• Matemática Básica

Créditos

Esta es una publicación de la Escuela Nacional de Hotelería, dentro del proyecto NIC/018, financiado conjuntamente por los gobiernos de la Republica de Nicaragua y el Gran Ducado de Luxemburgo.

Compilación y Adecuación de Contenido:

Freddy Isaacs Garay P. Revisión y Aprobación:

Miriam Espinoza

Se permite la reproducción total o parcial de la presente obra, haciendo referencia a la fuente.

Managua, Nicaragua Diciembre 2008.

Unidad I: Aritmética Básica Con esta unidad el alumno desarrollará la capacidad de: Realizar cálculos matemáticos, utilizando el razonamiento lógico y las operaciones correspondientes.

Unidad I: Aritmética Básica Cálculos Matemáticos Para iniciar esta unidad comenzaremos a hablar de los números. Los números los podemos encontrar en cualquier actividad del hombre, para decir su edad, para hacer cuentas al ir de compras, en la casa, en el camino a la escuela o al trabajo, y en cualquier conversación con otra persona.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A partir de estos diez dígitos podemos formar nuevas y mayores cantidades. Los números podemos clasificarlos en diferentes conjuntos numéricos.

Los Números Naturales. Para contestar a las siguientes preguntas utilizamos números naturales. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? ¿Cuántas personas van al tour? ¿Cuántos platos de comida se sirvieron? ¿Cuántos aficionados hay al beisbol en Nicaragua? o ¿cuántas camas hay en el hotel? El conjunto de los números naturales se escribe:

N = {0, 1, 2, 3 ...∞ } Ahora bien, para ver otro tipo de números pensemos, qué sucede si hacemos la resta 8 – 4 quedan 4. Si hacemos la resta 8 – 8 nos da 0. Pero, ¿qué queda si restamos 5 – 8? Los griegos decidieron que esa operación no era posible, pues el resultado sería menos que nada. ¿Cómo puede ser algo menos que nada, si nada es lo menor posible? Este tipo de razonamiento continuó durante mucho tiempo, hasta que los hindúes crearon un sistema de numeración donde se podía representar el cero y los números “absurdos”, es decir, los negativos. Hay innumerables situaciones como la siguiente: si disponemos de 5 córdobas para pagar una deuda de 8 córdobas, al entregar los 5 córdobas nos quedamos con una deuda de 3 córdobas, eso lo expresamos como -3, es decir el número 3, pero de forma negativa. Para los hindúes y ahora en nuestros tiempos, los números negativos tienen un sentido práctico: el de las deudas. En el comercio, se separan las deudas de las ganancias claramente, para llevar cuenta del movimiento del dinero.

Los Números Enteros. En general, los números negativos ya forman parte de nuestra vida diaria, por ejemplo para algunos países, la temperatura llega a ser un valor menor que el cero, es decir un valor negativo. Al conjunto formado por los números naturales más los números negativos lo llamamos conjunto de números enteros, y lo indicamos con una Z de la siguiente forma:

Z = {-∞ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...∞ }

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Un número es un símbolo que representa una cantidad. Los números son ampliamente utilizados en matemáticas, pero también en muchas otras disciplinas y actividades, así como en la forma más elemental en la vida diaria.En nuestro sistema de numeración decimal usamos los siguientes diez dígitos:

Cada vez que un número negativo se va alejando del cero en la recta numérica, significa que es menor que el numero que está más cerca del cero, veamos el ejemplo. Los números enteros pueden representarse en una línea recta horizontal:

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A la derecha del 0 están los números naturales (o enteros positivos) en orden creciente de izquierda a derecha. A la izquierda del 0, están los opuestos de los naturales, es decir, los números negativos, ubicados en orden también creciente de izquierda a derecha, es decir, -3 es menor que -2, -2 es menor que -1, etc. Los puntos suspensivos indican que esa lista de números no tiene fin, ni por la derecha ni por la izquierda. Generalmente los números enteros los encontramos cuando medimos temperaturas, por ejemplo, cuando decimos que alguna determinada bebida debe refrigerarse a -5 grados Celsius.

Los Números Racionales. Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen a los números naturales y enteros. Cuando a una unidad, objeto o figura la partimos en trozos iguales y nos referimos a uno o varios de sus trozos utilizamos las fracciones. Por ejemplo: para un equipo de cocina de 8 personas, cada integrante representa 1/8 del total. Ahora si a una pizza la partimos en 16 partes iguales, cada una de sus partes representaría 1/16 de la pizza. El conjunto de todos los números enteros y todas las fracciones se designa por Q, conjunto de números racionales. Los números racionales se pueden expresar como el cociente de dos números enteros donde el denominador es distinto de 0. El conjunto de los números naturales, N, está dentro de los números enteros, Z, y los números enteros están dentro de los números racionales, Q; como muestra la siguiente figura.

Fracciones. En el lenguaje común se usa la idea de fracción constantemente, por ejemplo, cuando se dice: • • • •

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“Tengo sólo MEDIA hora para resolver este examen’’. “Para hacer la torta con tu receta, necesito TRES CUARTOS de taza de leche” “La TERCERA parte de los estudiantes aprobó con 60 el examen de Matemáticas’’. “Te daré la CUARTA parte del dinero que gane por este trabajo’’

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En matemáticas, una fracción (o quebrado) consiste en una cantidad dividida por otra cantidad, y se a

representan como donde “b” representa al número de trozos iguales en que se ha partido la unidad y se b llama denominador; “a” es el número de trozos a los que nos referimos y se llama numerador; “a” puede ser mayor, igual o menor que “b”. La línea horizontal también se toma en cuenta como el signo ÷ para resolver como división.

Veamos un ejemplo gráfico: En la fracción ⅓ el denominador es el número 3, e indica en cuántos pedazos iguales se divide la unidad, y el número 1 es el numerador, que nos indica cuántos de estos pedazos constituyen dicha fracción. Es decir, dividir la unidad en tres partes iguales y seleccionar un trozo, este trozo representaría la fracción :

Dicho de otra manera, supongamos que agarramos tres trozos de un pastel que está dividido en ocho partes iguales, esos tres trozos equivalen a la fracción ⅜

Analicemos esta frase: “echamos 2 cucharaditas y media de vinagre y listo!!” Esta frase nos indica que existe una parte entera y una fracción, la parte entera se refiere a las dos cucharaditas (2) y la fracción a la media cucharadita ( ), esto se representa de la siguiente manera:

Fracciones Equivalentes Al decir que dos fracciones son equivalentes, estamos diciendo que hay dos maneras diferentes de representar la misma cantidad, como se verá en los ejemplos siguientes:

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Ahora bien, si quisiéramos representar como una fracción estas frases diríamos que MEDIO se refiere a la fracción ½; TRES CUARTOS a la fracción ¾ y la OCTAVA PARTE a la fracción ⅛.

 

son fracciones equivalentes, pues, como se ve en el dibujo, representan la misma cantidad y por

eso, se escribe:

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Si dividimos la unidad en 7 partes iguales y cada séptima parte ahora se subdivide en 3 partes iguales, el rectángulo quedará dividido en 21 partes tal y como se muestra:

Si se considera se estarán tomando 5 partes de las 7 que componen la unidad. Con la nueva división de la unidad en 21 partes, esto es lo mismo que tomar (3 por cada una de las 5 partes grandes que teníamos al principio). Por tanto, podemos decir que:

Otro ejemplo:



Se puede ver que ¾ es equivalente a  , de la manera siguiente: Si a cada cuarto del círculo lo dividimos en dos partes iguales, la unidad ahora estará dividida en ocho partes que equivalen, cada uno, a  del círculo, por lo tanto, se aprecia claramente que  del círculo es lo mismo que  del mismo círculo

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Operaciones Básicas con Fracciones Suma y Resta de Fracciones La suma de fracciones depende de su denominador. Si dos fracciones tienen igual denominador, se sabe que representan porciones de una cantidad que ha sido dividida en un mismo número de partes, por ejemplo:

En este caso sumar resulta muy sencillo, pues basta con sumar los numeradores (que indican cuántas partes tomamos) y copiar el mismo denominador, pues la división de la unidad sigue siendo la misma.

Si se quiere restar sucede el mismo fenómeno, pues las unidades se han dividido en la misma cantidad de partes, por tanto, se restarán los numeradores y se pondrá el mismo denominador.

Se puede representar gráficamente la situación así:

Al sustraer o retirar  del área sombreada en el primer rectángulo, evidentemente quedan  . Cuando se efectúa la suma de dos fracciones que tienen distinto denominador, se debe hacer lo siguiente: 1. Encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de todos los denominadores. 2. Hallar las fracciones equivalentes a las dadas con denominador igual al mcm. encontrado en el inciso 1. 3. Sumar esas fracciones encontradas, que son equivalentes a las dadas.

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Ejemplo: para sumar Primero se halla el mcm de 9 y 6; para ello se descomponen ambos números en sus factores primos.Para descomponer un número en sus factores primos se sigue el siguiente procedimiento:

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1. Se dividen los números entre el número primo más pequeño que los divida exactamente. 2. Se divide el cociente de la división anterior entre el siguiente número primo que dé división exacta. 3. Se continúan efectuando cálculos hasta llegar  a un cociente igual a uno. Si los denominadores sólo se pueden dividir entre ellos mismos entonces simplemente se multiplican los denominadores y el resultado es el mcm. Veamos el ejemplo: Descomponemos el 9 y el 6

La multiplicación de los factores primos es el mcm, que para este caso es 18. Ahora se divide el mcm entre el denominador de la primera fracción y el resultado se multiplica por el numerador de la misma fracción 18 ÷ 9 = 2, 2 x 4 = 8 se escribe el signo correspondiente a la operación aritmética y se procede de la misma manera con la siguiente fracción 18 ÷ 6 = 3, 3 x 7 = 21. La operación quedará de la siguiente manera:

Se pueden realizar restas de fracciones con diferente denominador. Por ejemplo: Restar Se busca el mcm de 7 y 3, en este caso no existe un factor que divida tanto a 7 como a 3 exactamente, por tanto, el mcm se encuentra con solo multiplicar ambos denominadores 7 x 3 = 21. Al igual que la suma, el mcm se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por su numerador. Se anota el resultado como numerador. Con la segunda fracción se realiza el mismo procedimiento y se restan los numeradores.

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Vea el siguiente ejemplo. Restar

m.c.m = 2 x 5 x 13 = 130

Para multiplicar dos fracciones el procedimiento es muy sencillo: se multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda y se anota en el resultado en el lugar correspondiente al numerador. Se multiplican los denominadores y se anotan en el resultado en el lugar del denominador. Ejemplo: Multiplicar

División de Fracciones Para dividir dos fracciones el procedimiento es muy sencillo: se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se anota en el resultado en el lugar correspondiente al numerador. Después se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y se anotan en el resultado en el lugar del denominador.

Los Números Decimales Un número decimal es un número escrito en un sistema de base 10 en que cada dígito, según su posición, señala la cantidad de unidades, decenas, miles, décimas, centésimas, milésimas, etc., que contiene. Con una coma o un punto (en dependencia del sistema de medidas que se utilice) se separa la parte entera de la parte no entera del número. Por ejemplo:

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Multiplicación de Fracciones

ci m as ce nt és im as m i lé sim as

dé

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Cada dígito de la parte derecha del punto decimal ocupa una posición. Para leer la parte fraccionaria de un número decimal, partimos del separador decimal (punto o coma dependiendo del sistema de medidas que usemos) hacia la derecha donde cada posición representa décimas, centésimas, milésimas, etc. Los dígitos indican cuántas décimas, centésimas o milésimas tenemos.

0.379

El ejemplo se leería “trescientos setenta y nueve milésimas”, si tenemos 0.25 se leería “veinticinco centésimas”, si fuese 0.4 se leería “cuatro décimas” y así sucesivamente. Cuando convertimos una fracción a decimal, puede ocurrir algo curioso con algunas fracciones y es que se pueden obtener cifras decimales que se repiten indefinidamente, como en el caso de 20/3 ó 22/7.

Al efectuar la división, de 20 entre 3 nos da 6.66666… y de 22 entre 7 nos da 3.142857142867… (Los puntos suspensivos indican que la sucesión ¡no tiene fin!) De igual manera podemos encontrar divisiones con decimales de sucesión finita por ejemplo 3/8 cuyo resultado es 0.375. Como se ha visto, toda fracción se puede expresar como número decimal, bien sea con una cantidad finita, o bien con una cierta cantidad de cifras decimales que se repiten de manera periódica infinitas veces. Esto en ocasiones nos puede resultar un tanto engorroso al trabajar con muchas cantidades decimales, para ello nos valemos de las reglas del Redondeo para simplificar la cantidad de decimales.

Redondeo. Método Común Las reglas del redondeo se aplican para reducir la cantidad de decimales, partiendo de la premisa que cuando el digito decimal es mayor o igual a cinco se redondea a la décima superior y si es menor que 5 se deja igual. Ejemplos 1. Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. • Redondear 12.612 a dos decimales: para esto debemos tener en cuenta el tercer decimal, como 2 es menor que 5, entonces al redondear quedaría 12.61 2. Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad. • Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales. En este caso el tercer decimal es mayor que 5 por lo tanto el decimal anterior aumenta una unidad, 12.618 = 12.62. • Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,615= 12,62.

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Otros Ejemplos de redondeo a dos decimales: • 45.98466 = 45.98 (en este caso se toma en consideración el tercer decimal 4 < 5 por tanto el segundo decimal queda igual). • 0.9253 = 0.93 (en este caso se toma en consideración el tercer decimal 5 = 5 por tanto el segundo decimal aumenta una unidad)

Operaciones con Decimales.

Suma. El procedimiento para sumar decimales es el mismo que para los números naturales. Alinear en la misma columna los dígitos con los mismos valores posicionales. Si no hay punto decimal, se entiende que está al final del número; por ejemplo para 3642 = 3642. = 3642.0 = 3642.00 ... etc.

8.4 0.37 + 2.641 -------------11.411 Resta. La manera de resolver una resta de números decimales es la misma que para los números naturales. La manera más fácil de hacer esto es alineando las partes decimales. Ejemplo. Para restar 27.56 de 48.3 se hace el acomodo de las cifras alineando los puntos. En la sustracción de decimales, el minuendo (superior) debe tener tantos lugares decimales como el sustraendo (inferior), por lo que debemos agregar ceros cuando sea necesario.

48.30 - 27.56 -------------20.74

Multiplicación.

0.375 x 0.42

--------------

750 1500 -----------0.15750

Al multiplicar números con decimales se debe hacer la multiplicación igual que con números naturales. El número de lugares decimales en el producto es igual a la suma del número de lugares decimales en los números que están siendo multiplicados. Ejemplo. Multiplicar 0.375 por 0.42, de manera normal. Al final, contar decimales, una cantidad tiene tres y la otra dos, el producto debe tener cinco lugares decimales.

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Con los números que tienen decimales también se pueden realizar las cuatro operaciones fundamentales, sin ningún problema. En seguida se presentan actividades para cada una.

División. Sólo el dividendo es decimal

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Se efectúa la división de números decimales como si de números enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, ponemos un punto decimal en el cociente y continuamos dividiendo.

Sólo el divisor es decimal Quitamos el punto decimal del divisor y añadimos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor. A continuación dividimos como si fueran números enteros. Por ejemplo, si dividimos 5126 entre 62.37 tenemos:

El dividendo y el divisor son decimales Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y el divisor, añadiendo a aquel que tuviere menos, tantos ceros como cifras decimales de diferencia hubiese. A continuación se prescinde del punto decimal y dividimos como si fueran números enteros. Vea el ejemplo. Dividir 5627.64 entre 67.526. Igualando las posiciones decimales, tenemos: 5627.6400 entre 67.5261, omitimos el punto decimal y dividimos de la siguiente manera:

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Multiplicación y división por potencias de diez. Las potencias de diez son los números que resultan de elevar 10 a una potencia. 10, 100, 1000 y 10,000 son potencias de 10. Los únicos dígitos que resultan al elevar 10 a una potencia son el 0 y el 1. Observe lo que sucede cuando se multiplica por una potencia de 10. Consideremos los siguientes productos:

Del mismo modo dividir un número entre 10, es recorrer el punto decimal un lugar a la izquierda. Dividir entre 100 recorrerá el punto decimal dos lugares a la izquierda, y así sucesivamente. Ejemplos. • 3.82 X 10 = 38.2; Multiplicar por 10 recorre el punto decimal un lugar a la derecha. • 0.0264 X 1000 = 26.4 Observa que aqui también el punto decimal se mueve tres lugares a la derecha. • 27.3 ÷ 10 = 2.73; dividir entre 10 recorre el punto decimal un lugar a la izquierda. • 3.12 ÷ 100 = 0.0312; Para correr el punto decimal dos espacios a la izquierda, hay que tomar en cuenta que 3 es igual a decir 03 ó 003, de esta manera se puede visualizar los espacios que se corre el punto decimal. • 478 ÷ 1000 = 0.478; Este ejercicio es similar al caso anterior.

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Se puede continuar multiplicando 0.135 por 1000 y por 10000 y se observa que al multiplicar, se tiene el efecto de recorrer el punto decimal uno, dos o tres lugares a la derecha respectivamente.

Sistema de Medidas y Conversiones. ¿Qué es Medir?

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Medir es comparar una magnitud con otra, tomando una primera como patrón con la que se deberá comparar la siguiente. Al resultado de medir lo llamamos medida. Supongamos una habitación cuyo suelo está cubierto de Ladrillos, tal como se ve en la figura de la izquierda, tomando un ladrillo como unidad, y contando el número de ladrillos medimos la superficie de la habitación, 24 ladrillos. En la figura de abajo, la misma superficie da una medida diferente, 15 baldosas, esto es porque se han usado unidades de medidas distintas (ladrillos y baldosas) Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una única unidad de medida para una magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las personas. Esta única unidad de medida se ve reflejada en el SISTEMA INTERNACIONAL de Unidades y/o en el SISTEMA INGLÉS o SISTEMA ANGLOSAJÓN, entre los más destacados sistemas de medidas de la actualidad.

Sistema Inglés de Unidades El sistema inglés de unidades o sistema anglosajón, es aún usado ampliamente en los Estados Unidos de América y, cada vez en menor medida, en algunos países del Caribe, Centro y Sudamérica con tradición británica. Debido a las relaciones comerciales que tienen los países del área con los EUA, existen todavía muchos productos fabricados con especificaciones en este sistema, ejemplo de ello es que todavía se acostumbra hablar de libras, pulgadas, yardas, galones, etc. No obstante, reconociendo la presencia del sistema inglés en nuestro medio es conveniente ofrecer referencias sobre los factores de conversión de estas unidades al Sistema Internacional.

Sistema Internacional de Unidades El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, también denominado sistema internacional de medidas, es el sistema de unidades más extensamente usado inclusive en nuestro país. Existe lo que se llaman Unidades Básicas y Unidades Derivadas del SI, pero para efectos prácticos solo hacemos referencias a las unidades del SI que nos ayudarán a desempeñarnos en nuestro puesto de trabajo. Estas unidades son: Magnitud Longitud Peso Volumen/Capacidad Temperatura

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Nombre Metro Kilogramo Metro cúbico/Litro Celsius

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Símbolo m kg m3 / l ºC

Conversiones de Medidas de Longitud entre el sistema internacional y el sistema inglés La longitud es una magnitud creada para medir la distancia entre dos puntos. De utilidad para nuestros puestos de trabajo usaremos la unidad básica el metro que se representa por una “m”. El metro se divide en: Nombre metro decímetro centímetro milímetro

Símbolo m dm cm mm

Equivalencia 10 dm 10 cm 10 mm -

A estas divisiones se les dice que son sub múltiplos del metro porque su medida es menor. Para tener una referencia más clara de estas longitudes imaginémonos una regla, estas por lo general vienen numeradas del 0 al 30, estas divisiones representan un centímetro y a su vez cada una de estas 30 divisiones vienen divididas en diez partes más pequeñas llamadas milímetros. El metro también tiene medidas más grandes llamadas múltiplos del metro, estas son: Cantidad

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 1 1

Decámetro Hectómetro Kilómetro

dm hm km

10 m 100 m 1000 m

Símbolo in ó (“) ft ó (‘) yd

Equivalencia 1in ó 1” 12” 3ft = 36 in

Equivalencias con el sistema inglés Las medidas del sistema inglés son: Cantidad 1 1 1

Nombre Pulgada Pie yarda

A pesar que son medidas diferentes, existen equivalencias entre las unidades del SI y las unidades del sistema inglés, estas son: Para convertir de: Milímetros (mm) a pulgadas (in) Centímetros (cm) a pulgadas (in) Metros (m) a pies (ft) Metros(m) a yardas (yd)

Multiplicar por

Equivalencia 0.0394 0.3937 3.2808 1.0936

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Equivalencia 1in ó 1” 12” 3ft = 36 in

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Cantidad 1 1 1 1

Para convertir de: pulgadas (in) a Milímetros (mm) pulgadas (in) a Centímetros (cm) Pies (ft) a Metros (m) yardas (yd) a Metros(m)

Multiplicar por

Equivalencia 25.4 2.54 0.3048 0.9144

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Ejemplo: Convertir 2.5m a pies

Convertir 7 in a centímetros

Conversiones de Medidas de Peso entre el sistema internacional y el sistema inglés En la física, el peso es la medida de fuerza que ejerce la gravedad sobre un cuerpo. En su uso cotidiano, el término “peso” se utiliza a menudo como sinónimo de “masa”. En el sistema inglés se usa como medida de peso la onza (oz), libra (lb), toneladas (T) como unidades base, mientras que en el SI es el kilogramo (kg). El kilogramo se divide en: Cantidad 1 1

Nombre Kilogramo Gramo

Símbolo kg g

Equivalencia 1000 g -

Si bien es cierto el kg tiene múltiplos y sub múltiplos, para nuestro caso particular como en el control y aprovisionamiento de alimentos es suficiente conocer estas dos unidades. Sin embargo, el kg también tiene equivalencias con el sistema inglés, que vale la pena conocer solo por el simple hecho que en nuestro país todavía hay mucha gente que las usa a pesar que ya se adoptó de manera oficial el SI. Cantidad 1 1

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Nombre Kilogramo Kilogramo

Símbolo Kg Kg

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Equivalencia Sistema Inglés 2.2 libras = 2.2 lb 35.27 onzas = 35.27 oz

Otras conversiones Cantidad 1 1 1

Nombre Onza Libra Libra

Símbolo Oz Lb Lb

Equivalencia SI 28.35 g 453.6 g = 0.45 kg 16 oz (sistema inglés)*

En esta página encontrará un convertidor de medidas de peso:

Conversiones de Medidas de Capacidad entre el sistema internacional y el sistema inglés Las medidas de capacidad son las que sirven para medir líquidos y para ello tenemos que conocer sobre las medidas de volumen. Una de las aplicaciones de las medidas de volumen es cuando queremos conocer la cantidad de espacio de una bodega, o el espacio que ocupa una lavadora o la cantidad de líquido que alcanza en una botella, etc. Si nos tocara realizar una definición diríamos: El volumen es una magnitud cuya medida nos permite conocer la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Esta magnitud está muy relacionada con la capacidad, puesto que el volumen es el espacio que puede ocupar un recipiente lleno y la capacidad es la cantidad de materia que puede contener un cuerpo.

Para medir esta magnitud utilizamos las medidas de volumen o bien las medidas de capacidad que es donde nos vamos a enfocar.

Unidad, múltiplos y submúltiplos La unidad principal del volumen es el metro cúbico (m3). Un metro cúbico es el espacio que ocupa un cubo cuyos lados miden un metro de longitud. Los múltiplos (unidades más grandes) del metro cúbico son de mayor a menor: miriámetro cúbico, kilómetro cúbico, hectómetro cúbico y decámetro cúbico. Los submúltiplos (unidades más pequeñas) del metro cúbico son de mayor a menor: decímetro cúbico, centímetro cúbico y milímetro cúbico.

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http://www.galenored.com/pacientes/herramientas/convertidor.htm

Unidad Básica

Múltiplos

Matemática Básica

Miriámetro cúbico(mam3)

Kilómetro cúbico(km3)

Hectómetro cúbico(hm3)

Decámetro cúbico (dam3)

Sub Múltiplos Decímetro cúbico (dm3)

Metro cúbico (m3)

Centímetro cúbico (cm3)

Milímetro cúbico (mm3)

De igual manera la Unidad de Medida de Capacidad es el Litro (l) y también tiene múltiplos y sub múltiplos. La principal unidad de capacidad es el Litro (l). cada unidad de capacidad es diez veces mayor que la unidad inmediata inferior y diez veces menor que la unidad inmediata superior. Para cambiar de unas unidades a otras hay que tener en cuenta que: • De izquierda a derecha, se multiplica • De derecha a izquierda, se divide

Unidad Básica litro (l)

MULTIPLOS Mirialitro (mal)

Kilolitro (kl)

hectolitro (hl)

decalitro (dal)

SUB MULTIPLOS decilitro (dl)

centilitro (cl)

mililitro (ml)

Ejemplo:

Convertir 0.4 km3 a m3 = 0.4 km3 x 1,000

=

400,000,000 m3

Convertir 150 mm3 a cm3 = 150 mm3

=

0.15 cm3

1000

http://www.aguamarket.com/sql/conversor/conversiones.asp conversiones.

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aquí

encontrará

una

calculadora

de

Equivalencias entre medidas de volumen y capacidad Como vimos en la introducción al tema, existen equivalencias entre las dos magnitudes (volumen y capacidad) que nos permiten pasar de una a otra con facilidad. A continuación proporcionamos un pequeño cuadro con estas relaciones: Unidad básica

Múltiplos Kilómetro cúbico (km3)

Hectómetro cúbico (hm3)

Decámetro cúbico (dam3)

--

Metro cúbico (m3)

Decímetro cúbico (dm3)

Centímetro cúbico (cm3) ó (cc)

Milímetro cúbico (mm3)

1 kilo litro (kl) = 1000 l

1 litro (l)

1 mililitro (ml)

--

1 decímetro cúbico de volumen equivale a 1 litro de capacidad y a partir de ahí se deducen el resto de igualdades. Ejemplos: Un cuerpo de 832 centímetros cúbicos tiene una capacidad de 832 ml, o de 83,2 cl, o de 8,32 dl. Esto es porque: • 1cm3 = 1ml • 1cl = 10 ml entonces 832ml

10

• 1dl = 10cl = 100ml entonces 832ml

= 83.2 cl 100

= 8.32 dl

Tazas y Cucharadas Las tazas y cucharadas son medidas de capacidad, no de peso, una taza de azúcar no pesa lo mismo que una de harina y una taza de harina no equivale a 250 gramos. Esto, produce muchos errores que -en repostería sobre todo- se pagan muy caro. Todos sabemos que 1000 mililitros de líquido (1 litro) equivalen a 4 tazas, pero ¿qué sucede si nos hablan de 30, 20 ó 15 mililitros? Para que podamos seguir nuestras recetas al pie de la le)tra debemos siempre tener en cuenta las siguientes equivalencias: Equivalencias en Líquidos

Equivalencias en Líquidos

Equivalencias en Líquidos

1/4 taza

4 cucharadas

1 taza

16 cucharadas

1 cucharada

15 ml

1/3 taza

5 cucharadas

2 tazas

1/2 litro

1 taza

250 ml

1/2 taza

8 cucharadas

4 taza

1litro

1 cucharada

3 cucharaditas

3/4 taza

12 cucharadas

1 cucharadita

5 mililitros

1 onza fluida

29.6 ml ≈30ml

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Miriámetro cúbico (mam3)

Sub Múltiplos

Escalas y Conversiones de Temperatura La temperatura es la medida de la cantidad de energía de un objeto. Hay tres escalas comúnmente usadas actualmente para medir la temperatura: la escala Fahrenheit (°F), la escala Celsius (°C), y la escala Kelvin (K). Cada una de estas escalas usa una serie de divisiones basadas en diferentes puntos de referencia tal como se describe enseguida.

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Escalas Fahrenheit (oF) La escala Fahrenheit es comúnmente usada en Estados Unidos. Y se representa por oF Celsius (Centígrados - oC) Punto de congelamiento del agua se fijo en 0°C y el punto de ebullición del agua en 100 °C. La escala Celsius toma precedencia sobre la escala Fahrenheit en la investigación científica porque es más compatible con el formato basado en los decimales del Sistema Internacional (SI). Además, la escala de temperatura Celsius es comúnmente usada en la mayoría de países del mundo, aparte de Estados Unidos. Kelvin (K) La tercera escala para medir la temperatura es comúnmente llamada Kelvin (K). En teoría, el punto cero de la escala Kelvin es la temperatura más baja que existe en el universo: -273.15ºC.donde ningún cuerpo tiene energía. La escala Kelvin usa la misma unidad de división que la escala Celsius. Sin embargo vuelve a colocar el punto cero en el cero absoluto: -273.15ºC. Es así que el punto de congelamiento del agua es 273.15 Kelvin (las graduaciones son llamadas Kelvin en la escala y no usa ni el término grado ni el símbolo º) y 373.15 K es el punto de ebullición del agua. La escala Kelvin, como la escala Celsius, es una unidad de medida estandard del SI, usada comúnmente en las medidas científicas. Puesto que no hay números negativos en la escala Kelvin (porque teóricamente nada puede ser más frío que el cero absoluto), es muy conveniente usar la escala Kelvin en la investigación científica cuando se mide temperatura extremadamente baja. Comparación de las tres diferentes escalas de temperatura Aunque parezca confuso, cada una de las tres escalas de temperatura discutidas nos permite medir la energía del calor de una manera ligeramente diferente. Una medida de la temperatura en cualquiera de estas escalas puede ser fácilmente convertida a otra escala usando las fórmulas que se muestran en la tabla.

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Conversiones:

De

hacia ºF

hacia ºC

hacia K

ºF

-

(ºF - 32) ÷ 1.8

(ºF-32)(5/9) + 273.15

ºC

(ºC * 1.8) + 32

-

ºC + 273.15

K

(K - 273.15)(9/5) + 32

K - 273.15

-

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Ejemplo: Convierta 37 ºC a ºF Usamos la siguiente fórmula: (ºC * 1.8) + 32 37 ºC = (37 x 1.8) + 32 = 98.6 ºF Convierta 0 ºF a ºC Usamos la siguiente fórmula: (ºF - 32)/1.8

Aquí encontrará una calculadora para convertir de ºC a ºF y viceversa: http://www.ciese.org/curriculum/tempproj3/es/popup/calculador.shtml

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Sistema Monetario Sistema Monetario Nacional.

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Denominaciones. La Unidad Monetaria de la República de Nicaragua es el Córdoba, que se subdivide en cien partes iguales denominadas centavos. Su símbolo es C$. Circulan en la actualidad monedas de 5, 10, 25, 50 centavos; 1, 5 y 10 Córdobas; billetes de 10, 20, 50, 100, y 500 córdobas. Su circulación es controlada por el Banco Central de Nicaragua.

Principales Unidades Monetarias Internacionales. Aunque no se puede dar una clasificación exacta de cuales unidades monetarias son las principales a nivel internacional, por medio de algunos criterios se pueden considerar como importantes algunas de ellas. Las monedas que se presentan son de potencias económicas mundiales, países vecinos con Nicaragua, o de los cuales se puede tener una mayor afluencia turística.

El Euro (EUR): € Es la moneda única de los países participantes en la Unión Monetaria Europea (U.M.E.) desde el 1/1/1999 y que sustituyó definitivamente a las monedas nacionales de estos países a partir del 1/1/2002.

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El Dólar (USD): $ El dólar estadounidense es la moneda oficial de los Estados Unidos de América. Aunque la emisión de dólares sólo se hace en EEUU, otros países —como Ecuador y El Salvador— lo han adoptado también como moneda oficial.

Las monedas son: el penny (1 Centavo), el nickel (5 Centavos), el dime (10 Centavos), el quarter (25 Centavos), y el medio dólar (50 Centavos). Las monedas de un dólar de plata son raras de encontrar mientras que el dólar dorado esta en circulación desde el año 2000.

Conversiones de Unidades Monetarias. Hasta aquí solamente hemos visto las denominaciones de la moneda nacional y de dos de las principales potencias económicas mundiales. El estándar internacional ISO 4217 fue creado con el objetivo de definir códigos de tres letras para todas las monedas del mundo. Esto elimina las confusiones causadas por algunos nombres de divisas como dólar, franco o libra, que son utilizados en numerosos países pero tienen tipos de cambio muy diferentes. En la siguiente tabla se presentan algunas monedas internacionales y sus equivalencias con relación al dólar (USD) para el día 24 de julio 2008, según la página Web del Banco Central de Nicaragua www.bcn.gob.ni, en esta misma página encontrará esta información actualizada a la fecha.

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Los billetes vienen en denominaciones de $1, $2 (muy poca circulación), $5, $10, $20, $50, y $100. Todos estos billetes son del mismo tamaño, de color verde; y solo se distinguen por el valor ubicado en sus cuatro esquinas y por las fotos de las personalidades de la historia del país como así también de ciertos monumentos nacionales.

Moneda

Símbolo JPY GBP 2 EUR 2 CAD AUD 2 HKD MXN VEF ARS CLP PEN BRL SVC GQT CRC CUP HNL NIC

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Yen Japonés Libra Esterlina Euro * Dólar Canadiense Dólar Australiano Hong Kong Dólar Peso Mexicano Bolivar Fuerte Venezolano Peso Argentino Peso Chileno Sol Peruano Real Brasil Colón Salvadoreño ** Quetzal ** Colón Tico ** Peso Cubano Lempira ** Córdoba **

Compra 107.5100 1.9863 1.5701 1.0084 0.9614 7.7992 10.0290 2.1416 3.0155 494.3000 2.8255 1.5738 8.7475 7.4700 546.2000 1.000 18.8963 19.4292

Venta 107.5200 1.9865 1.5703 1.0087 0.9617 7.7997 10.0340 2.1500 3.0175 494.6000 2.8315 1.5758 8.7575 7.5000 556.7000

NOTAS: 1. Estos tipos de cambio no representan precios de compra o venta sugeridos por el BCN, sino que son publicados con carácter informativo. 2. Únicamente para las GBP, EUR y AUD, la cotización es US Dólar por cada unidad de moneda. 3. * Incluye los países miembros de la Zona Euro. 4. ** Tipo de cambio Oficial. Trabajar con factores de conversión es muy fácil, cuando se ha comprendido el proceso. Para lo cual, se deben seguir los siguientes pasos: • Se debe saber de dónde se parte y hacia dónde se va, es decir, las unidades que se tienen y las que se quieren obtener. • Después, buscar el factor de conversión (Tipo de Cambio) que contenga las unidades que tenemos y las unidades a las que queremos convertir. • Se multiplica la cantidad a convertir por el tipo de cambio y se obtendrá la equivalencia. • Para cada divisa se debe que aplicar la tasa de cambio correspondiente.

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Ejemplo 1. Se tienen 200 quetzales (Q) y se desea saber a cuántos córdobas (C$) equivalen, para hacer el cambio de divisa a un huésped del hotel. La moneda de nuestra cantidad está en quetzales y queremos obtener córdobas. Note que en la tabla de conversiones no existe un factor directo entre Quetzales y Córdoba por lo que se tendrá que pasar primero a dólares americanos y luego a Córdoba.

Una vez que tenemos la equivalencia en dólares lo multiplicamos por el tipo de cambio en córdobas:

Ejemplo 2. Se desea saber a cuántos córdobas equivalen 2 Euros. Las unidades en que tenemos nuestra cantidad es Euro y queremos obtener córdobas. 1. Tomamos el tipo de cambio que necesitamos, y es: €1 = C$ 30.5058 Ahora multiplicamos €2 x C$ 30.5058 y se obtienen C$61.01 Ejemplo 3. Convierta C$3,650 a dólares. Al igual que en los ejemplos anteriores se debe de buscar la tasa cambiaria. En este particular el Banco Central publica una tabla mensual con el cambio oficial del dólar, la cual usaremos como referencia. Supongamos que la conversión nos la piden para el día 30 de julio. Para ese día el tipo de cambio está a C$19.4448 por cada dólar. Ahora solamente dividimos los 3650 entre el tipo de cambio.

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1 dólar USD = 7.47 Q ahora dividimos los 200Q entre los 7.47Q para encontrar la cantidad de dólares.

TIPO DE CAMBIO OFICIAL

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(Del 1 al 31 de Julio 2008)

1-jul-08 2-jul-08 3-jul-08 4-jul-08 5-jul-08 6-jul-08 7-jul-08 8-jul-08 9-jul-08 10-jul-08 11-jul-08 12-jul-08 13-jul-08 14-jul-08 15-jul-08 16-jul-08

19.3698 19.3723 19.3749 19.3775 19.3801 19.3827 19.3853 19.3878 19.3904 19.393 19.3956 19.3982 19.4008 19.4034 19.4059 19.4085

17-jul-08 18-jul-08 19-jul-08 20-jul-08 21-jul-08 22-jul-08 23-jul-08 24-jul-08 25-jul-08 26-jul-08 27-jul-08 28-jul-08 29-jul-08 30-jul-08 31-jul-08

19.4111 19.4137 19.4163 19.4189 19.4215 19.4241 19.4267 19.4292 19.4318 19.4344 19.437 19.4396 19.4422 19.4448 19.4474

Consulte los tipos de cambio del día antes de realizar cualquier operación de conversión monetaria.

Regla de Tres La Regla de Tres Simple Directa La regla de tres simple directa es una relación que se establece entre tres valores conocidos y una incógnita, donde se puede establecer una relación proporcional entre los valores involucrados, esto es, que cuando una variable cambie su valor, otra variable también lo hará dependiendo de la primera. La forma más fácil de entender las relaciones entre variables es en las recetas de comida. Entre mayor sea la cantidad de comida, mayor será la cantidad de ingredientes. Normalmente se representa de la siguiente forma:

Siendo A, B y X valores conocidos e Y la incógnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de la siguiente manera: A es a B como X es a Y. Y se resuelve de la siguiente manera:

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Ejemplo: Si 12 naranjas cuestan C$72, ¿cuál será el precio de 20 naranjas?. La relación entre 12 y 72 determinará la relación entre 20 y el valor desconocido.  Otro ejemplo: Si 6 obreros tardan 12 días en realizar un trabajo, ¿cuánto tardarán 8 obreros?. La relación entre 6 y 12 nos permitirá averiguar la relación entre 8 y el valor desconocido.

 En el primer caso: Más naranjas cuestan más dinero. Menos naranjas cuestan menos dinero. Esto se resolverá aplicando la llamada: Regla de Tres Simple Directa 12 naranjas ------ C$ 72 20 naranjas ------ Y

 A MÁS CORRESPONDE MÁS A MENOS CORRESPONDE MENOS (Son directamente proporcionales)

Siempre los datos que corresponden a la misma magnitud deben quedar en la misma columna: naranjas sobre naranjas, $ sobre $, kg sobre kg, horas sobre horas, obreros sobre obreros, etc.

La Regla de Tres Simple Inversa El segundo caso se resolvería aplicando la llamada Regla de Tres Inversa, ya que:  Más obreros tardarán menos tiempo. Menos obreros tardarán más tiempo. Por tanto:

A MÁS CORRESPONDE MENOS A MENOS CORRESPONDE MÁS (Son inversamente proporcionales)

6 obreros ----- 12 días 8 obreros ------ Y  Por ser inversa se multiplican entre sí los dos valores de la primera línea horizontal y se divide el resultado por el valor de la segunda línea horizontal.

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 Pero ¡cuidado! Vuelva a leer los dos ejemplos y note que se parecen pero que no son análogos, es más, uno tiene un ingrediente opuesto al del otro.

Ejercicios Resueltos: • ¿Cuántos minutos hay en 7 horas?

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Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:

El resultado es:

• Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho, ¿cuántos rollos se necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m? 15 rollos Y

 

0.45m 0.75m

Esta es una regla de tres inversa porque entre más ancho es el papel menos rollos se utilizarán.

• Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas? 36 ovejas 56 ovejas

 

28 días de alimento Y

Esta es una regla de tres inversa porque entre más ovejas la cantidad de alimento se terminará más rápido.

Tanto por ciento Es el número de partes que se tomaron de un entero que se dividió en 100 partes. Se representa por el símbolo (%). Los porcentajes se pueden representar como una fracción o como un decimal. Ejemplo:

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Calcular Porcentajes Para determinar el porcentaje de un número sigue los siguientes pasos: Calcule el 8% de 87: • Multiplica el número por el porcentaje • Divide el resultado por 100 • Redondea a la precisión deseada

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Determinar un porcentaje Ejemplo: ¿68 que porcentaje es de 87? • • • •

Divide el primer número por el Segundo Multiplica el resultado por 100 Redondea con la precisión deseada Termina tu respuesta con el signo %

Convertir un decimal a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir un decimal a un porcentaje, Por ejemplo: Convierte 0.83 a un porcentaje. • Multiplica el decimal por 100 (ej. 0.83 * 100 = 83) • Agrega el signo porcentual a tu respuesta (ej. 83%) Convierte 1.25 a un porcentaje • Multiplica el decimal por 100 (ej. 1.25 * 100 = 125) • Agrega el signo porcentual a tu respuesta (ej. 83%)

Convertir un porcentaje a un decimal Convierte 83% a un decimal. • Divide el porcentaje por 100 (ej. 83 ÷ 100 = 0.83)

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Descuento de Precios A menudo los negocios venden productos o servicios a un precio de descuento. El negocio hará un descuento en un producto, utilizando un porcentaje del precio original.

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Por ejemplo, una habitación en temporada alta cuesta originalmente $20 pero podría tener un 25% de descuento en temporada baja. Para averiguar la cantidad del descuento calcula el 25% de $20, luego resta el descuento del precio original para averiguar el precio de venta.

Cálculo del descuento: Precio de la habitación = 20 – 5 = $15 Estos son algunos términos que puedes ver para productos descontados: 50% menos, Ahorre 50%, 50% OFF.

Precio total con impuesto de venta Muchas ciudades a nivel mundial recaudan un impuesto de ventas sobre precios al consumidor. El impuesto a las ventas se determina averiguando un porcentaje del precio de compra. El porcentaje del impuesto varía entre las diferentes ciudades y países, en el caso de Nicaragua el impuesto (IVA) es igual al 15%. Si el impuesto a las ventas es 15% y se hace una compra de C$250.00, Calcule el valor total al pagar. El impuesto a la venta es

El PRECIO TOTAL DE VENTA ES = PRECIO + IMPUESTO, por lo tanto, Precio = C$250 + C$37.50 = C$287.50

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Ejercicios Resueltos: • Si en un hotel cobra por noche un paquete de alimentación en C$600 mas impuesto. ¿A qué cantidad asciende el pago total? Calculamos el impuesto (15%)

C$600 + C$90 = C$690 • Un cocinero está preparando una cotización por servicios para un bufé y los costos en que incurre son: Materiales = C$1550, Transporte = C$250, Mano de obra = C$1200, si a esto quiere aplicarle una ganancia del 40%, cuánto es el precio total que deberá ofertar? Primero se deberá sumar los costos en que incurre: Costo total = C$1550 + C$250 + C$1200 = C$3000 Ahora al costo total le aplicamos el porcentaje de ganancia que queremos obtener:

El Precio Total será: C$3000 + C$1200 = C$4200.

n ampliamente utilizados en matemáticas, pero también en muchas otras disciplinas y actividades, así como en la forma más elemental en la vida diaria.En nuestro sistema de numeración decimal usamos los siguientes diez dígitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A partir de estos diez dígitos podemos formar nuevas y mayores cantidades. Los números podemos clasificarlos en diferentes conjuntos numéricos.

1.1 Los Números Naturales. Para contestar a las siguientes preguntas utilizamos números naturales. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? ¿Cuántas personas van al tour? ¿Cuántos platos de comida se sirvieron? ¿Cuántos aficionados hay al beisbol en Nicaragua? o ¿cuántas camas hay en el hotel? El conjunto de los números naturales se escribe:

N = {0, 1, 2, 3 ...∞ }

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Ahora sumamos el impuesto al precio por noche: