GEOMETR´IA Y TRIGONOMETR´IA 1

Conceptos b´ asicos 1. Una figura geom´ etrica es un conjunto de puntos. 2. Puntos colineales son cualesquiera puntos que est´an exactamente en una recta. 3. La distancia entre un punto X y un punto Y , denotada por XY , es el valor absoluto de la ←→ diferencia entre sus coordenadas en la recta XY . 4. Si A, B y C son colineales y a, b y c son sus respectivas coordenadas, entonces B est´ a entre A y C si y s´olo si a < b < c o´ b < c < a. 5. El conjunto de todos los puntos entre dos puntos A y B diferentes, junto con los puntos A y B, es un segmento, y su notaci´on es AB. Los puntos A y B se llaman extremos del segmento. 6. La longitud de un segmento AB es la distancia entre sus extremos. 7. Adici´ on de segmentos. Si un punto B est´a entre dos puntos A y C, entonces AB + BC = AC. 8. Una poligonal es un conjunto de puntos formado por la uni´on de segmentos que s´olo se tocan en sus extremos y no forman otro segmento. 9. Un pol´ıgono es una poligonal cerrada.

10. Cuando se suman las longitudes de los lados de un pol´ıgono, se obtiene un n´ umero llamado per´ımetro del pol´ıgono. 11. Si el segmento que une a cualesquiera dos puntos en el interior de un pol´ıgono est´a totalmente contenido en el interior del mismo, se dice que el pol´ıgono es un pol´ıgono convexo. 12. Siempre que se considera un punto sobre una recta, se divide a ´esta en dos subconjuntos de ella, llamados rayos o semirectas. 13. Toda recta divide al plano en dos semiplanos ajenos entre s´ı y con la recta que los determina.

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´ Angulos y tri´ angulos 1. Un ´ angulo es la uni´on de dos rayos no opuestos, que tienen en com´ un su punto extremo. 2. Los rayos que forman un ´angulo se llaman lados del a´ngulo, y el punto extremo com´ un de los lados del a´ngulo se llama v´ ertice del ´angulo. 3. Los a´ngulos pueden denotarse por medio del s´ımbolo ∠ seguido de tres letras, la de enmedio es la letra del v´ertice; y las otras dos corresponden a cualesquiera puntos de los lados del a´ngulo distintos del v´ertice, uno en uno y otro en otro de los lados del ´angulo. 4. La parte del plano comprendida entre los lados de un a´ngulo es un conjunto de puntos llamado interior del ´ angulo. 5. Postulado de medida de ´ angulos. A cada ´angulo corresponde exactamente un n´ umero ◦ ◦ entre 0 y 180 . 6. La medida de un ´ angulo es el n´ umero que le corresponde entre 0◦ y 180◦ . 7. Postulado de adici´ on de ´ angulos. Si un punto B est´a en el interior de un ´angulo AOC, entonces ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC. ´ 8. Angulo agudo es un a´ngulo que mide menos de 90◦ y m´as de 0◦ . 9. Un a´ngulo es ´ angulo recto si mide 90◦ .

10. Un a´ngulo es ´ angulo obtuso si mide m´as de 90◦ y menos de 180◦ . 11. Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando al menos un ´angulo recto. 12. Dos segmentos son perpendiculares si y s´olo si se cortan y las rectas que los contienen son perpendiculares. 13. Un segmento es perpendicular a una recta dada si y s´olo si se cortan y la recta que contiene al segmento es perpendicular con la recta dada. 14. Postulado de existencia de perpendiculares. Por un punto sobre o fuera de una recta, pasa exactamente una perpendicular a la recta. 15. La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. 16. Dos a´ngulos son complementarios si sus medidas suman 90◦ . ´ 17. Angulos adyacentes son dos ´angulos que tienen un lado com´ un y cuyos lados no comunes est´an en lados diferentes de la recta que contiene al lado com´ un. 18. Un par lineal es un par de ´angulos adyacentes con sus lados no comunes opuestos. 19. Dos a´ngulos forman un par lineal si y s´olo si su v´ertice est´a entre cualquier par de puntos distintos de ´este, uno en uno y otro en otro de los lados no comunes. 2

20. Postulado del suplemento. La suma de las medidas de dos a´ngulos que forman un par lineal, es 180◦ . ´ 21. Angulos suplementarios son dos a´ngulos cuyas medidas suman 180◦ . ´ 22. Angulos opuestos por el v´ ertice son dos a´ngulos que determinan con sus lados dos pares de rayos opuestos. ´ 23. Angulo interior o ´ angulo de un tri´angulo es un ´angulo cuyo v´ertice es v´ertice de ´este, y uno de sus lados contiene un lado del tri´angulo. ´ 24. Angulo exterior de un tri´angulo es un ´angulo que forma un par lineal con alguno de los a´ngulo del tri´angulo. 25. Tri´ angulos acut´ angulos son los que tienen sus tres a´ngulos agudos. 26. Tri´ angulos rect´ angulos son los que tienen un a´ngulo recto. 27. Tri´ angulos obtus´ angulos son los que tienen un a´ngulo obtuso. 28. Tri´ angulos equi´ angulos son los que tienen sus tres a´ngulos de igual medida.

3

3

Congruencias

Dos figuras que tienen la misma forma y el mismo tama˜ no, se llaman congruentes.

3.1

Congruencia de segmentos

1. Dos segmentos son congruentes si y s´olo si tienen la misma medida. 2. Postulado de prolongaci´on de segmentos. Dados dos segmentos, hay exactamente un punto en la prolongaci´on de uno de ellos que determina un segmento congruente con el otro. 3. Punto medio de un segmento es un punto entre los extremos de ´este, que determina dos segmentos congruentes. 4. Tri´ angulos equil´ ateros son los que tienen sus tres lados congruentes entre s´ı. 5. Tri´ angulos is´ osceles son los que tienen dos lados congruentes entre s´ı. 6. Tri´ angulos escalenos son los que no tienen lados congruentes entre s´ı.

3.2

Congruencia de ´ angulos

1. Dos a´ngulos son congruentes si y s´olo si tienen la misma medida. 2. Bisectriz de un a´ngulo es un rayo cuyos puntos, excepto su extremo, que es el v´ertice del a´ngulo, est´an en el interior del ´angulo dividiendo a ´este en dos a´ngulos congruentes. 3.2.1

Propiedades fundamentales de congruencias de ´ angulos

1. Cualesquiera dos a´ngulos rectos son congruentes. 2. Los complementos de ´angulos congruentes son congruentes. 3. Los complementos de un mismo a´ngulo son congruentes. 4. Los suplementos de ´angulos congruentes son congruentes. 5. Los suplementos de un mismo a´ngulo son congruentes. 6. Cualesquiera dos a´ngulos opuestos por el v´ertice son congruentes. 7. Dos rectas que se cortan formando un a´ngulo, forman cuatro a´ngulos rectos. 8. Los a´ngulos formados por rectas perpendiculares son a´ngulos rectos. 9. Dos rectas perpendiculares, forman a´ngulos adyacentes congruentes. 10. Dos rectas que forman un par de a´ngulos adyacentes congruentes, son perpendiculares.

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3.3

Congruencia de tri´ angulos

1. Dos tri´angulos son congruentes si hay una correspondencia biyectiva entre sus v´ertices, que sea una congruencia. 2. Postulado LAL Dos tri´angulos son congruentes si dos lados y el a´ngulo comprendido de uno, son respectivamente congruentes con dos lados y el a´ngulo comprendido del otro. 3. Postulado AAL Dos tri´angulos son congruentes si dos a´ngulos y un lado de uno son respectivamente congruentes con dos ´angulos y un lado del otro. 4. Postulado LLL Dos tri´angulos son congruentes si los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los tres lados del otro. 5. Postulado HC Dos tri´angulos rect´angulos son congruentes si la hipotenusa y un cateto de uno son respectivamente congruentes con la hipotenusa y un cateto del otro. 6. Postulado LA Dos tri´angulos rect´angulos son congruentes si un lado y un ´angulo de uno son respectivamente congruentes con un lado y un a´ngulo del otro. 7. Teorema En un mismo tri´angulo, a lados congruentes se oponen ´angulos congruentes. 8. Teorema En un mismo tri´angulo, a a´ngulos congruentes se oponen lados congruentes. 9. Altura de un tri´angulo es todo segmento desde uno de sus v´ertices, perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto de dicho v´ertice. 10. El punto donde se intersectan las bisectrices de los ´angulos de un tri´angulo se llama incentro, y es el centro del c´ırculo inscrito en el tri´angulo. 11. Mediana de un tri´angulo es un segmento que une un v´ertice del tri´angulo con el punto medio del lado opuesto a dicho v´ertice. 12. Las medianas de un tri´angulo se intersectan en un punto llamado baricentro, centroide o punto mediano. Este punto constituye un punto de trisecci´ on de cada mediana del tri´angulo. 13. Mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento por el punto medio de ´este. 14. Teorema La altura sobre la base de un tri´angulo is´osceles es mediana y bisectriz de dicho tri´angulo. 15. Lema Todo punto en la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

3.4

Desigualdades de segmentos

1. Un segmento es menor que otro, si y s´olo si su medida es menor que la del otro. 2. Teorema Si uno de dos segmentos congruentes es menor que un tercero, entonces el otro es tambi´en menor que el tercero.

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3. Teorema Si un segmento dado es menor que otro que es congruente con un tercero, entonces es tambi´en menor que el tercero. 4. Teorema Todo punto entre los extremos de un segmento dado determina cdon ellos segmentos menores que el segmento dado. 5. Desigualdad de segmentos Si un segmento es menor que otro, entonces entre los extremos del m´as grande hay exactamente un punto que determina con uno de ellos un segmento congruente con el segmento anterior. 6. Desigualdad de segmentos Si un segmento es menor que otro, entonces en la prolongaci´on del segmento menor hay exactamente un punto que determina con uno de sus extremos un segmento congruente con el segmento mayor.

3.5

Desigualdades de ´ angulos

1. Un a´ngulo es menor que otro, si y s´olo si su medida es menor que la del otro. 2. Teorema Si un a´ngulo dado es menor que otro que es congruente con un tercero, entonces el ´angulo dado tambi´en es menor que el tercero. 3. Teorema Si un a´ngulo dado es congruente con otro que es menor que es menor que un tercero, entonces el a´ngulo dado es tambi´en menor que el tercero. 4. Teorema Todo a´ngulo formado por un lado de un segundo ´angulo y un rayo contenido, excepto su extremo en el interior de ´este, es menor que dicho segundo a´ngulo. 5. Corolario Todo a´ngulo congruente con otro, formado por un lado de un tercer a´ngulo y un rayo contenido excepto su extremo en el interior de ´este, es menor que dicho tercer a´ngulo. 6. Desigualdad de ´ angulos Si un a´ngulo es menor que otro, entonces hay exactamente un punto, en el interior del m´as grande, que determina con uno de los lados de ´este un a´ngulo congruente con el a´ngulo menor. 7. Desigualdad de ´ angulos Si un a´ngulo es menor que otro, entonces hay exactamente un punto, en el exterior del ´angulo menor, que determina con uno de los lados de ´este un a´ngulo congruente con el a´ngulo mayor. 3.5.1

Propiedades de desigualdades de tri´ angulos

1. Propiedad del ´ angulo exterior a un tri´ angulo Todo a´ngulo exterior de un tri´angulo es mayor que cada uno de los ´angulos del tri´angulo no adyacentes a ´el. 2. Relaciones entre ´ angulos y lados de un tri´ angulo Si en un tri´angulo un lado es menor que otro, entonces el a´ngulo opuesto al lado menor es menor que el ´angulo opuesto al otro lado. 3. Relaciones entre ´ angulos y lados de un tri´ angulo Si en un tri´angulo un a´ngulo es menor que otro, entonces el lado opuesto al a´ngulo menor es menor que el lado opuesto al otro ´angulo.

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4. Segmento perpendicular desde un punto a una recta El segmento menor desde un punto a una recta es el segmento perpendicular. 5. Desigualdad del tri´ angulo En cada tri´angulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

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Paralelas 1. Dos rectas son paralelas si y s´olo si no se intersectan. 2. Postulado de las paralelas Por un punto fuera de una recta, pasa exactamente una paralela a dicha recta. 3. Teorema Dos rectas distintas perpendiculares a una tercera, son paralelas entre s´ı. 4. Teorema Toda recta perpendicular a una de de dos paralelas es perpendicular a la otra.

4.1

´ Angulos entre paralelas

1. Una transversal es una recta que corta a dos o m´as rectas en puntos diferentes. ´ 2. Angulos alternos internos son dos a´ngulos formados por rectas cortadas por una transversal, tales que un lado de uno y un lado del otro est´an en lados diferentes de la transversal y los lados restantes est´an en ella, intersec´andose en un segmento cuyos extremos son puntos extremos de dichos lados. ´ 3. Angulos correspondientes son dos a´ngulos formados por rectas cortadas por una transversal, tales que uno de ellos es opuesto por el v´ertice con un tercer a´ngulo que es alterno interno con el otro. 4. Teorema Si dos rectas cortadas por una transversal forman con ella dos a´ngulos alternos internos congruentes, entonces las rectas son paralelas. 5. Teorema Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman con ella ´angulos alternos internos congruentes. 6. Teorema Si dos rectas cortadas por una transversal forman con ella a´ngulos correspondientes congruentes, entonces las rectas son paralelas. 7. Teorema Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman con ella a´ngulos correspondientes congruentes. ´ 8. Angulos colaterales internos son dos a´ngulos determinados por rectas cortadas por una transversal, tales que uno de ellos forma un par lineal con un tercer ´angulo que es alterno interno con el otro. 9. Teorema Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman a´ngulos colaterales internos suplementarios. 10. Teorema Si dos rectas cortadas por una transversal forman con ella dos a´ngulos colaterales internos suplementarios, entonces las rectas son paralelas. 11. Teorema Cada a´ngulo exterior de un tri´angulo tiene por medida la suma de las medidas de los ´angulos del tri´angulo no adyacentes a ´el. 12. Teorema En cada tri´angulo, la suma de las medidas de sus a´ngulos es 180◦ .

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13. Diagonal de un pol´ıgono convexo es un segmento que une dos v´ertices no consecutivos del pol´ıgono. 14. Teorema En cada pol´ıgono convexo de n lados, la suma de las medidas de sus a´nguos es (n − 2) × 180◦ . 15. Corolario La suma de las medidas de los ´angulos de un cuadril´atero convexo es 360◦ . 16. Corolario La medida de cada ´angulo de un pol´ıgono regular de n lados es (n − 2) × 180◦ . n 17. Corolario La suma de las medidas de los a´ngulos exteriores de un pol´ıgono convexo, formados al prolongar en sucesi´on sus lados, es igual a 360◦ .

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Paralelogramos 1. Un paralelogramo es un cuadril´atero de lados opuestos paralelos. 2. Teorema Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. 3. Teorema Los ´angulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. 4. Teorema En cada paralelogramo sus diagonales se bisecan. 5. Teorema Si las diagonales de un cuadril´atero se bisecan, entonces el cuadril´atero es un paralelogramo. 6. Teorema Si dos lados opuestos de un cuadril´atero son congruentes y paralelos, entonces el cuadril´atero es un paralelogramo. 7. Corolario La l´ınea que une los puntos medios de dos lados de un tri´angulo, es paralela al tercer lado e igual a su mitad. 8. Un rect´ angulo es un paralelogramo que tiene un a´ngulo recto. 9. Teorema Si un ´angulo de un paralelogramo es recto, entonces sus otros ´angulos son rectos.

10. Un rombo es un paralelogramo que tiene sus lados congruentes. 11. Teorema Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre s´ı. 12. Teorema Si las diagonales de un cuadril´atero se bisecan y son perpendiculares, entonces el cuadril´atero es un rombo. 13. Teorema Cada diagonal de un rombo biseca los ´angulos de ´este, cuyos v´ertices son extremos de dicha diagonal. 14. Romboide es un paralelogramo sin ning´ un par de lados ni a´ngulos consecutivos congruentes. 15. Teorema de Tales Si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una de dos transversales, entonces determinan segmentos congruentes en la otra.

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C´ırculo 1. Sea O un punto y r un n´ umero real positivo. El c´ırculo con centro en O y radio de medida r, es el conjunto de puntos en el plano P cuya distancia a O es r. 2. Radio de un c´ırculo es un segmento cuyos extremos, uno es el centro del c´ırculo y el otro es un punto sobre el c´ırculo. 3. Cuerda de un c´ırculo es un segmento cuyos extremos son puntos del c´ırculo. 4. Di´ ametro de un c´ırculo es una cuerda que contiene al centro del c´ırculo. 5. Secante de un c´ırculo es una recta que intersecta al c´ırculo en dos puntos. 6. Tangente de un c´ırculo es una recta que toca al c´ırculo exactamente en un punto llamado punto de tangencia o punto de contacto. 7. Teorema Los radios de un mismo c´ırculo son congruentes. 8. Corolario La longitud de cualquier di´ametro de un c´ırculo es el doble de la longitud del radio del c´ırculo. 9. Teorema El segmento perpendicular desde el centro de un c´ırculo a una cuerda de ´este biseca la cuerda.

10. Teorema El segmento que une el centro de un c´ırculo con el punto medio de una de sus cuerdas, es perpendicular a ella. 11. Teorema La mediatriz de una cuerda pasa por el centro del c´ırculo. 12. C´ırculos congruentes son aquellos cuyos radios son congruentes. 13. Teorema En un mismo c´ırculo o en c´ırculos congruentes, cualesquiera dos cuerdas congruentes equidistan del centro. 14. Teorema En un mismo c´ırculo o en c´ırculos congruentes, cualesquiera dos cuerdas equidistantes del centro son congruentes. 15. Teorema Cada tangente a un c´ırculo es perpendicular al radio de ´este, que incide en el punto de tangencia. 16. Teorema Cualquier recta perpendicular a un radio en su extremo sobre el c´ırculo es tangente al c´ırculo. 17. Teorema Si dos tangentes a un mismo c´ırculo se intersectan, entonces • Los segmentos que tienen por extremos un punto de tangencia y el punto de intersecci´on de las tangentes, son congruentes. • El rayo que tiene por extremo al punto de intersecci´on y pasa por el centro, forma con las tangentes dos a´ngulos congruentes.

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6.1

Tangentes comunes a dos c´ırculos

1. C´ırculos tangentes son c´ırculos que son tangentes a una misma recta y en un mismo punto. 2. C´ırculos internamente tangentes son c´ırculos que tienen sus centros del mismo lado de una tangente com´ un a ellos en un mismo punto. 3. C´ırculos externamente tangentes son c´ırculos que tienen sus centros en lados opuestos de una tangente com´ un a ellos en un mismo punto. 4. Tangente interna com´ un de dos o m´ as c´ırculos es una tangente com´ un a los c´ırculos, tal que sus centros est´an en lados opuestos de ella. 5. Tangente externa com´ un de dos o m´ as c´ırculos es una tangente com´ un a los c´ırculos, tal que sus centros est´an del mismo lado de ella.

6.2

´ Angulos de un c´ırculo

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