Cap´ıtulo 7

Formas diferenciales

1.

Campos vectoriales

El objetivo de este cap´ıtulo es establecer, de forma precisa e integral, los conceptos del c´ alculo vectorial: campos vectoriales, gradiente, rotacional y divergencia, integrales de l´ınea y superficie, etc. Es posible incluir todos estos conceptos en una u ´nica teor´ıa, la de formas diferenciales, la cual forma la base no solo para ´estos sino para la comprensi´on de la geometr´ a diferencial moderna, de la cual haremos una breve introducci´ on en los cap´ıtulos siguientes. Definici´ on 7.1. Para p ∈ Rn , el espacio tangente en p es el conjunto Rnp = {(p, v) : v ∈ Rn }. (p,v)

v

p

Figura 1. El espacio tangente puede verse como el espacio de n-vectores cuyo punto inicial est´ a ubicado en el punto p.

Es decir, Rnp es una copia del espacio euclideano Rn , con base en el punto p. Podemos entender el espacio tangente como el espacio de n-vectores cuyo 129

130

7. Formas diferenciales

punto inicial, en lugar de estar ubicado en el origen, est´ a ubicado en el punto p, como en la figura 1. Si (p, v) ∈ Rnp , lo denotaremos simplemente como vp . Es claro que Rnp es un espacio vectorial con operaciones vp + up = (v + u)p , Adem´ as,

Rnp

y

λvp = (λv)p .

posee el producto interno vp · up = v · u,

donde el producto de la derecha es el producto punto est´ andar en Rn . A la uni´ on puntual de los espacios tangentes en cada punto de Rn , es decir [ Rnp p∈Rn

se le llama el haz tangente, y se denota por T Rn .

Definici´ on 7.2. Un campo vectorial es una funci´on F : Rn → T Rn tal que, para cada p ∈ Rn , F (p) ∈ Rnp . En otras palabras, el campo vectorial F asigna en cada punto p un vector con inicio en p. La figura 2 ilustra, por ejemplo, el campo F (p) = (−p1 , p2 )p en R2 .

Figura 2. El campo vectorial F (p) = (−p1 , p2 )p en R2 .

Si F, G : Rn → T Rn son campos vectoriales, entonces podemos definir las siguientes opearaciones. 1. (F + G)(p) = F (p) + G(p); 2. (λF )(P ) = λF (p); 3. Si f : Rn → R, (f F )(p) = f (p)F (p); 4. (F · G)(p) = F (p) · G(p).

2. Formas diferenciales en R3

131

Si e1 , e2 , . . . , en es la base est´ andar en Rn , esta induce una base est´ andar n n para Rp en cada p ∈ R , a saber (e1 )p , (e2 )p , . . . , (en )p . Es decir, simplemente ubicamos el punto inicial de cada ei en el punto p (figura 3).

(e2)p

p

(e1) p

e2 e1

Figura 3. La base est´ andar de R2p .

Si F : Rn → T Rn es un campo vectorial, entonces podemos escribirlo de la forma F (p) = F 1 (p)(e1 )p + F 2 (p)(e2 )p + . . . + F n (p)(en )p . Las funciones F i : Rn → R son llamadas funciones componentes. Decimos que el campo F es continuo (diferenciable, de clase C 1 , C k , etc.) si cada componente F i es continua (diferenciable, de clase C 1 , C k , etc, respectivamente).

2.

Formas diferenciales en R3 Recordemos algunos conceptos del c´alculo vectorial en R3 .

Gradiente Si f : R3 → R es una funci´on diferenciable, el gradiente de f es el campo grad(f )(p) = (D1 f (p), D2 f (p), D3 f (p))p . Es decir, el campo cuyas componentes son las derivadas parciales de la funci´ on f . Este campo se suele denotar como ∇f Rotacional Si F : R3 → T R3 es un campo vectorial diferenciable, el rotacional de F es el campo curl(F ) = (D2 F 3 − D3 F 2 , D3 F 1 − D1 F 3 , D1 F 2 − D2 F 1 ), el cual se suele denotar por ∇ × F .

132

7. Formas diferenciales

Divergencia Si F : R3 → T R3 es diferenciable, la divergencia de F es la funci´on div(F ) = D1 F 1 + D2 F 2 + D3 F 3 , que suele denotarse por ∇ · F . Procederemos, en el resto de esta secci´ on, a integrar estos conceptos en una clase u ´nica de operaciones. Para esto, como ya lo hab´ıamos mencionado, necesitamos un concepto nuevo: el de formas diferenciales. Para simplificar estas ideas, restringiremos nuestras definiciones y c´alculos iniciales al espacio R3 . La generalizaci´ on a Rn es inmediata, y la dejaremos para la siguiente secci´ on. Para cada p ∈ R3 , consideramos el espacio dual de R3p (R3p )∗ = {ϕ : R3p → R : ϕ es lineal}. Es decir, el espacio de las transformaciones lineales de R3p a R. No es dif´ıcil ver que (R3p )∗ es un espacio vectorial de dimensi´on 3, al igual que R3p , y que cualquier base {(v1 )p , (v2 )p , (v3 )p } de R3p induce una base de (R3p )∗ , llamada [ [ [ la base dual y denotada por (v 1 )p , (v2 )p , (v3 )p , definida de la forma ( 1 i = j; [ (v i )p (vj )p = 0 i 6= j. La base dual inducida por la base est´ andar (e1 )p , (e2 )p , (e3 )p se le llama base dual est´ andar y se denota por dx1p , dx2p , dx3p . A cada una de las transformaciones dxip se les llama diferenciales elementales en p. Nota que dxip (vp ) = v i , es decir, dxip solo toma la coordenada i del as, para ψ ∈ (R3p )∗ , si definimos ξi = ψ((ei )p ), entonces vector vp ∈ Rnp . Adem´ ψ = ξ1 dx1p + ξ2 dx2p + ξ3 dx3p .

S A la uni´ on p∈R3 (R3 )∗ de los espacios duales se le denomina haz cotangente de R3 , y se denota por T ∗ R3 .

Una 1-forma diferencial en R3 es una funci´on ω : R3 → T ∗ R3 tal que, para cada p ∈ R3 , w(p) ∈ (R3p )∗ . Por las observaciones anteriores, para cada p ∈ R3 podemos escribir ω(p) = ω1 (p)dx1p + ω2 (p)dx2p + ω3 (p)dx3p . A las funciones ωi : R3 → R se les llama funciones componentes de ω. Solemos escribir, simplemente, ω = ω1 dx1 + ω2 dx2 + ω3 dx3 .

2. Formas diferenciales en R3

133

Ejemplo 7.3. Sea f : R3 → R una funci´on diferenciable. Definimos la 1-forma df como df (p)(vp ) = Df (p)(v). A la forma df se le llama el diferencial de f . Como el Jacobiano de f en cada punto p est´ a dado por
f ′ (p) = D1 f (p) D2 f (p) D3 f (p) , tenemos que

df = D1 f dx1 + D2 f dx2 + D3 f dx3 , o, en notaci´ on cl´ asica, df =

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz. ∂x ∂y ∂z

Podemos observar que df tiene las mismas componentes que grad f . M´as a´ un, si π i : R3 → R es la funci´on π i (x) = xi , entonces dπ i = dxi , lo que motiva a usar la notaci´ on dxi para la base dual est´ andar. Definici´ on 7.4. Sea ϕ : R3p × R3p → R. Decimos que ϕ es bilineal si es lineal en cada coordenada. Es decir, para up , vp , wp ∈ R3p y α, β ∈ R, ϕ(αup + βvp , ωp ) = αϕ(up , ωp ) + βϕ(vp , ωp ), ϕ(up , αvp + βωp ) = αϕ(up , vp ) + βϕ(up , ωp ). Ejemplo 7.5 (Producto punto). El ejemplo m´ as natural de una forma bilineal es la inducida por el producto punto en R3p , dada por ϕ(up , vp ) = u · v. La bilinealidad se sigue directamente de la definici´on del producto punto. Definici´ on 7.6. Decimos que la forma bilineal ϕ es alternante si, para cada up , vp ∈ R3p , ϕ(up , vp ) = −ϕ(vp , up ). Podemos notar que, si ϕ es alternante, ϕ(up , up ) = 0 para todo up ∈ R3p . Denotamos el espacio de formas bilineales alternantes en R3p por Λ2 (R3p ). na de ϕ1 y ϕ2 como Si ϕ1 , ϕ2 ∈ (R3p )∗ , definimos el producto cu˜   ϕ1 (up ) ϕ1 (vp ) . ϕ1 ∧ ϕ2 (up , vp ) = det ϕ2 (up ) ϕ2 (vp )

134

7. Formas diferenciales

Por ejemplo, sean ϕ1 = 2dx1 − 3dx2 y ϕ2 = dx1 + dx2 . Entonces ϕ1 ∧ ϕ2 est´ a dado por   ϕ1 (x) ϕ1 (y) ϕ1 ∧ ϕ2 (x, y) = det ϕ2 (x) ϕ2 (y) = ϕ1 (x)ϕ2 (y) − ϕ1 (y)ϕ2 (x)

= (2x1 − 3x2 )(y 1 + y 2 ) − (2y 1 − 3y 2 )(x1 + x2 ) = 5x1 y 2 − 5x2 y 1 . Nota que ϕ1 ∧ ϕ2 (y, x) = −ϕ1 ∧ ϕ2 (x, y); es decir, ϕ1 ∧ ϕ2 es alternante. Esta es una de las propiedades del producto cu˜ na, enumeradas en las siguiente proposici´ on. Proposici´ on 7.7. Sean ϕ1 , ϕ2 ∈ (R3p )∗ . Entonces 1. ϕ1 ∧ ϕ2 es bilineal y alternante. 2. ϕ1 ∧ ϕ2 = −ϕ2 ∧ ϕ1 . 3. dx1p ∧ dx2p , dx1p ∧ dx3p y dx2p ∧ dx3p forman una base para Λ2 (R3p ). Denotaremos a dxip ∧ dxjp simplemente por (dxi ∧ dxj )p . Solo se demostrar´ a la parte 3 de la proposici´ on. Las primeras dos se dejan como ejercicio al lector (ejercicio 3). Demostraci´ on de 3: Para demostrar que (dx1 ∧dx2 )p , (dx1 ∧dx3 )p y (dx2 ∧ 3 dx )p son linealmente independientes, definimos Φ = α1 (dx1 ∧ dx2 )p + α2 (dx1 ∧ dx3 )p + α3 (dx2 ∧ dx3 )p y suponemos que Φ = 0. Debemos mostrar entonces que α1 = α2 = α3 = 0. Si i 6= j, 

 dxi (ek ) dxi (el ) (dx ∧ dx )p ((ek )p , (el )p ) = det dxj (ek ) dxj (el )   i = k, j = l 1 = −1 i = l, j = k   0 en cualquier otro caso. i

j

De aqu´ı que

Φ((e1 )p , (e2 )p ) = α1 , Φ((e1 )p , (e3 )p ) = α2 , Φ((e2 )p , (e3 )p ) = α3 , Por lo tanto, como Φ = 0, α1 = α2 = α3 = 0.

2. Formas diferenciales en R3

135

Ahora demostraremos que (dx1 ∧ dx2 )p , (dx1 ∧ dx3 )p y (dx2 ∧ dx3 )p generan el espacio Λ2 (R3p ). Sea ϕ ∈ Λ2 (R3p ). Entonces 3 3 X 3 3  X X X xi y j ϕ((ei )p , (ej )p ). y j (ej )p = xi (ei )p , ϕ(xp , yp ) = ϕ i=1

j=1

i=1 j=1

Como ϕ es alternante, ϕ((ei )p , (ei )p ) = 0 y ϕ((ei )p , (ej )p ) = −ϕ((ej )p , (ei )p ). Por lo que X ϕ(xp , yp ) = (xi y j − xj y i )ϕ((ei )p , (ej )p ) 1≤i n. Definici´ on 7.12. Sean ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk ∈ V ∗ . Definimos el producto exterior de ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk como la transformaci´on multilineal alternante dada por (7.1)

ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk (v1 , v2 , . . . , vk ) = det(ϕi (vj )).

El producto exterior es tambi´en llamado producto cu˜ na. La propiedades b´ asicas del determinante permiten garantizar que la transformaci´on dada por (7.1) es, de hecho, multilineal y alternante. Teorema 7.13. Sea V un espacio vectorial, con dim V = n < ∞. Sea B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base para V y {vb1 , vb2 , . . . , vc n } la base dual de B ∗ para el espacio dual V . Entonces los productos vc c c i1 ∧ v i2 ∧ · · · ∧ v ik ,

con 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n, forman una base para Λk (V ), 1 ≤ k ≤ n. Como corolario, tenemos que la dimensi´on del espacio Λk (V ) es igual a   n , k el coeficiente binomial de n en k. Para simplificar la notaci´ on, denotaremos un multi´ındice (i1 , i2 , . . . , ik ) como I; as´ı, |I| representa su longitud (en este caso |I| = k). Decimos que un multi´ındice I = (i1 , i2 , . . . , ik ) es creciente si i1 < i2 < . . . < ik . La lista (vi1 , vi2 , . . . , vik ) ser´ a denotada por vI , y vbI = vc c c i1 ∧ v i2 ∧ · · · ∧ v ik .

Procedemos ahora a la demostraci´on del teorema 7.13. Demostraci´ on. Mostraremos primero que los productos vI , con I creciente, son linealmente independientes. Suponemos entonces que X aI vbI = 0, I creciente

y demostraremos que todos los aI = 0.

Sea J un multi´ındice creciente. Entonces   X aI vbI (vJ ) = 0, I creciente

140

7. Formas diferenciales

Pero



X

I creciente

 aI vbI (vJ ) =

X

I creciente

aI vbI (vJ ) = aJ vc J (vJ ) = aJ ,

por lo que aJ = 0, como quer´ıamos verificar.

Ahora, sea Φ ∈ Λk (V ), u1 , u2 , . . . , uk ∈ V , y evaluaremos Φ(u1 , u2 , . . . , uk ). Primero, sean aji ∈ R, i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n, tales que ui =

n X

aji vj ,

i = 1, 2, . . . , k.

j=1

Entonces Φ(u1 , u2 , . . . , uk ) = Φ(

n X

aj11 vj1 ,

=

J

=

n X

ajkk vjk )

jk =1

aj11 aj22 . . . ajkk Φ(vj1 , vj2 , . . . , vjk )

X

J creciente

=

aj22 vj2 , . . . ,

j2 =1

j1 =1

X

n X

X

X



σ(j1 ) σ(j2 ) σ(j ) a2 . . . ak k sgn(σ)

a1

σ∈Sk

Φ(vJ )

det(aji l )i,l=1,...,k Φ(vJ ).

J creciente

Si definimos ξJ = Φ(vJ ), entonces Φ(u1 , . . . , uk ) =

X

ξJ det(aji l )1≤i,l≤k .

J creciente

Como cada aji l = vc jl (ui ), tenemos que Por lo tanto

det(aji l ) = vc J (u1 , . . . , uk ). Φ=

X

J creciente

ξJ vc J,

y concluimos que los vbI , con I creciente, generan el espacio Λk (V ).



De la demostraci´on del teorema 7.13, tenemos el siguiente corolario.

Corolario 7.14. Si v1 , v2 , . . . , vn es una base para V y Φ ∈ Λn (V ), entonces Φ(u1 , . . . , un ) = det(aji )Φ(v1 , . . . , vn ), si ui =

Pn

j j=1 ai vj .

141

3. Algebra exterior

Si B = {v1 , v2 , . . . , vn } y C = {u1 , u2 , . . . , un } son bases para V , entonces el corolario 7.14 implica que el signo del producto Φ(v1 , v2 , . . . , vn ) · Φ(u1 , u2 , . . . , un ) es independiente de Φ, y est´ a dado por el signo de det A, si A es la matriz de cambio de base. Entonces, det A define una “paridad” de la base B con respecto a la base C, la cual genera una relaci´ on de equivalencia entre las bases de V : {u1 , u2 , . . . , un } ∼ {v1 , v2 , . . . , vn } si y solo si Φ(v1 , v2 , . . . , vn ) · Φ(u1 , u2 , . . . , un ) > 0 Λn (V

para Φ ∈ ), Φ 6= 0. A la clase de equivalencia de la base {v1 , v2 , . . . , vn } se le denota por [v1 , v2 , . . . , vn ], y se le llama orientaci´ on de la base. Ejemplo 7.15 (Orientaci´ on est´ andar en R2 ). . Tomemos E = {e1 , e2 }, la 2 base est´ andar de R , y  o   n 1 1 , u2 = B = u1 = −1 1 otra base para R2 . Como

u1 = e1 + e2

u2 = e1 − e2 , la matriz de cambio de base est´ a dada por   1 1 A= . 1 −1 Como det A = −2 < 0, concluimos que

[e1 , e2 ] 6= [u1 , u2 ]. Es decir, las bases E y B tienen distinta orientaci´on. Geom´etricamente, mientras la base est´ andar est´ a orientada en el sentido opuesto a las manecillas del reloj, la base B est´ a orientada en la direcci´ on opuesta, como se ve en la figura 4. A la orientaci´ on de la base est´ andar en R2 la llamaremos simplemente orientaci´ on est´ andar. Ejemplo 7.16 (Regla de la mano derecha). La orientaci´on [e1 , e2 , e3 ] de la base est´ andar de R3 es conocida com´ unmente como la regla de la mano derecha. Es llamada as´ı porque, si identificamos los vectores e1 , e2 , e3 con la direcci´ on de cada uno de los ejes x, y y z, respectivamente, entonces estas direcciones corresponden a las direcciones de los dedos ´ındice, medio y pulgar de la mano derecha, respectivamente, con el ´ındice extendido, el medio

142

7. Formas diferenciales

e2

u1

e1

u2

Figura 4. La orientaci´ on de las bases est´ andar y la base B. Mientras la base est´ andar est´ a orientada en el sentido opuesto a las manecillas del reloj, la base B est´ a orientada en la direcci´ on opuesta.

e3

e2 e1

Figura 5. Los ejes x, y y z, con direcciones e1 , e2 y e3 , siguen las direcciones de los dedos ´ındice, medio y pulgar de la mano derecha.

doblado hacia la palma y el pulgar hacia arriba, como se puede verificar con ayuda de la figura 5. Estamos listos para definir una forma diferencial en Rn . Definici´ on 7.17. S Una k-forma exterior, o k-forma diferencial, en Rn , es una n funci´ on ω : R → p∈Rn Λk (Rnp ) tal que, para cada p ∈ Rn , ω(p) ∈ Λk (Rnp ). Es decir, para cada p ∈ Rn , ω(p) es una transformaci´on multilineal alternante en (Rnp )k , donde Rnp es el espacio tangente en p. Por el teorema 7.13, para cada p ∈ Rn y cada k-multi´ındice creciente I existen ωI (p) tales que X ω(p) = ωI (p)dxIp , I creciente

donde

dxIp = dxip1 ∧ dxip2 ∧ · · · ∧ dxipk .

143

3. Algebra exterior

Si las funciones ωI : Rn → R son continuas (diferenciables, C 1 , etc.), entonces decimos que ω continua (diferenciable, C 1 , etc., respectivamente). A una funci´ on f : Rn → R la llamaremos, por convenci´ on, una 0-forma. Ejemplo 7.18 (Formas en R). Las u ´nicas formas diferenciales no triviales en el espacio unidimensional R, aparte de las 0-formas, son las 1-formas ω0 dx, con ω0 : R → R. Ejemplo 7.19 (Formas en R2 ). En R2 , las 1-formas diferenciales est´ an dadas por ω1 dx1 + ω2 dx2 , con w1 , w2 funciones en R2 , mientras las 2-formas diferenciales se escriben ω0 dx1 ∧ dx2 , o simplemente ω0 dx1 dx2 , o ω0 dxdy, en notaci´ on cl´asica, donde ω0 es una 2 1 2 funci´ on en R . A dx ∧ dx se le llama el elemento de a ´rea en R2 . Ejemplo 7.20 (Formas en R3 ). En el espacio R3 , tenemos las 1-formas, ω1 dx1 + ω2 dx2 + ω3 dx3 . Las 2-formas se escriben com´ unmente F1 dx2 ∧ dx3 + F2 dx3 ∧ dx1 + F3 dx1 ∧ dx2 . La notaci´ on y el orden en que se suelen escribir los productos exteriores se aclarar´ an m´ as adelante. Las 3-formas se escriben ω0 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 . En notaci´ on cl´ asica, simplemente se suele escribir ω0 dxdydz. dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 es llamado el elemento de volumen en R3 . Las k-formas diferenciales en Rn forman un espacio vectorial bajo las operaciones suma y multiplicaci´ on puntuales. Es decir si ω y η son k-formas diferenciales, entonces su suma est´ a dada por X ω+η = (ωI + ηI )dxI ,

mientras que la multiplicaci´ on escalar est´ a dada simplemente por X λω = λωI dxI .

Definici´ on 7.21. Si ω es una k-forma diferencial y η es una l-forma diferencial en Rn , definimos el producto exterior ω ∧ η como la (k + l)-forma diferencial X (7.2) ω∧η = ωI ηJ dxI ∧ dxJ , I,J

donde la suma corre sobre todos los multi´ındices crecientes I de longitud k y todos los multi´ındices crecientes J de longitud l.

144

7. Formas diferenciales

En la f´ormula (7.2), algunos, o todos, los productos dxI ∧ dxJ pueden ser iguales a 0, lo cual depende de la longitud de I y de J, y de si I y J tienen ´ındices comunes. Al producto exterior tambi´en se le conoce com´ unmente como el producto cu˜ na. Ejemplo 7.22. Consideremos las formas ω y η en R3 dadas por ω = xdx + ydy + zdz

y

η = xdx ∧ dy + ydx ∧ dz,

y vamos a calcular la 3-forma ω ∧ η. Entonces ω ∧ η = x2 dx ∧ dx ∧ dy + xy dx ∧ dx ∧ dz + xy dy ∧ dx ∧ dy + y 2 dy ∧ dx ∧ dz + xz dz ∧ dx ∧ dy + yz dz ∧ dx ∧ dz. De los t´erminos anteriores, solo dos son desiguales a cero. Tenemos, por lo tanto, que ω ∧ η = y 2 dy ∧ dx ∧ dz + xz dz ∧ dx ∧ dy = −y 2 dx ∧ dy ∧ dz + xz dx ∧ dy ∧ dz = (xz − y 2 ) dx ∧ dy ∧ dz. Algunas de las propiedades del producto exterior est´ an enumeradas por la siguiente proposici´ on. Otras se explorar´ an en los ejercicios. Proposici´ on 7.23. Sean ω una k-forma, η una l-forma y ψ una p-forma diferencial en Rn . Entonces 1. ω ∧ (η ∧ ψ) = (ω ∧ η) ∧ ψ; 2. ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω; y 3. Si l = p, ω ∧ (η + ψ) = ω ∧ η + ω ∧ ψ. Demostraci´ on. que

1. Es claro, de la definici´on del producto exterior, dxI ∧ (dxJ ∧ dxL ) = (dxI ∧ dxJ ) ∧ dxL

para cualquiera multi´ındices I, J y L. Entonces X ωI ηJ ψL dxI ∧ dxJ ∧ dxL = (ω ∧ η) ∧ ψ. ω ∧ (η ∧ ψ) = I,J,L

2. De manera similar, es suficiente con verificar esta parte para los productos dxI ∧ dxJ . Como dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi para cualquier i, j, dxI ∧ dxJ = dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjl = (−1)k dxj1 ∧ dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjl = (−1)−kl dxJ ∧ dxI .

145

4. Cambio de coordenadas

3. La tercera parte se sigue de forma directa: X ω ∧ (η + ψ) = ωI (ηJ + ψJ )dxI ∧ dxJ = ω ∧ η + ω ∧ ψ.



La segunda parte de la proposici´ on 7.23 implica que, si k es impar y ω es una k-forma diferencial, entonces ω ∧ ω = 0. Sin embargo, si k es par, es posible que ω ∧ ω no sea id´enticamente cero, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.24. Sea ω la 2-forma diferencial en R4 dada por ω = x1 dx1 ∧ dx2 + x2 dx3 ∧ dx4 Tenemos entonces que ω ∧ ω = x1 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + x1 x2 dx3 ∧ dx4 ∧ dx1 ∧ dx2 = 2x1 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 , la cual no es id´entica a cero en R4 .

4.

Cambio de coordenadas

En esta secci´ on estudiamos el efecto de un cambio de variable en una forma diferencial. Definici´ on 7.25. Sea k ≥ 1. Si ω es una k-forma diferencial en Rm y f : Rn → Rm una funci´ on diferenciable, f ∗ ω es la k-forma diferencial en Rn dada por f ∗ ω(p)((v1 )p , . . . , (vk )p ) = ω(f (p))(Df (p)(v1 )f (p) , . . . .Df (p)(vk )f (p) ). Si g es una 0-forma en Rm , definimos simplemente f ∗ g = g ◦ f . A f ∗ se le suele llamar el levantamiento inducido por f . Las propiedades elementales de f ∗ se enumeran en la siguiente proposici´ on. Proposici´ on 7.26. Sea f : Rn → Rm diferenciable. Entonces 1. Si ω, η son k-formas diferenciales en Rm , f ∗ (ω + η) = f ∗ ω + f ∗ η; 2. Si g es una 0-forma diferencial, f ∗ (gω) = f ∗ g · f ∗ ω; y

146

7. Formas diferenciales

3. Si ϕ1 , ϕ2 ,...,ϕk son 1-formas diferenciales en Rn , f ∗ (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ) = f ∗ ϕ1 ∧ · · · ∧ f ∗ ϕk . Demostraci´ on. Las primeras dos partes de la proposici´ on se siguen directamente de la definici´on de f ∗ y se dejan como ejercicio (ejercicio 10). Rn ,

Para demostrar la parte 3, sean ϕ1 , ϕ2 ,...,ϕk 1-formas diferenciales en p ∈ Rn y (v1 )p , (v2 )p , . . . , (vk )p ∈ Rnp . Entonces

f ∗ (ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕk )(p)((v1 )p , . . . , (vk )p ) = (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk )(f (p))(Df (p)(v1 )f (p) , . . . , Df (p)(vk )f (p) )

= det ϕi (f (p))(Df (p)(vj )f (p) ) = det f ∗ ϕi (p)(vj )p = (f ∗ ϕ1 ∧ · · · ∧ f ∗ ϕk )(p)((v1 )p , . . . , (vk )p ).

 P De la proposici´ on 7.26, si ω = I ωI dxI , entonces X f ∗ω = (ωI ◦ f )f ∗ (dxI ), I

donde cada sumando es igual a

f ∗ (dxI ) = f ∗ (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) = f ∗ dxi1 ∧ · · · ∧ f ∗ dxik . Cada una de las 1-formas en el producto, evaluadas en un punto p, es igual a f ∗ (dxi )(p)(vp ) = dxif (p) (Df (p)(v)f (p) ) = Df i (p)(v), es decir, la derivada de la i-´esima componente de f en p, aplicada al vector v. Entonces, como Df i (p)(v) = df i (p)(vp ), podemos escribir f ∗ dxi = df i . Si I es un multi´ındice, escribimos df I = df i1 ∧ · · · ∧ df ik , por lo que entonces f ∗ω =

X

(ωI ◦ f )df I .

I

As´ı, vemos que f ∗ act´ ua como un cambio de coordenadas. Si las coorden nadas de R est´ an descritas por (x1 , x2 , . . . , xn ), y (y 1 , y 2 , . . . , y m ) son las coordenadas en Rm dadas por y i = f i (x1 , x2 , . . . , xn ), entonces tenemos que, si X ω(y) = ωI (y 1 , . . . , y m )dy I I

es una forma en

Rm ,

est´ a dada en Rn por X f ∗ ω(x) = ωI (f 1 (x), . . . , f m (x))(df I )x . f ∗ω

I

147

4. Cambio de coordenadas

Ejemplo 7.27 (Coordenadas polares). Sea U ⊂ R2 el conjunto (0, 2π) × R (figura 6), y f : U → R2 dada por f (r, θ) = (r cos θ, r sen θ). Sean x, y las coordenadas en R2 dadas por x = f 1 (r, θ) y y = f 2 (r, θ). La transformaci´on (r, θ) 7→ (x, y) cambia de coordenadas polares (r, θ) a

θ 2π U

r

Figura 6. Dominio de definici´ on de las coordenadas polares.

coordenadas cartesianas (x, y). As´ı que, si ω es una forma diferencial en el plano en coordenadas cartesianas (x, y), f ∗ ω es una forma diferencial en coordenadas polares (r, θ). Tenemos que (7.3) f ∗ dx = df 1 = cos θdr − r sen θdθ y f ∗ dy = df 2 = sen θdr + r cos θdθ. Por ejemplo, sea ω la 1-forma diferencial definida en R2 \ {0} por −y x ω= 2 dx + 2 dy. x + y2 x + y2 Entonces −r sen θ ∗ r cos θ ∗ f ∗ω = f dx + f dy r2 r2 cos θ − sen θ (cos θdr − r sen θdθ) + (sen θdr − r cos θdθ) = r r = dθ. Esta u ´ltima identidad, junto con las ecuaciones (7.3), suelen simplemente escribirse como dx = cos θdr − r sen θdθ, dy = sen θdr + r cos θdθ, −y x dθ = 2 dx + 2 dy. x + y2 x + y2 Como cos θdx + sen θdy = dr, tambi´en tenemos que y x dx + p dy. dr = p x2 + y 2 x2 + y 2

148

7. Formas diferenciales

La siguiente proposici´ on extiende las propiedades enumeradas en la proposici´ on 7.26. Proposici´ on 7.28. Sea f : Rn → Rm diferenciable. 1. Si ω y η son formas diferenciales en Rm , entonces f ∗ (ω ∧ η) = f ∗ ω ∧ f ∗ η. 2. Si g : Rp → Rn es diferenciable, y ω es una forma diferencial en Rm , entonces la forma diferencial (f ◦ g)∗ ω en Rp satisface (f ◦ g)∗ ω = g∗ (f ∗ ω). Observemos primero que la proposici´ on 7.28 no hace ninguna referencia al orden de las formas involucradas. En particular, la primera parte de esta proposici´ on es una generalizaci´ on de la parte (3) de la proposici´ on 7.26. Demostraci´ on. Para la primera parte, observemos que si ω = P η = J ηJ dxJ , entonces X ω∧η = ωI ηJ dxI ∧ dxJ ,

P

I

ωI dxI y

I,J

y por lo tanto f ∗ (ω ∧ η) =

X I,J

X
(ωI ηJ ) ◦ f df I ∧ df J = (ωI ◦ f )(ηJ ◦ f )df I ∧ df J I,J

  X X (ηJ ◦ f )df J = f ∗ ω ∧ f ∗ η. = (ωI ◦ f )df I ∧ J

I

P

Para la segunda parte, sea ω = I ωI dxI . Entonces X (f ◦ g)∗ ω(q) = ωI (f (g(q)))d(f ◦ g)I (q). I

Ahora bien, para q ∈

Rp ,

ωI (f (g(q))) = (ωI ◦ f )(g(q)) = (ωI ◦ f ) ◦ g(q), por lo que es suficiente con mostrar que d(f ◦ g)I (q) = g∗ (df I )(q). Esta identidad es, esencialmente, la regla de la cadena: como
d(f ◦ g)i (q)(vq ) = D(f ◦ g)i (q)(v) = Df i (g(q)) Dg(q)(v) , tenemos que

d(f ◦ g)i (q)(vq ) = df i (g(p))(Dg(q)(v)g(q) ) = g∗ (df i )(q)(vq ). 

149

Ejercicios

Ejercicios 1. Dibuja un bosquejo de los siguientes campos vectoriales en R2 : a) F (x, y) = (−y, x); b) F (x, y) = (x, 0). 2. Calcula el producto cu˜ na φ ∧ ψ de las siguientes 1-formas en R3 . a) φ = 3dx + dz, ψ = dy − dz; b) φ = dx − dy + 2dz, ψ = 3dx − 4dy − 2dz. Escribe el resultado en la base dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy. 3. Demuestra la proposici´ on 7.7. 4. Calcula el diferencial dω de las siguientes 1-formas diferenciales en R3 . a) ω(x, y, z) = (z 2 − x2 )dx + (y 2 − z 2 )dy + (x2 − y 2 )dz; b) ω(x, y, z) = (3x2 − y 2 z)dx − 2xyzdy − xy 2 dz. 5. Demuestra las partes restantes de la proposici´ on 7.11. 6. Calcula ω ∧ η, para las siguientes formas diferenciales en R3 . a) ω = xdx − ydy, η = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz; b) ω = dx + dy + dz, η = dx ∧ dy + dx ∧ dz + dy ∧ dz; c) ω = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, η = ω. 7. Sea ω la 2-forma diferencial en R2n dada por w = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 + . . . + dx2n−1 ∧ dx2n . Calcula

n veces

}| { z ω ∧ ω ∧ ... ∧ ω.

8. Para una k-forma diferencial ω en Rn , definimos la (n − k)-forma diferencial ∗ω como X ∗ω = sgn(I, J)ωI dxJ , I

donde (I, J) = (i1 , i2 , . . . , ik , j1 , j2 , . . . , j(n−k) ) es la permutaci´ on en Sn tal que i1 < i2 < · · · < ik

y

j1 < j2 < · · · < j(n−k) .

Calcula ∗ω para las siguientes formas diferenciales. a) La 2-forma diferencial en R3 dada por ω = ω12 dx ∧ dy + ω13 dx ∧ dz + ω23 dy ∧ dz. b) La 1-forma diferencial en R2 dada por ω = ω1 dx + ω2 dy. 9. Muestra que ∗ ∗ ω = (−1)k(n−k) ω.

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7. Formas diferenciales

10. Demuestra las primeras dos partes de la proposicion 7.26.