FUERZAS MAGNETOMOTRICES EN ARROLLAMIENTOS A ANILLOS Norberto A. Lemozy 1 INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se estudian las fuerzas magnetomotrices (fmm) producidas por arrollamientos distribuidos a anillos y su distribución en las máquinas de entrehierro constante. Respecto a la geometría de la máquina, hay dos formas constructivas básicas: las cilíndricas y las de polos salientes, las que pueden estar tanto en el estator como en el rotor, dando lugar a cuatro combinaciones posibles, como se muestra en la Tabla I, donde en la columna “Máquina” se colocó un ejemplo representativo, existiendo otras posibilidades de aplicación. Tabla I. Formas constructivas. Estator Rotor Máquina Cilíndrico Cilíndrico De inducción Cilíndrico De polos salientes Sincrónica De polos salientes Cilíndrico De corriente continua De polos salientes De polos salientes Motor por pasos En la mayoría de las formas cilíndricas se colocan arrollamientos distribuidos, recorridos por corriente alterna con la función de armadura, o inducido (lugar donde se inducen tensiones), ejemplo de esto, son las máquinas sincrónicas, las de colector, de CC y de CA, y las de inducción, aunque en éstas últimas no se habla de “inducido”, sino simplemente se dice estator y rotor. Si la corriente que recorre estos arrollamientos distribuidos es alterna (hay excepciones), el núcleo magnético debe ser laminado, para reducir las pérdidas por corrientes de Foucault. Cuando en los polos salientes hay arrollamientos, estos son concentrados, cumplen la función de excitación, es decir generan el campo magnético necesario para la conversión de energía, y generalmente están recorridos por corriente continua; por ejemplo los polos de excitación de una máquina de CC o sincrónica. Los arrollamientos distribuidos están formados por bobinas alojadas en ranuras (o canaletas) distribuidas sobre una superficie cilíndrica; en la gran mayoría de los casos todas las bobinas poseen el mismo número de espiras, todas las ranuras son iguales y se encuentran equiespaciadas. Si no se cumplen estas suposiciones se deben aplicar otros procedimientos de análisis, distintos de los generales que a continuación se verán. Se denominan arrollamientos a anillos o de fases a aquellos bobinados formados por circuitos eléctricos independientes e iguales, denominados fases, (el caso más común es el trifásico), con ejes magnéticos desfasados en el espacio un ángulo eléctrico igual a:

2π 360 radianes, ó grados m m

(1)

Donde m es el número de fases. Las expresiones anteriores tienen como excepción los arrollamientos bifásicos en los cuales las fases se encuentran a

π

2

radianes ó 90 grados eléctricos entre sí.

1

Conviene recordar que la relación entre los ángulos eléctricos y los geométricos es la siguiente:

θ e = θ = p ⋅θ g

(2)

Donde p es el número de pares de polos de la máquina. Como cada fase tiene un principio y un final, éstas son circuitos eléctricos abiertos. Cuando el arrollamiento se encuentra en el estator, los extremos de las fases se conectan a un tablero de bornes, mientras que si el arrollamiento se encuentra en el rotor de la máquina, la conexión a la bornera se hace por medio de anillos rozantes y escobillas. Por ese motivo es que también se los denomina arrollamientos a anillos. En los rotores de las máquinas eléctricas también se utilizan otro tipo de arrollamientos distribuidos, denominados a colector, que se conectan a través de un colector y escobillas; el comportamiento de estos arrollamientos se analizará en otra oportunidad. A continuación se analizará una máquina cilíndrica, de entrehierro constante, como podría ser un motor de inducción o una máquina sincrónica de rotor cilíndrico. En todos los casos, el entrehierro g (gap, en inglés) que se utiliza es el denominado entrehierro equivalente, es decir un entrehierro que presenta la misma reluctancia que el entrehierro real más las ranuras del estator y del rotor:

g = Ce C r ⋅ g ′

(3)

Donde Ce y Cr son los “factores de Carter” del estator y del rotor respectivamente y g´ es en entrehierro geométrico. Los factores de Carter son números iguales o mayores a la unidad que se calculan en base a las dimensiones de los dientes y de las ranuras. Si en el estator o en el rotor, no hay ranuras, o éstas son totalmente cerradas, el correspondiente factor de Carter es igual a uno. En todos los casos el entrehierro equivalente es mayor o a lo sumo igual al entrehierro geométrico. En la figura 1 se muestra un sector de estator con ranuras abiertas, un sector de rotor con ranuras semicerradas y su equivalente, de igual reluctancia, pero sin ranuras.

g´

g

Fig. 1. Entrehierro equivalente.

2

2 TIPOS DE FUERZAS MAGNETOMOTRICES Según sea el tipo de corriente que circula por el arrollamiento es el tipo de fmm que se desarrolla: Tabla II. Tipos de fmm. CORRIENTE Continua Alterna monofásica Alterna polifásica

FMM Constante Alterna Giratoria

Las fmm constantes tienen amplitud constante y están fijas respecto a los arrollamientos que las producen. Las fmm alternas tienen amplitud variable y están fijas respecto a los arrollamientos que las producen. Las fmm giratorias tienen amplitud constante y se desplazan respecto a los arrollamientos que las producen. A medida que se analicen las distintas fmm, se irán aclarando los enunciados anteriores.

3

3 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ CONSTANTE Si bien no es lo más común en la práctica, para simplificar este primer análisis, se supone que la corriente que recorre el arrollamiento distribuido es continua, de esta manera no hay variaciones temporales de la fmm desarrollada y, como ya se dijo, se está en presencia de una fmm constante. En el presente trabajo se representan mayormente máquinas de dos polos, porque de esa manera los dibujos resultan más sencillos y los grados eléctricos y geométricos coinciden. Esto no es ninguna restricción, en efecto si se piensa que todos los ángulos, en todas las expresiones, son ángulos eléctricos, las mismas serán aplicables a máquinas de cualquier polaridad. Si por algún motivo especial se debe trabajar con ángulos geométricos, se lo dejará expresamente indicado utilizando un subíndice g . 3.1 Una bobina diametral El primer caso que se estudiará es la fmm producida por una bobina diametral, colocada en el estator de una máquina, de dos polos y recorrida por una corriente continua I . Se dice que una bobina es diametral cuando el paso de la misma Y1 es igual al paso polar de la máquina τ p . Y1 = τ p

Bobina diametral:

(4)

En la figura 2 se muestra esquemáticamente una espira diametral.

I

Fig. 2. Espira diametral. En la figura 3 se muestra un corte, transversal al eje, de la máquina de la figura 2 en el que se indica una bobina diametral, con Nb espiras, recorridas por la corriente continua Ib , y aproximadamente, el campo magnético que se produciría.

4

θ S N Nb Ib S N Fig. 3. Una bobina diametral. Para representar más fácilmente la distribución de la fmm en el entrehierro de la máquina, conviene representarla desarrollada para lo cual se la corta en θ = 0 , resultando como se indica en la figura 4. N bI b

N bI b

Estator

g

Rotor Y1 = τ p

Fig. 4. Máquina desarrollada. Haciendo una circulación a lo largo de una línea de fuerza se tiene que:

∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ ds

(5)

s

Suponiendo que la permeabilidad del hierro es infinita, el campo en el mismo resulta nulo: Si:

µ Fe = ∞ ⇒ H Fe = 0

(6)

Al existir campo no nulo solamente en el entrehierro, entonces la integral de la izquierda de la ecuación (5) se reduce a 2⋅Hg⋅g y la de la derecha es la fmm encerrada por el camino recorrido, es decir Nb⋅Ib , resultando: 2 ⋅ H g ⋅ g = Nb ⋅ Ib

(7)

Como el entrehierro es constante, la fmm que desarrolla la bobina queda simétricamente repartida a ambos lados de la misma, resultando una distribución como la indicada en la figura 5. En la figura 5, para simplificar, se supuso que toda la corriente está concentrada en un punto en el centro de la ranura, lo que produce un escalón de fmm perfectamente vertical. En la realidad, el lado de la bobina tiene un espesor finito, lo que daría lugar a un escalón de la misma altura Nb⋅Ib pero con una cierta pendiente, como se muestra en la figura 6.

5

N b Ib

N b Ib

Estator

g

Rotor F

Y1 = τ p

N b Ib 2 Fmáx

N b Ib π

0

2π

θ

N b Ib 2

Fig. 5. Distribución de fmm para una bobina diametral. En este caso los armónicos de alto orden de la onda de fmm resultante tendrían menor amplitud, lo que es una situación ventajosa. Resumiendo: adoptar flancos verticales simplifica el estudio y da resultados ligeramente más pesimistas que en la realidad. N bI b

F N bI b 0

θ

Fig. 6. Bobinas con espesor finito. En la mayoría de las aplicaciones se busca que la distribución de fmm en el entrehierro de la máquina sea lo más sinusoidal posible. La mejor forma de comparar dos formas de onda para ver cuál es la más sinusoidal es hacer un análisis de Fourier de las mismas y comparar la amplitud de sus componentes armónicos, aquella que tiene armónicos más pequeños es la más sinusoidal. Más adelante se verá cuales son los armónicos más perjudiciales para el funcionamiento de la máquina. El desarrollo en serie de Fourier de la onda de fmm de la figura 5 da como resultado:

F=

4

1 1 Fmáx (cosθ − cos 3θ + cos 5θ − ⋅ ⋅ ⋅⋅) 3 π 5

(8)

Donde Fmáx es la amplitud de la onda y θ es el ángulo eléctrico medido a partir del eje magnético de la bobina, como se muestra en la figura 3. Al tomar el origen de coordenadas en coincidencia con el eje magnético de la bobina, la onda de fmm resulta una función par y por tal motivo el desarrollo (8) contiene solamente 6

componentes coseno, que son funciones pares. Por otra parte la fmm de la figura 5 posee simetría de media onda, o sea que se cumple:

T f (t ) = − f (t ± ) 2

(9)

y las funciones con simetría de media onda solamente poseen solamente armónicos impares. El término enésimo de la ecuación (8) se puede escribir como:

Fν =

4

π

Fmáx

1

ν

⋅ cosν ⋅ θ

(10)

donde la ene minúscula griega ν (nu) indica el orden del armónico. Como se dijo más arriba, en general se busca obtener ondas sinusoidales de fmm y la de la figura 5 dista mucho de serlo, posee un alto contenido armónico y, en particular, grandes componentes de quinta y séptima armónica que son de las más perjudiciales. Para aproximar esa onda cuadrada a una onda sinusoidal se recurre a crear escalones en los flancos de la misma, para lo cual hay dos posibilidades: acortar las bobinas o distribuirlas. 3.2 Bobinas acortadas Una bobina acortada es aquella que tiene un paso Y1 menor que el paso polar de la máquina τp . Y1 < τ p

Es decir:

(11)

Si en una máquina se colocara una sola bobina acortada, resultaría un campo con semiciclos asimétricos, que generarían armónicos pares, lo que es totalmente indeseable. Por tal motivo, en el ejemplo siguiente, se colocaron dos bobinas iguales y acortadas que, al estar simétricamente dispuestas, producen una onda de fmm con simetría de media onda, sin armónicos pares, figura 7.

θ

Nb Ib

Nb Ib

S

N

Fig. 7. Dos bobinas acortadas. Para obtener la distribución de fmm se puede seguir un procedimiento como el empleado con la bobina diametral de la figura 5, o aplicar superposición y sumar las ondas que producen cada una de las bobinas; pero cuando los arrollamientos son más complejos conviene proceder mecánicamente. Esto se puede hacer observando la figura 5 en la que: a) Los escalones se producen en correspondencia con el eje de las ranuras donde hay corriente. b) La altura de cada escalón es igual a la fmm que se desarrolla en la respectiva ranura. 7

c) Recorriendo el gráfico de izquierda a derecha, y de acuerdo a las convenciones adoptadas, cuando en la ranura la corriente es entrante ⊗ el escalón es hacia abajo, y hacia arriba en el caso contrario. d) Al completar el gráfico se debe terminar a la misma altura a la que se empezó. e) El eje de abscisas conviene trazarlo al completar el gráfico y de forma tal que las áreas, positivas y negativas, encerradas por ese eje y la curva en todo el desarrollo de la máquina, sean iguales, (valor medio nulo), esto garantiza que todo el flujo que sale por los polos norte sea igual al que entra por los polos sur (divergencia nula). f) En los arrollamientos que se analizarán en el presente curso (arrollamientos de q entero) los semiciclos positivos y negativos de las ondas de fmm son iguales y tienen simetría de media onda. Los puntos d) y f) también sirven para verificar que el arrollamiento en estudio está bien dibujado. Siguiendo el procedimiento anterior, la distribución de la fmm en este caso resulta como se indica en la figura 8 en la que se puede ver como se generaron dos escalones iguales en cada flanco de la onda de fmm, esto reduce el contenido armónico de la misma, haciéndola más sinusoidal. Estator

g

Rotor Y1 < τ p F

τp

Fmáx

N bI b π

0

2π

θ

N bI b

Fig. 8. Distribución de fmm para dos bobinas acortadas. Realizar el análisis de Fourier de la onda escalonada de la figura 8 resulta bastante laborioso y no es conveniente hacerlo en este momento; más adelante se usará un procedimiento alternativo, que conduce a los mismos resultados y en una forma mucho más simple. En este caso, el resultado del análisis de Fourier es el siguiente:

F=

Donde:

4

1 1 Fmáx (k p1 ⋅ cosθ + ⋅ k p 3 ⋅ cos 3θ + ⋅ k p 5 ⋅ cos 5θ + ⋅ ⋅ ⋅⋅) π 3 5 k pν = sinν c

π 2

(12)

(13)

Se denomina factor de paso del armónico ν y, cuando las bobinas están acortadas, es menor que la unidad. El coeficiente c vale: 8

c=

Y1

τp

(14)

y es el paso relativo, también menor que la unidad para las bobinas acortadas. Si las bobinas son diametrales, tanto c y kpν resultan iguales a la unidad. El signo de cada uno de los términos de la ecuación (12) quedan dados por el factor de paso, pero esto no tiene importancia porque lo que realmente interesa es la amplitud de cada uno de los armónicos. En este caso, el término enésimo de la ecuación 12 se puede escribir como:

Fν =

4

π

Fmáx

1

ν

⋅ k pν ⋅ cos ν ⋅ θ

(15)

A modo de ejemplo y para mostrar el efecto del acortamiento a continuación se calculan los 4 factores de paso para un arrollamiento en el que c = , tabla III: 5 Tabla III. Factores de paso para c = 4/5.

ν 1 3 5 7

kpν [%] kpν 0,9511 95,11 -0,5878 -58,78 0 0 0,5878 58,78

Donde se puede ver que la fundamental se reduce solamente en un 5%, la tercera y la séptima armónicas en un 41%, aproximadamente y que la quinta armónica desaparece. Este ejemplo fue elegido ex profeso para mostrar como cuando el paso relativo es: ⎛ 1⎞ c = ⎜1 − ⎟ ⎝ ν⎠

(16)

se anula el armónico de orden ν El ejemplo anterior fundamentalmente tiene propósitos didácticos y no es una buena opción de acortamiento, ya que queda una gran componente de séptima armónica. Como se verá más adelante, en los arrollamientos trifásicos, los efectos de los armónicos múltiplos de tres, se cancelan; por lo tanto no es muy importante tratar de reducirlos de esta forma. Como ya se dijo la otra forma de producir escalones en los flancos de la onda de fmm, es distribuyendo las bobinas. 3.3 Grupos de bobinas diametrales A fin de que no aparezcan los efectos del acortamiento se estudiará el caso de disponer de tres bobinas iguales y diametrales, espaciadas un ángulo eléctrico α entre sí, figura 9. El ejemplo de la figura 9 corresponde a un grupo de tres bobinas, cantidad que, como es frecuente en la terminología de los arrollamientos distribuidos, se indica con q .

9

θ

S NbI b

α

NbI b

α

NbI b N

Fig. 9. Tres bobinas diametrales distribuidas. Aplicando el procedimiento descripto en el párrafo 3.2, la distribución de la fmm en el entrehierro de la máquina, resulta como se ve en la figura 10. Estator

g

Rotor Y1 = τ p

F

N b Ib

Fmáx

N b Ib

π

0

2π

θ

N b Ib

Fig. 10. Distribución de fmm para tres bobinas diametrales. En este caso se produjeron tres escalones en los flancos de la onda de fmm y, de igual forma que en el caso anterior, esto reduce el contenido armónico de la misma, haciéndola más sinusoidal. Al hacer el análisis de Fourier resulta:

F=

4

1 1 Fmáx (k d 1 ⋅ cosθ + ⋅ k d 3 ⋅ cos 3θ + ⋅ k d 5 ⋅ cos 5θ + ⋅ ⋅ ⋅⋅) 3 π 5

(17)

Igual que en el caso anterior, el signo de cada uno de los términos de la ecuación (17) quedan dados por el factor de distribución:

k dν =

sin qν q sinν

10

α 2

α

2

(18)

Cuando las bobinas están distribuidas q > 1 , el factor de distribución es menor que la unidad. Es muy importante no olvidar que el ángulo α debe expresarse en grados eléctricos, como están definidos por la relación (2). En este caso, el término enésimo de la ecuación (17) se puede escribir como:

Fν =

4

π

Fmáx

1

ν

⋅ k dν ⋅ cos ν ⋅ θ

(19)

A modo de ejemplo y para mostrar el efecto de la distribución, a continuación, se calculan los factores de distribución para un arrollamiento en el que q = 3 , y α = 20° grados eléctricos, tabla IV: Tabla IV. Factores de distribución para q = 3 y α = 20°.

ν

kdν [%] kdν 1 0,9598 95,98 3 0,6667 66,67 5 0,2176 21,76 7 -0,1774 -17,74

Comparando estos resultados con los consignados en la tabla III se puede observar una mejor reducción de los armónicos quinto y séptimo. 3.4 Capas de corrientes En algunos casos, como en los arrollamientos a colector, la distribución del arrollamiento es muy grande y se puede suponer que hay una corriente uniformemente distribuida en el entrehierro, formando una capa de corriente con densidad uniforme, figura 11. θ

S γ

N

Fig. 11. Capa de corriente. Esta situación es un caso límite de distribución donde la cantidad de elementos de corriente y de escalones que se forman en los flancos de la onda de fmm, tienden a infinito y el ángulo entre los mismos tiende a cero: q→∞ (20) α →0

siendo el producto de ambos el ángulo γ de la figura 11:

lím q ⋅ α = γ q→∞ α →0 11

(21)

En este caso los flancos de la onda de fmm se vuelven escaleras de infinitos escalones es decir rectas, como se muestra en la figura 12. Estator

g

Rotor γ

F

γ

Fmáx π 2π

0

θ

Fig. 12. Distribución de fmm para una capa uniforme de corriente. El desarrollo en serie de Fourier de esta onda da las mismas expresiones (17) y (19) ya vistas, y el factor de distribución se puede obtener pasando al límite la expresión (18): sin qν lím q sinν q→∞ α →0

α 2 = lím

α

sin qν q ⋅ν

2

α 2

α

2

(22)

Resultando: k dν =

sinν

ν

γ

γ 2

(23)

2

Dado que en el denominador de la ecuación (23) queda un ángulo, éste debe estar expresado en radianes. También resulta conveniente recordar que tanto este ángulo, como todos los de las otras ecuaciones, son ángulos eléctricos, definidos por la relación (2). Si se toma un caso equivalente al del ejemplo anterior, pero suponiendo una capa uniforme de corriente, resulta un ángulo γ de:

γ = q ⋅ α = 3 ⋅ 20° = 60° =

π 3

(24)

Los resultados de aplicar la expresión (23) se dan en la tabla V y, como se puede ver, son muy parecidos a los de la distribución escalonada de la tabla IV. Tabla V. Factores de distribución para una capa de corriente.

ν 1 3 5 7

kdν [%] kdν 0,9549 95,49 0,6366 63,66 0,1910 19,10 -0,1364 -13,64

12

3.5 Fmm máxima

En todas las expresiones de fmm vistas, aparece el valor máximo de la misma Fmáx que resulta del gráfico de la distribución en el entrehierro. Como hacer el gráfico para obtener este valor es un tanto incómodo, el mismo se puede obtener de los datos del bobinado en sí. En efecto este valor máximo es igual a la suma de las fmm que producen todos los conductores de la fase que se encuentran en medio paso polar, por ejemplo, figura 13.

F

Fmáx θ

τp /2 τp

Fig. 13. Fmm máxima. Llamando: Z: m: 2a: p: 2p: Ns: I:

Número total de conductores del bobinado. Número de fases. Número de ramas en paralelo de la fase. Número de pares de polos. Número de polos. Número de espiras en serie por fase. Corriente de fase.

El número de conductores por fase, es:

Z m

(25)

La cantidad de conductores, por fase, que hay en un semipolo es:

Z 1 1 ⋅ ⋅ m 2 2p

(26)

Como cada fase puede tener circuitos en paralelo, figura 14:

I / 2a I U

X

2a ramas

NS Fig. 14. Ramas en paralelo en una fase. La corriente en cada rama resulta: 13

Ib =

I 2a

(27)

Entonces la fmm máxima resulta: Fmáx =

1 Z Z 1 1 I ⋅ ⋅ ⋅ = I m 2 2 p 2a 8 map

(28)

Teniendo en cuenta que cada espira tiene dos conductores, el número de espiras por fase resulta: Z (29) 2m Definiendo el número de espiras en serie de la fase como el número de espiras en serie que tiene cada rama de la misma, queda:

Ns =

Z 1 2m 2a

(30)

Reemplazando este valor en la expresión (28) queda: Fmáx =

Ns I 2p

(31)

Expresión general muy usada, que se puede reemplazar en todas la ecuaciones de fmm ya vistas. 3.6 Caso general de una fmm constante

Muchos de los arrollamientos a anillos empleados en las máquinas de corriente alterna poseen acortamiento y están distribuidos, en estos casos se combinan ambos efectos y se acostumbra a definir el denominado factor del arrollamiento o del devanado kw donde la w proviene de arrollamiento en inglés winding: k w ν = k pν ⋅ k dν

(32)

Teniendo en cuenta todo lo dicho, la fuerza magnetomotriz, correspondiente a la armónica de orden ν que desarrolla una fase, recorrida por una corriente continua I , se puede escribir como: Fν =

4 N s ⋅ k wν 1 ⋅ ⋅ I ⋅ cos ν ⋅ θ π 2p ν

(33)

Frecuentemente al producto N s ⋅ k wν se lo denomina número de espiras efectivo Ne : N eν = N s ⋅ k wν = N s ⋅ k pν ⋅ k dν

(34)

Ya que debido al acortamiento y a la distribución, la fase se comporta como si tuviera menor cantidad de espiras, pero concentradas. Como en la mayoría de los casos solamente interesa conocer la amplitud de cada una de las componentes armónicas, se toma el máximo de la ecuación (33) y se lo indica con un ∧ :

4 N s ⋅ k wν 1 Fˆν = ⋅I ⋅ π 2p ν (35) 14

3.7 Arrollamientos concéntricos

En todos los casos estudiados se supuso que las ranuras son equidistante y que todas las bobinas producen la misma fmm es decir tienen la misma cantidad de espiras y están recorridas por la misma corriente. Esto se cumple en la mayoría de los casos, pero hay algunas excepciones, por ejemplo los arrollamientos concéntricos, como el que se muestra en la figura 15. Estator

g

Rotor F

Y1 > τ p Y1 = τ p Y1 < τ p

N b Ib

N b Ib

Fmáx

0

π

2π

θ

N b Ib

Fig. 15. Arrollamiento concéntrico. En este ejemplo las bobinas tienen distinto paso Y1 y no se podía aplicar la expresión (13) del factor de paso. Pero, teniendo en cuenta que la distribución de fmm en el entrehierro depende exclusivamente de la distribución de las corrientes en el mismo, y no de la forma en que se interconecten los lados de las bobinas, se puede suponer un arrollamiento equivalente con los lados de las bobinas en las mismas ranuras, que producirá la misma onda de fmm, pero con todas las bobinas del mismo paso, como el de las figuras 9 y 10. Como las formas de onda de fmm que producen estos arrollamientos son iguales, tendrán el mismo contenido armónico. O sea que el factor de devanado del arrollamiento equivalente de la figura 10 es directamente aplicable al arrollamiento de la figura 15. Algunos pocos arrollamientos no cumplen con las premisas anteriores y el análisis de las ondas de fmm se debe realizar por otro camino; por ejemplo: algunos grandes turboalternadores tienen rotores cilíndricos con ranuras que no están equiespaciadas o sus bobinas tienen distinta cantidad de espiras, también los arrollamientos denominados “de q fraccionario” tienen grupos con distinta cantidad de bobinas y no se puede aplicar la expresión (18).

15

4 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ ALTERNA

Si por un arrollamiento a anillos circula una corriente alterna monofásica, se desarrolla una fmm cuyo valor depende del valor instantáneo de la corriente y se la denomina alterna. Si en la expresión (33) se reemplaza la corriente continua por una alterna monofásica de valor: i = 2 I sin ω t

(36)

donde I es el valor eficaz de la corriente alterna, resulta:

Fν =

2 N s ⋅ k wν 1 ⋅ ⋅ I ⋅ sin ω t ⋅ cos ν ⋅ θ π 2 p ν 4

(37)

y el coeficiente numérico vale: 4

π

2 = 0,9 2

⋅

(38)

La ecuación (37), de dos variables t y θ , corresponde a una onda estacionaria en el entrehierro de la máquina. Para una máquina bipolar y considerando solamente la componente fundamental, esta fmm se la puede representar en función del ángulo y tomando al tiempo como parámetro, figura 16.

F senω t = 1 senω t = -0,5 senω t = 0,5

senω t = 0 π

0

2π

θ

Fig. 16. Fmm alterna. En la figura 16 se puede ver que tanto los máximos como los nodos de la onda se producen siempre en la misma posición del entrehierro, razón por la cual se dice que la onda es estacionaria. Muchas veces solamente interesa el valor máximo absoluto, es decir el valor máximo en el tiempo y en el espacio, que se suele indicar con un doble ∧ :

2 N s ⋅ k wν 1 ⋅ ⋅I p π 2 ν

4 ˆ Fˆν =

(39)

Más adelante se verá que una fmm alterna se puede suponer como la suma de dos fmm giratorias.

16

5 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ GIRATORIA 5.1 Introducción

El 18 de marzo de 1888, el físico Italiano Galileo Ferraris (1847-1897), presentó una nota a la Academia de Ciencias de Turín, Italia, denominada “Rottazioni Elettrodinamiche Prodote per Mezzo di Corrente Alternate” donde hacía consideraciones teóricas sobre cómo obtener un campo magnético giratorio por medio de corrientes bifásicas, explicaba distintas formas de obtener dichas corrientes, describía dos aparatos que mandó a construir, los resultados de las experiencias que realizó y lo que las mismas le sugerían acerca de la nueva forma de convertir energía eléctrica en mecánica. Pero, lamentablemente, no le dio a su desarrollo la trascendencia que tenía. Como los aparatos electromecánicos por él construidos tenían pequeño rendimiento, pensó que sus aplicaciones como motor no tendrían lugar en la industria. En la actualidad los motores basados en este principio son los más utilizados y los que presentan las mejores perspectivas de utilización para el futuro. 5.2 Análisis gráfico del campo giratorio

Ésta es una forma muy simple de mostrar como el campo magnético producido por la acción conjunta de tres bobinas, cuyos ejes magnéticos se encuentran a 120 grados, alimentadas por un sistema trifásico perfecto de corrientes, genera un campo magnético bipolar que rota en el espacio. En la figura 17 se han representado tres corrientes de un sistema trifásico perfecto, del que se tomarán los instantes t1 t2 y t3 separados en un doceavo de período.

i 1 0,866

iB

0,5 T/4 0

t

T/6

- 0,5

iA - 0,866 -1

iC t1 t2 t3 Fig.17. Sistema trifásico.

En las figuras 18, 19 y 20 se muestra un corte de una máquina trifásica elemental, de entrehierro constante, con tres bobinas iguales dispuestas a 120 grados entre sí. De estas bobinas se muestran solamente los bornes de entrada y se supone que están conectadas en estrella. En cada dibujo se muestran las corrientes correspondientes a los instantes t1 t2 y t3 del sistema trifásico. Se adoptó convencionalmente que una corriente positiva es entrante a la fase.

17

iA = 1

S

N

iB = -0,5

iC = -0,5

Fig. 18. Corrientes y campo en t1.

iA = 0,866

S

N iB = 0

iC = -0,866

Fig. 19. Corrientes y campo en t2.

iA = 0,5 ∆θ = 60°

S

N

iC = -1

Fig. 20. Corrientes y campo en t3. 18

iB = 0,5

Observando las figuras anteriores se puede apreciar como se genera un campo magnético bipolar y como al ir cambiando el valor de las corrientes en las bobinas, va cambiando la dirección de dicho campo magnético. No obstante lo sencillo del análisis se puede obtener la velocidad de rotación, denominada velocidad sincrónica o de campo, en radianes geométricos por segundo. En efecto el ángulo girado entre los instantes final e inicial es de 60° que corresponde a π/3 radianes: ∆θ g = 60° =

π

3 2T T ∆t = t 3 − t1 = = 34 6 ∆θ g π 3 2π Ωs = = = = 2πf = ω T ∆t T 6

(40)

Es decir en este caso en que el campo es bipolar, p = 1, su velocidad angular coincide con la pulsación de la corriente que lo produce. En el presente texto, y como es costumbre en máquinas eléctricas, se emplean tres tipos de velocidades angulares:

ω: Ω: n;

Velocidad angular eléctrica (o pulsación) en radianes eléctricos por segundo [1/s] Velocidad angular geométrica, en radianes geométricos por segundo [1/s]. Velocidad angular geométrica, en revoluciones por minuto [rpm].

Las relaciones entre las mismas son: Ω=

Ω=

ω p

2πn 60

(41) (42)

Si se modifica la disposición de las bobinas se pueden obtener campos magnéticos con mayor cantidad de polos, por ejemplo, si las bobinas abarcan la cuarta parte de la circunferencia del estator, figura 21, resultará un campo tetrapolar.

iA

Fig. 21. Una fase elemental de un arrollamiento tetrapolar.

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Para tener una idea aproximada del campo magnético resultante es suficiente hacer circular corriente por una sola fase, quedando como se muestra en la figura 22.

iA

S

N ∆θ = 90°

N

S

Fig. 22. Campo magnético de cuatro polos. Para hallar la velocidad de rotación del campo magnético se puede tomar un intervalo igual a un semiperíodo; en ese tiempo, y debido a la simetría de media onda, todas las corrientes del sistema trifásico tendrán el mismo valor instantáneo, pero con sentido opuesto. Entonces donde había un polo norte habrá un polo sur y viceversa y el ángulo geométrico girado será de 90°. Resultando: T 2 π ∆θ g = 90° = 2 ∆θ g π 2 2π 2πf ω = = = = Ωs = T 2T 2 2 ∆t 2

Sí : ∆t =

(43)

O sea que cuando p = 2 el campo giratorio rota con una velocidad angular igual a la mitad de la pulsación de la corriente que lo está produciendo. A partir de estos dos sencillos ejemplos es fácil deducir que, en general, se podrá escribir:

Ωs =

ω p

=

2π f p

[rad/s]

(44)

Donde: f: p:

Frecuencia de las corrientes. Número de pares de polos.

En definitiva, tanto esta expresión (44) como la (41) son consecuencia de la relación entre los ángulos eléctricos y geométricos dada por la ecuación (2). En el uso cotidiano es muy común emplear las velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto o rpm, cuya equivalencia es la dada por la ecuación (42), igualando ésta con la (44) resulta:

20

ns =

60 f p

[rpm]

(45)

Las velocidades sincrónicas más comunes, para 50 y 60 Hz, son las indicadas en la tabla V. Las máquinas denominadas sincrónicas giran exactamente a estas velocidades, mientras que las asincrónicas lo hacen a una velocidad ligeramente diferente, en general menor. Tabla V. Velocidades sincrónicas en rpm. p 1 2 3 4

f = 50 Hz 3.000 rpm 1.500 rpm 1.000 rpm 750 rpm

f = 60 Hz 3.600 rpm 1.800 rpm 1.200 rpm 900 rpm

5.3 Análisis cuantitativo del campo giratorio trifásico

A continuación se hace un análisis cuantitativo de una fuerza magnetomotriz giratoria producida por un sistema trifásico de corrientes. Cada fase produce una fuerza magnetomotriz alterna, las que se suman en el entrehierro de la máquina, dando lugar a la fuerza magnetomotriz resultante. En este análisis se suponen las tres fases iguales, con sus ejes magnéticos a 120º eléctricos entre sí y recorridas por un sistema trifásico perfecto de corrientes descripto por las ecuaciones (46). i A = 2 I ⋅ sin ω t i B = 2 I ⋅ sin (ω t − 120 ) (46) iC = 2 I ⋅ sin (ω t + 120 ) 5.3.1 Análisis para la fundamental

La componente fundamental de la fuerza magnetomotriz que genera una fase, está dada por la expresión (37), y tomando ν=1 :

ˆ F1 = Fˆ1 ⋅ sin ω t ⋅ cosθ

(47)

que corresponde a una onda estacionaria respecto de la fase que la produce y donde:

2 N s k w1 I (48) π 2 p es el valor máximo en el tiempo y en el espacio de dicha onda y el ángulo θ es el ángulo eléctrico medido desde el eje de la fase correspondiente, como se muestra esquemáticamente en la figura 23. ˆ 4 Fˆ1 =

Al considerar las tres fases se tendrán tres ángulos: θA θB θC pero como se muestra en la misma figura 23, las diferencias angulares con las fase A y B son de 120° y 240° respectivamente, lo que permite tomar como referencia el eje magnético de dicha fase A y utilizar un ángulo genérico θ medido a partir del eje de esa fase A.

21

iA

A

θA = θ

P

θC = θ − 240° C

iB B

iC

θB = θ − 120° Fig. 23. Esquema de una máquina trifásica. Teniendo en cuenta lo dicho, las fuerzas magnetomotrices, de fundamental, producidas por las tres fases se pueden expresar como: ˆ FA1 = Fˆ1 ⋅ sin ω t ⋅ cosθ ˆ FB1 = Fˆ1 ⋅ sin (ω t − 120) ⋅ cos(θ − 120) (49) ˆˆ F = F ⋅ sin (ω t + 120) ⋅ cos(θ − 240) C1

1

En un punto genérico, como el P de la figura 23, se tendrá la suma de las tres fuerzas magnetomotrices. Para poder realizar la suma hay que desarrollar las expresiones anteriores teniendo en cuenta que:

sin α ⋅ cos β =

1 2

[sin (α + β ) + sin(α − β )]

(50)

y queda: ˆ FA1 = 12 Fˆ1 [sin (ω t + θ ) + sin (ω t − θ )] ˆ FB1 = 12 Fˆ1 [sin (ω t + θ − 240) + sin (ω t − θ )] ˆ FC1 = 12 Fˆ1 [sin (ω t + θ − 120) + sin (ω t − θ )]

(51)

los tres primeros términos son tres funciones armónicas a 120º una de otra, por lo que sumadas dan cero y los tres restantes son iguales entre sí. Entonces la suma da: ˆ (52) F1 = FA1 + FB1 + FC1 = 32 Fˆ1 ⋅ sin (ω t − θ ) que es la ecuación de una onda de, amplitud constante, que se propaga en el sentido positivo de θ. Reemplazando el valor máximo por (48), resulta la ecuación siguiente:

F1 =

3 4 2 Ns I k w1 ⋅ sin (ω t − θ ) 2π 2 p

El factor numérico de la expresión (53) queda igual a:

22

(53)

34 2 = 1,35 2π 2

(54)

Como resulta de la expresión (52), el número 3 que aparece en ésta, y en las (53), (54) y en otras futuras, es consecuencia de estar analizando un caso trifásico, en general este factor será igual a m, el número de fases del arrollamiento. Si se representa la fuerza magnetomotriz resultante, dada por la ecuación (53), para dos instantes sucesivos, resulta la figura 24:

F t>0

t=0 A A'

θ

0

Fig. 24. Onda de campo resultante de fundamental. Para obtener la velocidad de propagación, que en este caso es una velocidad angular, se toma un punto de fase constante tal como el A A’ de la figura 24:

ω t − θ = cte

(55)

y haciendo la derivada respecto del tiempo:

ω− de donde:

ωs =

dθ =0 dt

dθ = ω = 2π f dt

(56)

(57)

Es decir que la velocidad angular del campo, también denominada velocidad sincrónica, coincide con la pulsación de las corrientes que lo están produciendo. Estas velocidades angulares están expresadas en radianes eléctricos por segundo y, como ya se dijo, si se desea expresarlas en radianes geométricos por segundo, hay que dividir por el número de pares de polos p de fundamental que desarrolla el bobinado. Para distinguirlas se utiliza la letra omega mayúscula Ω: Ωs =

ωs p

=

2π f p

(58)

Ecuación coincidente con la (44) obtenida anteriormente y a través de un análisis más fenomenológico. 5.3.2 Análisis para el tercer amónico

Las ondas de fuerza magnetomotriz que produce cada una de las fases de un arrollamiento, nunca son perfectamente sinusoidales, por lo tanto si se hace el análisis de Fourier de las mismas aparecerán armónicos espaciales en el entrehierro de la máquina. Estos armónicos de fmm son de amplitud bastante reducida y desarrollan un múltiplo de los polos que desarrolla la fundamental. 23

Como en la mayoría de los casos estas ondas de fmm poseen simetría de media onda, solamente poseen armónicos impares. Si se consideran los terceros armónicos de fmm que cada una de las fases produce, y que desarrollan el triple de polos que la fundamental y además que un ángulo θ equivale a un ángulo υ⋅θ para el armónico de orden υ :

θν = ν ⋅ θ

(59)

ˆ FA3 = Fˆ3 ⋅ sin ωt ⋅ cos 3θ ˆ FB 3 = Fˆ3 ⋅ sin (ωt − 120) ⋅ cos 3(θ − 120) ˆ FC 3 = Fˆ3 ⋅ sin (ωt + 120) ⋅ cos 3(θ − 240)

(60)

resulta:

donde:

2 N s I k w3 π 2 p 3

(61)

cos 3θ = cos 3(θ − 120) = cos 3(θ − 240) sin ωt + sin (ωt − 120) + sin (ωt + 120) = 0

(62)

4 ˆ Fˆ3 = y como:

la suma de las tres fuerzas magnetomotrices da cero. Es decir que los componentes de tercer armónico que cada fase produce, en los sistemas trifásicos, se cancelan entre sí y no dan lugar a ningún campo magnético resultante.

F3 = 0

(63)

5.3.3 Análisis para el quinto armónico

Si se consideran los quintos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de cada fase, que desarrollan cinco veces los polos de la fundamental resulta: ˆ FA5 = Fˆ5 ⋅ sin ωt ⋅ cos 5θ ˆ FB 5 = Fˆ5 ⋅ sin (ωt − 120) ⋅ cos 5(θ − 120) ˆ FC 5 = Fˆ5 ⋅ sin (ωt + 120) ⋅ cos 5(θ − 240)

(64)

ˆ donde Fˆ 5 es semejante a las anteriores. Para realizar la suma hay que desarrollar los productos sin α ⋅ cos β : ˆ FA5 = 12 Fˆ5 [sin (ωt + 5θ ) + sin (ωt − 5θ )] ˆ FB 5 = 12 Fˆ5 [sin (ωt + 5θ ) + sin (ωt − 5θ + 120)] ˆ FC 5 = 12 Fˆ5 [sin (ωt + 5θ ) + sin (ωt − 5θ − 120)]

(65)

y la suma resulta:

F5 =

3 4 2 N s I k w5 sin (ωt + 5θ ) 2π 2 p 5

y la velocidad de rotación: 24

(66)

ωt + 5θ = cte

(67)

ω +5

dθ =0 dt

(68)

ω s5 =

dθ ω 2πf =− =− dt 5 5

(69)

de donde:

Es decir que los quintos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de fase, desarrollan un campo con cinco veces los polos de la fundamental, que gira en sentido contrario, (inverso) y a un quinto de la velocidad del mismo. 5.3.4 Análisis para los armónicos pares

Si bien la mayoría de las veces las fases de las máquinas eléctricas producen ondas de fuerza magnetomotriz con simetría de media onda, las que no poseen armónicos pares; en algunos casos, como ser arrollamientos de q fraccionario, motores en los que se cambia la velocidad por modulación del número de polos (PAM: Pole Amplitude Modulation) o en presencia de algunas fallas del bobinado, se pueden producir ondas de fuerza magnetomotriz asimétricas, que poseen armónicos pares, los que pueden dar lugar a campos magnéticos giratorios. Por ejemplo en el caso que las fases produzcan segundos armónicos, resulta: ˆ FA 2 = Fˆ2 ⋅ sin ωt ⋅ cos 2θ ˆ FB 2 = Fˆ2 ⋅ sin (ωt − 120 ) ⋅ cos 2(θ − 120) (70) ˆˆ F = F ⋅ sin (ωt + 120) ⋅ cos 2(θ − 240) C2

2

ˆ donde Fˆ 2 es semejante a las anteriores. Desarrollando los productos sin α ⋅ cos β : ˆ FA 2 = 12 Fˆ2 [sin (ωt + 2θ ) + sin (ωt − 2θ )] ˆ FB 2 = 12 Fˆ2 [sin (ωt + 2θ ) + sin (ωt − 2θ + 120)] ˆ FC 2 = 12 Fˆ2 [sin (ωt + 2θ ) + sin (ωt − 2θ − 120)]

(71)

y la suma resulta:

F2 =

3 4 2 N s I k w2 sin (ωt + 2θ ) 2π 2 p 2

(72)

con una velocidad de rotación:

ωs2 =

dθ ω 2πf =− =− dt 2 2

(73)

Es decir que los segundos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de fase, desarrollan un campo que gira en sentido contrario al de la fundamental, (de igual manera que los quintos) y a la mitad de la velocidad del mismo. 5.3.5 Resumen de los campos armónicos trifásicos

Procediendo en forma análoga con los otros armónicos se llega a que las velocidades sincrónicas, en radianes eléctricos por segundo valen:

ω sν = ± 25

ω ν

(74)

Donde el signo más corresponde a los armónicos de giro directo, como el de la fundamental, el signo menos a los de giro inverso y, además, los de características homopolares se cancelan. En la Tabla VI se indican los sentidos de giro de cada una de las fmm armónicas. Como los más importantes son los de orden impar, a éstos se los ha indicado en negrita. Tabla VI: Giro de los campos armónicos trifásicos. Giro Directo Inverso Se cancelan

Armónica 4 ... 7 8 ... 5 6 ... 9

1 2 3

Si se desea expresar las velocidades sincrónicas armónicas en radianes geométricos por segundo, se puede usar la relación (58), resultando Ω sν =

ω sν p

=±

2π f pν

[rad/s]

(75)

y si se desea expresarla en revoluciones por minuto, se puede usar la relación (4): n sν =

60 Ω sν 60 f =± 2π pν

[rpm]

(76)

En las expresiones (75) y (76) p y f son, respectivamente, el número de pares de polos y la frecuencia correspondientes a la fundamental. De las ecuaciones anteriores resulta que la amplitud de cada componente es constante y se desplaza a velocidad constante respecto del arrollamiento, pero debido a las distintas velocidades y sentidos de desplazamiento el campo resultante cambia ligeramente de forma y de amplitud a medida que va rotando.

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6 TEOREMA DE LEBLANC

El teorema de Leblanc establece que “una fmm alterna se puede suponer como la suma de dos fmm giratorias, de amplitud igual a la mitad del máximo de la fmm alterna, que rotan a la velocidad sincrónica y en sentidos opuestos”. Esto se puede demostrar muy fácilmente tomando la componente fundamental de una fmm alterna como la dada por la expresión (47) y desarrollando el sinα⋅conβ con la (50):

ˆ F1 = Fˆ1 ⋅ sin ω t ⋅ cosθ

(77)

lo que da lugar a: F1 =

ˆ ˆ Fˆ1 Fˆ ⋅ sin (ω t + θ ) + 1 ⋅ sin (ω t − θ ) = F1− + F1+ 2 2

(78)

que son dos ecuaciones de onda, una progresiva y la otra regresiva, es decir que se desplazan en el entrehierro en sentidos opuestos y a velocidad sincrónica. Lo anterior se puede mostrar gráficamente suponiendo que las fmm son vectores en el espacio. En efecto, como la fundamental y cada una de las armónicas de fmm están sinusoidalmente distribuidas en el entrehierro, se las puede representar por vectores en la dirección y con el sentido de sus máximos y módulos igual a esos respectivos máximos. En la figura 25 se muestran, en sucesivos instantes, dos fmm representadas por los vectores F y F- que rotan en sentidos opuestos, a velocidad sincrónica ω y como la suma de ambos, es un vector F que tiene siempre la misma dirección y su módulo pulsa, es decir se trata de una fmm alterna. +

F F F+ ω

ω

F F ω

ω

F+ F

F=0 ω

F+ ω

F ω ω

F+

F Fig. 25. Teorema de Leblanc. Si se consideran las componentes armónicas de la fmm alterna, también se tendrán dos campos giratorios opuestos, rotando a velocidades submúltiplos y generando ν polos. Por ejemplo el quinto armónico de la fmm alterna dará lugar a: ˆ ˆ Fˆ Fˆ F5 = 5 ⋅ sin (ω t + 5θ ) + 5 ⋅ sin (ω t − 5θ ) = F5− + F5+ (79) 2 2 En este caso no hay campos rotantes que se cancelen, ya que tienen que dar lugar a todas las componentes armónicas que posee la fmm alterna. Como se verá más adelante el teorema de Leblanc es muy útil para interpretar fenomenológicamente lo que ocurre en presencia de campos magnéticos alternos.

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6 BIBLIOGRAFÍA

Manuel Cortés Cherta: “Curso Moderno de Máquinas Eléctricas Rotativas” Tomo I “La Máquina Eléctrica en General” Editores Técnicos Asociados S. A. 1970.

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