Teoría y ejercicios

Luis Zegarra Agramont

GEOMETRÍA VECTORIAL Capítulo 2 (Continuación) Vectores unitarios Se dice que un vector es unitario si y solo si su magnitud o norma es "Þ Un vector unitario, aunque no en exclusiva se acostumbran a denotar por s /Þ " Si +t Á !t entonces +t es un vector unitario, y además en la dirección y t ll+ll t note que +t œ ll+ll t s sentido de +ß +Þ Producto punto t @t dos vectores, se define el producto punto o también llamado producto Dados ?ß escalar, por t t -9= >ß siendo > el ángulo que forman ?t y @t ?t † @t œ ll?llll@ll Discusión: t entonces ?t † @t y Como ||?t|| y ||@t|| son siempre positivos para ?t y @t distintos de 0, el -9= > tendrán el mismo signo, en las figuras siguientes están representados los todos los casos posibles r u

t

r u

r v

> œ1

t

r v 1 #

>1

r u

90° r v

>œ

1 #

r u t = 0° r r u v

t r v

!>

1 #

> œ !°

-9= > œ  "

-9= >  !

-9= > œ ! -9=>  ! -9= > œ "

dirección opuesta

?t † @t  !

?t † @t œ ! ?t † @t  ! misma dirección

Propiedades 1: 1. ?t † @t œ @t † ?t t † @t œ 5Ð?t † @Ñ t 2. Ð5?Ñ 3.

t œ ?t † @t  ?t † At ?t † Ð@t  AÑ

4.

?t † ?t   !ß ?t † ?t œ ! Í ?t œ !t

Norma de un vector

t por Vamos a definir la norma o magnitud del vector ?ß || ?t || œ È?t † ?t

Propiedades 2: 1. || ?t ||   0à || ?t || œ ! Í ?t œ !t 2. || 5?t || œ l5l || ?t || 3. || ?t ||# œ ?t † ?t 4. | ?t † @t l Ÿ || ?t|| || @t || 5. || ?t  @t || Ÿ || ?t||  || @t || Ángulo entre dos vectores Sean ?t y @t dos vectores no nulos, el ángulo > entre ellos se calcula mediante -9= > œ

?t † @t , 0Ÿ>Ÿ1 ||?t|| ||@t ||

Note que el ángulo entre el vector cero y otro vector no esta definido por ésta relación. Ejercicio 1. t t, y t- tales que +t  t,  t- œ !t con || +t || œ $ß || t, || œ & y Dados los vectores +ß || t- || œ (Þ Calcule el ángulo que forman +t y t,Þ Solución. Efectuando +t † ß t, † y t- † sucesivamente sobre +t  t,  t- œ !t resultan +t † +t  +t † t,  +t † t- œ ! Í +t † t,  +t † -t œ  * t, † +t  t, † t,  t, † t- œ ! Í +t † t,  t, † -t œ  #& t- † +t  t- † t,  t- † t- œ ! Í +t † t-  t, † t- œ  %* Resolviendo éste sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, para +t † t, se tiene 1 "& +t † t, "& " +t † t, œ Ê -9= > œ œ œ Ê>œ # #†$†& # $ || +t || || t, || Ejercicio 2. Demuestre que el triángulo inscrito en una semi circunferencia es rectángulo.

C r c A

r −b

O

r b

B

Demostración. t œ  ,t t œ t,ß SE Se sabe que: || t, || œ ||  t, || œ || t- || œ œ ! Í -9= > œ ! ß pues +t,,t Á 0t Ê > œ *!° Si +t † t, œ ! Í ll+llll,ll ahora si +t y t, son ortogonales entonces > œ *!° Ê +t † t, œ !. Propiedad 4. Si +t y t, son dos vectores arbitrarios, entonces t t ll,ll l +t † t, l Ÿ ll+ll Demostración. t luego Si +t ” t, œ !t se verifica la igualdad, por tanto sean +t,t, Á 0, # t † ÐB+t  ,Ñ t œ ll+ll t # ! t B#  # +t † ,t B  ll,ll llB+t  t,ll# œ ÐB+t  ,Ñ

Para que este trinomio de segundo grado sea siempre positivo o cero y dado que #

t  ! entonces se debe tener que J Ÿ 0, de aquí que ll+ll # t # Ÿ ! Í l +t † ,t l Ÿ ll+ll t t ll,ll t ll,ll Ð# +t † t,Ñ#  % ll+ll

Observación. También es válido el siguiente argumento,

t | -9= > | Ÿ ll+llll,ll t ll,ll t t , pués es sabido que | -9= > l Ÿ " | +t † t, | œ ll+ll Notemos que el signo igual se cumple para -9= > œ „ " y esto es para > œ ! ß t t > œ 1 o bien +ll,Þ Propiedad 5. Si +t y t, son dos vectores arbitrarios, entonces t t  ll,ll ll+t  t, ll Ÿ ll+ll Demostración. t œ ll+ll t # , pero por la proiedad t #  # +t † ,t  ll,ll ll+t  t, ll# œ Ð+t  t,Ñ † Ð+t  ,Ñ t entonces se deduce, t ll,ll anterior +t † t, Ÿ l +t † t, l Ÿ ll+ll t  ll,ll t # Ê ll+t  ,t ll Ÿ ll+ll t t #  #ll+ll t ll,ll t  ll,ll ll+t  t, ll# Ÿ ll+ll

Proyección ortogonal. t entonces La proyección ortogonal de +t sobre t, la denotaremos por :Ÿ1 vector unitario perpendicular al plano que forman los vectores ?t y @ß De inmediato entonces ?t ‚ @t † ?t œ ?t ‚ @t † @t œ !Þ r r u ×v vˆ eˆ r u

t t =/8 > Note que: || ?t ‚ @t || œ ll?llll@ll Observe también que que no tenemos que escribir | =/8 > lß pues =/8 >   ! para !Ÿ>Ÿ1 Propiedades 6. 1. ?t ‚ @t œ  @t ‚ ?t t ‚ @t œ 5Ð?t ‚ @Ñ t 2. Ð5?Ñ 3. 4.

t œ ?t ‚ @t  ?t ‚ At ?t ‚ Ð@t  AÑ ?t † ?t œ !t

Propiedad 7. t a+t,t, Á 0t Dos vectores +t y t, paralelos si y solo si +t ‚ t, œ !ß Demostración. Si +t y t, son paralelos entonces +t œ 5 t, Í +t ‚ t, œ 5Ð,t ‚ t,Ñ œ !t Si +t ‚ t, œ !t entonces || +t ‚ t, || œ ! Ê || +t ||| t, || =/8 > œ ! Í =/8 > œ !ß con lo que > œ ! o > œ ")!° Ê +t y t, son paralelos. Área de un paralelógramo y de un triángulo El área de un paralelógramo de lados +t y t, está dada por: || +t ‚ t, || " El área de un triángulo de lados +t y t, está dada por : || +t ‚ t, || # B r b O

t

C

h r a

Demostración. Sea el paralelógramo SEGF entonces,

A

Área œ || +t || 2 œ || +t || || t, || =/8 > œ || +t ‚ t, || para el triángulo SEF , es inmediato que su área es la mitad de la del paralelógramo. Triple producto escalar El triple producto escalar de tres vectores se acostumbra a denotar por +t † t, ‚ tcuyo resultado es un escalar. Geométricamente es igual al volumen del t t,ß t-Þ paralelepípedo de lados +ß r r b ×c r a h r t c r b

Volumen del paralelepípedo œ Z œ área de la base ‚ 2 œ || t, ‚ t- || 2 pero 2 œ || +t || -9= >ß entonces Z œ || t, ‚ t- || || +t || -9= > œ +t † t, ‚ t- como bien éste resultado puede ser positivo o negativo, por tanto si se trata de calcular el volumen del paralelepípedo habrá que considerar el módulo. Nótese que: Si 0  >  *!° Ê +t † t, ‚ t-  !ß Si *!°  >  180° Ê +t † t, ‚ t-  !Þ Propiedades 8. t t, y t- coplanares si y solo si +t † t, ‚ t- œ ! 1. +ß 2. Si dos vectores cualquiera de un triple producto escalar son iguales, entonces ese producto es 0. 3. +t † t, ‚ t- œ +t ‚ t, † tNotación. La propiedad 3 de las propiedades 8, muestra que en un triple producto escalar, el punto y la cruz pueden intercambiarse sin variar su valor, se acostumbra a denotar tt t- ÓÞ este producto por Ò +, Ejercicio 3. Usando el triple producto escalar , demostrar que

+t ‚ Ð,t  t-Ñ œ +t ‚ t,  +t ‚ tDemostración. Sea ?t œ +t ‚ Ð,t  t-Ñ  +t ‚ t,  +t ‚ t- el producto escalar de ?t con un vector t resulta: arbitrario @ß ?t † @t œ @t † +t ‚ Ð,t  t-Ñ  @t † +t ‚ ,t  @t † +t ‚ œ @t ‚ +t † Ð,t  t-Ñ  @t ‚ +t † t,  @t ‚ +t † - œ ! Así, ?t † @t œ !ß como @t es arbitrario se puede elegir @t œ ?t de modo que si t luego ?t † ?t œ ! Ê ?t œ !ß +t ‚ Ð,t  t-Ñ œ +t ‚ t,  +t ‚ t-

Triple producto vectorial. Al vector +t ‚ Ð,t ‚ t-Ñ o bien Ð+t ‚ t,Ñ ‚ t- se llama triple producto vectorial, nótese que +t ‚ Ð,t ‚ t-Ñ Á Ð+t ‚ t,Ñ ‚ tPropiedad 9. t t +t ‚ Ð,t ‚ t-Ñ œ Ð+t † t-Ñ,t  Ð+t † ,Ñt t t t  Ð-t † ,Ñ+ Ð+t ‚ t,Ñ ‚ t- œ Ð-t † +Ñ, Propiedad 10. t œ +t † tÐ+t ‚ t,Ñ † Ð-t ‚ .Ñ »t , † t-

+t † .t t, † .t »

Demostración. t œ Ð+t ‚ t,Ñ ‚ -t † .t œ Ò Ð-t † +Ñ, t t † .t t t  Ð-t † ,Ñ+Ó Note que Ð+t ‚ t,Ñ † Ð-t ‚ .Ñ t  Ð,t † t-ÑÐ+t † .Ñ t œ Ð+t † t-ÑÐ,t † .Ñ œ»

+t † tt, † t-

+t † .t t, † .t »

Propiedad 1". t œ Ò+,.Ótt t t tt t t  Ò+,-Ó. ttt t œ Ò+-.Ó, tt t t  Ò,-.Ó+ Ð+t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ Demostración. t œ ÒÐ+t ‚ ,Ñ t † .Ót t  ÒÐ+t ‚ ,Ñ t † -Ó. t t œ Ò+,.Ótt t t  Ò+,-Ó. tt t t Ð+t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ

y también t œ ÒÐ-t ‚ .Ñ t † +Ó, t † ,Ó+ t t œ Ò+-.Ó, tt t t t t  ÒÐ-t ‚ .Ñ tt t t  Ò,-.Ó+ Ð+t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ Ejercicio 4. Demuestre que cualquier vector