FRACCIONES ALGEBRAICAS ¿CÓMO ESTAMOS EN EL TEMA? 1. ¿Cuánto debe añadirse a 4/9 para obtener la unidad? 2. ¿De qué número hay que restar 21/4 para obtener la sexta parte del número? 3. ¿Qué número sumado con sus 5/6 y con sus 3/8 es 318? 4. Una persona invierte los 3/4 de su dinero y le sobra la tercera parte menos $100 ¿Cuánto dinero tenía? 5. ¿Qué valor toma la expresión

2n para los siguientes valores de n: 3n + 7

A. n = -5?

B. n = 1?

C. n = 21?

D. n = 1/3?

E. n = 0.25?

F. n = 10/7?

6. Desarrolla las siguientes operaciones: A.

1 2 3 4 5 + + + + 2 3 4 5 6

B.

 2 3  4 5  +  −   3 4  5 6 

D. 

C. 

1 3 5 7 9 + − + − 2 4 6 8 10

4 5 6 7 +  ÷ −  5 6 7 8

3

 2  2  E.    + 1  3  

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Página 1

FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS a , se puede llamar algebraica ya que representa el b

Toda expresión de la forma

cociente entre dos términos de tipo algebraico. Es importante notar que la simplificación se usa para presentar la misma expresión dada, en otra de mayor simplicidad. Para ello es necesario el manejo correcto de los casos de Factorización, el manejo de las propiedades de la potenciación y la simplificación aritmética. Como ejemplos de fracciones algebraicas se pueden citar:

3ab 2 2cd

;

8a 3 + 27 4a 2 + 12a + 9

;

( x + 6)( y − 9) ( x − 8)( y − 56)

;

ab 2cb

Las fracciones algebraicas cumplen propiedades como cualquier ente numérico, se pueden rescatar algunas de extrema importancia: Al multiplicar el numerador de una fracción algebraica, ésta queda multiplicada toda por dicho valor. Al multiplicar el denominador de una fracción algebraica, ésta queda dividida toda por dicho valor. Si el denominador y el numerador de una fracción algebraica son multiplicados por un mismo valor, la expresión no se altera. El signo de la fracción será aquel que se encuentre antes de la raya divisoria. Si el numerador o el denominador poseen algún signo éste será operado con el signo de la raya central, cumpliendo las mismas propiedades de la multiplicación de signos, es decir:

(−) ÷ (−) =+ (−) ÷ (+) =− (+) ÷ (−) =− (+) ÷ (+) =+

SIMPLIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre si, es decir, la fracción se vuelve irreducible. Así por ejemplo:

75a 7 m 5 3a 4 = 100a 3 m12 n 3 4m 7 n 3 12a 2 b 3 1 = 3 5 6 60a b x 5ab 2 x 6

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Página 2

OPERACIONES CON LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Todas estas operaciones se efectúan siguiendo los parámetros que cumplen las operaciones entre números fraccionarios. Para ello se deberá recordar que todos los resultados se simplificarán en la medida de lo posible.

SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:

De igual manera que si fueran números fraccionarios, se analiza primero si tienen el mismo denominador, pues recordemos que de ser así se coloca el denominador y se efectúa la suma entre numeradores. Como los términos a sumar son expresiones de tipo algebraico se tendrá especial cuidado el resolver la suma, ya que es posible que por la naturaleza de los términos en cuestión la suma quede indicada solamente. Si los denominadores son diferentes el procedimiento consiste en multiplicar los denominadores entre si y colocar el resultado como el nuevo denominador de la expresión resultado. Luego se multiplican el numerador de la primera expresión con el denominador de la segunda expresión para sumarlo con la multiplicación del denominador de la primera expresión con el numerador de la segunda expresión. Esta multiplicación que algunas personas llaman “en cruz” o “cruzados”, se coloca en el numerador de la fracción resultado. Toda respuesta deberá simplificarse hasta donde sea posible. Puede resolverse una suma de expresiones algebraicas aplicando también los siguientes pasos: Encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Este será el denominador de la expresión resultado. Dividir este común múltiplo entre cada denominador de las expresiones a sumar, cada resultado multiplicarlo por su respectivo numerador. Colocar estos resultados en el numerador de la expresión resultado precedidos del signo correspondiente al de las expresiones iniciales. Simplificar hasta donde sea posible la respuesta. Así por ejemplo:

a + 3b 2a − 3m 3 a 2 m(a + 3b) + a 2 b(2a − 3m) + a 2 bm(3) + + = ab am a a 3bm a 3 m + 3a 2 bm + 2a 3b − 3a 2 bm + 3a 2 bm = a 3bm a 2 (am + 3bm + 2ab) = a 3bm am + 3bm + 2ab = abm

RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:

De igual manera que si fueran números fraccionarios, se analiza primero si tienen el mismo denominador, pues recordemos que de ser así se coloca el denominador y se efectúa la resta entre numeradores. Como los términos a restar son expresiones de tipo algebraico se tendrá especial cuidado el resolver la resta, ya que es posible que por la naturaleza de los términos en cuestión la resta quede indicada solamente. Si los denominadores son diferentes el procedimiento consiste en multiplicar los denominadores entre si y colocar el resultado como el nuevo denominador de la expresión resultado. Luego se multiplican el numerador de la primera expresión con el denominador de la segunda expresión para restarles la multiplicación del denominador de la primera expresión con el numerador de la segunda expresión. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Página 3

Esta multiplicación que algunas personas llaman “en cruz” o “cruzados”, se coloca en el numerador de la fracción resultado. Toda respuesta deberá simplificarse hasta donde sea posible. Puede resolverse una resta de expresiones algebraicas aplicando también los siguientes pasos: Encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Este será el denominador de la expresión resultado. Dividir este común múltiplo entre cada denominador de las expresiones a restar, cada resultado multiplicarlo por su respectivo numerador. Colocar estos resultados en el numerador de la expresión resultado precedidos del signo correspondiente al de las expresiones iniciales. Simplificar hasta donde sea posible la respuesta. Así por ejemplo:

a + 3b 2a − 3m 3 a 2 m(a + 3b) − a 2 b(2a − 3m) − a 2 bm(3) − − = ab am a a 3bm a 3 m + 3a 2 bm − 2a 3b + 3a 2 bm − 3a 2 bm = a 3bm a 2 (am + 3bm − 2ab) = a 3bm am + 3bm − 2ab = abm

MULTIPLICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Para multiplicar dos expresiones algebraicas sólo basta multiplicar entre si numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Por lo general es una buena costumbre simplificar las expresiones antes de efectuar la multiplicación. Así por ejemplo:

2a 3b 2 6ab 2 a × = = 3 3 4 x 12b x 2bx 3b 2 x 3 3a 2 5 x 2 30a 2 x 5 2x 4 × × = = y 7 xy 2 105a 3 y 3 x 7 ay 3 15a 3

DIVISION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Para dividir dos expresiones algebraicas se toma la primera expresión y se multiplica por el inverso multiplicativo de la otra expresión, es decir, en la segunda expresión se cambia la posición del numerador por la del denominador y viceversa. Otra manera es colocar una expresión debajo de la otra, para conformar lo que popularmente se conoce como ley de la oreja, donde se multiplican los extremos de la expresión y se divide entre la multiplicación de los elementos internos. Se debe aclarar que esta no es ninguna ley. Así por ejemplo:

x 2 2x x 2 y 3 x 2 y 3 xy ÷ = × = = 6 3 y 2 y 3 3 y 2 2 x 6 xy 2

x2 x 2 y 3 xy 3y2 = = 2x 6 6 xy 2 3 y Otro ejemplo:

( x − 1) (2 x − 2) ( x − 1) 6 6( x − 1) 6( x − 1) 1 ÷ = × = = = =1 3 6 3 (2 x − 2) 3(2 x − 2) 3(2)( x − 1) 1

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Página 4

( x − 1) 6( x − 1) 6( x − 1) 1 3 = = =1 = (2 x − 2) 3(2 x − 2) 3(2)( x − 1) 1 6

FRACCIONES COMPLEJAS Se definen así a aquellas expresiones cuyos numeradores, denominadores o ambos son fracciones algebraicas. En estos casos es mejor trabajar la simplificación usando le procedimiento de la oreja (Ley de los Opuestos). Adicionalmente se recomienda que se efectúen primero las operaciones indicadas en los numeradores y denominadores, a su vez que se vaya simplificando resultados parciales. De acuerdo con lo anterior se puede decir que una fracción compleja no es más que una división de fracciones algebraicas. Así por ejemplo:

x 2x + x 2 = 2 = 4(2 x + x) = 2(3 x) = 2 1. x 4 x − x 2(4 x − x) 3x x− 4 4 x + 3 x + 1 ( x + 3)( x + 2) − ( x + 4)( x + 1) − ( x + 3)( x + 2) − ( x + 4)( x + 1) ( x + 2)( x + 4) 2. x + 4 x + 2 = = x − 1 x − 3 ( x − 1)( x + 4) − ( x + 2)( x − 3) ( x − 1)( x + 4) − ( x + 2)( x − 3) − ( x + 2)( x − 4) x+2 x+4 x+

3.

x 2 + 2 x + 3 x + 6 − ( x 2 + x + 4 x + 4) x 2 + 2 x + 3 x + 6 − x 2 − x − 4 x − 4 2 = 2 = 2 2 2 x + 4 x − x − 4 − ( x − 3 x + 2 x − 6) x + 4 x − x − 4 − x + 3 x − 2 x + 6 4 x + 2

TALLER: FRACCIONES ALGEBRAICAS I Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

7.

1.

75 x 7 y 5 100 x 3 y 12 z 3

2.

21x 8 y 10 z 12 63 x 4 yz 2

3.

4.

12 x 2 y 8x 3

5.

50a 3 b 4 c 2 24a 2 b 5 c 2

6. −

60a 4 b 5 12a 5 b 4

10.

a2 − b2 5a + 5b

2 x 2 y + 3 xy 2 13. 4x 2 − 9 y 2 FRACCIONES ALGEBRAICAS

8.

18a 2 x b ( x +3) a xb x

2x 2 − 2 y 2 4x − 4 y x 2 − 2 x − 15 14. 2 x 2 − 50 11.

9.

42a 2 c 3 n 26a 4 c 5 m 15 x 5 y 4 z 25 xy 5 z 2

x 4 a + 3 y a −5 x 2 a +1 y a −7

z2 −1 z 2 − 4z − 5 a 2 − 9a + 8 15. 2 a − 5a − 24

12.

Página 5

2 x 3 + 8 x 2 − 42 x 4 x 5 + 32 x 4 + 24 x 3 18 p 3 − 48 p 2 + 32 p 19. 36 p 3 − 64 p

4 x 2 − 20 x + 25 4 x 2 − 25 x 4 − 16 20. 4 x + 3x 2 − 4

a 2 x +3 + a x +3 a 2x + a x 2x3 − 2x 2 y + x 2 y − y 3 25. 3 x 3 − 3 xy 2

2 2 x 3 x − 2 x 32 x 2 2 x − 32 x 2a 2 − a − 15 26. 4a 3 − 25a

16.

5a 4 b − 15a 2 b 2 a 4 − 6a 2 b + 9b 2 a 2x − b2x 21. 2a 2 x + 2a x b x

17.

18.

2 2a+2 − 2 2 a +1 − 2 x3 − y3 27. 2 x − y2

23.

22.

24.

II. Resuelve las siguientes operaciones entre fracciones algebraicas:

3. 5. 7. 9.

y − 2x x − 3y − 20 x 24 y

x − 2y y − x + 15 x 20 y

2.

x2 x (1 + )( x − ) x+ y y 2 x − 5x + 2 3y y 5ab 3b − 6 x 2 8x x+5 x−3 x +1 + 2 + 2 2 x + 7 x + 10 x − x − 6 x + 3 x + 2

8 x 2 + 26 x + 15 6 x 2 + 13 x − 5 4. ÷ 16 x 2 − 9 9x 2 −1 p + q 2 p − 3q 6. + p q x+2 x−3 x+3 8. 2 + 2 + 2 x − 4 x − 9 x + 6x + 9 p+q p2 − q2 + 10. 2 p − 2q 2 p − 2q

1.

11.

2x + 5 y 2x − 5 y − 2 2 2 4 x − 25 y 4 x − 25 y 2  x 2 + 2 xy + y 2  (x − y )2   (x + y )2  x + y  

13.  15. 17. 19. 21. 23.

12.

   

3 x +1 x − + 2 x − 2 x − 3 x − 5x + 6 2y2 y2 ÷ y2 − 4 y2 + 2y + 4 1 1 x −1 + − 2 x − 1 x − 3 x − 4x + 3 x x −1 3 − − 2 2 x − x − 2 x + 1 x − 3x + 2  x + y x − y  x y    −  −  x − y x + y  y x 

t  1   t +1 −  t −   t − 1 t + 1  t   2 1   1  27.  +  a  ÷ a − a + 1   a a + 1  

25. 

FRACCIONES ALGEBRAICAS

3a 2 − a − 14 2 a + 4a + 4 a+2

(

)

2 x−3 x−7  x + 10 x + 25         2 2  x+5  x + 2 x − 15  x − 2 x − 35  

14.  16. 18. 20. 22. 24.

x 2 − 4 x 2 − 2x ÷ x+2 x2 t   t   t +1 −   ÷ 1 +  t + 2  t + 2  t 1 3 x +1 + − 2 x + 2 x −1 x + x − 2 x x +1 3 − − 2 2 x −1 x +1 x + x − 2  1 1 x + y  2 xy   − +   xy  x + y  x y

4  1 1 − y  ÷  +  y   y 2  3 b + 2 b +1  2 28.  2 + − 2b b b−2 b 26. 

Página 6

III. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

2 2 + 1. 1 − x 1 + x 2 2 − 1+ x 1− x

2.

9 + 6 x + x 2 3x 2 − x3 * 2 9 − x2 3x + x3 4. 2 2 x − 4 2 x − 8x + 8 ÷ 3 2 x−2 + 4 8

x −1 x2 + 2 x+2− x−2 x− x +1

 x3 − 6 x 2 + 11x − 6 x 2 + 2 x − 3  x 2 + x − 2 * 2  ÷ x2 − 9 x − 3x + 2  x 2 + 4 x + 4  9. 2 x2 − 2 x 3 x 2 + 12 x + 12 − 3x 2 + 3x − 6 2x

a −1 a +1 − 2  2  a 2 + 1 a 2 − 1 ÷  a + 1 − a − 2a + 1  11. a − 1 a + 1 2  ( a − 1)  −  a a +1 a −1

FRACCIONES ALGEBRAICAS

1 x

x y 2 x − y2 xy − y 2 1+

6.

x2 −1 2 x 2 − 8 x − 10 * x2 + 2 x + 1 x −1 8. x +1 2x + 2 ÷ x 2 + x − 2 x3 − 4 x 2 − 7 x + 10

x −3 x +3 x +3 − x+3 − x 3 3− x x+3 −1 x −3 3x

1+ 10.

2

IV. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas: 2 2 + x −1 1. 1 − x 1 + x 2. 2 2 x2 + 2 − x+2− 1+ x 1− x x−2 x− x +1

1 1+

x 2 + 6 x + 5 x − 2 x3 − 2 x * + 5. 2 x − 5x + 4 x2 − 4 x2 − 4 x

x2 + 2x + 1 4 x2 − 4 x * x2 −1 x +1 7. 2 2 x + 14 x + 20 x −5 ÷ 3 3 2 x − 50 + 2 x − 25 x 2 x − 20 x 2 + 50 x

2

3.

12.

x2 + 2x + 1 x2 − x + 1 − 2 x −1 ( x − 1) x + 1 x2 + 2x + 1 + x2 −1 x +1

3.

1 1+

1 x

Página 7

9 + 6 x + x 2 3x 2 − x3 * 2 9 − x2 3x + x3 4. 2 x − 4 2 x2 − 8x + 8 ÷ 3 2 x−2 + 4 8

x 2 + 6 x + 5 x − 2 x3 − 2 x * + 5. 2 x − 5x + 4 x2 − 4 x2 − 4 x

x2 + 2x + 1 4 x2 − 4 x * x2 −1 x +1 7. 2 2 x + 14 x + 20 x −5 ÷ 3 3 2 x − 50 + 2 x − 25 x 2 x − 20 x 2 + 50 x

x y 2 x − y2 xy − y 2 1+

6.

x2 −1 2 x 2 − 8 x − 10 * x2 + 2 x + 1 x −1 8. x +1 2x + 2 ÷ 3 2 x + x − 2 x − 4 x 2 − 7 x + 10

 x3 − 6 x 2 + 11x − 6 x 2 + 2 x − 3  x 2 + x − 2 * 2  ÷ x2 − 9 x − 3x + 2  x 2 + 4 x + 4  9. 2 x2 − 2 x 3 x 2 + 12 x + 12 − 3x 2 + 3x − 6 2x

10.

a −1 a +1 − 2  2  a 2 + 1 a 2 − 1 ÷  a + 1 − a − 2a + 1  11. a − 1 a + 1 2  ( a − 1)  −  a a +1 a −1

x2 + 2x + 1 x2 − x + 1 − 2 x −1 ( x − 1) 12. x + 1 x2 + 2x + 1 + x2 −1 x +1

2

2

FRACCIONES ALGEBRAICAS

x −3 x +3 x +3 − x+3 − x 3 3− x x+3 −1 x −3 3x

1+

Página 8