Funciones ortogonales y series de Fourier Las series e integrales de Fourier constituyen un tema cl´asico del An´alisis Matem´atico. Desde su aparici´on en el siglo XVIII en el estudio de las vibraciones de una cuerda, las series de Fourier se han convertido en un instrumento indispensable en el an´alisis de ciertos fen´omenos peri´odicos de la F´ısica y la Ingenier´ıa. La idea fundamental se basa en aproximar la funci´on, no por una serie de potencias (desarrollo de Taylor), sino por una serie de funciones peri´odicas (senos y cosenos). En lo que sigue consideraremos que las funciones con las que se trabaja son Riemann integrables en el intervalo correspondiente (bastar´ıa, por ejemplo, suponer que son continuas salvo en un n´ umero finito de puntos donde presentan discontinuidades de salto).

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0.1. FUNCIONES ORTOGONALES

2

0.1. Funciones ortogonales Definici´ on 0.1.1. El producto escalar de dos funciones f1 y f2 definidas en un intervalo [a, b] es el n´ umero ∫ b ⟨f1 , f2 ⟩ = f1 (x)f2 (x) dx a

Entonces la norma que induce este producto escalar de una funci´on f definida en el intervalo [a, b] es el n´ umero ∫ )1 ( b 2 f (x) dx 2 ∥f ∥ = a

Definici´ on 0.1.2. Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en el intervalo [a, b] si ∫ b ⟨f1 , f2 ⟩ = f1 (x)f2 (x) dx = 0 a

Por ejemplo, las funciones f1 (x) = x2 y f2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto que ∫ 1 ∫ 1 [ 1 ]1 2 3 ⟨f1 , f2 ⟩ = x x dx = x5 dx = x6 −1 = 0 6 −1 −1 Definici´ on 0.1.3. Se dice que un conjunto de funciones {ϕn }∞ n=0 es ortogonal en el intervalo [a, b] si ∫ b ⟨ϕm , ϕn ⟩ = ϕm (x)ϕn (x) dx = 0, m ̸= n a

Si {ϕn }∞ n=0 es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] con la propiedad de que ∥ϕn ∥ = 1 para cualquier n, entonces se dice que {ϕn }∞ n=0 es un conjunto ortonormal en el intervalo [a, b].

0.1. FUNCIONES ORTOGONALES

3

Ejemplo 0.1.4. El conjunto {ϕn (x) = cos(nx)}∞ n=0 es ortogonal en el intervalo [−π, π]. En efecto, ∫ ⟨ϕ0 , ϕn ⟩ =

π

1 cos(nx) dx = −π

]π [1 sen(nx) −π = 0, n

n ̸= 0

Si m y n son ambos distintos de 0, ∫

∫ ) 1 π( ⟨ϕm , ϕn ⟩ = cos(mx) cos(nx) dx = cos((m + n)x) + cos((m − n)x) dx = 2 −π −π 1 [ sen((m + n)x) sen((m − n)x) ]π = + = 0, m ̸= n −π 2 m+n m−n π

En este ejemplo, si calculamos las normas de cada funci´on, obtenemos:

∥ϕ0 ∥ =

(

∫

π

)1 √ dx 2 = 2π

−π

y para n > 0, ∥ϕn ∥ =

(

∫

π 2

cos (nx) dx −π

) 12

(1 = 2

∫

π

)1 √ [1 + cos(2nx)] dx 2 = π

−π

1 cos(x) cos(2x) , . . . , } es ortonormal en [−π, π]. De esta forma el conjunto { √ , √ , √ π π 2π

0.1. FUNCIONES ORTOGONALES

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Nota 0.1.5. De manera an´aloga puede probarse que el conjunto sen(x) sen(2x) 1 cos(x) cos(2x) {√ , √ , √ ,..., √ , √ ,...,} π π π π 2π es ortonormal en [−π, π]. Es conocido que, dada una base ortogonal en un espacio vectorial de dimensi´on finita, cualquier elemento de dicho espacio vectorial puede representarse como combinaci´on lineal de los elementos de esa base. Nuestro objetivo es extender esta propiedad a un espacio de dimensi´on infinita. Sea {ϕn }∞ on n=0 un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y sea f una funci´ definida en ese intervalo. Los coeficientes cm , m = 0, 1, 2, . . . , para los que f (x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + · · · + cn ϕn (x) + . . . se calculan multiplicando esta expresi´on por ϕm e integrando en el intervalo [a, b] ∫

∫

b

f (x)ϕm (x) dx = c0 a

∫

b

ϕ1 (x)ϕm (x) dx+· · ·+cn

ϕ0 (x)ϕm (x) dx+c1 a

∫

b

a

b

ϕn (x)ϕm (x) dx+. . . a

Por ortogonalidad, cada t´ermino del lado derecho de la u ´ltima ecuaci´on es cero, excepto cuando n = m. En este caso, se tiene ∫ b ∫ b ∫ b f (x)ϕn (x) dx = cn ϕn (x)ϕn (x) dx = cn ϕ2n (x) dx a

a

a

Por tanto, f (x) =

∞ ∑

cn ϕn (x)

n=0

donde los coeficientes cn vienen dados por ∫b cn =

a

f (s)ϕn (s) ds ⟨f, ϕn ⟩ = ∫b ∥ϕn ∥2 ϕ2 (s) ds a n

esto es,

f (x) =

∞ ∑ ⟨f, ϕn ⟩ n=0

∥ϕn ∥2

ϕn

Este desarrollo se llama desarrollo en serie ortogonal de f (o tambi´en, serie de Fourier generalizada). Nota 0.1.6. El procedimiento anterior es formal, es decir, no se ha analizado si el desarrollo en serie anterior es convergente.

0.2. SERIES DE FOURIER

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0.2. Series de Fourier El conjunto π 2π π 2π {1, cos( x), cos( x), . . . , sen( x), sen( x), . . . ,} p p p p es ortogonal en [−p, p]. Sea f una funci´on que admite un desarrollo en serie del conjunto anterior, es decir: a0 ∑ nπ nπ f (x) = + (an cos( x) + bn sen( x)) 2 p p n=1 ∞

donde los coeficientes a0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . . se determinan del modo que se coment´o anteriormente, excepto en el caso de a0 en el que, por conveniencia en la notaci´on, se escribe a0 . 2 Entonces

1 a0 = p

∫

p

f (s) ds −p

∫ nπ 1 p f (s) cos( s) ds, an = p −p p ∫ p 1 nπ bn = f (s) sen( s) ds, p −p p

n = 1, 2, . . . n = 1, 2, . . .

La serie a0 ∑ nπ nπ + (an cos( x) + bn sen( x)) 2 p p n=1 ∞

se llama serie de Fourier de f , y los n´ umeros reales an y bn , coeficientes de Fourier. Nota 0.2.1. Esta serie no converge para cualquier f . Habr´a que imponer condiciones que garanticen la convergencia de la serie de Fourier de una funci´on dada.

0.2. SERIES DE FOURIER

Ejemplo 0.2.2. En este ejemplo se calcula la serie de Fourier de la funci´on   0, si − π < x < − π 2 f (x) =  1, si − π ≤ x < π 2 De acuerdo con la definici´on de los coeficientes de Fourier: ∫ 1 π 3 a0 = ds = π − π2 2 { ∫ n−1 (−1) 2 ) sen( nπ 1 π 2 , si n es impar = an = cos(ns) ds = nπ π − π2 nπ 0, si n es par { 1 ∫ π nπ 1 − cos(nπ) cos( 2 ) , si n es impar nπ n bn = + = sen(ns) ds = 1 2 ), (−1 + (−1) si n es par π −π nπ nπ nπ 2

Por tanto la serie de Fourier es 3 1 1 1 + (cos(x) + sen(x) − sen(2x) − cos(3x) + sen(3x) + . . . ) 4 π 3 3

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0.3. DESARROLLOS DE SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES

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0.3. Desarrollos de series de Fourier de funciones pares e impares Recordemos que una funci´on es par si verifica f (−x) = f (x) para cualquier x, y es impar si f (−x) = −f (x). En un intervalo sim´etrico como (−p, p) la gr´afica de una funci´on par posee simetr´ıa respecto al eje y, mientras que la gr´afica de una funci´on impar posee simetr´ıa con respecto al origen. Estas funciones verifican las siguientes propiedades: • • • • •

El producto de dos funciones pares es par. El producto de dos funciones impares es par. El producto de una funci´on par y una impar es impar. La suma o la diferencia de dos funciones pares es par. La suma o la diferencia ∫ de dos funciones ∫ impares es impar. a

• Si f es par, entonces

a

−a ∫

• Si f es impar, entonces

f (x) dx = 2

f (x) dx. 0

a

f (x) dx = 0. −a

Gracias a estas propiedades el c´alculo de los coeficientes de una serie de Fourier se simplifica de manera importante cuando f es una funci´on par o impar. Si f es una funci´on par en (−p, p), entonces los coeficientes de la serie de Fourier se convierten en: ∫ ∫ 1 p 2 p a0 = f (s) ds = f (s) ds p −p p 0 pues f (x) es par. ∫ ∫ nπ nπ 2 p 1 p f (s) cos( s) ds = f (s) cos( s) ds, n = 1, 2, . . . an = p −p p p 0 p pues f (x) cos( nπ x) es par. p 1 bn = p

∫

p

f (s) sen( −p

nπ s) ds = 0, p

n = 1, 2, . . .

pues f (x) sen( nπ x) es impar. p De esta forma la serie de Fourier de una funci´on par en (−p, p) ser´a a0 ∑ nπ + an cos( x) 2 p n=1 ∞

con los coeficientes calculados anteriormente.

0.3. DESARROLLOS DE SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES

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Ejemplo 0.3.1. La funci´on f (x) = x2 es par en el intervalo (−2, 2) y por tanto su desarrollo de Fourier ser´a en serie de cosenos. De acuerdo con la definici´on de los coeficientes de Fourier: ∫ 2 2 2 8 a0 = s ds = 2 0 3 ∫ 2 2 nπ 16(−1)n , n = 1, 2, . . . an = s2 cos( s) ds = 2 0 2 n2 π 2 bn = 0, n = 1, 2, . . . Entonces la serie de Fourier es 4 16 ∑ (−1)n nπ + 2 cos( x) 2 3 π n=1 n 2 ∞

De manera similar, cuando f es impar en el intervalo (−p, p),

bn =

2 p

an = 0,

∫

p 0

n = 0, 1, 2, . . . nπ f (s) sen( s) ds, n = 1, 2, . . . p

y la serie de Fourier es

∞ ∑ n=1

bn sen(

nπ x) p

Ejemplo 0.3.2. La funci´on f (x) = x es impar en el intervalo (−2, 2) y por tanto su desarrollo de Fourier ser´a en serie de senos. De acuerdo con la definici´on de los coeficientes de Fourier:

bn =

2 2

∫ 0

2

an = 0, n = 0, 1, 2, . . . nπ 4(−1)n+1 s sen( s) ds = , 2 nπ

Entonces la serie de Fourier es ∞ nπ 4 ∑ (−1)n+1 sen( x) π n=1 n 2

n = 1, 2, . . .

0.3. DESARROLLOS DE SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES

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5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 1. Simetr´ıa par para f (x) = x2 en x ∈ (0, 2) 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 2. Simetr´ıa impar para f (x) = x2 en x ∈ (0, 2)

Nota 0.3.3. (Desarrollos en semi-intervalos) En todo lo anterior hemos considerado intervalos centrados en el origen, es decir, de la forma (−p, p). Sin embargo, en ocasiones ser´a interesante representar una funci´on que se define s´olo para el intervalo (0, p) mediante una serie trigonom´etrica. Esto puede hacerse de muchas formas distintas, suministrando una definici´on ficticia de la funci´on en el intervalo (−p, 0). Por brevedad se presentan los tres casos m´as comunes. As´ı, si y = f (x) est´a definida en el intervalo (0, p), podemos 1. (Reflexi´on par) reflejar la gr´afica de la funci´on respecto al eje y, es decir, f (x) = f (−x) para x ∈ (−p, 0) (la funci´on es ahora par en el intervalo (−p, p), y por tanto se tendr´a un desarrollo en serie de cosenos). 2. (Reflexi´on impar) reflejar la gr´afica de la funci´on respecto al origen, es decir, f (x) = −f (−x) para x ∈ (−p, 0) (la funci´on es ahora impar en el intervalo (−p, p), y por tanto se tendr´a un desarrollo en serie de senos). 3. (Traslaci´on) definir la funci´on mediante f (x) = f (x + p) para x ∈ (−p, 0), lo que dar´a origen a una serie de Fourier general.

0.4. CONVERGENCIA

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5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 3. Traslaci´on para f (x) = x2 en x ∈ (0, 2)

0.4. Convergencia El siguiente teorema expresa las condiciones suficientes de convergencia de una serie de Fourier en un punto. Teorema 0.4.1. Sean f y f ′ continuas a trozos en el intervalo (−p, p), es decir, continuas excepto en un numero finito de puntos donde presentan discontinuidades de tipo finito. Entonces la serie de Fourier de f en el intervalo converge a f (x) en los puntos x en los que la funci´on es continua. En los puntos x en los que la funci´on es discontinua la serie de Fourier converge al promedio: f (x+ ) + f (x− ) 2 + − donde f (x ) y f (x ) denotan los l´ımites de f en x por la derecha y por la izquierda, respectivamente. Si la funci´on es peri´odica de periodo 2p el resultado anterior se tiene para cualquier x ∈ R, no s´olo para el intervalo (−p, p).

0.5. TRANSFORMADA DE FOURIER

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0.5. Transformada de Fourier Hasta el momento se ha utilizado el sistema ortogonal formado por las funciones reales sen( nπ x) y cos( nπ x). Se puede considerar un sistema ortogonal de funciones con valores p p complejos. El producto interior que se considera en este caso es: ∫ p ⟨f1 , f2 ⟩C = f1 (x)f2 (x) dx −p

El conjunto de funciones {e

j nπ x p

} constituyen un sistema ortogonal con respecto al proejt + e−jt y ducto escalar anterior, teniendo en cuenta que para cada t ∈ R, cos(t) = 2 ejt − e−jt sen(t) = , como consecuencia de la relaci´on de Euler ejt = cos(t) + j sen(t). 2j La serie ∞ ∑

cn e j

nπ x p

n=−∞

se llama serie de Fourier compleja de f , donde los coeficientes son: ∫ p nπ 1 cn = f (s)e−j p s ds 2p −p La serie de Fourier compleja de una funci´on y la serie de Fourier de una funci´on son en realidad la misma. es decir, dos maneras distintas de escribir lo mismo. De la definici´on de cn , an y bn se tiene que, para cada n´ umero n > 0 cn =

an − jbn , 2

c−n =

an + jbn 2

y

a0 2 Las series de Fourier representan funciones definidas en un intervalo de la recta o, equivalentemente, funciones peri´odicas en la recta. Para representar funciones definidas en toda la recta y no peri´odicas, se sustituye por la transformada de Fourier. Ahora es conveniente trabajar en forma compleja, como hemos indicado que se puede hacer para las series. Formalmente se puede deducir una expresi´on de la transformada de Fourier a partir de la serie. Supongamos que f es una funci´on peri´odica de periodo 2p, entonces su serie de Fourier en forma compleja es c0 =

∞ ∑

1 ( 2p n=−∞ Llamando ωn =

∫

p

f (s)e−j

ds)ej

−p

nπ y p

∫

p

h(ω) = −p

la expresi´on anterior se escribe:

nπ s p

f (s)e−jωs ds

nπ x p

0.5. TRANSFORMADA DE FOURIER

12

∞ 1 ∑ (ωn − ωn−1 )h(ωn )ejωx 2π n=−∞

que tiene el aspecto de una suma de Riemann. En el l´ımite tendr´ıamos ∫ ∞ ∫ ∞ 1 ( f (s)e−jωs ds)ejωx dω 2π −∞ −∞ que contiene lo que se llama transformada de Fourier ∫ ∞ F(f )(ω) = f (s)e−jωs ds = ∫

−∞

∞

=

∫

f (s) cos(−ωs) ds + j −∞

∫

∞

= −∞

f (s) cos(ωs) ds − j

∞

f (s) sen(−ωs) ds = −∞ ∫ ∞

f (s) sen(ωs) ds −∞

y la f´ormula de inversi´on que dar´a f a partir de la transformada: ∫ 1 ∞ f (x) = F(f )(ω)ejωx dω = 2π −∞ ∫ ∞ ∫ j ∞ 1 F(f )(ω) cos(ωx) dω + F(f )(ω) sen(ωx) dω = 2π −∞ 2π −∞ Nota 0.5.1. La definici´on var´ıa seg´ un los gustos en la aparici´ on de ciertas constantes, por ejemplo el exponente puede ser −2jxπξ; en ese caso, la f´ormula de inversi´on no lleva el factor 1/2π multiplicando. Adem´as, el exponente casi siempre lleva signo −, pero algunos autores usan signo +(en este caso, el signo − aparece en la f´ormula de inversi´on).

Nota 0.5.2. Una condici´on suficiente para que exista la transformada de Fourier es que f sea absolutamente integrable en (−∞, ∞) y que f y f ′ sean continuas en todo intervalo finito.

Como consecuencia de la linealidad de la integral, se tiene que F(αf + βg)(ω) = αF(f )(ω) + βF(f )(ω) Adem´as, bajo condiciones suficientes de regularidad se obtiene que F(f (n )(ω) = (jω)n F(f )(ω) Otras propiedades interesantes son:

Amplitud

Amplitud

0.5. TRANSFORMADA DE FOURIER

1

0

13

1

0

−1/2 0 1/2

−1 0 1

t

t

Figura 4. Pulso rectangular y su transformada

• Escalado: La transformada de Fourier de f (at), a > 0 es a1 F(f )( ωa ). • Desplazamiento: La transformada de Fourier de f (t − t0 ) es e−jωt0 F(f )(ω). La transformada de Fourier de ejω0 t f (t) es F(f )(ω − ω0 ). La transformada de Fourier de f (t) cos(ω0 t) es

F(f )(ω−ω0 )+F (f )(ω0 +ω) . 2

• Convoluci´on: La transformada de Fourier de f (t)g(t) es

∫∞ −∞

La transformada del producto de convoluci´on

F(f )(ω)F(g)(ω − u))du

∫∞ −∞

f (s)g(t−s)ds es F(f )(ω)F(g)(ω)

Ejemplo 0.5.3. Sea f el pulso rectangular dado por la funci´on caracter´ıstica del intervalo [− 12 , 12 ], es decir, { f (x) =

si − 12 ≤ x ≤ en otro caso

1, 0,

1 2

entonces ∫ F(f )(ω) =

∞

f (s)e−jωs ds =

−∞

∫

F(f )(ω) =

1 2

− 12

ejωs ds =

Amplitud

Amplitud

0.5. TRANSFORMADA DE FOURIER

1

0

14

1

0

−1.5

0

1.5

−1.5

t

0

1.5

t

Figura 5. La funci´on g(x) = e−2π|x| y su transformada

∫

1 2

= − 12

=

∫ cos(ωs) ds − j

1 2

sen(ωs) ds = − 12

1 1 1 1 1 1 (sen(ω ) − sen(−ω )) − j (− cos(ω ) + cos(−ω )) = ω 2 2 ω 2 2 ω 2 = sen( ) ω 2

La funci´on del segundo miembro se suele llamar seno cardinal y se representa por sinc. Ejemplo 0.5.4. La transformada de g(x) = e−2π|x| es la funci´on

F(g)(ω) =

4π + ω2

4π 2