Figura 2.

Figura 2 La fuerza centrífuga es el producto de la masa por la aceleración centrífuga, una aceleración igual y opuesta a la aceleración centrípeta.

Fc = mω 2 R DESARROLLO

Problema Una perla de masa m se mueve enhebrada en una guía rectilínea inclinada un ángulo α respecto a la vertical. La guía gira en torno a un eje vertical con velocidad angular constante impuesta y de valor ω . Véase Figura 3. g

m

Figura 3.

ω

α d

-3-

Pregunta 1) Si el contacto entre la guía y la perla es liso: i) Halle la velocidad angular ω en función del ángulo α . ii) ¿A qué distancia del eje de giro la perla permanece en equilibrio relativo a la guía? Debido a que la superficie de contacto entre la guía y la perla es lisa no existe fricción entre las mismas. Las fuerzas sobre las perla se representan en el siguiente diagrama (Figura 4): y

ω

N sen α

N N cos α

m

x

α

mg

Figura 4.

Al estar la perla en equilibrio relativo respecto a la guía, no se desliza por la misma, siendo nula la sumatoria de fuerzas en el eje vertical. Ecuación (1) En el eje horizontal la sumatoria de fuerzas es igual a la masa por la aceleración centrípeta. Ecuación (2)

∑ Fy = 0

Nsenα − mg = 0 → N =

∑ Fx = Fc

Ncosα = m

mg senα

ω 2d

Ecuación (1)

Ecuación (2)

sustituyendo Ecuación (1) en Ecuación (2):

mg . cos α 2 =m ω d senα

g g . cos α 2 = ω d → ω= senα tan α .d Pregunta 2a) ¿Cuál es la la guía a una distancia

α = 45º y

ω máx

d=

g tan α .ω 2

para la cual la perla permanece en equilibrio relativo a

D0 del eje de giro? Halle la ecuación general considerando que

que el contacto entre la perla y la guía es rugoso (presentando un

coeficiente de rozamiento estático

µ s (µ s < 1)

y dinámico

µ k (µ k < 1) .

El contacto entre la guía y la perla es rugoso por lo tanto entra en juego la fuerza de rozamiento, particularmente la fuerza de rozamiento estático ya que el cuerpo se encuentra en reposo.

-4-

En este caso pide la velocidad

ω máx

para la cual la perla permanecerá quieta

realizando un movimiento circular a una distancia

D0 del eje de giro (radio). A medida

que la velocidad angular aumenta la perla tiende a subir por la guía, por lo cual la fuerza de rozamiento se dirige hacia abajo (Figura 5).

y

ω

N sen α

N N cos α

m

mg

f

f cos α

f sen α

x

α

Figura 5. Al estar la perla en equilibrio relativo respecto a la guía no se desliza por la misma siendo nula la sumatoria de fuerzas en el eje vertical. Ecuación (3). En el eje horizontal la sumatoria de fuerzas es igual a la masa por la aceleración centrípeta. Ecuación (4). Ny- P- fy = Nsen α - mg - fcos α = 0

∑ Fy = 0

Nsenα − µsNcosα = mg → N =

∑ Fx = mac

Ecuación (3)

mg senα − µ s cos α

Ncosα + fsenα = m ωmáx r 2

Ecuación (4)

Ncosα + µsNsenα = m ωmáx D0 2

Sustituyendo N en Ecuación (4):

mg 2 ( cosα + µssenα ) = m ωmáx D0 senα − µ s cos α

ωmáx =

g (cos α + µ s senα ) D0 (senα − µ s cos α )

α = 45º

→

ωmáx =

g D0

1 + µs  1 − µs

  

Pregunta 2b) Si el contacto entre la perla y la guía es rugoso (presentando un coeficiente de rozamiento estático µ s (µ s < 1) y dinámico µ k (µ k < 1) , ¿Cuál es la velocidad angular mínima guía a una distancia

ω

para la cual la perla permanece en equilibrio relativo a la

D0 del eje de giro? Considere que α = 45º .

-5-

En este caso pide la velocidad

ω mín

para la cual la perla permanecerá quieta

realizando un movimiento circular a una distancia

D0 del eje de giro (radio). A medida

que la velocidad angular disminuye la perla tiende a bajar por la guía, por lo cual la fuerza de rozamiento se dirige hacia arriba (Figura 6).

y

f cos α

N sen α

ω

N N cos α m

f sen α

x

mg α

f

Figura 6 Ny- P+ fy = Nsen α - mg + fcos α = 0

∑ Fy = 0

Nsenα + µsNcosα = mg → N =

∑ Fx = mac

Ecuación (3)

mg senα + µ s cos α

Ncosα - fsenα = m ωmín r 2

Ecuación (4)

Ncosα - µsNsenα = m ωmín D0 2

Sustituyendo N en Ecuación (4):

mg 2 ( cosα - µssenα ) = m ωmín D0 senα + µ s cos α

ωmín =

g (cos α − µ s senα ) D0 (senα + µ s cos α )

Pregunta 3) Discuta la existencia de

ωmáx =

α = 45º

→

ωmín =

g D0

1 − µs  1 + µs

  

ω en función del ángulo α .

g (cos α + µ s senα ) R(senα − µ s cos α )

Despejando:

ω2R =

g (cos α + µ s senα ) (senα − µ s cos α )

-6-

senα   g cos α 1 + µ s  cos α   2 → ω R=  senα  cos α  − µs   cos α 

g (1 + µ s tgα ) = (tgα − µ s )ω 2 R → gµ s tgα − ω 2 Rtgα = − µ s ω 2 R − g Despejando para tg α : tg α =

α = 0º

tgα = 0

→

α = 90º → tgα = ∞

→ tg α =

µ sω 2 R + g = 0

→

→

− µ sω 2 R − g gµ s − ω 2 R

ω 2 R − gµ s = 0

ω=

→

→

ω=

µ sω 2 R + g ω 2 R − µs g −g µs R gµ s R

∃/ Véase Figura 7

ω N α

m

f mg Figura 7

Cuando la guía se inclina con un ángulo análisis de

ω máx

α = 90º

gira con

ω=

gµ s que surge del R

porque a 90º la perla tiende a escapar por la guía y la fs en dirección

hacia el centro lo compensa. De forma análoga:

ωmín =

g (cos α − µ s senα ) R(senα + µ s cos α )

Despejando:

ω2R =

g (cos α − µ s senα ) (senα + µ s cos α )

(tgα + µ s )ω 2 R = g (1 − µ s tgα )

→

senα   g cos α 1 − µ s  cos α   2 → ω R=  senα  cos α  + µs   cos α 

gµ s tgα + ω 2 Rtgα = − µ s ω 2 R + g

g − µ sω 2 R Despejando para tg α : tg α = µs g + ω 2R

α = 0º

→

tgα = 0

α = 90º → tgα = ∞

→

→

g − µ sω 2 R = 0 → ω =

µs g + ω 2R = 0

-7-

→

ω=

g µs R

− µs g ∃/ R

R = 0 ∴ ∃/

α = 0º la perla tiende a bajar por la guía, por lo cual la fs apunta hacia arriba y realizamos el análisis a partir de ω mín . En estas condiciones la perla no gira pues se trata de una masa puntual y por ende no tiene radio; ω no tiene significado físico.

Cuando

Pregunta 4) Realizar el estudio de las condiciones límite. Para hallar el ángulo mínimo para que la perla gire en equilibrio se despeja ecuación de

Rmín =

g (cos α − µ s senα ) → cos α − µ s senα = 0 2 (senα + µ s cos α ) ω mín

Para α= 45º

+

Para

ω

de la

Rmín , imponiendo que el mínimo valor que puede tener es cero:

cos α = µ s senα → tgα =

+

α

ωmáx =

g D0

1

µs

1 + µs  1 − µs

→

α = Arctg (1 µ s )

  y existe para µ < 1 

+ - - µ= 1

µ ≥ 1 no existe ω

que verifique el movimiento en estas condiciones.

existe sólo cuando el término bajo la raíz es positivo:

Para ωmín: cos α – µsenα ≥ 0  cosα ≥ µsenα → µ ≤ 1/tgα

Ecuación (5)

Para ωmáx: sen α – µcosα > 0  senα > µcosα

Ecuación (6)

Cuando el numerador de ωmín se anula

→ µ < tgα

ω mín = 0 ;

la guía no gira pero la perla

permanece en equilibrio respecto a esta. Si µ es menor al valor límite planteado en la Ecuación (5) la perla sale de su estado de equilibrio y cae por la guía. El valor de µ planteado en la Ecuación (5) es el mínimo µ para que la perla no caiga. Si el denominador de

ω máx

se anula

ω máx

es infinito, no tiene límite y por lo tanto la

perla siempre escaparía de la guía. Con µ < tgα la perla pierde el equilibrio. Si µ es menor al valor límite planteado en la Ecuación (6) la perla se va por la guía. El valor de µ planteado en la Ecuación (6) es el mínimo µ para que la perla no escape. Pregunta 5) Ahora el sistema gira con velocidad angular ω y se acelera en la dirección vertical con una aceleración a constante hacia arriba. Se supone que la perla está en equilibrio relativo a la guía a una distancia D . El diagrama de cuerpo libre de la perla, correspondiente a las fuerzas vistas desde un sistema de referencia inercial es (Figura 8):

-8-

y

ω N

m

x

mg

f α

Figura 8 Desde un sistema inercial el movimiento es descrito por fuerzas verdaderas: la normal ejercida por la guía, el peso y la fuerza de rozamiento dirigida hacia abajo, dado que el sistema se desplaza hacia arriba. Para explicar el movimiento de la perla en el mismo sistema pero visto desde un marco no inercial, con el observador colocado sobre la perla, se van a incluir todas las fuerzas verdaderas pero también van a incluir pseudofuerzas. Las fuerzas ficticias no son ejercida por un cuerpo pero el observador necesita explicar que es empujado, hacia afuera mientras el sistema rota, y hacia abajo cuando el sistema acelera hacia arriba (Figura 9). y

ω N

mω2D

x

m

f

m(g+a)

α

Figura 9. Representación esquemática de fuerzas verdaderas y ficticias.

CONCLUSIONES La perla permanece en equilibrio si:

g (cos α − µ s senα ) ≤ω≤ D0 (senα + µ s cos α )

g (cos α + µ s senα ) D0 (senα − µ s cos α )

La perla permanece en equilibrio si: Si µ ≤ 1/tgα existe ω mínima. Cuando no se verifica esta condición, cualquiera sea la perla no desliza hacia abajo.

-9-

ω,

Si µ < tgα existe ω máxima. Cuando no se verifica esta condición, cualquiera sea la perla no desliza hacia arriba.

ω;

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. RESNICK, HALLIDAY, KRANE. Física. 3ª Edición, v.1, Compañía Editorial Continental, año 1992. 2. Dinámica del Movimiento Circular. Disponible en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/circular1/circular1.htm 3. Leyes de Newton. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton 4. Material bibliográfico del curso Física 101 elaborado por la Cátedra de Física de la Facultad de Química. Disponible en: http://cursos.detema.fq.edu.uy/file.php/26/dinamica/2dinamica.htm 5. Movimiento Circular. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular

- 10 -