13 FUNCIONES DE CONJUNTO Y PROBABILIDAD ELEMENTAL

(*)

Citado algunas veces como James

Bernoulli.

571

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br

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Una disputa entre jugadores en 1654 llevó a dos famosos matemáticos franceses, Blaise Pascal y Pierre de Fermat, a la creación del Cálculo de probabilida des. Antaine Gombaud, caballero de Méré, noble francés interesado en cuestiones de juegos y apuestas, llamó la atención a Pascal respecto a una aparente contradicción en un popular juego de dados. El juego consistía en lanzar 24 veces un par de dados; y el problema en decidir si era lo mismo apostar la misma cantidad a favor o en contra de la aparición por lo menos de un «doble seis» en las 24 tiradas. Una regla del juego aparentemente bien establecida condujo a de Méré a creer que apostar por un doble seis en 24 tiradas era ventajoso, pero sus propios cálculos indicaban justamente lo contrario. Éste y otros problemas planteados por de Méré motivaron un intercambio de cartas entre Pascal y Fermat en las que por primera vez se formularon los principios fundamentales del Cálculo de probabilidades. Si bien unos pocos problemas sobre juegos de azar habían sido resueltos por matemáticos italianos en los siglos xv y XVI, no existía una teoría general antes de esa famosa correspondencia, El científico holandés Christian Huygens, maestro de Leibniz, enterado de esa correspondencia publicó rápidamente (en 1657) el primer libro de probabilidades; titulado De Ratiociniis in Ludo Aleae, fue un tratado de problemas relacionados con los juegos. El Cálculo de probabilidades llegó a ser pronto popular por sus alusiones a los juegos de azar, y se desarrolló rápidamente a lo largo del siglo XVIII. Quienes más contribuyeron a su desarrollo en ese período fueron [akob Bernoulli (*) (1654-1705) y Abraham de Moivre (1667-1754). En 1812, Pierre de Laplace (1749-1827) introdujo gran cantidad de ideas nuevas y técnicas matemáticas en su libro, Théorie analytique des probabilités. An-

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13.1 Introducción histórica

572

Funciones de conjunto

y

probabilidad elemental

13.2

Funciones de conjunto con aditividad finita

El área de una región, la longitud de una curva, o la masa de un sistema de partículas son números que miden la magnitud o contenido de un conjunto. Todas esas medidas tienen ciertas propiedades comunes. Establecidas en forma abstracta, conducen a un concepto general llamado [uncián de conjunto con aditividad finita. Más adelante introduciremos la probabilidad como otro ejemplo de una función de este tipo. Para preparar el camino, discutimos primero algunas propiedades comunes a todas esas funciones.

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tes de Laplace, el Cálculo de probabilidades prácticamente consistía en un análisis matemático de los juegos de azar. Laplace demostró que esa teoría podía ser aplicada a multitud de problemas científicos y prácticos. Ejemplos de tales aplicaciones son la teoría de errores, la matemática actuarial y la mecánica estadística que se desarrollaron en el siglo XIX. Al igual que ha ocurrido con otras muchas ramas de la Matemática, el desarrollo del Cálculo de probabilidades ha sido estimulado por la variedad de sus aplicaciones. Inversamente, cada avance en la teoría ha ampliado el campo de su influencia. La Estadística Matemática es una rama importante del Cálculo de probabilidades aplicado; otras aplicaciones las tenemos en campos tan distintos como la Genética, la Psicología, la Economía y la Ingeniería. Muchos autores han contribuido al desarrollo de la teoría desde el tiempo de Laplace; entre los más importantes están Chebyshev, Markov, von Mises y Kolmogorov. Una de las dificultades que se presentaron al desarrollar una teoría matemática de la teoría de la probabilidad ha sido alcanzar una definición de probabilidad lo bastante precisa para su utilización matemática, pero lo bastante amplia para que sea aplicable a un número de fenómenos lo mayor posible. La búsqueda de una definición completamente aceptable duró cerca de tres siglos y fue caracterizada por gran número de controversias. El asunto fue definitivamente resuelto en el siglo xx al tratar la teoría de la probabilidad en forma axiomática. En 1933 una monografía del matemático ruso A. Kolmogorov estableció una introducción axiomática que constituyó la base para la moderna teoría. (La traducción inglesa de la monografía de Kolmogorov se titula Foundations 01 Probability Theory, Chelsea, New York, 1950.) Desde entonces las ideas se han ido afinando algo más y hoy día la teoría de la probabilidad es parte de una disciplina más general que es la teoría de la medida. Este capítulo presenta las nociones fundamentales de la moderna teoría de la probabilidad elemental junto con sus conexiones con la teoría de la medida. También se dan algunas aplicaciones, especialmente a los juegos de azar tales como lanzamiento de monedas, dados y juegos de naipes. Esta exposición pretende poner de manifiesto la estructura lógica del tema como ciencia deductiva y suscitar en el lector el interés en el modo de pensar probabilístico.

Funciones

de conjunto

con aditividad

573

finita

Una función f: .';'/ ~ R cuyo dominio es una colección .s1 de conjuntos y cuyos valores son números reales, se llama función de conjunto. Si A es un conjunto de la colección d, el valor de la función en A se representa por feA). DEFINICIÓN

de conjunto

DE FUNCIÓN

DE CONJUNTO

CON ADITIVIDAD

f: d ~ R se dice que es de aditividad feA

(13.1)

= feA) + f(B)

U B)

siempre que A y B sean conjuntos también a d.

Una función

FINITA.

finita si

disjuntos

en d tales que

A

U

B pertenezca

w

w

w

.L i

br

os

DEFINICIÓN DE UN ÁLGEBRA BOOLEANA DE CONJUNTOS. Una clase no vacía d de subconjuntos de un conjunto universal 5 se llama álgebra booleana si para todo par A y B de conjuntos de d tenemos

Aquí A' = 5 - A, es el complemento Un álgebra rencias,

booleana

A'Ed.

y

.s1 también

de A respecto a 5. es cerrada

para las intersecciones

y dife-

ya que tenemos A nB

=

(A'

U

B')'

y

A - B

=

A n B'.

Esto implica que el conjunto vacío 0 pertenece a d ya que 0 = A - A para algún A de d. También el conjunto universal 5 pertenece a d puesto que

5 = 0'.

A partir de los subconjuntos de un conjunto universal dado S pueden construirse gran número de álgebras booleanas. La menor de esas álgebras es la clase 'S'/o 0, S}, que consta tan sólo de dos subconjuntos especiales: 0 y S. En el otro extremo está la clase v~l' que consta de todos los subconjuntos de S. Toda álgebra booleana d constituida con subconjuntos de S satisface las relaciones de

={

inclusión do

s:: d s:: dI'

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El área, la longitud y la masa son ejemplos de funciones de conjuntos con aditividad finita. En esta sección se discuten consecuencias de la ecuación (13.1). En las aplicaciones corrientes, los conjuntos de .id son subconjuntos de un conjunto dado 5, llamado conjunto universal. Es frecuente tener que efectuar las operaciones de reunión, intersección y complementación sobre los conjuntos de s/. Para asegurarse de que ,:;/ es cerrado respecto a esas operaciones imponemos a ,s/ que sea un álgebra booleana, que se define como sigue.

Funciones de conjunto y probabilidad elemental

574

La propiedad de la aditividad finita de funciones de conjunto de la ecuación ( 13.1) exige que A y B sean conjuntos disjuntos. De esta exigencia se desprende el teorema siguiente. TEOREMA 13.1. Si f:d -+ R es una función de conjunto con aditividad finita definida sobre un álgebra de Boole d de conjuntos, entonces para todo par de conjuntos A y B de d tenemos

feA

(13.2)

+ f(B

U B) =f(A)

- A),

y feA

U

+ f(B)

B) =f(A)

- feA

Los conjuntos A y B - A son disjuntos y su reunión es Luego, aplicando (13.1) a A y a B - A obtenemos (13.2). Para demostrar (13.3) observemos primero que A n B' y B son conjuntos disjuntos cuya reunión es A U B. Por tanto según (13.1) tenemos

son conjuntos

disjuntos

cuya reunión es A, con lo que

feA)

r.s'¡

=f(A

+ feA

n B).

w

w

(13.5) Restando

13.3

(13.5) de (13.4)

obtenemos

(13.3).

Medidas con aditividad finita

Las funciones de conjunto que representan áreas, longitudes y masas poseen propiedades comunes. Por ejemplo, son todas funciones de conjunto no negativas. Esto es, feA) ~ O para cada conjunto

A de la clase d que se considera.

DEFINICIÓN DE MEDIDA CON ADITIVIDAD FINITA. Una función de conjunto no negativa f: d -+ R que es con aditividad finita se dice que es una medida con aditividad finita, o simplemente una medida.

Aplicando el teorema dades de las medidas.

13.1 obtenemos

inmediatamente

las siguientes

propie-

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nB

os

y A

n B') + f(B).

br

n B'

.L i

Asimismo, A (13.1) nos da

U B) =f(A

pd

feA

f1

(13.4)

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U B.

w

A

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Demostración.

n B).

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(13.3)

575

Ejercicios

TEOREMA 13.2. Sea f: d ~ R una medida con aditividad finita definida sobre un álgebra booleana d. Para todos los conjuntos A y B de .91' tenemos

a) f(A U B) :::;;feA) + f(B). b) f(B - A) = f(B) - feA) e) feA) :::;;f(B) si A c:;: B. d)f(0)=O.

si A c:;: B. (Propiedad de monotonía)

Demostración. La parte a) se deduce de (13.3), y la parte b) de (13.2). La parte e) resulta de b), y d) se obtiene haciendo A =B = 0 en b),

=

k

+m =

+ 'V(B).

.L i

br

'V(A)

v

es una medida.

w

w

w

Esta función de conjunto es no negativa, con lo que

13.4

Ejercicios

1. Representemos por d la clase de todos los subconjuntos de un conjunto universal dado y sean A y B conjuntos cualesquiera de d .Demostrar que: a) A (l B' Y B son disjuntos. b) A u B = (A (l B') u B. (Esta fórmula expresa A u B como reunión de dos conjuntos disjuntos.) e) A (l B YA (l B' son disjuntos. d)(A (l B) u (A r, B') = A. (Esta fórmula expresa A como reunión de dos conjuntos disjuntos.) 2. El ejercicio 1 b) nos muestra la posibilidad de expresar la reunión de dos conjuntos como reunión de dos conjuntos disjuntos. Expresar de manera parecida la reunión de tres conjuntos Al U A2 U A3 y, más general, de n conjuntos Al U A2 U ... u An• Ilustrar con un diagrama el caso n = 3. 3. Al estudiar el conjunto S que consta de 1000 graduados universitarios diez años después de su graduación, se observó que los «triunfantes» formaban un subconjunto A de 400 miembros, los graduados por CaItech otro B de 300, y la intersección A (l IJ constaba de 200. a) Empleando la notación de la teoría de conjuntos y los conceptos de reunión e intersección de A,- B Y sus complementarios A' y B' respecto de S, expresar los subconjuntos de aquelIas personas de S que poseen las características siguientes: 1) Ni «triunfantes» ni graduados por Caltech. n) «Triunfantes» pero no graduados por CaItech.

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B)

pd

U

os

'V(A

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función es de aditividad finita en d. En efecto, si A tiene k elementos y B m elementos, I'(A) = k Y v(B} = m. Si A Y B son disjuntos es evidente que A U B es un subconjunto de S con k + m elementos, así que

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EJEMPLO. Número de elementos de un conjunto finito. Sea S = {al' a2, ••• , an} un conjunto que consta de n elementos distintos, y sea .91' la clase de todos los subconjuntos de S. Para cada A de .91', representemos por veA) el número de elementos distintos de A (ves la letra griega «ni»). Es fácil verificar que esta

Funciones de conjunto

576

probabilidad elemental

y

«Triunfantes» o graduados por Caltech o ambas cosas. «Triunfantes» o graduados por Caltech pero no ambas cosas. v) Pertenecen tan sólo a uno de los subconjuntos A o B. b) Determinar el número exacto de individuos de cada uno de los cinco subconjuntos anteriores. 4. Sea f una función de conjunto de aditividad finita definida en una clase de conjuntos d. Sean Al, ... , An n conjuntos de d tales que A¡ n A¡ = 0 si i ~ j. (Una tal colección In) IV)

se denomina

colección disjunta de conjuntos.)

Si la reunión

U

Ak pertenece

a

d

para

k~l

el método

de inducción

un conjunto

que

finito que consta de n elementos

w

w

w

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5. Sea Al = {ad, el subconjunto que consta del único elemento al. Demostrar que la clase @Jl = {0,Al,A~,S} es la más pequeña álgebra de Boole que contiene Al. 6. Sean Al = {a¡}, A2 = {a2}. En forma parecida a la utilizada en el ejercicio 5, describir la más pequeña álgebra de Boole f!lJ 2 que contenga Al y A2. 7. Hacer lo mismo que en el ejercicio 6 para los subconjuntos Al = {ad, A2 = {a2} y A3 = {a3}. 8. Si:JiJk representa la mínima álgebra de Boole que contiene los k subconjuntos Al = {ad, A2 = {az}, ... , Ak = {ad, demostrar que @Jk contiene 2k+l subconjuntos de S si k < n y 2n subconjuntos si k = n. 9. Sea f una función de conjunto con aditividad finita definida sobre el álgebra booleana de todos los subconjuntos de un conjunto universal dado S. Supongamos que feA para dos subconjuntos feA

particulares

(', B)

= f(A)f(B)

A y B de S. Si f(S) = 2, demostrar

u B) = feA')

+ f(B')

que

- f(A')f(B').

10. Si A y B son dos conjuntos, su diferencia simétrica A t::, B es el conjunto definido por A t::, B = (A - B) u (B - A). Demostrar cada una de las siguientes propiedades de la diferencia simétrica. a) A t::, B = B t::, A. b) A 1":,A = 0. e) A 1":, B f;; (A 1":, C) u (C 1":, B). d) A t::, B es disjunto con la intersección de A y B. e) (A t::, B) 1":, C = A t::, (B 1":, C). f) Si f es una función de conjunto con aditividad finita definida sobre el álgebra de Boole si de todos los subconjuntos de un conjunto dado S, entonces para todo par A y B de d tenemos feA Ú B)= f(A) + f(B) - 2f(A (', B).

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En los ejercicios 5, 6 Y 7, S representa distintos, sea S = {al, a2, ... ,an}.

para demostrar

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todo m :5 n, utilizar

Definición

de probabilidad

para espacios muestrales

finitos

577

13.5 Definición de probabilidad para espacios muestrales finitos En el lenguaje de las funciones de conjunto, la probabilidad es un tipo especial de medida (representada aquí por P) definida sobre una particular álgebra booleana .r?8 de conjuntos. Los elementos de ::'-8 son subconjuntos de un conjunto universal S. En la teoría de la probabilidad el conjunto universal S se llama espacio muestral. Primero comentaremos la definición de probabilidad para espacios muestrales finitos y luego lo haremos para los infinitos.

es

de de P. made

EJEMPLO. El juego de «cara o cruz» es una aplicación de la teoría de probabilidad. Como espacio muestral S tomamos el conjunto de todos los resultados posibles en el juego. Cada resultada es o «cara» o «cruz» que representamos con los símbolos h y t. Dicho espacio muestral es pues {h, t} es decir, el conjunto que consta de h y t. Como álgebra booleana consideramos la colección de todos los subconjuntos de S; éstos son cuatro, 0, S, H Y T, donde H {h} Y T {t}. Asignemos ahora probabilidades a cada uno de esos subconjuntos. Para 0 y S no tenemos opción a elegir valores de probabilidad. Por la propiedad b), peS) = 1, Y como P es no negativa, P( 0) O. En cambio, tenemos libertad en la asignación de la probabilidad a los otros dos subconjuntos, H y T. Ya que H y T son conjuntos disjuntos cuya reunión es S, la propiedad aditiva exige que

=

=

=

P(H)

+ P(T)

= Pi S¡ = l.

Como valores de P(H) y P(T) podemos tomar valores cualesquiera no negativos con tal de qlle su suma sea 1. Si tenemos en cuenta que la moneda es imparcial

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Dicho de otro modo, para los espacios muestrales finitos la probabilidad simplemente una medida que asigna el valor 1 al espacio completo. Importa darse cuenta de que para una descripción completa de la medida probabilidad deben precisarse tres ideas: el espacio muestral S, el álgebra Boole :31 constituida con ciertos subconjuntos de S, y la función de conjunto La terna (S, f18, P) se denomina frecuentemente espacio de probabilidad. En la yoría de las aplicaciones elementales el álgebra de Boole :J1 es la colección todos los subconjuntos de S.

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DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD PARA ESPACIOS MUESTRALES FINITOS. Sea::'-8 un álgebra de Boole cuyos elementos son subconjuntos de un conjunto finito dado S. Una función de conjunto P definida en f18 se llama medida de probabilidad si satisface las tres condiciones siguientes: a) P es de aditividad finita. b) P es no negativa. e) Pi.S) = 1.

578

Funciones

de conjunto

y probabilidad

de modo que no existe razón a priori asignar los valores P(H)

para

=

P(T)

preferir

elemental cara o cruz,

parece natural

=~-.

Si, en cambio, la moneda no es geométricamente perfecta, podremos asignar valores diferentes a esas dos probabilidades. Por ejemplo, los valores P(H) = A y P(T) = ~ son tan aceptables como P(H) = P(T) = ~.En efecto, para todo número real p en el intervalo O ~ P ~ 1 podemos definir P(H) p y P(T) = 1 - p, y la función resultante P satisfará todas las condiciones que se exigen a una medida de probabilidad. Para una moneda determinada, no existe un método matemático para precisar cuál es la probabilidad p «real». Si escogemos p = ~.podemos deducir consecuencias lógicas en la hipótesis de que la moneda es correcta y no presenta sesgo. La teoría desarrollada para el estudio de las probabilidades en monedas correctas, puede utilizarse como test comprobatorio de su carencia de sesgo, efectuando un gran número de experiencias con ella y comparando los resultados experimentales con las predicciones teóricas. El poner de acuerdo la teoría y la evidencia empírica pertenece a la rama de aplicación de la teoría de la probabilidad que se llama inferencia estadística, y que no expondremos en este libro.

zarse para representar todos los resultados posibles del experimento, como hicimos en el juego de cara y cruz. Cada elemento de S representará un resultado del experimento y cada resultado corresponderá a uno y sólo un elemento de S. A continuación, elegimos un álgebra de Boole .'!lJ de subconjuntos de S (casi siempre todos los subconjuntos de S) y entonces se define una medida de probabilidad P sobre 24. La elección de S,:?J, Y P dependerá de la información que se posea acerca de los detalles del experimento y del problema que nos vamos a plantear. El objeto del Cálculo de probabilidades no es discutir si el espacio de probabilidad (S, -11, P) ha sido elegido correctamente. Esto pertenece a la ciencia o juego del que el experimento ha surgido, y tan sólo la experiencia puede darnos idea de si 11'1 elección fue bien hecha o no lo fue. El Cálculo de probabilidades es el estudio de las conse-

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El ejemplo anterior es una típica aplicación del Cálculo de probabilidades. Las cuestiones probabilísticas se presentan a menudo en situaciones llamadas «experimentos». No intentaremos definir un experimento; en cambio, mencionaremos tan sólo algunos ejemplos corrientes: lanzar una o varias monedas, echar un par de dados, repartir una mano de bridge, sacar una bola de una urna, recuento de las muchachas estudiantes en el Instituto Tecnológico de California, selección de un número en una guía telefónica, registro de la radiación en un contador Geiger. Para discutir las cuestiones de probabilidad que surgen en tales experimentos, nuestro primer trabajo es la construcción de un espacio muestra S que pueda utili-

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br

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=

Terminología

propia del cálculo de probabilidades

579

cuencias lógicas que pueden deducirse una vez está dado el espacio de probabilidad. La elección de un buen espacio de probabilidad no es teoría de probabilidad - ni siquiera es matemática; es, en cambio, parte del arte de aplicar la teoría probabilística al mundo real. Si S = {a" a2, ••• , an}, y si .9J consta de todos los subconjuntos de S, la función de probabilidad P está completamente determinada si conocemos sus valores para los conjuntos de un solo elemento,

En efecto, todo subconjunto A de S es una reunión disjunta de los conjuntos anteriores, y peA) está determinada por la propiedad aditiva. Por ejemplo, cuando U

{a2}

U ...

U

{ak},

aditiva exige que k

i=l

Terminología propia del cálculo de probabilidades w

13.6

w

w

.L i

br

os

pd

f1

Para simplificar la notación y la terminología, escribimos Pea;) en lugar de P( {G¡}). Este número también se llama probabilidad del punto G¡. Por lo tanto, la asignación de la probabilidad puntual P(x) a cada elemento x de un conjunto finito S equivale a una descripción completa de la función de probabilidad P.

Cuando se habla de probabilidades, a menudo se oyen frases tales como «dos sucesos son igualmente probables», «un suceso es imposible», o «un suceso es cierto». Las expresiones de este tipo tienen sentido intuitivo y es agradable y útil saber emplear un lenguaje tan lleno de colorido en las discusiones matemáticas. Antes de hacerlo así, no obstante, es necesario exponer el significado de este lenguaje usando los conceptos fundamentales de nuestra teoría. Debido a que el método probabilístico se usa en cuestiones prácticas, es conveniente imaginarse que cada espacio de probabilidad (S, @, P) está asociado a un experimento real' o ideal. El conjunto universal S puede entonces concebirse como la colección de todos los resultados imaginables del experimento, como en el ejemplo de la moneda comentado en la sección precedente. Cada elemento de S se llama resultado o muestra y los subconjuntos de S que se presentan en el álgebra de Boole @ se denominan sucesos. Los motivos de esta terminología se pondrán en evidencia al tratar algunos ejemplos. Supongamos un espacio de probabilidad (S, @, P) asociado a un experimento. Sea A un suceso, y supongamos que el experimento se lleva a cabo y que su resultado es x. (En otras palabras, sea x un punto de S.) Este resultado puede o no

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L P( { a;} ) .

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P( A) =

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la propiedad

{al}

ot .c

=

A

Funciones

de conjunto

y probabilidad

elemental

TABLA 13.1

Proposiciones usadas en la Teoría de Probabilidades y su significado en la de conjuntos

Proposiciones

Significado

Por lo menos uno de los sucesos A o B ocurre Ambos sucesos A y B ocurren Ni A ni B ocurren A ocurre y B no Exactamente ocurre uno de los sucesos A o B No más de uno de los sucesos A o B ocurre Si A ocurre, también B (A implica Bl A Y B se excluyen mutuamente Suceso A o suceso B Suceso A y suceso B

en la teoría de conjuntos

xEA e e xEAnB x E A' n B' x EA n B' x E (A n B') u (A' n B)

x E (A n B)' AsB AnB=0 A uB A n B

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br

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pertenecer al conjunto A. Si pertenece, se dice que el suceso A ha ocurrido. En el caso contrario, el suceso A no ha ocurrido, en cuyo caso x E A', lo que equivale a decir que ha ocurrido el suceso complementario A'. Un suceso A es imposible si A = 0, porque en este caso ningún resultado del experimento puede pertenecer a A. El suceso A es cierto si A = S, porque entonces todo resultado de la prueba pertenece a A. La función de probabilidad P asigna a cada suceso A una probabilidad peA). [Del valor de peA) y del modo de asignarlo no nos ocuparemos por el momento.] El número peA) se llama la probabilidad de que un resultado de la prueba sea un elemento de A. También decimos que peA) es la probabilidad de que el suceso A ocurra al efectuar el experimento. Al suceso imposible 0 debe asignarse probabilidad cero porque P es una medida de aditividad finita. No obstante, existen sucesos con probabilidad cero y que no son imposibles. En otras palabras, algunos de los subconjuntos no vacíos de S pueden tener asignada probabilidad cero. Al suceso cierto S se asigna probabilidad 1 según la correcta definición de probabilidad, pero pueden existir otros subconjuntos que también tienen asignada probabilidad 1. En el ejemplo 1 de la sección 13.8 se citan conjuntos no vacíos con probabilidad cero y subconjuntos propios de S que tienen probabilidad 1. Dos sucesos A y B son igualmente probables si peA) = P(B). El suceso A es más probable que el B si peA) > P(B), y por lo menos tan probable como el B si peA) ~ P(B). La tabla 13.1 nos muestra una lista de locuciones del lenguaje habitual en las discusiones de la teoría de probabilidades. Las letras A y B representan sucesos, y x el resultado de un experimento asociado al espacio muestral S. Cada fila de la columna de la izquierda es una afirmación relativa a los sucesos A y B, Y en la misma fila en la columna de la derecha se expresa la misma afirmación en el lenguaje de la teoría-de conjuntos.

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580

Ejemplos

13.7

581

resueltos

Ejercicios

Sean S un espacio muestral dado y A, B, C sucesos cualesquiera (esto es, subconjuntos de S en la correspondiente álgebra de Boole ~). Cada una de las afirmaciones de los ejercicios del 1 al 12 se expresa con una proposición. Expresar dichas afirmaciones como reuniones e intersecciones de A, B Y C y de sus complementos. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Si ocurre A, no ocurre B. 7. Ninguno de los sucesos A, B, C ocurre. 8. Tan sólo ocurre A. 9. Por 10 menos uno de los A, B, C ocurre. 10. Uno exactamente de los A, B, C ocurre.I l. No ocurre más que uno. 12.

Por 10 menos dos de los A, B, C ocurren. Ocurren exactamente dos. Ocurren no más de dos. Ocurren A y C, pero no B. Ocurren los tres sucesos. Ocurren no más de tres.

pd

que

B) ~ P(A) ~ P(A

U

.L i

n

B) ~ P(A)

+ P(B).

w

w

P(A

br

os

14. Sean A y B dos sucesos. Demostrar

f1

.b lo gs p

e) A' n B', O A' u B.

w

15. A Y B representan dos sucesos y sean a = P(A), b = P(B), e = P(A n B).Calcular función de a, b, y e, las probabilidades de los sucesos siguientes: d) A' o s', e) A' u B, O A n B'.

a) A', b) B,

e) A u B, 16. Dados P(A u Bu

13.8

tres sucesos A, B, C. Demostrar

C) = P(A)

en

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d) A' n B,

a) A u B, b) A n B, e) A n B',

+

P(B)

+

P(C) - P(A

que

n B)

- P(A

n

C) - P(B

n

C)

+

P(A

n

B

n

C)

Ejemplos resueltos

A continuación veremos cómo pueden usarse los conceptos de las secciones precedentes, para resolver problemas típicos de probabilidades. EJEMPLO 1. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una cara salga en dos tiradas de una moneda?

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13. A designa el suceso de conseguir un total impar al lanzar dos dados, y B el suceso de sacar por 10 menos un 6. Expresar por una frase cada uno de los sucesos siguientes:

582

Funciones de conjunto y probabilidad elemental

Primera solución. El experimento consiste en lanzar una moneda dos veces; el conjunto S de todos los resultados posibles puede expresarse como sigue:

s=

{hh, ht, th, tt}.

Si aceptamos que esos resultados son igualmente probables, asignamos la probabilidad puntual P(x) = i a cada x de S. El suceso «que se presente por lo menos una cara» puede representarse por el subconjunto

=

A

{hh, ht, th}.

La probabilidad de este suceso es la suma de las probabilidades puntuales de sus elementos. Luego, peA) = t + ! + 1 = i.

P(ht) = P(th) = P(tt) = O.

os

pd

Entonces la probabilidad del suceso «por lo menos sale una cara» es .L i

br

+ P(ht) + P(th)

= 1

+ O + O = l.

w

w

P(hh)

w

El hecho de que lleguemos a un resultado final distinto del conseguido en la primera solución no debe alarmar al lector. Partimos de un conjunto de premisas distinto. Consideraciones de tipo psicológico pueden llevarnos a pensar que la asignación de probabilidades en la primera solución es la más natural. No obstante, muchos podrían estar de acuerdo en que esto es así si la moneda es «imparcial». Sin embargo, si la moneda está «cargada» de manera que siempre salga cara, la asignación hecha en la segunda solución es más natural. El ejemplo anterior nos demuestra que no cabe esperar respuesta única a la pregunta formulada en el mismo. Para contestar en forma adecuada tenemos que especificar la elección del espacio muestral y la asignación de las probabilidades puntuales. La probabilidad de un suceso puede deducirse de manera lógica únicamente cuando se conocen el espacio muestral y la asignación de las probabilidades puntuales. Eligiendo de distintos modos el espacio muestral y las probabilidades puntuales puede llegarse a contestaciones «correctas» diferentes de la misma cuestión. A veces, la asignación de probabilidades a los resultados particulares de un (*) Nótese que para esta asignación de probabilidades hay subconjuntos con probabilidad cero y subconjuntos propios con probabilidad 1.

de S no vacíos

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1,

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=

f1

P(hh)

.b lo gs p

ot .c

om

Segunda solución. Supongamos que se usa el mismo espacio muestral pero que asignamos las probabilidades puntuales como sigue: (*)

Ejemplos resueltos

583

experimento viene dictada por el lenguaje utilizado al describirlo. Por ejemplo, cuando un objeto es elegido «al azar» en un conjunto finito -de n elementos, se entiende que cada resultado es igualmente probable y podría asignársele probabilidad l/n. Análogamente, cuando lanzamos una moneda o un dado, si no tenemos a priori motivo alguno para pensar que la moneda o el dado no son perfectos, suponemos que todos los resultados son igualmente probables. Este convenio se adoptará en todos los ejercicios de este capítulo. EJEMPLO 2. Si un naipe es sacado al azar de cada una de dos barajas, ¿cuál es la probabilidad de que por 10 menos uno sea el as de corazones?

26

1 . 522

w

w

w

EJEMPLO 3. Si dos naipes se sacan al azar de una baraja; ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas sea un as de corazones?

Solución. Como en el ejemplo 2 empleamos pares ordenados (a, b) como elementos del espacio muestral. En este caso el citado espacio tiene 52 . 51 elementos y el suceso A que se considera tiene 51 + 51 elementos. Si asignamos la probabilidad puntual 1/(52' 51) a cada resultado obtenemos P(A)

= 1.- .

=~ 52·51

EJEMPLO

4.

26

¿Cuál es la probabilidad de sacar 6 o menos de 6 con tres

dados. Solución.

Designamos cada resultado del experimento como una terna 10 tanto, el espacio muestral consta de 63 elementos y asignamos la probabilidad 1/63 a cada resultado. El suceso A en cuestión es el conjunto de todas las ternas que satisfacen la desigualdad 3:S:; a + b + c:S:; 6. Si An representa los conjuntos (a, b, e) para los cuales a + b + e = n, tenemos (a, b, e) donde a, b y e pueden tomar valores de 1 a 6. Por

A

=

Aa

U

A4

U

As

U

A6•

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pd

+ 51 = 1.- __

522

.L i

br

os

P(A) = 52

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f1

.b lo gs p

ot .c

om

Solución. El experimento consiste en tomar dos naipes, a y b, uno de cada baraja. Representaremos un resultado por un par ordenado (a, b). El número de resultados posibles, esto es, el número total de pares distintos (a, b) del espacio muestral S es 522• Asignamos a cada uno de esos pares la probabilidad 1/522• El suceso en el que estamos interesados es el conjunto A de pares (a, b), en los que o a o b es el as de corazones. En A hay 52 + 51 elementos. Por tanto, en estas hipótesis deducimos que

584

Funciones de conjunto y probabilidad elemental

La enumeración directa muestra que los conjuntos An, con n = 3,4,5 Y 6 contienen 1, 3, 6 Y 10 elementos respectivamente. Por ejemplo, el conjunto A" viene dado por A" = {(l, 2,3), (1, 3, 2), (1, 1,4), (1,4,1),

(2,1,3),

(2,3,1),

(2,2,2),

(3, 1,2), (3,2, 1), (4, 1, l)}.

Por tanto, A tiene 20 elementos y P(A)

20

5

= - = -. 63 54

13.9

B) = P(A)

+ P(B)

- P(A

n B) = t

+ i - f¡.

Ejercicios

1. Sea S un espacio muestral finito de n elementos. Supongamos que asignamos la misma probabilidad a cada uno de los puntos de S. Sea A un subconjunto de S que conste de k elementos, Demostrar que P(A) = kln. En cada uno de los ejercicios 2 al 8, describir la elección del espacio muestral y la asignación de probabilidades. En los ejercicios relacionados con juegos de naipes, se supone que todos los naipes tienen la misma probabilidad de ser repartidos. 2. Se mezclan cinco monedas falsas con nueve auténticas. a) Se selecciona al azar una moneda. Calcular la probabilidad de que sea falsa. Si se seleccionan dos monedas, calcular la probabilidad de que: b) una sea buena y una falsa. e) las dos sean falsas. d) las dos sean buenas. 3. Calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos que se describieron en el ejercicio 13 de la sección 13.7. Asignar la misma probabilidad a cada uno de los 36 elementos del espacio muestra!.

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U

w

P(A

w

w

.L i

br

os

pd

f1

.b lo gs p

Solución. Elegimos el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, que consta de seis elementos, a cada uno de los cuales asignamos la probabilidad ~~. El suceso «par» es el conjunto A = {2, 4, 6}, el suceso «múltiplo de 3» es B = {3, 6}. Nos interesa su reunión, que es el conjunto A U B = {2, 3, 4, 6}. Puesto que este conjunto posee cuatro elementos tenemos P(A U B) = %' Este ejemplo puede resolverse de otro modo, usando la fórmula

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ot .c

om

EJEMPLO 5. Se lanza un dado una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de puntos conseguido sea par o múltiplo de 3?

Ejercicios

585

Puntos a favor. Algunos juegos de azar se expresan en función de la «suerte a favor» o «puntos a favor» mejor que en función de las probabilidades. Por ejemplo, si lanzamos un dado, la probabilidad de sacar un tres es 1/6. Los resultados posibles son seis, uno de ellos es favorable y cinco desfavorables. Esto a menudo se expresa diciendo que la suerte a favor del suceso está como 1 a 5, o que la suerte en contra es de 5 a 1. Entonces suele relacionarse ésta con la probabilidad mediante la igualdad 1

1

6=1+5' En general, si A es un suceso con probabilidad que (13.6)

peA)

peA)

y si a y

b son dos números reales

a

a

+b '

decimos que la suerte a favor de A es de a a b, o que la suerte en contra de A es de b a a. Puesto que 1 - alea + b) = b lta + b), la suerte en contra de A es la misma que la suerte a favor del suceso complementario A'. El ejercicio siguiente está dedicado a otras propiedades de este concepto de «los puntos o casos favorables» y sus relaciones con las probabilidades.

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w

w

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4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar por lo menos uno de los resultados 7, 11, o 12 con dos dados? 5. Una mano de poker contiene cuatro corazones y una espada. La espada se rechaza y se toma un naipe de los restantes de la baraja. Calcular la probabilidad de sacar un quinto corazón. 6. En el poker, una escalera son cinco cartas consecutivas no necesariamente del mismo palo. Si una mano contiene cuatro cartas consecutivas (pero no A234 o JQKA) y una quinta carta no consecutiva a las otras, calcular la probabilidad de lograr la escalera, al devolver la quinta carta y pedir una nueva. 7. Una mano de poker contiene cuatro de las cinco cartas en sucesión pero con un «salto» intercalado (por ejemplo, 5689), la quinta carta se devuelve y se toma otra nueva del resto de la baraja. Calcular la probabilidad de conseguir llenar el «hueco intermedio». 8. Una urna contiene A bolas blancas y B bolas negras. Una segunda urna contiene e bolas blancas y D bolas negras. Se saca al azar un bola de la primera urna y se echa en la segunda urna. Seguidamente se extrae al azar una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes: a) La primera bola es blanca. b) La primera bola es negra. e) La segunda bola es blanca, habiendo sido blanca la bola transferida. d) La segunda bola es blanca, habiendo sido negra la bola transferida. 9. Se extraen dos bolas de una urna devolviendo la bola después de la primera extracción. La urna contiene cuatro bolas rojas y dos blancas. Calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes. a) Ambas bolas son blancas. b) Ambas bolas son rojas. e) Ambas bolas son del mismo color. d) Por lo menos una bola es roja. 10. Sea P; la probabilidad de que ocurran exactamente n sucesos de los A y B, tomando n los valores O, 1, 2. Expresar cada uno de los números Po, Pi, P2 en función de peA), P(B) Y peA n E).

Funciones de conjunto y probabilidad elemental

586

11. Si P(A) = 1. probar que (13.6) sólo puede satisfacerse si b = O Y a ~ O. Si P(A) ~ 1, demostrar que existen infinidad de elecciones posibles de a y b que satisfacen (13.6) pero que todas tienen la misma razón afb. 12. Calcular los puntos a favor de cada uno de los sucesos descritos en el ejercicio 2. 13. Dados los sucesos A y B. Si la suerte en contra de A es de 2 a 1 y a favor de A u B de 3 al, demostrar que

rlDar un ejemplo en el que P(B) =

13.10

S; P(B) S; !.

!rE

y otro en el que P(B) =

!.

Algunos principios básicos de análisis combinatorio

(13.7)

f'in, k)

= (~) ,

donde, como de costumbre, (~) representa el coeficiente binómico,

(~) = (*)

elementos

Cuando decimos que un conjunto distintos.

k! (nn~

k)!'

tiene n elementos,

significamos

que consta de n

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w

w

w

.L i

br

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f1

.b lo gs p

ot .c

om

Muchos problemas del cálculo de probabilidades y de otras ramas de la Matemática pueden reducirse a problemas de recuento del número de elementos de un conjunto finito. Los métodos sistemáticos para estudiar tales problemas forman parte de una disciplina matemática conocida con el nombre de análisis combinatorio. En esta sección nos referimos brevemente a algunas ideas fundamentales de análisis combinatorio que son útiles al analizar algunos de los más complicados problemas de la teoría de la probabilidad. Si tenemos a la vista todos les elementos de un conjunto finito, no resulta difícil contar el número de los mismos. Sin embargo, muy a menudo, un conjunto se describe de tal manera que es imposible «ver» todos sus elementos. Por ejemplo, deseamos conocer el número de manos de bridge distintas que se pueden repartir. Cada jugador recibe 13 naipes de los 52 de la baraja. El número posible de manos distintas es el mismo que el de subconjuntos distintos de 13 elementos distintos que se pueden formar con un conjunto de 52 elementos también distintos. Ya que este número supera los 635 mil millones, la enumeración directa de todas las posibilidades no es el mejor método de atacar el problema; no obstante, con el Análisis combinatorio puede resolverse sin dificultad. Este problema es un caso particular del problema más general de calcular el número de subconjuntos distintos de k elementos que pueden formarse con un conjunto de n elementos (*), siendo n;;: k. Designemos este número por f(n, k). Ya es conocido que

Algunos principios

básicos de análisis combinatorio

587

En el problema de las manos de bridge tenemos f(52, 13) = ... > f(n).

Por consiguiente el valor máximo de f(k) se presenta sólo para k = O. También, (l - p)/(np» 1, así que 1 - p>np, (n + l)p< 1, luego [(n+ l)p]

reO)

=

= o.

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pd

f1

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.b lo gs p

ot .c

om

Vamos a considerar seis casos, representados en la figura 13.2. En los tres primeros demostramos que f(k) toma su valor máximo para un solo valor de k. En los restantes f(k) alcanzan su máximo para dos valores consecutivos de k.

Número

más probable

de éxitos en n pruebas

de Bernoulli

607

< 1. En este caso r(k) < 1 para todo k con 10 que y el valor máximo de f(k) se presenta sólo para k = n. Puesto que r(n - 1) = n(1 - p)/p < 1, tenemos n - np < p, luego n < (n+ l)p < n + 1, así que [en + 1)p] = n. CASO 2.

feO)

1)

r(n -

< f(1) < ... < f(n)

CASO 3. 1'(0) < 1, r(n - 1) > 1, y r(k) # 1 para todo k. En este caso hay un único entero s, O < s < n, tal que res - 1) < 1 y res) > 1. La función f(k) es creciente en el intervalo O :::; k :::; s y decreciente en el intervalo s :::;k :::; n. Por "onsiguiente f(k) tiene un solo máximo en k = s. Puesto que res - 1) = s(1 - p)/ (np - sp + p) < 1 tenemos s < (n + 1)p. La desigualdad res) > 1 demuestra que (11 + 1)p < s + 1, luego [en + 1)p] = s. Obsérvese que en cada uno de los tres primeros casos el valor máximo de se presenta cuando k = [en + 1)p]; asimismo (n + 1)p no es entero en ninguno de esos casos.

=

br

os

pd

=

w

.L i

CASO 5. r(n - 1) = 1. En este caso r(k) < 1 para k :5 n - 2, así que crece en el intervalo O :5 k :5 n - 1, Y f(n -1) = f(n). Luego f(k) tiene dos máximos, cuando k = n - 1 y cuando k = n. La ecuación r(n - 1) = 1 implica (n + 1)p = n. w

w

f(k)

CASO 6. 1'(0) = 1. En este caso r(k) en el intervalo 1 :5 k :5 n. Los máximos de k = 1. La ecuación 1'(0) = 1 implica (n + k

> f(k) 1)p

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f1

.b lo gs p

CASO 4. 1'(0) < 1, r(n - 1) > 1, y res - 1) = 1 para un cierto 5, 2 :::;s < n, En este caso f(k) crece para O :::; k :::; s - 1 Y decrece para s :::;k :::; n. El valor máximo de f(k) se presenta dos veces, cuando k = s - 1 y cuando k = s. La ecuación res - 1) 1 implica (n + 1)p s.

1 para k ~ 1, así que f(k) decrece son dos, cuando k = O y cuando = 1.

En cada uno de los tres últimos casos el valor máximo de f(k) ocurre para y para k (n + 1)p - 1. Esto completa la demostración.

= (n + 1)p

=

EJEMPLO 1. Un par de dados se lanza 28 veces. ¿Cuál es el número más probable de sietes?

Solución. Se aplica el teorema 13.4 con n = 28, P = ~~,y tn + 1)p = ~lÉste no es un entero con 10 cual el valor máximo de f(k) se presenta pan k = [~e'ª-] = 4. Observación:

Si se echan los dados 29 veces hay dos soluciones, k=4 y k=5

2. Hallar el menor n tal que si se tiran dos dados correctos I veces la probabilidad de conseguir cuatro sietes es por 10 menos tan grande comr la de obtener cualquier otro número de sietes. EJEMPLO

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ot .c

om

f(k)

Funciones

608

y probabilidad

de conjunto

elemental

Solución. Tomamos p = 1/6 en el teorema 13.4. Queremos que el máximo de f(k) ocurra cuando k=4. Esto exige o bien que [(n+ 1)p] =4, (n+ 1) p=4, o (n + 1)p - 1 = 4. El menor valor de n que satisface cualquiera de esas relaciones es n = 23. 13.18

Ejercicios

1. Se lanza una moneda dos veces, la probabilidad de cara en la primera tirada sea PI y en la segunda tirada P2. Consideremos esto como una prueba compuesta determinada por dos pruebas estocásticamente independientes, y sea el espacio muestral

s = {(H,

H), (H, T), (T, H), (T, T)}.

P(T, T) = ~?

PI y P2 de modo que

pd

P(H, T)

=

P(T, H)

=

t?

sucesos siguientes (subconjuntos de S): H 1: cara en la primera tirada, H2: cara en la segunda tirada, TI: cruz en la primera tirada, T2: cruz en la segunda tirada. qué pares de esos cuatro sucesos son independientes.

w

los cuatro

w

w

d) Considerar

.L i

br

os

P(H, H) = P(T, T) = },

Determinar

En cada uno de los ejercicios del 2 al 12 determinar el espacio muestral, de probabilidades, y el suceso cuya probabilidad se calcule.

la asignación

2. Un estudiante debe rendir un examen consistente en 10 preguntas. No está preparado para ello y se propone acertar las preguntas contestándolas al azar. Por ejemplo, puede lanzar una buena moneda y utilizar el resultado para determinar su pronóstico. a) Calcular la probabilidad de que acierte correctamente por lo menos cinco veces. b) Calcular la probabilidad de que acierte correctamente por lo menos nueve veces. c) ¿Cuál es el menor valor de n tal que la probabilidad de acertar por lo menos n respuestas correctas es menor que ~ ? 3. Diez dados correctos se lanzan juntos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres seises? 4. Se lanza cinco veces una moneda correcta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a) tres caras exactamente, b) por lo menos tres caras, e) por lo menos una cara? 5. Un hombre afirmaba poseer una varilla con la que podía localizar yacimientos de petróleo. El Departamento de Geología de Caltech realizó el siguiente experimento para poner a prueba su afirmación. Fue colocado en una habitación donde había 10 barriles precintados. Se le advirtió que cinco de ellos contenían petróleo y los otros cinco agua.

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= ~,

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ser asignadas

P( H, T) = P( T, H)

f1

c) ¿Pueden

=L

.b lo gs p

P(H, H)

ot .c

om

a) Calcular la probabilidad de cada elemento de S. b) ¿Puede ser la asignación de las probabilidades PI y P2 de modo que

Ejercicios

6.

12. 13.

m-¿"-l

(m + n k

1) rs':" /' '-k-l

.

k=m

14. Determinar todos los valores de 11 con la siguiente propiedad: Si se tira n veces un par de dados correctos, la probabilidad de obtener exactamente diez sietes es por lo menos tan grande como la de obtener cualquier otro número de sietes. 15. Una máquina tragamonedas binaria tiene tres ruedas idénticas e independientes. Cuando se juega con la máquina los resultados que pueden obtenerse son ternas ordenadas (x, y, z), en donde cada una de las letras x, y, z puede ser O ó 1. En cada rueda la probabilidad de O es p y la probabilidad de 1 es 1 - p, en donde 0< p < 1. La máquina paga 2$ si el resultado es (1,1,1) o (O, O, O); paga 1$ si se obtiene el resultado (1,1, O); en cualquier otro caso no paga nada. Designemos con f(p) la probabilidad de que la máquina pague un dólar o más cuando se haga una tirada. a) Calcular f(p).

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os

br

w

w

w

11.

.L i

10.

pd

f1

9.

.b lo gs p

8.

ot .c

om

7.

Su trabajo consistió en decidir cuáles contenían petróleo y cuáles agua. a) ¿Cuál es la probabilidad de que localizara correctamente los cinco barriles de petróleo tan sólo por azar? b) ¿Cuál la de que localizara por lo menos tres de los barriles de petróleo únicamente por azar? Una anciana de Pasadena afirma que probando una taza de té con leche puede decir qué fue lo primero que se puso en la taza: el té o la leche. Tal afirmación se pone a prueba - haciéndole degustar y clasificar 10 pares de tazas de té, conteniendo cada par una taza de té servida de cada una de las dos maneras citadas. Sea p su probabilidad «cierta» de clasificar un par de tazas correctamente. (Si ella es hábil, p es substancialmente mayor que ~.; si no lo es, p :s; ~.) Se supone que los 10 pares de tazas son clasificadas bajo condiciones idénticas e independientes. a) Calcular, en función de p, la probabilidad de que clasifique correctamente por lo menos ocho de los 10 pares de tazas. b) Valorar esta probabilidad explícitamente cuando p = ~. (Otro problema del caballero de Méré.) Determinar si es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales, a que por lo menos aparece un 6 en cuatro tiradas de un dado correcto. [Indicación. Probar que la probabilidad de sacar por lo menos un 6 en n tiradas es 1 - (~)".] Una urna contiene a bolas blancas y b bolas negras. Si k :s; n, calcular la probabilidad de sacar k bolas blancas en n extracciones, si cada bola es devuelta a la urna antes de sacar la siguiente. Se lanzan dos dados ocho veces. Calcular la probabilidad de que la suma sea 11 exactamente tres veces. Se lanza una moneda 10 veces o 10 monedas una vez y se cuenta el número de caras. Encontrar la probabilidad de obtener por lo menos seis caras. Después de una larga serie de tests aplicados a cierto tipo de cohete se ha determinado que aproximadamente en un 5 % de pruebas se producirá un mal funcionamiento que será la causa de que el cohete fracase. Calcular la probabilidad de que en 10 pruebas haya por lo menos un fallo. Se lanza repetidamente una moneda. Calcular la probabilidad de que el número total de caras sea por lo menos 6 antes de que el número total de cruces sea 5. El ejercicio 12 puede generalizarse como sigue: Demostrar que la probabilidad de que se produzcan por lo menos m éxitos antes que n fallos en una sucesión de pruebas de Bernoulli es:

Funciones

610

de conjunto

y probabilidad

elemental

L.res

h) Definamos el «pago total» como la suma g(x)P(x), en donde S es el espacio muestral, P(~) es la probabilidad del resultado x, y g(x) el número de dólares pagados por el resultado x. Calcular el valor de p para el cual el «pago total» sea mínimo.

13.19

Conjuntos numerables y no numerables

implica

f(x)

=¡6.

f(y).

w

Una función que satisfaga la propiedad (13.21) se llama uno a uno sobre A. Dos conjuntos A y B en correspondencia uno a uno se llaman también equivalentes, e indicamos esto poniendo A-B. Resulta claro que todo conjunto A es equivalente a sí mismo, puesto que f(x) = x para cada x de A. Un conjunto puede ser equivalente a un subconjunto de sí mismo. Por ejemplo el conjunto P={ 1,2,3 ... }, compuesto por todos los números enteros positivos, es equivalente a su subconjunto Q {2,4,6 ... } compuesto por los pares positivos. En este caso, la función uno a uno que los hace equivalentes es f(x):::: 2x para todo x de P. Si A - B es fácil de demostrar que B - A. Si f es uno a uno en A y si el recorrido de f es B, entonces para cada b en B existe excatamenet un a en A tal que f(a) = b. De ahí que podemos definir una función inversa g en B del modo siguiente: Si b E B, g(b) = a, donde a es el único elemento de A tal que f(a) = b, Esta g es uno a uno en B y su recorrido es A; luego B - A. Esta propiedad de equivalencia se llama simetría.

=

( [3.22)

implica

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w

x=¡6.y

w

0·1.21)

.L i

br

os

pd

f1

.b lo gs p

DEFINICIÓN Se dice que dos conjuntos A y B están en correspondencia uno a uno si existe una función f con las propiedades siguientes: a) El dominio de f es A y el recorrido de f es B. b) Si x e y son elementos distintos de A, entonces f(x) y f(y) son elementos distintos de B. Esto es, para todo par de elementos x e y de A,

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ot .c

om

Hasta aquí sólo hemos considerado el concepto de probabilidad para espacios muestrales finitos. Queremos ahora extender la teoría a espacios muestrales infinitos. Para ello es necesario distinguir dos tipos de conjuntos infinitos, los numerables y los no numerables. En esta sección se estudian ambos. Para contar los elementos de un conjunto finito se pone en correspondencia el conjunto, elemento a elemento, con el conjunto de los números naturales {1, 2, ... , n}. La comparación de los «tamaños» de dos conjuntos mediante la correspondencia entre ellos elemento a elemento sustituye el recuento de los elementos cuando se trata de conjuntos infinitos. A este proceso se le puede dar una clara formulación matemática empleando el concepto de función:

Conjuntos numerables

y

no numerables

611

También es fácil demostrar que la equivalencia tiene la propiedad siguiente, llamada transitividad: implica

(13.23)

En el ejercicio 2 de la sección (13.20) se propone una demostración de la propiedad transitiva. Un conjunto S se denomina finito y se dice que contiene n elementos si , n}.

S"-' {I, 2, ...

... }.

br

os

s = {f(1),f(2),f(3), w

w

w

.L i

A menudo utilizamos subíndices y representamos f(k) con a, (o con una notación parecida) y escribimos S = {al> a2, a3, ... , }. La idea importante es aquí que la correspondencia (13.24) nos permite usar los métodos naturales como «marcas» de los elementos de S. Un conjunto se dice que es numerable en sentido amplio si es finito o infinito numerable. Un conjunto que no es numerable se llama no numerable. (Se darán ejemplos.) Muchas operaciones con conjuntos efectuadas sobre conjuntos numerables producen conjuntos numerables. Por ejemplo, tenemos las propiedades siguientes: a) Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable. b) - La intersección de toda colección de conjuntos numerables es numerable. c) - ha reunión de una colección numerable de conjuntos numerables es numerable. '. d) El producto cartesiano de un número finito de conjuntos numerables es numerable. Puesto que en este libro trataremos muy poco de los conjuntos infinitos numerables, no daremos con detalle las demostraciones de sus propiedades.(*) En cambio, ofrecemos varios ejemplos para poner de manifiesto cómo con ellas se pueden construir nuevos conjuntos numerables a partir de unos dados. (*)

En los ejercicios

3 al 8 de la sección

13.20 se esbozan

las demostraciones.

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ot .c

pd

f1

.b lo gs p

En este caso existe una función f que establece una correspondencia uno a uno entre los enteros positivos y los elementos de S; luego el conjunto S puede expresarse según la notación en lista así:

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S"-' {I, 2, 3, ... }.

(13.24)

om

El conjunto vacío también se considera finito. A los conjuntos que no son finitos se les llama infinitos. Un conjunto S se llama infinito numerable si es equivalente al conjunto de todos los números naturales, esto es, si

Funciones

612

y

de conjunto

y probabilidad

elemental

EJEMPLO 1. El conjunto S de todos los números enteros (positivos, negativos el cero) es numerable.

Demostración. Si n E S, sea f(n) = 2n si n es positivo, y f(n) = 2'ni + 1 si n es negativo o cero. El dominio de f es S y su recorrido es el conjunto de enteros positivos. Puesto que f es uno a uno en S, se deduce que S es numerable. EJEMPLO

2.

El conjunto R de todos los números racionales es numerable.

Demostración. Para cada entero n > 1 fijo, sea S« el conjunto de números racionales de la forma x[n, donde x pertenece al conjunto S del ejemplo 1. Cada S« es equivalente a S [tómese f(t) = nt si t E Sn] y por consiguiente cada S; es numerable. Puesto que R es la reunión de todos los Sn, en virtud de la propiedad c) resulta R numerable. de conjuntos,

.L i

br

os

pd

f1

EJEMPLO 3. Sea A = {al' a2, a3""'} un conjunto infinito numerable. Para cada entero n;): 1, sea ~ la familia de subconjuntos de A con n elementos. Esto es:

y S tiene n elementos}.

Vamos a probar que cada Demostración.

w

w

w

»; = {S I S s::: A ~¡

es numerable.

Si S es un subconjunto de n elementos de A, podemos es-

cribir:

donde k, < k2 < '" < k.; Sea feS) = (ak" ak., ... , ak). Esto es, f es la función que asocia a S la n-pla ordenada (ak" ak., ... , akJ El dominio de f es ffn Y su recorrido, que designamos con T¿ es un subconjunto del producto cartesiano C« = A X A X ... X A (n factores). Ya que A es numerable, lo mismo le ocurre a [por la propiedad d)] y, por lo tanto, T; también lo es [por la propiedad a) ]. Pero Tn'"" .'Fn puesto que f es uno a uno. Esto demuestra que:Fn es numerable.

en

EJEMPLO 4. La colección de todos los subconjuntos finitos de un conjunto numerable es numerable.

Demostración.

El resultado es evidente si el conjunto dado es finito. Supon-

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.b lo gs p

o

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numerable

ot .c

om

Observación. Si $' = {Al, A2, A3, ••• } es una colección la reunión de todos ellos se expresa con el símbolo

Conjuntos

numerables

613

y no numerables

gamos, pues, que el conjunto dado (llamémosle A) es infinito numerable, y representemos con:F la clase de todos los subconjuntos finitos de A: :F = {S I S s; A Y S es finito} En estas condiciones :F es la reunión de todas las familias luego, en virtud de la propiedad e), :F es numerable.

·ff'n

del ejemplo 3;

EJEMPLO 5. La colección de todos los subconjuntos de un conjunto infinito numerable es no numerable.

.L i

w

w

w

Siendo B un subconjunto de A, debe pertenecer a la familia d. Esto significa que B = f(b) para algún b de A. Existen ahora dos posibilidades: 1) b E B, o 11) b 1'- B. Si b E B, según la definición de B tenemos b 1'- f(b), que es una contradicción, ya que f(b) = B. Por tanto 1) es imposible. En el caso 11), b 1'- B, o sea, b 1'-f(b). Esto contradice la definición de B, con 10 que 11) también es imposible. Por consiguiente, el suponer que d es numerable nos lleva a una contradicción y debemos concluir que d es no numerable. A continuación ofrecemos un ejemplo de conjunto no numerable más sencillo que el del ejemplo 5. EJEMPLO

6.

El conjunto de números reales x que satisfacen O < x

<

1 es

no numerable. Demostración. Supongamos otra vez que el conjunto es numerable y llegaremos a una contradicción. Si el conjunto es numerable podemos disponer sus elementos así: {Xl' X2, X3, ••• }. Construiremos ahora un número real y que cumpla O < y < 1 y que no estará en la lista. A tal fin escribimos cada elemento x; en forma decimal:

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Aperoa 1'-f(a)}.

br

os

E

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pd

I

B = {a a

f1

.b lo gs p

ot .c

om

Demostración. Sea A el conjunto numerable dado y d la familia de todos los subconjuntos de A. Supondremos que d es numerable y llegaremos a una contradicción. Si d es numerable, entonces d - A Y por tanto existe una función f uno a uno cuyo dominio es A y cuyo recorrido es d. Así, para cada a de A, el valor f(a) de la función es un subconjunto de A. Este subconjunto puede o no contener el elemento a. Designemos con B el conjunto de elementos a tales que a 1'- f(a). Así

614

Funciones de conjunto y probabilidad elemental

donde cada an,i es uno de los enteros del conjunto {O, 1, 2, ... , 9}. Sea y el número real cuyo desarrollo decimal es: y = O'YI Y2 Ya ... donde,

,

si an,n:¡6 1, Yn = {~

si

an.n

=

1.

De este modo ningún elemento del conjunto {Xl> X2, X3, • " } puede ser igual a y, puesto que y difiere de Xl en la primera cifra decimal, de X2 en la segunda, y en general, difiere de Xk en la k-ésima cifra decimal. Por tanto y satisface < y < 1, 10 cual es una contradicción, 10 que prueba que el conjunto de números reales del intervalo abierto (0,1) es no numerable.

w

w

w

.L i

br

os

pd

f1

1. Sea P = {1, 2, 3, ... } el conjunto de los números naturales. Para cada uno de los siguientes conjuntos, dar una función uno a uno f cuyo dominio es P y cuyo recorrido es el conjunto en cuestión: a) A = {2, 4,6, ... }, conjunto de los números pares positivos. b) B = {3, 32, 33, ••• }, conjunto de las potencias de 3. e) e = {2, 3, 5, 7,11,13, ... }, conjunto de los números primos. [Nota. Una parte de la demostración consiste en demostrar que e es un conjunto infinito.] d) P X P, producto cartesiano de P por sí mismo. e) El conjunto de enteros de la forma 2'"3", donde m y n son naturales. 2. Demostrar la propiedad transitiva de la equivalencia de conjuntos Si

A •..•B

y

B •..•e,

entonces

A...,

e.

[Indicación. Si f hace A equivalente a B y g hace B equivalente trar que la función compuesta h = g o f hace A equivalente a e.] Los ejercicios del 3 alB están dedicados a las demostraciones e), d) de los conjuntos numerables citadas en la sección 13.19.

a

e,

de las propiedades

demos-

a), b),

3. Demostrar que todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable. [Indicación. Supóngase S un conjunto infinito numerable, sea S = {Xl, X2, X3, ••• }, y sea A un subconjunto infinito de S. Sea k(l) el menor número natural m tal que xm E A. Admitamos que k(l), k(2), .. '. , k(n - 1) estén definidos, sea k(n) el menor número natural m > k(n - 1) tal que xm E A. Sea f(n) = X.(.). 'Demostrar que f es una función uno a uno cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo rango es A. Esto demuestra el teorema en el supuesto de que S sea infinito numerable. Construir otra demostración para S finito.] 4. Demostrar que la intersección de cualquier colección de conjuntos numerables es numerable. [Indicación. Utilizar el resultado del ejercicio 3.] 5. Sea P {1, 2, 3, ... } el conjunto de los números naturales. al Demostrar que el producto cartesiano P X P es numerable. [Indicación. Desígnese

=

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.b lo gs p

ot .c

13.20 Ejercicios

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om

°

Definición de probabilidad para espacios muestrales infinitos numerables 615 con Q el conjunto de números naturales de la forma 2m3", donde m y n son naturales. Entonces Q e P, de modo que Q es numerable (en virtud del ejercicio 3). Si (m. n) E P X P, tómese f(m, n) = 2m3" y utilizar esta función para demostrar que P X P - Q.] b) Deducir de a) que el producto cartesiano de dos conjuntos numerables es numerable. Utilizar el método de inducción y extender el resultado a n conjuntos numerables. 6. Sea f!IJ= {BI.B2.B3 •... } una colección numerable de conjuntos disjuntos (B;nB¡ = 0 si

i;é

j) tal que cada B; es numerable.

Demostrar

U B¿ es

que la reunión co

numerable.

[Indicación.

Sea B;

=

{b1 n, b2 n, h3 n.o' •

••

.}y S

también

k=l

= k~l UB

Si x E S, en-

k•

=

=

tonces x bm,n para algún único par (m, n) y podemos definir f(x) (m, n). Utilizar esta f para demostrar que S es equivalente a un subconjunto de P X P Y deducir (en virtud del ejercicio 5) que S es numerable.] 7. Sea d {Al, A2, A3, ... } una colección numerable de conjuntos, y definamos f!IJ = {BI, B2, B3,'''} así: Bl = Al y. para n > 1,

U Ak•

.b lo gs p

k=l

f1

Esto es. B; consta de los elementos de An que no pertenecen a los conjuntos tes A}, A2 •... An-l. Demostrar que f!IJ es una colección de conjuntos disjuntos (Bl n B1 0 si i

;é

j) y que

br

os

pd

=

preceden-

k~l