FUERZAS CENTRALES

1. Fuerza central 2. Momento de una fuerza respecto de un punto. Momento de un fuerza central 3. Momento angular de una partícula 4. Relación entre momento angular y el momento de torsión 5. Momento angular y segunda ley de Kepler

Física 2º Bachillerato

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1. FUERZA CENTRAL Concepto de Fuerza central: Fuerza dirigida siempre hacia el mismo punto, cualquiera que se a la posición de la partícula sobre la que está actuando La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa y dirigida siempre hacia un punto

v

m’ F

Ejemplos de fuerzas centrales:

- Fuerza gravitatoria.

r

- Fuerza recuperadora de una mas. - Fuerza que ejerce el núcleo sobre un electrón. - Fuerza centrípeta. m

2

2. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO MOMENTO DE UNA FUERZA CENTRAL Cuando se aplica una fuerza sobre un punto de un sólido rígido que puede girar alrededor de algún eje, el cuerpo tenderá a realizar una rotación, siempre que la fuerza no se dirija o provenga del eje. La capacidad de una fuerza para hacer girar un cuerpo alrededor de un eje se mide por una magnitud que se llama momento de torsión. Definición y unidades:

M

   M r F  M r F sen

F d

- Es un vector axial. Es un producto vectorial

F

- Solamente está definido respecto de un punto. - d es el brazo del momento, distancia perpendicular.

r

3

Ej-1.: El péndulo de la figura oscila alrededor del punto O. Calcula, el momento respecto al punto O de la fuerza que hace oscilar el péndulo en función del ángulo que forma el hilo con la vertical. ¿En qué posición del péndulo el momento es nulo?

O

4

3. MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA

Cantidad de movimiento ... que determina la interacción de una partícula con otras. Si no hay interacción, si está aislada, la cantidad de movimiento de conserva. Momento angular es el momento de la cantidad de movimiento. Unidades

   L r p  L r p sen

- Es un vector axial. Es un producto vectorial. - Depende del punto respecto del cual se toman momentos - Si r es ┴ a p el momento angular es máximo - Si r es ║ a p el momento angular es cero (mov. rectilíneo)

L r

p 5

MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA Momento angular de un partícula en movimiento circular

L0

mrv sen 90

mrv

mr 2

L0

I

mr 2 es el Momento de inercia

donde I

Momento angular de un sólido que tiene un movimiento de rotación en torno a un eje

L

m1r12

donde I

m2 r22

...

m1r12

m2 r22 ...

I

mi ri 2 es el momento de iniercia del sólido rígido

Momento de inercia de una esfera y de distintos cuerpos geométricos

Lesfera

2 MR 2 5

Lcilindro

1 MR 2 2

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Ej-2.: Una partícula de 250 g de masa, se mueve en el plano XY con una velocidad de 4,0 m/s a lo largo de una recta de ecuación 2x-y+2=0. Si el móvil se encuentra en el punto (0,2). Calcula el módulo, dirección y sentido del momento angular de la partícula.

a) Respecto del origen de coordenadas. b) Respecto del punto O’ de la recta. 1,8 kg·m2·s y 0

Ej-3.: Un automóvil de 1500 kg se mueve en una pista circular de 50 m de radio con una velocidad de 40 m/s. Calcula el momento angular del automóvil respecto del centro de la pista. 3·106 kg·m2·s 7

MOMENTO ANGULAR TERRESTRE La Tierra posee dos momentos angulares: - Momento angular orbital: respecto del Sol

L0

r M v0

M r2

0

I

0

Ej-4.: Calcula el momento angular orbital de la Tierra alrededor del Sol. 2,7·1040 kg·m2·s - Momento angular intrínseco: debido al movimiento de rotación sobre su eje

L0

I

2 M R2 5

Ej-5.: Calcula el momento angular intrínseco de rotación de la Tierra. 7,1·1033 kg·m2·s Los electrones también tiene dos momentos angulares: orbital (l) y de espín (s) 8

4. RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO ANGULAR Y EL MOMENTO DE TORSIÓN

A partir de la definición de momento angular y derivando respecto al tiempo ...

 L

  r p derivando respecto del tiempo    d L d    d p d r  r p r p dt dt dt dt       dL  dp d dv r (m v) m ma F dt dt dt dt   d r  dL p 0 son vectores paralelos y dt dt

 F

 M

 M 9

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR Si no actúa ningún momento de torsión sobre una partícula, el momento angular de la partícula permanece constante.

 Si M

0

 dL dt

0

 L cte

Esto ocurre: - Cuando F=0 - Cuando r=0 - Cuando F y r son paralelos. (Fuerzas centrales)

Todo cuerpo sometido a fuerzas centrales conserva el momento angular

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ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN A partir de la relación entre el momento angular y el momento de una fuerza

 M

 dL dt





d (I ) d I dt dt   M I

 I

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PARALELISMO ENTRE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN

MAGNITUD

TRASLACIÓN

Masa

Velocidad Aceleración

 p

Momento

E. Cinética

RELACIÓN

s

Espacio

Ec fundamental

ROTACIÓN

 F

Ec

M v a  dp dt

s

I

k M R2

I v

 mv  ma

1 M v2 2

 L  M

EcR

  dL dt

I

1 I 2

R

a

R

R

   L r p

 I 2

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5. MOMENTO ANGULAR Y SEGUNDA LEY DE KEPLER Toda partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central conserva su momento angular. Por conservar la dirección: El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores r y v , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano Por conservar el sentido Si L conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas Por conservar el módulo: Representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores que constituyen el producto vectorial

dA

1  r dr 2

 L

  r mv

1  r vdt 2

1  r v dt y considerando que 2    dA 1 L m r v se deduce dt 2 m

 L

 r

dA 13

 dr

La ley de las áreas es aplicable a cualquier fuerza central aunque no fuera proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. Esta ley justifica el hecho de que un planeta que gira alrededor del Sol va más deprisa en el perihelio que en el afelio.

 Si L es constante rAvA

  rA mvA

  rP mvP

rP vP

Como la velocidad no es perpendicular en todo momento al vector de posición, se puede concluir que esta fuerza tiene una componente tangencial que modifica el módulo de la velocidad. Del afelio al perihelio acelera y frena de nuevo hacia el afelio.

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Ej-6.: Un planeta imaginario se mueve en una órbita elíptica de mucha excentricidad alrededor del Sol. Cuando está en el perihelio el radio vector es 4·107 km y cuando está en el afelio es 15·107 km. Si la velocidad en el perihelio es 1000 km/h, calcula: a) La velocidad en el afelio.

2,7·102 m/s

b) La velocidad areolar del planeta.

2·1010 m2/s

c) La excentricidad de la órbita. (e=c/a=(ra-rp)/(ra+rp))

0,28

Ej-7.: El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. El perihelio del cometa está a 8,75·107 km y el afelio a 5,26·109 km del Sol. a) En cual de los dos puntos el cometa tiene mayor velocidad? ¿Y mayor aceleración? b) En qué punto tiene mayor energía potencial? ¿Y mayor energía mecánica? perihelio; perihelio; afelio; igual Ej-8.: Se lanza un satélite en una dirección paralela a la superficie terrestre a 800 m/s desde 500 km de altura. Determine la velocidad del satélite cuando alcance su máxima altura de 4500 km ¿Que excentricidad tiene la órbita que describe? 5064 m/s y 0,22 15