FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER 10.1 Funciones ortogonales 10.2 Series de Fourier 10.3 Series de Fourier de cosenos y senos

10.4 El problema de Sturm-Liouville 10.5 Series de Bessel y de Legendre 10.5.1 Serie de Fourier-Bessel 10.5.2 Serie de Fourier-Legendre Ejercicios de repaso

El lector ha estudiado ya, en el cálculo infiriitesimal,

los vectores en el espacio de dos

y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretación geométrica. Estos conceptos se han generalizado y’es muy común imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida. El concepto de funciones ortogonales es fundamental en el estudio de los temas del siguiente capítulo y otros. Otro concepto que se vio en cúlculo

infinitesimal fue el desarrollo de una función

fcomo serie infinita de potencias de x - a, llamada serie de potencias. En este capítulo aprenderemos a desarrollar una función f en términos de un conjunto infinito de funciones

ortogonales.

437

438

CAPíTULO

10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER

FUNCIONES

ORTOGONALES

H Producto interno W Funciones ortogonales W Conjunto ortogonal n Norha W Norma cuadrada n Conjunto ortonormal n Ortogonalidad con respecto a unajünción peso H Serie de Fourier generalizada

En matemhticas superiores se considera que una función es la generalización de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones. Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u . v, posee las propiedades siguientes:

9 (4 VI = CV, 4

ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar iii) (u, u) = 0, si u = 0, y (u, u) > 0 si u f 0 iv) (u + v, w) = (ll, w) + (v, w). Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades.

Producto interno

Supongamos ahora quefi yf2 son funciones’defínidas en un intervalo [u, b].* Como una integrar del producto fi(x)fi(x) definida en el intervalo tambih posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las integrales, podemos enunciar la siguiente definición:

Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto interno es cero, definiremos 1aS funciones ortogonales en forma semejante:

*El intervalo tambih podría ser (--, -), [0, -), etcktera.

Sección 10.1 Funciones orbgonoles

439

A diferencia del @lisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de “perpendicular”, en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen significado geométrico.

Funciones

Las funcionesfi(x)

ortogonales

= x2 yfi(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, l] porque

(.fl Ji) = \yl fi(x>f2(4 dx = I

Conjuntos ortogonales nes

1 -lx2*x3dx=&6

6

1 =o. -1

Nos interesan principalmente los conjuntos infinitos de funcio-

ortogonales.

La norma, o longitud IIuII, de un vector u se uede expresar en términos del producto interno; concretamente, (u, u) = Ilull’, o bien Ilull= ?-(u, II) . La norma, o lon$tud generalizada, de una

función b, es IlbW = a es decir,

El número

(3)

se llama norma cuadrada de &. Si {4&)} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [u, b] y tiene la propiedad que Ilc#&)II = 1 par& n = 0, 1,2, . , . , se dice iúe {C&(X)} es un conjunto ortonormal en el intervalo.

Conjunto ortogonal de funciones

Demuestre que el conjunto ( 1, cos x, cos ti, . . .} es ortogonal en el intervalo [+r, T].

I

440

CAPíTULO

10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER

SOLUCIÓN Si definimos &(x) = 1 y CJ~,&C) = cos nx, debemos demostrar que j ?r $&x)I$,(x) U!X = 0 para n # 0 y que JTn &,&)&(x) h = 0 cuando m # n. En el primer caso,-X

(60, 44 = j-1. GONG dx = j-y, cos nx dx 1 = = -sennx

n

-7!

= t [sennn -sen( -nn)] = 0, n # 0, y en el segundo,

-=

cos mx cos nx dx

= $d [ cos(m + n)x + cos(m - n)x] dx m sen@ +n)x I sen@- 4~

mi-n

m-n

1 > T

=o

t identidad trigonométrica fn.

-7r

n

Normas

Determine las normas de cada función en el conjunto ortogonal del ejemplo 2. SOLUCIÓN

Para h(x) = 1, de acuerdo con la ecuación (3),

de modo que ~~~~(x)~~ = fi. Para c#J,(x) = cos nx, n > 0, se debe cumplir ll~n(x)~~2

Así, para n > 0, Ilq&(x)II

= Iy, cos%x dx = i IIr [l + cos 2nx] dx = 7~.

= 6.

Todo conjunto orti>gonal de funciones {C&(X)} distintas de cero, n = 0, 1,2, . . . , se puede

normalizar, -esto es, transformar en un conjunto ortonormal- dividiendo cada función por

su norma. Conjunto ortonormal de funciones

Según los ejemplos 2 y 3, el conjunto 1 cosx i G%T’

es ortonormal en [-7r, ~1.

cos 2x VG ‘... 1 n

Sección 10.1 Funciones ortogonales

441

Vamos a establecer una analogía más entre vectores y funciones. Suponga que VI, v2 y vg son tres vectores no cero, ortogonales entre sí en el espacio tridimensional. Ese conjunto ortogonal se puede usar como una base para el espacio en tres dimensiones; esto es, cualquier vector tridimensional se puede escribir en forma de una combinación lineal u = ClVl + c2v2 + c3v3,

(4)

en donde las ci, i = 1,2,3, son escalares y se llaman componentes del vector. Cada componente ci se puede expresar en términos de u y del vector Vi correspondiente. Para comprobarlo tomaremos el producto interno de (4) por VI : (ll, v*) = Cl(VI,

Por

Vl) + cz(v2,

Vl> + c3@3, Vl) = w1112

+ c2 * 0 + c3 . 0.

c, = (UY VI> I v111 2 .

consiguiente

En forma semejante podemos comprobar que los componentes c2 y c3 se pueden expresar como sigue:

c2 = tu, v2) llv2112

y

c3 = (UY v3) 2’ Ilv311

Entonces, la ecuación (4) se puede escribir en la siguiente forma: (UY Vl) (UY v2) v 2 + (UY v3) v 3 = i (u, vn. u=----VI+llvIl llv2112 Ilvil12 n=l llvnl12

(5)

Serie de Fourier generalizada

Supongamos que {&&)} es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [u, b]. Nos preguntamos,: si y =f(x) es una función definida en el intervalo [u, b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes c,,, n = 0, 1,2, . . ., para el cual

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes c,, mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación (6) por &(x) e integrar en el intervalo [u, b] se obtiene

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m = n. En este caso tendremos

Entonces, los coeficientes que buscamos son

442

CAPíTULO

10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER

En otras palabras,

(7)

en la que

(8)

La ecuación (7), en notación de producto interno (o producto punto), es

Vemos así que esta ecuación es el análogo funcional del resultado vectorial expresado en la ecuación (5).

La hipótesis habitual es que w(x) > 0 en el intervalo de ortogonalidad [a, b]. Ortogonalidad y funcih

peso

El conjunto { 1, cos x, cos ti, . . .} es ortogonal con respecto a la función peso constante w W(X) = 1 en el intervalo [-rr, n].

Si [&(x)} es ortogonal con respecto a una función peso W(X) en [u, b], al multiplicar (6) por w(x)c#J,(x) e integrar se llega a CI, =

s~:fw4.+M

Il4dm

d.x

’

(10)

en donde La serie (7) en que los coeficientes están expresados por las ecuaciones (8) o (lo), se llama serie de Fourier generalizada.

Conjuntos completos Podemos apreciar que el procedimiento descrito para determinar las c, era formal; esto es, no tuvimos en cuenta las cuestiones básicas acerca de si en realidad es posible un desarrollo en serie como el de la ecuación (7). También, para desarrollar f en forma de una serie de funciones ortogonales, es necesario que no sea ortogonal a cada & del conjunto ortogonal {&(x)}. (Si f fuera ortogonal a toda &,,, entonces c,, = 0, n = 0, 1, 2, . . .) Para evitar este problema supondremos, en lo que queda del capítulo, que un conjunto ortogonal es completo. Esto quiere decir que la única función ortogonal a cada miembro del conjunto es la función cero.

Sección 10.1 Funciones oficgonales

443

Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas.

En los problemas 1 a 6, demuestre que las funciones respectivas son ortogonales en el intervalo

indicado.

1. fi(x) = x,fgx) = x2; [-2, 21 2. fi(x) = x3,f2(x) = x* + 1; [-1, l] 3. fi(x) = ex,f2(x) = Xe-X - e-"; EO, 21 4. J(x) = cos x, f2(x) = sen*x; [0, a] 5. fi(xy= x,.f-+) = cos 2x; [-d2, 8/2] 6. f,(x) = ex,f2(x) = senx; [?r/4, 5a/4] En los problemas 7 a 12 demuestre que el conjunto dado de funciones es ortogonal en el intervalo indicado. Calcule la norma de cada función del conjunto.

7. {senx, sen 3x, sen 5x, . . .}; [0, &2] 8. {cos x, cos 3x, cos sx, . ..}. [O, n/2] 9. {sennx}, n = 1, 2, 3, . . . ; [0, P] ,ra=1,2,3

,...; [O,p]

ll. {l,cos~x},n=1,2,3 12.

>...; [O,pJ

1, cos yx, sen?, , n = 1,2,3.. . . , m = 1,2,3,. . . ;

[-p,p]

Compruebe por integracih directa que las funciones de los problemas 13 y 14 son ortogonales con respecto a la función peso indicada en el intervalo especificado. l3. H,(x) = 1, H,(x)= 23, H,(x) = 4x2 - 2; w(x) = e-z, (-03, 00)

14. L,(x) = 1, Ll(X) = -x+1,L2(x)=kx2-2x+l;

w(x)=e-x,[O,m)

1 5 . Sea (&(x)} un conjunto ortogonal de funciones en [u, b] tal que &(x) = 1. Demuestre que ji q&(x) dx = 0 para n = 1,2, . , . 16. Sea {&,(x)) un conjunto ortogonal de funciones en [u, b] tal que &(x) = 1 y #l(x) = x. Demuestre que $ (CU + P)&,(x) du = 0 para n = 2,3, , . . y todas (Y y fi constantes. 17. Sea (A(x)} un conjunto ortogonal de funciones en [u, b]. Demuestre que I!&(X)+ $&)l12 =

I14&>H2 + 11d~&11*, m + n. 18. De acuerdo con el problema l,.sabemos queA = x yfi(x) = x2 son ortogonales en [-2, 21. Determine ras constantes CI y c2 tales quefi(x) = x + ~1x2 + czx3 sea ortogonal afi yfi a la vez, en el mismo intervalo. 19. El conjunto de funciones (sen nx}, n = 1, 2,3, . . . es ortogonal en el intervalo I-T, n]. Demuestre que el conjunto no es completo. 20. Sean fi, fi y fo funciones continuas en el intervalo [u, b]. Demuestre que (fi + fi, f3) = ui,“! + ViA).

444

CAPíTULO

10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER

SERIES DE FOURIER n n

Serie de Fourier n Coeficientes de Fourier W Convergencia de una serie de Fourier Extensión periódica

El conjunto de funciones

11 3 cos-xP’ cos-xP’“’

, sennP x , sen-x, 2% P sen-x, 3a P . . . 1 es ortogonal en el intervalo [-p, p] (véase el problema 12 de los ejercicios 10.1). Supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p, p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica

Entonces, los coeficientes uo, al, ~2,. . . , bl, b2, *. . se pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior. Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde -p hastap, se obtiene (3) Como cada función cos(nm/p), sen(nrx/p), n > 1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia, l”,f(x)dx=~~pdx=~x~;

=Pa,,, P

Al despejar UO se obtiene (4) Ahora multipliquemos la ecuación (2) por cos(mm/p)

I

e integremos:

;pf(x)cos~xdx=2~pcos~xdx cos.Excos-xdx + b, ’ coszxsen-xdx -P

P

P

(5)

Por la ortogonalidad tenemos que

Y

I

’ coszxdx=O, -P P

I

’ cosExcos-xdx -P P P

I’

-P

cosExsen-xdx P

P

m>O =

0 , p,

m#n m=n

= 0.

*Hemos optado por escribir el coeficiente de 1 en la serie (2) en la forma ad2, y no como ao. Es sólo por comodidad; la fórmula para u,, se reducirá entonces a ao cuando n = 0.

Sección lo.2 Series de Fourier

445

Entonces, la ecuación (5) se reduce a y así

(6)

Por último, si multiplicamos a (2) por sen(m?rx/p), integramos y aplicamos los resultados

I ’ sen=x dx = 0, I sen-x cosFx I senm?‘xsenr41rxdx -P

P

-P

P

rnn P

P

P

P

P

-P

llegamos a

m>O dx = 0

=

(7)

La serie trigonométrica (2) en que las ecuaciones (4), (6) y (7) definen respectivamente los coeficientes ao, un y b,, es una serie de Fourier de la fhnción$ Los coeficientes que así se obtienen se llaman coeficientes de Fourier clef: Al determinar los coeficientes ao, u,, y b, supusimos que f es integrable en el intervalo y que la ecuación (2) -al igual que la serie obtenida multiplicando dicha ecuación por cos(mm/p)converge en tal forma que permite la integración término a término. Hasta no demostrar que la ecuación (2) es convergente para determinada función& no se debe tomar el signo igual en sentido estricto o literal. Algunos textos emplean el símbolo - en lugar del =. En vista de que en las aplicaciones la mayor parte de las funciones son del tipo que garantiza la convergencia de la serie, usaremos el signo igual. Sinteticemos los resultados:

446

CAP’hULO 10 FUNCIONES ORTOGOfWLES

Y SERIES DE FOURIER

Desarrollo en serie de Fourier

Desarrolle en una serie de Fourier. Y

--kn

-7C

a

X

FIGURA 10.1

En la figura 10.1 vemos la gráfica de J: Con p = T tenemos, según las ecuaciones (9) y (lo),

SOLUCIÓN

1

= - 1 cosnxff m n o = -cos n77 + 1

c cos nn = (-1)”

n27r En forma semejante vemos que, según (1 l),

Por

(13)

consiguiente, f(x) = a + s {’ -n\, l)” cos nx + i semx} .

n

Observe que u, definida por la ecuación (10) se reduce a UO da& por la ecuación (9), cuando se hace n = 0. Pero como muestra el ejemplo 1, esto quizá no sea el caso después de evaluar la integral para u,.

Convergencia de una serie de Fourier El teorema que sigue especifica las condiciones suficientes de convergencia de una serie de Fourier en un punto.

kción 10.2 Series de Fourier

447

El lector puede encontrar una demostración de este teorema en el texto clásico de Churchill y Brown.?

Convergencia en un punto de discontinuidad

La función (12) del ejemplo 1 satisface las condiciones del teorema 10.1. Así, para todo x del intervalo (-n, T), excepto cuando x = 0, la serie (13) convergerá hacia f(x). Cuando x = 0 la función es discontinua y por consiguiente la serie convergerá a f(o+)

+f(O-)

_ 7r + 0 77 --ce.

2

2

n

2

Extensión periódica Observamos que las funciones del conjunto básico (1) tienen un periodo común 2~; por consiguiente, el lado derecho de la ecuación (2) es periódico. Deducimos entonces que una serie de Fourier no solo representa a la función en el intervalo (-p, p), sino que también da la extensión periódica deffuera de este intervalo. Ahora podemos aplicar el teorema 10.1 a la extensión periódica de f o suponer, desde el principio, que la función dada es periodica, con periodo 2p (esto es, f(x + 2~) =f(x)). Cuando fes continua por tramos y existen las derivadas derecha e izquierda en x = -p y en x = p, respectivamente, la serie (8) converge hacia el promedio [f(p-) +f(p+)]/2 en esos extremos, y hacia este valor extendido periódicamente a f3p, 45p, 1Í’p, etcétera.

+ En otras palabras, cuando x es punto en el intervalo y h > 0, f(x+) = limf(x + h), h-r0

f(x-) = limf(x - h) h+O

t Ruel V. Churchill y James Ward Brown, Fourier Series und Boundary Value Problems

(New York: McGraw-Hill).

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CAPíTULO

10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER

Convergencia a la extensión periódica

La serie de Fourier (13) converge hacia la extensión periódica de (12) en todo el eje x. Los puntos llenos de la figura 10.2 representan el valor

en 0, k21r, k47r, . . . . En fo, f31r, f5n, . . . . la serie converge hacia el valor f(n-> + A-r+) = 0

2 Y

+-+-L n

:\, ix, -+.2+’

-4z -3rr - 2 n -7r

:\,

:\,

--H w 2K 3n-----3 4w

FIGURA 10.2

n

Las respuestas ri los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas.

Determine las series de Fourier de cada

7. f(x) =x + ?r,

0,

9.f(x)= O7 r senx, ll. f(x) =

1

-71