REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL (UNEFA)

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

a = b +c 2

2

CURSO DE INDUCCIÓN UNIVERSITARIA (EJERCICIOS)

UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.

1.1. •

1-1

Generalidades Demostrar el Teorema “Dos ángulos adyacentes son suplementarios”. B A

C O

Hipótesis: ∠AOB y ∠BOC son ángulos adyacentes. Tesis: ∠AOB + ∠BOC = 180° Demostración: ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC ∠AOC = 180° •

Demostrar el Teorema “Los ángulos opuestos por el vértice son iguales”. A C

D O

B

Hipótesis: ∠AOC y ∠BOD son ángulos opuestos por el vértice Tésis: ∠AOC = ∠BOD •

Si el ∠AOD es recto, y ∠AOB = 2x, ∠BOC = 3x, y ∠OCD = 4x; ¿cuánto vale cada ángulo? D C B O

•

Expresar los siguientes ángulos en Radianes: o 80° 34’ 21” 21” = 0,35’ 34,35’ = 0,5725° S = 80,5725°

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A

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1-2

R S 2.3,1416rad .80,5725° = ⇒R= ⇒ 2π _ rad 360° 360° R = 1,4063 rad o 65° 17’ 49” o 45° 29’ 33” o 30° 48’ 51” •

Expresar los siguientes ángulos en Grados Sexagesimales (°,’,”): o 2,35 rad 360°.2,35rad S R = ⇒S= ⇒ S = 134,64° 2.3,1416rad 360° 2π

•

o

0,785 rad

o

1,963 rad

o

2,208 rad

Expresar en Grados, Minutos y Segundos: o 134,64° Minutos (M) = 134,64° – 134,00° ⇒ M = 0,64° M = 0,64°/min x 60 min ⇒ M= 38,4’ Segundos (S) = 38,4’ – 38,00’ ⇒ S = 0,4’ S= 0,4’/seg x 60 seg ⇒ S = 24” 134,64° = 134° 38’ 24” o 135,47° o 205,23° o 89,95° •

Halle los complementos de los siguientes ángulos: o 67° 35’ 40” 90° = 89° 59’ 60” 89° 59’ 60” 67° 35’ 40” – 22° 25’ 20” Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)

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1-3

o 18° 27’ 31” o 36° 52’ 5” o 48° 39’ 15” •

Halle los suplementos de los siguientes ángulos: o 35° 43’ 26” 180° = 179° 59’ 60” 179° 59’ 60” 035° 43’ 26 – 144° 17’ 34” o 78° 13’ 39” o 92° 15’ 43” o 123° 9’ 16”

1.2.

Ángulos formados con dos rectas paralelas cortadas por una secante.

•

Demuestre el Teorema “Dos rectas de un plano, perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí.” A C

D

E

F B

Hipótesis: AB ⊥ CD ; AB ⊥ EF . Tésis: CD || EF . •

Demuestre el Postulado de Euclides “Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta”. Sea AB la recta dada, y E el punto exterior. Por E trazamos AB ⊥ EF , y en E trazamos también CD ⊥ EF . Por el Teorema anterior, AB || CD .

•

Demuestre el Corolario “Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.” Hipótesis: AB || CD ; AB || EF . Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)

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1-4

Tésis: CD || EF . •

Demuestre el Corolario “Si una recta corta a otra, corta también a las paralelas a ésta.”

•

Demuestre el Corolario “Si una recta es perpendicular a otra, es también perpendicular a toda paralela a esta otra.”

•

Si AB || CD , y SS ' es una secante y 1 = 120°. Hallar los otros ángulos. S 1

2

A

B 4 5

3

6

C

D 8

7

S’ •

Dados AB || CD , EF || GH y ∠EMN = 60°; hallar ∠HPD. E A

G

M

N

C

D Q F

1.3. •

B

P H

Problemas aplicando Teorema de Pitágoras

Halle los valores que faltan, aplicando Teorema de Pitágoras (a = Hipotenusa): o a=6, b=3, c= x

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1-5

a2 = b2 + c2 ⇒ c2 = a2 – b2 ⇒ c2 = 62 – 32 ⇒ c2 = 36 – 9 ⇒ c2 = 27 ⇒ c=

27 ⇒ c= 5,19

o b=10, c=6, a=x o a=32, c=12, b=x o a=32, c=20, b=x •

Calcule la altura de la Estación Final de un Teleférico, si hace un recorrido de 8 Kms hasta la Estación Inicial, y se sabe que dicha Estación Inicial se encuentra situada a 6 Kms desde la Base de la Estación Final, empleando Teorema de Pitágoras.

•

Calcule la longitud de una rampa, sabiendo que su altura es de 25 metros y la distancia en línea recta sobre el pavimento es de 35 mts.

•

Halle gráficamente el punto G (Baricentro) del siguiente triángulo:

G

•

Halle gráficamente el punto O (Ortocentro) del siguiente triángulo:

•

Halle gráficamente el punto I (Incentro) del siguiente triángulo:

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1-6

•

Halle gráficamente el punto K (Circuncentro) del siguiente triángulo:

•

Demuestre el Teorema “La suma de los ángulos internos de un triángulo vale dos ángulos rectos”. Hipótesis: Sean ∠A, ∠B y ∠C los ángulos interiores del ∆ ABC Tesis: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

•

Sea ∆ ABC un triángulo equilátero. ¿Cuánto valen cada uno de sus ángulos interiores?

1.4.

Semejanzas de Triángulos •

Si ∠1 = ∠2 y ∠3 = ∠4, demostrar que ∆ ABC = ∆ ABD

•

Si AC = AD y ∠1 = ∠2, demostrar que ∆ ABC = ∆ ABD

•

Si AC = AD y BC = BD , demostrar que ∆ ABC = ∆ ABD C A

1

3

2

4

B

D •

Si AB || CD , demostrar que: ∆ ABC = ∆ ACD

•

Si AB = CD y AD || BC , demostrar que: ∆ ABC = ∆ ACD D

A

C

B

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• •

1-7

Si BD ⊥ AC , ∠ADB = ∠CDB y AD = CD ; demostrar ∆ ABD = ∆ CBD Si BD ⊥ AC , ∠BAD = ∠BCD; demostrar ∆ ABD = ∆ CBD A

D

B

C •

Sean dos triángulos ∆ ABE ∼ ∆ CDE; si CD = 3 m, EC = 4 m y EB = 12 m. Calcule AB . A B

E

•

C D Sean dos triángulos ∆ ABC ∼ ∆ CDE; si AC = 3 m, AD = 2 m y AB = 4 m. Calcule DE . C A

B

D

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E

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•

1-8

Sean dos triángulos ∆ ACD ∼ ∆ ABE; si BE = 3 m, BC = 18 m y AB = 2 m. Calcule CD . D

E A • •

B

C

Sean dos triángulos ∆ ACD ∼ ∆ ABE; si CD = 80 m, BE = 6 m y AB = 9 m. Calcule BC . Sean dos triángulos ∆ ACD ∼ ∆ ABE; si CD = 120 m, BE = 8 m y AB = 12 m. Calcule BC . D

E A

B

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C

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2-1

2.1. Superficies, Áreas y Volúmenes •

Halle las siguientes rectas, respecto a una circunferencia: o Tangente o Normal

Tangente

o Cuerda o Diámetro o Arco •

Halle la menor distancia del punto a la circunferencia, si: o Dista 2 cm. del centro de una circunferencia de 6 cm. de diámetro Si trazamos un radio desde el centro, pasando por el punto hasta la circunferencia, tenemos que r = 3 cm.

Como el

segmento radio-punto mide 2 cm., dista 1 cm. de la Circunferencia. o Dista 3 cms del centro de una circunferencia de 4 cm de diámetro •

Los radios de 2 circunferencias son 10 y 16 cm. Hallar la distancia entre sus centros si las circunferencias son: o Concéntricas o Tangentes Interiores o Tangentes Exteriores

•

Halle el área de los siguientes Polígonos: o Rectángulo con base igual a 15,38 cm. y altura de 3,5 cm. a = b x h Î a = 15,38 cm x 3,5 cm Î a= 53,83 mt2 o Rectángulo cuya diagonal mide 10 mt. y su altura 6 mt. o Cuadrado cuyo lado mide 8,62 mt. o Cuadrado cuya diagonal mide 4 2 mt. o Paralelogramo cuya base mide 30 cm. y su altura 20 cm. o Triángulo equilátero de 8 cm. de lado. o Triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 12 cm.

•

Dado el área de los siguientes polígonos, halle sus dimensiones: Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)

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2-2

o Rectángulo de 288 mt2, y su base es el doble de la altura. a = b x h Î 288 mt2 = 2.h x h Î 144 mt2 = h2 Î h = 12 mt. b = 2.h Î b = 24 mt. o Rectángulo de 216 mt2, y su base es 6 mt. mayor que su altura. o Rectángulo de 96 mt2, y 44 mt. de perímetro. o Cuadrado con área de 28,09 mt2 •

Calcule el área de la parte rayada: D

C o

A

4 mt

B

a1= π r2 Î a1= 3,1416 x (4 mt)2 Î a1= 50,2655 mt2 a2= l2 Î AC 2 = AB 2 + BC 2 Î (8 mt)2 = 2. l2 Î l2 = 32 mt2 at = a1 - a2 Î at = 50,2655 mt2 - 32 mt2 Î at = 18,2655 mt2 C D

C o

A

10 mt

A •

10 mt

o

10 mt

12 mt

B

B

Halle el área de los siguientes sólidos: o Esfera de 10 cm. de diámetro. a = 4 π r2 Î a = 4 x 3,1416 x (5 cm.)2 Î a = 314,16 cm2 o Lata de refresco de 11 cm. de alto y 7 cm. de diámetro. o Vaso cónico de 8 cm. de diámetro y 10 cm. de altura. o Cubo de 12 cm. de lado

•

Halle el volumen: o Esfera de 10 cm. de diámetro. Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)

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2-3

4 4 π r3 Î v = π (5 cm.)3 Î v = 523,5988 cm.3 3 3

v=

o Lata de refresco de 11 cm. de alto y 7 cm. de diámetro. o Vaso cónico de 8 cm. de diámetro y 10 cm. de altura. o Cubo de 12 cm. de lado 2.2. Polígonos y Paralelogramos •

Halle la suma de los ángulos interiores de: o Cuadrado

S

i

= 180°(n − 2) Î Si = 180° (4-2) Î Si = 360°

o Octágono o Pentágono o Triángulo •

Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale: o 540°

S

i

= 180°(n − 2) Î 540° = 180° (n-2) Î

540° = n -2 Î 180°

n = 3 + 2 Î n = 5 Î Pentágono o 1260° o 1800° •

Halle el valor de un ángulo interior de: o Hexágono i=

180°(n − 2) 180°(6 − 2) 720° Î i= Î i= Î i = 120° n 6 6

o Dodecágono o Decágono •

Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide: o 60° i=

180°(n − 2) 180°(n − 2) Î 60° = Î 60° n = 180° n – 360° Î n n

360° = 180° n – 60° n Î 360° = 120° n Î n= 3 ∴ Triángulo o 90°

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2-4

o 135° •

Halle el valor de un ángulo exterior de un: o Octágono e=

360° 360° Î e= Î e = 45° n 8

o Decágono o Polígono regular de 20 lados •

Cuál es el polígono cuyo ángulo exterior vale: o 120° e=

360° 360° 360° Î 120° = Î n= Î n= 3 ∴ Triángulo n n 120°

o 60° o 90° •

Calcule el número de diagonales que ser pueden trazar desde cada vértice de un: o Pentágono d=n-3Îd=5–3Îd=2 o Octágono o Decágono

•

Cuál es el polígono en el que se puede trazar el siguiente número de diagonales desde cada vértice: o 3 d = n-3 Î 3 = n-3 Î n = 6 ∴ Hexágono o 6 o 9

•

Calcule el número total de diagonales que se pueden trazar en un : o Octágono D=

n(n − 3) 8(8 − 3) 40 Î D= Î D= Î D = 20 2 2 2

o Decágono o Polígono de 20 lados

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•

2-5

Cuál es el polígono en el que se puede trazar el siguiente número total de diagonales: o 14 14 =

n(n − 3) Î28 = n (n-3) Î 28= n2–3n Î n2–3n–28 = 0 2

Por ecuación de 2do Grado; x1= 7 y x2 = -4 Î n = 7 ∴ Eptágono o 20 o 27

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3-1

3. Gráficos de relaciones trigonométricas, Identidades y Ecuaciones Trigonométricas, Teoremas del Seno y del Coseno. 3.1.

Funciones Trigonométricas. •

Representar, en un sistema de ejes coordenadas, los puntos: o A (4, 2)

A

o B (-3 , 3)

x

o C (-7, -2) o D (5, -4) •

y

En el siguiente triángulo, calcule las funciones trigonométricas de los ángulos B y C, si b = 2 cm. y c = 4 cm. C a b B

c

A

Primeramente se calcula el valor de a. a2 = b2 + c2 Î a2 = 22 + 42 Î a2 = 20 Î a = 2 5 sen B =

b 1 2 Î sen B = Î sen B = a 2 5 5

⎡ 1 ⎢ ⎣ 5

sen C =

c 4 2 Î sen C = Î sen C = a 5 2 5

⎡ 2 5 2 5⎤ = ⎢ ⎥ 5 ⎦ ⎣ 5 5

tan B =

b 2 1 Î tan B = Î tan B = 4 2 c

tan C =

c 4 Î tan C = Î tan C = 2 2 b

sec B =

a 2 5 5 Î sec B = Î sec B = c 4 2

sec C =

2 5 a Î sec C = Î sec C = 2 b

5

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5 5⎤ = ⎥ 5 ⎦ 5

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sen B = cos C =

5 2 5 1 ; cos B = sen C = ; tan B = cot C = ; 5 5 2

cot B = tan C = 2; sec B = csc C = •

3-2

5 ; csc B = sec C = 2

5

Dados los Puntos siguientes, calcular las Funciones Trigonométricas del ∠XOA: o A (2, 3) o A (-1, 4) o A (3, -4) o A (-1, -3)

•

Calcule el valor de las siguientes expresiones: o 5 sen2 45° + 8 cos2 30° sen 45° = √2 /2; cos 30° = √3 /2 5 x (√2 /2)2 + 8 x (√3 /2) 2 = (5 x ½ ) + (8 x ¾) =

5 12 17 + = 2 2 2

o 3 sen 30° + 6 cos2 45° o 5 tan2 45° + 2 sec2 45° o 4 cos 60° + 5 csec 30° •

Calcular las otras funciones, sabiendo que: o sen x =

1 2

cos2 x = 1 – sen2 x Æ cos2 x = 1 – ( ½ )2 Æ cos2 x = ¾ Æ cos x =

3 3 Æ cos x = 2 4

1 3 1 senx Æ tan x = 2 Æ tan x = Æ tan x = tan x = cos x 3 3 3 2 1 3 1 cot x = Æ cot x = 1 Æ cot x = Æ cot x = tan x 3 3 3

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3

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1 1 Æ csec x = Æ csec x = 2 1 senx 2

csec x =

sec x =

3-3

2 3 2 1 1 Æ sec x = Æ sec x = Æ sec x = cos x 3 3 3 2

o cos x =

1 5

o tan x =

3 4

o cot x =

3 2

3.2. Relaciones Fundamentales entre las Funciones Trigonométricas e Identidades Trigonométricas. •

Probar las siguientes Identidades Trigonométricas: 1 − cos 2 x o sen x = csc 2 x 4

sen 2 x sen4 x = 1 Æ sen4 x = sen2 x . sen2 x Æ sen4 x = sen4 x 1 sen 2 x

•

o

sen.x − cos x 1 = 1− sen.x tan .x

o

cos x = sen.x cot .x

o

tan x = sec .x sen.x

Calcular las Funciones Trigonométricas de los ángulos (a+b) y (a-b) sabiendo: o sen a = o cos a =

2 13 3 ; cos b = 5 13 5 41 5 61 ; cos b = 41 61

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o sen a =

3-4

2 5 2 ; cos b = 5 2

o tan a = ½ ; cot b = ¼ •

Halle seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos, aplicando suma y diferencia de ángulos: o 105° o 75° o 15°

•

Probar las siguientes Identidades: o cos (a + 45°) x sen (a + 45°) = ½ x (2cos2 a -1) o cos (a + b) x cos b + sen (a + b)x sen b = cos a

•

Dados los siguientes valores, calcular seno, coseno y tangente de los ángulos dobles respectivos: o a = 45° o b = 60° o c = 120°

•

Probar las siguientes identidades: o tan x . sen 2x = 2 sen2 x o cos 2 a = cos4 a – sen4 a

•

o

sen2α = tan α 1 + cos 2α

o

2 = sen 2 β cot β + tan β

Dados los siguientes valores, calcular seno, coseno y tangente de los ángulos mitad respectivos: o a= 30° o b= 45°

•

Resolver los siguientes Triángulos Rectángulos: o b = 50; c = 40 o a = 30; b = 25 o c = 60; C = 28° 30’

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3-5

o a = 4 ; B = 62° 30’ 3.3. Resolución de Triángulos Oblicuángulos •

Resolver los siguientes Triángulos Oblicuángulos, aplicando las Leyes del Seno, Coseno y/o Tangente: o a = 41; b = 19,5; c = 32,48 o a = 5,312; b = 10,913; c = 13 o a = 32,45; b = 27,21; C = 66° 56’ o b = 50; c = 66,6; A = 83° 26’ o a = 41; B = 27°50’; C = 51° o a= 78,6; A = 83°26’; B = 39°13’

•

Halle el área de los Triángulos Oblicuángulos anteriores.

3.4. Variaciones y Gráficas de Funciones Trigonométricas. Ecuaciones Trigonométricas. •

Resuelva las siguientes Ecuaciones Trigonométricas: o sen α + 1 = cos α sen α + 1 = 1 − sen 2α (sen α + 1)2 = ( 1 − sen 2α )2 sen2 α + 2sen α +1 = 1 - sen2 α 2sen2 α + 2sen α = 0 sen2 α + sen α = 0 sen α (sen α + 1) = 0 sen α = 0 Æ α = 90° sen α = -1 Æ α = 270° o cos (40° - a ) = cos a o 2 sen x = 1 o 2 cos x . tan x – 1 = 0 o 4 cos2 x = 3 – 4 cos x o 3 cos2 x + sen2 x = 3 o 2 sen2 x + sen x = 0

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