Generación de haces vectoriales mediante un interferómetro de Sagnac D. Cavazos, A. Canales y L. Cortés Tecnológico de Monterrey Departamento de Física Monterrey 64849

Resumen Se reprodujo el método y arreglo experimental propuesto por Lui et. al para generar haces vectoriales, particularmente haces cilíndricos, por medio de interferometría utilizando un arreglo del tipo Sagnac trapezoidal. Específicamente, fue propuesto reproducir los resultados de los autores referentes al uso de hologramas generados por computadora en una dimensión. Palabras Clave: Haces vectoriales · Polarización cilíndrica · Sagnac · PBS · Interferometría

1.

Introducción

2.

Marco teórico

2.1.

Haces vectoriales cilíndricos

Considerando la parte espacial de la ecuación de onda vectorial,

Los campos vectoriales han cobrado un interés importante en las últimas décadas debido a sus novedosas aplicaciones, particularmente los haces cilíndrimente polarizados. A través de estos se han logrado descubrir efectos ópticos relacionados con polarizaciones inhomogéneas, que pueden ser útiles en fenómenos como exitaciones de plasmones, superresolución, pinzas ópticas y micromaquinado láser [[1]]. De igual forma, también se ha reportado que los modos de polarización inhomogéneos (IPM’s) permiten alcanzar un mayor grado de enfoque, que puede ser empleado por ejemplo como un método de aceleración de electrones [[2]].

∇ × ∇ × E − k2 E = 0

(1)

en busca de soluciones vectoriales con simetría axial en forma de haz, se propone la forma general de solución ˆ E(r, z) = U (r, z) exp[i(kz − ωt)]φ

(2)

donde U (r, z) es un campo escalar con simetría ˆ es el vector unitario en dirección de azimutal y φ ángulo azimutal creciente [[5]]. Sustituyendo esta solución, se encuentra que U (r, z) debe satisfacer la función

En el 2012, Liu et. al. propusieron utilizar un interferómetro Sagnac para generar haces vectoriales de forma indirecta, argumentando que esta implementación resultaría benéfica debido a lo robusto que este interferómetro resulta ante perturbaciones externas [[1]]. El objetivo de este proyecto fue reproducir los resultados obtenidos por Liu et. al. para una dimensión y comentar la practicidad del uso de un interferómetro de Sagnac para producir haces vectoriales.



1 ∂ r ∂r

 r

∂ ∂r

 −

1 ∂ + 2ik 2 r ∂z

 U (r, z) = 0 (3)

bajo la aproximación paraxial   ∂2u ∂u 2  k u, k ∂z 2 ∂z

(4)

La ecuación 3 tiene como solución prototipo

1

 U (r, z) =

E0 J1 βr 1 + iz/z0



 exp −

iβ 2 z/(2k) 1 + iz/z0

robusto[[2]] ;además, reduce los efectos de las distorsiones o perturbaciones ya que ambos láseres tienen prácticamente el mimos camino óptico. Cabe señalar que un interferómetro Sagnac también posee atributos que pueden aputarse como una desventaja, destacádose el hecho de que su correcto funcionamiento depende en gran medida del uso de una fuente de alta coherencia espacial y temporal[[2]].

 (5)

donde J1 es la función Besel de primer tipo de primer orden y u(r, z) es la solución fundamental tipo haz Gaussiano [[5]]

u(r, z) = E0

  ikr2 w0 exp[−iφ(z)] exp (6) w(z) 2q(z)

2.4.

donde φ(z) = tan−1 (z/z0 ). Dada la solución propuesta en 2], este campo solución tiene polarización azimutal. Dado que el campo magnético H también obedece una ecuación de onda vectorial de la forma 1, tiene ésta una solución de la forma 2. Evidentemente, el campo eléctrico correspondiente a esta solución de H es un campo con polarización radial.

2.2.

Modulación espacial de la luz y CGH’s

Un modulador espacial de luz (SLM) es un componente óptico que permite regular ya sea la amplitud o la fase de un haz, y en general tienen amplias aplicaciones en áreas como la computación cuántica o la generación de pulsos, en donde particularmente es necesario controlar el perfil espacial de los haces que se utilizan[[4]].

Generación de haces vectoriales

A partir de 1972, se han reportado varios métodos para generar haces vectoriales, particularmente haces cilíndricos. En general, estos se pueden dividir en dos categorías: métodos activos (directos) y métodos pasivos (indirectos)[[5]]. Los métodos directos implican el uso y diseño de componentes ópticos como pantallas de cristal líquido, rejillas de difracción o retardadores de fase espiral. Los métodos pasivos, por otro lado, implican combinar dos haces individuales con polarizaciones distintas hasta lograr ajustes que resulten en la polarización particular deseada. El método de generación de haces vectoriales por medio de un Sagnac es considerado un método indirecto.

2.3.

Interferómetro Sagnac

Un interferómetro del tipo Sagnac es un arreglo en el cual un haz es dividido en dos componentes, y estas se hacen recorrer prácticamente los mismos caminos ópticos, generalmente formando un triángulo o un cuadrilátero, para posteriormente recombinar los haces y analizar el perfil resultante y las posibles perturbaciones durante el camino óptico. Aunque tal arreglo había sido propuesto de forma teórica por personajes de la interferometría como Michelson, fue George Sagnac quien en 1913 realizó la primer publicación oficial en la que se empleó un arreglo con tales características, y es por tal motivo que se le reconoce con el nombre del arreglo. Las principales ventajas que ofrece un Sagnac son que permite ajustar coaxialmente los haces que recorren el camino óptico [[1]] y que puede utilizarse en un espectro de longitudes de onda

Figura 1: Patrón de una máscara de fase comúnmente utilizada en CGHs.Tomado de referencia[1] Particularmente, las pantallas de cristál líquido (LCD) son el tipo de moduladores más comúnmente utilizados. Tal y como su nombre lo indeica, las LCD tienen una capa de pixeles que pueden alterar su capacidad de polarización y por tanto modular la luz que transmiten en función de impulsos eléctrico. La forma más común de controlar un SLM es a través del uso de una computadora, particularmente utilizando imágenes generadas por este medio. Un holograma es un registro de información que permite reconstruir una imagen 3D. Particularmente, un holograma generado por computadora

2

open aperture F placed on the Fourier plane of L3 (the aperture positions for different CGHs are marked by the dotted circles in Fig. 1), and are respectively converted into the left- and right-hand circularly polarized beams by a quarter-wave (λ/4) plate (with its c-axis tilted 45° relative to the horizontal). The output field is detected by a CCD camera in the image plane of the CGH. It deserves special mention that, to make sure the optical paths of s- and pcomponents after the CGH being equal, the positions of the CGH and the lens L3 need to be adjusted until the CGH images on the CCD with the two components are both clear.

- 1 Etapa de traslación con avance micrométrico - 1 Cámara

3.2.

Implementación del arreglo

Un esquemático del arreglo experimental puede observarse en la Figura 3. Inicialmente el láser se alineó mediante un proceso iterativo ordinario con el uso de dos espejos. Posterior a esto fue necesario colimar el mismo antes de introducirlo en el Fig. 1. Schematic of experimental setup for generating arbitrary spatially variant polarization divisor de haz polarizador. En el arreglo inicial el beams. L, Figura lens; RD, rotating diffuser; λ /2, half-wave plate; M, mirror; PBS, polarizing beam 2: Arreglo experimental para generación splitter; CGH, computer-generated hologram; F, Fourier-plane filter; λ/4, quarter-wave plate;retardador de media onda se introducía despues de indirecta dethehaces vectoriales utilizando P, polarization analyzer. The insets show patterns of CGH and the corresponding Fourier la colimación, pero considerando que el diámetro spectra, with the aperture un filter interferómetro marked by dotted circles. Sagnac trapezoidal. de la entrada del retardador era menor al ancho Tomado de we referencia To facilitate the adjustment of CGH, load the [1] CGH on a transmissive spatial light del haz, modulator (SLM) with 1024 × 768 pixels in gray scale. It is specially noted that the SLM can optamos por incluirlo antes de expandir y colimar el haz para evitar efectos de difracción change the polarization states of the s- and p-components. Although the two components could be changed backpatrón into the and p-polarizations via the PBS, indeseables. La función del retardador era regular es un de sinterferencia que registra esta in- the polarization conversions of the two components are not equivalent, finally leading to the distortion of the y controlar que los dos brazos del interferómetro formación de forma codificada[[6]]. Un CGH puede superposed polarizations. To avoid this distortion, two film polarizers are posted on both mantuvieran una intensidad prácticamente igual. ser impreso en una representación física por litofacets of the SLM, with the polarization axis at a 45° angle to the horizontal. As a result, the El hazoffue colimado y expandido con un arreglo grafía o en un elemento óptico más como intensities of s- and p- components are both weakened 75%,versátil, and the generating efficiency vector beam is greatly general,una a designed CGH on the glass or captured de dosinlentes, considerando las distancias focales una reduced. pantallaInLCD; muestra deetched los patrones the film is much more efficient. de las mismas. Cabe mencionar que a medida que que se pueden implementar puede observarse en la se alineaba cada uno de los componentes, se fue Figura 1. Un CGH almacena una cantidad sustanverificando que las reflexiones no estuvieran descial de información en un tamaño relativamente #172612 - $15.00 USD Received 16 Jul 2012; revised 19 Aug 2012; accepted 19 Aug 2012; published 6 Sep 2012 viadas del camino óptico, de tal manera que se pequeño[3]. 10 September 2012 / Vol. 20, No. 19 / OPTICS EXPRESS (C) 2012 OSA 21717 intentó tener la mejor alineación posible.

3.

Desarollo experimental

El desarrollo experimental principalmente consistió en dos módulos principales: el armado del interferómetro Sagnac (ilustrado en las Figuras 3 en un esquemático y 2 con el arreglo reportado por Liu et. al.), seguido de la implementación de los hologramas generados a computadora (CGHs) requeridos para obtener los perfiles de polarización espacialmente variable.

3.1.

Equipo utilizado Figura 3: Arreglo experimental realizado, utilizando un láser He-Ne @ 632.5nm siendo (M) espejos, (L) lentes, (PBS) un divisor de haz polarizador, (D) un diafragma, (R) retardadores y (CAM) la cámara fotográfica.

Para implementar el arreglo deseado, se requirió del equipo siguiente: - 1 Láser He-Ne @ 632.5 nm - 1 Modulador espacial de luz - 1 Beam-splitter polarizador

Como se mencionó anteriormente se reguló que ambos brazos tuvieran la misma intensidad midiendo esta con el sensor respectivo, mientras se variaba el ángulo en el retardador de media onda. Una vez que se verificó esto, se procedió a alinear los brazos del interferómetro. Cabe mencionar que Liu et. al. propusieron un acomodo trapezoidal recto, pero dadas las dimensiones de trabajo, esta decisión complicaba el posterior acomodo del CGH exactamente en la mitad del camino óptico a partir del divisor de haz. Por esta razón se

- 5 Espejos - 1 Retardador de media onda - 1 Retardador de cuarto de onda - 1 Polarizador - 1 1 Potenciómetro - 1 Diafragma

3

decidió modificar esta implementación y se optó por alinear el interferómetro en un trapezoide (de lados irregulares), que permitiera un acomodo más cómodo posterior a la alineación, al variar la longitud de los brazos de una manera más libre. En el extremo inferior del arreglo se colocó un diafragma que permitiera aislar cada uno de los órdenes, y por último se incluyó un retardador de cuarto de onda que permitia recombinar las componentes circular derecha y circular izquierda. Finalmente se acomodó la cámara para capturar el haz.

3.3.

Generación de hologramas

Luego de haber alineado el interferómetro, se prosiguió a codificar las mascarillas de fase que se implementarían en el CGH para los distintos órdenes. Se utilizó una mascarilla comúnmente conocida como tenedor, implementando las funciones de transmisión de amplitud para un holograma 1D, según propusieron Lui et.al. , como la que se muestra a continuación:

t(x, y) = E0 [1 + cos(2πy/D) + δ] /2

(7)

Las mascarillas para cada uno de los órdenes se muestran en la Figura 4. Los órdenes pueden identificarse en la cantidad de líneas o dientes que salen del tenedor. Cabe mencionar que estos patrones se generaron a través de un código en MATLAB (incluido como anexo) y después se ajustaron en el CGH mediante una entrada de cable análoga. En la figura 5 es posible observar tanto cada uno de los brazos del interferómetro luego de cruzar el SLM como su recombinación en el PBS. Una vez acomodado el CGH sobre la montura, se ajusto de tal forma que el camino óptico de cada uno de los brazos desde el PBS hasta el SLM fuera lo más similar posible en cuestión de longitudes para evitar desfasamientos extras en los brazos.

4.

Figura 4: Diferentes marcarillas de fase implementadas en el CGH durante la realización del experimento. Generadas con el programa hologramas.m, incluido en los anexos

Resultados

En la Figura 6 es posible observar las fotografías que se obtuvieron luego de colocar el polarizador antes de la cámara y rotarlo, esto para cada uno de los órdenes implementados (1,2 y 3). Cabe mencionar la observación del punto oscuro en el centro y las respectivas franjas. En la región lejana también pudieron observarse unas expresiones de los órdenes en forma de círculos con pequeños oscuros en su interior, cuya cantidad dependía directamente del orden de la mascarilla de fase que se estuviera implementando

en el CGH. Las mismas pueden observarse en la Figura 7. Se observó que los halos parecían titilar ligeramente dependiendo de las vibraciones sobre la mesa de trabajo. Cabe mencionar que en la Figura 8 se muestra la sigularidad en la polarización en el centro del perfil. En las Figuras 9 y 10 es posible observar los resultados de Liu et. al. y Wang et. al. mismos

4

Figura 5: CGH’s capturados por la cámara. A y B muestran cada uno de los brazos individuales luego de cruzar el SLM y en C se muestra la combinación de ambos brazos antes de entrar a la cámara.

Figura 6: Franjas oscuras observadas al introducir el polarizador justo antes de la entrada de la cámara, para cada uno de los órdenes implementados en el CGH.

Figura 7: Expresiones de los órdenes implementados en el GCH en forma de halos en el plano lejano. El orden puede leerse en la cantidad de oscuros dentro del halo, distinguidos en la imagen con amarillo. que obtuvieron respecto a haces vectoriales utilizando un CGH de 1D para distintos órdenes. En las mismas, es posible observar tanto el resultado de la combinación de los dos brazos del interferómetro Sagnac, como lo que le sucede al perfil cuando se añade un polarizador (que funciona como analizador) y este es girado hasta una posición determinada, mostrando una serie de franjas oscuras, que pueden contarse como dos veces el

órden proyectado.

5.

Análisis de resultados

Tal y como es posible observar en la Figura 6, efectivamente se obtiene una cantidad de obscuros correspondiente al orden de la mascarilla que se implementó en el CGH del arreglo, sin embargo, estos no parecen distribuirse uniformemente en

5

Figura 8: Singularidad de la polarización en el centro del perfil

Figura 10: Distintos resultados obtenidos por Liu et al. con respecto a introducir un CGH 1D en el SLM de larreglo experimental.En el caso de la izquierda el haz tomó una polarización radial mientras que en el de la derecha parece tener una polarización azimutal. Se muestran los órdenes 1 y 2

corresponde directamente a el orden de la mascarilla implementado. Estos puntos son claramente distinguibles en los dos primeros órdenes, pero en el tercero estos estan mucho más cerca y por lo tanto resulta más dificil distinguirlos.

Figura 9: Distintos resultados obtenidos por Wang et al. con respecto a introducir un CGH 1D en el SLM del arreglo experimental.Se muestras los órdenes 3 y 5.

6. el perfil del haz, sino que se colapsan hacia uno de los lados de la imagen. Cabe mencionar que a pesar de esto, la cantidad de oscuros permanece distinguible y constante. De igual forma, en el centro de los perfiles es posible distinguir un punto oscuro, que se puede explicar como una singularidad en la polarización del perfil que resulta de la combinación de los dos brazos del interferómetro. En lo que respecta a las expresiones de los órdenes, la cantidad de centros oscuros también

Análisis de Errores

A pesar de que efectivamente se observaba un punto oscuro en el centro del perfil, las franjas que aparecían luego de introducir el polarizador se mantuvieron colapsadas hacia un lado particular en lugar de distribuirse uniformemente en el espacio del perfil. Esto quizás podria hablar de que aunque los centros de ambos perfiles estaban alineados hacia un mismo punto,estos incidian con un ligero ángulo entre sí, de tal forma que los oscuros parecían juntarse en una sola sección de

6

todo el perfil. Una posible fuente de error consistió en las reflexiones que los distintos órdenes que se generaban al introducir el CGH al arreglo experimental. A pesar de que se alinearon los centros los los haces, los órdenes que se extendian más hallá del ancho del perfil provocaban reflexiones que introducían ruido al arreglo. Mientras se observaban las expresiones de los órdenes en el campo lejano, se pudo observar que los halos parecían titilar o al menos estar vibrando ligeramente, probablemente debido a vibraciones en la mesa, ya que provacar distintas perturbaciones sobre la misma fue posible observar como se agravaba el efecto.

7.

interesante observar expresiones de los órdenes en el espacio lejano, donde se pudieron visualizar halos que mostraban una cantidad de puntos oscuros en su interior directamente correspondientes al orden de la mascarilla de fase. El haber utilizado el SLM fue especialmente enriquecedor pues las mascarillas que se proyectaron como CGH’s fueron generadas directamente en un código que desarrollado en base a las referencias bibliográficas y la función de transmisión de amplitud reportada por Liu et. al. Como trabajos a futuro sería interesante seguir explorando con el interferóemtro propuesto por Liu et. at. para corregir el colapso de las franjas oscuras hacia uno de los lados del perfil. También se podría continuar investigando respecto a los halos que se observaron en el campo lejano, y cabe mencionar que posterior a esto, tal y como Liu et. at. implementaron, el siguiente paso sería utilizar hologramas 2D en el SLM.

Conclusiones

El armado del arreglo experimental representó un reto con respecto a que fue necesario adaptar la descripción del interferómetro descrita por Lui et. al. a las dimensiones de la mesa de trabajo disponibles. El encontrar una combinación de longitudes de brazos del interferómetro que permitieran colocar el SLM en una distancia accesible (no demasiado cerca del espejo 4) pero aún asi dividiera el camino óptico de ambos láseres a la mitad fue especialmente interesante, y una aplicación directa de un método de optimización para reducir el tamaño del Sagnac, de donde se concluyó que resultaba más cómodo trabajar con un interferómetro trapezoidal a uno en forma de trapecio recto. De igual forma se modificó el método de colimación y el orden de los primeros componentes para adaptar el experimento a las dimensiones de los componentes utilizados en el laboratorio. Alinear los brazos del inteferómetro resultó un proceso que requirió de sumo cuidado y tiempo, realizando pequeños ajustes e iteraciones hasta lograr recombinar los dos brazos del arreglo. El divisor de haz polarizador también fue retador de utilizar en el sentido de que pequeño defectos en los primeros cubos provocaban que estos no dividieran correctamente el haz incidente en los dos brazos del interferómetro, y fue sino hasta el uso del tercer PBS que se logró obtener una división del haz apropiada. El poder distinguir y observar las franjas oscuras al introducir el polarizador (analizador) frente a la cámara fue especialmente interesante, pero cabe mencionar que a diferencia de los resultados de Liu et. at. , las franjas que se obtuvieron estaban colapsadas hacia uno de los lados del perfil. La cantidad de franjas correspondía directamente con el orden del CGH empleado, y quizás ese colapso se debiera a una ligera desalineación entre los ángulos de incidencia de cada brazo. También, resultó

Referencias [1] S. Liu, P. Li, T. Peng, and J. Zhao, Optics express 20, 21715 (2012). [2] W. Xi-Lin, Optics Letters 32, 3549 (2007). [3] J. Wu, Optics Letters (2007). [4] D. Huang, Optics Letters 80, 211 (2012). [5] Q. Zhan, Advances in Optics and Photonics 1, 1 (2009). [6] B. Brown and A. Lohmann, IBM Journal of research and Development 13, 160 (1969).

7

8. 1

Anexos Hologramas.m

2 3 4

%% Clear clc; clear all;

5 6 7 8

%% Grid N = 1024; M = 728;

9 10 11

Lx = 1; Ly = (M/N)*Lx;

12 13 14 15 16

dx = Lx/N; dy = Ly/M; x = −Lx/2:dx:Lx/2−dx; y = −Ly/2:dy:Ly/2−dy;

17 18

[x,y] = meshgrid(x,y);

19 20

%% Function

21 22 23 24 25 26

Delta_0 = pi; Phi = atan2(y,x); m = 2; Delta = m*Phi + Delta_0; D = 1/40;

27 28

% Normal

29 30 31

%T = (cos(2*pi*y/D + Delta)); %T = exp(1i*2*pi*y/D)+exp(1i*m*Phi);

32 33

%T = conj(T).*T;

34 35

% Binary

36 37 38 39

T = zeros(M,N); A = 5; n = 1:2:500;

40 41

for i = 1:size(n,2)

42

T = T

43

+ (1./n(1,i)).*sin( n(1,i).*(2*pi*x/D + m*Phi) );

44 45

end

46 47

T = 1/2 + 2*A/pi*T;

48 49 50

%% Image

51 52

imwrite(T,'M1.jpg','JPEG', 'Quality', 100)

53 54

%% Plot

55 56 57 58 59 60 61 62

figure(1) surf(x, y, T) colormap('gray') set(gcf,'renderer','zbuffer'); shading FLAT axis equal view(0,90)

8

Figura 11: Anexo: Notas

9

Figura 12: Anexo: Notas

10

Figura 13: Anexo: Notas

11