Funciones exponenciales y logarítmicas

6

Para empezar





Masa (g) 100

80 La radiactividad es un fenó60 meno en el que una sustancia emite radiaciones y por ello 40 durante ese proceso se desin20 tegra. Muchos isótopos son 0 4 6 8 10 12 14 16 18 2 radiactivos y se utilizan en Tiempo (días) medicina, por ejemplo, para realizar diagnósticos y en tratamientos de radioterapia. El tiempo que tarda un isótopo en reducirse a la mitad se llama “período de semidesintegración” o “vida media”. Por ejemplo, 1 gramo de yodo-131 tarda 8 días en reducirse a la mitad, mientras que 1 gramo de radón-222 tarda casi 4. Las curvas representan el proceso de desintegración de 100 g de cada uno de esos elementos en función del tiempo, medido en días.



¿Qué curva corresponde a cada sustancia?



De seguir esta tendencia, ¿cuántos gramos de yodo-131 y de radón-222 quedarán a los 16 días de haber comenzado la experiencia?

FUNCIONES EXPONENCIALES

Tiempo (días)

0

1

2

3

4

5

6

7

Área (m2)

b. Plantea una expresión que permita obtener el área de la mancha en función del tiempo y úsala para calcular la que ocupará el día 12.

c. En tu cuaderno, o usando GeoGebra, representa gráficamente los datos de la tabla.

68

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

1 Una fuga de combustible de un barco provocó una mancha de petróleo en la superficie del mar. Esta mancha se expande, con el correr de los días, de tal manera que duplica su área diariamente. a. Completa la tabla que muestra el área de la mancha para los primeros 7 días, considerando que se comenzó a observar cuando su área era de 1 m2.

2 a. A diferencia de la situación anterior, en la que la variable independiente no toma valores negativos (no tendría sentido hablar de “área negativa”), para la función f dada por f(x) = 2x se consideran todos los valores reales. Completa la tabla y representa gráficamente. –3

x

–2

–1

0

1

2

3

y b. ¿La función tiene raíces? ¿Por qué? c. ¿Qué ocurre con las imágenes de f cuando x toma valores negativos cada vez más grandes en valor absoluto? d. ¿Cuál es el recorrido de f?  3

x

3 a. Representa las funciones f, g, y h dadas por: f(x) = 3x; g(x) = 5x y h( x ) =    2 en el mismo sistema cartesiano. Puedes hacerlo en GeoGebra. b. Compara los gráficos obtenidos e indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, y explica por qué. I. Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen. II. Todas las funciones tienen la misma raíz. III. Todas las funciones tienen una asíntota horizontal. IV. Todas las funciones son crecientes y positivas (sus imágenes). c. Copia en tu cuaderno los gráficos de f, g y h e incluye el gráfico de la función f dada por f(x) = 4x. 4 a. Usa el GeoGebra para representar gráficamente las funciones f, g y h dadas por:

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913



x

x

1 1 2 f ( x ) =   ; g ( x ) =   y h( x ) =    3

 5

 3

x

en el mismo sistema cartesiano.

b. Compara los gráficos e indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas y explica por qué. I. Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen. II. Todas las funciones tienen la misma raíz. III. Todas las funciones tienen una asíntota horizontal. IV. Todas las funciones son crecientes y positivas (sus imágenes). c. Copia en tu cuaderno los gráficos de f, g y h e incluye el gráfico de la función f x

1 dada por f ( x ) =   .  4

69

5 Representa en el mismo sistema los gráficos de f dada por f(x) = 3x y de g dada  1 por g ( x ) =  

x

3

a. Compara los gráficos y escribe tus observaciones b. Dibuja en un mismo sistema los gráficos de las funciones h y t dadas por  1 h( x ) = 7 x y t ( x ) =    7

x

c. Completa: 1 “Si las bases de dos funciones exponenciales son inversas  a y  entonces  a sus gráficos x

x  1  1 f ( x ) =   f ( x ) = 6 A partir   representa las funciones  gráfico de la función f dada por  2del 2

g, h, j y t dadas por:

x

x



x

x

x x x  1  1  1  1 ) = −+ 3 ; h+( 7 ; =  1  − 4 ; j ( x ) = −  1  g ( x ) =   + 3 ; h( x ) =   − 4 ; j ( x ) = −  g ( xy) =t (x 1 x )  2  2  2  2  2  2  2

después completa el cuadro. y 12 10 8 6 4 2

–4

–3

–2

Ordenada al origen f g h j t

70

–1 –2 –4 –6 –8

1

2

Asíntota horizontal

3

4

x

Recorrido

¿Es creciente o decreciente?

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

f

y 3

-3 -3

2 3 1 2 -2 -1 3 0 1 -1 2 -2 -1 -2 0 1 -1 -3 -2 -1 -2 0 -1 -3 x -2

y y 1

2

3

x

1

2

3

x

5 Asocia cada gráfico con la expresión analítica de la función que representa -3



 3 g( x ) =    4

f (x ) = 4x 1 j(x ) = x − 3 4

x

-3

-2

-3

-2

-3

-2

2 3 1 2 -1 3 0 1 -1 2 -1 -2 0 1 -1 -3 -1 -2 0 -1 -3

k ( x ) = −2 + 1 x

y

-3

-3

y 1

2

3

x

-3

-2

1

2

3

x

-3

-2

1

2

3

x

-3

-2

-2

-3

-2

-3

-2

–4 –3 –

y 3

y

-3

–4 –3 –

x

-2

2 3 1 2 -1 0 3 1 -1 2 -1 -2 0 1 -1 -3 -1 -2 0 -1 -3

–4 –3 –

x

3

-3

 1 t(x ) = −    2

2 3 1 2 3 -1 0 1 -1 2 -1 -2 0 1 -1 -3 -1 -2 0 -1 -3 -2

3

2

h( x ) = 1 + 2

y

3

1

y y 1

2

3

x

1

2

3

x

1

2

3

x

1

2

3

x

1

2

3

x

1

2

3

x

y 3

y

-2

2 3 1 2 3 -1 0 1 -1 2 -1 -2 0 1 -1 -3 -1 -2 0 -1 -3 -2

-3

-3

y 1

2

3

x

-3

-2

1

2

3

x

-3

-2

1

2

3

x

-3

-2

y y

y y 3

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

-3

-2

-3

-2

-3

-2

2 3 1 2 -1 3 0 1 -1 2 -1 -2 0 1 -1 -3 -1 -2 0 -1 -3

y 3

y y 1

2

3

x

1

2

3

x

1

2

3

x

-3

f ( x ) = 2x

-2

-3

-2

-3

-2

2 3 1 2 -1 3 0 1 -1 2 -1 -2 0 1 -1 -3 -1 -2 0 -1 -3 -2

y7 6 7 y5 6 4 7 5 3 6 4 2 5 13 4 2

y y 1

2

x

3

f ( x ) = 2x 1

2

3

x

g ( x ) = 2( x −x1) 1

2

3

8 a. Usa el -2GeoGebra para representar en el mismo sistema los gráficos

( x − 1)

, g dada por g ( x ) = 2

f (x) = 2

-3x

-3

y h dada por g ( x ) = 2

( x + 2 )observaciones 1) b. Compara gráficos y escribe g ( x ) = 2tus g ( x ) = 2( x −los

y

3

.

x

y= 2 x

y=

y= 2 x

y=

x

x y=

–4 –3 –2 –1 13 1 –1 2 –3 –2por –1 1 –21 de–4 f dada –1 –3 –2 –4 –3 –2 –1 –41 –1 –3

y=log2x

2

3

4

5

2

3

4

5

y=log2x x 6 y=log2x x 6

2

3

4

5

6

x

–2 –4 –3 –4

y

g ( x ) = 223 ( x + 2) 1 2 y -3 -2 -1 0 1 3 1 -1 2 -3 -2 -1 -2 0 1 1 -1

( x + 2)

y= 2 x

2

3

x

2

3

x

71

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE POBLACIONES 9 Una colonia de bacterias en ciertas condiciones triplica el número de sus habitantes cada día. a. Completa la tabla con el número de bacterias que habrá los primeros 6 días, considerando que cuando comenzó el conteo había 10 bacterias y durante el proceso no murió ninguna. Tiempo (días)

0

1

2

3

4

5

6

Bacterias b. Marca con color la expresión que describe la reproducción de esta colonia en función del tiempo t. Fundamenta tu elección. B(t) = 3t

B(t) = 10 · 3t

B(t) = 3 · 10t

10 Javier estudia la reproducción de ciertas langostas. Con lo registrado hasta el momento realizó este gráfico (no consideró las muertes). a. ¿Cuántas langostas había cuando comenzó el estudio?

Cantidad de langostas 1500 1250 1000

b. ¿Cuántas langostas nacieron en el primer mes? ¿Y en el segundo?

750 500 250 0

600

1

720

2

864

3

4

5

6

Tiempo (meses)

d. Javier sabe que este comportamiento se mantiene durante algún tiempo y que la cantidad de langostas puede expresarse con una expresión del tipo P(t) = c · at. Halla c y a.

e. De continuar con este comportamiento, ¿cuántas langostas habría al cabo de un año?

72

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

c. ¿Qué porcentaje representan los nacimientos del primer mes respecto de la cantidad inicial de langostas? ¿Y los del segundo mes respecto de la cantidad que había en el primer mes?

11 Un hongo infectó todos los árboles de una plantación de manzanas de 4000 m2, por lo que se la está tratando con un fungicida de aplicación mensual. En promedio, el plaguicida cura cada mes la mitad de los árboles infectados. a. Completa la tabla indicando el área que ocupan los árboles que permanecen afectados. Tiempo (meses)

0

1

2

3

4

Plantas enfermas (m2) b. Escribe una expresión para calcular el área ocupada por las plantas que permanecen enfermas cada mes.

c. ¿Qué área ocupan los árboles que en el octavo mes siguen infectados?

d.

Se considera que el hongo estará exterminado cuando las plantas infectadas ocupen menos de 1 m2 de terreno. ¿Cuántos meses deberán pasar para que eso suceda? Explica cómo llegaste al resultado.

12 Se está combatiendo una plaga con un insecticida que elimina el 40% de los insectos por día. Se calculó que inicialmente había 10 000 ejemplares. a. Marca la casilla del gráfico que representa la situación. Justifica tu elección. Insectos Insectosvivos vivos

Insectos Insectosvivos vivos

1010000 000

000 1010000

8000 8000

8000 8000

6000 6000

6000 6000

4000 4000

4000 4000

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

2000 2000



00

11

22

33

44

55

66

Tiempo Tiempo (días) (días)

2000 2000

00

11

22

33

44

55

66

Tiempo Tiempo (días) (días)

b. Marca la expresión que permite conocer la cantidad de insectos vivos que quedan al finalizar cada día. I(t) = 10 000 · 0,4t c.

I(t) = 10 000 · 0,6t

I(t) = 10 000 · 1,4t

Usa la expresión que elegiste para calcular la cantidad de insectos vivos a los 3 días y marca un punto que represente esa información en el gráfico que corresponde.

73

13

Para estudiar el desarrollo de una población de seres vivos se deben tener en cuenta factores como los índices de natalidad y de mortalidad, la disponibilidad de alimento, etcétera. En muchos casos, al principio la reproducción sigue una ley exponencial que luego se frena por la incidencia de esos factores. En ecología se llama “capacidad de carga del medio” al valor límite de individuos, de una especie dada, que la colonia no puede sobrepasar, y “curva logística” a la que representa este tipo de evolución. Cantidad de peces

En el gráfico, con una curva de esas características, se muestra la evolución de una colonia de peces en una laguna. a. ¿Cuántos peces había inicialmente en la laguna?

350 300 250 200 150 100 50 0

2

4

6

8

10

Tiempo (meses)

b. ¿Cuál es el valor límite de peces que esa colonia no podrá superar? ¿Cómo te diste cuenta?

c.

La curva representada responde a la expresión P(t ) =

300 . 1 + 5 e −0,7t

Calcula la cantidad de peces que habrá en el mes 15 (usa e ; 2,7).

14

Se está estudiando la evolución de una colonia de 100 roedores que habitan en una isla. A los 4 meses de comenzado el estudio se realiza un conteo y se detectan 560 roedores. Dadas las condiciones del medio se establece que no podrán convivir más de 2000 ejemplares.

R(t ) =

2000 1 + 19 e 5 t



R(t ) =

2000 1 + 19 e 0,5 t



R(t ) =

2000 1 + 19 e −0,5 t

b. Completa la tabla usando la expresión que elegiste y verifica si, según esa expresión, la población de roedores no supera los 2000 individuos (recuerda aproximar al entero). Tiempo (meses) Roedores

74

10

20

50

100

500

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

a. Marca la expresión que representa esta situación.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS 15 En el problema 1 de la página 68 se estimaba el área de una mancha de petróleo en función del tiempo. Para un trabajo de ecología se necesita conocer la relación inversa, que permite estimar el tiempo transcurrido conocida el área de la mancha. a. Completa la tabla de acuerdo con lo que hiciste en el problema 1. x Área (m2)

y Tiempo (días)

b. Juan dice que cada valor de y es el exponente al que hay que elevar el número 2 para obtener x. ¿Es cierto? ¿Con qué operación puede calcularse el valor de y para cada valor de x dado? Ayuda: si tienes dudas, vuelve a mirar el capítulo 1.

c. Según lo que respondiste en b., escribe la fórmula de la función que expresa el tiempo que tarda en formarse la mancha, según su área.

16 Rodea el par de funciones inversas. Explica cómo te diste cuenta. x

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913



f ( x ) = 5 x

1 g( x) =   5

h( x ) = log 5 x

1 t ( x ) = (−1) ⋅   5

x

17 Si bien Lucas trabaja con las funciones exponenciales, todavía no sabe qué hacer x 2 con las logarítmicas. Sabe, por ejemplo, que si f ( x ) =   , entonces f(0) = 1 y 3 2 f (1) = . 3 Ahora quiere analizar la función h dada por h( x ) = log 2 x , que es la inversa de f. 3

a. Con lo que sabe de f, ¿puede hallar la raíz de h? ¿Por qué? 2

3

b. ¿Cómo le sirven los datos sobre f para calcular h  ? ¿Y para calcular h  ? 3 2

75

18 a. Completa la tabla de la función f dada por f ( x ) = log 1 x . 2

Ayuda: puedes completar primero la tabla de la función exponencial g dada por x

1 g ( x ) =   y luego invertirla. 2

x

g(x)

x

f(x)

–2 –1 

0 1 2

b. Representa f y g en un mismo sistema cartesiano. y

0

x

c. Mirando los gráficos, completa el cuadro. Raíz

Dominio

Recorrido

¿Es Ordenada al creciente o origen decreciente?

Asíntota

f d. Ten en cuenta que f y g son funciones inversas, y relaciona entre sí el dominio y el recorrido de cada una.

e. De la misma manera que relacionaste el dominio y el recorrido de f y g, compara los datos que aparecen en la tabla y escribe tus conclusiones.

76

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g

19 a. Representa las funciones f y g dadas por f(x) = log 2 x y g ( x ) = log 1 x en el mis2 mo sistema cartesiano y compara sus gráficos. b. ¿Cómo es el gráfico de f dada por j ( x ) = log 3 x respecto del de h dada por 2 h( x ) = log 2 x ? 3

c. Generaliza la propiedad que se desprende de los ítems anteriores. 20 Todos estos gráficos corresponden a funciones del tipo f(x) = a log 2 x. Halla el valor de a en cada caso y explica cómo lo obtuviste. .

y

A (2, 23 ) B(2, 12 ) C(2, −1)

6 5 4 3 2 1 0

A

h(x) 2

–1 –2 –3 –4

j(x )

B

4

6

8

10

12

x

C g( x)

21 a. Representa las funciones f, g y h dadas por f(x) = log x; g(x) = log (x – 5) y h(x) = log (x + 4) en el mismo sistema cartesiano. Puedes hacerlo en GeoGebra (usa lg en vez de log). b. Compara los gráficos obtenidos y completa el cuadro. Dominio

Recorrido

Asíntota

Ordenada al origen

Raíces

Recuerda que log a = log10 a.

f g

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h 22 El gráfico corresponde a la función f dada por f ( x ) = log 9 x. Basándote en él, re4 presenta las funciones g, h, j y k dadas por:

g ( x ) = log 9 x   +  1;

y

4

5 4 3 2 1

h( x ) = log 9 ( x + 1); 4



j ( x ) = log 4 x ; 9



f(x)

0

k ( x ) = 3 − log 9 x . 4

–4

–2

–1 –2 –3 –4 –5

2

4

6

8

10

12

x

77

23 Asígnale a cada gráfico el cartel y la expresión que le corresponde. y 6 4 2 0 –4

–2

–2 –4 –6

2

4

6

x

y 6 4 2 0 –4

–2

–2 –4 –6

2

4

6

x

y 3 2 1 0 –4

–2

–1 –2 –3

2

4

6

x

A Tiene asíntota en x = –2 Dom f = (–2; ∞) La base de la función es mayor que 1.

I. f (x) = log 2 (x + 3)

II. f (x) = log 3 (x + 3)

B Tiene asíntota en x = –3 Dom f = (–3; ∞) La base de la función es menor que 1.



III. f ( x ) = log 1 ( x + 3) 2

C Tiene asíntota en x = –3 Dom f = (–3; ∞) La base de la función es mayor que 1.

IV. f (x) = log 3 (x + 2)

24 Propon la fórmula de una función logarítmica que se ajuste a lo pedido en cada caso y analiza si hay más de una expresión posible. Explica cómo te das cuenta. a. f tiene una asíntota vertical en x = 2 y su base es 3. 1 b. El Dom g = (–6; +∞) y su base es . 3

25 Juliana y Mateo escribieron, cada uno en su cuaderno, una expresión para la función representada. Mirá lo que escribió cada uno, indicá si es correcto o no y explica por qué. y Ayuda: puedes mirar las propiedades de los loga6 5 ritmos en el capítulo 1. 4 3 2 1

Juliana: f ( x ) = log 1 x 3

Mateo: f ( x ) = −1 ⋅ log 3 x

78

0 –2

–1 –2

2

4

6

8

x

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

c. h es decreciente, tiene una asíntota vertical en x = 0 y h(5) = –1.

ecuaciones exponenciales y LOGARÍTMICAS x +3 26 a. Representa gráficamente la función f dada por f ( x ) = 2 − 1 .

b. Usa el gráfico para resolver la ecuación 2 x + 3 − 1 = 3 . c. Resuelve analíticamente la ecuación 2 x + 3 − 1 = 3 y compara la solución con la que obtuviste en b.

27 a. Usa el gráfico del ejercicio anterior para resolver la ecuación 2 x + 3 − 1 = 8 . b. Resuelve analíticamente la ecuación 2 x + 3 − 1 = 8 y compara la solución con la que obtuviste en a.

28 a. Usa el gráfico del ejercicio anterior para resolver la ecuación 2 x + 3 − 1 = −5 .

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

b. Resuelve analíticamente la ecuación 2 x + 3 − 1 = −5 y compara la solución con la que obtuviste en a.

2x +3 − 1 = k 29 Discute según k la solución de la ecuación 2 − 1 = k . x +3

Ayuda: Usa el gráfico de la función f dada por f ( x ) = 2 x + 3 − 1 y las soluciones de los ejercicios anteriores. f ( x ) = 2x +3 − 1

79

30 Resuelve analíticamente las siguientes ecuaciones: a. 4 x +1 − 1 = 15

b. 4 3 x ⋅ 42 x −2 = 64

1 c. 4 x −1 =    4

2x

d.



3x = 27 92 x − 1

e.

10 1 + 3 x +1 = 3 3

f. e2 x −1 = e2

g. 2(52 x ) = 30

h. e 3 x +1 = 2

i.

1 =4 e2 x





80

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913



ECUACIONES Y FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 31 El siguiente gráfico corresponde a la función f dada por f(x) = ln x. a. Mirando el gráfico, estima. y

ln 0,5 =

5 4 3 2 1

ln 1,5 = ln 5 =

f(x) = ln x

0 2

–1 –2 –3 –4 –5

b. Mirando el gráfico, estima x. ln x = –2 → x =

4

6

8

10

12

x

ln x = 0,5 → x = ln x = 1,2 → x = c. Explica como hiciste para estimar los valores obtenidos en a y b.

d.

Verifica los resultados obtenidos usando la calculadora científica. Aproxima a los centésimos.

32 Resuelve las siguientes ecuaciones. Puedes usar GeoGebra para comprobar las soluciones. b. log( x − 1) = 2

a. log 2x = −1

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c. ln(2 x + 1) = −2

d. log( x + 1) = 0, 5 + log x 1

f. log 327 = − x 2 + 1

e. −1 + ln x = 0

81

–2 –1

0

7 6 5 4 3 2 1

y

2

f(x)

4

x

El gráfico corresponde a las funciones f y g dadas por f(x) = 2x – 3 y a g(x) = –2(3x) + 1. y f(x) f tiene una asíntota horizontal en 4 y = –3 y su recorrido es (–3; +∞). 3 2 La recta y = 1 es asíntota del gráfico 1 0 de g. Su base es mayor que 1, por x –4 –2 4 2 –1 lo que debería ser creciente; pero al –2 –3 estar multiplicada por –2, el gráfico –4 g(x) se invierte y la función es decreciente. En consecuencia, Rec g = (–∞; 1).

Si una función es de la forma h(x) = k ax + c puede anticiparse que y = c será asíntota de su gráfico. Además, si k > 0, el crecimiento de la función respeta lo dicho para f(x) = ax, mientras que si k < 0, se invierte. En consecuencia, si k > 0, Rec h = (c; +∞), y si k < 0, Rec h = (–∞; c)

–4

g(x)

0

300 200 100

400

500

600

2

4

6

Cantidad de truchas

8

10

12

14

16

t

T(t)

El gráfico muestra el desarrollo de una colonia de 100 truchas en una laguna. 500 ,y La expresión que representa la situación es T(t ) = 1 + 4 ⋅ e −0,9⋅t 500 es el valor límite de habitantes de esta colonia.

Muchas colonias de seres vivos se reproducen durante un tiempo de acuerdo con una ley exponencial y luego el crecimiento se frena.

Si una colonia de 3000 hormigas aumenta un 38% mensual, la expresión que permite obtener la cantidad de habitantes de la colonia en función del tiempo (expresado en meses) es H(t) = 3000 · 1,38t. En cambio, si una colonia de 50 000 mosquitos se está extinguiendo al 25% diario, M(t) = 50 000 · 0,75t representa la cantidad de mosquitos que quedan vivos por día.

El crecimiento de ciertas poblaciones de seres vivos puede representarse por medio de una función exponencial de la forma P(t) = c · at, donde c representa la población inicial. r r (o a = 1 − ), si la población Además, a se calcula como a = 1 + 100 100 aumenta (o disminuye) siendo r la tasa de crecimiento (o decrecimiento) por unidad de tiempo.

Las funciones de la forma f(x) = ax se denominan exponenciales porque la variable x aparece en el exponente. Hay que tener en cuenta que: • La base a es un número real positivo y distinto de 1. • Si a > 1, la función es creciente; si 0 < a < 1 la función es decreciente. Además, si las bases de dos funciones de la forma f(x) = ax son inversas (el producto entre ellas es 1) sus gráficos son simétricos respecto del eje y.

El gráfico corresponde a la función f dada por f(x) = 3x x 1 y a la g dada por g ( x ) =   . 3 f es creciente y g es decreciente. El dominio de ambas funciones es ¡ y el recorrido, (0; +∞). La recta y = 0 es asíntota de los gráficos de ambas funciones.

Crecimiento y decrecimiento de poblaciones

Funciones exponenciales

Para recordar

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

82

–4

–2 –1 –2 –3 –4 –5

0

5 4 3 2 1

y

2

f(x)

4

x

h(x)

0

3 2 1

y

f(x)

Si una función es de la forma h(x) = k loga (x – b) + c, su dominio es (b; +∞) y x = b es asíntota de su gráfico. Además, si k > 0, el crecimiento de la función respeta lo dicho para f(x) = loga x, mientras que si k < 0, se invierte. El valor de c genera un desplazamiento vertical que no modifica el dominio ni la asíntota vertical.

x –2 2 4 6 8 f es creciente y g, decreciente. –1 –2 El dominio de ambas es (0; +∞) y –3 g(x) la imagen es ¡. La recta x = 0 es asíntota de los gráficos de ambas funciones.

2

El gráfico corresponde a las funciones f y g dadas por: f(x) = log2 x y a g ( x ) = log 1 x .

Igual que en la función exponencial, si a > 1 la función logarítmica es creciente; y si 0 < a < 1, la función es decreciente. Además, si las bases de dos funciones del tipo f(x) = loga x son inversas (el producto entre ellas es 1) sus gráficos son simétricos respecto del eje x.

El gráfico corresponde a la función f dada por: f(x) = 3x y la h dada por: h(x) = log3 x. Como pasa con todas las funciones inversas, el dominio de una coincide con el recorrido de la otra. En consecuencia, Dom h = (0; +∞) y Rec h = ¡. Además, x = 0 es asíntota vertical del gráfico de h.

La inversa de una función exponencial del tipo f(x) = ax es otra función de la forma h(x) = loga x, denominada función logarítmica. La base de la función logarítmica es a. Por ser a la misma que en la función exponencial, debe ser un número real positivo distinto de 1.

Para recordar

Funciones logarítmicas

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83

–4

–2

–1 –2 –3

0

3 2 1

y

2

4

6

f(x )

x

S = {−2}

x = −2

x+3=1

x + 3 = 20

log 2( x + 3) = 0

(−2 ∈Dom f )

−0, 5 log 2( x + 3) = 0

−0, 5 log 2( x + 3) − 1 = −1

De manera análoga se puede hallar algebraicamente la solución de la ecuación anterior así:

Para estimar la solución de −0, 5 log 2( x + 3) − 1 = −1 se puede analizar para qué valor de x es y = –1. Así, x ; –2.

Como la base es mayor que 1 y el número que multiplica es negativo, la función es decreciente.

El dominio de f es (–3; +∞) y la asíntota vertical es x = –3.

El gráfico corresponde a la función f(x) = –0,5 log2 (x + 3) – 1.

A través del gráfico de las funciones exponenciales y logarítmicas se pueden estimar soluciones de ecuaciones, analizando para qué valores de x la función alcanza un determinado valor de y.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Más actividades 33 Analiza la expresión de cada función exponencial y determina su imagen, la ecuación de la asíntota, su ordenada al origen y si se trata de una función creciente o decreciente.

41 Una colonia de ranas está en un proceso de extinción. El gráfico muestra la cantidad de ejemplares que aún quedan vivos por mes. Ranas vivas

x

2 a. f ( x ) =   − 5 c. h( x ) = 3 ⋅ 2 x − 0, 5 3

b. g ( x ) = 4 x + 1

d. j ( x ) = (−2) 0, 7 x + 10

200 160 120 80 40

35 Escribe una expresión del tipo f(x) = a + c para la cual: x

a. Rec f = (4; ∞) y sea creciente. b. Rec f = (4; ∞) y sea decreciente. c. Su asíntota sea y = –5 y sea decreciente. 36 En la actividad anterior, ¿cuántas expresiones puedes escribir en cada ítem? Si hay más de una, explica por qué y qué características tienen todas. 37 La ordenada al origen de una función del tipo f(x) = ax + c es 8; además, f(1) = 10. Halla el valor de a y c, y reescribe la expresión. 38 Escribe la expresión de una función de la forma f(x) = k ax + c cuya imagen incluya todos los números menores que 1. ¿Puede ser esta una función creciente? ¿Y decreciente? 39 Esteban dice que si la expresión de una función es de la forma f(x) = k ax + c y la función es creciente, entonces a es mayor que 1. ¿Siempre se cumple esto? ¿Por qué? 40 Se estima que en un bosque hay 8 000 m3 de madera y que esa cantidad aumenta 3,2% por año. a. ¿Cuánta madera se espera tener en 8 años? b. No se permite la explotación del bosque hasta que la cantidad de madera supere los 20 000 m3. ¿Cuánto tiempo habrá que esperar para comenzar a talar?

84

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo (meses)

a. ¿Cuántas ranas había inicialmente? b. ¿Qué porcentaje de ranas se muere cada mes? c. Escribe una expresión del tipo R(t)= k at con la que se pueda calcular la cantidad de ranas vivas que hay cada mes. 42 Una colonia de iguanas se reproduce de acuerdo 200 , donde I es la con la fórmula I(t ) = 1 + 19e −0,2 t cantidad de iguanas en función del tiempo medido en meses. a. ¿Cuántas iguanas hay inicialmente? b. ¿Cuál es el valor límite de iguanas que la colonia no podrá sobrepasar? c. ¿Cuántas iguanas se espera tener al año de comenzada la reproducción? 43 Representa en el mismo sistema cartesiano las funciones f y g dadas por f(x) = 10x y g(x) = log x (puedes usar el GeoGebra). ¿Respecto de qué recta son simétricas sus gráficos? Escribe sus diferencias y similitudes. 44 Escribe la expresión de una función del tipo f(x) = loga (x + c) para cada caso. a. Dom f = (–2, ∞) y f(6) = –3. b. Dom f = (6, ∞) y f(15) = 2. c. Dom f = (–1, ∞) y f(0,5) = –1. 45 Analiza la expresión de cada función y determina su dominio, la ecuación de su asíntota, sus raíces y si se trata de una función creciente o decreciente. a. f(x) = log7 (x – 9) b. g(x) = log0,2 (x + 4) c. h(x) = ln (x – 11)

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

34 Representa las funciones del ejercicio anterior y verifica si se cumple lo que anticipaste. Puedes usar GeoGebra.

39 A partir del gráfico de la función f dada por f(x) =  log1,7 (x + 1,5) estima el valor de x para el que: a. f(x) = –1

c. f(x) = 5

b. f(x) = 2,5 d. f(x) = 6,5 Para representar puedes usar el GeoGebra, luego resuélvelas analíticamente. 40 Resuelve gráfica y analíticamente las siguientes ecuaciones: a. 32x = 81

c. 3x + 1 – 2 = 4

b. 3x – 1 = 7

d. 3 · 3x – 2 = 5

40 Se depositan $ 30 000 en un banco que ofrece un interés del 12% anual. Al finalizar cada año, los intereses acumulados pasan a formar parte del capital. a. Si no se efectúa ningún retiro de dinero, ¿cuánto habrá a los 8 años de realizado el depósito? b. Planteá una fórmula que permita calcular el dinero que habrá en el banco, en función del tiempo (en años), si no se realizan extracciones. c. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir hasta que el depósito inicial se triplique?

Autoevaluación 1 Analizando cada expresión completa el cuadro sobre cada función. ¿Creciente o decreciente?

Asíntota

Dominio

Recorrido

Ordenada al origen

Cero o raíz

f(x)= 0,7x – 4 g(x)= 9,2x + 8 h(x)= log7 (x + 2)

2 En el gráfico se representó una función del tipo f(x) = loga (x – k).

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y

a. Determina el valor de a y de k, y reescribe su expresión. b. Indica el dominio, el recorrido, la raíz y la asíntota de la función. c. A partir del gráfico, estimá el valor de x para que f(x) = –2.

4 3

f(x )

2 1 0 –1

1 2 3

4 5 6

7 8

9 10 11 12

x

–2 –3 –4

3 Una colonia de monos se reproduce de acuerdo con una función exponencial y el número de sus habitantes aumenta un 8% cada año. Hoy se realizó un conteo y se determinó que hay 200 ejemplares. a. ¿Cuántos monos habrá dentro de 5 años, sin considerar ninguna muerte? b. ¿Cuánto tiempo habrá pasado cuando haya más de 1000 ejemplares?

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