FÍSICA GENERAL – 2º CUATRIMESTRE 2014 – TT.PP. LABORATORIOS-

TEORIA DE ERRORES (Algunos conceptos importantes)

1. Error de apreciación. Lo primero que un experimentador debe conocer es la apreciación del instrumento con el que va a trabajar, es decir la indeterminación de la escala de lectura del mismo. Este tipo de errores se emplea para la cuantificación de la indeterminación de los datos en dos casos muy especiales. El primero es cuando sólo se puede hacer una sola medición por las características especiales del material a medir (ensayos destructivos, etc.) El segundo es cuando se hacen varias mediciones y todos los valores coinciden, por lo que la Teoría de Errores Casuales no puede emplearse (falta de sensibilidad del instrumento, módulo de fluctuaciones no detectables, etc.). Ambos casos coinciden en que se tiene un solo dato y allí, la única manera de determinar el error es considerando la indeterminación de la escala. Básicamente hay tres tipos de escalas de lectura en los instrumentos de laboratorio: a) de lectura directa con escala continua b) de lectura directa con escala digital c) de lectura indirecta por alineación Los instrumentos de lectura directa son aquellos donde el valor de la medición puede obtenerse directamente de su escala. a) Los instrumentos de lectura directa con escala continua, son los que a simple vista se puede observar toda la escala que existe entre dos líneas indicadoras. El ejemplo clásico es la regla milimetrada, donde cada raya indica un mm, y se puede ver directamente el espacio entre dos rayas. Estimación de una lectura: Es el menor intervalo que el operador puede estimar con la escala del instrumento del cual dispone. Apreciación del instrumento: Es el menor intervalo de la escala del instrumento del cual se dispone o sea su menor división. La estimación de una lectura coincide con la apreciación del instrumento cuando el operador no puede estimar mas allá de la correspondiente menor división del instrumento que dispone.

La estimación de una lectura a veces suele ser menor que la apreciación del instrumento del cual se dispone. En efecto en el caso de una regla milimetrada Ud. puede decir si su medida está más cerca de una división milimétrica dada o de la siguiente, o en el medio de las dos aunque allí no exista marca alguna. Esta estimación depende del operador, de su experiencia, atención y de las condiciones de la medida. A veces es posible mejorar una escala disminuyendo el error de apreciación allí donde no existe una graduación entre dos marcas consecutivas mediante algún artificio (el ojo humano, el uso de una lupa, el uso de una sub-escala o subdivisión, un vernier, etc.). Sin embargo es conveniente notar que la mejora en la apreciación del instrumento no necesariamente significa que la medición será mejor, como en el caso de instrumentos cuya exactitud no se puede mejorar más allá del dado por las divisiones de la escala, ya sea por características constructivas del instrumento o factores de diseño, etc. La estimación de una lectura a veces suele ser mayor que la apreciación del instrumento del cual se dispone, tal es el caso de mediciones donde, por ejemplo, una aguja fluctúa entre más de una menor división de la escala. En dicho caso la estimación de la lectura puede corresponder a dos, tres o más veces la menor división del instrumento. Una vez realizada la medición, la estimación de una lectura se denomina error de apreciación. b) Los instrumentos de lectura directa con escala digital, son aquellos en que algunos valores no se pueden ver a simple vista. Se trata de una escala discreta en vez de continua como el caso anterior. En el caso de una balanza con escala digital que va de gramo en gramo, el ojo humano no puede ver entre gramo y gramo por tal motivo es que se debe tomar como módulo del error de apreciación a la menor unidad de lectura. c) Instrumento de lectura indirecta por alineación, las lecturas no se hacen en forma directa, pues estos instrumentos carecen de escala de lectura. El ejemplo más común es la balanza de brazos, donde en un platillo se coloca la masa a pesar y en el otro se colocan las pesas patrones. Aquí la medición consiste en equilibrar los brazos, lo que se aprecia por la coincidencia de una aguja indicadora con el centro de simetría que está indicado. Luego de lo cual se suman los valores de las pesas empleadas. El método para determinar el error de apreciación en estos casos, consiste en lo siguiente: Se toma la menor pesa disponible y se coloca cuidadosamente en el platillo observando si la aguja indicadora se desplaza de la posición de equilibrio, entonces, si es así, el valor de dicha pesa será el módulo del error de apreciación, justamente porque eso es lo que puede apreciarse; si no es así, hay que colocar la siguiente pesa patrón disponible de mayor peso que la anterior y se observa si se pierde el equilibrio, de ser el caso, tal será el módulo del error de apreciación, y en caso contrario se toma otra pesa y así sucesivamente.

2. Sensibilidad de un instrumento de medición. Es el umbral mínimo de detección de un instrumento de medición. Por lo general la sensibilidad de un instrumento está relacionada con la capacidad del instrumento para producir una lectura, es decir, la menor cantidad de la magnitud que puede ser medible. Por ejemplo, la sensibilidad de un fotómetro usado en la determinación de elementos químicos se expresa en p.p.m. (partes por millón) y es la mínima cantidad que puede llegar a ser detectada con el instrumento. En el caso de dos balanzas, la más sensible será aquella que produzca una lectura o respuesta con una pesa de menor valor. Los instrumentos más sensibles son aquellos que producen desviaciones de su estado de equilibrio con menores perturbaciones.

3. Tiempo de respuesta de un instrumento de medición. Entre dos instrumentos o equipos, el que tenga un mejor tiempo de respuesta será aquel que ante una variación del sistema, aunque sea mínima, tenga una respuesta más rápida ante la perturbación.

4. Ganancia o factor de amplificación. La relación que existe entre la magnitud de la señal de salida de un instrumento y la magnitud de la señal de entrada se denomina ganancia. Si la señal de salida es mayor que la señal de entrada la ganancia se denomina factor de amplificación e indica por cuántas veces es multiplicado el valor de la señal de entrada.

5. Precisión. Una manera de clasificar las causas de error es observando sus efectos, es decir se las clasifica según si afectan la precisión o si afectan la exactitud de las mediciones efectuadas. Precisión es la cualidad que tiene un instrumento de poder repetir, en mayor o menor grado, los valores correspondientes a una cierta magnitud medida en las mismas condiciones. La precisión es repetitividad de datos cuando el sistema no varía. Con respecto a los errores, este concepto se encuentra íntimamente ligado a los errores casuales o accidentales y es inversamente proporcional a ellos. Es costumbre decir que, cuando los errores casuales son pequeños en una experiencia, el instrumento, equipo o método de trabajo tiene gran precisión, pero no quiere decir que sea exacto o que tiene gran exactitud. La precisión tiene que ver con la dispersión en una forma inversamente proporcional: a mayor precisión, menor dispersión, menor desvío estándar, menor error casual. La dispersión de los datos obtenidos por un sistema de medición, que mide “n” veces un mismo valor patrón de una magnitud física, o bien, de una magnitud cualquiera, se cuantifica con el Desvío Standard (DS) de los datos. La precisión se cuantifica como la inversa del error relativo.

1 = ER

X X ó X M

6. Exactitud. Es la obtención de datos lo más cercanamente posible al valor más probable. La exactitud se encuentra vinculada a los errores sistemáticos. Cuando un instrumento, en una determinada experiencia tiene errores

sistemáticos pequeños, se dice que es de gran exactitud. Se cuantifica mediante el sesgo que es igual, en valor absoluto, a la diferencia entre el valor verdadero y el valor medio. Por lo tanto a mayor exactitud, menor error sistemático, menor sesgo. =

X

Por lo general, un equipo para ser sensible, preciso y exacto deberá siempre tener que sacrificar algo de estos tres conceptos. Se debe aceptar un instrumento que sea confiable disminuyendo en algo los tres parámetros y así conseguir la conjunción de estos tres conceptos.

7. Precisión y Exactitud. Una analogía clásica para diferenciar dichos conceptos es la de comparar una medición o experimento con un tiro al blanco. Imaginando que se ha efectuado una serie muy larga de disparos a un blanco se pueden

plantear tres situaciones diferentes, tal como se aprecia en la figura: a) Los impactos en el blanco tienen muy poca dispersión entre sí, por ello se habla de que hay mucha precisión en la serie de disparos; sin embargo todos están lejos del centro por lo que se dice que hay poca exactitud. b) En este caso los disparos se distribuyen simétricamente alrededor del centro por lo que estadísticamente se puede decir que el sistema es muy exacto, pero los disparos tienen una gran dispersión por lo que se lo califica como poco preciso. c) En este caso se da la situación ideal puesto que los disparos están muy juntos alrededor del centro y con muy poca dispersión entre los mismos, el sistema es preciso y exacto. La analogía de lo anterior con una serie de mediciones es inmediata, si se piensa que los impactos en el blanco son los resultados que se obtienen en las mediciones, y que cada disparo es equivalente a una medición. Por otra parte, el sistema para disparar es el equivalente del sistema de medición. La principal diferencia de esta analogía es que mientras el “valor verdadero” de una magnitud jamás se conoce, el centro del blanco es observable a simple vista.

8. Valor medio.

El valor medio o promedio de una serie de mediciones se define como la sumatoria de las mismas dividida la cantidad de mediciones. El valor medio o media aritmética es la medida de tendencia central más conocida. Es la medida descriptiva que la mayoría de las personas tiene en mente cuando se habla del “promedio”. n

X

= i 1

Xi n

9. Desviación media. Es el promedio de las desviaciones de todos los valores individuales, o sea, es la sumatoria de todos los valores absolutos de los errores aparentes de las mediciones realizadas dividido por el número total de mediciones. n

Xi X

i 1

n

d=

La desviación media representa la cantidad en que una medida independiente de la serie se ha desviado del valor que se considera más probable.

10. Rechazo de valores. Suele ocurrir que a veces, en una serie de mediciones parecidas, se encuentre que uno o más de los valores numéricos difiere en forma considerable de los otros y enseguida se piensa en rechazarlos, para calcular el valor promedio. La probabilidad matemática ha indicado muchos caminos o reglas para determinar la justificación de esos rechazos. Uno de ellos es, eliminar ese valor o valores dudosos y calcular el valor promedio y la desviación de los valores restantes. El valor rechazado está justificado matemáticamente, si la desviación del valor que se rechaza con respecto al promedio es igual o mayor que cuatro veces la desviación media de los valores restantes.

X rechazado

4 * d restantes

X rechazado - X restantes

4 * d restantes

X rechazado es el error del valor rechazado y se llama Error Anormal.

11. Población y Muestra.

Se define población de valores como el mayor grupo de valores de una variable aleatoria por los cuales se tiene un cierto interés en un momento dado. Por ejemplo, si se tiene interés en el peso de todos los adolescentes inscriptos en un determinado sistema escolar provincial, la población consta de todos estos pesos. Si el interés se centra sólo en el peso de los alumnos de primer año del sistema, se tiene una población distinta. La población puede ser finita o infinita. Una muestra puede definirse simplemente como una parte de una población. Supóngase que una población consta del peso de todos los adolescentes de nivel secundario inscriptos en un determinado sistema escolar provincial. Si se reúnen para el análisis el peso de sólo una fracción de estos niños, se tiene sólo una parte de la población de pesos, es decir, se tiene una muestra.

12. Desvío Standard. El desvío estándar permite obtener una medida de la dispersión de los valores con respecto a la diseminación de los mismos en torno a su media. Cuando los valores de un conjunto de observaciones están muy próximos a su media, la dispersión (desvío estándar) es menor que cuando están distribuidos sobre un amplio recorrido. n

(Xi Desvío standard muestral:

DS =

X )2

i 1

n -1

Para el caso teórico de efectuar infinitas mediciones, se obtendría un valor verdadero del desvío standard, llamado desvío standard real ( ) (poblacional). La relación entre ambos desvíos standard está dada por: DS * kn = DSº cuando n

n = número de mediciones hechas. DS = desvío standard muestral. Subestimación del valor verdadero. kn = factor de corrección de Gurland y Tripathi y se encuentra tabulado para distintos valores de “n” . DSº = desvío standard corregido. = desvío standard real o poblacional.

13. Error real del valor medio.

Es la cuantificación del error casual: M = z * DSº /

n

Generalmente en Física se emplea z = 1, por lo que el error real del valor medio se asimila al error standard de estimación. Error standard de estimación = DSº / Y el valor verdadero se expresará como:

= X

n

M

14. Error relativo. El error relativo de una medición directa se calcula como el cociente entre el error real del valor medio (M) y el valor más probable ( X ) ER =

M X

ER% =

M * 100 X

Y en una medición indirecta, como el cociente entre el error delta X de la función y la función X. ER =

X X

ER% =

X * 100 X